Kampo tarp dviejų plokštumų samprata. Dvikampis kampas. Visas iliustruotas vadovas (2019 m.)

Kampo tarp dviejų skirtingų plokštumų dydį galima nustatyti bet kuriai santykinei plokštumų padėčiai.

Trivialus atvejis, jei plokštumos lygiagrečios. Tada kampas tarp jų laikomas lygiu nuliui.

Nebanalus atvejis, jei plokštumos susikerta. Šis atvejis yra tolesnių diskusijų objektas. Pirmiausia mums reikia dvikampio kampo sąvokos.

9.1 Dvikampis kampas

Dvikampis kampas yra dvi pusiau plokštumos, turinčios bendrą tiesę (kuri vadinama dvikampio kampo briauna). Fig. 50 parodytas dvikampis kampas, sudarytas iš pusplokštumų ir; šio dvikampio kampo briauna yra tiesi linija a, bendra šioms pusplokštumoms.

Ryžiai. 50. Dvikampis kampas

Dvikampis kampas gali būti matuojamas laipsniais arba radianais vienu žodžiu, įveskite dvikampio kampo vertę. Tai daroma taip.

Dvikampio kampo, kurį sudaro pusiau plokštumai ir briauna, paimame savavališką tašką M. Nubrėžkime spindulius MA ir MB, atitinkamai gulinčius šiose pusplokštumose ir statmenus kraštui (51 pav.).

Ryžiai. 51. Tiesinis dvikampis kampas

Gautas kampas AMB yra dvikampio kampo tiesinis kampas. Kampas " = \AMB yra būtent mūsų dvikampio kampo vertė.

Apibrėžimas. Dvikampio kampo kampinis dydis yra tam tikro dvikampio kampo tiesinio kampo dydis.

Visi dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lygūs vienas kitam (juk jie gaunami vienas nuo kito lygiagrečiu poslinkiu). Štai kodėl šis apibrėžimas teisinga: reikšmė „nepriklauso nuo konkretus pasirinkimas taškai M dvikampio kampo briaunoje.

9.2 Kampo tarp plokštumų nustatymas

Kai susikerta dvi plokštumos, gaunami keturi dvikampiai kampai. Jei jie visi yra vienodo dydžio (po 90), tada plokštumos vadinamos statmenomis; Tada kampas tarp plokštumų yra 90 laipsnių.

Jei ne visi dvikampiai kampai yra vienodi (tai yra du smailieji ir du bukieji), tai kampas tarp plokštumų yra smailaus dvibriaunio kampo reikšmė (52 pav.).

Ryžiai. 52. Kampas tarp plokštumų

9.3 Problemų sprendimo pavyzdžiai

Pažvelkime į tris problemas. Pirmasis yra paprastas, antrasis ir trečiasis yra maždaug C2 lygio vieningo valstybinio matematikos egzamino.

1 uždavinys. Raskite kampą tarp dviejų taisyklingo tetraedro paviršių.

Sprendimas. Tegul ABCD taisyklingas tetraedras. Nubrėžkime atitinkamų paviršių medianas AM ir DM bei tetraedro DH aukštį (53 pav.).

Ryžiai. 53. Į 1 užduotį

Kadangi AM ir DM yra medianos, tai taip pat yra lygiakraščio aukščiai trikampiai ABC ir DBC. Todėl kampas " = \AMD yra dvikampio kampo, sudaryto iš paviršių ABC ir DBC, tiesinis kampas. Randame jį iš trikampio DHM:

Atsakymas: arccos 1 3 .

2 uždavinys. Taisyklingos keturkampės piramidės SABCD (su viršūne S) šoninė briauna lygi pagrindo kraštinei. Taškas K yra krašto SA vidurys. Raskite kampą tarp plokštumų

Sprendimas. Tiesė BC lygiagreti AD, taigi lygiagreti plokštumai ADS. Todėl plokštuma KBC kerta plokštumą ADS išilgai tiesės KL, lygiagrečią BC (54 pav.).

Ryžiai. 54. Į 2 užduotį

Šiuo atveju KL taip pat bus lygiagreti linijai AD; todėl KL vidurinė linija trikampis ADS, o taškas L yra DS vidurio taškas.

Raskime piramidės aukštį SO. Tegul N yra DO vidurys. Tada LN yra vidurinė trikampio DOS linija, taigi LN k SO. Tai reiškia, kad LN yra statmena plokštumai ABC.

Nuo taško N statmeną NM nuleidžiame iki tiesės BC. Tiesi linija NM bus pasvirusios LM projekcija į ABC plokštumą. Iš trijų statmenų teoremos išplaukia, kad LM taip pat yra statmena BC.

Taigi kampas " = \LMN yra dvikampio kampo, sudaryto iš pusplokštumų KBC ir ABC, tiesinis kampas. Šio kampo ieškosime iš taisyklingas trikampis LMN.

Tegu piramidės briauna lygi a. Pirmiausia randame piramidės aukštį:

Sprendimas. Tegul L yra tiesių A1 K ir AB susikirtimo taškas. Tada plokštuma A1 KC kerta plokštumą ABC išilgai tiesės CL (55 pav.).

A C

Ryžiai. 55. Prie 3 uždavinio

Trikampiai A1 B1 K ir KBL yra lygūs kojos ir smailiu kampu. Todėl kitos kojos yra lygios: A1 B1 = BL.

Apsvarstykite trikampį ACL. Jame BA = BC = BL. Kampas CBL yra 120; todėl \BCL = 30 . Be to, \BCA = 60 . Todėl \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Taigi, LC? AC. Bet linija AC tarnauja kaip linijos A1 C projekcija į plokštumą ABC. Pagal trijų statmenų teoremą darome išvadą, kad LC ? A1 C.

Taigi kampas A1 CA yra dvikampio kampo, sudaryto iš pusplokštumų A1 KC ir ABC, tiesinis kampas. Tai yra norimas kampas. Iš lygiašonio stačiojo trikampio A1 AC matome, kad jis lygus 45.

Darbo tipas: 14
Tema: Kampas tarp plokštumų

Būklė

Jei taisyklingoji prizmė ABCDA_1B_1C_1D_1, M ir N yra atitinkamai kraštinių AB ir BC vidurio taškai, taškas K yra MN vidurio taškai.

A)Įrodykite, kad tiesės KD_1 ir MN yra statmenos.

b) Raskite kampą tarp plokštumų MND_1 ir ABC, jei AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Sprendimas

A)\triangle DCN ir \triangle MAD turime: \angle C=\angle A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD = DA.

Taigi \triangle DCN=\triangle MAD ant dviejų kojų. Tada MD = DN, \trikampis DMN lygiašoniai. Tai reiškia, kad DK mediana taip pat yra aukštis. Todėl DK \perp MN.

DD_1 \perp MND pagal sąlygą, D_1K – įstrižas, KD – projekcija, DK \perp MN.

Vadinasi, pagal teoremą apie tris statmenus MN\perp D_1K.

b) Kaip buvo įrodyta A), DK \perp MN ir MN \perp D_1K, bet MN yra plokštumų MND_1 ir ABC susikirtimo linija, o tai reiškia, kad \kampas DKD_1 yra dvisienio kampo tarp plokštumų MND_1 ir ABC tiesinis kampas.

\trikampyje DAM pagal Pitagoro teoremą DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\ kv 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\ kv 2. Todėl \trikampyje DKM pagal Pitagoro teoremą DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\ kv 2. Tada \trikampyje DKD_1, tg\angle DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

Tai reiškia \angle DKD_1=45^(\circ).

Atsakymas

45^(\circ).

Darbo tipas: 14
Tema: Kampas tarp plokštumų

Būklė

Taisyklingoje keturkampėje prizmėje ABCDA_1B_1C_1D_1 pagrindo kraštinės lygios 4, šoninės briaunos lygios 6. Taškas M yra briaunos CC_1 vidurys, taškas N pažymėtas briaunoje BB_1 taip, kad BN:NB_1=1:2.

A) Kokiu santykiu AMN plokštuma dalija kraštą DD_1?

b) Raskite kampą tarp plokštumų ABC ir AMN.

Sprendimas

A) Plokštuma AMN kerta kraštinę DD_1 taške K, kuris yra ketvirtoji duotosios prizmės pjūvio viršūnė šia plokštuma. Skerspjūvis yra lygiagretainis ANMK, nes priešingi tam tikros prizmės paviršiai yra lygiagrečiai.

BN =\frac13BB_1=2. Nubraižykime KL \lygiagretųjį CD, tada trikampiai ABN ir KLM yra lygūs, o tai reiškia ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1. Tada KD_1=6-1=5. Dabar galite rasti santykį KD:KD_1=1:5.

b) F yra tiesių CD ir KM susikirtimo taškas. Plokštumos ABC ir AMN susikerta išilgai tiesės AF. Kampas \angle KHD =\alpha yra dvikampio kampo tiesinis kampas (HD\perp AF, tada pagal teoremą atvirkštinis trijų statmenų teoremai, KH \perp AF) ir yra stačiojo trikampio KHD smailusis kampas, koja KD=1.

Trikampiai FKD ir FMC yra panašūs (KD \parallel MC), todėl FD:FC=KD:MC, išsprendę proporciją FD:(FD+4)=1:3, gauname FD=2. Stačiame trikampyje AFD (\angle D=90^(\circ)) su 2 ir 4 kojomis apskaičiuojame hipotenuzą AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4(\sqrt 5).

Stačiame trikampyje KHD randame tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4, tai reiškia norimą kampą \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

Atsakymas

A) 1:5;

b) arctg\frac(\sqrt 5)4.

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 14
Tema: Kampas tarp plokštumų

Būklė

Duota taisyklinga keturkampė piramidė KMNPQ, kurios pagrindo kraštinė MNPQ lygi 6 ir šoninė briauna 3\sqrt (26).

A) Sukurkite piramidės atkarpą su plokštuma, einančia per tiesę NF, lygiagrečią įstrižai MP, jei taškas F yra briaunos MK vidurys.

b) Raskite kampą tarp pjūvio plokštumos ir KMP plokštumos.

Sprendimas

A) Tegu KO yra piramidės aukštis, F – MK vidurio taškas; FE \parallel MP (PKM plokštumoje) . Kadangi FE yra \trikampio PKM vidurinė linija, tada FE=\frac(MP)2.

Sukonstruokime piramidės atkarpą su plokštuma, einančia per NF ir lygiagrečia MP, tai yra plokštumai NFE. L yra EF ir KO susikirtimo taškas. Kadangi taškai L ir N priklauso norimai atkarpai ir yra plokštumoje KQN, tai taškas T, gautas kaip LN ir KQ sankirta, yra ir norimos atkarpos ir briaunos KQ susikirtimo taškas. NETF yra reikalingas skyrius.

b) Plokštumos NFE ir MPK susikerta išilgai tiesės FE. Tai reiškia, kad kampas tarp šių plokštumų yra lygus dvikampio kampo OFEN tiesiniam kampui, sudarykime jį: LO\perpMP, MP\parallel FE, vadinasi, LO\perpFE;\trikampis NFE yra lygiašonis (NE = NF kaip atitinkamos lygių trikampių KPN ir KMN medianos), NL yra jo mediana (EL = LF, nes PO = OM, ir \trikampis KEF \sim \trikampis KPM). Taigi NL \perp FE ir \angle NLO yra pageidaujamas.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\trikampis KON – stačiakampis.

Kojos KO pagal Pitagoro teoremą yra lygi KO=\sqrt (KN^2-ON^2).

OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\ kv 6.

tg\angle NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\angle NLO=30^(\circ).

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 14
Tema: Kampas tarp plokštumų

Būklė

Visos taisyklingosios trikampės prizmės ABCA_(1)B_(1)C_(1) briaunos yra lygios 6. Per briaunų AC ir BB_(1) vidurio taškus ir viršūnę A_(1) nubrėžta pjovimo plokštuma.

A)Įrodykite, kad briauna BC padalinta iš pjovimo plokštumos santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršūnės C.

b) Raskite kampą tarp pjovimo plokštumos ir pagrindinės plokštumos.

Sprendimas

A) Tegu D ir E yra atitinkamai briaunų AC ir BB_(1) vidurio taškai.

Plokštumoje AA_(1)C_(1) nubrėžiame tiesę A_(1)D, kuri kerta tiesę CC_(1) taške K, plokštumoje BB_(1)C_(1) - tiesė KE, kuri kerta kraštinę BC taške F . Sujungdami taškus A_(1) ir E, esančius plokštumoje AA_(1)B_(1), taip pat D ir F, esančius plokštumoje ABC, gauname atkarpą A_(1)EFD.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK išilgai kojos AD=DC ir smailus kampas.

\angle ADA_(1)=\angle CDK – kaip ir vertikalios, iš to seka, kad AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF ir \bigtriangleup BFE yra panašūs dviem kampais \angle FBE=\angle KCF=90^\circ,\angle BFE=\angle CFK – kaip vertikalios.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2, ty panašumo koeficientas yra 2, o tai reiškia, kad CF:FB=2:1.

b) Atlikime AH \perp DF. Kampas tarp pjūvio plokštumos ir pagrindo plokštumos lygus kampui AHA_(1). Iš tiesų atkarpa AH \perp DF (DF yra šių plokštumų susikirtimo linija) yra atkarpos A_(1)H projekcija į pagrindinę plokštumą, todėl pagal trijų statmenų teoremą A_(1)H \perp DF. \angle AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

Susiraskime AH. \angle ADH =\angle FDC (tas pats kaip vertikaliai).

Pagal kosinuso teoremą \bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF\cdot DC\cdot\cos\angle FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \angle FDC,

\cos \angle FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

Dėl pagrindinės trigonometrinės tapatybės

\sin \angle FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) . Iš \bigtriangleup ADH randame AH:

AH=AD \cdot \sin \angle ADH, (\angle FDC=\angle ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\kampas AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Atsakymas

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 14
Tema: Kampas tarp plokštumų

Būklė

Stačiosios prizmės ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) pagrindas yra rombas, kurio bukas kampas B lygus 120^\circ. Visos šios prizmės briaunos lygios 10. Taškai P ir K yra atitinkamai briaunų CC_(1) ir CD vidurio taškai.

A)Įrodykite, kad tiesės PK ir PB_(1) yra statmenos.

b) Raskite kampą tarp plokštumų PKB_(1) ir C_(1)B_(1)B.

Sprendimas

A) Naudosime koordinačių metodą. Raskime vektorių \vec(PK) ir \vec(PB_(1) skaliarinę sandaugą, o tada kampo tarp šių vektorių kosinusą. Nukreipkime Oy ašį išilgai CD, Oz ašį išilgai CC_(1), o Ox ašį \perp CD. C yra kilmė.

Tada C (0; 0; 0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0), tai yra B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

Raskime vektorių koordinates: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\).

Tegul kampas tarp \vec(PK) ir \vec(PB_(1)) yra lygus \alpha.

Mes gauname \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0.

\cos \alpha =0, ​​o tai reiškia \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)), o linijos PK ir PB_(1) yra statmenos.

b) Kampas tarp plokštumų yra lygus kampui tarp nulinių vektorių, statmenų šioms plokštumoms (arba, jei kampas bukas, kampui greta jo). Tokie vektoriai vadinami normaliaisiais plokštumose. Suraskime juos.

Tegul \vec(n_(1))=\(x; y; z\) yra statmena plokštumai PKB_(1). Raskime jį išspręsdami sistemą \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(atvejai)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(atvejai)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(atvejai)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(atvejai)

Paimkime y = 1; z = 1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\left \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \right \).

Tegul \vec(n_(2))=\(x; y; z\) yra statmena plokštumai C_(1)B_(1)B. Raskime jį išspręsdami sistemą \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(atvejai)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(atvejai)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(atvejai)

\begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end(atvejai)

Paimkime x=1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\).

Raskime norimo kampo kosinusą \beta (jis lygus kampo tarp \vec(n_(1)) ir \vec(n_(2)) kosinuso moduliui.

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac() 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

Atsakymas

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

ABCD yra kvadratas, o šoniniai paviršiai yra lygūs stačiakampiai.

Kadangi pjūvio plokštuma eina per taškus M ir D lygiagrečiai įstrižai AC, tai norėdami sukurti ją plokštumoje A_(1)AC per tašką M, nubrėžiame atkarpą MN lygiagrečiai AC. Remdamiesi tiesės ir plokštumos lygiagretumu, gauname AC \parallel (MDN).

MDN plokštuma kerta lygiagrečias plokštumas A_(1)AD ir B_(1)BC, tada pagal lygiagrečių plokštumų savybę – paviršių A_(1)ADD_(1) ir B_(1)BCC_( 1) pagal MDN plokštumą yra lygiagrečios.

Nubrėžkime atkarpą NE lygiagrečią atkarpai MD.

Keturkampis DMEN yra reikalinga atkarpa.

b) Raskime kampą tarp pjūvio plokštumos ir pagrindo plokštumos. Tegul pjūvio plokštuma kerta pagrindinę plokštumą išilgai tiesės p, einančios per tašką D. AC \parallel MN, todėl AC \parallel p (jei plokštuma eina per tiesę, lygiagrečią kitai plokštumai ir kerta šią plokštumą, tai plokštumų susikirtimo linija yra lygiagreti šiai tiesei). BD \perp AC kaip kvadrato įstrižainės, o tai reiškia BD \perp p. BD yra ED projekcija į plokštumą ABC, tada pagal trijų statmenų teoremą ED \perp p, todėl \angle EDB yra dvisienio kampo tiesinis kampas tarp pjūvio plokštumos ir pagrindo plokštumos.

Nustatykite keturkampio DMEN tipą. MD \parallel EN, panašus į ME \parallel DN, o tai reiškia, kad DMEN yra lygiagretainis, o kadangi MD = DN (stačiakampiai trikampiai MAD ir NCD yra lygūs dviejose kojose: AD = DC kaip kvadrato kraštinės, AM = CN kaip atstumai tarp lygiagrečių tiesių AC ir MN), todėl DMEN yra rombas. Taigi F yra MN vidurio taškas.

Pagal sąlygą AM:MA_(1)=2:3, tada AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC yra stačiakampis, F yra MN vidurys, O yra AC vidurys. Reiškia, FO\parallel MA, FO\perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

Žinant, kad kvadrato įstrižainė yra a\sqrt(2), kur a yra kvadrato kraštinė, gauname BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

Stačiakampiame trikampyje FOD\enspace tg \angle FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3). Todėl \angle FDO=60^\circ.

Kampo tarp plokštumų matas yra aštrus kampas, sudarytas iš dviejų tiesių, esančių šiose plokštumose ir nubrėžtų statmenai jų susikirtimo linijai.

Konstravimo algoritmas

1. Iš savavališko taško K į kiekvieną nurodytą plokštumą nubrėžiami statmenys.
2. Sukant aplink lygio liniją, nustatomas kampas γ° su viršūne taške K.
3. Apskaičiuokite kampą tarp plokštumų ϕ° = 180 – γ°, jei γ° > 90°. Jei γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Paveiksle parodytas atvejis, kai plokštumos α ir β pateiktos pėdsakais. Visi reikalingos konstrukcijos atliekami pagal algoritmą ir yra aprašyti toliau.

Sprendimas

1. Savavališkoje brėžinio vietoje pažymėkite tašką K. Nuo jo atitinkamai nuleidžiame statmenis m ir n į plokštumas α ir β. Projekcijų m ir n kryptis yra tokia: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
2. Mes nustatome tikrąjį dydį ∠γ° tarp eilučių m ir n. Norėdami tai padaryti, aplink frontalinę f kampo plokštumą su viršūne K pasukame į padėtį, lygiagrečią priekinei projekcijos plokštumai. Taško K posūkio spindulys R lygi vertei stačiojo trikampio O""K""K 0 hipotenuzė, kurios kraštinė yra K""K 0 = y K – y O.
3. Norimas kampas yra ϕ° = ∠γ°, nes ∠γ° yra smailusis.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas problemos sprendimas, kai reikia rasti kampą γ° tarp plokštumų α ir β, nurodytą atitinkamai lygiagrečiomis ir susikertančiomis tiesėmis.

Sprendimas

1. Rodyklėmis nurodyta tvarka nustatome horizontalių h 1, h 2 ir plokštumoms α ir β priklausančių frontų f 1, f 2 projekcijų kryptį. Iš savavališko taško K kvadrate. α ir β praleidžiame statmenus e ir k. Šiuo atveju e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 ir k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
2. Tarp eilučių e ir k apibrėžiame ∠γ°. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite horizontalią liniją h 3 ir aplink ją pasukime tašką K į padėtį K 1, kurioje △CKD taps lygiagreti horizontaliai plokštumai ir atsispindės joje natūraliu dydžiu - △C"K" 1 D ". Sukimosi centro O" projekcija yra nubrėžtoje į h" 3, statmenai K"O". Spindulys R nustatomas iš stačiojo trikampio O"K"K 0, kurio kraštinė K"K 0 = Z O – Z K.
3. Norimos reikšmės reikšmė yra ∠ϕ° = ∠γ°, nes kampas γ° yra smailus.

Straipsnyje kalbama apie kampo tarp plokštumų nustatymą. Pateikę apibrėžimą, pateikime grafinę iliustraciją ir apsvarstykite detalus metodas radimas koordinačių metodu. Gauname susikertančių plokštumų formulę, kuri apima normaliųjų vektorių koordinates.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Medžiagoje bus naudojami duomenys ir sąvokos, kurios anksčiau buvo tiriamos straipsniuose apie plokštumą ir liniją erdvėje. Pirma, būtina pereiti prie samprotavimo, kuris leidžia mums turėti tam tikrą požiūrį į kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymą.

Duotos dvi susikertančios plokštumos γ 1 ir γ 2. Jų sankryža bus žymima c. χ plokštumos konstrukcija yra susijusi su šių plokštumų susikirtimu. Plokštuma χ eina per tašką M kaip tiesė c. Plokštumų γ 1 ir γ 2 susikirtimas bus atliktas naudojant plokštumą χ. Tiesės, kertančios γ 1 ir χ, žymėjimą laikome tiese a, o tiesę, kertančią γ 2 ir χ – tiese b. Pastebime, kad tiesių a ir b sankirta suteikia tašką M.

Taško M vieta neturi įtakos kampui tarp susikertančių tiesių a ir b, o taškas M yra tiesėje c, per kurią eina plokštuma χ.

Būtina sukonstruoti plokštumą χ 1, statmeną tiesei c ir skirtingą nuo plokštumos χ. Plokštumų γ 1 ir γ 2 sankirta naudojant χ 1 įgaus tiesių a 1 ir b 1 žymėjimą.

Matyti, kad statant χ ir χ 1 tiesės a ir b yra statmenos tiesei c, tada a 1, b 1 yra statmenos tiesei c. Radus tieses a ir a 1 plokštumoje γ 1 su statmena tiesei c, tada jas galima laikyti lygiagrečiomis. Lygiai taip pat b ir b 1 vieta γ 2 plokštumoje, statmena tiesei c, rodo jų lygiagretumą. Tai reiškia, kad reikia lygiagrečiai perkelti plokštumą χ 1 į χ, kur gauname dvi sutampančios tiesės a ir a 1, b ir b 1. Pastebime, kad kampas tarp susikertančių tiesių a ir b 1 yra lygus susikertančių tiesių a ir b kampui.

Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Šį teiginį įrodo tai, kad tarp susikertančių tiesių a ir b yra kampas, kuris nepriklauso nuo taško M vietos, tai yra, susikirtimo taško. Šios linijos yra plokštumose γ 1 ir γ 2. Tiesą sakant, gautas kampas gali būti laikomas kampu tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Pereikime prie kampo tarp esamų susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 nustatymo.

1 apibrėžimas

Kampas tarp dviejų susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 vadinamas kampas, sudarytas tiesių a ir b susikirtimo, kur plokštumos γ 1 ir γ 2 susikerta su plokštuma χ, statmena tiesei c.

Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Sprendimas gali būti pateiktas ir kita forma. Kai plokštumos γ 1 ir γ 2 susikerta, kur c yra tiesė, kurioje jos susikirto, pažymėkite tašką M, per kurį nubrėžkite tieses a ir b, statmenas tiesei c ir esančios plokštumose γ 1 ir γ 2, tada kampas tarp tiesės a ir b bus kampas tarp plokštumų. Praktiškai tai taikoma nustatant kampą tarp plokštumų.

Kertant susidaro kampas, mažesnis nei 90 laipsnių, tai yra laipsnio matas kampas galioja tokio tipo intervale (0, 90]. Kartu šios plokštumos vadinamos statmenomis, jei susikirtimo vietoje susidaro stačiakampis kampas tarp lygiagrečios plokštumos laikomas lygiu nuliui.

Įprastas būdas rasti kampą tarp susikertančių plokštumų – atlikti papildomas konstrukcijas. Tai padeda tiksliai nustatyti, o tai galima padaryti naudojant trikampio lygybės ar panašumo ženklus, kampo sinusus ir kosinusus.

Apsvarstykite, kaip išspręsti problemas naudojant pavyzdį iš Vieningo valstybinio egzamino uždavinių bloko C 2.

1 pavyzdys

Duotas stačiakampis gretasienis A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, kur kraštinė A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, taškas E dalija kraštinę A A 1 santykiu 4:3. Raskite kampą tarp plokštumų A B C ir B E D 1.

Sprendimas

Aiškumo dėlei būtina padaryti piešinį. Mes tai gauname

Vaizdinis vaizdas būtinas, kad būtų patogiau dirbti su kampu tarp plokštumų.

Nustatome tiesę, išilgai kurios įvyksta plokštumų A B C ir B E D 1 susikirtimas. Taškas B yra bendras taškas. Reikėtų rasti kitą bendrą susikirtimo tašką. Panagrinėkime tieses D A ir D 1 E, kurios yra toje pačioje plokštumoje A D D 1. Jų vieta nerodo lygiagretumo; tai reiškia, kad jie turi bendrą susikirtimo tašką.

Tačiau tiesė D A yra plokštumoje A B C, o D 1 E – B E D 1. Iš to gauname, kad tiesios linijos D A Ir D 1 E turi bendrą susikirtimo tašką, kuris yra bendras plokštumoms A B C ir B E D 1. Nurodo linijų susikirtimo tašką D A ir D1E raidė F. Iš to gauname, kad B F yra tiesi linija, išilgai kurios susikerta plokštumos A B C ir B E D 1.

Pažiūrėkime į paveikslėlį žemiau.

Norint gauti atsakymą, reikia sukonstruoti tieses, esančias plokštumose A B C ir B E D 1, einančias per tašką, esantį tiesėje B F ir jai statmeną. Tada gautas kampas tarp šių tiesių laikomas norimu kampu tarp plokštumų A B C ir B E D 1.

Iš to matome, kad taškas A yra taško E projekcija į plokštumą A B C. Reikia nubrėžti tiesę, kertančią tiesę B F stačiu kampu taške M. Matyti, kad tiesė A M yra projekcija tiesės E M į plokštumą A B C, remiantis teorema apie tuos statmenis A M ⊥ B F . Apsvarstykite toliau pateiktą paveikslėlį.

∠ A M E – norimas kampas, sudarytas iš plokštumų A B C ir B E D 1. Iš gauto trikampio A E M galime rasti kampo sinusą, kosinusą arba liestinę, o tada ir patį kampą, tik jei žinomos dvi jo kraštinės. Pagal sąlygą gauname, kad ilgis A E randamas tokiu būdu: tiesė A A 1 padalinta iš taško E santykiu 4:3, tai reiškia, kad bendras tiesės ilgis yra 7 dalys, tada A E = 4 dalys. Mes randame A M.

Būtina atsižvelgti į statųjį trikampį A B F. Turime statųjį kampą A, kurio aukštis A M. Iš sąlygos A B = 2, tada ilgį A F galime rasti pagal trikampių D D 1 F ir A E F panašumą. Gauname, kad A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Naudojant Pitagoro teoremą reikia rasti trikampio A B F kraštinės B F ilgį. Gauname, kad B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Kraštinės A M ilgis randamas per trikampio A B F plotą. Turime, kad plotas gali būti lygus ir S A B C = 1 2 · A B · A F ir S A B C = 1 2 · B F · A M .

Gauname, kad A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Tada galime rasti trikampio A E M kampo liestinės reikšmę. Gauname:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Norimas kampas, gautas susikirtus plokštumų A B C ir B E D 1, lygus a r c t g 5, tada supaprastinus gauname a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

Atsakymas: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Kai kurie kampo tarp susikertančių linijų radimo atvejai nurodomi naudojant koordinačių plokštuma O x y z ir koordinačių metodas. Pažiūrėkime atidžiau.

Jei pateikiamas uždavinys, kuriame reikia rasti kampą tarp susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2, norimą kampą žymime α.

Tada duotoji koordinačių sistema parodo, kad turime susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 normaliųjų vektorių koordinates. Tada pažymime, kad n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z yra normalusis plokštumos γ 1 vektorius, o n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) – plokštuma γ 2. Panagrinėkime detalų kampo, esančio tarp šių plokštumų, nustatymą pagal vektorių koordinates.

Būtina nurodyti tiesę, išilgai kurios plokštumos γ 1 ir γ 2 susikerta su raide c. Tiesėje c turime tašką M, per kurį nubrėžiame c statmeną plokštumą χ. Plokštuma χ išilgai tiesių a ir b taške M kerta plokštumas γ 1 ir γ 2. iš apibrėžimo seka, kad kampas tarp susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2 yra lygus atitinkamai šioms plokštumoms priklausančių susikertančių tiesių a ir b kampui.

χ plokštumoje nubrėžiame normaliuosius vektorius iš taško M ir pažymime juos n 1 → ir n 2 → . Vektorius n 1 → yra tiesėje, statmenoje tiesei a, o vektorius n 2 → yra tiesėje, statmenoje tiesei b. Iš čia gauname, kad duotoje plokštumoje χ yra normalusis tiesės a vektorius, lygus n 1 →, o tiesei b lygus n 2 →. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Iš čia gauname formulę, pagal kurią, naudodami vektorių koordinates, galime apskaičiuoti susikertančių tiesių kampo sinusą. Mes nustatėme, kad kampo tarp tiesių a ir b kosinusas yra toks pat kaip kosinusas tarp susikertančių plokštumų γ 1 ir γ 2, gaunamas iš formulės cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, kur mes turime, kad n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) ir n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) yra pavaizduotų plokštumų vektorių koordinatės.

Kampas tarp susikertančių linijų apskaičiuojamas pagal formulę

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

2 pavyzdys

Pagal sąlygą pateikiamas gretasienis A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , kur A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, o taškas E dalija kraštinę A A 1 4: 3. Raskite kampą tarp plokštumų A B C ir B E D 1.

Sprendimas

Iš sąlygos aišku, kad jos kraštinės poromis statmenos. Tai reiškia, kad reikia įvesti koordinačių sistemą O x y z su viršūne taške C ir koordinačių ašimis O x, O y, O z. Būtina nustatyti kryptį į atitinkamas puses. Apsvarstykite žemiau esantį paveikslą.

Susikertančios plokštumos A B C Ir B E D 1 sudaryti kampą, kurį galima rasti naudojant formulę α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, kuriame n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ir n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) yra normalieji vektoriai šie lėktuvai. Būtina nustatyti koordinates. Iš paveikslo matome, kad koordinačių ašis O x y sutampa su plokštuma A B C, tai reiškia, kad normaliojo vektoriaus k → koordinatės lygios reikšmei n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Plokštumos B E D 1 normalusis vektorius laikomas vektorine sandauga B E → ir B D 1 →, kur jų koordinatės randamos pagal kraštutinių taškų B, E, D 1 koordinates, kurios nustatomos remiantis problema.

Gauname, kad B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Kadangi A E E A 1 = 4 3, iš taškų A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 koordinačių randame E 2, 3, 4. Mes nustatome, kad B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2, - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Rastąsias koordinates būtina pakeisti į kampo per lanko kosinusą skaičiavimo formulę. Mes gauname

α = a rc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinačių metodas duoda panašų rezultatą.

Atsakymas: a r c cos 6 6 .

Paskutinė problema nagrinėjama siekiant rasti kampą tarp susikertančių plokštumų su esamomis žinomomis plokštumų lygtimis.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite kampo sinusą, kosinusą ir kampo, kurį sudaro dvi susikertančios tiesės, apibrėžtos koordinačių sistemoje O x y z ir pateiktos lygtimis 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ir 3 y - z, reikšmę. - 1 = 0.

Sprendimas

Studijuojant temą bendroji lygtis formos A x + B y + C z + D = 0 tiesė atskleidė, kad A, B, C yra koeficientai, lygūs normaliojo vektoriaus koordinatėms. Tai reiškia, kad n 1 → = 2, - 4, 1 ir n 2 → = 0, 3, - 1 yra duotų tiesių normalieji vektoriai.

Norimo susikertančių plokštumų kampo apskaičiavimo formulėje būtina pakeisti plokštumų normaliųjų vektorių koordinates. Tada mes tai gauname

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Iš čia matome, kad kampo kosinusas yra cos α = 13 210. Tada susikertančių linijų kampas nėra bukas. Pakeitimas į trigonometrinė tapatybė, mes nustatome, kad kampo sinuso reikšmė yra lygi išraiškai. Paskaičiuokime ir surasime

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Atsakymas: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šis straipsnis yra apie kampą tarp plokštumų ir kaip jį rasti. Pirma, pateikiamas kampo tarp dviejų plokštumų apibrėžimas ir pateikiama grafinė iliustracija. Po to buvo išanalizuotas kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymo koordinačių metodu principas ir gauta formulė, leidžianti apskaičiuoti kampą tarp susikertančių plokštumų naudojant žinomas šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates. Pabaigoje parodyta detalūs sprendimai būdingos užduotys.

Puslapio naršymas.

Kampas tarp plokštumų – apibrėžimas.

Pateiksime argumentus, kurie leis palaipsniui priartėti prie kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymo.

Leiskite mums pateikti dvi susikertančias plokštumas ir . Šios plokštumos susikerta išilgai tiesės, kurią žymime raide c. Sukonstruokime plokštumą, einančią per tiesės c tašką M ir statmeną tiesei c. Tokiu atveju plokštuma susikirs su plokštumais ir. Tiesę, išilgai kurios plokštumos susikerta, pažymėkime kaip a, o tiesę, išilgai kurios plokštumos susikerta, kaip b. Akivaizdu, kad tiesės a ir b susikerta taške M.

Nesunku parodyti, kad kampas tarp susikertančių tiesių a ir b nepriklauso nuo taško M vietos tiesėje c, per kurią eina plokštuma.

Sukonstruokime plokštumą, statmeną tiesei c ir skirtingą nuo plokštumos. Plokštumą kerta plokštumos ir išilgai tiesių linijų, kurias atitinkamai žymime kaip a 1 ir b 1.

Iš plokštumų konstravimo metodo išplaukia, kad tiesės a ir b yra statmenos tiesei c, o tiesės a 1 ir b 1 yra statmenos tiesei c. Kadangi tiesės a ir a 1 yra toje pačioje plokštumoje ir yra statmenos tiesei c, tada jos yra lygiagrečios. Panašiai tiesės b ir b 1 yra toje pačioje plokštumoje ir yra statmenos tiesei c, todėl yra lygiagrečios. Taigi galima atlikti lygiagretų plokštumos perkėlimą į plokštumą, kurioje tiesė a 1 sutampa su tiese a, o tiesė b su tiese b 1. Todėl kampas tarp dviejų susikertančių tiesių a 1 ir b 1 yra lygus kampui tarp susikertančių tiesių a ir b.

Tai įrodo, kad kampas tarp susikertančių tiesių a ir b, esančių susikertančiose plokštumose, nepriklauso nuo taško M, per kurį eina plokštuma, pasirinkimo. Todėl logiška šį kampą laikyti kampu tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Dabar galite išreikšti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų ir.

Apibrėžimas.

Kampas tarp dviejų plokštumų, susikertančių tiesia linija ir- tai kampas tarp dviejų susikertančių tiesių a ir b, išilgai kurių plokštumos ir susikerta su plokštuma, statmena tiesei c.

Kampo tarp dviejų plokštumų apibrėžimas gali būti pateiktas šiek tiek kitaip. Jei tiesėje c, išilgai kurios plokštumos ir susikerta, pažymėkite tašką M ir per jį nubrėžkite tieses a ir b, statmenas tiesei c ir gulinčias atitinkamai plokštumose, tada kampas tarp tiesių a ir b yra kampas tarp plokštumų ir. Dažniausiai praktikoje atliekamos būtent tokios konstrukcijos, kad būtų gautas kampas tarp plokštumų.

Kadangi kampas tarp susikertančių tiesių neviršija , iš pateikto apibrėžimo išplaukia, kad kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų laipsnio matas išreiškiamas tikras numeris iš intervalo . Šiuo atveju vadinamos susikertančios plokštumos statmenai, jei kampas tarp jų yra devyniasdešimt laipsnių. Kampas tarp lygiagrečių plokštumų arba visai nenustatomas, arba laikomas lygiu nuliui.

Kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų nustatymas.

Dažniausiai, ieškant kampo tarp dviejų susikertančių plokštumų, pirmiausia tenka atlikti papildomas konstrukcijas, kad pamatytumėte susikertančias tieses, kurių kampas lygus norimam kampui, o po to šį kampą susieti su pirminiais duomenimis naudojant lygybės testus, panašumą. testai, kosinuso teorema arba kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimai. Geometrijos eigoje vidurinė mokykla kyla panašių problemų.

Kaip pavyzdį pateikiame 2012 m. Vieningo valstybinio matematikos egzamino C2 uždavinio sprendimą (sąlyga buvo tyčia pakeista, bet tai neturi įtakos sprendimo principui). Jame tereikėjo rasti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų.

Pavyzdys.

Sprendimas.

Pirma, padarykime piešinį.

Atlikime papildomas konstrukcijas, kad „pamatytų“ kampas tarp plokštumų.

Pirmiausia apibrėžkime tiesę, išilgai kurios susikerta plokštumos ABC ir BED 1. Taškas B yra vienas iš jų bendrų taškų. Raskime antrą bendrą šių plokštumų tašką. Tiesės DA ir D 1 E yra toje pačioje plokštumoje ADD 1 ir nėra lygiagrečios, todėl susikerta. Kita vertus, tiesė DA yra plokštumoje ABC, o tiesė D 1 E yra plokštumoje BED 1, todėl tiesių DA ir D 1 E susikirtimo taškas bus bendras plokštumų ABC ir BED 1 taškas. Taigi, tęskime eilutes DA ir D 1 E iki jų sankirtos, pažymėdami jų susikirtimo tašką su raide F. Tada BF yra tiesi linija, išilgai kurios susikerta plokštumos ABC ir BED 1.

Belieka sukonstruoti dvi tieses, esančias atitinkamai plokštumose ABC ir BED 1, einančias per vieną tašką tiesėje BF ir statmenas tiesei BF - kampas tarp šių linijų pagal apibrėžimą bus lygus norimam kampui tarp lėktuvai ABC ir BED 1. Padarykime tai.

Taškas A yra taško E projekcija į plokštumą ABC. Nubrėžkime tiesę, kertančią tiesę BF stačiu kampu taške M. Tada tiesė AM yra tiesės EM projekcija į plokštumą ABC ir pagal trijų statmenų teoremą.

Taigi reikalingas kampas tarp plokštumų ABC ir BED 1 lygus .

Šio kampo (taigi ir paties kampo) sinusą, kosinusą arba liestinę galime nustatyti iš stačiojo trikampio AEM, jei žinome jo dviejų kraštinių ilgius. Iš sąlygos nesunku rasti ilgį AE: kadangi taškas E dalija kraštinę AA 1 santykiu 4 su 3, skaičiuojant nuo taško A, o kraštinės AA 1 ilgis yra 7, tai AE = 4. Raskime ilgį AM.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačią trikampį ABF su stačiu kampu A, kur AM yra aukštis. Pagal sąlygą AB = 2. Kraštinės AF ilgį galime rasti pagal stačiųjų trikampių DD 1 F ir AEF panašumą:

Naudodami Pitagoro teoremą randame iš trikampio ABF. Ilgį AM randame per trikampio ABF plotą: vienoje pusėje trikampio ABF plotas lygus , kitoje pusėje , kur .

Taigi iš dešiniojo trikampio AEM turime .

Tada reikalingas kampas tarp plokštumų ABC ir BED 1 yra lygus (atkreipkite dėmesį, kad ).

Atsakymas:

Kai kuriais atvejais norint rasti kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų, patogu nustatyti Oxyz ir naudoti koordinačių metodą. Sustokime čia.

Iškelkime užduotį: raskite kampą tarp dviejų susikertančių plokštumų ir . Norimą kampą pažymėkime kaip .

Darysime prielaidą, kad duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz žinome susikertančių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates ir arba turime galimybę jas rasti. Leisti yra normalusis plokštumos vektorius, ir yra normalusis plokštumos vektorius. Parodysime, kaip rasti kampą tarp susikertančių plokštumų ir per šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates.

Tiesią liniją, išilgai kurios plokštumos ir susikerta, pažymėkime kaip c. Per tašką M tiesėje c nubrėžiame tiesei c statmeną plokštumą. Plokštuma kerta plokštumas ir išilgai tiesių a ir b atitinkamai tiesės a ir b susikerta taške M. Pagal apibrėžimą kampas tarp susikertančių plokštumų ir yra lygus kampui tarp susikertančių tiesių a ir b.

Nubraižykime normaliuosius vektorius ir plokštumas bei nuo taško M plokštumoje. Šiuo atveju vektorius yra ant tiesės, kuri yra statmena tiesei a, o vektorius yra ant tiesės, kuri yra statmena tiesei b. Taigi plokštumoje vektorius yra normalusis tiesės a vektorius, yra tiesės b normalusis vektorius.

Straipsnyje, ieškant kampo tarp susikertančių tiesių, gavome formulę, kuri leidžia apskaičiuoti kampo tarp susikertančių tiesių kosinusą naudojant normaliųjų vektorių koordinates. Taigi kampo tarp tiesių a ir b kosinusas ir, atitinkamai, kampo tarp susikertančių plokštumų kosinusas ir randama pagal formulę, kur Ir yra plokštumų ir atitinkamai normalieji vektoriai. Tada jis apskaičiuojamas kaip .

Nuspręskime ankstesnis pavyzdys koordinačių metodas.

Pavyzdys.

Duotas stačiakampis gretasienis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kuriame AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 ir taškas E dalija kraštinę AA 1 santykiu nuo 4 iki 3, skaičiuojant nuo taško A. Raskite kampą tarp plokštumų ABC ir BED 1.

Sprendimas.

Kadangi stačiakampio gretasienio kraštinės vienoje viršūnėje yra statmenos poromis, stačiakampę koordinačių sistemą Oxyz patogu įvesti taip: pradžią sulygiuokite su viršūne C, o koordinačių ašis Ox, Oy ir Oz nukreipkite išilgai CD kraštinių. , CB ir CC 1 atitinkamai.

Kampą tarp ABC ir BED 1 plokštumų galima rasti per šių plokštumų normaliųjų vektorių koordinates, naudojant formulę , kur ir yra atitinkamai ABC ir BED 1 plokštumų normalieji vektoriai. Nustatykime normaliųjų vektorių koordinates.