កំណត់មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ។ មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ: និយមន័យឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរក

គោលគំនិតនៃមុំរវាងបន្ទាត់ និងយន្តហោះអាចត្រូវបានណែនាំសម្រាប់ទីតាំងដែលទាក់ទងណាមួយនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ l កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ នោះមុំរវាង l និងត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើ 90 ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ l ស្របទៅនឹងយន្តហោះ ឬស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ នោះមុំរវាង l និងត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើសូន្យ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ l មានទំនោរទៅនឹងយន្តហោះ នោះមុំរវាង l ហើយនេះគឺជាមុំ "រវាងបន្ទាត់ត្រង់ l និងការព្យាកររបស់វា p ទៅលើយន្តហោះ (រូបភាព 39) ។

អង្ករ។ 39. មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ

ដូច្នេះ ចូរយើងចងចាំនិយមន័យសម្រាប់ករណីមិនសំខាន់នេះ៖ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់មានទំនោរ នោះមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់នេះ។

និង ការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

7.1 ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា

សូមក្រឡេកមើលកិច្ចការបី ដែលរៀបចំឡើងក្នុងការលំបាក។ កិច្ចការទី៣ កម្រិត C2 លើការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋ ផ្នែកគណិតវិទ្យា។

បញ្ហា 1. នៅក្នុង tetrahedron ធម្មតា រកមុំរវាងគែមចំហៀង និងប្លង់នៃមូលដ្ឋាន។

បញ្ហា 2. នៅក្នុងព្រីសរាងត្រីកោណធម្មតា ABCA1 B1 C1 គែមចំហៀងស្មើនឹងផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាន។ រកមុំរវាងបន្ទាត់ AA1 និងយន្តហោះ ABC1។

ដំណោះស្រាយ។ មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរស្របទៅគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដោយសារ CC1 គឺស្របទៅនឹង AA1 មុំដែលត្រូវការគឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ CC1 និងយន្តហោះ ABC1 (រូបភាព 41)។

B 1"

អង្ករ។ 41. ទៅភារកិច្ច 2

សូមឱ្យ M ជាចំណុចកណ្តាលនៃ AB ។ ចូរយើងគូររយៈកំពស់ CH ក្នុងត្រីកោណ CC1 M. ចូរយើងបង្ហាញថា CH កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ABC1។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវបង្ហាញបន្ទាត់ប្រសព្វពីរនៃយន្តហោះនេះកាត់កែងទៅ CH ។

បន្ទាត់ត្រង់ដំបូងគឺច្បាស់: C1 M. ពិត CH? C1 M ដោយការសាងសង់។

ជួរទីពីរគឺ AB ។ ជាការពិត ការព្យាករណ៍នៃទំនោរ CH ទៅលើយន្តហោះ ABC គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ CM ។ ខណៈពេលដែល AB? សង់​ទី​ម៉ែ​ត។ ពីទ្រឹស្តីបទអំពីបីកាត់កែង វាធ្វើតាម AB ? ឈ.

ដូច្នេះ CH? ABC1. ដូច្នេះមុំរវាង CC1 និង ABC1 គឺ " = \CC1 H. យើងរកឃើញតម្លៃនៃ CH ពីទំនាក់ទំនង

C1 M CH = CC1 CM

(ភាគីទាំងពីរនៃសមាមាត្រនេះគឺស្មើនឹងពីរដងនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណ CC1 M) ។ យើង​មាន:

CM = a 2 3 ;

វានៅសល់ដើម្បីរកមុំ ":

ចម្លើយ៖ arcsin 3 7 ។

sin " = CH = 3 : CC1 ៧

បញ្ហា 3. ចំនុច K ត្រូវបានគេយកនៅលើគែម A1 B1 នៃគូប ABCDA1 B1 C1 D1 ដូច្នេះ A1 K: KB1 = 3: 1. រកមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ AK និងប្លង់ BC1 D1 ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយបានធ្វើគំនូរ (រូបភាពទី 42 ខាងឆ្វេង) យើងយល់ថាត្រូវការការសាងសង់បន្ថែម។

ជាដំបូង សូមចំណាំថា បន្ទាត់ AB ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ BC1 D1 (ចាប់តាំងពី AB k C1 D1 )។ ទីពីរ ចូរយើងគូរ B1 M ស្របទៅនឹង AK (រូបភាព 42, ស្តាំ) ។ ចូរយើងគូរ B1 C ហើយទុក N ជាចំនុចប្រសព្វនៃ B1 C និង BC1។

ចូរយើងបង្ហាញថាបន្ទាត់ត្រង់ B1 C កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ BC1 D1 ។ ជា​ការ​ពិត:

1) B 1 C ? BC1 (ដូចជាអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ);

2) B 1 C ? AB តាមទ្រឹស្តីបទនៃ 3 កាត់កែង (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ AB កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ BC នៃការព្យាករនៃទំនោរ B1 C ទៅលើយន្តហោះ ABC) ។

ដូច្នេះ B1 C គឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរនៃយន្តហោះ BC1 D1; ដូច្នេះ B1 C ? BC1 D1 ។ ដូច្នេះការព្យាករណ៍នៃបន្ទាត់ត្រង់ MB

sin " = B 1 N = 2 2 :B 1 M ៥

អត្ថបទចាប់ផ្តើមដោយនិយមន័យនៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងយន្តហោះ។ អត្ថបទនេះនឹងបង្ហាញអ្នកពីរបៀបស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេ។ ដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ និងបញ្ហានឹងត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិត។

Yandex.RTB R-A-339285-1

ជាដំបូង វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើឡើងវិញនូវគោលគំនិតនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហ និងគំនិតនៃយន្តហោះ។ ដើម្បីកំណត់មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ ការកំណត់ជំនួយជាច្រើនគឺចាំបាច់។ សូមក្រឡេកមើលនិយមន័យទាំងនេះឱ្យបានលំអិត។

និយមន័យ ១

បន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា។ក្នុងករណីនៅពេលដែលពួកគេមានចំណុចរួមមួយ នោះគឺជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់មួយ។

បន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វគ្នានឹងយន្តហោះអាចកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ។

និយមន័យ ២

បន្ទាត់ត្រង់គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនៅពេលដែលវាកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ណាមួយដែលមាននៅក្នុងយន្តហោះនេះ។

និយមន័យ ៣

ការព្យាករណ៍នៃចំណុច M នៅលើយន្តហោះγ គឺជាចំនុចដែលខ្លួនវាស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលមានបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ γ ឆ្លងកាត់ចំនុច M ដោយផ្តល់ថាវាមិនមែនជារបស់យន្តហោះγ។

និយមន័យ ៤

ការ​ព្យាករ​នៃ​បន្ទាត់ A លើ​យន្តហោះ​γ គឺជាសំណុំនៃការព្យាករនៃចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។

ពីនេះយើងទទួលបានថាការព្យាករនៃបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះγមានចំណុចប្រសព្វមួយ។ យើងរកឃើញថាការព្យាករនៃបន្ទាត់ a គឺជាបន្ទាត់ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ γ ហើយឆ្លងកាត់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ a និងយន្តហោះ។ តោះមើលរូបខាងក្រោម។

បើក ពេលនេះយើងមានព័ត៌មាន និងទិន្នន័យចាំបាច់ទាំងអស់ ដើម្បីបង្កើតនិយមន័យនៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ

និយមន័យ ៥

មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់នេះ និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះនេះត្រូវបានគេហៅថា ហើយបន្ទាត់ត្រង់មិនកាត់កែងទៅនឹងវាទេ។

និយមន័យនៃមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើជួយឱ្យសន្និដ្ឋានថាមុំរវាងបន្ទាត់មួយនិងយន្តហោះគឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ ពោលគឺបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យរួមជាមួយការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើយន្តហោះ។ នេះមានន័យថាមុំរវាងពួកវានឹងតែងតែស្រួចស្រាវ។ តោះមើលរូបភាពខាងក្រោម។

មុំដែលស្ថិតនៅចន្លោះបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់ត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រឹមត្រូវ ពោលគឺស្មើនឹង 90 ដឺក្រេ ប៉ុន្តែមុំដែលស្ថិតនៅចន្លោះបន្ទាត់ត្រង់ប៉ារ៉ាឡែលមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ មានករណីនៅពេលដែលតម្លៃរបស់វាត្រូវបានយកស្មើនឹងសូន្យ។

បញ្ហាដែលចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងយន្តហោះមានការប្រែប្រួលជាច្រើននៅក្នុងដំណោះស្រាយ។ វគ្គនៃដំណោះស្រាយដោយខ្លួនវាអាស្រ័យលើទិន្នន័យដែលមាននៅលើលក្ខខណ្ឌ។ ដៃគូញឹកញាប់ចំពោះដំណោះស្រាយគឺជាសញ្ញានៃភាពស្រដៀងគ្នា ឬសមភាពនៃតួលេខ កូស៊ីនុស ស៊ីនុស តង់សង់នៃមុំ។ ការស្វែងរកមុំគឺអាចធ្វើទៅបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេ។ សូមក្រឡេកមើលវាឱ្យកាន់តែលម្អិត។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ O x y z ត្រូវបានណែនាំក្នុងលំហបីវិមាត្រ នោះបន្ទាត់ត្រង់ a ត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងវា ដោយប្រសព្វយន្តហោះ γ នៅចំណុច M ហើយវាមិនកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនោះទេ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកមុំαដែលស្ថិតនៅចន្លោះបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងយន្តហោះ។

ដំបូងអ្នកត្រូវអនុវត្តនិយមន័យនៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានដូចខាងក្រោម។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ O x y z បន្ទាត់ត្រង់ a ត្រូវបានបញ្ជាក់ ដែលត្រូវនឹងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។ សម្រាប់យន្តហោះ γ វាត្រូវគ្នានឹងសមីការនៃយន្តហោះ និងធម្មតា វ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះ។ បន្ទាប់មក a → = (a x , a y , a z) គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ហើយ n → (n x , n y , n z) គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតាសម្រាប់យន្តហោះ γ ។ ប្រសិនបើយើងស្រមៃថាយើងមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ a និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះγ នោះសមីការរបស់ពួកគេត្រូវបានគេស្គាល់ នោះគឺពួកគេត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយលក្ខខណ្ឌ នោះវាអាចកំណត់វ៉ិចទ័រ a → និង n → ផ្អែកលើសមីការ។

ដើម្បីគណនាមុំ វាចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងរូបមន្តដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃមុំនេះដោយប្រើកូអរដោនេដែលមានស្រាប់នៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

វាចាំបាច់ក្នុងការគូរវ៉ិចទ័រ a → និង n → ដោយចាប់ផ្តើមពីចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ a ជាមួយយន្តហោះ γ ។ មានជម្រើស 4 សម្រាប់ទីតាំងនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះទាក់ទងទៅនឹងបន្ទាត់ និងប្លង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សូម​មើល​រូប​ខាង​ក្រោម​ដែល​បង្ហាញ​ពី​ការ​ប្រែប្រួល​ទាំង ៤។

ពីទីនេះយើងទទួលបានថាមុំរវាងវ៉ិចទ័រ a → និង n → ត្រូវបានកំណត់ a → , n → ^ និងស្រួចស្រាវបន្ទាប់មកមុំដែលចង់បាន α ដែលស្ថិតនៅចន្លោះបន្ទាត់ត្រង់និងប្លង់ត្រូវបានបំពេញ ពោលគឺយើងទទួលបានកន្សោម នៃទម្រង់ a → , n → ^ = 90 ° - α។ នៅពេលដែលតាមលក្ខខណ្ឌ a →, n → ^> 90 °បន្ទាប់មកយើងមាន a →, n → ^ = 90 ° + α។

ពីទីនេះយើងមានកូស៊ីនុស មុំស្មើគ្នាគឺស្មើគ្នា បន្ទាប់មកសមភាពចុងក្រោយត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ប្រព័ន្ធ

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

អ្នកត្រូវតែប្រើរូបមន្តកាត់បន្ថយ ដើម្បីសម្រួលកន្សោម។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមភាពនៃទម្រង់ cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°

បន្ទាប់ពីអនុវត្តការបំប្លែងរួច ប្រព័ន្ធយកទម្រង់ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

ពីនេះយើងទទួលបានថាស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងប្លង់គឺស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ផ្នែកនៃការស្វែងរកមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រពីរបានបង្ហាញថាមុំនេះយកតម្លៃនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រនិងផលិតផលនៃប្រវែងទាំងនេះ។ ដំណើរការនៃការគណនាស៊ីនុសនៃមុំដែលទទួលបានដោយការប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងយន្តហោះត្រូវបានអនុវត្តតាមរូបមន្ត

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

នេះមានន័យថារូបមន្តសម្រាប់គណនាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងប្លង់ដែលមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះបន្ទាប់ពីការបំលែងគឺជាទម្រង់

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

ការស្វែងរកកូស៊ីនុសសម្រាប់ស៊ីនុសដែលគេស្គាល់គឺអាចធ្វើទៅបានដោយអនុវត្តអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងយន្តហោះបង្កើតបានជាមុំស្រួច។ នេះបង្ហាញថាតម្លៃរបស់វានឹងមាន លេខវិជ្ជមានហើយការគណនារបស់វាត្រូវបានធ្វើឡើងពីរូបមន្ត cos α = 1 - sin α ។

ចូរយើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាមួយចំនួនដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ។

ឧទាហរណ៍ ១

រកមុំស៊ីនុស កូស៊ីនុសនៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ x 3 = y + 1 − 2 = z − 11 6 និងប្លង់ 2 x + z − 1 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីទទួលបានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានថា a → = (3, − 2, 6) គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ x 3 = y + 1 − 2 = z − 11 6 ។

ដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាវាចាំបាច់ដើម្បីពិចារណា សមីការទូទៅយន្តហោះ ចាប់តាំងពីវត្តមានរបស់ពួកគេត្រូវបានកំណត់ដោយមេគុណដែលមាននៅខាងមុខ អថេរនៃសមីការ. បន្ទាប់មកយើងឃើញថាសម្រាប់យន្តហោះ 2 x + z − 1 = 0 វ៉ិចទ័រធម្មតាមានទម្រង់ n → = (2, 0, 1) ។

វាចាំបាច់ក្នុងការបន្តគណនាស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ចាំបាច់ត្រូវជំនួសកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ a → និង b → ទៅក្នុងរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងទទួលបានកន្សោមនៃទម្រង់

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + ( − 2 ) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

ពីទីនេះយើងរកឃើញតម្លៃនៃកូស៊ីនុស និងតម្លៃនៃមុំដោយខ្លួនឯង។ យើង​ទទួល​បាន:

cos α = 1 - sin α = 1 − 12 7 5 2 = 101 7 5

ចម្លើយ៖ sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5 .

ឧទាហរណ៍ ២

មានពីរ៉ាមីតដែលសាងសង់ឡើងដោយប្រើតម្លៃនៃវ៉ិចទ័រ A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1 ។ រកមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ A D និងប្លង់ A B C ។

ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីគណនាមុំដែលចង់បានវាចាំបាច់ត្រូវមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។ សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ A D វ៉ិចទ័រទិសដៅមានកូអរដោនេ A D → = 4, 1, 1 ។

វ៉ិចទ័រធម្មតា n → ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ A B C កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ A B → និង A C → ។ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ A B C អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ A B → និង A C → ។ យើងគណនាវាដោយប្រើរូបមន្ត និងទទួលបាន៖

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 − 1 3 0 = − 6 · i → − 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )

វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដើម្បីគណនាមុំដែលចង់បានដែលបង្កើតឡើងដោយចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ។ យើងទទួលបានទម្រង់បែបបទ៖

α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 ២

ចម្លើយ៖ a r c sin 23 21 2 .

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមរំលេចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

មុំ a រវាងបន្ទាត់ត្រង់ l និងប្លង់ 6 អាចត្រូវបានកំណត់តាមរយៈមុំបន្ថែម p រវាងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ l និងកាត់កែង n ទៅនឹងប្លង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលដកចេញពីចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ (រូបភាព 144) ។ មុំ P បំពេញមុំដែលចង់បាន a ទៅ 90° ។ ដោយបានកំណត់តម្លៃពិតនៃមុំ P ដោយបង្វិលកម្រិតយន្តហោះនៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ l និងកាត់កែង និងជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់ វានៅតែត្រូវបំពេញបន្ថែមវាទៅ មុំខាងស្តាំ. មុំបន្ថែមនេះនឹងផ្តល់តម្លៃពិតនៃមុំ a រវាងបន្ទាត់ត្រង់ l និងប្លង់ 0 ។

27. កំណត់មុំរវាងយន្តហោះពីរ។

តម្លៃពិត មុំ dihedral- រវាងយន្តហោះពីរ Q និង l ។ - អាចកំណត់បានដោយការជំនួសប្លង់ព្យាករ ដើម្បីបំប្លែងគែមនៃមុំ dihedral ទៅជាបន្ទាត់ព្យាករ (បញ្ហា 1 និង 2) ឬប្រសិនបើគែមមិនត្រូវបានបញ្ជាក់ ដោយសារមុំរវាងកាត់កែងពីរ n1 និង n2 ត្រូវបានគូរទៅ យន្តហោះទាំងនេះពីចំណុចបំពាន M នៃលំហ B នៃប្លង់កាត់កែងទាំងនេះនៅចំណុច M យើងទទួលបានមុំយន្តហោះពីរ a និង P ដែលស្មើនឹងមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំជាប់គ្នាពីរ ( dihedral) ដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះ q និង l ។ ដោយបានកំណត់តម្លៃពិតនៃមុំរវាងកាត់កែង n1 និង n2 ដោយបង្វិលជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់នៃកម្រិត នោះយើងនឹងកំណត់មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយប្លង់ q និង l ។

បន្ទាត់កោង។ ចំណុចពិសេសនៃបន្ទាត់កោង។

នៅក្នុងគំនូរស្មុគ្រស្មាញនៃខ្សែកោង ចំនុចពិសេសរបស់វា ដែលរួមមានចំណុចនៃការឆ្លុះ ត្រឡប់ បំបែក និងចំណុច nodal ក៏ជាចំណុចពិសេសនៅលើការព្យាកររបស់វាផងដែរ។ នេះត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាចំនុចឯកវចនៈនៃខ្សែកោងត្រូវបានភ្ជាប់ទៅនឹងតង់សង់នៅចំណុចទាំងនេះ។

ប្រសិនបើយន្តហោះនៃខ្សែកោងកាន់កាប់ទីតាំងបញ្ចាំង (រូបភាពទី. ក)បន្ទាប់មកការព្យាករមួយនៃខ្សែកោងនេះមានរាងជាបន្ទាត់ត្រង់។

សម្រាប់ខ្សែកោងលំហ រាល់ការព្យាកររបស់វាគឺជាបន្ទាត់កោង (រូបភាពទី. ខ)

ដើម្បីកំណត់ពីគំនូរដែលខ្សែកោងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (យន្តហោះឬលំហ) វាចាំបាច់ត្រូវរកឱ្យឃើញថាតើចំណុចទាំងអស់នៃខ្សែកោងជារបស់យន្តហោះតែមួយ។ បញ្ជាក់ក្នុងរូប។ ខខ្សែកោងគឺមានទំហំចាប់ពីចំណុច ឃខ្សែកោងមិនមែនជារបស់យន្តហោះដែលកំណត់ដោយចំណុចបីផ្សេងទៀត។ ក, ខនិង អ៊ីខ្សែកោងនេះ។

រង្វង់ - ខ្សែកោងយន្តហោះនៃលំដាប់ទីពីរដែលជាការព្យាករណ៍រាងពងក្រពើដែលអាចជារង្វង់និងរាងពងក្រពើ

បន្ទាត់ helical cylindrical (helix) គឺជាខ្សែកោងលំហដែលតំណាងឱ្យគន្លងនៃចំនុចដែលធ្វើចលនារាងមូល។

29. Flat and spatial curved line.

សូមមើលសំណួរទី 28

30. គំនូរផ្ទៃស្មុគស្មាញ។ បទប្បញ្ញត្តិជាមូលដ្ឋាន.

ផ្ទៃគឺជាសំណុំនៃទីតាំងបន្តបន្ទាប់គ្នានៃបន្ទាត់ដែលផ្លាស់ទីក្នុងលំហ។ បន្ទាត់នេះអាចត្រង់ឬកោងហើយត្រូវបានគេហៅថា generatrixផ្ទៃ។ ប្រសិនបើ generatrix គឺជាខ្សែកោង វាអាចមានរូបរាងថេរ ឬអថេរ។ generatrix ផ្លាស់ទីតាម មគ្គុទ្ទេសក៍,តំណាងឱ្យបន្ទាត់នៃទិសដៅផ្សេងគ្នាជាងម៉ាស៊ីនភ្លើង។ បន្ទាត់ណែនាំកំណត់ច្បាប់នៃចលនាសម្រាប់ម៉ាស៊ីនភ្លើង។ នៅពេលផ្លាស់ទី generatrix តាមការណែនាំ ក ស៊ុមផ្ទៃ (រូបភាព 84) ដែលជាសំណុំនៃមុខតំណែងបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃ generatrices និងការណែនាំ។ ពិនិត្យមើលស៊ុមមនុស្សម្នាក់អាចជឿជាក់បានថាម៉ាស៊ីនភ្លើង លីត្រនិងការណែនាំ ធ អាចផ្លាស់ប្តូរបាន ប៉ុន្តែផ្ទៃនៅតែដដែល។

ផ្ទៃណាមួយអាចទទួលបានតាមវិធីផ្សេងៗ។

អាស្រ័យលើរូបរាងរបស់ generatrix ផ្ទៃទាំងអស់អាចត្រូវបានបែងចែកទៅជា គ្រប់គ្រង,ដែលមានបន្ទាត់ត្រង់ទូទៅ និង មិនគ្រប់គ្រង,ដែលមានទម្រង់ជាបន្ទាត់កោង។

ផ្ទៃដែលអាចអភិវឌ្ឍបានរួមមានផ្ទៃនៃ polyhedra ទាំងអស់ រាងស៊ីឡាំង រាងសាជី និងផ្ទៃដងខ្លួន។ ផ្ទៃផ្សេងទៀតទាំងអស់គឺមិនអាចអភិវឌ្ឍបានទេ។ ផ្ទៃដែលមិនស្ថិតក្រោមការគ្រប់គ្រងអាចមាន generatrix នៃរូបរាងថេរ (ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ និងផ្ទៃ tubular) និង generatrix នៃរូបរាងអថេរ (ផ្ទៃឆានែល និងស៊ុម)។

ផ្ទៃក្នុងគំនូរស្មុគស្មាញត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការព្យាករណ៍នៃផ្នែកធរណីមាត្រនៃកត្តាកំណត់របស់វា ដែលបង្ហាញពីវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់ម៉ាស៊ីនភ្លើងរបស់វា។ នៅក្នុងគំនូរនៃផ្ទៃមួយ សម្រាប់ចំណុចណាមួយក្នុងលំហ សំណួរថាតើវាជារបស់ផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះត្រូវបានដោះស្រាយដោយមិនច្បាស់លាស់។ ការបញ្ជាក់តាមក្រាហ្វិកធាតុនៃកត្តាកំណត់ផ្ទៃធានានូវភាពបញ្ច្រាសនៃគំនូរ ប៉ុន្តែមិនធ្វើឱ្យវាមើលឃើញទេ។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ ពួកគេងាកទៅរកការសាងសង់ការព្យាករណ៍នៃស៊ុមក្រាស់ដោយស្មើភាពនៃ generatrices និងការសាងសង់បន្ទាត់គ្រោងនៃផ្ទៃ (រូបភាព 86) ។ នៅពេល​បញ្ចាំង​ផ្ទៃ Q លើ​យន្តហោះ​ព្យាករ កាំរស្មី​ដែល​បញ្ចាំង​ប៉ះ​ផ្ទៃ​នេះ​នៅ​ចំណុច​ដែល​បង្កើត​ជា​បន្ទាត់​ជាក់លាក់​នៅលើ​វា លីត្រដែលត្រូវបានគេហៅថា វណ្ឌវង្កបន្ទាត់។ ការព្យាករនៃបន្ទាត់វណ្ឌវង្កត្រូវបានគេហៅថា អត្ថបទផ្ទៃ។ នៅក្នុងគំនូរស្មុគស្មាញ ផ្ទៃណាមួយមាន៖ ទំ 1 - គ្រោងផ្ដេកនៅលើ P 2 - គ្រោងផ្នែកខាងមុខនៅលើ P 3 - គ្រោងនៃផ្ទៃ។ គំនូរព្រាងរួមបញ្ចូល បន្ថែមពីលើការព្យាករនៃបន្ទាត់វណ្ឌវង្ក ការព្យាករនៃបន្ទាត់កាត់ផងដែរ។

និយមន័យនៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់គឺផ្អែកលើគំនិតនៃការព្យាករ oblique ។ និយមន័យ។ មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់នេះ និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅក្នុងរូបភព។ 341 បង្ហាញមុំ a រវាង inclined AM និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះ K ។

ចំណាំ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់មួយស្របទៅនឹងយន្តហោះ ឬស្ថិតនៅក្នុងវា នោះមុំរបស់វាជាមួយនឹងយន្តហោះត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើសូន្យ។ ប្រសិនបើវាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ នោះមុំត្រូវបានប្រកាសថាត្រឹមត្រូវ (និយមន័យពីមុនគឺមិនអាចអនុវត្តបាននៅទីនេះ!) ក្នុងករណីផ្សេងទៀត មុំស្រួចគឺបង្កប់ន័យរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងការព្យាកររបស់វា។ ដូច្នេះ​មុំ​រវាង​បន្ទាត់​ត្រង់​និង​ប្លង់​មិន​ដែល​លើស​ពី​មុំ​ស្តាំ​ទេ។ ចូរយើងកត់សំគាល់ផងដែរថានៅទីនេះវាជាការត្រឹមត្រូវជាងក្នុងការនិយាយអំពីរង្វាស់នៃមុំហើយមិនមែនអំពីមុំទេ (ជាការពិត យើងកំពុងនិយាយអំពីអំពីកម្រិតនៃទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយទៅកាន់យន្តហោះ គោលគំនិតនៃមុំជាតួរលេខរាបស្មើដែលចងដោយកាំរស្មីពីរមិនមានទំនាក់ទំនងផ្ទាល់នៅទីនេះទេ)។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទៀងផ្ទាត់ទ្រព្យសម្បត្តិមួយទៀតនៃមុំស្រួច រវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ។

ក្នុងចំណោមមុំទាំងអស់ដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងបន្ទាត់ត្រង់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៅក្នុងយន្តហោះ មុំជាមួយនឹងការព្យាករនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺតូចបំផុត។

ភស្តុតាង។ ចូរយើងងាកទៅ Fig ។ 342. អនុញ្ញាតឱ្យ a ក្លាយជាបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ, អនុញ្ញាតឱ្យការព្យាកររបស់វានៅលើយន្តហោះជាបន្ទាត់ផ្សេងទៀតបំពាននៅក្នុងយន្តហោះ K (ដើម្បីភាពងាយស្រួល, យើងបានគូរវាតាមរយៈចំណុច A នៃប្រសព្វនៃបន្ទាត់ a ជាមួយយន្តហោះ) ។ ចូរយើងដាក់វានៅលើផ្នែកត្រង់មួយ ពោលគឺស្មើទៅនឹងមូលដ្ឋាននៃ inclined MA ដែលជាការព្យាករនៃចំនុចមួយនៃចំនុច inclined a.

បន្ទាប់មកនៅក្នុងត្រីកោណពីរភាគីគឺស្មើគ្នា: ចំហៀង AM គឺជារឿងធម្មតាពួកគេស្មើគ្នានៅក្នុងការសាងសង់។ ប៉ុន្តែផ្នែកទីបីនៅក្នុងត្រីកោណគឺធំជាងផ្នែកទីបីនៅក្នុងត្រីកោណ (ផ្នែកដែលមានទំនោរគឺធំជាងកាត់កែង) ។ នេះមានន័យថាមុំទល់មុខ b គឺធំជាងមុំដែលត្រូវគ្នា a b (សូមមើលកថាខណ្ឌ 217): ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់។

មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់គឺតូចបំផុតនៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងបន្ទាត់ត្រង់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៅក្នុងយន្តហោះ។

យុត្តិធម៌ ហើយដូច្នេះ

ទ្រឹស្តីបទ។ ជ្រុងមុតស្រួចរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅក្នុងយន្តហោះ និងការព្យាករនៃទំនោរទៅលើយន្តហោះនេះគឺតិចជាងមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់នេះ និងទំនោរមួយ។

ភស្តុតាង។ ចូរ​ឲ្យ​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់​ដេក​ក្នុង​យន្តហោះ (រូបភាព 342) ហើយ​ត្រូវ​មាន​ទំនោរ​ទៅ​នឹង​យន្តហោះ ហើយ​ត្រូវ​ជា​ការ​ព្យាករ​របស់​វា​ទៅ​លើ​យន្តហោះ។ យើងនឹងពិចារណាបន្ទាត់ត្រង់ដូចជាទំនោរទៅនឹងយន្តហោះ បន្ទាប់មកវានឹងជាការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះដែលបានចង្អុលបង្ហាញ ហើយដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិពីមុន យើងនឹងរកឃើញ៖ ដែលជាអ្វីដែលយើងត្រូវបញ្ជាក់។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទនៃកាត់កែងទាំងបី វាច្បាស់ណាស់ថាក្នុងករណីដែលបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងការព្យាករ oblique (ករណីមិនមែនជាស្រួច ប៉ុន្តែជាមុំខាងស្តាំ) បន្ទាត់ត្រង់ក៏កាត់កែងទៅនឹង oblique មួយ; ក្នុងករណីនេះ មុំទាំងពីរដែលយើងកំពុងនិយាយអំពីគឺជាមុំខាងស្តាំ ហើយដូច្នេះស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។

ចូរយើងនិយាយឡើងវិញនូវនិយមន័យនៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ។

និយមន័យ។ មុំ​រវាង​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ​និង​យន្តហោះ​ប្រសព្វ​នឹង​បន្ទាត់​ត្រង់​នេះ ហើយ​មិន​កាត់​កែង​ទៅ​វា​ទេ។គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះ។

អនុញ្ញាតឱ្យយន្តហោះ γ និងបន្ទាត់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះនេះ ហើយមិនកាត់កែងទៅវាទេ។

ចូរយើងបង្កើតមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ a និងប្លង់γ៖

1. ពីចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ a ដែលងាយស្រួលសម្រាប់យើង យើងបន្ថយកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះγ;
2. តាមរយៈចំនុចនៃគោលនៃទំនោរ និងកាត់កែង យើងគូរបន្ទាត់ត្រង់ ខ។ បន្ទាត់ b គឺជាការព្យាករនៃបន្ទាត់ a ទៅលើយន្តហោះ γ;
3. មុំស្រួចរវាងបន្ទាត់ត្រង់ a និង b គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ a និងប្លង់ γ, i.e. ∠(a;b)= ∠(a;γ) ដែល ∠(a;b) ជាមុំរវាងបន្ទាត់ a និង b; ∠ (a; γ) - មុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ a និងប្លង់ γ ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេ យើងត្រូវចងចាំដូចខាងក្រោម៖

3. ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ ( a 1 ; b 1 ; c 1 ) និងវ៉ិចទ័រធម្មតាត្រូវបានគេស្គាល់
(a; b; c) បន្ទាប់មកមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ a និងប្លង់ γ ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តដែលយើងនឹងទាញយកឥឡូវនេះ។

យើងដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់រកមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់៖

; (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a; b) បន្ទាប់មក cos∠(s;a)=cos(90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b); (2)
ពី (1) និង (2) => ; (3)
តើមុំរវាងវ៉ិចទ័រ m និង n ស្ថិតនៅត្រង់ណា; (4)
យើងជំនួស (4) ទៅជា (3) ។ល។ ∠(a;b)= ∠(a;γ) បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

4. ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាមិនត្រូវបានគេដឹងនោះយើងត្រូវដឹងពីសមីការនៃយន្តហោះ។

យន្តហោះណាមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ

ax + ដោយ + cz + d = 0,

ដែលយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ a, b, c ខុសពីសូន្យ។ មេគុណទាំងនេះនឹងជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា i.e. (a; b; គ) ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេ៖

1. យើងធ្វើគំនូរមួយដែលយើងគូសបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់។
2. យើងណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។
3. យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅពីកូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់របស់វា;
4. ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះ;
5. យើងជំនួសទិន្នន័យដែលទទួលបានទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងប្លង់មួយ។
6. ស្វែងរកតម្លៃនៃមុំដោយខ្លួនឯង។

តោះពិចារណាបញ្ហា៖
1. ក្នុងគូប ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 រកតង់សង់នៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ AC 1 និងយន្តហោះ BDD 1.
ដំណោះស្រាយ៖

1. ចូរយើងណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណដែលមានប្រភពដើមនៅចំណុច D ។
2. រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ AC 1 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងកំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច A និង C 1:
A(0; 1; 0);
C 1 (1; 0; 1) ។
{1; -1; 1}.
3. រកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះ BB 1 D 1 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញកូអរដោនេនៃចំណុចបីនៃយន្តហោះដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយហើយគូរសមីការនៃយន្តហោះ:
ឃ(0; 0; 0);
ឃ 1 (0; 0; 1);
B(1; 1; 0);
ឃ៖ a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
ឃ ១៖ a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B៖ a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0។

ចូរជំនួសសមីការ៖ a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |: ក
x-y = 0 ។
ដូច្នេះវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះ BDD 1 មានកូអរដោនេ៖
{1;-1; 0}.
4. ស្វែងរកស៊ីនុសរវាងបន្ទាត់ត្រង់ AC 1 និងយន្តហោះ BDD 1៖

5. ចូរយើងប្រើមេ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រហើយរកកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ AC 1 និងយន្តហោះ BDD 1៖

6. រកតង់សង់នៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ AC 1 និងយន្តហោះ BDD 1៖

ចម្លើយ៖ .

2. នៅក្នុងសាជីជ្រុងរាងបួនជ្រុងធម្មតា SABCD គែមទាំងអស់ដែលស្មើនឹង 1 រកស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ BD និងប្លង់ SBC ។

ដំណោះស្រាយ៖

1. ចូរយើងណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដែលមានប្រភពដើមនៅចំណុចខ។
2. ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ BD ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងកំណត់កូអរដោនេនៃចំណុច B និង D:

3. ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះ SBC ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញកូអរដោនេនៃចំណុចបីនៃយន្តហោះដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នាហើយសរសេរសមីការនៃយន្តហោះ SBC:

តើអ្នកទទួលបានកូអរដោនេនៃចំណុច S យ៉ាងដូចម្តេច?

ពីចំណុច S កាត់កែងត្រូវបានបន្ទាបទៅប្លង់គោល ABC ។ ចំណុចប្រសព្វត្រូវបានកំណត់ O. ចំណុច O គឺជាការព្យាករនៃចំណុច S ទៅលើយន្តហោះ ABC ។ កូអរដោនេ x និង y របស់វានឹងជាកូអរដោនេពីរដំបូងនៃចំណុច S ។

ដោយបានរកឃើញកម្ពស់នៃពីរ៉ាមីតយើងបានរកឃើញកូអរដោនេទីបីនៃចំណុច S (តាមអ័ក្ស z)

ត្រីកោណ SOB មានរាងចតុកោណកែង ដូច្នេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ៖

សមីការយន្តហោះគឺ ax+by+cz+d=0។ ចូរជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុចទៅក្នុងសមីការនេះ៖

យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបី៖

ចូរយើងជំនួសសមីការ៖

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះ SBD មានកូអរដោនេ៖

.
4. រកស៊ីនុសរវាងបន្ទាត់ត្រង់ BD និងយន្តហោះ SBD ។