Egyszerűsítse az online számológépet megoldással. Egyenletek online

Tekintsük a kifejezések hatványokkal történő átalakításának témáját, de először nézzünk meg számos olyan transzformációt, amelyek bármilyen kifejezéssel végrehajthatók, beleértve a hatványos kifejezéseket is. Megtanulunk zárójeleket nyitni, hozni hasonló kifejezések, dolgozzon az alappal és a kitevővel, használja a fokok tulajdonságait.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mik azok a hatalom kifejezései?

Az iskolai tanfolyamokon kevesen használják az „erőteljes kifejezések” kifejezést, de ez a kifejezés folyamatosan megtalálható az egységes államvizsgára való felkészülés gyűjteményében. A legtöbb esetben a kifejezések olyan kifejezéseket jelölnek, amelyek bejegyzéseikben fokozatok vannak. Ezt fogjuk tükrözni definíciónkban.

1. definíció

Erő kifejezés olyan kifejezés, amely képességeket tartalmaz.

Nézzünk néhány példát a hatványkifejezésekre, kezdve a természetes kitevővel rendelkező hatványtól és a valós kitevővel rendelkező hatványtól kezdve.

A legegyszerűbb hatványkifejezések természetes kitevővel rendelkező szám hatványainak tekinthetők: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1, (a 2) 3 . És a nulla kitevővel rendelkező hatványok is: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. És a fokok egész számokkal negatív erők: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Kicsit nehezebb olyan fokozattal dolgozni, amelynek racionális és irracionális kitevői vannak: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

A mutató lehet a 3 x - 54 - 7 3 x - 58 változó vagy a logaritmus x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy mik a hatalom kifejezései. Most kezdjük el konvertálni őket.

A hatványkifejezések transzformációinak főbb típusai

Mindenekelőtt a kifejezések hatalmi kifejezésekkel végrehajtható alapvető identitástranszformációit nézzük meg.

1. példa

Számítsa ki egy hatványkifejezés értékét! 2 3 (4 2 – 12).

Megoldás

Minden átalakítást a cselekvési sorrendnek megfelelően fogunk végrehajtani. BAN BEN ebben az esetben Kezdjük a zárójelben lévő műveletek végrehajtásával: a fokozatot digitális értékre cseréljük, és kiszámoljuk két szám különbségét. Nekünk van 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Csak a diplomát kell lecserélnünk 2 3 a jelentése 8 és kiszámítja a szorzatot 8 4 = 32. Íme a válaszunk.

Válasz: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .

2. példa

Egyszerűsítse a kifejezést a képességekkel 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Megoldás

A problémafelvetésben nekünk adott kifejezés hasonló kifejezéseket tartalmaz, amelyeket megadhatunk: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Válasz: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1.

3. példa

Fejezd ki a kifejezést 9 - b 3 · π - 1 2 hatványokkal szorzatként!

Megoldás

Képzeljük el a 9-es számot hatványként 3 2 és alkalmazzuk a rövidített szorzási képletet:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Válasz: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Most térjünk át azon identitás-transzformációk elemzésére, amelyek kifejezetten a hatványkifejezésekre alkalmazhatók.

Munka bázissal és kitevővel

Az alap vagy kitevő foka számokat, változókat és néhány kifejezést tartalmazhat. Például, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7És . Az ilyen rekordokkal nehéz dolgozni. Sokkal egyszerűbb a fok alapjában vagy a kitevőben lévő kifejezést egy azonos kifejezéssel helyettesíteni.

A fokszám és a kitevő átalakítása az általunk ismert szabályok szerint, egymástól elkülönítve történik. A legfontosabb, hogy a transzformáció az eredetivel azonos kifejezést eredményezzen.

Az átalakítások célja az eredeti kifejezés leegyszerűsítése vagy a probléma megoldása. Például a fent megadott példában (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 követheti a lépéseket a fokozat eléréséhez. 4 , 1 1 , 3 . A zárójelek megnyitásával a hatvány alapjához hasonló kifejezéseket adhatunk (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)és több erőkifejezést kap egyszerű típus a 2 (x + 1).

Fokozattulajdonságok használata

A hatványok egyenlőségek formájában írt tulajdonságai az egyik fő eszköz a kifejezések hatványokkal történő átalakítására. Itt bemutatjuk a főbbeket, ennek figyelembevételével aÉs b- ezek bármelyik pozitív számok, A rÉs s- tetszőleges valós számok:

2. definíció

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s.

Azokban az esetekben, amikor természetes, egész, pozitív kitevőkkel van dolgunk, az a és b számokra vonatkozó korlátozások sokkal kevésbé szigorúak lehetnek. Tehát például, ha az egyenlőséget vesszük figyelembe a m · a n = a m + n, Ahol mÉs n – egész számok, akkor ez igaz lesz az a bármely értékére, legyen az pozitív és negatív, valamint a a = 0.

A hatványok tulajdonságait korlátozás nélkül alkalmazhatja olyan esetekben, amikor a hatványok alapjai pozitívak vagy változókat, területet tartalmaznak elfogadható értékeket ami olyan, hogy a rajta lévő alap elfogadja csak pozitív értékeket. Sőt, belül iskolai tananyag matematikában a tanuló feladata a megfelelő tulajdonság kiválasztása és helyes alkalmazása.

Az egyetemi felvételi előkészítés során olyan problémákkal találkozhat, amelyeknél a tulajdonságok pontatlan alkalmazása a DL szűküléséhez és egyéb megoldási nehézségekhez vezet. Ebben a részben csak két ilyen esetet vizsgálunk meg. A témával kapcsolatos további információk a „Kifejezések konvertálása a hatványok tulajdonságaival” témakörben találhatók.

4. példa

Képzeld el a kifejezést a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 bázissal rendelkező hatalom formájában a.

Megoldás

Először a hatványozás tulajdonságát használjuk, és a második tényezőt transzformáljuk ennek segítségével (a 2) – 3. Ezután a szorzás és a hatványosztás tulajdonságait ugyanazzal az alappal használjuk:

a 2 , 5 · a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5) = a 2 .

Válasz: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

A hatványkifejezések átalakítása a hatványok tulajdonságai szerint történhet balról jobbra és ellenkező irányban is.

5. példa

Határozzuk meg a 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 hatványkifejezés értékét!

Megoldás

Ha egyenlőséget alkalmazunk (a · b) r = a r · b r, jobbról balra 3 · 7 1 3 · 21 2 3, majd 21 1 3 · 21 2 3 alakú szorzatot kapunk. Adjuk össze a kitevőket, amikor hatványokat szorozunk azonos bázisokkal: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Van egy másik módja az átalakításnak:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Válasz: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

6. példa

Adott egy hatalmi kifejezés a 1, 5 - a 0, 5 - 6, írjon be egy új változót t = a 0,5.

Megoldás

Képzeljük el a fokozatot egy 1, 5 Hogyan a 0,5 3. A fokok tulajdonságainak használata a fokokra (a r) s = a r · s jobbról balra, és megkapjuk (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Könnyedén bevezethet egy új változót a kapott kifejezésbe t = a 0,5: kapunk t 3 − t − 6.

Válasz: t 3 − t − 6 .

Hatványokat tartalmazó törtek konvertálása

Általában a törteket tartalmazó hatványkifejezések két változatával foglalkozunk: a kifejezés hatványos törtet reprezentál, vagy ilyen törtet tartalmaz. A törtek minden alapvető transzformációja korlátozás nélkül alkalmazható az ilyen kifejezésekre. Csökkenthetők, új nevezőre hozhatók, vagy külön dolgozhatók fel a számlálóval és a nevezővel. Illusztráljuk ezt példákkal.

7. példa

Egyszerűsítse a 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 hatványkifejezést.

Megoldás

Törttel van dolgunk, ezért a számlálóban és a nevezőben is transzformációkat hajtunk végre:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Tegyen egy mínusz jelet a tört elé a nevező előjelének megváltoztatásához: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Válasz: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

A hatványokat tartalmazó törtek ugyanúgy új nevezőre redukálódnak, mint racionális törtek. Ehhez meg kell találni egy további tényezőt, és meg kell szorozni vele a tört számlálóját és nevezőjét. Ki kell választani egy további tényezőt oly módon, hogy az eredeti kifejezés ODZ-változói közül egyetlen változó értékénél ne menjen nullára.

8. példa

Csökkentse a törteket új nevezőre: a) a + 1 a 0, 7 a nevezőre a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 az x + 8 · y 1 2 nevezőhöz.

Megoldás

a) Válasszunk ki egy olyan tényezőt, amellyel új nevezőre redukálhatunk. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, ezért további tényezőként vesszük a 0, 3. Az a változó megengedett értékeinek tartománya magában foglalja az összes pozitív érték halmazát valós számok. Végzettség ezen a területen a 0, 3 nem megy nullára.

Szorozzuk meg egy tört számlálóját és nevezőjét ezzel a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Figyeljünk a nevezőre:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Ezt a kifejezést szorozzuk meg x 1 3 + 2 · y 1 6-tal, megkapjuk az x 1 3 és a 2 · y 1 6 kockák összegét, azaz. x + 8 · y 1 2 . Ez az új nevezőnk, amelyre csökkentenünk kell az eredeti törtet.

Így találtuk meg az x 1 3 + 2 · y 1 6 járulékos tényezőt. A változók megengedett értékeinek tartományáról xÉs y az x 1 3 + 2 y 1 6 kifejezés nem tűnik el, ezért a tört számlálóját és nevezőjét megszorozhatjuk vele:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 év 1 6 + 4 év 1 3 = = x 1 3 + 2 év 1 6 x 1 3 + 2 év 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 év 1 6 + 4 év 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Válasz: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

9. példa

Csökkentse a törtet: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Megoldás

a) Használjuk a legnagyobb közös nevezőt (GCD), amellyel csökkenthetjük a számlálót és a nevezőt. A 30-as és 45-ös számoknál 15. Ezzel is csökkenthetjük x0,5+1és x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 -on.

Kapunk:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Itt az azonos tényezők jelenléte nem nyilvánvaló. Néhány átalakítást végre kell hajtania, hogy ugyanazokat a tényezőket kapja a számlálóban és a nevezőben. Ehhez kibővítjük a nevezőt a négyzetek különbségi képletével:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Válasz: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

A törtekkel végzett alapvető műveletek közé tartozik a törtek átalakítása új nevezőre és a törtek csökkentése. Mindkét műveletet számos szabály betartásával hajtják végre. Törtek összeadásakor és kivonásakor a törtek először a következőre redukálódnak közös nevező, amely után a műveleteket (összeadás vagy kivonás) hajtják végre a számlálókkal. A nevező ugyanaz marad. Műveleteink eredménye egy új tört, melynek számlálója a számlálók szorzata, nevezője pedig a nevezők szorzata.

10. példa

Végezze el a következő lépéseket: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Megoldás

Kezdjük azzal, hogy kivonjuk a zárójelben lévő törteket. Hozzuk őket közös nevezőre:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Vonjuk ki a számlálókat:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Most megszorozzuk a törteket:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Csökkentsük egy hatványral x 1 2, 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 -et kapunk.

Ezenkívül egyszerűsítheti a hatványkifejezést a nevezőben a négyzetek különbségi képletével: négyzetek: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Válasz: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

11. példa

Egyszerűsítse a hatványtörvény kifejezést x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Megoldás

Ezzel csökkenthetjük a törtet (x 2, 7 + 1) 2. Az x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 törtet kapjuk.

Folytassuk az x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 hatványainak transzformációját. Most már használhatja az osztóhatványok tulajdonságát ugyanazokkal az alapokkal: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Az utolsó szorzatról az x 1 3 8 x 2, 7 + 1 törtre lépünk.

Válasz: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

A legtöbb esetben kényelmesebb a negatív kitevővel rendelkező tényezők átvitele a számlálóból a nevezőbe és vissza, megváltoztatva a kitevő előjelét. Ez a művelet lehetővé teszi a további döntés egyszerűsítését. Mondjunk egy példát: az (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 hatványkifejezés helyettesíthető x 3 · (x + 1) 0, 2-vel.

Kifejezések konvertálása gyökökkel és hatványokkal

A feladatokban vannak olyan hatványkifejezések, amelyek nemcsak törtkitevőjű hatványokat tartalmaznak, hanem gyököket is. Célszerű az ilyen kifejezéseket csak gyökerekre vagy csak hatványokra redukálni. Érdemes diplomát szerezni, mivel könnyebb velük dolgozni. Ez az átmenet különösen előnyös, ha az eredeti kifejezés változóinak ODZ-je lehetővé teszi a gyökök hatványokkal való helyettesítését anélkül, hogy hozzá kellene férnie a modulushoz, vagy fel kellene osztania az ODZ-t több intervallumra.

12. példa

Fejezd ki az x 1 9 · x · x 3 6 kifejezést hatványként.

Megoldás

Megengedett változó értékek tartománya x két egyenlőtlenség határozza meg x ≥ 0és x x 3 ≥ 0, amelyek meghatározzák a halmazt [ 0 , + ∞) .

Ezen a halmazon jogunk van a gyökerektől a hatalmak felé haladni:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

A hatványok tulajdonságait felhasználva leegyszerűsítjük a kapott hatványkifejezést.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Válasz: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Hatványok átalakítása változókkal a kitevőben

Ezeket a transzformációkat meglehetősen könnyű elvégezni, ha helyesen használjuk a fokozat tulajdonságait. Például, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Helyettesíthetjük hatványok szorzatával, amelyek kitevői valamilyen változó és egy szám összege. A bal oldalon ezt a kifejezés bal oldalának első és utolsó tagjával lehet megtenni:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.

Most osszuk el az egyenlőség mindkét oldalát 7 2 x. Ez a kifejezés az x változóra csak pozitív értékeket vesz fel:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Hatványokkal csökkentsük a törteket, így kapjuk: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Végül az azonos kitevőjű hatványok arányát az arányok hatványaira cseréljük, így az 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 egyenletet kapjuk, amely 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x egyenletet kap. - 2 = 0.

Vezessünk be egy új t = 5 7 x változót, amely az eredeti exponenciális egyenlet megoldását a megoldásra redukálja másodfokú egyenlet 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Kifejezések konvertálása hatványokkal és logaritmusokkal

Hatványokat és logaritmusokat tartalmazó kifejezések is megtalálhatók a feladatokban. Példa az ilyen kifejezésekre: 1 4 1 - 5 · log 2 3 vagy log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Az ilyen kifejezések transzformációja a logaritmusok fentebb tárgyalt megközelítési módjaival és tulajdonságaival történik, amelyeket részletesen a „Logaritmikus kifejezések transzformációja” témakörben tárgyaltunk.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Bármely nyelv kifejezheti ugyanazt az információt különböző szavakkalés forradalmak. A matematikai nyelv sem kivétel. De ugyanaz a kifejezés ekvivalens módon különböző módon írható. És bizonyos helyzetekben az egyik bejegyzés egyszerűbb. Ebben a leckében a kifejezések egyszerűsítéséről fogunk beszélni.

Az emberek tovább kommunikálnak különböző nyelvek. Számunkra fontos összehasonlítás az „orosz nyelv - matematikai nyelv” pár. Ugyanaz az információ különböző nyelveken is közölhető. De ezen kívül egy nyelven többféleképpen is kiejthető.

Például: „Petya barátok Vasjával”, „Vasya barátok Petyával”, „Petya és Vasya barátok”. Másképp mondtam, de ugyanaz. E kifejezések bármelyikéből megértenénk, miről beszélünk.

Nézzük ezt a mondatot: "A fiú Petya és a fiú Vasya barátok." Értjük, mire gondolunk arról beszélünk. Nekünk azonban nem tetszik ennek a kifejezésnek a hangzása. Nem lehetne egyszerűsíteni, ugyanazt mondani, de egyszerűbben? "Fiú és fiú" - mondhatod egyszer: "Petya és Vasya fiúk barátok."

„Fiúk”... Nem derül ki a nevükből, hogy nem lányok? Eltávolítjuk a „fiúkat”: „Petya és Vasya barátok.” És a „barátok” szó helyettesíthető „barátokkal”: „Petya és Vasya barátok”. Ennek eredményeként az első, hosszú, csúnya kifejezést egy ekvivalens, könnyebben kimondható és könnyebben érthető kijelentésre cserélték. Leegyszerűsítettük ezt a kifejezést. Leegyszerűsíteni azt jelenti, hogy egyszerűbben mondjuk, de nem veszítjük el vagy torzítjuk el a jelentést.

A matematikai nyelvben nagyjából ugyanez történik. Egy és ugyanazt lehet mondani, másképp leírva. Mit jelent egy kifejezés egyszerűsítése? Ez azt jelenti, hogy az eredeti kifejezéshez sok ekvivalens kifejezés létezik, vagyis olyan, amely ugyanazt jelenti. És ebből a sokféleségből ki kell választanunk a véleményünk szerint legegyszerűbbet vagy a további céljainknak leginkább megfelelőt.

Vegyük például a numerikus kifejezést. Ezzel egyenértékű lesz.

Ez is egyenértékű lesz az első kettővel: .

Kiderült, hogy egyszerűsítettük a kifejezéseinket, és megtaláltuk a legrövidebb megfelelő kifejezést.

A numerikus kifejezésekhez mindig mindent meg kell tennie, és az ekvivalens kifejezést egyetlen számként kell megkapnia.

Nézzünk egy példát a szó szerinti kifejezésre . Nyilvánvalóan egyszerűbb lesz.

A szó szerinti kifejezések egyszerűsítésekor minden lehetséges műveletet végre kell hajtani.

Mindig szükséges egy kifejezést egyszerűsíteni? Nem, néha kényelmesebb lesz számunkra egy egyenértékű, de hosszabb bejegyzés.

Példa: ki kell vonni egy számot egy számból.

Lehet számolni, de ha az első számot a megfelelő jelöléssel ábrázolnánk: , akkor a számítások azonnaliak lennének: .

Vagyis az egyszerűsített kifejezés nem mindig előnyös számunkra a további számításokhoz.

Ennek ellenére nagyon gyakran szembesülünk olyan feladattal, amely csak úgy hangzik, hogy „leegyszerűsítsd a kifejezést”.

Egyszerűsítse a kifejezést: .

Megoldás

1) Hajtsa végre az első és a második zárójelben szereplő műveleteket: .

2) Számítsuk ki a termékeket: .

Nyilvánvaló, hogy az utolsó kifejezésnek egyszerűbb a formája, mint a kezdetinek. Leegyszerűsítettük.

A kifejezés egyszerűsítése érdekében egy ekvivalensre (egyenlőre) kell helyettesíteni.

Az ekvivalens kifejezés meghatározásához a következőkre van szüksége:

1) végrehajtani minden lehetséges műveletet,

2) használja az összeadás, kivonás, szorzás és osztás tulajdonságait a számítások egyszerűsítésére.

Összeadás és kivonás tulajdonságai:

1. Összeadás kommutatív tulajdonsága: a kifejezések átrendezése nem változtat az összegen.

2. Összeadás kombinációs tulajdonsága: ahhoz, hogy két szám összegéhez egy harmadik számot adjunk, az első számhoz hozzáadhatjuk a második és harmadik szám összegét.

3. A számból összeg kivonásának tulajdonsága: ha egy számból összeget szeretne kivonni, minden tagot külön-külön levonhat.

A szorzás és osztás tulajdonságai

1. A szorzás kommutatív tulajdonsága: a tényezők átrendezése nem változtatja meg a szorzatot.

2. Kombinatív tulajdonság: ha egy számot meg kell szorozni két szám szorzatával, először megszorozhatja az első tényezővel, majd a kapott szorzatot a második tényezővel.

3. A szorzás elosztó tulajdonsága: egy szám összeggel való szorzásához minden taggal külön-külön meg kell szorozni.

Lássuk, hogyan végezzük a fejben történő számításokat.

Kiszámítja:

Megoldás

1) Képzeljük el, hogyan

2) Képzeljük el az első tényezőt bittagok összegeként, és végezzük el a szorzást:

3) elképzelheti, hogyan és végezze el a szorzást:

4) Cserélje ki az első tényezőt egy ekvivalens összeggel:

Az elosztási törvény is használható hátoldal: .

Kovesd ezeket a lepeseket:

1) 2)

Megoldás

1) A kényelem kedvéért használhatja az elosztási törvényt, de fordítva is - vegye ki a közös tényezőt a zárójelekből.

2) Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelből

Linóleumot kell vásárolni a konyhába és a folyosóra. Konyharész - , előszoba - . Háromféle linóleum létezik: for, és rubel for. Mennyibe kerül a három linóleumtípus mindegyike? (1. ábra)

Rizs. 1. A problémafelvetés illusztrációja

Megoldás

1. módszer. Külön megtudhatja, hogy mennyi pénzbe kerül a konyhai linóleum vásárlása, majd tegye a folyosóra, és összeadja a kapott termékeket.

A hatvány arra szolgál, hogy leegyszerűsítse a szám önmagával való szorzását. Például írás helyett írhatsz 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Ennek az átmenetnek a magyarázata a cikk első részében található). A fokozatok megkönnyítik a hosszú írást ill összetett kifejezések vagy egyenletek; a hatványokat is könnyű összeadni és kivonni, ami egyszerűsített kifejezést vagy egyenletet eredményez (pl. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Jegyzet: ha döntenie kell exponenciális egyenlet(egy ilyen egyenletben az ismeretlen a kitevőben van), olvassa el.

Lépések

Egyszerű feladatok megoldása diplomákkal

Szorozzuk meg a hatvány alapját önmagával a számokkal egyenlő az indikátorral fokon. Ha egy hatványfeladatot kézzel kell megoldani, írjuk át a hatványt szorzási műveletként, ahol a hatvány alapja megszorozódik önmagával. Például adott egy diploma 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Ebben az esetben a 3. hatvány alapját meg kell szorozni önmagával 4-szer: 3 * 3 * 3 * 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Íme további példák:

Először szorozza meg az első két számot. Például, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne aggódjon – a számítási folyamat nem olyan bonyolult, mint amilyennek első pillantásra tűnik. Először szorozza meg az első két négyest, majd cserélje ki az eredménnyel. Mint ez:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Szorozzuk meg az eredményt (példánkban 16) a következő számmal. Minden további eredmény arányosan növekszik. Példánkban szorozzuk meg 16-ot 4-gyel. Így:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5) = 16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5) = 64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Folytassa az első két szám eredményének szorzását a következő számmal, amíg meg nem kapja a végső választ. Ehhez szorozza meg az első két számot, majd a kapott eredményt szorozza meg a sorozat következő számával. Ez a módszer minden fokozatra érvényes. Példánkban a következőket kell kapnia: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Oldja meg a következő problémákat. Ellenőrizze a választ egy számológép segítségével.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. A számológépén keresse meg az "exp" vagy "" feliratú kulcsot x n (\displaystyle x^(n))", vagy "^". Ezzel a gombbal egy számot hatványra emelhet. Szinte lehetetlen egy fokot manuálisan kiszámítani egy nagy indikátorral (például a fok 9 15 (\displaystyle 9^(15))), de a számológép könnyen megbirkózik ezzel a feladattal. Windows 7 rendszerben a standard számológép mérnöki módba kapcsolható; Ehhez kattintson a „View” -> „Engineering” menüpontra. A normál módba való váltáshoz kattintson a „Nézet” -> „Normál” gombra.

   • Ellenőrizze a választ a segítségével keresőmotor(Google vagy Yandex). A számítógép billentyűzetén található "^" billentyűvel írja be a kifejezést a keresőmotorba, amely azonnal megjeleníti a helyes választ (és esetleg hasonló kifejezéseket javasol tanulmányozására).

   Hatványok összeadása, kivonása, szorzása

   1. Csak akkor lehet fokokat összeadni és kivonni, ha azok alapjai megegyeznek. Ha azonos bázisokkal és kitevőkkel kell hatványokat hozzáadnia, akkor az összeadási műveletet helyettesítheti a szorzási művelettel. Például adott a kifejezés 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ne feledje, hogy a diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) formában ábrázolható 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); És így, 4 5 + 4 5 = 1 * 4 5 + 1 * 4 5 = 2 * 4 5 (\megjelenítési stílus 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(ahol 1 +1 =2). Vagyis számolja meg a hasonló fokok számát, majd szorozza meg ezt a fokot ezzel a számmal. Példánkban emelje fel a 4-et az ötödik hatványra, majd a kapott eredményt szorozza meg 2-vel. Ne feledje, hogy az összeadási művelet helyettesíthető a szorzási művelettel, pl. 3 + 3 = 2 * 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Íme további példák:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Ha a hatványokat ugyanazzal a bázissal szorozzuk, akkor azok kitevői összeadódnak (az alap nem változik). Például adott a kifejezés x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Ebben az esetben csak hozzá kell adnia a mutatókat, az alapot változatlanul hagyva. És így, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Íme a szabály vizuális magyarázata:

      Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevők megszorozódnak. Például diplomát adnak. Mivel a kitevőket megszorozzuk, akkor (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Ennek a szabálynak az a lényege, hogy hatványokkal szorozzuk (x 2) (\displaystyle (x^(2)))ötször önmagára. Mint ez:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\megjelenítési stílus (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Mivel az alap ugyanaz, a kitevők egyszerűen összeadódnak: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 x 2 = x 10 (\megjelenítési stílus (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. A negatív kitevővel rendelkező hatványt törtté kell konvertálni (fordított hatvány). Nem baj, ha nem tudod, mi az a kölcsönös végzettség. Ha negatív kitevőjű végzettséget adnak, pl. 3–2 (\displaystyle 3^(-2)), írja be ezt a fokot a tört nevezőjébe (a számlálóba tegyen 1-et), és tegye pozitívvá a kitevőt. Példánkban: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Íme további példák:

      Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk fel, akkor kitevőjüket levonjuk (az alap nem változik). Az osztási művelet a szorzási művelet ellentéte. Például adott a kifejezés 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))). Vonjuk ki a nevezőben lévő kitevőt a számlálóban lévő kitevőből (a bázist ne változtassuk meg). És így, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • A nevezőben lévő hatvány a következőképpen írható fel: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4–2 (\displaystyle 4^(-2)). Ne feledje, hogy a tört egy szám (hatvány, kifejezés), negatív kitevővel.

   4. Az alábbiakban felsorolunk néhány kifejezést, amelyek segítenek megtanulni a kitevőkkel kapcsolatos problémák megoldását. A megadott kifejezések lefedik az ebben a részben bemutatott anyagot. A válasz megtekintéséhez csak jelölje ki üres tér az egyenlőségjel után.

      Feladatok megoldása törtkitevőkkel

      1. A tört kitevővel rendelkező hatvány (például ) gyökérműveletté alakul. Példánkban: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Itt nem mindegy, hogy milyen szám szerepel a törtkitevő nevezőjében. Például, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- az „x” negyedik gyöke, azaz x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Ha a kitevő az helytelen tört, akkor egy ilyen fok két fokra bontható a feladat megoldásának egyszerűsítése érdekében. Nincs ebben semmi bonyolult – csak emlékezzünk a hatalomszorzás szabályára. Például diplomát adnak. Alakítsunk át egy ilyen hatványt gyökké, amelynek hatványa megegyezik a tört kitevő nevezőjével, majd emelje ezt a gyöket a tört kitevő számlálójával egyenlő hatványra. Ehhez ne feledje 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Példánkban:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Egyes számológépeken van egy gomb a kitevők kiszámításához (először meg kell adni az alapot, majd meg kell nyomni a gombot, majd a kitevőt). Jelölése ^ vagy x^y.
      4. Ne feledje, hogy az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával, például 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Sőt, bármely szám eggyel szorozva vagy elosztva egyenlő önmagával, pl. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)És 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Tudd, hogy a 0 0 hatvány nem létezik (egy ilyen hatványnak nincs megoldása). Ha számológépen vagy számítógépen próbál megoldani egy ilyen fokozatot, akkor hibaüzenetet kap. De ne feledje, hogy a nulla hatványhoz tartozó bármely szám 1, például 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. BAN BEN felsőbb matematika, amely képzeletbeli számokkal operál: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Ahol i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e konstans körülbelül 2,7; a tetszőleges állandó. Ennek az egyenlőségnek a bizonyítéka bármely felsőbb matematika tankönyvben megtalálható.

      Figyelmeztetések

      • A kitevő növekedésével az értéke nagymértékben növekszik. Tehát ha a válasz rossznak tűnik, akkor valójában helyes lehet. Ezt bármelyik ábrázolással ellenőrizheti exponenciális függvény pl 2x.

1. § A szó szerinti kifejezés egyszerűsítésének fogalma

Ebben a leckében megismerkedünk a „hasonló kifejezések” fogalmával, és példákon keresztül megtanuljuk, hogyan végezzük el a hasonló kifejezések redukcióját, ezzel egyszerűsítve a szó szerinti kifejezéseket.

Nézzük meg az „egyszerűsítés” fogalmát. Az „egyszerűsítés” szó az „egyszerűsítés” szóból származik. Egyszerűsíteni annyit jelent, mint egyszerűbbé, egyszerűbbé tenni. Ezért a szó szerinti kifejezés leegyszerűsítése annyit tesz, mint rövidebbé tenni minimális mennyiség akciókat.

Tekintsük a 9x + 4x kifejezést. Ez egy szó szerinti kifejezés, amely összeg. A kifejezések itt egy szám és egy betű szorzataként jelennek meg. Az ilyen kifejezések numerikus tényezőjét együtthatónak nevezzük. Ebben a kifejezésben az együtthatók a 9-es és a 4-es számok. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a betű által képviselt tényező ennek az összegnek mindkét értelemben ugyanaz.

Emlékezzünk vissza a szorzás eloszlási törvényére:

Ha egy összeget meg szeretne szorozni egy számmal, minden tagot megszorozhat ezzel a számmal, és összeadhatja a kapott szorzatokat.

BAN BEN Általános nézet a következőképpen írva: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Ez a törvény mindkét irányban igaz ac + bc = (a + b) ∙ c

Alkalmazzuk szó szerinti kifejezésünkre: 9x és 4x szorzatának összege egyenlő azzal a szorzattal, amelynek első tényezője egyenlő az összeggel 9 és 4, a második tényező x.

9 + 4 = 13, ez 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

A kifejezésben szereplő három művelet helyett csak egy művelet maradt - a szorzás. Ez azt jelenti, hogy a szó szerinti kifejezésünket egyszerűbbé tettük, azaz. leegyszerűsítette.

2. § Hasonló feltételek csökkentése

A 9x és 4x kifejezések csak az együtthatójukban különböznek – az ilyen kifejezéseket hasonlónak nevezik. A hasonló kifejezések betűrésze ugyanaz. A hasonló kifejezések közé tartoznak a számok és az egyenlő kifejezések is.

Például a 9a + 12 - 15 kifejezésben hasonló tagok lesznek a 12 és -15 számok, a 12 és 6a szorzatának összegében pedig a 14 szám, valamint a 12 és 6a szorzata (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) a 12 és 6a szorzata által képviselt egyenlő tagok.

Fontos megjegyezni, hogy azok a tagok, amelyek együtthatói egyenlőek, de betűtényezői eltérőek, nem hasonlóak, bár néha célszerű alkalmazni rájuk a szorzás eloszlási törvényét, például az 5x és 5y szorzat összege egyenlő az 5 szám és x és y összegének szorzatával

5x + 5y = 5(x + y).

Egyszerűsítsük a -9a + 15a - 4 + 10 kifejezést.

Hasonló kifejezések ebben az esetben a -9a és 15a kifejezések, mivel csak az együtthatójukban különböznek. A betűszorzójuk megegyezik, a -4 és 10 kifejezések is hasonlóak, hiszen számokról van szó. Adjon hozzá hasonló kifejezéseket:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

A következőt kapjuk: 6a + 6.

A kifejezés leegyszerűsítésével hasonló tagok összegét találtuk, ezt a matematikában hasonló tagok redukciójának nevezik.

Ha az ilyen kifejezések hozzáadása nehéz, akkor szavakat találhat ki hozzájuk, és objektumokat adhat hozzá.

Vegyük például a következő kifejezést:

Minden betűhöz vesszük a saját tárgyunkat: b-alma, c-körte, majd kapjuk: 2 alma mínusz 5 körte plusz 8 körte.

Kivonhatjuk a körtét az almából? Természetesen nem. De mínusz 5 körtéhez hozzáadhatunk 8 körtét.

Mutassunk be hasonló kifejezéseket -5 körte + 8 körte. A hasonló kifejezéseknek ugyanaz a betűrésze van, így hasonló kifejezések hozásakor elegendő az együtthatókat hozzáadni és a betűrészt hozzáadni az eredményhez:

(-5 + 8) körte - 3 körtét kapsz.

Visszatérve szó szerinti kifejezésünkre: -5 s + 8 s = 3 s. Így hasonló kifejezések hozása után a 2b + 3c kifejezést kapjuk.

Tehát ebben a leckében megismerkedtél a „hasonló kifejezések” fogalmával, és megtanultad, hogyan egyszerűsítsd le a betűkifejezéseket a hasonló kifejezések csökkentésével.

A felhasznált irodalom listája:

1. Matematika. 6. osztály: óratervek a tankönyvhöz I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // szerző-összeállító L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv tanulóknak oktatási intézmények. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára/G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov és mások/szerkesztette: G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Orosz Tudományos Akadémia, Orosz Oktatási Akadémia. M.: „Felvilágosodás”, 2010.
4. Matematika. 6. évfolyam: tanulmány általános oktatási intézmények számára/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
5. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Túzok, 2014.

Felhasznált képek:

Fontos jegyzetek!
1. Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt megtenni a böngészőben:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen leginkább navigátorunkra hasznos forrás Mert

Gyakran halljuk ezt a kellemetlen mondatot: "egyszerűsítsd a kifejezést."Általában egy ilyen szörnyet látunk:

„Sokkal egyszerűbb” – mondjuk, de egy ilyen válasz általában nem működik.

Most megtanítalak arra, hogy ne félj semmiféle ilyen feladattól.

Sőt, a lecke végén te magad is leegyszerűsíted ezt a példát (csak!) egy közönséges számra (igen, a pokolba ezekkel a betűkkel).

De mielőtt elkezdené ezt a tevékenységet, képesnek kell lennie rá kezelni a törteketÉs faktorpolinomok.

Ezért, ha még nem tette meg ezt, feltétlenül sajátítsa el a „” és a „” témakört.

Olvastad? Ha igen, akkor most készen áll.

Gyerünk! (Menjünk!)

Alapvető kifejezés-egyszerűsítési műveletek

Most nézzük meg a kifejezések egyszerűsítésére használt alapvető technikákat.

A legegyszerűbb az

1. Hasonló hozás

Mik a hasonlók? Ezt 7. osztályban vetted, amikor a számok helyett betűk jelentek meg először a matematikában.

Hasonló- ezek azonos betűrésszel rendelkező kifejezések (monomiálisok).

Például az összegben hasonló kifejezések és.

Emlékszel?

Adj hasonlót- azt jelenti, hogy több hasonló kifejezést adunk egymáshoz, és kapunk egy kifejezést.

Hogyan rakjuk össze a betűket? - kérdezed.

Ezt nagyon könnyű megérteni, ha azt képzeli, hogy a betűk valamiféle tárgyak.

Például egy levél egy szék. Akkor mivel egyenlő a kifejezés?

Két szék plusz három szék, hány lesz? Így van, székek: .

Most próbálja ki ezt a kifejezést: .

A félreértések elkerülése végett hagyjuk különböző betűk különböző objektumokat ábrázolnak.

Például a - (szokás szerint) egy szék, és - egy asztal.

székek asztalok szék asztalok székek székek asztalok

Azokat a számokat, amelyekkel az ilyen kifejezésekben szereplő betűket megszorozzuk, hívjuk együtthatók.

Például egy monomban az együttható egyenlő. És benne egyenlő.

Tehát a hasonlók behozatalának szabálya a következő:

Példák:

Adj hasonlókat:

Válaszok:

2. (és hasonló, mivel ezért ezeknek a kifejezéseknek ugyanaz a betűrésze).

2. Faktorizáció

Ez általában a kifejezések egyszerűsítésének legfontosabb része.

Miután megadta a hasonlókat, leggyakrabban az eredményül kapott kifejezésre van szükség tényezőkre bont, azaz termék formájában bemutatva.

Főleg ezt fontos törtszámban: végül is a tört csökkentése érdekében A számlálót és a nevezőt szorzatként kell ábrázolni.

A kifejezések faktorálásának módszereit részletesen végigjárta a „” témakörben, így itt csak emlékeznie kell arra, amit tanult.

Ehhez oldjon meg több példát (tényezősre kell őket)

Példák:

Megoldások:

3. Töredék csökkentése.

Nos, mi lehet kellemesebb, mint a számláló és a nevező egy részét áthúzni, és kidobni az életedből?

Ez a leépítés szépsége.

Ez egyszerű:

Ha a számláló és a nevező ugyanazokat a tényezőket tartalmazza, akkor redukálható, azaz eltávolítható a törtből.

Ez a szabály a tört alapvető tulajdonságából következik:

Vagyis a redukciós művelet lényege az A tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk ugyanazzal a számmal (vagy ugyanazzal a kifejezéssel).

A töredék csökkentéséhez a következőkre van szüksége:

1) számláló és nevező tényezőkre bont

2) ha a számláló és a nevező tartalmazza közös tényezők, áthúzhatók.

Példák:

Az elv, azt hiszem, egyértelmű?

Egy dologra szeretném felhívni a figyelmet tipikus hiba szerződéskötéskor. Bár ez a téma egyszerű, sokan mindent rosszul csinálnak, ezt nem értik csökkenteni- ez azt jelenti, hogy feloszt a számláló és a nevező ugyanaz a szám.

Nincsenek rövidítések, ha a számláló vagy a nevező összeg.

Például: egyszerűsítenünk kell.

Vannak, akik ezt teszik: ami teljesen helytelen.

Egy másik példa: csökkenteni.

A "legokosabb" ezt fogja tenni:

Mondd, mi a baj itt? Úgy tűnik: - ez egy szorzó, ami azt jelenti, hogy csökkenthető.

De nem: - ez csak egy tag tényezője a számlálóban, de maga a számláló egésze nincs faktorizálva.

Íme egy másik példa: .

Ez a kifejezés faktorizált, ami azt jelenti, hogy csökkentheti, azaz eloszthatja a számlálót és a nevezőt ezzel, majd a következővel:

Azonnal feloszthatja:

Az ilyen hibák elkerülése érdekében ne feledje egyszerű módja hogyan állapítható meg, hogy egy kifejezés faktorizált-e:

A kifejezés értékének kiszámításakor az utolsóként végrehajtott aritmetikai művelet a „fő” művelet.

Vagyis ha betűk helyett behelyettesítünk néhány (bármilyen) számot, és megpróbáljuk kiszámítani a kifejezés értékét, akkor ha az utolsó művelet a szorzás, akkor szorzatunk van (a kifejezés faktorizált).

Ha az utolsó művelet összeadás vagy kivonás, ez azt jelenti, hogy a kifejezés nincs faktorizálva (és ezért nem csökkenthető).

Ennek megerősítésére oldjon meg néhány példát saját maga:

Példák:

Megoldások:

4. Törtek összeadása és kivonása. Törtek redukálása közös nevezőre.

A közönséges törtek összeadása és kivonása ismert művelet: keresünk egy közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel és összeadjuk/kivonjuk a számlálókat.

Emlékezzünk:

Válaszok:

1. A és nevezők viszonylag prímszámúak, vagyis nincs közös tényezőjük. Ezért ezeknek a számoknak az LCM-je megegyezik a szorzatukkal. Ez lesz a közös nevező:

2. Itt a közös nevező:

3. Itt először a kevert frakciókat alakítjuk át nem megfelelővé, majd a szokásos séma szerint:

Teljesen más a helyzet, ha a törtek betűket tartalmaznak, pl.

Kezdjük valami egyszerűvel:

a) A nevezők nem tartalmaznak betűket

Itt minden ugyanaz, mint a közönséges numerikus törteknél: megtaláljuk a közös nevezőt, minden törtet megszorozunk a hiányzó tényezővel, és összeadjuk/kivonjuk a számlálókat:

Most a számlálóban megadhat hasonlókat, ha vannak, és faktorálhatja őket:

Próbáld ki magad:

Válaszok:

b) A nevezők betűket tartalmaznak

Emlékezzünk a betűk nélküli közös nevező megtalálásának elvére:

· mindenekelőtt meghatározzuk a közös tényezőket;

· majd egyenként írjuk ki az összes gyakori tényezőt;

· és szorozza meg ezeket az összes többi nem gyakori tényezővel.

A nevezők közös tényezőinek meghatározásához először prímtényezőkbe soroljuk őket:

Hangsúlyozzuk a közös tényezőket:

Most egyenként írjuk ki a gyakori tényezőket, és adjuk hozzá az összes nem gyakori (nem aláhúzott) tényezőt:

Ez a közös nevező.

Térjünk vissza a levelekhez. A nevezők pontosan ugyanúgy vannak megadva:

· tényező a nevezők;

· közös (azonos) tényezők meghatározása;

· írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt;

· szorozza meg ezeket az összes többi nem gyakori tényezővel.

Tehát sorrendben:

1) faktorozza a nevezőket:

2) határozza meg a közös (azonos) tényezőket:

3) írja ki egyszer az összes gyakori tényezőt, és szorozza meg őket az összes többi (nem aláhúzott) tényezővel:

Tehát van itt egy közös nevező. Az első törtet meg kell szorozni a másodikkal:

Egyébként van egy trükk:

Például: .

Ugyanazokat a tényezőket látjuk a nevezőkben, csak mindegyik más mutatókkal. A közös nevező a következő lesz:

bizonyos mértékig

bizonyos mértékig

bizonyos mértékig

bizonyos mértékig.

Bonyolítsuk a feladatot:

Hogyan készítsünk törteket azonos nevezővel?

Emlékezzünk a tört alapvető tulajdonságára:

Sehol nem szerepel, hogy ugyanaz a szám kivonható (vagy összeadható) a tört számlálójából és nevezőjéből. Mert nem igaz!

Győződjön meg saját szemével: vegyen például bármilyen törtet, és adjon hozzá néhány számot a számlálóhoz és a nevezőhöz, például . Mit tanultál?

Tehát még egy megingathatatlan szabály:

Ha törteket közös nevezőre redukál, csak a szorzási műveletet használja!

De mivel kell szorozni, hogy megkapjuk?

Szóval szorozd meg vele. És szorozzuk meg:

A nem faktorizálható kifejezéseket elemi tényezőknek nevezzük.

Például - ez egy elemi tényező. - Azonos. De nem: faktorizálható.

Mi a helyzet a kifejezéssel? Ez elemi?

Nem, mert faktorizálható:

(A faktorizációról már olvasott a "" témában).

Tehát azok az elemi tényezők, amelyekre egy kifejezést betűkkel bont, analógjai azoknak az egyszerű tényezőknek, amelyekre a számokat bontja. És ugyanúgy fogunk bánni velük.

Látjuk, hogy mindkét nevezőnek van szorzója. A fokig a közös nevezőre fog menni (emlékszel, miért?).

A tényező elemi, és nincs közös tényezőjük, ami azt jelenti, hogy az első törtet egyszerűen meg kell szorozni vele:

Egy másik példa:

Megoldás:

Mielőtt pánikszerűen megszorozná ezeket a nevezőket, el kell gondolkodnia azon, hogyan számolja be őket? Mindketten képviselik:

Nagy! Akkor:

Egy másik példa:

Megoldás:

Szokás szerint tizedeljük a nevezőket. Az első nevezőben egyszerűen zárójelbe tesszük; a másodikban - a négyzetek különbsége:

Úgy tűnik, hogy nincsenek közös tényezők. De ha jobban megnézed, hasonlóak... És ez igaz:

Tehát írjuk:

Vagyis így alakult: a zárójelben felcseréltük a kifejezéseket, és ezzel párhuzamosan a tört előtti jel az ellenkezőjére változott. Vegye figyelembe, hogy ezt gyakran meg kell tennie.

Most hozzuk egy közös nevezőre:

Megvan? Most nézzük meg.

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Válaszok:

5. Törtek szorzása és osztása.

Nos, a legnehezebb része már elmúlt. És előttünk áll a legegyszerűbb, de ugyanakkor a legfontosabb:

Eljárás

Mi a számolás menete? numerikus kifejezés? Emlékezzen a kifejezés jelentésének kiszámításával:

számoltál?

Működnie kell.

Szóval hadd emlékeztesselek.

Az első lépés a fokozat kiszámítása.

A második a szorzás és az osztás. Ha egyszerre több szorzás és osztás is történik, tetszőleges sorrendben elvégezhető.

Végül végezzük az összeadást és a kivonást. Még egyszer, bármilyen sorrendben.

De: a zárójelben lévő kifejezés soron kívül kiértékelésre kerül!

Ha több zárójelet szorozunk vagy osztunk egymással, akkor először mindegyik zárójelben kiszámítjuk a kifejezést, majd szorozzuk vagy osztjuk őket.

Mi van, ha több zárójel van a zárójelben? Nos, gondoljuk át: a zárójelek közé valamilyen kifejezés van írva. Egy kifejezés kiszámításakor mit kell tennie először? Így van, számold ki a zárójeleket. Nos, kitaláltuk: először a belső zárójeleket számoljuk ki, aztán minden mást.

Tehát a fenti kifejezés eljárása a következő (az aktuális művelet pirossal van kiemelve, vagyis az a művelet, amelyet éppen végrehajtok):

Oké, minden egyszerű.

De ez nem ugyanaz, mint a betűs kifejezés?

Nem, ez ugyanaz! Csak ahelyett aritmetikai műveletek algebrai, azaz az előző részben leírt műveleteket kell végrehajtania: hasonlót hozva, frakciók hozzáadása, frakciók csökkentése stb. Az egyetlen különbség a polinomok faktorálása lesz (gyakran használjuk ezt, amikor törtekkel dolgozunk). A faktorizáláshoz leggyakrabban az I-t kell használnia, vagy egyszerűen csak zárójelbe kell tennie a közös tényezőt.

Általában az a célunk, hogy a kifejezést szorzatként vagy hányadosként ábrázoljuk.

Például:

Egyszerűsítsük a kifejezést.

1) Először is egyszerűsítjük a zárójelben lévő kifejezést. Ott törtek különbség van, és az a célunk, hogy ezt szorzatként vagy hányadosként mutassuk be. Tehát a törteket közös nevezőre hozzuk, és hozzáadjuk:

Ezt a kifejezést nem lehet tovább leegyszerűsíteni, itt minden tényező elemi (emlékszel még, mit jelent ez?).

2) Ezt kapjuk:

Törtek szorzása: mi lehetne egyszerűbb.

3) Most lerövidítheti:

Rendben, most mindennek vége. Semmi bonyolult, igaz?

Egy másik példa:

Egyszerűsítse a kifejezést.

Először próbáld meg magad megoldani, és csak azután nézd meg a megoldást.

Megoldás:

Először is határozzuk meg a műveletek sorrendjét.

Először adjuk hozzá a zárójelben lévő törteket, így két tört helyett egyet kapunk.

Ezután törtosztást végzünk. Nos, adjuk hozzá az eredményt az utolsó törttel.

Sematikusan megszámozom a lépéseket:

Végül adok két hasznos tippet:

1. Ha vannak hasonlók, azonnal hozni kell. Bármikor is bukkannak fel hasonlók hazánkban, célszerű azonnal felhozni őket.

2. Ugyanez vonatkozik a frakciók redukálására is: amint megjelenik a redukció lehetősége, azt ki kell használni. Ez alól kivételt képeznek az összeadandó vagy kivont törtek: ha most ugyanazok a nevezők, akkor a csökkentést későbbre kell hagyni.

Íme néhány önálló megoldásra váró feladat:

És amit a legelején ígértek:

Válaszok:

Megoldások (röviden):

Ha legalább az első három példával megbirkózott, akkor elsajátította a témát.

Most pedig a tanuláshoz!

KIFEJEZÉSEK KONVERTÁLÁSA. ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLETEK

Alapvető egyszerűsítési műveletek:

• Hasonlót hozni: hasonló kifejezések hozzáadásához (kicsinyítéséhez) hozzá kell adni az együtthatóikat és hozzá kell rendelni a betűrészt.
• Faktorizáció: a közös tényező zárójelből való kitétele, alkalmazása stb.
• Töredék csökkentése: A tört számlálója és nevezője ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozható vagy osztható, ami nem változtat a tört értékén.
  1) számláló és nevező tényezőkre bont
  2) ha a számlálónak és a nevezőnek közös tényezői vannak, akkor ezek áthúzhatók.

  FONTOS: csak a szorzók csökkenthetők!

• Törtek összeadása és kivonása:
  ;
• Törtek szorzása és osztása:
  ;

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

Mert sikeres teljesítés Egységes államvizsga, költségvetési keretből való felvételhez, és ami a LEGFONTOSABB, élethosszig tartó felvételhez.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - Vásároljon tankönyvet - 499 RUR

Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!