Šiame straipsnyje pateikta medžiaga skirta pirmajai pažinčiai su lygčių sistemomis. Čia supažindinsime su lygčių sistemos apibrėžimu ir jos sprendimais, taip pat apsvarstysime dažniausiai pasitaikančius lygčių sistemų tipus. Kaip įprasta, pateiksime aiškinamuosius pavyzdžius.

Puslapio naršymas.

Kas yra lygčių sistema?

Prie lygčių sistemos apibrėžimo eisime palaipsniui. Pirma, sakykime, kad patogu jį pateikti, nurodant du dalykus: pirma, įrašo tipą ir, antra, šiame įraše įterptą reikšmę. Pažvelkime į juos paeiliui, o tada apibendrinkite samprotavimus į lygčių sistemų apibrėžimą.

Tegul prieš mus jų būna keletas. Pavyzdžiui, paimkime dvi lygtis 2 x+y=−3 ir x=5. Parašykime juos vieną po kito ir derinkite kairėje su garbanotu skliaustu:

Šio tipo įrašai, kurie yra kelios lygtys, išdėstytos stulpelyje ir sujungtos kairėje riestiniu skliaustu, yra lygčių sistemų įrašai.

Ką reiškia tokie įrašai? Jie apibrėžia visų tokių sistemos lygčių sprendinių rinkinį, kuris yra kiekvienos lygties sprendimas.

Nepakenktų tai apibūdinti kitais žodžiais. Tarkime, kai kurie pirmosios lygties sprendiniai yra visų kitų sistemos lygčių sprendiniai. Taigi sistemos įrašas tiesiog reiškia juos.

Dabar esame pasirengę tinkamai priimti lygčių sistemos apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Lygčių sistemos iškviesti įrašus, kurie yra lygtys, esančios viena po kitos, sujungtos kairėje riestiniu skliaustu ir žyminčių visų lygčių sprendinių rinkinį, kuris taip pat yra kiekvienos sistemos lygties sprendiniai.

Panašus apibrėžimas pateiktas ir vadovėlyje, tačiau ten jis pateiktas ne bendram atvejui, o dviem racionalioms lygtims su dviem kintamaisiais.

Pagrindiniai tipai

Akivaizdu, kad yra be galo daug skirtingų lygčių. Natūralu, kad taip pat yra begalinis skaičius lygčių sistemų, sudarytų naudojant jas. Todėl, kad būtų patogiau studijuoti ir dirbti su lygčių sistemomis, prasminga jas suskirstyti į grupes pagal panašias charakteristikas, o tada pereiti prie atskirų tipų lygčių sistemų svarstymo.

Pirmasis padalijimas rodo save pagal į sistemą įtrauktų lygčių skaičių. Jei yra dvi lygtys, tai galime sakyti, kad turime dviejų lygčių sistemą, jei yra trys, tai trijų lygčių sistemą ir t. Akivaizdu, kad nėra prasmės kalbėti apie vienos lygties sistemą, nes šiuo atveju iš esmės kalbame apie pačią lygtį, o ne su sistema.

Kitas padalijimas yra pagrįstas kintamųjų, dalyvaujančių rašant sistemos lygtis, skaičiumi. Jei yra vienas kintamasis, tai mes susiduriame su lygčių sistema su vienu kintamuoju (taip pat sakoma su vienu nežinomu), jei yra du, tai su lygčių sistema su dviem kintamaisiais (su dviem nežinomaisiais) ir tt. Pavyzdžiui, yra lygčių sistema su dviem kintamaisiais x ir y.

Tai reiškia visų skirtingų kintamųjų, įtrauktų į įrašymą, skaičių. Jie nebūtinai turi būti įtraukti į kiekvienos lygties įrašą iš karto; pakanka, kad jie būtų bent vienoje lygtyje. Pvz., yra lygčių sistema su trimis kintamaisiais x, y ir z. Pirmoje lygtyje kintamasis x yra aiškiai, o y ir z yra implicitiniai (galime manyti, kad šie kintamieji turi nulį), o antroje lygtyje yra x ir z, tačiau kintamasis y nėra aiškiai pateiktas. Kitaip tariant, pirmąją lygtį galima žiūrėti kaip , o antrasis – kaip x+0·y−3·z=0.

Trečias taškas, kuriuo lygčių sistemos skiriasi, yra pačių lygčių tipas.

Mokykloje lygčių sistemų studijos pradedamos nuo sistemos iš dviejų tiesines lygtis su dviem kintamaisiais. Tai reiškia, kad tokios sistemos sudaro dvi tiesines lygtis. Štai keletas pavyzdžių: Ir . Jie mokosi darbo su lygčių sistemomis pagrindų.

Sprendžiant daugiau sudėtingos užduotys Taip pat galite susidurti su trijų tiesinių lygčių sistemomis su trimis nežinomaisiais.

Toliau 9 klasėje prie dviejų lygčių sistemų su dviem kintamaisiais pridedamos netiesinės lygtys, dažniausiai ištisos antrojo laipsnio lygtys, rečiau - daugiau. aukšti laipsniai. Šios sistemos vadinamos netiesinių lygčių sistemomis, jei reikia, nurodomas lygčių ir nežinomųjų skaičius. Parodykime tokių netiesinių lygčių sistemų pavyzdžius: Ir .

Ir tada sistemose taip pat yra, pavyzdžiui, . Paprastai jos vadinamos tiesiog lygčių sistemomis, nenurodant, kurios lygtys. Čia verta paminėti, kad dažniausiai lygčių sistema tiesiog vadinama „lygčių sistema“, o paaiškinimai pridedami tik prireikus.

Vidurinėje mokykloje, nes studijuojama medžiaga, neracionali, trigonometrinė, logaritminė ir eksponentinės lygtys : , , .

Jei pažvelgtume dar plačiau į pirmakursių universitetų programas, pagrindinis dėmesys skiriamas tiesinių algebrinių lygčių (SLAE) sistemų studijoms ir sprendimams, tai yra lygtims, kurių kairėje pusėje yra pirmojo laipsnio daugianariai. o dešiniosiose pusėse yra tam tikri skaičiai. Bet ten, skirtingai nei mokykloje, jie ima nebe dvi tiesines lygtis su dviem kintamaisiais, o savavališką skaičių lygčių su savavališku kintamųjų skaičiumi, kuris dažnai nesutampa su lygčių skaičiumi.

Koks yra lygčių sistemos sprendimas?

Sąvoka „lygčių sistemos sprendimas“ tiesiogiai reiškia lygčių sistemas. Mokykloje pateikiamas dviejų kintamųjų lygčių sistemos sprendimo apibrėžimas :

Apibrėžimas.

Lygčių sistemos su dviem kintamaisiais sprendimas vadinama šių kintamųjų verčių pora, kuri kiekvieną sistemos lygtį paverčia teisinga, kitaip tariant, yra kiekvienos sistemos lygties sprendimas.

Pavyzdžiui, kintamųjų reikšmių pora x=5, y=2 (ji gali būti parašyta kaip (5, 2)) yra lygčių sistemos sprendimas pagal apibrėžimą, nes sistemos lygtys, kai x= 5, į juos pakeičiami y=2, atitinkamai paverčiami teisingomis skaitinėmis lygybėmis 5+2=7 ir 5−2=3. Tačiau reikšmių pora x=3, y=0 nėra šios sistemos sprendimas, nes pakeičiant šias reikšmes į lygtis, pirmoji iš jų pavirs neteisinga lygybe 3+0=7.

Panašūs apibrėžimai gali būti suformuluoti sistemoms su vienu kintamuoju, taip pat sistemoms su trimis, keturiais ir kt. kintamieji.

Apibrėžimas.

Lygčių sistemos su vienu kintamuoju sprendimas bus kintamojo reikšmė, kuri yra visų sistemos lygčių šaknis, tai yra, visas lygtis paverčiant teisingomis skaitinėmis lygybėmis.

Pateikime pavyzdį. Apsvarstykite lygčių sistemą su vienu formos kintamuoju t . Skaičius −2 yra jo sprendimas, nes ir (−2) 2 =4, ir 5·(−2+2)=0 yra tikrosios skaitinės lygybės. Ir t=1 nėra sistemos sprendimas, nes pakeitus šią reikšmę gautos dvi neteisingos lygybės 1 2 =4 ir 5·(1+2)=0.

Apibrėžimas.

Sistemos sprendimas su trimis, keturiais ir kt. kintamieji vadinami trys, keturi ir t.t. kintamųjų reikšmės, paversdamos visas sistemos lygtis tikrosiomis lygybėmis.

Taigi pagal apibrėžimą kintamųjų x=1, y=2, z=0 reikšmių trigubas yra sistemos sprendimas , kadangi 2·1=2, 5·2=10 ir 1+2+0=3 yra tikrosios skaitinės lygybės. Ir (1, 0, 5) nėra šios sistemos sprendimas, nes pakeičiant šias kintamųjų reikšmes į sistemos lygtis, antroji iš jų virsta neteisinga lygybe 5·0=10, o trečioji. taip pat 1+0+5=3.

Atkreipkite dėmesį, kad lygčių sistemos gali neturėti sprendinių, gali turėti baigtinį sprendinių skaičių, pavyzdžiui, vieną, du, ... arba gali turėti be galo daug sprendinių. Tai pamatysite, kai gilinsitės į temą.

Atsižvelgdami į lygčių sistemos apibrėžimus ir jų sprendinius, galime daryti išvadą, kad lygčių sistemos sprendinys yra visų jos lygčių sprendinių aibių sankirta.

Apibendrinant, pateikiame keletą susijusių apibrėžimų:

Apibrėžimas.

ne sąnarių, jei ji neturi sprendimų, kitaip sistema vadinama Bendras.

Apibrėžimas.

Lygčių sistema vadinama neapibrėžtas, jei jis turi be galo daug sprendinių ir tam tikras, jei jis turi baigtinį skaičių sprendinių arba jų visai neturi.

Šie terminai supažindinami, pavyzdžiui, vadovėlyje, tačiau mokykloje vartojami gana retai, dažniau girdimi aukštosiose mokyklose.

Bibliografija.

1. Algebra: vadovėlis 7 klasei bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 240 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; Redaguota S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovičius A. G. Algebra. 7 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis mokiniams švietimo įstaigų/ A. G. Mordkovičius. - 17 leidimas, pridėti. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 val.1 dalis.Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. Per 2 val.1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (profilio lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Švietimas, 2004. - 384 p.: iliustr. - ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurošas. Aukštosios algebros kursas.
8. Iljinas V. A., Poznyak E. G. Analitinė geometrija: Vadovėlis: Universitetams. – 5-asis leidimas. – M.: Mokslas. Fizmatlit, 1999. – 224 p. - (Na aukštoji matematika ir mat. fizika). – ISBN 5-02-015234 – X (3 leidimas)

Patikimesnis nei grafinis metodas, aptartas ankstesnėje pastraipoje.

Pakeitimo metodas

Šį metodą naudojome 7 klasėje tiesinių lygčių sistemoms spręsti. 7 klasėje sukurtas algoritmas yra gana tinkamas bet kurių dviejų lygčių (nebūtinai tiesinių) sistemoms spręsti su dviem kintamaisiais x ir y (žinoma, kintamieji gali būti žymimi ir kitomis raidėmis, kas nesvarbu). Tiesą sakant, šį algoritmą naudojome ankstesnėje pastraipoje, kai dviženklio skaičiaus problema atvedė į matematinį modelį, kuris yra lygčių sistema. Šią lygčių sistemą išsprendėme aukščiau naudodami pakeitimo metodą (žr. 1 pavyzdį iš § 4).

Algoritmas, kaip panaudoti pakeitimo metodą sprendžiant dviejų lygčių sistemą su dviem kintamaisiais x, y.

1. Iš vienos sistemos lygties išreikškite y reikšme x.
2. Vietoj y gautą išraišką pakeiskite kita sistemos lygtimi.
3. Išspręskite gautą x lygtį.
4. Pirmajame žingsnyje gautoje išraiškoje nuo y iki x pakeiskite kiekvieną trečiajame žingsnyje rastos lygties šaknį vietoj x.
5. Atsakymą parašykite reikšmių poromis (x; y), kurios buvo rastos atitinkamai trečiame ir ketvirtame žingsnyje.

4) Pakeiskite kiekvieną rastą y reikšmę po vieną į formulę x = 5 - 3. Jei tada
5) Duotos lygčių sistemos poros (2; 1) ir sprendiniai.

Atsakymas: (2; 1);

Algebrinis sudėjimo metodas

Šis metodas, kaip ir pakeitimo metodas, jums pažįstamas iš 7 klasės algebros kurso, kur jis buvo naudojamas tiesinių lygčių sistemoms spręsti. Prisiminkime metodo esmę naudodami šį pavyzdį.

2 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Visus pirmosios sistemos lygties narius padauginkime iš 3, o antrąją lygtį palikime nepakeistą:
Iš pirmosios lygties atimkite antrąją sistemos lygtį:

Algebriškai sudėjus dvi pirminės sistemos lygtis, buvo gauta lygtis, kuri buvo paprastesnė už pateiktos sistemos pirmąją ir antrąją lygtis. Šia paprastesne lygtimi turime teisę pakeisti bet kurią tam tikros sistemos lygtį, pavyzdžiui, antrąją. Tada pateikta lygčių sistema bus pakeista paprastesne sistema:

Šią sistemą galima išspręsti naudojant pakeitimo metodą. Iš antrosios lygties randame Pakeitę šią išraišką vietoj y į pirmąją sistemos lygtį, gauname

Belieka pakeisti rastas x reikšmes į formulę

Jei x = 2, tada

Taigi, mes radome du sistemos sprendimus:

Naujų kintamųjų įvedimo metodas

Su naujo kintamojo įvedimo būdu sprendžiant racionaliąsias lygtis su vienu kintamuoju susipažinote 8 klasės algebros kurse. Šio lygčių sistemų sprendimo metodo esmė yra ta pati, bet su techninis punktas Yra keletas regėjimo ypatybių, kurias aptarsime tolesniuose pavyzdžiuose.

3 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Įveskime naują kintamąjį, tada pirmąją sistemos lygtį galima perrašyti į daugiau paprasta forma: Išspręskime šią kintamojo t lygtį:

Abi šios vertės atitinka sąlygą ir todėl yra šaknys racionalioji lygtis su kintamuoju t. Bet tai reiškia, kur mes nustatome, kad x = 2y, arba
Taigi, naudojant naujo kintamojo įvedimo metodą, pavyko „susluoksniuoti“ pirmąją gana sudėtingos išvaizdos sistemos lygtį į dvi paprastesnes lygtis:

x = 2 y; y - 2x.

Kas toliau? Ir tada gavo kiekvienas iš dviejų paprastos lygtys reikia nagrinėti po vieną sistemoje su lygtimi x 2 - y 2 = 3, kurios mes dar neprisimename. Kitaip tariant, problema kyla sprendžiant dvi lygčių sistemas:

Turime rasti pirmosios, antrosios sistemos sprendimus ir į atsakymą įtraukti visas gautas verčių poras. Išspręskime pirmąją lygčių sistemą:

Pasinaudokime pakeitimo metodu, juolab kad čia jau viskas paruošta: į antrąją sistemos lygtį pakeisime raišką 2y vietoj x. Mes gauname

Kadangi x = 2y, atitinkamai randame x 1 = 2, x 2 = 2. Taigi gaunami du duotosios sistemos sprendiniai: (2; 1) ir (-2; -1). Išspręskime antrąją lygčių sistemą:

Vėl panaudokime pakeitimo metodą: raišką 2x vietoj y pakeiskime į antrąją sistemos lygtį. Mes gauname

Ši lygtis neturi šaknų, o tai reiškia, kad lygčių sistema neturi sprendinių. Taigi į atsakymą reikia įtraukti tik pirmosios sistemos sprendinius.

Atsakymas: (2; 1); (-2;-1).

Naujų kintamųjų įvedimo metodas sprendžiant dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemas naudojamas dviem variantais. Pirmas variantas: vienas naujas kintamasis įvedamas ir naudojamas tik vienoje sistemos lygtyje. Būtent taip atsitiko 3 pavyzdyje. Antrasis variantas: abiejose sistemos lygtyse įvedami ir vienu metu naudojami du nauji kintamieji. Taip bus 4 pavyzdyje.

4 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Pristatykime du naujus kintamuosius:

Tada atsižvelgkime į tai

Tai leis jums perrašyti pateiktą sistemą daug paprastesne forma, tačiau atsižvelgiant į naujus kintamuosius a ir b:

Kadangi a = 1, tai iš lygties a + 6 = 2 randame: 1 + 6 = 2; 6=1. Taigi, kalbant apie kintamuosius a ir b, gavome vieną sprendimą:

Grįžę prie kintamųjų x ir y, gauname lygčių sistemą

Šiai sistemai išspręsti pritaikykime algebrinio sudėjimo metodą:

Nuo tada iš lygties 2x + y = 3 randame:
Taigi, kalbant apie kintamuosius x ir y, gavome vieną sprendimą:

Užbaikime šią pastraipą trumpu, bet gana rimtu teoriniu pokalbiu. Jūs jau įgijote tam tikros patirties sprendžiant įvairias lygtis: tiesinę, kvadratinę, racionaliąją, iracionaliąją. Jūs žinote, kad pagrindinė lygties sprendimo idėja yra palaipsniui pereiti nuo vienos lygties prie kitos, paprastesnės, bet lygiavertės pateiktai. Ankstesnėje pastraipoje pristatėme lygčių su dviem kintamaisiais lygiavertiškumo sąvoką. Ši sąvoka taip pat naudojama lygčių sistemoms.

Apibrėžimas.

Dvi lygčių sistemos su kintamaisiais x ir y vadinamos lygiavertėmis, jei jos turi tuos pačius sprendinius arba jei abi sistemos neturi sprendinių.

Visi trys metodai (pakeitimas, algebrinis pridėjimas ir naujų kintamųjų įvedimas), kuriuos aptarėme šiame skyriuje, yra visiškai teisingi lygiavertiškumo požiūriu. Kitaip tariant, taikydami šiuos metodus vieną lygčių sistemą pakeičiame kita, paprastesne, bet lygiaverte pradinei sistemai.

Grafinis lygčių sistemų sprendimo metodas

Mes jau išmokome spręsti lygčių sistemas tokiais įprastais ir patikimais būdais kaip keitimo metodas, algebrinis sudėjimas ir naujų kintamųjų įvedimas. Dabar prisiminkime metodą, kurį jau studijavote ankstesnėje pamokoje. Tai yra, pakartokime tai, ką žinote grafinis metodas sprendimus.

Lygčių sistemų grafinio sprendimo būdas yra kiekvienos konkrečios lygties, įtrauktos į tam tikrą sistemą ir esančios vienoje, grafiko sudarymas. koordinačių plokštuma, o taip pat kur reikia rasti šių grafikų taškų susikirtimo vietas. Šiai lygčių sistemai išspręsti reikia šio taško koordinatės (x; y).

Reikėtų prisiminti, kad dėl grafikos sistema lygtys paprastai turi vieną teisingas sprendimas, arba begalinis sprendinių skaičius, arba jų visai nėra.

Dabar pažvelkime į kiekvieną iš šių sprendimų išsamiau. Taigi, lygčių sistema gali turėti unikalų sprendimą, jei linijos, kurios yra sistemos lygčių grafikai, susikerta. Jeigu šios tiesės lygiagrečios, tai tokia lygčių sistema visiškai neturi sprendinių. Jei sistemos lygčių tiesioginiai grafikai sutampa, tai tokia sistema leidžia rasti daug sprendinių.

Na, o dabar pažvelkime į dviejų lygčių su 2 nežinomaisiais sistemos sprendimo algoritmą naudojant grafinį metodą:

Pirma, pirmiausia sudarome 1-osios lygties grafiką;
Antrasis žingsnis bus grafiko, susieto su antrąja lygtimi, sudarymas;
Trečia, turime rasti grafikų susikirtimo taškus.
Ir kaip rezultatas, mes gauname kiekvieno susikirtimo taško koordinates, kurios bus lygčių sistemos sprendimas.

Pažvelkime į šį metodą išsamiau naudodami pavyzdį. Mums duota lygčių sistema, kurią reikia išspręsti:

Lygčių sprendimas

1. Pirmiausia sudarysime šios lygties grafiką: x2+y2=9.

Tačiau reikia pažymėti, kad šis lygčių grafikas bus apskritimas, kurio centras yra pradžioje, o jo spindulys bus lygus trims.

2. Kitas mūsų žingsnis bus sudaryti tokią lygtį kaip: y = x – 3.

Šiuo atveju turime nutiesti tiesę ir rasti taškus (0;−3) ir (3;0).

3. Pažiūrėkime, ką gavome. Matome, kad tiesė kerta apskritimą dviejuose jos taškuose A ir B.

Dabar ieškome šių taškų koordinačių. Matome, kad koordinatės (3;0) atitinka tašką A, o koordinatės (0;−3) – tašką B.

Ir ką mes gauname dėl to?

Skaičiai (3;0) ir (0;−3), gauti, kai tiesė kerta apskritimą, yra būtent abiejų sistemos lygčių sprendiniai. Ir iš to išplaukia, kad šie skaičiai taip pat yra šios lygčių sistemos sprendiniai.

Tai yra, atsakymas į šį sprendimą yra skaičiai: (3;0) ir (0;−3).

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Išspręskite sistemą su dviem nežinomaisiais - tai reiškia, kad reikia rasti visas kintamųjų reikšmių poras, kurios tenkina kiekvieną iš pateiktų lygčių. Kiekviena tokia pora vadinama sisteminis sprendimas.

Pavyzdys:
Reikšmių pora \(x=3\);\(y=-1\) yra pirmosios sistemos sprendimas, nes pakeičiant šiuos tris ir minus vienetus į sistemą vietoj \(x\) ir \ (y\), abi lygtys taps teisingomis lygybėmis \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( atvejai)\)

Bet \(x=1\); \(y=-2\) - nėra pirmosios sistemos sprendimas, nes po pakeitimo antroji lygtis „nesusilieja“ \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(atvejai)\)

Atkreipkite dėmesį, kad tokios poros dažnai rašomos trumpiau: vietoj "\(x=3\); \(y=-1\)" jos rašomos taip: \((3;-1)\).

Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?

Yra trys pagrindiniai tiesinių lygčių sistemų sprendimo būdai:

1. Pakeitimo metodas.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftright rodyklė\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\pabaiga(atvejai)\)\(\rodyklė į kairę į dešinę\)

Vietoj šio kintamojo gautą išraišką pakeiskite kita sistemos lygtimi.

\(\Rodyklė į kairę\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\rodyklė į kairę\)

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   Antroje lygtyje kiekvienas narys yra lyginis, todėl lygtį supaprastiname padalydami iš \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Šią sistemą galima išspręsti bet kuriuo iš šių būdų, bet man atrodo, kad čia patogiausias yra pakeitimo būdas. Išreikškime y iš antrosios lygties.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Pirmoje lygtyje vietoj \(y\) pakeiskime \(6x-13\).
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Pirmoji lygtis virto įprasta. Išspręskime.

   Pirmiausia atidarykime skliaustus.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Perkelkime \(117\) į dešinę ir pateikime panašius terminus.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Abi pirmosios lygties puses padalinkime iš \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hurray, radome \(x\)! Pakeiskime jo reikšmę antrąja lygtimi ir raskime \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftright rodyklė\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Užsirašykime atsakymą.

Instrukcijos

Papildymo būdas.
Turite parašyti du griežtai vienas po kito:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Savavališkai pasirinktoje (iš sistemos) lygtyje vietoj jau rasto „žaidimo“ įterpkite skaičių 11 ir apskaičiuokite antrąjį nežinomąjį:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Atsakymas į šią lygčių sistemą yra x=116, y=11.

Grafinis metodas.
Ją sudaro praktiškai surandant taško, kuriame tiesės matematiškai užrašytos lygčių sistemoje, koordinatės. Abiejų linijų grafikai turi būti braižyti atskirai toje pačioje koordinačių sistemoje. Bendras vaizdas: – y=khx+b. Norint sukurti tiesią liniją, pakanka rasti dviejų taškų koordinates, o x pasirenkamas savavališkai.
Tegu sistema duota: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Naudojant pirmąją nubrėžiama tiesė, patogumo dėlei ją reikia užrašyti: y=2x-4. Sugalvokite (lengvesnes) x reikšmes, pakeiskite ją į lygtį, išspręskite ir suraskite y. Gauname du taškus, išilgai kurių nutiesta tiesi linija. (žr. paveikslėlį)
x 0 1

y -4 -2
Tiesi linija sudaroma naudojant antrą lygtį: y=-3x+1.
Taip pat nubrėžkite tiesią liniją. (žr. paveikslėlį)

y 1 -5
Grafike raskite dviejų sukonstruotų tiesių susikirtimo taško koordinates (jei tiesės nesikerta, tai lygčių sistema neturi – taigi).

Video tema

Naudingas patarimas

Jei ta pati lygčių sistema išspręsta trimis Skirtingi keliai, atsakymas bus toks pat (jei sprendimas teisingas).

Šaltiniai:

• 8 klasės algebra
• internete išspręskite lygtį su dviem nežinomaisiais
• Tiesinių lygčių sistemų su dviem sprendimo pavyzdžiai

Sistema lygtys yra matematinių įrašų, kurių kiekviename yra keletas kintamųjų, rinkinys. Yra keletas būdų, kaip juos išspręsti.

Jums reikės

• -Liniuote ir pieštukas;
• - skaičiuotuvas.

Instrukcijos

Panagrinėkime sistemos sprendimo seką, kurią sudaro tiesinės lygtys, turinčios formą: a1x + b1y = c1 ir a2x + b2y = c2. Kur x ir y yra nežinomi kintamieji, o b, c yra laisvieji terminai. Taikant šį metodą, kiekviena sistema parodo taškų koordinates, atitinkančias kiekvieną lygtį. Norėdami pradėti, kiekvienu atveju išreikškite vieną kintamąjį kitu. Tada nustatykite kintamąjį x į bet kokį reikšmių skaičių. Pakanka dviejų. Pakeiskite lygtį ir raskite y. Sukurkite koordinačių sistemą, pažymėkite joje gautus taškus ir per juos nubrėžkite liniją. Panašūs skaičiavimai turi būti atlikti ir kitoms sistemos dalims.

Sistema turi unikalų sprendimą, jei sudarytos tiesės susikerta ir turi vieną bendrą tašką. Tai nesuderinama, jei lygiagrečiai vienas kitam. Ir turi be galo daug sprendimų, kai linijos susilieja viena su kita.

Šis metodas laikomas labai vizualiai. Pagrindinis trūkumas yra tas, kad apskaičiuoti nežinomieji turi apytiksles reikšmes. Tikslesnius rezultatus pateikia vadinamieji algebriniai metodai.

Verta patikrinti bet kokį lygčių sistemos sprendimą. Norėdami tai padaryti, vietoj kintamųjų pakeiskite gautas reikšmes. Jo sprendimą taip pat galite rasti naudodamiesi keliais būdais. Jei sistemos sprendimas yra teisingas, tada visi turėtų pasirodyti vienodi.

Dažnai yra lygčių, kuriose vienas iš terminų yra nežinomas. Norėdami išspręsti lygtį, turite atsiminti ir atlikti tam tikrą veiksmų rinkinį su šiais skaičiais.

Jums reikės

• - popierius;
• - rašiklis arba pieštukas.

Instrukcijos

Įsivaizduokite, kad prieš jus yra 8 triušiai, o jūs turite tik 5 morkas. Pagalvokite, vis tiek reikia nusipirkti daugiau morkų, kad kiekvienas triušis gautų po vieną.

Pateikime šią problemą lygties forma: 5 + x = 8. Vietoj x pakeisime skaičių 3. Išties 5 + 3 = 8.

Kai pakeitėte skaičių x, padarėte tą patį, ką iš 8 atėmėte 5. Taigi, norėdami rasti nežinomas terminas, iš sumos atimkite žinomą terminą.

Tarkime, kad turite 20 triušių ir tik 5 morkas. Išsigalvokime. Lygtis yra lygybė, kuri galioja tik tam tikroms į ją įtrauktų raidžių reikšmėms. Raidės, kurių reikšmes reikia surasti, vadinamos . Parašykite lygtį su vienu nežinomuoju, pavadinkite ją x. Spręsdami triušio uždavinį, gauname tokią lygtį: 5 + x = 20.

Raskime skirtumą tarp 20 ir 5. Atimant skaičių, iš kurio jis atimamas, yra sumažinamas. Skaičius, kuris buvo atimtas, vadinamas , o galutinis rezultatas vadinamas skirtumu. Taigi, x = 20 – 5; x = 15. Triušiams reikia nusipirkti 15 morkų.

Patikrinkite: 5 + 15 = 20. Lygtis išspręsta teisingai. Žinoma, kada mes kalbame apie apie tokius paprastus, tikrinti nereikia. Tačiau kai turite lygtis su triženkliais, keturženkliais ir kt. skaičiais, būtinai turite pasitikrinti, kad būtumėte visiškai tikri dėl savo darbo rezultato.

Video tema

Naudingas patarimas

Norėdami rasti nežinomą minuendą, prie skirtumo turite pridėti potraukį.

Norėdami rasti nežinomą dalį, turite atimti skirtumą iš mažosios dalies.

4 patarimas: kaip išspręsti sistemą trys lygtys su trimis nežinomaisiais

Trijų lygčių sistema su trimis nežinomaisiais gali neturėti sprendinių, nepaisant pakankamo lygčių skaičiaus. Galite pabandyti ją išspręsti naudodami pakeitimo metodą arba Cramerio metodą. Cramerio metodas, be sistemos sprendimo, leidžia įvertinti, ar sistema yra išsprendžiama prieš surandant nežinomųjų reikšmes.

Instrukcijos

Pakeitimo metodas susideda iš nuoseklaus vieno nežinomo per du kitus ir gauto rezultato pakeitimo į sistemos lygtis. Pateikiame trijų lygčių sistemą bendras vaizdas:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Išreikškite x iš pirmosios lygties: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ir pakeiskite antrąja ir trečiąja lygtimis, tada išreikškite y iš antrosios lygties ir pakeiskite trečiąja. Tiesinę z išraišką gausite per sistemos lygčių koeficientus. Dabar eikite „atgal“: pakeiskite z antroje lygtyje ir raskite y, tada pakeiskite z ir y į pirmąją ir išspręskite x. Procesas paprastai parodytas paveikslėlyje prieš surandant z. Tolesnis rašymas bendra forma bus pernelyg sudėtingas, praktiškai pakeisdami , galite gana lengvai rasti visus tris nežinomus.

Cramerio metodas susideda iš sisteminės matricos konstravimo ir šios matricos determinanto apskaičiavimo bei dar trijų pagalbinių matricų. Sistemos matrica sudaryta iš nežinomų lygčių dalių koeficientų. Stulpelis, kuriame yra skaičiai dešiniosiose lygčių pusėse, stulpelis dešiniosiose pusėse. Jis nenaudojamas sistemoje, bet naudojamas sprendžiant sistemą.

Video tema

pastaba

Visos lygtys sistemoje turi pateikti papildomos informacijos, nepriklausančios nuo kitų lygčių. Priešingu atveju sistema bus nepakankamai apibrėžta ir nebus galima rasti vienareikšmiško sprendimo.

Naudingas patarimas

Išsprendę lygčių sistemą, rastąsias reikšmes pakeiskite į pradinę sistemą ir patikrinkite, ar jos tenkina visas lygtis.

Savaime lygtis su trimis nežinomas turi daug sprendinių, todėl dažniausiai jis papildomas dar dviem lygtimis arba sąlygomis. Priklausomai nuo to, kokie yra pradiniai duomenys, labai priklausys sprendimo eiga.

Jums reikės

• - trijų lygčių sistema su trimis nežinomaisiais.

Instrukcijos

Jei dvi iš trijų sistemų turi tik du iš trijų nežinomųjų, pabandykite išreikšti kai kuriuos kintamuosius kitais ir pakeisti juos į lygtis su trimis nežinomas. Jūsų tikslas šiuo atveju yra paversti jį normaliu lygtis su nepažįstamu asmeniu. Jei tai yra , tolesnis sprendimas yra gana paprastas - pakeiskite rastą reikšmę kitomis lygtimis ir suraskite visus kitus nežinomus.

Kai kurias lygčių sistemas iš vienos lygties galima atimti kita. Pažiūrėkite, ar galima padauginti vieną iš arba kintamąjį, kad du nežinomieji būtų atšaukti vienu metu. Jei yra tokia galimybė, pasinaudokite ja, greičiausiai tolesnis sprendimas nebus sunkus. Atminkite, kad dauginant iš skaičiaus, turite dauginti ir kairę, ir dešinę pusę. Taip pat, atimdami lygtis, turite atsiminti, kad reikia atimti ir dešinę pusę.

Jei ankstesni metodai nepadėjo, naudokite bendru būdu bet kokių lygčių su trimis sprendiniai nežinomas. Norėdami tai padaryti, perrašykite lygtis į formą a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Dabar sukurkite x (A) koeficientų matricą, nežinomųjų (X) ir laisvųjų kintamųjų (B) matricą. Atkreipkite dėmesį, kad padauginę koeficientų matricą iš nežinomųjų matricos, gausite laisvųjų terminų matricą, tai yra A*X=B.

Raskite laipsnio (-1) matricą A, pirmiausia surasdami , atkreipkite dėmesį, kad ji neturėtų būti lygi nuliui. Po to gautą matricą padauginkite iš matricos B, todėl gausite norimą matricą X, nurodydami visas reikšmes.

Taip pat galite rasti trijų lygčių sistemos sprendimą naudodami Cramerio metodą. Norėdami tai padaryti, raskite sistemos matricą atitinkantį trečiosios eilės determinantą ∆. Tada iš eilės raskite dar tris determinantus ∆1, ∆2 ir ∆3, pakeisdami laisvųjų terminų reikšmes vietoj atitinkamų stulpelių reikšmių. Dabar raskite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Šaltiniai:

• lygčių su trimis nežinomaisiais sprendiniai

Pradėdami spręsti lygčių sistemą, išsiaiškinkite, kokios tai lygtys. Tiesinių lygčių sprendimo metodai buvo gana gerai ištirti. Netiesinės lygtys dažniausiai neišsprendžiamos. Yra tik vienas ypatingas atvejis, kiekvienas iš jų praktiškai individualus. Todėl sprendimų metodų tyrimą reikėtų pradėti nuo tiesinių lygčių. Tokias lygtis netgi galima išspręsti grynai algoritmiškai.

rastų nežinomųjų vardikliai yra lygiai tokie patys. Taip, ir skaitikliai rodo tam tikrus jų konstrukcijos modelius. Jei lygčių sistemos matmuo būtų didesnis nei du, tai pašalinimo metodas sukeltų labai sudėtingus skaičiavimus. Norint jų išvengti, buvo sukurti grynai algoritminiai sprendimai. Paprasčiausias iš jų yra Cramerio algoritmas (Cramer formulės). Nes jūs turėtumėte sužinoti bendra sistema lygtys iš n lygčių.

n tiesinių algebrinių lygčių sistema su n nežinomųjų turi formą (žr. 1a pav.). Jame аij yra sistemos koeficientai,
xj – nežinomieji, bi – laisvieji terminai (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Tokią sistemą galima kompaktiškai parašyti matricine forma AX=B. Čia A yra sistemos koeficientų matrica, X yra nežinomųjų stulpelių matrica, B yra laisvųjų dėmenų stulpelių matrica (žr. 1b pav.). Pagal Cramerio metodą kiekvienas nežinomasis xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Koeficientų matricos determinantas ∆ vadinamas pagrindiniu determinantu, o ∆i – pagalbiniu. Kiekvienam nežinomam pagalbinis determinantas randamas pagrindinio determinanto i-tą stulpelį pakeičiant laisvųjų terminų stulpeliu. Kramerio metodas, skirtas antros ir trečios eilės sistemoms, išsamiai pateiktas fig. 2.

Sistema yra dviejų ar daugiau lygybių, kurių kiekvienoje yra du ar daugiau nežinomųjų, derinys. Yra du pagrindiniai būdai, kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemas, kurios naudojamos viduje mokyklos mokymo programa. Vienas iš jų vadinamas metodu, kitas – papildymo metodu.

Standartinė dviejų lygčių sistemos forma

At Standartinė forma pirmoji lygtis yra a1*x+b1*y=c1, antroji lygtis yra a2*x+b2*y=c2 ir pan. Pavyzdžiui, dviejų sistemos dalių atveju, abi pateiktos a1, a2, b1, b2, c1, c2 yra kai kurie skaitiniai koeficientai, pavaizduoti konkrečiose lygtyse. Savo ruožtu x ir y reiškia nežinomuosius, kurių reikšmes reikia nustatyti. Reikalingos reikšmės abi lygtis vienu metu paverčia tikrosiomis lygybėmis.

Sistemos sprendimas papildymo metodu

Norėdami išspręsti sistemą, tai yra, rasti tas x ir y reikšmes, kurios pavers jas tikrosiomis lygybėmis, turite atlikti kelis paprastus veiksmus. Pirmasis iš jų – bet kurią lygtį paversti taip, kad kintamojo x arba y skaitiniai koeficientai abiejose lygtyse būtų vienodo dydžio, bet skirtingi pagal ženklą.

Pavyzdžiui, tarkime, kad pateikta sistema, susidedanti iš dviejų lygčių. Pirmasis iš jų turi formą 2x+4y=8, antrasis turi formą 6x+2y=6. Vienas iš užduoties atlikimo variantų yra padauginti antrą lygtį iš koeficiento -2, kuris paves į formą -12x-4y=-12. Teisingas pasirinkimas koeficientas yra viena iš pagrindinių užduočių sprendžiant sistemą pridedant, nes jis lemia visą tolesnę nežinomųjų radimo procedūros eigą.

Dabar reikia pridėti dvi sistemos lygtis. Akivaizdu, kad abipusis kintamųjų, kurių koeficientai yra vienodi, bet priešingi pagal ženklą, naikinimas sukels formą -10x=-4. Po to reikia išspręsti šią paprastą lygtį, iš kurios aiškiai matyti, kad x = 0,4.

Paskutinis žingsnis sprendimo procese yra vieno iš kintamųjų rastos vertės pakeitimas bet kuria iš pradinių sistemoje esančių lygybių. Pavyzdžiui, pirmoje lygtyje pakeitę x=0.4, galite gauti išraišką 2*0.4+4y=8, iš kurios y=1.8. Taigi, x=0.4 ir y=1.8 yra pavyzdinės sistemos šaknys.

Norint įsitikinti, kad šaknys buvo rastos teisingai, naudinga patikrinti, rastąsias reikšmes pakeičiant į antrąją sistemos lygtį. Pavyzdžiui, į tokiu atveju gauname 0,4*6+1,8*2=6 formos lygybę, kuri yra teisinga.

Video tema