Számok közös többszöröse. Online számológép GCD és LCM keresése (számítása).

De sok természetes szám osztható más természetes számokkal is.

Például:

A 12-es szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel;

A 36-os szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel, 18-mal, 36-tal.

Azokat a számokat, amelyekkel a szám osztható egy egésszel (12 esetén ezek 1, 2, 3, 4, 6 és 12) ún. számok osztói. Természetes szám osztója a- egy természetes szám, amely egy adott számot oszt a nyom nélkül. Olyan természetes számot nevezünk, amelynek kettőnél több osztója van összetett .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 12-es és 36-os számoknak közös tényezői vannak. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója a 12. A két szám közös osztója aÉs b- ez az a szám, amellyel mindkét megadott szám maradék nélkül el van osztva aÉs b.

Közös többszörösek A több szám olyan szám, amely osztható ezen számok mindegyikével. Például, a 9, 18 és 45 számok közös többszöröse 180. De 90 és 360 is a közös többszöröseik. Az összes közös többszörös között mindig van egy legkisebb, in ebben az esetben ez a 90. Ezt a számot hívják a legkisebbközös többszörös (CMM).

Az LCM mindig egy természetes szám, amelynek nagyobbnak kell lennie azon számok közül a legnagyobbnál, amelyekre meghatározva van.

Legkisebb közös többszörös (LCM). Tulajdonságok.

Kommutativitás:

Aszociativitás:

Különösen, ha a és koprímszámok, akkor:

Két egész szám legkisebb közös többszöröse mÉs n az összes többi közös többszörös osztója mÉs n. Sőt, a közös többszörösek halmaza m, n egybeesik az LCM( m, n).

Az aszimptotikája kifejezhető néhány számelméleti függvénnyel.

Így, Csebisev függvény. És:

Ez a Landau-függvény definíciójából és tulajdonságaiból következik g(n).

Ami az elosztási törvényből következik prímszámok.

A legkisebb közös többszörös megkeresése (LCM).

NEM C( a, b) többféleképpen is kiszámítható:

1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó, használhatja annak kapcsolatát az LCM-mel:

2. Legyen ismert mindkét szám kanonikus felosztása prímtényezőkre:

Ahol p 1 ,...,p k- különféle prímszámok, és d 1 ,...,d kÉs e 1 ,...,e k— nem negatív egész számok (ezek lehetnek nullák, ha a megfelelő prím nincs a bővítésben).

Aztán NOC ( a,b) a következő képlettel számítható ki:

Más szavakkal, az LCM dekompozíció tartalmazza az összes prímtényezőt, amely legalább egy számdekompozícióban szerepel. a, b, és ennek a szorzónak a két kitevője közül a legnagyobbat veszik.

Példa:

Több szám legkisebb közös többszörösének kiszámítása redukálható két szám LCM-jének több egymást követő számítására:

Szabály. Egy számsorozat LCM-jének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:

- a számokat prímtényezőkre bontani;

- a legnagyobb dekompozíciót (az adottak közül a legtöbb tényező tényezőinek szorzatát) átvisszük a kívánt szorzat faktoraiba, majd hozzáadjuk az első számban nem szereplő, vagy abban megjelenő egyéb számok felbontásából származó tényezőket kevesebb alkalommal;

— a prímtényezők eredő szorzata az adott számok LCM-je lesz.

Bármelyik kettő vagy több természetes számok saját NOC-juk van. Ha a számok nem többszörösei egymásnak, vagy nem ugyanazok a tényezők a bővítésben, akkor LCM-jük egyenlő ezen számok szorzatával.

A 28-as szám prímtényezőit (2, 2, 7) kiegészítjük a 3-as tényezővel (a 21-es számmal), így a kapott szorzat (84) lesz a legkisebb szám, ami osztható 21-gyel és 28-cal.

elsődleges tényezők több A 30-at kiegészítettük a 25-ös szám 5-ös tényezőjével, a kapott 150-es szorzat nagyobb, mint a legnagyobb 30-as szám, és maradék nélkül osztható az összes megadott számmal. Ez legkevesebb termék a lehetségesek közül (150, 250, 300...), amelynek minden megadott szám többszöröse.

A 2,3,11,37 számok prímszámok, így LCM-jük megegyezik az adott számok szorzatával.

Szabály. A prímszámok LCM-jének kiszámításához ezeket a számokat össze kell szoroznia.

Egy másik lehetőség:

Több szám legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálásához a következőkre van szüksége:

1) ábrázoljon minden számot prímtényezőinek szorzataként, például:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) írja le az összes prímtényező hatványait:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) írja fel ezeknek a számoknak az összes prímosztóját (szorzóját);

4) válassza ki mindegyik közül a legnagyobb mértéket, amely ezeknek a számoknak az összes kiterjesztésében található;

5) szorozd meg ezeket a hatványokat.

Példa. Keresse meg a 168, 180 és 3024 számok LCM-jét.

Megoldás. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kiírjuk legnagyobb fokozatok az összes főosztót és szorozzuk meg őket:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Az online számológép segítségével gyorsan megtalálhatja a legnagyobbat közös osztóés kettő vagy bármely más szám legkisebb közös többszöröse.

Számológép a GCD és az LCM megtalálásához

Keresse meg a GCD-t és a LOC-t

Talált GCD és LOC: 5806

Hogyan kell használni a számológépet

• Írja be a számokat a beviteli mezőbe
• Ha helytelen karaktereket ír be, a beviteli mező piros színnel lesz kiemelve
• kattintson a "GCD és LOC keresése" gombra

Hogyan írjunk be számokat

• A számokat szóközzel, ponttal vagy vesszővel elválasztva kell beírni
• A beírt számok hossza nincs korlátozva, így nem nehéz megtalálni a hosszú számok GCD-jét és LCM-jét

Mi az a GCD és NOC?

Legnagyobb közös osztó A több szám a legnagyobb természetes egész szám, amellyel minden eredeti szám osztható maradék nélkül. A legnagyobb közös osztó rövidítése: GCD.
Legkisebb közös többszörös A több szám az a legkisebb szám, amely maradék nélkül osztható az eredeti számokkal. A legkisebb közös többszöröst így rövidítjük NEM C.

Hogyan ellenőrizhető, hogy egy szám osztható-e egy másik számmal maradék nélkül?

Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e egy másikkal maradék nélkül, használhatja a számok oszthatóságának néhány tulajdonságát. Ezután ezek kombinálásával ellenőrizheti egyesek és kombinációik oszthatóságát.

A számok oszthatóságának néhány jele

1. Oszthatósági teszt egy szám 2-vel
Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e kettővel (páros-e), elég megnézni ennek a számnak az utolsó számjegyét: ha egyenlő 0, 2, 4, 6 vagy 8, akkor a szám páros, ami azt jelenti, hogy osztható 2-vel.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 2-vel.
Megoldás: Az utolsó számjegyet nézzük: 8 - ez azt jelenti, hogy a szám osztható kettővel.

2. Oszthatósági teszt egy számra 3-mal
Egy szám akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható hárommal. Így annak meghatározásához, hogy egy szám osztható-e 3-mal, ki kell számítania a számjegyek összegét, és ellenőriznie kell, hogy osztható-e 3-mal. Még ha a számjegyek összege nagyon nagy is, megismételheti ugyanazt a folyamatot.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 3-mal.
Megoldás: Megszámoljuk a számok összegét: 3+4+9+3+8 = 27. A 27 osztható 3-mal, ami azt jelenti, hogy a szám osztható hárommal.

3. Oszthatósági teszt egy számra 5-tel
Egy szám osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye nulla vagy öt.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 5-tel.
Megoldás: nézd meg az utolsó számjegyet: a 8 azt jelenti, hogy a szám NEM osztható öttel.

4. Oszthatósági teszt egy számra 9-cel
Ez a jel nagyon hasonlít a hárommal való oszthatóság jeléhez: egy szám osztható 9-cel, ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel.
Példa: határozza meg, hogy a 34938 szám osztható-e 9-cel.
Megoldás: Megszámoljuk a számok összegét: 3+4+9+3+8 = 27. A 27 osztható 9-cel, ami azt jelenti, hogy a szám osztható kilenccel.

Hogyan lehet megtalálni a két szám GCD-jét és LCM-jét

Hogyan találjuk meg két szám gcd-jét

A legtöbb egyszerű módon Két szám legnagyobb közös osztójának kiszámításához meg kell keresni ezeknek a számoknak az összes lehetséges osztóját, és kiválasztani közülük a legnagyobbat.

Tekintsük ezt a módszert a GCD(28, 36) megtalálásának példáján:

1. Mindkét számot figyelembe vesszük: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Találunk közös faktorokat, vagyis azokat, amelyek mindkét számnak megvannak: 1, 2 és 2.
3. Kiszámítjuk ezeknek a tényezőknek a szorzatát: 1 2 2 = 4 - ez a 28 és 36 számok legnagyobb közös osztója.

Hogyan találjuk meg két szám LCM-jét

Két leggyakoribb módja van két szám legkisebb többszörösének megkeresésére. Az első módszer az, hogy felírhatja két szám első többszörösét, majd kiválaszthatja közülük azt a számot, amely mindkét számban közös és egyben a legkisebb. A második pedig ezeknek a számoknak a gcd-jének megkeresése. Csak azt vegyük figyelembe.

Az LCM kiszámításához ki kell számítania az eredeti számok szorzatát, majd el kell osztania a korábban talált GCD-vel. Keressük meg az LCM-et ugyanazon 28-as és 36-os számokhoz:

1. Határozzuk meg a 28 és 36 számok szorzatát: 28·36 = 1008
2. A GCD(28, 36), mint már ismert, egyenlő 4-gyel
3. LCM(28; 36) = 1008/4 = 252 .

GCD és LCM keresése több számhoz

A legnagyobb közös osztó több számra is megtalálható, nem csak kettőre. Ehhez a legnagyobb közös osztóhoz tartozó számokat prímtényezőkre bontjuk, majd megtaláljuk e számok közös prímtényezőinek szorzatát. A következő relációt is használhatja több szám gcd-jének megkereséséhez: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Hasonló összefüggés vonatkozik a legkisebb közös többszörösre is: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Példa: keresse meg a GCD-t és az LCM-et a 12-es, 32-es és 36-os számokhoz.

1. Először is szorozzuk a számokat: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Keressük a közös tényezőket: 1, 2 és 2.
3. A szorzatuk GCD-t ad: 1·2·2 = 4
4. Most keressük meg az LCM-et: ehhez először keressük meg az LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Mindhárom szám LCM-jének megtalálásához meg kell találnia a GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12; 32; 36) = 96,36 / 12 = 288.

Folytassuk a beszélgetést a legkisebb közös többszörösről, amelyet az „LCM – legkisebb közös többszörös, definíció, példák” részben kezdtünk. Ebben a témakörben megvizsgáljuk, hogyan lehet megtalálni az LCM-et három vagy több számra, és megvizsgáljuk azt a kérdést, hogyan lehet megtalálni egy negatív szám LCM-jét.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása GCD-n keresztül

Már megállapítottuk a kapcsolatot a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó között. Most pedig tanuljuk meg, hogyan határozzuk meg az LCM-et a GCD-n keresztül. Először is gondoljuk át, hogyan kell ezt megtenni pozitív számok.

1. definíció

A legkisebb közös többszöröst a legnagyobb közös osztón keresztül találhatja meg az LCM (a, b) = a · b képlettel: GCD (a, b).

1. példa

Meg kell találnia a 126 és 70 számok LCM-jét.

Megoldás

Vegyük a = 126, b = 70. Helyettesítsük be az értékeket a legkisebb közös többszörös kiszámítására szolgáló képletbe a legnagyobb közös osztóval LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Megkeresi a 70 és 126 számok gcd-jét. Ehhez szükségünk van az euklideszi algoritmusra: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, ezért GCD (126 , 70) = 14 .

Számítsuk ki az LCM-et: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Válasz: LCM(126; 70) = 630.

2. példa

Keresse meg a 68-as és 34-es számot.

Megoldás

A GCD-t ebben az esetben nem nehéz megtalálni, mivel a 68 osztható 34-gyel. Számítsuk ki a legkisebb közös többszöröst a következő képlettel: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Válasz: LCM(68; 34) = 68.

Ebben a példában a szabályt használtuk az a és b pozitív egész számok legkisebb közös többszörösének megtalálására: ha az első szám osztható a másodikkal, akkor ezeknek a számoknak az LCM-je egyenlő lesz az első számmal.

Az LCM megtalálása a számok prímtényezőkbe való faktorálásával

Most nézzük meg az LCM megtalálásának módszerét, amely a számok prímtényezőkbe való faktorálásán alapul.

2. definíció

A legkisebb közös többszörös megtalálásához néhány egyszerű lépést kell végrehajtanunk:

• összeállítjuk azon számok összes prímtényezőjének szorzatát, amelyekhez meg kell találnunk az LCM-et;
• kizárunk minden elsődleges tényezőt a kapott termékeikből;
• a közös prímtényezők kiszűrése után kapott szorzat egyenlő lesz az adott számok LCM-jével.

A legkisebb közös többszörös megtalálásának ez a módszere az LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) egyenlőségén alapul. Ha megnézzük a képletet, világossá válik: az a és b számok szorzata egyenlő mindazon tényezők szorzatával, amelyek részt vesznek e két szám lebontásában. Ebben az esetben két szám gcd értéke egyenlő az összes prímtényező szorzatával, amelyek egyidejűleg jelen vannak e két szám faktorizálásában.

3. példa

Két számunk van: 75 és 210. A következőképpen számolhatjuk őket: 75 = 3 5 5És 210 = 2 3 5 7. Ha összeállítja a két eredeti szám összes tényezőjének szorzatát, akkor a következőt kapja: 2 3 3 5 5 5 7.

Ha kizárjuk a 3-as és az 5-ös szám közös faktorait, akkor a következő alakú szorzatot kapjuk: 2 3 5 5 7 = 1050. Ez a termék lesz a mi LCM-ünk a 75-ös és 210-es számokhoz.

4. példa

Keresse meg a számok LCM-jét 441 És 700 , mindkét számot prímtényezőkké alakítva.

Megoldás

Keressük meg a feltételben megadott számok összes prímtényezőjét:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Két számláncot kapunk: 441 = 3 3 7 7 és 700 = 2 2 5 5 7.

Az összes olyan tényező szorzata, amely részt vett ezeknek a számoknak a felosztásában, a következő formában lesz: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Keressük a közös tényezőket. Ez a 7-es szám. Zárjuk ki a teljes termékből: 2 2 3 3 5 5 7 7. Kiderült, hogy a NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Válasz: LOC(441; 700) = 44 100.

Adjunk egy másik megfogalmazást az LCM meghatározására a számok prímtényezőkre történő felosztásával.

3. definíció

Korábban mindkét számra közös faktorszámból kizártuk. Most másképp csináljuk:

• Tekintsük mindkét számot prímtényezőkké:
• az első szám prímtényezőinek szorzatához adjuk hozzá a második szám hiányzó tényezőit;
• megkapjuk a szorzatot, amely a két szám kívánt LCM-je lesz.

5. példa

Térjünk vissza a 75-ös és 210-es számokhoz, amelyekhez már az előző példák egyikében kerestük az LCM-et. Bontsuk őket egyszerű tényezőkre: 75 = 3 5 5És 210 = 2 3 5 7. A 3., 5. és faktorok szorzatához 5 a 75-ös számok hozzáadják a hiányzó tényezőket 2 És 7 számok 210. Kapunk: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ez a 75 és 210 számok LCM-je.

6. példa

Ki kell számítani a 84 és 648 számok LCM-jét.

Megoldás

Tekintsük a feltételből származó számokat egyszerű tényezőkké: 84 = 2 2 3 7És 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Adjuk hozzá a szorzathoz a 2, 2, 3 és faktorokat 7 számok 84 hiányzó tényezők 2, 3, 3 és
3 648-as számok. Megkapjuk a terméket 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ez a 84 és 648 legkisebb közös többszöröse.

Válasz: LCM(84,648) = 4536.

Három vagy több szám LCM-jének megkeresése

Függetlenül attól, hogy hány számmal van dolgunk, a cselekvéseink algoritmusa mindig ugyanaz lesz: szekvenciálisan megkeressük két szám LCM-jét. Erre az esetre van egy tétel.

1. tétel

Tegyük fel, hogy egész számaink vannak a 1 , a 2 , … , a k. NEM C m k ezeket a számokat az m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) szekvenciális kiszámításával kapjuk meg.

Most nézzük meg, hogyan alkalmazható a tétel konkrét problémák megoldására.

7. példa

Ki kell számítania négy szám legkisebb közös többszörösét: 140, 9, 54 és 250 .

Megoldás

Vezessük be a jelölést: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Kezdjük azzal, hogy kiszámoljuk m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Alkalmazzuk az euklideszi algoritmust a 140 és 9 számok GCD-jének kiszámításához: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. A következőt kapjuk: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Ezért m 2 = 1,260.

Most számoljunk ugyanazzal az algoritmussal: m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). A számítások során m 3 = 3 780-at kapunk.

Csak ki kell számítanunk, hogy m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Ugyanazt az algoritmust követjük. Azt kapjuk, hogy m 4 = 94 500.

A példafeltételből származó négy szám LCM-je 94500.

Válasz: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Mint látható, a számítások egyszerűek, de meglehetősen munkaigényesek. Időt takaríthat meg, választhat más utat is.

4. definíció

A következő műveleti algoritmust kínáljuk Önnek:

• minden számot prímtényezőkre bontunk;
• az első szám tényezőinek szorzatához hozzáadjuk a hiányzó tényezőket a második szám szorzatából;
• az előző lépésben kapott szorzathoz hozzáadjuk a harmadik szám hiányzó tényezőit stb.;
• a kapott szorzat a feltétel összes számának legkisebb közös többszöröse lesz.

8. példa

Meg kell találnia az öt szám LCM-jét: 84, 6, 48, 7, 143.

Megoldás

Tekintsük mind az öt számot prímtényezőkbe: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. A prímszámok, ami a 7-es szám, nem vehetők figyelembe a prímtényezőkbe. Az ilyen számok egybeesnek a prímtényezőkre való felosztásukkal.

Most vegyük a 84-es szám 2-es, 2-es, 3-as és 7-es prímtényezőinek szorzatát, és adjuk hozzá a második szám hiányzó tényezőit. A 6-os számot 2-re és 3-ra bontottuk. Ezek a tényezők már benne vannak az első szám szorzatában. Ezért ezeket mellőzzük.

Folytatjuk a hiányzó szorzók összeadását. Térjünk át a 48-as számra, amelynek prímtényezőinek szorzatából 2-t és 2-t veszünk. Ezután a negyedik számból összeadjuk a 7-es prímtényezőt és az ötödik szám 11-es és 13-as tényezőit. A következőt kapjuk: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Ez az eredeti öt szám legkisebb közös többszöröse.

Válasz: LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48 048.

Negatív számok legkisebb közös többszörösének megtalálása

Megtalálni a legkisebb közös többszöröst negatív számok, ezeket a számokat először ellentétes előjelű számokra kell cserélni, majd a számításokat a fenti algoritmusok segítségével kell elvégezni.

9. példa

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) és LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Az ilyen cselekvések megengedhetők, mivel ha ezt elfogadjuk aÉs − a- ellentétes számok,
akkor egy szám többszöröseinek halmaza a megegyezik egy szám többszöröseinek halmazával − a.

10. példa

Ki kell számítani a negatív számok LCM-jét − 145 És − 45 .

Megoldás

Cseréljük ki a számokat − 145 És − 45 ellentétes számukra 145 És 45 . Most az algoritmus segítségével kiszámítjuk az LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 értéket, miután előzőleg meghatároztuk a GCD-t az euklideszi algoritmus segítségével.

Azt kapjuk, hogy a számok LCM-je − 145 és − 45 egyenlő 1 305 .

Válasz: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Az LCM kiszámításának megértéséhez először meg kell határoznia a „többszörös” kifejezés jelentését.

A többszöröse olyan természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val, így az 5 többszörösei 15-nek, 20-nak, 25-nek stb.

Egy adott számnak korlátozott számú osztója lehet, de végtelen számú többszöröse van.

A természetes számok közös többszöröse olyan szám, amely osztható velük anélkül, hogy maradékot hagyna.

Hogyan találjuk meg a számok legkisebb közös többszörösét

A számok legkisebb közös többszöröse (LCM) (kettő, három vagy több) a legkisebb természetes szám, amely osztható ezekkel a számokkal.

A LOC megtalálásához többféle módszert is használhat.

Kis számok esetén célszerű ezeknek a számoknak az összes többszörösét felírni egy sorba, amíg nem talál valami közöset közöttük. A többszöröseket nagy K betűvel jelöljük.

Például a 4 többszörösei így írhatók:

K (4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Így látható, hogy a 4 és 6 számok legkisebb közös többszöröse a 24. Ez a jelölés a következőképpen történik:

LCM(4; 6) = 24

Ha a számok nagyok, keresse meg három vagy több szám közös többszörösét, akkor jobb, ha más módszert használ az LCM kiszámítására.

A feladat elvégzéséhez a megadott számokat prímtényezőkbe kell számolni.

Először le kell írnia egy sor legnagyobb számának felbomlását, és alatta - a többit.

Az egyes számok dekompozíciója különböző számú tényezőt tartalmazhat.

Például vegyük az 50-es és 20-as számokat prímtényezőkbe.

A kisebb szám bővítésében érdemes kiemelni azokat a tényezőket, amelyek az első legnagyobb szám bővítésében hiányoznak, majd hozzá kell adni azokat. A bemutatott példában hiányzik a kettő.

Most kiszámolhatja a 20 és 50 legkisebb közös többszörösét.

LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Így a nagyobb szám prímtényezőinek és a második szám azon tényezőinek szorzata, amelyek nem szerepeltek a nagyobb szám bővítésében, lesz a legkisebb közös többszörös.

Három vagy több szám LCM-jének meghatározásához az előző esethez hasonlóan mindegyiket prímtényezőkbe kell számítani.

Példaként megtalálhatja a 16, 24, 36 számok legkisebb közös többszörösét.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Így a tizenhat bővítéséből csak két kettes nem került be nagyobb szám faktorizálásába (az egyik a huszonnégy bővítésébe).

Így nagyobb szám bővítéséhez hozzá kell adni őket.

LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

A legkisebb közös többszörös meghatározásának vannak speciális esetei. Tehát, ha az egyik szám maradék nélkül osztható egy másikkal, akkor ezek közül a számok közül a nagyobb lesz a legkisebb közös többszörös.

Például a tizenkettő és a huszonnégy LCM értéke huszonnégy.

Ha meg kell találni azoknak a koprímszámoknak a legkisebb közös többszörösét, amelyek nem rendelkeznek azonos osztókkal, akkor az LCM-jük egyenlő lesz a szorzatukkal.

Például LCM (10, 11) = 110.

De sok természetes szám osztható más természetes számokkal is.

Például:

A 12-es szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel;

A 36-os szám osztható 1-gyel, 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 12-vel, 18-mal, 36-tal.

Azokat a számokat, amelyekkel a szám osztható egy egésszel (12 esetén ezek 1, 2, 3, 4, 6 és 12) ún. számok osztói. Természetes szám osztója a- egy természetes szám, amely egy adott számot oszt a nyom nélkül. Olyan természetes számot nevezünk, amelynek kettőnél több osztója van összetett .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 12-es és 36-os számoknak közös tényezői vannak. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója a 12. A két szám közös osztója aÉs b- ez az a szám, amellyel mindkét megadott szám maradék nélkül el van osztva aÉs b.

Közös többszörösek A több szám olyan szám, amely osztható ezen számok mindegyikével. Például, a 9, 18 és 45 számok közös többszöröse 180. De 90 és 360 is a közös többszöröseik. Az összes közös többszörös között mindig van egy legkisebb, ebben az esetben ez 90. Ezt a számot hívják a legkisebbközös többszörös (CMM).

Az LCM mindig egy természetes szám, amelynek nagyobbnak kell lennie azon számok közül a legnagyobbnál, amelyekre meghatározva van.

Legkisebb közös többszörös (LCM). Tulajdonságok.

Kommutativitás:

Aszociativitás:

Különösen, ha a és koprímszámok, akkor:

Két egész szám legkisebb közös többszöröse mÉs n az összes többi közös többszörös osztója mÉs n. Sőt, a közös többszörösek halmaza m, n egybeesik az LCM( m, n).

Az aszimptotikája kifejezhető néhány számelméleti függvénnyel.

Így, Csebisev függvény. És:

Ez a Landau-függvény definíciójából és tulajdonságaiból következik g(n).

Ami a prímszámok eloszlásának törvényéből következik.

A legkisebb közös többszörös megkeresése (LCM).

NEM C( a, b) többféleképpen is kiszámítható:

1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó, használhatja annak kapcsolatát az LCM-mel:

2. Legyen ismert mindkét szám kanonikus felosztása prímtényezőkre:

Ahol p 1 ,...,p k- különféle prímszámok, és d 1 ,...,d kÉs e 1 ,...,e k— nem negatív egész számok (ezek lehetnek nullák, ha a megfelelő prím nincs a bővítésben).

Aztán NOC ( a,b) a következő képlettel számítható ki:

Más szavakkal, az LCM dekompozíció tartalmazza az összes prímtényezőt, amely legalább egy számdekompozícióban szerepel. a, b, és ennek a szorzónak a két kitevője közül a legnagyobbat veszik.

Példa:

Több szám legkisebb közös többszörösének kiszámítása redukálható két szám LCM-jének több egymást követő számítására:

Szabály. Egy számsorozat LCM-jének megtalálásához a következőkre lesz szüksége:

- a számokat prímtényezőkre bontani;

- a legnagyobb dekompozíciót (az adottak közül a legtöbb tényező tényezőinek szorzatát) átvisszük a kívánt szorzat faktoraiba, majd hozzáadjuk az első számban nem szereplő, vagy abban megjelenő egyéb számok felbontásából származó tényezőket kevesebb alkalommal;

— a prímtényezők eredő szorzata az adott számok LCM-je lesz.

Bármely két vagy több természetes számnak saját LCM-je van. Ha a számok nem többszörösei egymásnak, vagy nem ugyanazok a tényezők a bővítésben, akkor LCM-jük egyenlő ezen számok szorzatával.

A 28-as szám prímtényezőit (2, 2, 7) kiegészítjük egy 3-as tényezővel (a 21-gyel), így a kapott szorzat (84) a legkisebb 21-gyel és 28-cal osztható szám lesz.

A legnagyobb 30-as prímtényezőit kiegészítjük a 25-ös szám 5-ös szorzatával, a kapott 150-es szorzat nagyobb, mint a legnagyobb 30-as szám, és maradék nélkül osztható az összes megadott számmal. Ez a lehető legkisebb szorzat (150, 250, 300...), amely az összes megadott szám többszöröse.

A 2,3,11,37 számok prímszámok, így LCM-jük megegyezik az adott számok szorzatával.

Szabály. A prímszámok LCM-jének kiszámításához ezeket a számokat össze kell szoroznia.

Egy másik lehetőség:

Több szám legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálásához a következőkre van szüksége:

1) ábrázoljon minden számot prímtényezőinek szorzataként, például:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) írja le az összes prímtényező hatványait:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) írja fel ezeknek a számoknak az összes prímosztóját (szorzóját);

4) válassza ki mindegyik közül a legnagyobb mértéket, amely ezeknek a számoknak az összes kiterjesztésében található;

5) szorozd meg ezeket a hatványokat.

Példa. Keresse meg a 168, 180 és 3024 számok LCM-jét.

Megoldás. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Felírjuk az összes prímosztó legnagyobb hatványait, és megszorozzuk őket:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.