Példák szakaszok felépítésére. Poliéder metszete síkkal

Gyakorlati óra: „Párhuzamos. Egy paralelepipedon metszeteinek felépítése."

1. Cél praktikus munka : . A poliéderekkel kapcsolatos elméleti anyag ismereteinek megszilárdítása,problémamegoldó készség in szakaszok építése, rajzelemzés képessége.

2. Didaktikai eszközök a gyakorlati munkához : Munkaállomás, poliéder modellek és fejlesztések, mérőeszközök, olló, ragasztó, vastag papír.

Idő: 2 óra

Feladatok a munkához:

1. Feladat

Szerkessze meg a paralelepipedon ABCDA metszetét 1 B 1 C 1 D 1 az A egyeneseken fekvő M, N, P pontokon átmenő sík 1 B 1, AD, DC

Minta és a probléma megoldásának sorrendje:

1. Az N és P pontok a paralelepipedon metszetsíkjában és alsó bázisának síkjában helyezkednek el. Építsünk ezeken a pontokon átmenő egyenest. Ez az egyenes a vágási sík nyomvonala a paralelepipedon alapsíkjára.

2. Folytassuk azt az egyenest, amelyiken a paralelepipedon AB oldala fekszik. Az AB és NP egyenesek egy S pontban metszik egymást. Ez a pont a metszetsíkhoz tartozik.

3. Mivel az M pont is a metszetsíkhoz tartozik és metszi az AA egyenest 1 valamikor X.

4. Az X és N pont az AA lap azonos síkjában található 1 D 1 D, kösse össze őket, és kapjon XN egyenest.

5. Mivel a paralelepipedon lapjainak síkjai párhuzamosak, ezért az M ponton keresztül egyenest húzhatunk az A lapra 1 B 1 C 1 D 1 , párhuzamos az NP egyenessel. Ez a vonal metszi a B oldalt 1 VAL VEL 1 az Y pontban.

6. Hasonlóképpen rajzoljon YZ egyenest, párhuzamosan az XN egyenessel. Összekapcsoljuk a Z-t P-vel, és megkapjuk a kívánt szakaszt - MYZPNX.

2. feladat

1.opció. Szerkessze meg a АВСDA1В1С1D1 paralelepipedon metszetét a következő pontok által meghatározott síkkalM, NÉsP

1. szint: Mindhárom pont az A csúcsból kilépő éleken fekszik

2. szint.Maz arcban fekszik AA1D1D,Naz arcon fekszik AA1B1B,Paz arcon fekszik CC1D1D.

3. szint.Ma B1D átlón fekszik,Naz AC1 átlón fekszik,Pa C1D1 élen fekszik.

2. lehetőség.Szerkesszük meg az ABCDA1B1C1D1 paralelepipedon metszetét a DQ egyenesen átmenő síkon, ahol a Q pont a CC1 élen, a P pont pedig a következőképpen definiálva van

1. szint: Mindhárom pont a C csúcsból kilépő éleken fekszik

2. szint: M az A1B1 él folytatásán, az A1 pont pedig a B1 és P pontok között található.

3. szint: P a B1D átlón fekszik

Munkarend:

1. Tanulmányozzon elméleti anyagot a következő témákban:

Paralelepipedon.

Jobb oldali paralelepipedon.

Ferde paralelepipedon.

A paralelepipedon ellentétes oldalai.

A paralelepipedon átlók tulajdonságai.

Pa vágósík fogalma és felépítésének szabályai.

Milyen típusú sokszögeket kapunk a kocka és a paralelepipedon metszetében.

2. Építsd megparalelepipedonABCDA 1 B 1 C 1 D 1

3. Elemezze az 1. feladat megoldását!

4. Következetesen építsen fel egy szakasztparalelepipedonABCDA 1 B 1 C 1 D 1 feladat P, Q, R pontjain átmenő sík.

5. Szerkesszen meg három további paralelepipedont, és válasszon rajtuk szakaszokat az 1., 2. és 3. szintű feladatokhoz

Értékelési szempontok :

Irodalom: Atanasyan L.S. Geometria: Tankönyv 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kodomtsev és társai - M.: Oktatás, 2010 Ziv B.G. Geometriai feladatok: Kézikönyv 7-11. osztályos tanulóknak. Általános oktatás intézmények. / B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakhansky. - M.: Oktatás, 2010. V. N. Litvinenko Feladatok a térfogalmak fejlesztéséhez. Könyv tanároknak. - M.: Oktatás, 2010

Didaktikai anyag a gyakorlati óra feladatához

Az 1. feladathoz:

Néhány lehetséges szakasz:

Szerkesszünk olyan paralelepipedon metszeteket, amelyeken egy sík megy át ezeken a pontokon

Szakasz- egy figura képe, amelyet úgy kapunk, hogy egy tárgyat egy vagy több síkkal mentálisan feldarabolunk.
A szakasz csak azt mutatja, amit megszerzett közvetlenül a vágási síkban.

A metszeteket általában egy tárgy keresztirányú alakjának feltárására használják. A rajzon a keresztmetszeti ábra árnyékolással van kiemelve. A szaggatott vonalak összhangban vannak húzva Általános szabályok.

A szakasz kialakításának sorrendje:
1. A vágási síkot azon a részen vezetik be, ahol az alakja teljesebb feltárására van szükség. 2. A résznek a megfigyelő és a vágósík között elhelyezkedő részét mentálisan eldobjuk. 3. A metszet ábra gondolatban a P fő vetületi síkkal párhuzamos helyzetbe van forgatva. 4. A keresztmetszeti kép az általános vetítési szabályok szerint készül.

A kompozícióban nem szereplő szakaszok a következőkre oszlanak:

Kivették;
- egymásra helyezve.

Vázolt szakaszok előnyösek, és az azonos típusú részek közötti résbe helyezhetők.
A kibővített szakasz kontúrja, valamint a szakaszban lévő szakasz kontúrja tömör fővonalakkal van ábrázolva.

egymásra helyezve hívott szakasz, amely közvetlenül az objektum nézetére kerül. Az egymásra helyezett szakasz kontúrja tömör vékony vonallal készült. A metszet ábra a főnézet azon helyére kerül, ahol a vágási sík áthalad, és árnyékolt.

A szakaszok átfedése: a) szimmetrikus; b) aszimmetrikus

Szimmetriatengely a ráhelyezett vagy eltávolított szakaszt vékony szaggatott vonal jelzi, betűk és nyilak nélkül, és a metszetvonal nincs megrajzolva.

Szakaszok a résben. Az ilyen szakaszok a fő képen egy résbe vannak helyezve, és tömör fővonalként készülnek.
A résben elhelyezkedő vagy egymásra helyezett aszimmetrikus metszeteknél a metszetvonal nyilakkal van megrajzolva, de betűkkel nem jelölve.

A résszelvény: a) szimmetrikus; b) aszimmetrikus

Vázolt szakaszok rendelkezik:
- bárhol a rajzmezőben;
- a fő nézet helyére;
- fordulattal, „elfordult” jelzéssel

Ha a metszősík átmegy a forgásfelület tengelyén, korlátozva a furatot vagy mélyedést, akkor a metszetben a körvonaluk teljes egészében látható, azaz. vágási szabály szerint végezzük.

Ha kiderül, hogy a szakasz két vagy több különálló részből áll, akkor vágást kell alkalmazni a nézet irányának megváltoztatásáig.
A vágási síkokat úgy kell megválasztani, hogy normál keresztmetszeteket kapjunk.
Egy objektumhoz kapcsolódó több azonos szakasznál a metszetvonalat egy betűvel jelöljük, és egy szakaszt rajzolunk.

Távoli elemek.
Részlet elem - egy tárgy egy részének külön kinagyított képe a megfelelő képen nem szereplő részletek bemutatására; tartalma eltérhet a fő képtől. Például a fő kép egy nézet, a részlet pedig egy szakasz.

A fő képen az objektum egy részét egy tetszőleges átmérőjű, vékony vonallal készített kör különbözteti meg; ebből van egy polccal ellátott vezetővonal, amely fölé az orosz ábécé nagybetűje kerül, magassággal nagyobb, mint a méretszámok magassága. Ugyanezt a betűt írjuk a bővítőelem fölé és tőle jobbra zárójelben, M betű nélkül a bővítőelem léptékét jelzi.

Ma újra megnézzük, hogyan megszerkeszteni egy tetraéder metszetét síkkal.
Tekintsük a legegyszerűbb esetet (kötelező szint), amikor a metszetsík 2 pontja tartozik az egyik laphoz, a harmadik pont pedig egy másik laphoz.

Hadd emlékeztessük algoritmus szakaszok felépítéséhez ilyen típusú (eset: 2 pont ugyanahhoz az archoz tartozik).

1. Olyan arcot keresünk, amely a metszősík 2 pontját tartalmazza. Húzzon egyenes vonalat két, ugyanazon az arcon fekvő ponton. Megtaláljuk a metszéspontjait a tetraéder éleivel. Az egyenes vonalnak az arcon végződő része a szakasz oldala.

2. Ha a sokszög lezárható, akkor a szakasz megépült. Ha nem zárható, akkor megkeressük a megszerkesztett egyenes és a harmadik pontot tartalmazó sík metszéspontját.

1. Látjuk, hogy az E és F pont ugyanazon a lapon (BCD) fekszenek, húzunk egy EF egyenest a síkban (BCD).
2. Keressük meg az EF egyenes metszéspontját a BD tetraéder élével, ez a H pont.
3. Most meg kell találni az EF egyenes és a harmadik G pontot tartalmazó sík metszéspontját, azaz. sík (ADC).
A CD egyenes az (ADC) és (BDC) síkban fekszik, ami azt jelenti, hogy metszi az EF egyenest, a K pont pedig az EF egyenes és a sík (ADC) metszéspontja.
4. Ezután találunk még két pontot, amelyek ugyanabban a síkban helyezkednek el. Ezek a G és K pontok, mindkettő a bal oldallap síkjában található. Rajzolunk egy GK egyenest, és megjelöljük azokat a pontokat, ahol ez az egyenes metszi a tetraéder éleit. Ezek az M és L pontok.
4. Marad a szakasz „bezárása”, azaz az ugyanazon az arcon fekvő pontok összekapcsolása. Ezek M és H pontok, valamint L és F. Mindkét szakasz láthatatlan, szaggatott vonallal rajzoljuk meg.

A keresztmetszet négyszögletes MHFL-nek bizonyult. Minden csúcsa a tetraéder szélein fekszik. Válasszuk ki az eredményül kapott részt.

Most fogalmazzuk meg a helyesen megszerkesztett szakasz "tulajdonságai":

1. Egy metszetnek számító sokszög minden csúcsa egy tetraéder (parallelelepiped, poligon) élén fekszik.

2. A metszet minden oldala a poliéder lapjain fekszik.
3. Egy sokszög minden lapja legfeljebb egy (egy vagy egy sem!) oldalt tartalmazhat a szakasznak

Ebben a leckében megnézzük a tetraédert és elemeit (tetraéder éle, felülete, lapjai, csúcsai). És számos problémát megoldunk a tetraéder metszeteinek felépítésével kapcsolatban általános módszer szakaszok építéséhez.

Téma: Egyenesek és síkok párhuzamossága

Tanulság: Tetraéder. Problémák a tetraéder metszeteinek felépítésénél

Hogyan építsünk tetraédert? Vegyünk egy tetszőleges háromszöget ABC. Bármilyen pont D, amely nem ennek a háromszögnek a síkjában fekszik. 4 háromszöget kapunk. A négy háromszög által alkotott felületet tetraédernek nevezzük (1. ábra). Az e felület által határolt belső pontok is a tetraéder részét képezik.

Rizs. 1. ABCD tetraéder

A tetraéder elemei
A,B, C, D - tetraéder csúcsai.
AB, A.C., HIRDETÉS, IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT., BD, CD - tetraéder élek.
ABC, ABD, BDC, ADC - tetraéderlapok.

Megjegyzés: laposra vihető ABC mögött tetraéder bázis, majd pont D van tetraéder csúcsa. A tetraéder minden éle két sík metszéspontja. Például borda AB- ez a síkok metszéspontja ABDÉs ABC. A tetraéder minden csúcsa három sík metszéspontja. Csúcs A síkokban fekszik ABC, ABD, ADVAL VEL. Pont A a három kijelölt sík metszéspontja. Ez a tény a következőképpen van leírva: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Tetraéder meghatározása

Így, tetraéder négy háromszög alkotta felület.

Tetraéder él- a tetraéder két síkjának metszésvonala.

6 gyufából készíts 4 egyenlő háromszöget! Repülőgépen lehetetlen megoldani a problémát. És ezt könnyű megtenni az űrben. Vegyünk egy tetraédert. 6 gyufa az élei, a tetraéder négy lapja, és négy egyenlő háromszög lesz. A probléma megoldódott.

Adott egy tetraéder ABCD. Pont M a tetraéder egyik széléhez tartozik AB, pont N a tetraéder egyik széléhez tartozik BAN BENDés időszak Réléhez tartozik DVAL VEL(2. ábra). Szerkesszük meg a tetraéder metszetét egy síkkal MNP.

Rizs. 2. Rajz a 2. feladathoz - Készítsen egy tetraéder metszetét síkkal

Megoldás:
Tekintsük egy tetraéder lapját DNap. A lényeg ezen az oldalán NÉs P az arcokhoz tartoznak DNap, és ezért a tetraéder. De a pont állapota szerint N, P a vágási síkhoz tartoznak. Eszközök, NP- ez két sík metszésvonala: az arc síkja DNapés vágósík. Tegyük fel, hogy egyenesek NPÉs Nap nem párhuzamos. Ugyanabban a síkban fekszenek DNap. Keressük meg az egyenesek metszéspontját NPÉs Nap. Jelöljük E(3. ábra).

Rizs. 3. Rajz a 2. feladathoz. E pont megkeresése

Pont E metszetsíkhoz tartozik MNP, mivel a vonalon fekszik NP, és az egyenes NP teljes egészében a metszetsíkban fekszik MNP.

Szintén pont E síkban fekszik ABC, mert egyenesen fekszik Nap repülőn kívül ABC.

Ezt értjük ESZIK- síkok metszésvonala ABCÉs MNP, pont óta EÉs M egyszerre két síkban feküdni - ABCÉs MNP. Kössük össze a pontokat MÉs E, és folytassa egyenesen ESZIK a vonal kereszteződéséig AC. A vonalak metszéspontja ESZIKÉs AC jelöljük K.

Tehát ebben az esetben NPQМ- a szükséges szakaszt.

Rizs. 4. Rajz a 2. feladathoz. A 2. feladat megoldása

Nézzük most azt az esetet, amikor NP párhuzamos IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.. Ha egyenes NP párhuzamos valamilyen egyenessel, például egy egyenessel Nap repülőn kívül ABC, majd egyenesen NP párhuzamos a teljes síkkal ABC.

A kívánt metszetsík átmegy az egyenesen NP, párhuzamos a síkkal ABC, és egyenes vonalban metszi a síkot MQ. Tehát a metszésvonal MQ párhuzamos a vonallal NP. Kapunk NPQМ- a szükséges szakaszt.

Pont M oldalán fekszik ADBAN BEN tetraéder ABCD. Szerkesszük meg a tetraéder egy szakaszát a ponton átmenő síkkal M párhuzamos az alappal ABC.

Rizs. 5. Rajz a 3. feladathoz Szerkesszen meg egy tetraéder metszetét síkkal!

Megoldás:
Vágó sík φ párhuzamos a síkkal ABC a feltétel szerint ez azt jelenti, hogy ez a sík φ párhuzamos vonalakkal AB, AC, Nap.
Repülőn ABD ponton keresztül M csináljunk közvetlen PQ párhuzamos AB(5. ábra). Egyenes PQ síkban fekszik ABD. Hasonlóan a síkban ACD ponton keresztül R csináljunk közvetlen PR párhuzamos AC. Van egy pont R. Két egymást metsző vonal PQÉs PR repülőgép PQR rendre párhuzamos két egymást metsző egyenessel ABÉs AC repülőgép ABC, ami repülőket jelent ABCÉs PQR párhuzamos. PQR- a szükséges szakaszt. A probléma megoldódott.

Adott egy tetraéder ABCD. Pont M- belső pont, pont a tetraéder lapján ABD. N- a szakasz belső pontja DVAL VEL(6. ábra). Szerkessze meg egy egyenes metszéspontját N.M.és repülőgépek ABC.

Rizs. 6. Rajz a 4. feladathoz

Megoldás:
Ennek megoldására készítünk egy segédsíkot DMN. Legyen egyenes DM pontban metszi az AB egyenest NAK NEK(7. ábra). Akkor, SKD- ez a sík egy része DMNés tetraéder. Repülőn DMN hazugság és egyenes N.M., és a kapott egyenes SK. Tehát, ha N.M. nem párhuzamos SK, akkor valamikor keresztezik egymást R. Pont Rés ott lesz a vonal kívánt metszéspontja N.M.és repülőgépek ABC.

Rizs. 7. Rajz a 4. feladathoz. A 4. feladat megoldása

Adott egy tetraéder ABCD. M- az arc belső pontja ABD. R- az arc belső pontja ABC. N- az él belső pontja DVAL VEL(8. ábra). Szerkesszünk meg egy tetraéder metszetét a pontokon átmenő síkkal! M, NÉs R.

Rizs. 8. Rajz az 5. feladathoz Szerkesszen meg egy tetraéder metszetét síkkal!

Megoldás:
Tekintsük az első esetet, amikor az egyenes MN nem párhuzamos a síkkal ABC. Az előző feladatban megtaláltuk az egyenes metszéspontját MNés repülőgépek ABC. Ez a lényeg NAK NEK, azt a segédsík segítségével kapjuk meg DMN, azaz mi igen DMés pontot kapunk F. végzünk CFés a kereszteződésben MN pontot kapunk NAK NEK.

Rizs. 9. Rajz az 5. feladathoz. A K pont megtalálása

Csináljunk direkt KR. Egyenes KR a metszetsíkban és a síkban egyaránt fekszik ABC. A pontok megszerzése P 1És R 2. Csatlakozás P 1És Més folytatásként megkapjuk a lényeget M 1. A pont összekapcsolása R 2És N. Ennek eredményeként megkapjuk a kívánt szakaszt Р 1 Р 2 NM 1. Az első esetben a probléma megoldódott.
Tekintsük a második esetet, amikor az egyenes MN párhuzamos a síkkal ABC. Repülőgép MNP egyenes vonalon halad át MN párhuzamos a síkkal ABCés metszi a síkot ABC valamilyen egyenes mentén R 1 R 2, majd egyenesen R 1 R 2 párhuzamos az adott egyenessel MN(10. ábra).

Rizs. 10. Rajz az 5. feladathoz. A szükséges szakasz

Most húzzunk egy egyenest R 1 Més pontot kapunk M 1.Р 1 Р 2 NM 1- a szükséges szakaszt.

Szóval, megnéztük a tetraédert, megoldottunk néhányat tipikus feladatok tetraéderhez. A következő leckében egy paralelepipedont nézünk meg.

1. I. M. Szmirnova, V. A. Szmirnov. - 5. kiadás, javítva és bővítve - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : ill. Geometria. 10-11. osztály: tankönyv tanulóknak oktatási intézmények(alap és profilszint)

2. Sharygin I.F. - M.: Túzok, 1999. - 208 p.: ill. Geometria. 10-11. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. kiadás, sztereotípia. - M.: Túzok, 008. - 233 p. :il. Geometria. 10. évfolyam: Tankönyv általános oktatási intézmények számára a matematika elmélyült és szakirányú tanulmányozásával

További webes források

2. Hogyan készítsünk egy tetraéder keresztmetszetét. Matematika ().

3. Fesztivál pedagógiai elképzelések ().

Otthoni feladatok megoldása a „Tetraéder” témában, hogyan találjuk meg a tetraéder élét, a tetraéder lapjait, a tetraéder csúcsait és felületét

1. Geometria. 10-11. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (alap- és szakirányú szint) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. kiadás, javítva és bővítve - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. 18., 19., 20. feladatok 50. o

2. Pont E középső erezet MA tetraéder MAVS. Szerkesszük meg a tetraéder szakaszát a pontokon átmenő síkkal! IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTTÉs E.

3. A MABC tetraéderben az M pont az AMV laphoz, a P pont a BMC laphoz, a K pont az AC élhez tartozik. Szerkesszük meg a tetraéder szakaszát a pontokon átmenő síkkal! M, R, K.

4. Milyen alakzatokat kaphatunk a tetraéder és a sík metszéspontja eredményeként?