Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas. Kampas tarp tiesės ir plokštumos: apibrėžimas, radimo pavyzdžiai

Kampo tarp tiesės ir plokštumos sąvoką galima įvesti bet kuriai santykinei tiesės ir plokštumos padėčiai.

Jei tiesė l yra statmena plokštumai, tada kampas tarp l ir laikomas lygiu 90.

Jei tiesė l yra lygiagreti plokštumai arba yra šioje plokštumoje, tada kampas tarp l ir laikomas lygiu nuliui.

Jei tiesė l yra pasvirusi į plokštumą, tai kampas tarp l ir tai yra kampas „tarp tiesės l ir jos projekcijos p į plokštumą (39 pav.).

Ryžiai. 39. Kampas tarp tiesės ir plokštumos

Taigi, prisiminkime šio nereikšmingo atvejo apibrėžimą: jei tiesė yra pasvirusi, tada kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp šios tiesės.

Ir jo projekcija į tam tikrą plokštumą.

7.1 Problemų sprendimo pavyzdžiai

Pažvelkime į tris užduotis, išdėstytas vis sunkiau. Trečioji užduoties lygis C2 apie vieningą valstybinį matematikos egzaminą.

1 uždavinys. Taisyklingajame tetraedre raskite kampą tarp šoninės briaunos ir pagrindo plokštumos.

2 uždavinys. Taisyklingosios trikampės prizmės ABCA1 B1 C1 šoninė briauna lygi pagrindo kraštinei. Raskite kampą tarp tiesės AA1 ir plokštumos ABC1.

Sprendimas. Kampas tarp tiesės ir plokštumos nepasikeis, jei tiesė bus perkelta lygiagrečiai viena kitai. Kadangi CC1 yra lygiagreti AA1, reikiamas kampas yra kampas tarp tiesės CC1 ir plokštumos ABC1 (41 pav.).

B 1"

Ryžiai. 41. Į 2 užduotį

Tegu M yra AB vidurio taškas. Nubrėžkime aukštį CH trikampyje CC1 M. Parodykime, kad CH yra statmena plokštumai ABC1. Norėdami tai padaryti, turite pateikti dvi susikertančias šios plokštumos linijas, statmenas CH.

Pirmoji tiesi linija yra akivaizdi: C1 M. Iš tiesų, CH? C1 M pagal konstrukciją.

Antroji eilutė yra AB. Iš tiesų, pasvirusios CH projekcija į plokštumą ABC yra tiesė CM; o AB ? CM. Iš teoremos apie tris statmenus išplaukia, kad AB ? CH.

Taigi CH? ABC1. Todėl kampas tarp CC1 ir ABC1 yra " = \CC1 H. CH reikšmę randame iš santykio

C1 M CH = CC1 CM

(abi šio santykio kraštinės yra lygios dvigubam trikampio CC1 M plotui). Mes turime:

CM = a 2 3;

Belieka rasti kampą ":

Atsakymas: arcsin 3 7 .

sin " = CH = 3 : CC1 7

3 uždavinys. Taškas K paimtas kubo ABCDA1 B1 C1 D1 briaunoje A1 B1 taip, kad A1 K: KB1 = 3: 1. Raskite kampą tarp tiesės AK ir plokštumos BC1 D1.

Sprendimas. Padarę brėžinį (42 pav., kairėje) suprantame, kad reikia papildomų konstrukcijų.

Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad tiesė AB yra plokštumoje BC1 D1 (nuo AB k C1 D1 ). Antra, lygiagrečiai AK nubrėžkime B1 M (42 pav., dešinėje). Taip pat nubrėžkime B1 C ir tegul N yra B1 C ir BC1 susikirtimo taškas.

Parodykime, kad tiesė B1 C yra statmena plokštumai BC1 D1. Iš tikrųjų:

1) B 1 C ? BC1 (kaip kvadrato įstrižainės);

2) B 1 C ? AB pagal trijų statmenų teoremą (juk AB yra statmena pasvirusios B1 C projekcijos į plokštumą ABC tiesei BC).

Taigi B1 C yra statmena dviem susikertančioms plokštumos BC1 D1 tiesėms; todėl B1 C ? BC1 D1. Todėl tiesės MB projekcija

sin " = B 1 N = 2 2 : B 1 M 5

Straipsnis pradedamas kampo tarp tiesės ir plokštumos apibrėžimu. Šiame straipsnyje bus parodyta, kaip koordinačių metodu rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos. Bus išsamiai aptariami pavyzdžių ir problemų sprendimai.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirma, būtina pakartoti tiesės erdvės sąvoką ir plokštumos sąvoką. Norint nustatyti kampą tarp tiesės ir plokštumos, reikia kelių pagalbinių apibrėžimų. Pažvelkime į šiuos apibrėžimus išsamiai.

1 apibrėžimas

Tiesi linija ir plokštuma susikerta tuo atveju, kai jie turi vieną bendrą tašką, tai yra, tai yra tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas.

Tiesė, kertanti plokštumą, gali būti statmena plokštumai.

2 apibrėžimas

Tiesi linija yra statmena plokštumai kai jis statmenas bet kuriai šioje plokštumoje esančiai tiesei.

3 apibrėžimas

Taško M projekcija į plokštumąγ yra pats taškas, jei jis yra tam tikroje plokštumoje, arba yra plokštumos susikirtimo su tiese, statmena plokštumai γ, einančia per tašką M, su sąlyga, kad jis nepriklauso plokštumai γ.

4 apibrėžimas

Tiesės a projekcija į plokštumąγ yra visų nurodytos tiesės taškų projekcijų į plokštumą rinkinys.

Iš to gauname, kad tiesės, statmenos plokštumai γ, projekcija turi susikirtimo tašką. Pastebime, kad tiesės a projekcija yra tiesė, priklausanti plokštumai γ ir einanti per tiesės a ir plokštumos susikirtimo tašką. Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Įjungta Šis momentas turime visą reikiamą informaciją ir duomenis kampo tarp tiesės ir plokštumos apibrėžimui suformuluoti

5 apibrėžimas

Kampas tarp tiesės ir plokštumos vadinamas kampas tarp šios tiesės ir jos projekcijos į šią plokštumą, o tiesė jai nėra statmena.

Aukščiau pateiktas kampo apibrėžimas padeda padaryti išvadą, kad kampas tarp linijos ir plokštumos yra kampas tarp dviejų susikertančių tiesių, ty tam tikros linijos kartu su jos projekcija į plokštumą. Tai reiškia, kad kampas tarp jų visada bus ūmus. Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos laikomas stačiu, tai yra lygus 90 laipsnių, tačiau kampas tarp lygiagrečių tiesių nėra apibrėžtas. Pasitaiko atvejų, kai imama jo reikšmė lygi nuliui.

Problemos, kuriose reikia rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos, turi daug sprendimų. Pačio sprendimo eiga priklauso nuo turimų duomenų apie būklę. Dažni sprendimo palydovai yra figūrų panašumo ar lygybės ženklai, kosinusai, sinusai, kampų liestinės. Kampą rasti galima naudojant koordinačių metodą. Pažvelkime į tai išsamiau.

Jeigu trimatėje erdvėje įvesta stačiakampė koordinačių sistema O x y z, tai joje nurodyta tiesė a, kertanti plokštumą γ taške M, ir ji nėra statmena plokštumai. Būtina rasti kampą α, esantį tarp nurodytos tiesės ir plokštumos.

Pirmiausia turite pritaikyti kampo tarp tiesės ir plokštumos apibrėžimą naudodami koordinačių metodą. Tada gauname štai ką.

Koordinačių sistemoje O x y z nurodyta tiesė a, kuri atitinka tiesės erdvėje lygtis ir tiesės krypties vektorių erdvėje, plokštumai γ atitinka plokštumos ir normaliosios lygtis. plokštumos vektorius. Tada a → = (a x , a y , a z) yra duotosios tiesės a krypties vektorius, o n → (n x , n y , n z) yra normalusis plokštumos γ vektorius. Jeigu įsivaizduotume, kad turime tiesės a krypties vektoriaus ir plokštumos γ normaliojo vektoriaus koordinates, tai jų lygtys yra žinomos, tai yra nurodytos sąlyga, tada galima nustatyti vektorius a → ir n → remiantis lygtimi.

Norint apskaičiuoti kampą, reikia transformuoti formulę, kad gautumėte šio kampo reikšmę, naudojant esamas tiesės krypties ir normalaus vektoriaus koordinates.

Reikia nubraižyti vektorius a → ir n →, pradedant nuo tiesės a susikirtimo su plokštuma γ taško. Yra 4 variantai, kaip nustatyti šių vektorių vietą, palyginti su nurodytomis linijomis ir plokštumomis. Pažiūrėkite į paveikslėlį žemiau, kuriame pavaizduoti visi 4 variantai.

Iš čia gauname, kad kampas tarp vektorių a → ir n → yra žymimas a → , n → ^ ir yra smailus, tada norimas kampas α, esantis tarp tiesės ir plokštumos, yra papildytas, tai yra, gauname išraišką formos a → , n → ^ = 90 ° - α. Kai pagal sąlygą a →, n → ^ > 90 °, tada turime a →, n → ^ = 90 ° + α.

Iš čia mes turime kosinusus vienodi kampai yra lygios, tada paskutinės lygybės rašomos sistemos pavidalu

cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°

Norėdami supaprastinti išraiškas, turite naudoti redukcijos formules. Tada gauname lygybes formos cos a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°

Atlikus transformacijas, sistema įgauna formą sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^

Iš to gauname, kad kampo tarp tiesės ir plokštumos sinusas yra lygus kampo tarp tiesės krypties vektoriaus ir duotosios plokštumos normaliojo vektoriaus kosinuso moduliui.

Skyriuje apie dviejų vektorių sudaryto kampo radimą paaiškėjo, kad šis kampas ima vektorių skaliarinės sandaugos vertę ir šių ilgių sandaugą. Kampo, gauto susikirtus tiesei ir plokštuma, sinuso apskaičiavimo procesas atliekamas pagal formulę

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Tai reiškia, kad kampo tarp tiesės ir plokštumos apskaičiavimo formulė su tiesės krypties vektoriaus ir plokštumos normaliojo vektoriaus koordinatėmis po transformacijos yra tokios formos

α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2

Rasti žinomo sinuso kosinusą galima taikant pagrindinę trigonometrinę tapatybę. Tiesios linijos ir plokštumos susikirtimas sudaro smailųjį kampą. Tai rodo, kad jo vertė bus teigiamas skaičius, o jo apskaičiavimas atliekamas pagal formulę cos α = 1 - sin α.

Išspręskime kelis panašius pavyzdžius, kad konsoliduotume medžiagą.

1 pavyzdys

Raskite kampą, sinusą, kosinusą kampo, sudaryto iš tiesės x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 ir plokštumos 2 x + z - 1 = 0.

Sprendimas

Norint gauti krypties vektoriaus koordinates, reikia atsižvelgti į kanonines tiesės erdvėje lygtis. Tada gauname, kad a → = (3, - 2, 6) yra tiesės krypties vektorius x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6.

Norint rasti normalaus vektoriaus koordinates, reikia atsižvelgti bendroji lygtis plokštumos, nes jų buvimą lemia priešais esantys koeficientai lygties kintamieji. Tada randame, kad plokštumos 2 x + z - 1 = 0 normaliojo vektoriaus forma yra n → = (2, 0, 1).

Būtina pradėti skaičiuoti kampo tarp tiesės ir plokštumos sinusą. Tam reikia į pateiktą formulę pakeisti vektorių a → ir b → koordinates. Gauname formos išraišką

sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5

Iš čia randame kosinuso reikšmę ir paties kampo reikšmę. Mes gauname:

cos α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5

Atsakymas: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.

2 pavyzdys

Yra piramidė, pastatyta naudojant vektorių A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1 vertes. Raskite kampą tarp tiesės A D ir plokštumos A B C.

Sprendimas

Norint apskaičiuoti pageidaujamą kampą, reikia turėti tiesės krypties vektoriaus ir plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates. tiesei A D krypties vektorius turi koordinates A D → = 4, 1, 1.

Plokštumai A B C priklausantis normalusis vektorius n → yra statmenas vektoriui A B → ir A C →. Tai reiškia, kad plokštumos A B C normalusis vektorius gali būti laikomas vektorių A B → ir A C → vektorine sandauga. Apskaičiuojame tai naudodami formulę ir gauname:

n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )

Reikia pakeisti vektorių koordinates, kad būtų galima apskaičiuoti norimą kampą, susidarantį tiesės ir plokštumos susikirtimu. gauname formos išraišką:

α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2

Atsakymas: a r c sin 23 21 2 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Kampą a tarp tiesės l ir plokštumos 6 galima nustatyti per papildomą kampą p tarp tam tikros tiesės l ir statmenos n tam tikrai plokštumai, nubrėžtai iš bet kurio tiesės taško (144 pav.). Kampas P papildo norimą kampą a iki 90°. Nustačius tikrąją kampo P reikšmę, pasukus kampo, kurį sudaro tiesė l ir statmena, plokštumos lygį ir aplink tiesę, belieka jį papildyti stačiu kampu. Šis papildomas kampas duos tikrąją kampo a reikšmę tarp tiesės l ir plokštumos 0.

27. Kampo tarp dviejų plokštumų nustatymas.

Tikra vertė dvikampis kampas- tarp dviejų plokštumų Q ir l. - gali būti nustatytas pakeitus projekcijos plokštumą, kad dvikampio kampo kraštinė būtų paversta projektavimo linija (1 ir 2 uždaviniai), arba, jei briauna nenurodyta, kaip kampas tarp dviejų statmenų n1 ir n2, nubrėžtų šios plokštumos iš savavališko šių statmenų erdvės B plokštumos taško M taške M gauname du plokštumos kampus a ir P, kurie atitinkamai yra lygūs dviejų gretimų kampų (diedralio), sudarytų iš plokštumų q ir l, tiesiniams kampams. Nustatę tikrąją kampų tarp statmenų n1 ir n2 vertę, sukdami aplink lygio tiesią liniją, nustatysime dvikampio kampo, kurį sudaro plokštumos q ir l, tiesinį kampą.

Išlenktos linijos. Specialūs kreivų linijų taškai.

Sudėtingame kreivės brėžinyje specialūs jos taškai, įskaitant vingio, grįžimo, lūžio ir mazgo taškus, taip pat yra specialūs jos projekcijos taškai. Tai paaiškinama tuo, kad kreivių vienaskaitos taškai yra sujungti su šių taškų liestinėmis.

Jei kreivės plokštuma užima išsikišimo padėtį (2 pav.). A), tada viena šios kreivės projekcija turi tiesios linijos formą.

Erdvinės kreivės atveju visos jos projekcijos yra lenktos linijos (1 pav.). b).

Norint iš brėžinio nustatyti, kuri kreivė duota (plokštuma ar erdvinė), reikia išsiaiškinti, ar visi kreivės taškai priklauso tai pačiai plokštumai. Nurodyta pav. b kreivė yra erdvinė, nes taškas D kreivė nepriklauso kitų trijų taškų apibrėžtai plokštumai A, B Ir Eši kreivė.

Apskritimas - antros eilės plokštumos kreivė, kurios stačiakampė projekcija gali būti apskritimas ir elipsė

Cilindrinė sraigtinė linija (spiralė) yra erdvinė kreivė, vaizduojanti taško, atliekančio sraigtinį judėjimą, trajektoriją.

29.Plokščios ir erdvinės lenktos linijos.

Žiūrėkite 28 klausimą

30. Kompleksinis paviršiaus braižymas. Pagrindinės nuostatos.

Paviršius – erdvėje judančių linijų nuoseklių padėčių rinkinys. Ši linija gali būti tiesi arba išlenkta ir vadinama generatrix paviršiai. Jei generatrix yra kreivė, ji gali turėti pastovią arba kintamą išvaizdą. Generatorius juda kartu vadovai, vaizduojančios kitos krypties linijas nei generatoriai. Pagalbinės linijos nustato generatorių judėjimo dėsnį. Perkeliant generatorių išilgai kreiptuvų, a rėmelis paviršius (84 pav.), kuris yra kelių nuoseklių generatricų ir kreiptuvų padėčių rinkinys. Nagrinėjant rėmą, galima įsitikinti, kad generatoriai l ir gidai T galima keisti, bet paviršius išlieka toks pat.

Bet kokį paviršių galima gauti įvairiais būdais.

Priklausomai nuo generatoriaus formos, visus paviršius galima suskirstyti į valdė, kurios turi generatyvinę tiesiąją liniją ir nevaldomas, kurios turi formuojančią lenktą liniją.

Išvystomi paviršiai apima visų daugiakampių, cilindrinių, kūginių ir liemens paviršių. Visi kiti paviršiai nevystomi. Nevaldomi paviršiai gali turėti pastovios formos generatorių (sukimosi paviršiai ir vamzdiniai paviršiai) ir kintamos formos generatorių (kanalo ir rėmo paviršiai).

Paviršius kompleksiniame brėžinyje nurodomas jo determinanto geometrinės dalies projekcijomis, nurodančiomis jo generatorių konstravimo būdą. Paviršiaus brėžinyje bet kurio erdvės taško klausimas, ar jis priklauso tam tikram paviršiui, yra vienareikšmiškai išspręstas. Grafiškai nurodant paviršiaus determinanto elementus, užtikrinamas piešinio grįžtamumas, bet ne vizualinis. Aiškumo dėlei jie pasitelkia gana tankaus generatricų rėmo projekcijas ir paviršiaus kontūrines linijas (86 pav.). Projektuojant paviršių Q į projekcijos plokštumą, projektuojantys spinduliai paliečia šį paviršių taškuose, sudarydami tam tikrą liniją. l, kuris vadinamas kontūras linija. Kontūro linijos projekcija vadinama esė paviršiai. Sudėtingame brėžinyje bet koks paviršius turi: P 1 - horizontalus kontūras, P 2 - priekinis kontūras, P 3 - profilio paviršiaus kontūras. Eskizas, be kontūro linijos projekcijų, apima ir pjūvio linijų projekcijas.

Kampo tarp tiesės ir plokštumos apibrėžimas grindžiamas įstrižosios projekcijos koncepcija. Apibrėžimas. Kampas tarp tiesės ir plokštumos yra kampas tarp šios tiesės ir jos projekcijos į tam tikrą plokštumą.

Fig. 341 parodytas kampas a tarp pasvirusios AM ir jo projekcijos į plokštumą K.

Pastaba. Jei tiesė yra lygiagreti plokštumai arba yra joje, tada jos kampas su plokštuma laikomas lygiu nuliui. Jei jis yra statmenas plokštumai, kampas skelbiamas teisingu (ankstesnis apibrėžimas čia tiesiogine prasme netaikomas!). Kitais atvejais tarp tiesės ir jos projekcijos numanomas smailusis kampas. Todėl kampas tarp tiesės ir plokštumos niekada neviršija stačiojo kampo. Taip pat atkreipkime dėmesį, kad čia teisingiau kalbėti apie kampo matą, o ne apie kampą (iš tiesų, mes kalbame apie apie tiesės polinkio į plokštumą laipsnį; kampo kaip plokščios figūros, apribotos dviem spinduliais, samprata čia neturi tiesioginio ryšio).

Patikrinkime dar vieną smailiojo kampo tarp tiesės ir plokštumos savybę.

Iš visų kampų, sudarytų iš duotosios tiesės ir visų galimų tiesių plokštumoje, kampas su nurodytos tiesės projekcija yra mažiausias.

Įrodymas. Pereikime prie pav. 342. Tegu a yra duotoji tiesė, tegul jos projekcija į plokštumą yra savavališka kita tiesė plokštumoje K (patogumo dėlei ją nubrėžėme per tiesės a susikirtimo su plokštuma tašką A). Padėkime jį tiesioje atkarpoje, t.y. lygioje pasvirosios MA pagrindui, kur yra vieno iš pasvirosios a taškų projekcija.

Tada trikampiuose dvi kraštinės yra lygios: kraštinė AM yra bendra, jos yra lygios konstrukcijos. Bet trečioji trikampio kraštinė yra didesnė už trečiąją trikampio kraštinę (pasvirusioji kraštinė didesnė už statmeną). Tai reiškia, kad priešingas kampas b yra didesnis už atitinkamą kampą a b (žr. 217 pastraipą): , ką ir reikėjo įrodyti.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos yra mažiausias iš kampų tarp nurodytos tiesės ir visų galimų tiesių plokštumoje.

Sąžininga ir panašiai

Teorema. Aštrus kampas tarp plokštumoje esančios tiesės ir pasvirusios projekcijos į šią plokštumą yra mažesnis už kampą tarp šios tiesės ir pasvirusiosios.

Įrodymas. Tegul tiesė, esanti plokštumoje (342 pav.), a pasvirusi į plokštumą, t jos projekcija į plokštumą. Tiesę laikysime pasvirusia į plokštumą, tada tai bus jos projekcija į nurodytą plokštumą ir, pasinaudoję ankstesne savybe, rasime: ką mums reikėjo įrodyti. Pagal trijų statmenų teoremą aišku, kad tuo atveju, kai tiesė plokštumoje yra statmena įstrižai projekcijai (atvejis yra ne smailusis, o stačiakampis), tiesė taip pat yra statmena įstrižas; šiuo atveju abu kampai, apie kuriuos kalbame, yra stačiakampiai, todėl vienas kitam lygūs.

Pakartokime kampo tarp tiesės ir plokštumos apibrėžimą.

Apibrėžimas. Kampas tarp tiesės ir plokštumos, kertančios šią tiesę, o ne jai statmenos, yra kampas tarp tiesės ir jos projekcijos į plokštumą.

Tegu duota plokštuma γ ir tiesė a, kuri kerta šią plokštumą ir nėra jai statmena.

Sukurkime kampą tarp tiesės a ir plokštumos γ:

1. Iš bet kurio mums patogaus tiesės a taško nuleidžiame statmeną plokštumai γ;
2. Per pasvirosios ir statmenos pagrindų taškus brėžiame tiesę b. Tiesė b – tiesės a projekcija į plokštumą γ;
3. Smailusis kampas tarp tiesių a ir b – tai kampas tarp tiesės a ir plokštumos γ, t.y. ∠(a;b)= ∠(a;γ) , kur ∠(a;b) yra kampas tarp tiesių a ir b; ∠(a;γ) – kampas tarp tiesės a ir plokštumos γ.

Norėdami išspręsti problemas naudodami koordinačių metodą, turime atsiminti:

3. Jei žinomos krypties vektoriaus ( a 1 ; b 1 ; c 1 ) ir normaliojo vektoriaus koordinatės
(a; b; c), tada kampas tarp tiesės a ir plokštumos γ apskaičiuojamas pagal formulę, kurią dabar gausime.

Mes žinome kampo tarp tiesių nustatymo formulę:

; (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a; b), tada cos∠(s;a)=cos (90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b) ; (2)
Iš (1) ir (2) => ; (3)
, kur kampas tarp vektorių m ir n; (4)
Pakeičiame (4) į (3) ir kt. ∠(a;b)= ∠(a;γ), tada gauname:

4. Jei normaliojo vektoriaus koordinatės nežinomos, tai turime žinoti plokštumos lygtį.

Bet kurią stačiakampės koordinačių sistemos plokštumą galima pateikti pagal lygtį

ax + by + cz + d = 0,

kur bent vienas iš koeficientų a, b, c skiriasi nuo nulio. Šie koeficientai bus normaliojo vektoriaus koordinatės, t.y. (a; b; c).

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymo koordinačių metodu uždavinių sprendimo algoritmas:

1. Padarome brėžinį, kuriame pažymime tiesę ir plokštumą;
2. Pristatome stačiakampę koordinačių sistemą;
3. Krypties vektoriaus koordinates randame iš jo pradžios ir pabaigos koordinačių;
4. Raskite normalaus vektoriaus plokštumai koordinates;
5. Gautus duomenis pakeičiame į kampo tarp tiesės ir plokštumos sinuso formulę;
6. Raskite paties kampo vertę.

Panagrinėkime problemą:
1. Kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 raskite kampo tarp tiesės AC 1 ir plokštumos BDD 1 liestinę..
Sprendimas:

1. Įveskime stačiakampę koordinačių sistemą, kurios pradžia yra taške D.
2. Raskite krypties vektoriaus AC 1 koordinates. Norėdami tai padaryti, pirmiausia nustatykite taškų A ir C 1 koordinates:
A(0; 1; 0);
C1 (1; 0; 1).
{1; -1; 1}.
3. Raskite normaliojo vektoriaus plokštumos BB 1 D 1 koordinates. Norėdami tai padaryti, randame trijų plokštumos taškų, kurie nėra toje pačioje tiesėje, koordinates ir sudarome plokštumos lygtį:
D(0; 0; 0);
D 1 (0; 0; 1);
B(1; 1; 0);
D: a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
D 1: a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B: a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0.

Pakeiskime į lygtį: a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |:a
x-y = 0.
Taigi, normalus vektorius plokštumai BDD 1 turi koordinates:
{1;-1; 0}.
4. Raskite sinusą tarp tiesės AC 1 ir plokštumos BDD 1:

5. Panaudokime pagrindinį trigonometrinė tapatybė ir raskite kampo tarp tiesės AC 1 ir plokštumos BDD 1 kosinusą:

6. Raskite kampo tarp tiesės AC 1 ir plokštumos BDD 1 liestinę:

Atsakymas: .

2. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD, kurios visos briaunos lygios 1, raskite kampo tarp tiesės BD ir plokštumos SBC sinusą.

Sprendimas:

1. Įveskime stačiakampę koordinačių sistemą, kurios pradžia yra taške B.
2. Raskite krypties vektoriaus BD koordinates. Norėdami tai padaryti, pirmiausia nustatykite taškų B ir D koordinates:

3. Raskite normalaus vektoriaus į SBC plokštumą koordinates. Norėdami tai padaryti, randame trijų plokštumos taškų, kurie nėra toje pačioje tiesėje, koordinates ir sudarome SBC plokštumos lygtį:

Kaip gavote taško S koordinates?

Iš taško S statmenas nuleidžiamas į pagrindinę plokštumą ABC. Susikirtimo taškas buvo pažymėtas O. Taškas O yra taško S projekcija į ABC plokštumą. Jo x ir y koordinatės bus pirmosios dvi taško S koordinatės.

Išsiaiškinę piramidės aukštį, radome trečiąją taško S koordinatę (išilgai z ašies)

Trikampis SOB yra stačiakampis, todėl pagal Pitagoro teoremą:

Plokštumos lygtis yra ax+by+cz+d=0. Pakeiskime taškų koordinates į šią lygtį:

Gavome trijų lygčių sistemą:

Pakeiskime į lygtį:

Taigi, normalus SBD plokštumos vektorius turi koordinates:

.
4. Raskite sinusą tarp tiesės BD ir plokštumos SBD.