A legkevésbé gyakori több példa. Az LCM legkisebb közös többszöröse

Online számológép lehetővé teszi a legnagyobb gyors megtalálását közös osztóés kettő vagy bármely más szám legkisebb közös többszöröse.

Számológép a GCD és az LCM megtalálásához

Keresse meg a GCD-t és a LOC-t

Talált GCD és LOC: 5806

Hogyan kell használni a számológépet

• Írja be a számokat a beviteli mezőbe
• Ha helytelen karaktereket ír be, a beviteli mező piros színnel lesz kiemelve
• kattintson a "GCD és LOC keresése" gombra

Hogyan írjunk be számokat

• A számokat szóközzel, ponttal vagy vesszővel elválasztva kell beírni
• A beírt számok hossza nincs korlátozva, így nem nehéz megtalálni a hosszú számok GCD-jét és LCM-jét

Mi az a GCD és NOC?

A legnagyobb közös osztó A több szám a legnagyobb természetes egész szám, amellyel minden eredeti szám osztható maradék nélkül. A legnagyobb közös osztó rövidítése: GCD.
A legkisebb közös többszörös A több szám az a legkisebb szám, amely maradék nélkül osztható az eredeti számokkal. A legkisebb közös többszöröst így rövidítjük NOC.

Hogyan ellenőrizhető, hogy egy szám osztható-e egy másik számmal maradék nélkül?

Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e egy másikkal maradék nélkül, használhatja a számok oszthatóságának néhány tulajdonságát. Ezután ezek kombinálásával ellenőrizheti egyesek és kombinációik oszthatóságát.

A számok oszthatóságának néhány jele

1. Oszthatósági teszt egy szám 2-vel
Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e kettővel (páros-e), elég megnézni ennek a számnak az utolsó számjegyét: ha egyenlő 0, 2, 4, 6 vagy 8, akkor a szám páros, ami azt jelenti, hogy osztható 2-vel.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 2-vel.
Megoldás: nézd meg az utolsó számjegyet: a 8 azt jelenti, hogy a szám osztható kettővel.

2. Oszthatósági teszt egy számra 3-mal
Egy szám akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható hárommal. Így annak meghatározásához, hogy egy szám osztható-e 3-mal, ki kell számítania a számjegyek összegét, és ellenőriznie kell, hogy osztható-e 3-mal. Még ha a számjegyek összege nagyon nagy is, megismételheti ugyanazt a folyamatot.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 3-mal.
Megoldás: Megszámoljuk a számok összegét: 3+4+9+3+8 = 27. A 27 osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy a szám osztható hárommal.

3. Oszthatósági teszt egy számra 5-tel
Egy szám akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye nulla vagy öt.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 5-tel.
Megoldás: nézd meg az utolsó számjegyet: a 8 azt jelenti, hogy a szám NEM osztható öttel.

4. Oszthatósági teszt egy számra 9-cel
Ez a jel nagyon hasonlít a hárommal való oszthatóság jeléhez: egy szám osztható 9-cel, ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 9-cel.
Megoldás: Megszámoljuk a számok összegét: 3+4+9+3+8 = 27. A 27 osztható 9-cel, ami azt jelenti, hogy a szám osztható kilenccel.

Hogyan lehet megtalálni a két szám GCD-jét és LCM-jét

Hogyan találjuk meg két szám gcd-jét

Legtöbb egyszerű módon Két szám legnagyobb közös osztójának kiszámításához meg kell keresni ezeknek a számoknak az összes lehetséges osztóját, és kiválasztani közülük a legnagyobbat.

Tekintsük ezt a módszert a GCD(28, 36) megtalálásának példáján:

1. Mindkét számot figyelembe vesszük: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Találunk közös faktorokat, vagyis azokat, amelyek mindkét számnak megvannak: 1, 2 és 2.
3. Kiszámítjuk ezeknek a tényezőknek a szorzatát: 1 2 2 = 4 - ez a 28 és 36 számok legnagyobb közös osztója.

Hogyan találjuk meg két szám LCM-jét

Két leggyakoribb módja van két szám legkisebb többszörösének megkeresésére. Az első módszer az, hogy felírhatja két szám első többszörösét, majd kiválaszthatja közülük azt a számot, amely mindkét számban közös és egyben a legkisebb. A második pedig ezeknek a számoknak a gcd-jének megkeresése. Csak azt vegyük figyelembe.

Az LCM kiszámításához ki kell számítania az eredeti számok szorzatát, majd el kell osztania a korábban talált GCD-vel. Keressük meg az LCM-et ugyanazon 28-as és 36-os számokhoz:

1. Határozzuk meg a 28 és 36 számok szorzatát: 28·36 = 1008
2. A GCD(28, 36), mint már ismert, egyenlő 4-gyel
3. LCM(28; 36) = 1008/4 = 252 .

GCD és LCM keresése több számhoz

A legnagyobb közös osztó több számra is megtalálható, nem csak kettőre. Ehhez a legnagyobb közös osztóhoz tartozó számokat prímtényezőkre bontjuk, majd megtaláljuk e számok közös prímtényezőinek szorzatát. A következő relációt is használhatja több szám gcd-jének megkereséséhez: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Hasonló összefüggés vonatkozik a legkisebb közös többszörösre is: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Példa: keresse meg a GCD-t és az LCM-et a 12-es, 32-es és 36-os számokhoz.

1. Először is faktorozzuk a számokat: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Keressük a közös tényezőket: 1, 2 és 2.
3. A szorzatuk GCD-t ad: 1·2·2 = 4
4. Most keressük meg az LCM-et: ehhez először keressük meg az LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Mindhárom szám LCM-jének megtalálásához meg kell találnia a GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12; 32; 36) = 96,36 / 12 = 288.

De sok természetes szám osztható más természetes számokkal is.

Például:

A 12-es szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel;

A 36-os szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel, 18-mal, 36-tal.

Azokat a számokat, amelyekkel a szám osztható egy egésszel (12 esetén ezek 1, 2, 3, 4, 6 és 12) ún. számok osztói. Természetes szám osztója a- ez az, ami természetes szám, amely elosztja a megadott számot a nyom nélkül. Olyan természetes számot nevezünk, amelynek kettőnél több osztója van összetett .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 12-es és 36-os számoknak közös tényezői vannak. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója a 12. A két szám közös osztója aÉs b- ez az a szám, amellyel mindkét megadott szám maradék nélkül el van osztva aÉs b.

Közös többszörösek A több szám olyan szám, amely osztható ezen számok mindegyikével. Például, a 9, 18 és 45 számok közös többszöröse 180. De 90 és 360 is a közös többszöröseik. Az összes közös többszörös között mindig van egy legkisebb, in ebben az esetben ez a 90. Ezt a számot hívják a legkisebbközös többszörös (CMM).

Az LCM mindig egy természetes szám, amelynek nagyobbnak kell lennie azon számok közül a legnagyobbnál, amelyekre meghatározva van.

Legkisebb közös többszörös (LCM). Tulajdonságok.

Kommutativitás:

Aszociativitás:

Különösen, ha a és koprímszámok, akkor:

Két egész szám legkisebb közös többszöröse mÉs n az összes többi közös többszörös osztója mÉs n. Sőt, a közös többszörösek halmaza m, n egybeesik az LCM( többszöröseinek halmazával m, n).

Az aszimptotikája kifejezhető néhány számelméleti függvénnyel.

Így, Csebisev függvény. És még:

Ez a Landau-függvény definíciójából és tulajdonságaiból következik g(n).

Ami az elosztási törvényből következik prímszámok.

A legkisebb közös többszörös megkeresése (LCM).

NOC( a, b) többféleképpen is kiszámítható:

1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó, használhatja annak kapcsolatát az LCM-mel:

2. Legyen ismert mindkét szám prímtényezőkre való kanonikus felbontása:

Ahol p 1 ,...,p k- különféle prímszámok, és d 1 ,...,d kÉs e 1 ,...,e k— nem negatív egész számok (ezek lehetnek nullák, ha a megfelelő prím nincs a bővítésben).

Aztán NOC ( a,b) a következő képlettel számítható ki:

Más szavakkal, az LCM dekompozíció tartalmazza az összes prímtényezőt, amely legalább egy számdekompozícióban szerepel. a, b, és ennek a szorzónak a két kitevője közül a legnagyobbat veszik.

Példa:

Több szám legkisebb közös többszörösének kiszámítása redukálható két szám LCM-jének több egymást követő számítására:

Szabály. Egy számsorozat LCM-jének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:

- a számokat prímtényezőkre bontani;

- a legnagyobb dekompozíciót (az adottak közül a legtöbb tényező tényezőinek szorzatát) átvisszük a kívánt szorzat faktoraiba, majd hozzáadjuk az első számban nem szereplő, vagy abban megjelenő egyéb számok felbontásából származó tényezőket kevesebb alkalommal;

— a prímtényezők eredő szorzata az adott számok LCM-je lesz.

Bármely két vagy több természetes számnak megvan a saját LCM-je. Ha a számok nem többszörösei egymásnak, vagy nem ugyanazok a tényezők a bővítésben, akkor LCM-jük egyenlő ezen számok szorzatával.

A 28-as szám prímtényezőit (2, 2, 7) kiegészítjük a 3-as faktorral (a 21-es számmal), így a kapott szorzat (84) lesz a legkisebb szám, ami osztható 21-gyel és 28-cal.

A legnagyobb 30-as prímtényezőit kiegészítjük a 25-ös szám 5-ös szorzatával, a kapott 150-es szorzat nagyobb, mint a legnagyobb 30-as szám, és maradék nélkül osztható az összes megadott számmal. Ez legkevesebb termék a lehetségesek közül (150, 250, 300...), amelynek minden megadott szám többszöröse.

A 2,3,11,37 számok prímszámok, így LCM-jük megegyezik az adott számok szorzatával.

Szabály. A prímszámok LCM-jének kiszámításához ezeket a számokat össze kell szoroznia.

Egy másik lehetőség:

Több szám legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálásához a következőkre van szüksége:

1) ábrázoljon minden számot prímtényezőinek szorzataként, például:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) írja fel az összes prímtényező hatványait:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) írja fel ezeknek a számoknak az összes prímosztóját (szorzóját);

4) válassza ki mindegyik közül a legnagyobb mértéket, amely ezeknek a számoknak az összes kiterjesztésében található;

5) szorozd meg ezeket a hatványokat.

Példa. Keresse meg a 168, 180 és 3024 számok LCM-jét.

Megoldás. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kiírjuk legnagyobb fokozatok az összes főosztót és szorozzuk meg őket:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Második szám: b=

Ezer elválasztó Szóközelválasztó nélkül "´

Eredmény:

Legnagyobb közös osztó gcd( a,b)=6

LCM( legkisebb közös többszöröse a,b)=468

A legnagyobb természetes számot nevezzük, amely maradék nélkül osztható a és b számokkal legnagyobb közös osztó(GCD) ezekből a számokból. Jelölése: gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) vagy hcf(a,b).

A legkisebb közös többszörös Két a és b egész szám LCM-je a legkisebb természetes szám, amely maradék nélkül osztható a-val és b-vel. Jelölve LCM(a,b), vagy lcm(a,b).

Az a és b egész számokat hívjuk kölcsönösen prím, ha a +1-en és a -1-en kívül nincs más közös osztójuk.

A legnagyobb közös osztó

Kettő legyen megadva pozitív számok a 1 és a 2 1). Meg kell találni ezeknek a számoknak a közös osztóját, pl. találni egy ilyen számot λ , amely a számokat osztja a 1 és a 2 egyszerre. Leírjuk az algoritmust.

1) Ebben a cikkben a szám szó egész számként értendő.

Hadd a 1 ≥ a 2 és hagyjuk

Ahol m 1 , a 3 néhány egész szám, a 3 <a 2 (az osztás maradéka a 1 per a 2 legyen kevesebb a 2).

Tegyük fel, hogy λ oszt a 1 és a 2 akkor λ oszt m 1 a 2 és λ oszt a 1 −m 1 a 2 =a 3 (A „Számok oszthatósága. Oszthatósági teszt” cikk 2. állítása). Ebből következik, hogy minden közös osztó a 1 és a 2 a közös osztó a 2 és a 3. Fordítva is igaz, ha λ közös osztó a 2 és a 3 akkor m 1 a 2 és a 1 =m 1 a 2 +a 3 is osztható vele λ . Ezért a közös osztó a 2 és a A 3 is közös osztó a 1 és a 2. Mert a 3 <a 2 ≤a 1, akkor azt mondhatjuk, hogy a megoldás a számok közös osztójának megtalálása a 1 és a 2 egyszerűbb feladatra redukálva a számok közös osztóját a 2 és a 3 .

Ha a 3 ≠0, akkor oszthatjuk a 2 on a 3. Majd

,

Ahol m 1 és a 4 néhány egész szám, ( a 4 maradék az osztásból a 2 on a 3 (a 4 <a 3)). Hasonló érveléssel arra a következtetésre jutunk, hogy a számok közös osztói a 3 és a A 4 egybeesik a számok közös osztóival a 2 és a 3, és közös osztókkal is a 1 és a 2. Mert a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... olyan számok, amelyek folyamatosan csökkennek, és mivel véges számú egész szám van között a 2 és 0, majd valamilyen lépésben n, osztás maradéka a n tovább a n+1 egyenlő lesz nullával ( a n+2=0).

.

Minden közös osztó λ számok a 1 és a A 2 a számok osztója is a 2 és a 3 , a 3 és a 4 , .... a n és a n+1. Ennek fordítva is igaz, a számok közös osztói a n és a n+1 a számok osztói is a n−1 és a n , .... , a 2 és a 3 , a 1 és a 2. De a számok közös osztója a n és a n+1 egy szám a n+1 , mert a n és a n+1 osztható vele a n+1 (ne feledje a n+2=0). Ezért a n+1 a számok osztója is a 1 és a 2 .

Vegye figyelembe, hogy a szám a n+1 a számok legnagyobb osztója a n és a n+1 , mivel a legnagyobb osztó a n+1 önmaga a n+1. Ha a n+1 egész számok szorzataként ábrázolható, akkor ezek a számok a számok közös osztói is a 1 és a 2. Szám a n+1-et hívják legnagyobb közös osztó számok a 1 és a 2 .

Számok a 1 és a A 2 lehet pozitív vagy negatív szám. Ha az egyik szám egyenlő nullával, akkor ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója egyenlő lesz a másik szám abszolút értékével. A nulla számok legnagyobb közös osztója definiálatlan.

A fenti algoritmust ún Euklideszi algoritmus hogy megtaláljuk két egész szám legnagyobb közös osztóját.

Példa két szám legnagyobb közös osztójának megtalálására

Keresse meg a 630 és 434 szám legnagyobb közös osztóját.

• 1. lépés: Ossza el a 630-as számot 434-gyel. A maradék 196.
• 2. lépés: Ossza el a 434-et 196-tal. A maradék 42.
• 3. lépés: Ossza el a 196-ot 42-vel. A maradék 28.
• 4. lépés: Ossza el a 42-t 28-cal. A maradék 14.
• 5. lépés: Ossza el a 28-at 14-gyel. A maradék 0.

Az 5. lépésben az osztás maradéka 0. Ezért a 630 és 434 számok legnagyobb közös osztója 14. Vegye figyelembe, hogy a 2 és 7 számok osztói a 630-nak és a 434-nek is.

Második prímszámok

Meghatározás 1. Legyen a számok legnagyobb közös osztója a 1 és a 2 egyenlő eggyel. Ezután ezeket a számokat hívják prímszámok, amelynek nincs közös osztója.

Tétel 1. Ha a 1 és a 2 prímszám, és λ valamilyen szám, majd a számok bármely közös osztója λa 1 és a A 2 a számok közös osztója is λ És a 2 .

Bizonyíték. Tekintsük az euklideszi algoritmust a számok legnagyobb közös osztójának megtalálásához a 1 és a 2 (lásd fent).

.

A tétel feltételeiből az következik, hogy a számok legnagyobb közös osztója a 1 és a 2 és ezért a n és a n+1 értéke 1. Azaz a n+1 =1.

Szorozzuk meg ezeket az egyenlőségeket ezzel λ , Akkor

.

Legyen a közös osztó a 1 λ És a 2 igen δ . Majd δ szorzóként szerepel benne a 1 λ , m 1 a 2 λ és be a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (lásd: „Számok oszthatósága”, 2. állítás). Következő δ szorzóként szerepel benne a 2 λ És m 2 a 3 λ , és ezért szerepet játszik abban a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Így érvelve meg vagyunk győződve arról δ szorzóként szerepel benne a n-1 λ És m n-1 a n λ , és ezért be a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Mert a n+1 =1, akkor δ szorzóként szerepel benne λ . Ezért a szám δ a számok közös osztója λ És a 2 .

Tekintsük az 1. Tétel speciális eseteit.

Következmény 1. Hadd aÉs c A prímszámok viszonylagosak b. Aztán a termékük ac tekintetében prímszám b.

Igazán. Az 1. tételből acÉs b ugyanazokkal a közös osztókkal rendelkeznek, mint cÉs b. De a számok cÉs b viszonylag egyszerű, pl. egyetlen közös osztójuk van 1. Akkor acÉs b egyetlen közös osztójuk is van 1. Ezért acÉs b kölcsönösen egyszerű.

Következmény 2. Hadd aÉs b prímszámok és legyen b oszt ak. Majd b osztja és k.

Igazán. A jóváhagyási feltételtől akÉs b közös osztójuk van b. Az 1. tétel értelmében b közös osztónak kell lennie bÉs k. Ezért b oszt k.

Az 1. következmény általánosítható.

Következmény 3. 1. Legyen a számok a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m a számhoz viszonyított prímek b. Majd a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, ezeknek a számoknak a szorzata a számhoz viszonyított prím b.

2. Legyen két számsorunk

úgy, hogy az első sorozatban minden szám prím legyen a második sorozat minden számának arányában. Aztán a termék

Meg kell találnia azokat a számokat, amelyek oszthatók ezekkel a számokkal.

Ha egy szám osztható vele a 1, akkor megvan a formája sa 1 hol s valami szám. Ha q a számok legnagyobb közös osztója a 1 és a 2, akkor

Ahol s 1 egy egész szám. Majd

van számok legkisebb közös többszörösei a 1 és a 2 .

a 1 és a 2 viszonylag prím, akkor a számok legkisebb közös többszöröse a 1 és a 2:

Meg kell találnunk ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszörösét.

A fentiekből következik, hogy a számok tetszőleges többszöröse a 1 , a 2 , a A 3-nak a számok többszörösének kell lennie ε És a 3 és vissza. Legyen a számok legkisebb közös többszöröse ε És a 3 igen ε 1. Ezután a számok többszörösei a 1 , a 2 , a 3 , a A 4-nek számok többszörösének kell lennie ε 1 és a 4. Legyen a számok legkisebb közös többszöröse ε 1 és a 4 igen ε 2. Így azt találtuk, hogy a számok minden többszöröse a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m egybeesik egy bizonyos szám többszörösével ε n, amelyet az adott számok legkisebb közös többszörösének nevezünk.

Abban a speciális esetben, amikor a számok a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m viszonylag prím, akkor a számok legkisebb közös többszöröse a 1 , a A 2. ábra, amint fentebb látható, a (3) alakú. Következő, azóta a 3 prím a számokhoz viszonyítva a 1 , a 2 akkor a 3 prímszám a 1 · a 2 (1. következmény). A számok legkisebb közös többszörösét jelenti a 1 ,a 2 ,a 3 egy szám a 1 · a 2 · a 3. Hasonlóan érvelve jutunk el a következő állításokhoz.

Nyilatkozat 1. A koprímszámok legkisebb közös többszöröse a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m egyenlő a szorzatukkal a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Nyilatkozat 2. Bármilyen szám, amely osztható az egyes másodpímszámokkal a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m is osztható a szorzatukkal a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Közös többszörösek

Egyszerűen fogalmazva, minden olyan egész szám, amely osztható a megadott számok mindegyikével közös többszörös adott egész számok.

Megtalálható két vagy több egész szám közös többszöröse.

1. példa

Számítsa ki két szám közös többszörösét: $2$ és $5$.

Megoldás.

Értelemszerűen $2$ és $5$ közös többszöröse $10$, mert ez a $2$ és az $5$ többszöröse:

A $2$ és $5$ számok közös többszörösei a $–10, 20, –20, 30, –30$ stb. számok is lesznek, mert mindegyik $2$ és $5$ számokra van osztva.

1. megjegyzés

A nulla tetszőleges számú nem nulla egész szám közös többszöröse.

Az oszthatóság tulajdonságai szerint, ha egy bizonyos szám több szám közös többszöröse, akkor az ellentétes előjelű szám is közös többszöröse lesz az adott számnak. Ez látható a vizsgált példából.

Adott egész számok esetén mindig megtalálhatja a közös többszörösüket.

2. példa

Számítsa ki $111$ és $55$ közös többszörösét.

Megoldás.

Szorozzuk meg a megadott számokat: $111\div 55=6105$. Könnyen ellenőrizhető, hogy a $6105$ szám osztható-e a $111$ és a $55$ számmal:

6105 USD\div 111=55 USD;

6105 USD\div 55=111 USD.

Így a 6105 $ a 111 $ és az 55 $ közös többszöröse.

Válasz: $111$ és $55$ közös többszöröse 6105$.

De amint az előző példából már láttuk, ez a közös többszörös nem egy. A többi gyakori többszörös a –6105, 12210, –12210, 61050, –61050 dollár stb. Így a következő következtetésre jutottunk:

2. megjegyzés

Az egész számok bármely halmazának végtelen számú közös többszöröse van.

A gyakorlatban csak pozitív egész számok (természetes) számok közös többszöröseinek megtalálására korlátozódnak, mert egy adott szám és ellentétének többszöröseinek halmazai egybeesnek.

A legkisebb közös többszörös meghatározása

Adott számok többszörösei közül a legkisebb közös többszöröst (LCM) használják leggyakrabban.

2. definíció

Adott egész számok legkisebb pozitív közös többszöröse az legkisebb közös többszörös ezeket a számokat.

3. példa

Számítsa ki a $4$ és a $7$ számok LCM-jét.

Megoldás.

Mert ezeknek a számoknak nincs közös osztójuk, akkor $LCM(4,7)=28$.

Válasz: $NOK (4,7)=28$.

NOC keresése GCD-n keresztül

Mert az LCM és a GCD között van kapcsolat, a segítségével lehet számolni Két pozitív egész szám LCM-je:

3. megjegyzés

4. példa

Számítsa ki a $232$ és a $84$ számok LCM-jét.

Megoldás.

Használjuk a képletet az LCM megkereséséhez GCD-n keresztül:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Keressük meg a $232$ és $84$ számok GCD-jét az euklideszi algoritmus segítségével:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

64 USD=20\cdot 3+4$,

Azok. $GCD(232, 84)=4$.

Keressük a $LCC (232, 84)$-t:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Válasz: $ NOK (232,84) = 4872 $.

5. példa

Számítsa ki a $LCD(23, 46)$ értéket.

Megoldás.

Mert $46$ osztható $23$-tal, majd $gcd (23, 46)=23$. Keressük a LOC-t:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Válasz: $ NOK (23,46) = 46 $.

Így lehet megfogalmazni szabály:

4. megjegyzés

A matematikai kifejezések és feladatok sok további ismeretet igényelnek. A NOC az egyik fő, különösen gyakran használják A témát középiskolában tanulják, és nem különösebben nehéz megérteni az anyagot, aki ismeri a hatásköröket és a szorzótáblát, nem okoz nehézséget a szükséges számok azonosítása és a eredmény.

Meghatározás

Közös többszörös olyan szám, amely egyidejűleg teljesen felosztható két számra (a és b). Ezt a számot leggyakrabban az eredeti a és b számok szorzásával kapjuk meg. A számnak oszthatónak kell lennie mindkét számmal egyszerre, eltérés nélkül.

A NOC a megnevezéshez használt rövid név, amelyet az első betűkből gyűjtöttek össze.

A számok megszerzésének módjai

A számok szorzása nem mindig alkalmas az LCM megtalálására, sokkal inkább egyszerű egy- vagy kétjegyű számok esetén. Szokásos faktorokra osztani, minél nagyobb a szám, annál több tényező lesz.

1. példa

A legegyszerűbb példában az iskolák általában prímszámokat, egy- vagy kétjegyű számokat használnak. Például meg kell oldania a következő feladatot, keresse meg a 7 és 3 számok legkisebb közös többszörösét, a megoldás meglehetősen egyszerű, csak szorozza meg őket. Ennek eredményeként van egy 21-es szám, egyszerűen nincs kisebb szám.

2. példa

A feladat második változata sokkal nehezebb. A 300 és 1260 számok adottak, a LOC megkeresése kötelező. A probléma megoldásához a következő műveleteket kell feltételezni:

Az első és a második szám egyszerű faktorokra bontása. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 *7. Az első szakasz befejeződött.

A második szakasz a már megszerzett adatokkal való munka. A kapott számok mindegyikének részt kell vennie a végeredmény kiszámításában. Minden egyes tényező esetében a legtöbb előfordulás az eredeti számokból származik. Az LCM egy általános szám, ezért a számok tényezőit minden egyes számban meg kell ismételni, még azokat is, amelyek egy példányban vannak. Mindkét kezdeti szám tartalmazza a 2-es, 3-as és 5-ös számokat, a 7 csak egy esetben van jelen.

A végeredmény kiszámításához minden számot a legnagyobb hatványban kell bevennie az egyenletbe. Csak szorozni kell, és megkapni a választ, ha helyesen van kitöltve, a feladat magyarázat nélkül két lépésből áll:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Ez az egész probléma, ha megpróbálja kiszámolni a szükséges számot szorzással, akkor a válasz biztosan nem lesz helyes, mivel 300 * 1260 = 378 000.

Vizsgálat:

6300 / 300 = 21 - helyes;

6300 / 1260 = 5 - helyes.

A kapott eredmény helyességét ellenőrzéssel határozzuk meg - az LCM-et elosztjuk mindkét eredeti számmal, ha a szám mindkét esetben egész, akkor a válasz helyes.

Mit jelent a NOC a matematikában?

Tudniillik a matematikában nincs egyetlen haszontalan függvény sem, ez alól ez sem kivétel. Ennek a számnak a leggyakoribb célja, hogy a törteket közös nevezőre redukálja. Amit általában a középiskola 5-6. osztályában tanulnak. Ezenkívül az összes többszörös közös osztója, ha ilyen feltételek jelen vannak a feladatban. Egy ilyen kifejezés nem csak két szám többszörösét találhatja meg, hanem sokkal nagyobb számokat is - három, öt stb. Minél több szám, annál több művelet van a feladatban, de a bonyolultság nem növekszik.

Például a 250, 600 és 1500 számok alapján meg kell találnia a közös LCM-et:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ez a példa a faktorizálást írja le részletesen, redukció nélkül.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Egy kifejezés összeállításához minden tényezőt meg kell említeni, ebben az esetben 2, 5, 3 van megadva - mindezen számok esetében meg kell határozni a maximális mértéket.

Figyelem: minden tényezőt a teljes egyszerűsítésig kell hozni, lehetőség szerint egy számjegyűre lebontani.

Vizsgálat:

1) 3000 / 250 = 12 - helyes;

2) 3000 / 600 = 5 - igaz;

3) 3000 / 1500 = 2 - helyes.

Ez a módszer nem igényel semmilyen trükköt vagy zseniális szintű képességet, minden egyszerű és világos.

Egy másik mód

A matematikában sok minden összefügg, sok mindent meg lehet oldani két vagy több módon is, ugyanez vonatkozik a legkisebb közös többszörös, az LCM megtalálására is. Egyszerű kétjegyű és egyjegyű számok esetén a következő módszer használható. Összeállítunk egy táblázatot, amelybe a szorzót függőlegesen, a szorzót vízszintesen írjuk be, és az oszlop metsző celláiban feltüntetjük a szorzatot. Megjeleníthet egy táblázatot egy vonal segítségével, vehet egy számot, és felírhatja ennek a számnak az egész számokkal való szorzásának eredményét, 1-től a végtelenig, néha 3-5 pont is elegendő, a második és az azt követő számok ugyanazon a számítási folyamaton mennek keresztül. Minden addig történik, amíg meg nem találják a közös többszöröst.

A 30, 35, 42 számok alapján meg kell találnia az összes számot összekötő LCM-et:

1) 30 többszörösei: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 stb.

2) A 35 többszörösei: 70, 105, 140, 175, 210, 245 stb.

3) 42 többszörösei: 84, 126, 168, 210, 252 stb.

Észrevehető, hogy az összes szám meglehetősen eltérő, az egyetlen közös szám közöttük a 210, tehát ez lesz a NOC. Az ebben a számításban részt vevő folyamatok között van egy legnagyobb közös osztó is, amely hasonló elvek alapján történik, és gyakran találkozunk a szomszédos problémákban. A különbség kicsi, de meglehetősen jelentős, az LCM olyan szám kiszámítását foglalja magában, amelyet el kell osztani az összes megadott kezdeti értékkel, a GCD pedig azt a legnagyobb értéket, amellyel az eredeti számokat elosztjuk.