Miben fejeződik ki a mechanikai munka? Gépészeti munka: mi ez és hogyan használják

Mit jelent?

A fizikában a „mechanikai munka” valamely testre ható erő (gravitáció, rugalmasság, súrlódás stb.) munkája, amelynek eredményeként a test elmozdul.

A „mechanikus” szót gyakran egyszerűen nem írják le.
Néha találkozhatunk a „test munkát végzett” kifejezéssel, ami elvileg azt jelenti, hogy „a testre ható erő munkát végzett”.

Azt hiszem – dolgozom.

Megyek – én is dolgozom.

Hol van itt a gépészeti munka?

Ha egy test erő hatására mozog, akkor mechanikai munkát végeznek.

Azt mondják, a test működik.
Pontosabban így lesz: a munkát a testre ható erő végzi.

A munka egy erő eredményét jellemzi.

Az emberre ható erők mechanikus munkát végeznek rajta, és ezeknek az erőknek a hatására az ember megmozdul.

Munka - fizikai mennyiség, egyenlő a testre ható erő és a test által az erő hatására megtett út szorzatával ezen erő irányában.

A - gépészeti munka,
F - erő,
S - megtett távolság.

A munka kész, ha 2 feltétel egyszerre teljesül: a testre erő hat és azt
az erő irányába mozog.

Nincs munka(azaz egyenlő 0-val), ha:
1. Az erő hat, de a test nem mozdul.

Például: erőt fejtünk ki egy kőre, de nem tudjuk mozgatni.

2. A test elmozdul, és az erő nulla, vagy minden erő kiegyenlítésre kerül (azaz ezeknek az erőknek az eredője 0).
Például: tehetetlenségi mozgatásakor nem történik munka.
3. Az erő iránya és a test mozgási iránya egymásra merőleges.

Például: amikor egy vonat vízszintesen mozog, a gravitáció nem működik.

A munka lehet pozitív és negatív is

1. Ha az erő iránya és a test mozgási iránya egybeesik, pozitív munka történik.

Például: a gravitációs erő, amely egy lehulló vízcseppre hat, pozitív munkát végez.

2. Ha a test erő- és mozgásiránya ellentétes, negatív munkát végeznek.

Például: az emelkedésre ható gravitációs erő ballon, negatív munkát végez.

Ha egy testre több erő hat, akkor teljes munkaidős állás minden erő egyenlő a keletkező erő által végzett munkával.

Munkaegységek

D. Joule angol tudós tiszteletére a munkaegységet 1 Joule-nak nevezték el.

BAN BEN nemzetközi rendszer mértékegységek (SI):
[A] = J = N m
1J = 1N 1m

Gépészeti munka egyenlő 1 J-vel, ha 1 N erő hatására a test 1 m-rel elmozdul ennek az erőnek az irányában.

Amikor innen repül hüvelykujj férfi keze az indexen
a szúnyog működik - 0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 J.

Az emberi szív körülbelül 1 J munkát végez összehúzódásonként, ami megfelel a 10 kg súlyú teher 1 cm magasra emelésekor végzett munkának.

MUNKÁHOZ, BARÁTOK!

A mechanikai munka a fizikai testek mozgására jellemző energia, amelynek skaláris formája van. Ez egyenlő a testre ható erő modulusával, megszorozva az ezen erő által okozott elmozdulás modulusával és a köztük lévő szög koszinuszával.

Forma 1 – Gépészeti munka.

F - A testre ható erő.

s - Testmozgás.

cosa – az erő és az elmozdulás közötti szög koszinusza.

Ez a képlet rendelkezik általános forma. Ha a kifejtett erő és az elmozdulás közötti szög nulla, akkor a koszinusz egyenlő 1-gyel. Ennek megfelelően a munka csak az erő és az elmozdulás szorzatával lesz egyenlő. Egyszerűen fogalmazva, ha egy test az erőhatás irányába mozog, akkor a mechanikai munka egyenlő az erő és az elmozdulás szorzatával.

A második speciális eset, amikor a testre ható erő és annak elmozdulása közötti szög 90 fok. Ebben az esetben a 90 fokos koszinusz egyenlő nullával, így a munka nullával lesz egyenlő. És valóban, az történik, hogy egy irányba fejtjük ki az erőt, és a test arra merőlegesen mozog. Vagyis a test nyilvánvalóan nem mozog az erőnk hatására. Így az erőnk által a test mozgatására végzett munka nulla.

1. ábra - Erők munkája test mozgatásakor.

Ha egy testre egynél több erő hat, akkor a testre ható összerőt kiszámítjuk. És akkor behelyettesítik a képletbe, mint egyetlen erőt. Az erő hatása alatt álló test nem csak egyenesen, hanem tetszőleges pályán is mozoghat. Ebben az esetben a munkát egy kis mozgásszakaszra számítják ki, amely egyenes vonalúnak tekinthető, majd összegzi a teljes pálya mentén.

A munka lehet pozitív és negatív is. Vagyis ha az elmozdulás és az erő irányában egybeesik, akkor a munka pozitív. És ha egy erőt egy irányban alkalmazunk, és a test egy másik irányba mozog, akkor a munka negatív lesz. A negatív munkára példa a súrlódási erő munkája. Mivel a súrlódási erő a mozgással ellentétes irányban irányul. Képzeljünk el egy testet, amely egy síkban mozog. A testre ható erő egy bizonyos irányba tolja azt. Ez az erő pozitív munkát végez a test mozgatása érdekében. Ugyanakkor a súrlódási erő negatív munkát végez. Lelassítja a test mozgását és a mozgása felé irányul.

2. ábra - Mozgási erő és súrlódás.

A mechanikai munkát Joule-ban mérik. Egy Joule az a munka, amelyet egy Newton erő végez, amikor egy testet egy méterrel elmozdítunk. A test mozgási iránya mellett a kifejtett erő nagysága is változhat. Például ha egy rugót összenyomnak, a rá kifejtett erő a megtett úttal arányosan növekszik. Ebben az esetben a munka kiszámítása a képlet segítségével történik.

Formula 2 – Egy rugó összenyomásának munkája.

k a rugó merevsége.

x - mozgó koordináta.

Energia- a mozgás és interakció különféle formáinak univerzális mértéke. A test mechanikai mozgásának megváltozását az okozza erők, más szervektől hatnak rá. Erőművek - a kölcsönható testek közötti energiacsere folyamata.

Ha mozgás van a testen egyértelműérvényes állandó erő F, amely bizonyos  szöget zár be a mozgás irányával, akkor ennek az erőnek a munkája egyenlő az erő vetületének szorzatával F s a mozgás irányának szorzatával az erő alkalmazási pontjának mozgásával: (1)

Általában az erő nagyságában és irányában is változhat, ezért skalárérték e elemi munka F erők az elmozdulásra dr:

ahol  az F és dr vektorok közötti szög; ds = |dr| - elemi út; F s - F vektor vetítése dr vektorra Fig. 1

Erőmunka a pályaszakaszon a ponttól 1 lényegre törő 2 egyenlő algebrai összeg elemi munka a pálya egyes végtelenül kicsi szakaszain: (2)

Ahol s- áthaladt a testen. Mikor </2 работа силы положительна, если >/2 az erő által végzett munka negatív. Amikor =/2 (az erő merőleges az elmozdulásra), az erő által végzett munka nulla.

Munkaegység - joule(J): 1 N erővel 1 m pálya mentén végzett munka (1 J = 1 N  m).

Erő– a munka sebességének értéke: (3)

Időközben d t Kényszerítés F működik Fdr, és az erő által kifejlesztett hatvány: Ebben a pillanatbanöv: (4)

azaz egyenlő az erővektor és a sebességvektor skaláris szorzatával, amellyel ennek az erőnek az alkalmazási pontja elmozdul; N- nagyságrendű skalár.

A teljesítmény mértékegysége - watt(W): teljesítmény, amelyen 1J munkavégzés 1s alatt történik (1W = 1J/s).

Kinetikus és potenciális energia

Kinetikus energia mechanikus rendszer - ennek a rendszernek a mechanikai mozgásának energiája.

Az F erő, amely nyugalmi testre hat és mozgásba hozza azt, működik, és a mozgó test energiája megváltozik (d T) növekszik a ráfordított munka mennyiségével d A. Vagyis dA = dT

Newton második törvényét (F=mdV/dt) és számos más transzformációt használva megkapjuk

(5) - sebességgel mozgó m tömegű test mozgási energiája v.

A mozgási energia csak a test tömegétől és sebességétől függ.

Különbözőben inerciarendszerek Az egymáshoz képest mozgó referenciák esetében a test sebessége, így mozgási energiája nem lesz azonos. Így a kinetikus energia a referenciakeret megválasztásától függ.

Helyzeti energia- testek rendszerének mechanikai energiája, amelyet a testek egymáshoz viszonyított helyzete és a közöttük lévő kölcsönhatási erők természete határoz meg.

Amikor a testek erőtereken (rugalmas, gravitációs erőtereken) keresztül kölcsönhatásba lépnek, a ható erők által a test mozgatásakor végzett munka nem függ ennek a mozgásnak a pályájától, hanem csak a test kezdeti és végső helyzetétől. Az ilyen mezőket ún lehetséges, és a bennük ható erők azok konzervatív. Ha egy erő által végzett munka függ az egyik pontból a másikba mozgó test pályájától, akkor egy ilyen erőt ún. disszipatív(súrlódási erő). Egy test potenciális erőterében P potenciális energiával rendelkezik. A rendszer konfigurációjának elemi (végtelenül kicsi) változásával konzervatív erők munkája egyenlő a potenciális energia mínusz előjellel vett növekedésével: dA = - dP (6)

Munka d A- az F erő és a dr elmozdulás skaláris szorzata és a (6) kifejezés felírható: Fdr= -dП (7)

A számítás során egy test potenciális energiáját egy adott helyzetben nullának tekintjük (a nulla referenciaszintet választjuk), és a test energiáját más pozíciókban mérjük nulla szint.

A P függvény konkrét formája az erőtér természetétől függ. Például egy tömegű test potenciális energiája T, magasra emelve h a Föld felszíne felett egyenlő (8)

hol van a magasság h a nulla szinttől számítjuk, amelyre P 0 =0.

Mivel az origót tetszőlegesen választják ki, a potenciális energia negatív értékű lehet (a mozgási energia mindig pozitív!). Ha a Föld felszínén fekvő test potenciális energiáját nullának vesszük, akkor a bánya alján található test potenciális energiáját (mélység h" ), P= - mgh".

Egy rendszer potenciális energiája a rendszer állapotának függvénye. Ez csak a rendszer konfigurációjától és a külső testekhez viszonyított helyzetétől függ.

A rendszer teljes mechanikai energiája egyenlő a kinetikai és potenciális energiák összegével: E=T+P.

Ha egy erő hat egy testre, akkor ez az erő mozgatja a testet. Mielőtt meghatároznánk a munkát egy anyagi pont görbe vonalú mozgása során, vegyünk figyelembe speciális eseteket:

Ebben az esetben a mechanikai munka A egyenlő:

A= F scos=
,

vagy A = Fcos× s = F S × s,

AholF S - kivetítés erő mozogni. Ebben az esetben F s = const, És geometriai jelentése munka A a téglalap területe koordinátákban F S , , s.

Ábrázoljuk az erő vetületét a mozgás irányára F S az elmozdulás függvényében s. A teljes elmozdulást ábrázoljuk n kis elmozdulás összegeként
. Kicsinek én -th mozgalom
a munka egyenlő

vagy az árnyékolt trapéz területe az ábrán.

Teljes mechanikai munka egy pontból való mozgáshoz 1 pontosan 2 egyenlő lesz:

.

Az integrál alatti érték az infinitezimális eltolás elemi munkáját jelenti
:

- alapmunka.

Egy anyagi pont pályáját végtelenül kicsi mozgásokra osztjuk és az erő munkája anyagi pont elmozdításával egy pontból 1 pontosan 2 görbe integrálként definiálva:

–ívelt mozgással dolgozzon.

1. példa: A gravitáció munkája
anyagi pont görbe vonalú mozgása során.

.

További állandó értékként kivehető az integráljelből, és az integrál ábra szerint a teljes elmozdulást jelenti . .

Ha egy pont magasságát jelöljük 1 a Föld felszínétől át , és a pont magassága 2 keresztül , Azt

Látjuk, hogy ebben az esetben a munkát az anyagi pont helyzete határozza meg az idő kezdeti és végső pillanatában, és nem függ a pálya vagy út alakjától. A gravitáció által végzett munka zárt úton nulla:
.

Azokat az erőket nevezzük, amelyeknek munkája zárt úton nullakonzervatív .

2. példa : Súrlódási erővel végzett munka.

Ez egy példa a nem konzervatív erőre. Ennek bemutatásához elegendő figyelembe venni a súrlódási erő elemi munkáját:

,

azok. A súrlódási erő által végzett munka mindig negatív mennyiség, és zárt úton nem lehet egyenlő nullával. Az egységnyi idő alatt végzett munkát ún erő. Ha az idő alatt
munka folyik
, akkor a teljesítmény egyenlő

–mechanikai erő.

Fogadás
mint

,

megkapjuk a hatalom kifejezését:

.

A munka SI mértékegysége a joule:
= 1 J = 1 N 1 m, a teljesítmény mértékegysége pedig a watt: 1 W = 1 J/s.

Mechanikus energia.

Az energia minden típusú anyag kölcsönhatásának mozgásának általános mennyiségi mérőszáma. Az energia nem tűnik el és nem keletkezik a semmiből: csak egyik formából tud átjutni a másikba. Az energia fogalma a természet összes jelenségét összekapcsolja. Az anyag mozgásának különböző formáinak megfelelően különböző típusú energiákat veszünk figyelembe - mechanikus, belső, elektromágneses, nukleáris stb.

Az energia és a munka fogalma szorosan összefügg egymással. Ismeretes, hogy a munka az energiatartalék miatt történik, és fordítva, a munka elvégzésével bármely eszközben növelheti az energiatartalékot. Más szóval, a munka az energiaváltozás mennyiségi mérőszáma:

.

Az energiát, akárcsak a munkát, SI-ben mérjük joule-ban: [ E]=1 J.

A mechanikai energia kétféle - kinetikus és potenciális.

Kinetikus energia (vagy mozgási energiát) a kérdéses testek tömege és sebessége határozza meg. Tekintsünk egy anyagi pontot, amely erő hatására mozog . Ennek az erőnek a munkája növeli az anyagi pont mozgási energiáját
. Ebben az esetben számítsuk ki a kis növekményt (differenciált) kinetikus energia:

Számításkor
Newton második törvényét használták
, és
- az anyagi pont sebességének modulja. Akkor
a következőképpen ábrázolható:

-

- mozgó anyagpont kinetikus energiája.

Ezt a kifejezést megszorozva és osztva ezzel
, és ezt figyelembe véve
, kapunk

-

- kapcsolat a mozgó anyagi pont lendülete és mozgási energiája között.

Helyzeti energia ( vagy a testek helyzetének energiája) a testre ható konzervatív erők hatása határozza meg, és csak a test helyzetétől függ. .

Láttuk, hogy a gravitáció által végzett munka
anyagi pont görbe vonalú mozgásával
a függvényértékek különbségeként ábrázolható
, pontban vették 1 és azon a ponton 2 :

.

Kiderült, hogy amikor az erők konzervatívak, ezeknek az erőknek a munkája az úton 1
2 a következőképpen ábrázolható:

.

Funkció , amely csak a test helyzetétől függ, potenciális energiának nevezzük.

Aztán elemi munkára kapunk

–a munka a potenciális energia elvesztésével egyenlő.

Ellenkező esetben azt mondhatjuk, hogy a munka a potenciális energia tartaléka miatt történik.

Méret , amely megegyezik a részecske kinetikai és potenciális energiáinak összegével, a test teljes mechanikai energiájának nevezzük:

–a test teljes mechanikai energiája.

Végezetül megjegyezzük, hogy Newton második törvényét használva
, kinetikus energia különbség
a következőképpen ábrázolható:

.

Potenciális energiakülönbség
, mint fentebb jeleztük, egyenlő:

.

Így ha az erő – konzervatív erő és nem mások külső erők, Azt , azaz ebben az esetben a test teljes mechanikai energiája megmarad.

1.5. MECHANIKAI MUNKÁK ÉS KINETIKAI ENERGIA

Az energia fogalma. Mechanikus energia. A munka az energiaváltozás mennyiségi mérőszáma. Az eredő erők munkája. Erők munkája a mechanikában. A hatalom fogalma. A kinetikus energia mint a mechanikai mozgás mértéke. Kommunikáció változás ki a netes energia belső és külső erők munkájával.Egy rendszer kinetikus energiája különböző referenciarendszerekben.Koenig tétele.

Energia - a mozgás és interakció különféle formáinak univerzális mértéke. M mechanikus energiaösszeget írja le lehetségesÉskinetikus energia, a komponensekben elérhető mechanikus rendszer . Mechanikus energia- ez egy tárgy mozgásához vagy helyzetéhez kapcsolódó energia, a mechanikai munkavégzés képessége.

Erő munkája - ez a kölcsönható testek közötti energiacsere folyamatának mennyiségi jellemzője.

Hagyja, hogy egy részecske egy erő hatására egy bizonyos 1-2 pályán mozogjon (5.1. ábra). Általában az erő a folyamatban

Egy részecske mozgása változhat mind nagyságrendben, mind irányában. Tekintsünk az 5.1. ábrán látható módon egy elemi elmozdulást, amelyen belül az erő állandónak tekinthető.

Az erő elmozdulásra gyakorolt ​​hatását a skaláris szorzattal megegyező érték jellemzi, amelyet ún alapvető munka mozgó erők. Más formában is bemutatható:

,

ahol a vektorok közötti szög és az elemi út, a vektornak a vektorra való vetületét jelzi (5.1. ábra).

Tehát az erő elemi munkája az elmozdulásra

.

A mennyiség algebrai: az erővektorok közötti szögtől és vagy az erővektor elmozdulásvektorra vetítésének előjelétől függően lehet pozitív vagy negatív, és különösen egyenlő nullával, ha pl. . Az SI munkaegység a Joule, rövidítve J.

Összeadva (integrálva) az (5.1) kifejezést az 1-es ponttól a 2-es pontig tartó út minden elemi szakaszára, megkapjuk az erő által egy adott elmozdulásra végzett munkát:

jól látható, hogy az A elemi munka numerikusan egyenlő az árnyékolt csík területével, és az A munka az 1-től a 2-ig tartó úton a görbe által határolt ábra területe, az 1-es ordinátákkal és 2 és az s tengely. Ebben az esetben az ábra s tengely feletti területét plusz előjellel (ez a pozitív munkának felel meg), az ábra s tengely alatti területét pedig mínusz előjellel ( negatív munkának felel meg).

Nézzünk példákat a munka kiszámítására. A rugalmas erő munkája ahol az A részecske O ponthoz viszonyított sugárvektora (5.3. ábra).

Mozgassuk az A részecskét, amelyre ez az erő hat, tetszőleges úton 1-től 2-ig. Először keressük meg az erő elemi munkáját az elemi elmozdulásra:

.

Skaláris szorzat ahol az eltolási vektor vetülete a vektorra. Ez a vetület egyenlő a vektor modulusának növekedésével.

Most számoljuk ki ennek az erőnek a munkáját a teljes út mentén, azaz integráljuk az utolsó kifejezést az 1. pontból a 2. pontba:

Számítsuk ki a gravitációs (vagy a matematikailag analóg Coulomb-erő) által végzett munkát. Legyen a vektor elején stacionárius ponttömeg (ponttöltés) (5.3. ábra). Határozzuk meg a gravitációs (Coulomb) erő által végzett munkát, amikor az A részecske tetszőleges úton halad 1-ből 2-be. Az A részecskére ható erő a következőképpen ábrázolható:

ahol a gravitációs kölcsönhatás paramétere egyenlő, a Coulomb-kölcsönhatásé pedig egyenlő a -val. Számítsuk ki először ennek az erőnek az elmozdulásra gyakorolt ​​elemi munkáját

Az előző esethez hasonlóan a skalárszorzat tehát

.

Ennek az erőnek a munkája egészen az 1. ponttól a 2. pontig

Tekintsük most az egyenletes gravitációs erő munkáját. Írjuk fel ezt az erőt olyan alakban, ahol a z függőleges tengely pozitív irányú egységegységét jelöljük (5.4. ábra). A gravitáció elemi munkája az elmozdulásra

Skaláris szorzat ahol a vetület az egységegységre egyenlő a z koordináta növekményével. Ezért a munka kifejezése a formát ölti

Egy adott erő által végzett munka egészen az 1. ponttól a 2. pontig

A figyelembe vett erők abból a szempontból érdekesek, hogy munkájuk, amint az az (5.3) - (5.5) képletekből látható, nem függ az 1. és 2. pont közötti út alakjától, hanem csak ezen pontok helyzetétől függ. . Ezeknek az erőknek ez a nagyon fontos jellemzője azonban nem minden erőre jellemző. Például a súrlódási erő nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal: ennek az erőnek a munkája nemcsak a kezdő- és végpont helyzetétől, hanem a köztük lévő út alakjától is függ.

Eddig egyetlen erő munkájáról beszéltünk. Ha egy részecskére a mozgás során több erő hat, amelyek eredője akkor könnyen kimutatható, hogy az eredő erő munkája egy bizonyos elmozdulásra egyenlő az egyes erők által végzett munka algebrai összegével. külön-külön ugyanazon az elmozduláson. Igazán,

Vegyünk figyelembe egy új mennyiséget - a teljesítményt. A munkavégzés sebességének jellemzésére szolgál. Erő , a-priory, - egy erő által egységnyi idő alatt végzett munka . Ha egy erő egy adott időtartamon keresztül működik, akkor az erő által egy adott időpillanatban kifejlesztett teljesítmény, ha figyelembe vesszük, hogy

Az SI teljesítmény mértékegysége a watt, rövidítve W.

Így az erő által kifejlesztett teljesítmény egyenlő az erővektor és a sebességvektor skaláris szorzatával, amellyel az erő alkalmazási pontja elmozdul. A munkához hasonlóan a hatalom is algebrai mennyiség.

Az erő erejének ismeretében megtalálhatja az erő által t időtartam alatt végzett munkát. Valóban, az (5.2)-ben szereplő integrandus as kapunk

Figyelni kell egy nagyon jelentős körülményre is. Amikor munkáról (vagy hatalomról) beszélünk, minden konkrét esetben egyértelműen jelezni vagy elképzelni kell a munkát milyen erőt(vagy erők) alatt értendő. Ellenkező esetben általában elkerülhetetlenek a félreértések.

Nézzük a koncepciót részecske kinetikus energiája. Legyen egy tömegrészecske T valamilyen erő hatására mozog (általános esetben ez az erő több erő eredménye is lehet). Keressük meg azt az elemi munkát, amelyet ez az erő egy elemi elmozdulásra végez. Ezt szem előtt tartva és , írunk

.

Skaláris szorzat ahol a vektor vetülete a vektor irányára. Ez a vetület egyenlő a sebességvektor nagyságának növekedésével. Ezért az elemi munka

Ebből világosan látszik, hogy a keletkező erő munkája egy bizonyos zárójelben lévő érték növelésére megy, amit ún kinetikus energia részecskék.

és az 1. pontból a 2. pontba történő végső mozgáskor

(5. 10 )

azaz a részecske mozgási energiájának növekedése egy bizonyos elmozdulásnál egyenlő az összes erő munkájának algebrai összegével, az azonos elmozdulású részecskére hat. Ha ekkor, vagyis a részecske mozgási energiája nő; ha igen, akkor a mozgási energia csökken.

Az (5.9) egyenlet más formában is bemutatható, ha mindkét oldalt elosztjuk a megfelelő dt időintervallumtal:

(5. 11 )

Ez azt jelenti, hogy egy részecske kinetikus energiájának időbeli deriváltja egyenlő a részecskére ható erő N teljesítményével.

Most pedig mutassuk be a fogalmat a rendszer kinetikus energiája . Tekintsünk egy tetszőleges részecskerendszert egy bizonyos referenciakeretben. Legyen a rendszer egy részecskéjének mozgási energiája egy adott pillanatban. Az egyes részecskék mozgási energiájának növekedése az (5.9) szerint egyenlő az erre a részecskére ható összes erő munkájával: Határozzuk meg a rendszer összes részecskéjére ható összes erő által végzett elemi munkát:

ahol a rendszer teljes kinetikus energiája. Vegyük észre, hogy a rendszer kinetikus energiája a mennyiség adalékanyag : egyenlő a rendszer egyes részei kinetikus energiáinak összegével, függetlenül attól, hogy kölcsönhatásba lépnek-e egymással vagy sem.

Így, a rendszer kinetikus energiájának növekedése megegyezik a rendszer összes részecskéire ható összes erő által végzett munkával. Az összes részecske elemi mozgásával

(5.1 2 )

és az utolsó tételnél

azaz a rendszer kinetikus energiájának időbeli deriváltja egyenlő a rendszer összes részecskéjére ható összes erő összteljesítményével,

Koenig tétele: kinetikus energia K részecskerendszerek két kifejezés összegeként ábrázolhatók: a) mozgási energia mV c 2 /2 egy képzeletbeli anyagi pont, amelynek tömege megegyezik a teljes rendszer tömegével, és sebessége egybeesik a tömegközéppont sebességével; b) mozgási energia K rel tömegközéppontban számolt részecskék rendszere.