Formos kur funkcija yra vadinama kvadratinė funkcija.

Kvadratinės funkcijos grafikas – parabolė.

Panagrinėkime atvejus:

I CASE, KLASIKINĖ PARABOLĖ

Tai yra , ,

Norėdami sukurti, užpildykite lentelę, pakeisdami x reikšmes į formulę:

Pažymėkite taškus (0;0); (1; 1); (-1;1) ir kt. koordinačių plokštumoje (kuo mažesniu žingsniu darome x reikšmes (in tokiu atveju 1 veiksmas), ir kuo daugiau x verčių imsime, tuo sklandesnė kreivė), gauname parabolę:

Nesunku pastebėti, kad jei paimtume atvejį , , , tai yra, gautume parabolę, kuri yra simetriška ašiai (oh). Tai lengva patikrinti užpildant panašią lentelę:

II ATVEJIS, „a“ SKIRIASI NUO VIENETAS

Kas atsitiks, jei imsime , , ? Kaip pasikeis parabolės elgsena? Su title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pirmajame paveikslėlyje (žr. aukščiau) aiškiai matyti, kad parabolės (1;1), (-1;1) lentelės taškai buvo paversti taškais (1;4), (1;-4), tai yra, esant toms pačioms reikšmėms, kiekvieno taško ordinatė padauginama iš 4. Taip atsitiks su visais pagrindiniais pradinės lentelės taškais. Panašiai mąstome ir 2 ir 3 paveikslėlių atvejais.

Ir kai parabolė „tampa platesnė“ už parabolę:

Apibendrinkime:

1)Koeficiento ženklas lemia šakų kryptį. Su title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoliučioji vertė koeficientas (modulis) yra atsakingas už parabolės „išsiplėtimą“ ir „suspaudimą“. Kuo didesnis , tuo siauresnė parabolė |a|, tuo parabolė platesnė.

III ATVEJIS, ATRODA „C“.

Dabar įveskime į žaidimą (tai yra, apsvarstykime atvejį, kai), apsvarstysime formos paraboles. Nesunku atspėti (visada galite remtis lentele), kad parabolė pasislinks aukštyn arba žemyn išilgai ašies, priklausomai nuo ženklo:

IV ATVEJIS, ATSIRODA „b“.

Kada parabolė „atitrūks“ nuo ašies ir pagaliau „vaikščios“ per visą koordinačių plokštumą? Kada nustos būti lygus?

Čia reikia sukurti parabolę viršūnės apskaičiavimo formulė: , .

Taigi šiuo metu (kaip taške (0;0) nauja sistema koordinates) pastatysime parabolę, ką jau galime padaryti. Jei nagrinėjame atvejį, tai nuo viršūnės dedame vieną vienetinį segmentą į dešinę, vieną į viršų, - gautas taškas yra mūsų (panašiai žingsnis į kairę, žingsnis aukštyn yra mūsų taškas); jei turime reikalą, pavyzdžiui, tai iš viršūnės dedame vieną vienetinį segmentą į dešinę, du – į viršų ir t.t.

Pavyzdžiui, parabolės viršūnė:

Dabar svarbiausia suprasti, kad šioje viršūnėje mes sukursime parabolę pagal parabolės modelį, nes mūsų atveju.

Statant parabolę suradus viršūnės koordinates labaiPatogu atsižvelgti į šiuos dalykus:

1) parabolė tikrai praeis per tašką . Iš tiesų, formulėje pakeitę x=0, gauname, kad . Tai yra, parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taško ordinatė yra . Mūsų pavyzdyje (aukščiau) parabolė kerta ordinatę taške , nes .

2) simetrijos ašis parabolės yra tiesi linija, todėl visi parabolės taškai bus jos atžvilgiu simetriški. Mūsų pavyzdyje iš karto paimame tašką (0; -2) ir pastatome jį simetriškai parabolės simetrijos ašies atžvilgiu, gauname tašką (4; -2), per kurį parabolė praeis.

3) Prilyginę , išsiaiškiname parabolės susikirtimo taškus su ašimi (oh). Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygtį. Priklausomai nuo diskriminanto, gausime vieną (, ), du ( title="Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . IN ankstesnis pavyzdys mūsų diskriminanto šaknis nėra sveikasis skaičius, jį konstruojant nėra jokio ypatingo taško ieškoti šaknų, tačiau aiškiai matome, kad turėsime du susikirtimo taškus su ašimi (oh) (nuo title=" Pateikė QuickLaTeX com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Taigi išsiaiškinkime

Parabolės konstravimo algoritmas, jei jis pateiktas formoje

1) nustatyti šakų kryptį (a>0 – aukštyn, a<0 – вниз)

2) parabolės viršūnės koordinates randame naudodami formulę , .

3) randame parabolės susikirtimo tašką su ašimi (oy) naudodami laisvąjį terminą, sukonstruokite šiam taškui simetrišką tašką parabolės simetrijos ašies atžvilgiu (reikia pastebėti, kad pasitaiko, kad žymėti neapsimoka Pavyzdžiui, šis taškas, nes vertė yra didelė... šį tašką praleidžiame...)

4) Rastame taške - parabolės viršūnėje (kaip ir naujosios koordinačių sistemos taške (0;0)) konstruojame parabolę. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Parabolės susikirtimo su ašimi (oy) taškus randame (jei jie dar „nepavirtę“) išspręsdami lygtį

1 pavyzdys

2 pavyzdys

1 pastaba. Jei parabolė iš pradžių mums pateikiama forma , kur yra keletas skaičių (pavyzdžiui, ), tada ją sudaryti bus dar lengviau, nes jau gavome viršūnės koordinates. Kodėl?

Paimkime kvadratinis trinaris ir jame pasirinkite visą kvadratą: Žiūrėkite, mes turime, kad , . Jūs ir aš anksčiau vadinome parabolės viršūnę, tai yra, dabar.

Pavyzdžiui, . Plokštumoje pažymime parabolės viršūnę, suprantame, kad šakos nukreiptos žemyn, parabolė išsiplėtusi (santykiškai). Tai yra, atliekame 1 punktus; 3; 4; 5 iš parabolės konstravimo algoritmo (žr. aukščiau).

Užrašas 2. Jei parabolė pateikiama panašia į šią forma (ty pateikiama kaip dviejų tiesinių faktorių sandauga), tada iš karto matome parabolės susikirtimo taškus su ašimi (jautis). Šiuo atveju – (0;0) ir (4;0). Likusioje dalyje mes veikiame pagal algoritmą, atidarydami skliaustus.

- — [] kvadratinė funkcija y= ax2 + bx + c (a ? 0) formos funkcija. Grafikas K.f. - parabolė, kurios viršūnė turi koordinates [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], su a>0 parabolės šakų ... ...

KVADRATINĖ FUNKCIJA, matematinė FUNKCIJA, kurio reikšmė priklauso nuo nepriklausomo kintamojo x kvadrato ir atitinkamai pateikiama kvadratiniu POLINOMIJU, pvz.: f(x) = 4x2 + 17 arba f(x) = x2 + 3x + 2. taip pat žiūrėkite Kvadratinę LYgtį ... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas

Kvadratinė funkcija - Kvadratinė funkcija yra y= ax2 + bx + c formos funkcija (a ≠ 0). Grafikas K.f. - parabolė, kurios viršūnė turi koordinates [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], kai a> 0 parabolės šakos nukreiptos į viršų,< 0 –вниз… …

- (kvadratinė) Funkcija, kurios forma yra tokia: y=ax2+bx+c, kur a≠0 ir aukščiausias laipsnis x yra kvadratas. Kvadratinė lygtis y=ax2 +bx+c=0 taip pat galima išspręsti naudojant šią formulę: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Šios šaknys yra tikros... Ekonomikos žodynas

Afininė kvadratinė funkcija afininėje erdvėje S yra bet kuri funkcija Q: S→K, kuri vektorizuota forma yra Q(x)=q(x)+l(x)+c, kur q yra kvadratinė funkcija, l yra tiesinė funkcija, c yra konstanta. Turinys 1 Atskaitos taško keitimas 2 ... ... Vikipedija

Afininė kvadratinė funkcija afininėje erdvėje yra bet kokia funkcija, kurios forma yra vektorizuota, kur yra simetrinė matrica, tiesinė funkcija, konstanta. Turinys... Vikipedija

Funkcija vektoriaus erdvėje, apibrėžta antrojo laipsnio vienalyčiu polinomu vektoriaus koordinatėse. Turinys 1 Apibrėžimas 2 Susiję apibrėžimai... Vikipedija

- yra funkcija, kuri statistinių sprendimų teorijoje apibūdina nuostolius dėl neteisingo sprendimų priėmimo remiantis stebimais duomenimis. Jei signalo parametro įvertinimo triukšmo fone problema išsprendžiama, tai praradimo funkcija yra neatitikimo matas... ... Vikipedija

objektyvi funkcija- - [Ja.N.Luginskis, M.S.Fezi Žilinskaja, Ju.S.Kabirovas. Anglų-rusų elektros inžinerijos ir energetikos žodynas, Maskva, 1999] Tikslinė funkcija Ekstremaliose problemose – funkcija, kurios minimumą arba maksimumą reikia rasti. Šis…… Techninis vertėjo vadovas

Objektyvi funkcija- ekstremaliose problemose – funkcija, kurios minimumą arba maksimumą reikia rasti. Tai yra pagrindinė optimalaus programavimo koncepcija. Radęs ekstremumą C.f. ir todėl nustatę valdomų kintamųjų reikšmes, kurios patenka į jį... ... Ekonomikos ir matematikos žodynas

Knygos

• Stalų komplektas. Matematika. Funkcijų grafikai (10 lentelių), . Mokomasis albumas iš 10 lapų. Linijinė funkcija. Grafinis ir analitinis funkcijų priskyrimas. Kvadratinė funkcija. Kvadratinės funkcijos grafiko transformavimas. Funkcija y=sinx. Funkcija y=cosx.…
• Svarbiausia mokyklinės matematikos funkcija yra kvadratinė – uždaviniuose ir sprendimuose, Petrovas N.N.. Kvadratinė funkcija yra pagrindinė mokyklinio matematikos kurso funkcija. Nenuostabu. Viena vertus, šios funkcijos paprastumas, kita vertus, gili prasmė. Daug užduočių mokykloje...

Ši mokymo medžiaga skirta tik nuorodai ir yra susijusi su daugybe temų. Straipsnyje apžvelgiami pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikai ir aptariami svarbiausias klausimas – kaip teisingai ir GREITAI sudaryti grafiką. Tyrimo metu aukštoji matematika nežinant pagrindinių tvarkaraščių elementarios funkcijos Bus sunku, todėl labai svarbu atsiminti, kaip atrodo parabolės, hiperbolės, sinuso, kosinuso ir kt. grafikai, ir atsiminti kai kurias funkcijos reikšmes. Taip pat pakalbėsime apie kai kurias pagrindinių funkcijų savybes.

Nepretenduoju į medžiagų išsamumą ir mokslinį kruopštumą, visų pirma bus akcentuojama praktika – tie dalykai, su kuriais Žmogus sutinkamas pažodžiui kiekviename žingsnyje, bet kurioje aukštosios matematikos temoje. Manekenų diagramos? Galima būtų taip sakyti.

Dėl daugybės skaitytojų prašymų spustelėjamas turinys:

Be to, šia tema yra itin trumpas konspektas
– įvaldykite 16 tipų diagramas studijuodami ŠEŠIUS puslapius!

Rimtai, šeši, net aš nustebau. Šioje santraukoje yra patobulinta grafika ir galima peržiūrėti demonstracinę versiją. Failą patogu atsispausdinti, kad grafikai visada būtų po ranka. Ačiū už paramą projektui!

Ir tuoj pat pradėkime:

Kaip teisingai sukonstruoti koordinacines ašis?

Praktiškai kontrolinius darbus studentai beveik visada pildo atskiruose sąsiuviniuose, išdėstytuose kvadratu. Kodėl jums reikia languotų ženklų? Juk darbą iš principo galima atlikti ir ant A4 formato lapų. O narvas būtinas tik kokybiškam ir tiksliam brėžinių suprojektavimui.

Bet koks funkcijos grafiko brėžinys prasideda koordinačių ašimis.

Piešiniai gali būti dvimačiai arba trimačiai.

Pirmiausia panagrinėkime dvimatį atvejį Dekarto stačiakampė koordinačių sistema:

1) Nubrėžkite koordinačių ašis. Ašis vadinama x ašis , o ašis yra y ašis . Mes visada stengiamės juos nupiešti tvarkingas ir nekreivas. Rodyklės taip pat neturėtų būti panašios į Papa Carlo barzdą.

2) Ašis pasirašome didelėmis raidėmis „X“ ir „Y“. Nepamirškite pažymėti ašių.

3) Nustatykite skalę išilgai ašių: nubrėžkite nulį ir du vienetus. Darant piešinį patogiausia ir dažniausiai naudojama mastelė: 1 vnt. = 2 langeliai (piešinys kairėje) – jei įmanoma, laikykitės. Tačiau karts nuo karto nutinka taip, kad piešinys netelpa ant sąsiuvinio lapo – tada sumažiname mastelį: 1 vnt. = 1 langelis (piešinys dešinėje). Retai, bet pasitaiko, kad piešinio mastelį tenka dar labiau sumažinti (arba padidinti).

NEREIKIA „kulkosvaidžio“ …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Dėl koordinačių plokštuma nėra paminklas Dekartui, o studentas – ne balandis. Mes dedame nulis Ir du vienetai išilgai ašių. Kartais vietoj vienetų, patogu „žymėti“ kitas reikšmes, pavyzdžiui, „du“ abscisių ašyje ir „trys“ ordinačių ašyje – ir ši sistema (0, 2 ir 3) taip pat vienareikšmiškai apibrėžs koordinačių tinklelį.

Geriau PRIEŠ konstruojant brėžinį įvertinti numatomus brėžinio matmenis. Taigi, pavyzdžiui, jei užduočiai reikia nubrėžti trikampį su viršūnėmis , , , tada visiškai aišku, kad populiari skalė 1 vienetas = 2 langeliai neveiks. Kodėl? Pažiūrėkime į esmę – čia teks išmatuoti penkiolika centimetrų žemyn, ir, aišku, piešinys netilps (arba vos tilps) ant sąsiuvinio lapo. Todėl iš karto pasirenkame mažesnę skalę: 1 vienetas = 1 langelis.

Beje, apie centimetrus ir užrašų knygelės ląsteles. Ar tiesa, kad 30 bloknoto langelių yra 15 centimetrų? Kad būtų smagu, liniuote sąsiuvinyje išmatuokite 15 centimetrų. SSRS tai galėjo būti tiesa... Įdomu pastebėti, kad tuos pačius centimetrus matuojant horizontaliai ir vertikaliai rezultatai (ląstelėse) bus skirtingi! Griežtai tariant, šiuolaikiniai sąsiuviniai yra ne languoti, o stačiakampiai. Tai gali atrodyti nesąmonė, tačiau tokiose situacijose kompasu piešti, pavyzdžiui, apskritimą, yra labai nepatogu. Tiesą sakant, tokiomis akimirkomis pradedate galvoti apie draugo Stalino, kuris buvo išsiųstas į stovyklas dėl įsilaužimo gamyboje, teisingumą, jau nekalbant apie vidaus automobilių pramonę, krentančius lėktuvus ar sprogstančias elektrines.

Kalbant apie kokybę, arba trumpa rekomendacija raštinės reikmenims. Šiandien dauguma parduodamų sąsiuvinių yra, švelniai tariant, visiškas šūdas. Dėl to, kad jie sušlampa, ir ne tik nuo gelinių rašiklių, bet ir nuo tušinukų! Jie taupo pinigus popieriuje. Dėl registracijos bandymai Rekomenduoju naudoti sąsiuvinius iš Archangelsko celiuliozės ir popieriaus gamyklos (18 lapų, tinklelis) arba „Pjaterochka“, nors jie yra brangesni. Patartina rinktis gelinį rašiklį net pigiausias kiniškas gelio užpildas yra daug geriau nei tušinukas, kuris arba ištepa, arba suplėšo popierių. Vienintelis „konkurencinis“ tušinukas, kurį prisimenu, yra Erichas Krause. Rašo aiškiai, gražiai ir nuosekliai – ar pilna šerdis, ar beveik tuščia.

Papildomai: Straipsnyje aptariamas stačiakampės koordinačių sistemos matymas analitinės geometrijos akimis Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas, Detali informacija O koordinuoti ketvirčius galima rasti antroje pamokos pastraipoje Tiesinės nelygybės.

3D dėklas

Čia beveik tas pats.

1) Nubrėžkite koordinačių ašis. Standartas: ašis taikyti – nukreipta į viršų, ašis – nukreipta į dešinę, ašis – nukreipta žemyn į kairę griežtai 45 laipsnių kampu.

2) Pažymėkite ašis.

3) Nustatykite skalę išilgai ašių. Skalė išilgai ašies yra du kartus mažesnė už skalę išilgai kitų ašių. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad dešiniajame brėžinyje aš panaudojau nestandartinį „įpjovą“ išilgai ašies (ši galimybė jau buvo paminėta aukščiau). Mano požiūriu, tai tikslesnė, greitesnė ir estetiškesnė - nereikia ieškoti ląstelės vidurio po mikroskopu ir „lipdyti“ vieneto, esančio arti koordinačių pradžios.

Darydami 3D piešinį pirmenybę teikite masteliui
1 vienetas = 2 langeliai (piešinys kairėje).

Kam skirtos visos šios taisyklės? Taisyklės sukurtos tam, kad būtų sulaužytos. Tai aš dabar padarysiu. Faktas yra tas, kad vėlesnius straipsnio brėžinius aš padarysiu „Excel“, o koordinačių ašys atrodys neteisingos. teisingas dizainas. Visus grafikus galėčiau nupiešti ranka, bet iš tikrųjų baisu juos braižyti, nes „Excel“ nenori piešti daug tiksliau.

Grafikai ir pagrindinės elementariųjų funkcijų savybės

Tiesinė funkcija pateikiama lygtimi. Tiesinių funkcijų grafikas yra tiesioginis. Norint sukurti tiesią liniją, pakanka žinoti du taškus.

1 pavyzdys

Sukurkite funkcijos grafiką. Raskime du taškus. Kaip vieną iš taškų pravartu pasirinkti nulį.

Jei tada

Paimkime kitą tašką, pavyzdžiui, 1.

Jei tada

Atliekant užduotis taškų koordinatės paprastai apibendrinamos lentelėje:

Ir pačios vertės skaičiuojamos žodžiu arba juodraštyje, skaičiuokle.

Rasti du taškai, padarykime piešinį:

Rengdami piešinį visada pasirašome ant grafikos.

Būtų naudinga prisiminti specialius tiesinės funkcijos atvejus:

Atkreipkite dėmesį, kaip padėjau parašus, parašai neturėtų leisti neatitikimų studijuojant piešinį. Šiuo atveju buvo labai nepageidautina parašą dėti šalia linijų susikirtimo taško arba apačioje dešinėje tarp grafikų.

1) Formos () tiesinė funkcija vadinama tiesiogine proporcingumu. Pavyzdžiui, . Tiesioginio proporcingumo grafikas visada eina per kilmę. Taigi tiesės tiesimas yra supaprastintas – pakanka rasti tik vieną tašką.

2) Formos lygtis nurodo tiesę, lygiagrečią ašiai, visų pirma, pati ašis pateikiama lygtimi. Funkcijos grafikas brėžiamas iš karto, nerandant taškų. Tai reiškia, kad įrašas turėtų būti suprantamas taip: „y visada yra lygus –4, bet kuriai x reikšmei“.

3) Formos lygtis nurodo tiesę, lygiagrečią ašiai, visų pirma, pati ašis pateikiama lygtimi. Taip pat iš karto nubraižomas funkcijos grafikas. Įrašas turėtų būti suprantamas taip: „x visada, esant bet kuriai y reikšmei, yra lygus 1“.

Kai kas paklaus, kam prisiminti 6 klasę?! Taip yra, gal ir taip, bet per ilgus praktikos metus sutikau gerą tuziną studentų, kuriuos glumino užduotis sukonstruoti grafiką, pavyzdžiui, arba.

Tiesios linijos kūrimas yra labiausiai paplitęs veiksmas kuriant brėžinius.

Tiesi linija išsamiai aptariama analitinės geometrijos eigoje, o norintieji gali kreiptis į straipsnį Tiesės lygtis plokštumoje.

Kvadratinės, kubinės funkcijos grafikas, daugianario grafikas

Parabolė. Kvadratinės funkcijos grafikas () reiškia parabolę. Apsvarstykite garsųjį atvejį:

Prisiminkime kai kurias funkcijos savybes.

Taigi, mūsų lygties sprendimas: – būtent šioje vietoje yra parabolės viršūnė. Kodėl taip yra, galima rasti teoriniame straipsnyje apie išvestinę ir funkcijos ekstremalių pamoką. Tuo tarpu apskaičiuokime atitinkamą „Y“ reikšmę:

Taigi, viršūnė yra taške

Dabar randame kitus taškus, įžūliai naudodami parabolės simetriją. Reikėtų pažymėti, kad funkcija – nėra net, tačiau, nepaisant to, niekas nepanaikino parabolės simetrijos.

Kokia tvarka rasti likusius taškus, manau, paaiškės iš galutinės lentelės:

Šį konstravimo algoritmą perkeltine prasme galima pavadinti „šautuliu“ arba „pirmyn ir atgal“ principu su Anfisa Čechova.

Padarykime piešinį:

Iš išnagrinėtų grafikų į galvą ateina dar viena naudinga funkcija:

Dėl kvadratinės funkcijos () tiesa:

Jei , tada parabolės šakos nukreiptos į viršų.

Jei , tada parabolės šakos nukreiptos žemyn.

Išsamių žinių apie kreivę galima įgyti pamokoje Hiperbolė ir parabolė.

Funkcija suteikia kubinę parabolę. Štai piešinys, pažįstamas iš mokyklos:

Išvardinkime pagrindines funkcijos savybes

Funkcijos grafikas

Tai yra viena iš parabolės šakų. Padarykime piešinį:

Pagrindinės funkcijos savybės:

Šiuo atveju ašis yra vertikali asimptota hiperbolės grafikui ties .

Būtų DIDELĖ klaida, jei braižydami brėžinį neatsargiai leistumėte grafiką susikirsti su asimptote.

Taip pat vienpusės ribos mums sako, kad hiperbolė neapribota iš viršaus Ir neapribota iš apačios.

Panagrinėkime funkciją begalybėje: ty jei pradėsime judėti ašimi į kairę (arba dešinę) iki begalybės, tada „žaidimai“ bus tvarkingi be galo arti artėja prie nulio ir atitinkamai hiperbolės šakos be galo arti priartėti prie ašies.

Taigi ašis yra horizontalioji asimptote funkcijos grafikui, jei „x“ linkęs į pliuso arba minuso begalybę.

Funkcija yra nelyginis, todėl hiperbolė yra simetriška kilmei. Šis faktas akivaizdu iš brėžinio, be to, tai lengvai patikrinama analitiškai: .

() formos funkcijos grafikas vaizduoja dvi hiperbolės šakas.

Jei , tada hiperbolė yra pirmajame ir trečiajame koordinačių ketvirčiuose(žr. paveikslėlį aukščiau).

Jei , tada hiperbolė yra antrajame ir ketvirtame koordinačių ketvirčiuose.

Nurodytą hiperbolės buvimo vietą lengva analizuoti geometrinių grafikų transformacijų požiūriu.

3 pavyzdys

Sukurkite dešinę hiperbolės šaką

Mes naudojame taškinio konstravimo metodą, o reikšmes naudinga parinkti taip, kad jos būtų dalijamos iš visumos:

Padarykime piešinį:

Čia nebus sunku sukonstruoti kairiąją hiperbolės šaką; Grubiai tariant, taškinės konstrukcijos lentelėje prie kiekvieno skaičiaus mintyse pridedame minusą, dedame atitinkamus taškus ir nubrėžiame antrąją šaką.

Išsamią geometrinę informaciją apie nagrinėjamą liniją rasite straipsnyje Hiperbolė ir parabolė.

Eksponentinės funkcijos grafikas

Šiame skyriuje iš karto apžvelgsiu eksponentinę funkciją, nes aukštosios matematikos uždaviniuose 95% atvejų atsiranda eksponentinė.

Leiskite jums priminti, kad tai yra neracionalus skaičius: , to reikės sudarant grafiką, kurį, tiesą sakant, sudarysiu be ceremonijų. Tikriausiai pakanka trijų taškų:

Kol kas palikime funkcijos grafiką ramybėje, daugiau apie tai vėliau.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Funkcijų grafikai ir tt atrodo iš esmės vienodai.

Turiu pasakyti, kad antrasis atvejis praktikoje pasitaiko rečiau, bet pasitaiko, todėl maniau, kad būtina jį įtraukti į šį straipsnį.

Logaritminės funkcijos grafikas

Apsvarstykite funkciją su natūraliuoju logaritmu.
Padarykime tašką po taško brėžinį:

Jei pamiršote, kas yra logaritmas, skaitykite savo mokyklinius vadovėlius.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Domenas:

Vertybių diapazonas: .

Funkcija nėra ribojama iš viršaus: , nors ir lėtai, bet logaritmo atšaka kyla iki begalybės.
Panagrinėkime funkcijos, esančios šalia nulio, veikimą dešinėje: . Taigi ašis yra vertikali asimptota funkcijos grafikas kaip "x" linkęs į nulį iš dešinės.

Būtina žinoti ir atsiminti tipinę logaritmo reikšmę: .

Iš esmės logaritmo grafikas iki pagrindo atrodo taip pat: , , (dešimtainis logaritmas iki 10 pagrindo) ir kt. Be to, kuo didesnis pagrindas, tuo plokštesnis bus grafikas.

Mes nenagrinėsime atvejo, aš nepamenu, kada paskutinį kartą sukūriau grafiką tokiu pagrindu. O logaritmas, atrodo, yra labai retas svečias aukštosios matematikos uždaviniuose.

Šios pastraipos pabaigoje pasakysiu dar vieną faktą: Eksponentinė funkcija Ir logaritminė funkcija – tai dvi tarpusavyje atvirkštinės funkcijos. Jei atidžiai pažvelgsite į logaritmo grafiką, pamatysite, kad tai yra tas pats eksponentas, tik jis yra šiek tiek kitaip.

Trigonometrinių funkcijų grafikai

Kur mokykloje prasideda trigonometrinės kančios? Teisingai. Iš sinuso

Nubraižykime funkciją

Ši linija vadinama sinusoidinė.

Priminsiu, kad „pi“ yra neracionalus skaičius: , o trigonometrijoje nuo jo raibo akys.

Pagrindinės funkcijos savybės:

Ši funkcija yra periodiškai su laikotarpiu. Ką tai reiškia? Pažiūrėkime į segmentą. Kairėje ir dešinėje nuo jo lygiai ta pati grafiko dalis kartojama be galo.

Domenas: , tai yra, bet kuriai „x“ reikšmei yra sinusinė reikšmė.

Vertybių diapazonas: . Funkcija yra ribotas: , tai yra, visi „žaidimai“ yra griežtai segmente .
Taip nebūna: arba, tiksliau, atsitinka, bet šios lygtys neturi sprendimo.

Matematikos pamokose mokykloje jau susipažinai su paprasčiausiomis funkcijos savybėmis ir grafiku y = x 2. Išplėskime savo žinias kvadratinė funkcija.

1 pratimas.

Nubraižykite funkciją y = x 2. Mastelis: 1 = 2 cm Pažymėkite tašką Oy ašyje F(0; 1/4). Kompasu arba popieriaus juostele išmatuokite atstumą nuo taško F iki tam tikro momento M parabolės. Tada prisekite juostelę taške M ir pasukite aplink tą tašką, kol ji bus vertikali. Juostos galas nukris šiek tiek žemiau x ašies (1 pav.). Ant juostelės pažymėkite, kiek ji tęsiasi už x ašies. Dabar paimkite kitą parabolės tašką ir pakartokite matavimą dar kartą. Kiek juostos kraštas nukrito žemiau x ašies?

Rezultatas: kad ir kurį parabolės tašką y = x 2 pasirinktumėte, atstumas nuo šio taško iki taško F(0; 1/4) bus didesnis atstumas nuo to paties taško iki x ašies visada tuo pačiu skaičiumi – 1/4.

Galime sakyti kitaip: atstumas nuo bet kurio parabolės taško iki taško (0; 1/4) lygus atstumui nuo to paties parabolės taško iki tiesės y = -1/4. Šis nuostabus taškas F(0; 1/4) vadinamas sutelkti dėmesį parabolės y = x 2, o tiesė y = -1/4 – direktorėši parabolė. Kiekviena parabolė turi kryptį ir židinį.

Įdomios parabolės savybės:

1. Bet kuris parabolės taškas yra vienodu atstumu nuo tam tikro taško, vadinamo parabolės židiniu, ir tam tikros tiesės, vadinamos jos krypties tašku.

2. Jei pasuksite parabolę aplink simetrijos ašį (pavyzdžiui, parabolė y = x 2 aplink Oy ašį), gausite labai įdomų paviršių, vadinamą apsisukimo paraboloidu.

Skysčio paviršius besisukančiame inde turi sukimosi paraboloido formą. Šį paviršių pamatysite, jei šaukštu stipriai maišysite nepilnoje arbatos stiklinėje ir tada išimsite šaukštą.

3. Jei įmesite akmenį į tuštumą tam tikru kampu į horizontą, jis skris parabole (2 pav.).

4. Jei susikertate kūgio paviršių su plokštuma, lygiagrečia bet kuriam iš jo generatricų, tada skerspjūvis sudarys parabolę (3 pav.).

5. Atrakcionų parkuose kartais vyksta linksmas pasivažinėjimas, vadinamas Stebuklų paraboloidu. Kiekvienam, stovinčiam besisukančio paraboloido viduje, atrodo, kad jis stovi ant grindų, o kiti žmonės kažkokiu stebuklingu būdu laikosi įsikibę į sienas.

6. Atspindiuosiuose teleskopuose taip pat naudojami paraboliniai veidrodžiai: tolimosios žvaigždės šviesa, ateinanti lygiagrečiu spinduliu, krintanti ant teleskopo veidrodžio, surenkama į židinį.

7. Prožektoriuose dažniausiai yra paraboloido formos veidrodis. Jei paraboloido židinyje pastatysite šviesos šaltinį, tada spinduliai atsispindės nuo jo parabolinis veidrodis, sudaro lygiagrečią spindulį.

Kvadratinės funkcijos grafikas

Matematikos pamokose mokėtės, kaip iš funkcijos y = x 2 grafiko gauti formos funkcijų grafikus:

1) y = ax 2– grafiko y = x 2 ištempimas pagal Oy ašį |a| kartų (su |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ryžių. 4).

2) y = x 2 + n– grafiko poslinkis n vienetų išilgai Oy ašies, o jei n > 0, tai poslinkis aukštyn, o jei n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– grafiko poslinkis m vienetais išilgai Ox ašies: jei m< 0, то вправо, а если m >0, tada kairėn, (5 pav.).

4) y = -x 2– simetriškas atvaizdavimas grafiko Ox ašies atžvilgiu y = x 2 .

Pažvelkime atidžiau į funkcijos braižymą y = a(x – m) 2 + n.

Formos y = ax 2 + bx + c kvadratinė funkcija visada gali būti sumažinta iki formos

y = a(x – m) 2 + n, kur m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Įrodykime tai.

tikrai,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Pristatome naujus užrašus.

Leisti m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

tada gauname y = a(x – m) 2 + n arba y – n = a(x – m) 2.

Padarykime dar keletą pakeitimų: tegul y – n = Y, x – m = X (*).

Tada gauname funkciją Y = aX 2, kurios grafikas yra parabolė.

Parabolės viršūnė yra ištakoje. X = 0; Y = 0.

Viršūnės koordinates pakeitę į (*), gauname grafiko y = a(x – m) 2 + n viršūnės koordinates: x = m, y = n.

Taigi, norint nubrėžti kvadratinę funkciją, pavaizduotą kaip

y = a(x – m) 2 + n

atlikdami transformacijas, galite elgtis taip:

a) nubraižykite funkciją y = x 2 ;

b) lygiagrečiai perkeliant išilgai Ox ašies m vienetų ir išilgai Oy ašies n vienetų - perkelkite parabolės viršūnę iš pradžios į tašką su koordinatėmis (m; n) (6 pav.).

Įrašymo transformacijos:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Pavyzdys.

Naudodami transformacijas sukonstruokite funkcijos y = 2(x – 3) 2 grafiką Dekarto koordinačių sistemoje – 2.

Sprendimas.

Transformacijų grandinė:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2 (x – 3) 2 – 2 (4) .

Siužetas parodytas ryžių. 7.

Galite savarankiškai piešti kvadratines funkcijas. Pavyzdžiui, sudarykite funkcijos y = 2(x + 3) 2 + 2 grafiką vienoje koordinačių sistemoje, naudodami transformacijas. Jei turite klausimų ar norite gauti patarimą iš mokytojo, turite galimybę atlikti nemokama 25 minučių trukmės pamoka su internetiniu dėstytoju po registracijos. Dėl tolesnis darbas Su mokytoju galite pasirinkti jums tinkantį tarifų planą.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip pavaizduoti kvadratinę funkciją?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.