11 val. Kiek kartų padidės taisyklingo tetraedro tūris, jei visos jo briaunos padidės aštuonis kartus?

Vieningo valstybinio egzamino testas matematika.

Demo versija Nr. 8.

Sunkiausių B grupės užduočių sprendimas.

3 d. Lygiagretainis ir stačiakampis turi tas pačias kraštines. Rasti aštrus kampas lygiagretainis, jei jo plotas yra pusė stačiakampio ploto. Atsakymą pateikite laipsniais.

Sprendimas.

Lygiagrečios srities formulė:

S = a . b. sin α, kur a, b- lygiagretainio kraštinės, sin α - kampas tarp jų.

Stačiakampio ploto formulė:

S = a . b, Kur a, b- stačiakampio kraštinės.

1) Padvigubinkite stačiakampio plotą daugiau ploto lygiagretainis su lygiomis kraštinėmis. Tai yra:

a . b = 2 (a . b. sin α).

2) Apskaičiuokite kampo α sinusą:

a . b
sin α = ———— = 1/2.
2(a . b)

3) Prisiminkime skaičių apskritimą: jei kampo sinusas lygus 1/2, tai pats šis kampas lygus 30°. Taigi problema išspręsta.

Atsakymas: 30.

10 VALANDA. Gimnastikos čempionate dalyvauja 56 sportininkai: 27 iš Rusijos, 22 iš JAV, likusieji iš Kinijos. Gimnastų pasirodymo tvarka nustatoma burtų keliu. Raskite tikimybę, kad pirmasis rungtyniaujantis sportininkas yra iš Kinijos.

Sprendimas.

Čempionate dalyvauja 7 Kinijos gimnastės (56 - 27 - 22 = 7).

Tai reiškia, kad tikimybė, kad kinė atliks pirmą kartą, yra 7 iš 56. Sudarome šią proporciją ir konvertuojame į dešimtainę trupmeną, kuri bus atsakymas:

7/56 = 0,125.

Atsakymas: 0,125.

11 val. Kiek kartų padidės taisyklingo tetraedro tūris, jei visos jo briaunos padidės aštuonis kartus?

Sprendimas.

Tetraedro tūrio formulė:

V = √2/12. a 3 kur A- tetraedro krašto ilgis.

Matome, kad tetraedro tūris priklauso tik nuo jo briaunos ilgio. Tai yra, jei palyginsite du skirtingo dydžio tetraedrus, gausite: kiek kartų daugiau a 3 vieno tetraedro, palyginti su kitu, jo tūris yra tiek pat kartų didesnis. Tai reiškia, kad problemą galima išspręsti paprastai.

Leisti A= 1. Tada a 3 = 1.

Padidinkime krašto ilgį 8 kartus – tegul dabar A= 8. Pažiūrėkime, kas atsitiks šiuo atveju:

8 3 = 512.

Išvada: padidinus tetraedro kraštą 8 kartus, jo tūris padidės 512 kartų.

Atsakymas: 512.

12 val. Paklausos apimties priklausomybė q(vnt. per mėnesį) monopolinės įmonės produkcijai nuo kainos p(tūkstantis rublių) pateikiama pagal formulę q= 50−5p. Įmonės mėnesio pajamos r(tūkstantis rublių) apskaičiuojamas pagal formulę r(p) = pq. Nustatykite aukščiausią kainą p, kurioms mėnesinės pajamos r(p) sieks 120 tūkstančių rublių. Pateikite savo atsakymą tūkstančiais rublių.

Sprendimas.

Pirmiausia užsirašykime, ką žinome iš problemos:

r(p) = 120,

q= 50−5p.

Į pajamų formulę r(p) = pq pakeičiame šias dvi vertes, sumažiname ir gauname kvadratinė lygtis:

p(50−5p) = 120,

50p - 5p 2 = 120,

5p 2 + 50p = 120,

5p 2 + 50p - 120 = 0,

5p 2 - 50p + 120 = 0,

p 2 - 10p + 24 = 0.

Išsprendę kvadratinę lygtį, gauname dvi jos šaknis:

p 1 = 4, p 2 = 6.

Turime nustatyti didžiausią kainą – tai yra iš dviejų verčių p pasirinkite antrąjį: 6 (tūkstantis rublių).

Atsakymas: 6.

B13. Du sausakrūviai plaukia lygiagrečiais kursais ta pačia kryptimi per jūrą: pirmasis yra 120 metrų ilgio, antrasis - 80 metrų. Iš pradžių antrasis krovininis laivas atsilieka nuo pirmojo, o tam tikru momentu atstumas nuo pirmojo krovininio laivo laivagalio iki antrojo laivagalio yra 400 metrų. Po 12 minučių pirmasis krovininis laivas atsilieka nuo antrojo taip, kad atstumas nuo antrojo krovininio laivo laivagalio iki pirmojo laivapriekio yra 600 metrų. Kiek kilometrų per valandą pirmojo krovininio laivo greitis mažesnis už antrojo?

Sprendimas.

Svarbu suprasti: pirmasis nestovėjo vietoje, abu judėjo. Būtina įsivaizduoti judančius du sausųjų krovinių laivus, kad nepadarytumėte klaidos ar neatliktumėte nereikalingų veiksmų, dėl kurių taip pat bus gautas neteisingas atsakymas.

1) Taigi antrasis krovininis laivas judėjo greičiau ir per 12 minučių pirmąjį krovininį laivą aplenkė 600 metrų, įveikdamas 400 metrų atsilikimą, pirmojo krovininio laivo ilgį ir atstumą, lygų savo ilgiui. Dėl to jis, palyginti su pirmuoju krovininiu laivu, pasislinko visų šių kiekių suma:

80 + 400 + 120 + 600 = 1200 (m).

12 min - 1200 m

60 min - X m.

Iš čia:

X= 60. 1200: 12 = 6000 m arba 6 km.

Taigi antrojo krovininio laivo greitis yra 6 km/h didesnis nei pirmojo.

Problema išspręsta.

Atsakymas: 6.

12 val. Skilstant radioaktyviajam izotopui, jo masė mažėja pagal dėsnį m(t) = m 0 2 -t/T, kur m 0 (mg) – pradinė izotopo masė, t(min.) – laikas. praėjo nuo pradinio momento. T(min.) – izotopo pusinės eliminacijos laikas. Pradiniu momentu izotopo masė m 0 = 80 mg. Pusinės eliminacijos laikas T = 3 min. Po kiek minučių izotopo masė taps 10 mg?

B13. Šeimą sudaro vyras, žmona ir jų studentė dukra. Jei vyro atlyginimas padvigubėtų, bendros šeimos pajamos padidėtų 60 proc. Jei dukros stipendija būtų sumažinta perpus, visos šeimos pajamos sumažėtų 2 proc. Kiek procentų nuo visų šeimos pajamų sudaro žmonos atlyginimas?

B14. Rasti mažiausia vertė funkcijos y = 8x 2 - x 3 + 13 intervale [-5; 5].

2 DALIS

Norėdami įrašyti C1 - C6 užduočių sprendimus ir atsakymus, naudokite atsakymo formą Nr. 2. Pirmiausia užsirašykite atliekamos užduoties numerį (C1, C2 ir kt.), o tada visą pagrįstą sprendimą ir atsakymas.

C1. a) Išspręskite lygtį 2sin 3 x - 2sinx + cos 2 x = 0.

b) Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias atkarpai [-7π/2; -2π].

C2. Taškas E yra kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 briaunos AA 1 vidurys. Raskite kampą tarp tiesių DE ir BD 1.

C3. Išspręskite nelygybių sistemą

C4. Trikampyje ABC nubrėžtos pusiausvyros AA 1 ir CC 1, K ir M - statmenų, nuleistų iš taško B į tieses AA 1 ir CC 1, pagrindai.

a) Įrodykite, kad MK = AC.

b) Raskite trikampio KVM plotą, jei žinoma, kad AC = 10, BC = 6, AB = 8.

C5. Raskite visas α reikšmes, kurių kiekvienos lygtis

Turi daugiau nei tris skirtingus sprendimus.

C6. Skaičiai rašomi iš eilės: 1 2, 2 2 ..., (N - 1) 2, N 2. Tarp jų atsitiktinai dedami ženklai „+“ ir „-“ ir randama gauta suma. Ar ši suma gali būti lygi:

a) 12, jei N = 12?

b) 0, jei N = 70?

c) 0, jei N = 48?

d) - 3, jei N = 90?

NAUDOTI TESTAUS - 2014 MATEMATIKOS TESTI

2 VARIANTAS

1 DALIS

Atsakymas į užduotis B1 - B14 turi būti sveikasis arba baigtinis skaičius dešimtainis. Atsakymas turi būti užrašytas atsakymo formoje Nr. 1 dešinėje nuo atliekamos užduoties numerio, pradedant nuo pirmo langelio. Kiekvieną skaičių, minuso ženklą ir dešimtainį kablelį įrašykite į atskirą langelį pagal formoje pateiktus pavyzdžius. Matavimo vienetų rašyti nereikia.

1. Mažmeninėje prekyboje vienas savaitinio žurnalo „Ataskaita“ numeris kainuoja 27 rublius, o šešių mėnesių šio žurnalo prenumerata – 550 rublių. Per šešis mėnesius išleidžiami 25 žurnalo numeriai. Kiek rublių sutaupys ponas Ivanovas per šešis mėnesius, jei nepirks kiekvieno žurnalo numerio atskirai, o prenumeruos?

AT 2. Diagramoje parodytas vidutinis dalyvių balas iš 10 šalių pagal 2007 m. 4 klasės matematikos testą (10 500 balų skalėje).

Naudodami diagramą raskite šalių, kurių vidutinis balas yra nuo 495 iki 515, skaičių.

3 d. Raskite trikampio ABCD plotą. Kiekvienos ląstelės dydis yra 1 cm x 1 cm. Atsakymą pateikite kvadratiniais centimetrais.

4 d. Užsienio svečių grupei reikia įsigyti 20 vadovų. Reikalingi vadovai buvo rasti trijose internetinėse parduotuvėse. Pirkimo ir pristatymo sąlygos pateiktos lentelėje. Nustatykite, kurioje parduotuvėje bendra pirkimo suma, įskaitant pristatymą, bus mažiausia. Atsakyme parašykite mažiausią sumą rubliais.

Tetraedro tūris.Šiame straipsnyje apžvelgsime keletą užduočių su piramidėmis. Kaip žinote, tetraedras taip pat yra piramidė. APIE tetraedro apibrėžimas:

Tetraedras yra paprasčiausias daugiakampis, jis turi 4 paviršius, kurie yra trikampiai. Tetraedras turi 4 viršūnes, į kiekvieną viršūnę susilieja 3 briaunos, o iš viso yra 6. Tetraedras, kurio paviršiai yra lygiakraštiai trikampiai, vadinamas taisyklingu.

Piramidės (taigi ir tetraedro) tūris:

S – piramidės pagrindo plotas h – piramidės aukštis

Apskaičiuokime taisyklingo tetraedro tūrį kraštinėje lygi vertei a.

Tada kiekvieno veido plotas bus lygus (in tokiu atveju ir ABC bazės):

Apskaičiuokime aukštį SO. Pasvarstykime taisyklingas trikampis SOC:

*Žinoma, kad trikampio pusiausvyros dalijamos iš susikirtimo taško santykiu nuo 1 iki 2.

Apskaičiuokime CM. Pagal Pitagoro teoremą:

Taigi:

Taigi tetraedro tūris bus lygus:

Toliau aptariamų užduočių prasmė tokia: visos piramidės briaunos arba tik aukštis kelis kartus padidėja. Akivaizdu, kad šiuo atveju jo paviršiaus plotas taip pat didėja. Toliau reikia apskaičiuoti, kiek kartų šis padidėjimas įvyksta.

1. Jei didėja tik piramidės aukštis ir kyla klausimas dėl tūrio keitimo, tai aišku, kad jis didėja tiesiogiai proporcingai pradiniam piramidės tūriui, nes priklausomybė yra tiesinė. Paprasčiau tariant, garsumas didėja tiek kartų, kiek didėja aukštis.

2. Jei kalbame apie visų piramidės kraštų padidinimą tam tikru skaičiumi kartų, tuomet reikia suprasti, kad gaunama piramidė, panaši į pradinę, o jos veidai taip pat panašūs į atitinkamus piramidės veidus. susidariusią piramidę.

Aš leisiu sau Šis momentas, figūrų ir kūnų panašumo klausimu siūlau atsigręžti į vadovėlyje išdėstytą teoriją. Artimiausiu metu šia tema tikrai paskelbsiu atskirą straipsnį.

Kalbant apie pateiktą užduočių grupę, pažymiu, kad naudojant panašumo savybes tokios užduotys išsprendžiamos praktiškai vienu veiksmu.

Štai ką reikia atsiminti ir žinoti:

Tai yra, jei padidinsime visas piramidės briaunas k kartų, tada bet kurios jos briaunos ploto ir pradinio atitinkamo paviršiaus ploto santykis bus lygus k 2 . Natūralu, kad tokių piramidžių visų paviršių plotų santykis taip pat bus lygus k 2.

Ir:

Tai yra, jei padidinsime visas piramidės kraštines k kartų, tada gautos piramidės tūrio ir pradinės tūrio santykis bus lygus k 3 . Apsvarstykime užduotis:

Kiek kartų padidės taisyklingo tetraedro tūris, jei visos jo briaunos padidės šešiolika kartų?

Tetraedras yra piramidė, kurios visi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai.

Ši piramidė ir piramidė, gauta padidinus visas jos briaunas 16 kartų, bus panašios, panašumo koeficientas atitinkamai bus lygus 16.

Panašių kūnų tūriai siejami kaip panašumo koeficiento kubas.Tai yra, kaip jau minėta, gautos piramidės tūris yra lygus panašumo koeficiento kubo ir pradinės piramidės tūrio sandaugai:

Nustatykime, kiek kartų tūris padidės, ir raskime tūrių santykį:

Taigi, jei visos briaunos padidinamos 16 kartų, tada tūris padidės 4096 kartus.

*Problemą galite išspręsti kitaip. Tetraedro kraštą pažymėkite kaip A, tada išreikškite jo aukštį. Po to pagal formulę nustatykite piramidžių tūrius ir raskite gautų tūrių santykį. Tačiau toks kelias bus nepagrįstai ilgas ir jam išspręsti prireiks daug kartų daugiau laiko.

Atsakymas: 4096

Kiek kartų padidės piramidės tūris, jei jos aukštis bus padidintas dvylika kartų?

Piramidės tūris yra lygus trečdaliui pagrindo ploto ir aukščio sandaugos:

S– bazinis plotas

h– piramidės aukštis

Jei aukštis padidės 12 kartų, piramidės tūris taip pat padidės 12 kartų (tai tiesinis ryšys):

Atsakymas: 12

Kiek kartų padidės taisyklingo tetraedro paviršiaus plotas, jei visos jo briaunos padidės penkis kartus?

Atkreipkite dėmesį, kad tetraedro paviršiaus plotas yra lygus keturių jo paviršių, kurie yra taisyklingi trikampiai, plotų sumai.

Pirmas būdas:

Nustatykime pradinio tetraedro ir padidinto paviršiaus plotą, tada suraskime plotų santykį.

Tegul tetraedro briauna lygi A, tada veido plotas bus lygus:

*Naudojome trikampį.

Tai reiškia, kad pradinio tetraedro paviršiaus plotas bus lygus:

Jei tetraedro kraštai padidinami 5 kartus, paviršiaus plotas pasikeis taip:

Ploto santykis yra:

Taigi, jei tetraedro briaunos padidinamos penkis kartus, jo paviršiaus plotas padidės 25 kartus.

Antras būdas:

Yra žinoma, kad figūros tiesinius matmenis padidinus (sumažinus) k kartų, gaunama panaši į ją figūra, kurios plotai susiejami kaip panašumo koeficiento kvadratas, tai yra:

k – tai panašumo koeficientas

Šiame uždavinyje k=5.

Tai yra, naudojant panašumo savybę, problema išspręsta žodžiu:

*Kiekvieno piramidės paviršiaus plotas padidės 25 kartus, o tai reiškia, kad visos piramidės paviršiaus plotas taip pat padidės 25 kartus.

Atsakymas: 25

27172. Kiek kartų padidės piramidės paviršiaus plotas, jei visos jos briaunos padidės dvigubai?

Ši užduotis niekuo nesiskiria nuo ankstesnės. Nėra skirtumo, ar kalbame apie tetraedrą, piramidę, kubą, gretasienį ar kitą daugiakampį. Jei sakoma, kad visos briaunos padidėja tas pats numeris kartų, tada gauti „naujojo“ kūno veidai bus panašūs į atitinkamus pirminio kūno veidus. Tai reiškia, kad paviršiaus plotas padidės k 2 kartus (kur k yra panašumo koeficientas).