Funkcijos y f x antidarinė vadinama. Funkcijos antidarinys. Pagrindinė antidarinio savybė

27.09.2019

Matėme, kad darinys turi daugybę panaudojimo būdų: išvestinė yra judėjimo greitis (arba, apskritai, bet kokio proceso greitis); išvestinė yra nuolydis funkcijos grafiko liestinė; naudodami išvestinę funkciją galite ištirti monotoniškumą ir ekstremalumą; išvestinė padeda išspręsti optimizavimo problemas.

Bet į Tikras gyvenimas Taip pat turi būti išspręstos atvirkštinės problemos: pavyzdžiui, kartu su greičio nustatymo pagal žinomą judėjimo dėsnį problema yra ir judėjimo dėsnio pagal žinomą greitį atkūrimo problema. Panagrinėkime vieną iš šių problemų.

1 pavyzdys. Materialus taškas juda tiesia linija, jo greitis momentu t apskaičiuojamas pagal formulę u = tg. Raskite judėjimo dėsnį.

Sprendimas. Tegu s = s(t) yra norimas judėjimo dėsnis. Yra žinoma, kad s"(t) = u"(t). Tai reiškia, kad norint išspręsti problemą reikia pasirinkti funkcija s = s(t), kurios išvestinė lygi tg. Tai nesunku atspėti

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad pavyzdys išspręstas teisingai, bet nepilnai. Mes nustatėme, kad iš tikrųjų problema turi be galo daug sprendimų: bet kokia formos funkcija savavališka konstanta gali tarnauti kaip judėjimo dėsnis, nes

Kad užduotis būtų konkretesnė, reikėjo pataisyti pradinę situaciją: nurodyti judančio taško koordinatę tam tikru laiko momentu, pavyzdžiui, t=0. Jei, tarkime, s(0) = s 0, tai iš lygybės gauname s(0) = 0 + C, t.y. S 0 = C. Dabar judėjimo dėsnis yra vienareikšmiškai apibrėžtas:
Matematikoje abipusiai atvirkštinės operacijos suteikiamos skirtingais pavadinimais ir sugalvojami specialūs žymėjimai: pavyzdžiui, kvadratas (x 2) ir ištraukimas. kvadratinė šaknis sinusas (sinх) ir arcsine(arcsin x) ir kt. Duotos funkcijos išvestinės radimo procesas vadinamas diferenciacija, o atvirkštine operacija, t.y. funkcijos radimo iš duotosios išvestinės procesas – integracija.
Pats terminas „išvestinė“ gali būti pateisinamas „kasdieniame gyvenime“: funkcija y - f(x) „pagimdo“ naują funkciją y"= f"(x). Funkcija y = f(x) veikia kaip „tėvas“ , bet matematikai, žinoma, nevadina jo „tėvu“ ar „gamintojas“; jie sako, kad tai, atsižvelgiant į funkciją y"=f"(x), yra pirminis vaizdas arba trumpai, antidarinys.

1 apibrėžimas. Funkcija y = F(x) vadinama funkcijos y = f(x) antiderivatine duotame intervale X, jei visiems x iš X galioja lygybė F"(x)=f(x).

Praktikoje intervalas X paprastai nenurodomas, o numanomas (kaip natūrali funkcijos apibrėžimo sritis).

Štai keletas pavyzdžių:

1) Funkcija y = x 2 yra funkcijos y = 2x priešišvestinė, nes visiems x lygybė (x 2)" = 2x yra teisinga.
2) funkcija y - x 3 yra funkcijos y-3x 2 priešišvestinė, nes visiems x lygybė (x 3)" = 3x 2 yra teisinga.
3) Funkcija y-sinх yra funkcijos y = cosx priešišvestinė, nes visiems x lygybė (sinx)" = cosx yra teisinga.
4) Funkcija yra intervalo funkcijos antiderivinė, nes visiems x > 0 lygybė yra teisinga
Apskritai, žinant darinių radimo formules, nesunku sudaryti antidarinių radimo formulių lentelę.

Tikimės, kad supratote, kaip sudaryta ši lentelė: funkcijos išvestinė, kuri įrašyta antrame stulpelyje, yra lygi funkcijai, parašyta atitinkamoje pirmojo stulpelio eilutėje (patikrinkite, nepatingėkite, tai labai naudinga). Pavyzdžiui, funkcijai y = x 5 antidarinė, kaip jūs nustatysite, yra funkcija (žr. ketvirtą lentelės eilutę).

Pastabos: 1. Toliau įrodysime teoremą, kad jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė, tai funkcija y = f(x) turi be galo daug antidarinių ir jie visi turi formą y = F(x ) + C. Todėl teisingiau būtų pridėti terminą C visur antrame lentelės stulpelyje, kur C yra savavališkas realusis skaičius.
2. Trumpumo dėlei kartais vietoj frazės „funkcija y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė“, sakoma, kad F(x) yra f(x) antidarinė. .

2. Antidarinių radimo taisyklės

Ieškant antidarinių, taip pat ieškant išvestinių, naudojamos ne tik formulės (jos nurodytos lentelėje 196 p.), bet ir kai kurios taisyklės. Jos yra tiesiogiai susijusios su atitinkamomis išvestinių finansinių priemonių apskaičiavimo taisyklėmis.

Žinome, kad sumos išvestinė yra lygi jos išvestinių sumai. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

1 taisyklė. Sumos antidarinė lygi antidarinių sumai.

Atkreipiame jūsų dėmesį į šiokį tokį „lengvumą“. Tiesą sakant, reikėtų suformuluoti teoremą: jei funkcijos y = f(x) ir y = g(x) turi antidarinius intervale X, atitinkamai y-F(x) ir y-G(x), tada funkcijų y suma = f(x)+g(x) turi antidarinį intervale X, o ši antidarinė yra funkcija y = F(x)+G(x). Tačiau dažniausiai formuluojant taisykles (ne teoremas) paliekami tik raktiniai žodžiai – taip patogiau taisykles taikyti praktiškai

2 pavyzdys. Raskite funkcijos y = 2x + cos x antidarinį.

Sprendimas. 2x antidarinys yra x"; cox antidarinys yra sin x. Tai reiškia, kad funkcijos y = 2x + cos x antidarinė bus funkcija y = x 2 + sin x (ir apskritai bet kuri formos funkcija Y = x 1 + sinx + C) .
Žinome, kad pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

2 taisyklė. Iš antidarinio ženklo galima išimti pastovų faktorių.

3 pavyzdys.

Sprendimas. a) Sin x antidarinys yra -soz x; Tai reiškia, kad funkcijai y = 5 sin x antidarinė funkcija bus funkcija y = -5 cos x.

b) cos x antidarinys yra sin x; Tai reiškia, kad funkcijos antidarinys yra funkcija
c) x 3 antidarinė yra x antidarinė, funkcijos y = 1 antidarinė yra funkcija y = x. Naudodami pirmąją ir antrąją antidarinių radimo taisykles, nustatome, kad funkcijos y = 12x 3 + 8x-1 antidarinys yra funkcija
komentuoti. Kaip žinoma, sandaugos išvestinė nėra lygi išvestinių sandaugai (produkto diferencijavimo taisyklė yra sudėtingesnė), o dalinio išvestinė nelygi išvestinių sandaugai. Todėl nėra taisyklių, kaip rasti produkto antidarinį arba dviejų funkcijų koeficiento antidarinį. Būk atsargus!
Išsiaiškinkime kitą antidarinių radimo taisyklę. Žinome, kad funkcijos y = f(kx+m) išvestinė apskaičiuojama pagal formulę

Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.
3 taisyklė. Jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė, tai funkcijos y=f(kx+m) antidarinė yra funkcija

Iš tikrųjų,

Tai reiškia, kad tai funkcijos y = f(kx+m) antidarinė.
Trečios taisyklės prasmė yra tokia. Jei žinote, kad funkcijos y = f(x) antidarinė yra funkcija y = F(x), ir jums reikia rasti funkcijos y = f(kx+m) antiišvestinę, tada elkitės taip: imkite ta pati funkcija F, bet vietoj argumento x pakeiskite išraiška kx+m; be to, nepamirškite prieš funkcijos ženklą parašyti „pataisos koeficientas“.
4 pavyzdys. Raskite pateiktų funkcijų antidarinius:

Sprendimas, a) Sin x antidarinys yra -soz x; Tai reiškia, kad funkcijai y = sin2x antidarinė bus funkcija
b) cos x antidarinys yra sin x; Tai reiškia, kad funkcijos antidarinys yra funkcija

c) x 7 antidarinė reiškia, kad funkcijai y = (4-5x) 7 antidarinė bus funkcija

3. Neapibrėžtas integralas

Aukščiau jau pažymėjome, kad uždavinys rasti tam tikros funkcijos y = f(x) antidarinį turi daugiau nei vieną sprendimą. Pakalbėkime apie šią problemą išsamiau.

Įrodymas. 1. Tegul y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antiišvestinė intervale X. Tai reiškia, kad visiems x iš X galioja lygybė x"(x) = f(x). Raskite bet kurios formos y = F(x)+C išvestinę:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Taigi, (F(x)+C) = f(x). Tai reiškia, kad y = F(x) + C yra funkcijos y = f(x) antidarinė.
Taigi, mes įrodėme, kad jei funkcija y = f(x) turi antidarinį y=F(x), tai funkcija (f = f(x) turi be galo daug antidarinių, pavyzdžiui, bet kuri y = formos funkcija F(x) +C yra antidarinys.
2. Dabar įrodykime, kad nurodytas funkcijų tipas išsemia visą antidarinių rinkinį.

Tegul y=F 1 (x) ir y=F(x) yra dvi funkcijos Y = f(x) antidarinės intervale X. Tai reiškia, kad visiems x iš intervalo X galioja šie ryšiai: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Panagrinėkime funkciją y = F 1 (x) -.F(x) ir raskime jos išvestinę: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) – f(x) = 0.
Yra žinoma, kad jei funkcijos išvestinė intervale X yra identiškai lygi nuliui, tai funkcija yra pastovi intervale X (žr. 3 teoremą iš § 35). Tai reiškia, kad F 1 (x) - F (x) = C, t.y. Fx) = F(x)+C.

Teorema įrodyta.

5 pavyzdys. Duotas greičio kitimo su laiku dėsnis: v = -5sin2t. Raskite judėjimo dėsnį s = s(t), jei žinoma, kad momentu t=0 taško koordinatė buvo lygi skaičiui 1,5 (t. y. s(t) = 1,5).

Sprendimas. Kadangi greitis yra koordinatės, kaip laiko funkcijos, išvestinė, pirmiausia reikia rasti greičio antidarinį, t.y. funkcijos v = -5sin2t antidarinys. Vienas iš tokių antidarinių yra funkcija, o visų antidarinių rinkinys turi tokią formą:

Norėdami rasti konkrečią konstantos C reikšmę, naudojame pradines sąlygas, pagal kurias s(0) = 1,5. Į formulę (1) pakeitę reikšmes t=0, S = 1,5, gauname:

Pakeitę rastą C reikšmę į (1) formulę, gauname mus dominantį judėjimo dėsnį:

2 apibrėžimas. Jei funkcija y = f(x) intervale X turi antidarinį y = F(x), tai visų antidarinių aibė, t.y. y = F(x) + C formos funkcijų aibė vadinama funkcijos y = f(x) neapibrėžtuoju integralu ir žymima taip:

(skaitykite: „neapibrėžtas integralas ef iš x de x“).
Kitoje pastraipoje išsiaiškinsime, kokia yra paslėpta šio pavadinimo prasmė.
Remdamiesi šiame skyriuje pateikta antidarinių lentele, sudarysime pagrindinių neapibrėžtų integralų lentelę:

Remdamiesi aukščiau pateiktomis trimis taisyklėmis, kaip rasti antidarinius, galime suformuluoti atitinkamas integravimo taisykles.

1 taisyklė. Funkcijų sumos integralas lygi sumaišių funkcijų integralai:

2 taisyklė. Iš integralo ženklo galima išimti pastovų koeficientą:

3 taisyklė. Jeigu

6 pavyzdys. Raskite neapibrėžtus integralus:

Sprendimas, a) Naudodami pirmą ir antrą integravimo taisykles gauname:

Dabar naudokime 3 ir 4 integravimo formules:

Rezultate gauname:

b) Naudodami trečiąją integravimo taisyklę ir 8 formulę, gauname:

c) Norėdami tiesiogiai rasti duotąjį integralą, neturime nei atitinkamos formulės, nei atitinkamos taisyklės. Tokiais atvejais kartais padeda anksčiau atliktos identiškos išraiškos, esančios po integralo ženklu, transformacijos.

Pasinaudokime trigonometrinė formulė Laipsnio sumažinimas:

Tada iš eilės randame:

A.G. Mordkovičiaus algebra 10 klasė

Kalendorinis teminis planavimas matematikoje, vaizdo įrašą matematika internetu, Matematika mokykloje

Tikslas:

Antidarinio sampratos susiformavimas.
Pasiruošimas integralo suvokimui.
Skaičiavimo įgūdžių formavimas.
Grožio jausmo ugdymas (gebėjimas įžvelgti grožį neįprastame).

Matematinė analizė – tai matematikos šakų visuma, skirta funkcijoms ir jų apibendrinimams diferencialinio ir integralinio skaičiavimo metodais tirti.

Iki šiol studijavome matematinės analizės šaką, vadinamą diferencialiniu skaičiavimu, kurios esmė yra funkcijos tyrimas „mažajame“.

Tie. funkcijos tyrimas pakankamai mažose kiekvieno apibrėžimo taško apylinkėse. Viena iš operacijų diferenciacija – radimas išvestinė (diferencialinė) ir taikymas funkcijoms tirti.

Ne mažiau svarbi ir atvirkštinė problema. Jei žinoma funkcijos elgsena šalia kiekvieno jos apibrėžimo taško, tai kaip galima atkurti funkciją kaip visumą, t.y. visoje apibrėžimo srityje. Ši problema yra vadinamojo integralinio skaičiavimo tyrimo objektas.

Integracija yra atvirkštinis diferenciacijos veiksmas. Arba funkcijos f(x) atkūrimas iš nurodytos išvestinės f`(x). Lotyniškas žodis „integro“ reiškia atkūrimą.

1 pavyzdys.

Tegul (x) = 3x 2.
Raskime f(x).

Sprendimas:

Remiantis diferenciacijos taisykle, nesunku atspėti, kad f(x) = x 3, nes (x 3)` = 3x 2
Tačiau galite lengvai pastebėti, kad f(x) nerastas vienareikšmiškai.
Kaip f(x) galime imti
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 ir kt.

Kadangi kiekvieno iš jų išvestinė lygi 3x 2. (Konstantos išvestinė yra 0). Visos šios funkcijos viena nuo kitos skiriasi pastoviu terminu. Todėl bendrąjį uždavinio sprendimą galima parašyti kaip f(x) = x 3 + C, kur C yra bet koks pastovus realusis skaičius.

Iškviečiama bet kuri iš rastų funkcijų f(x). PRIMODIUM funkcijai F`(x)= 3x 2

Apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) anti-išvestine tam tikrame intervale J, jei visiems x iš šio intervalo F`(x)= f(x). Taigi funkcija F(x)=x 3 yra išvestinė, kai f(x)=3x 2 (- ∞ ; ∞).
Kadangi visiems x ~R lygybė yra teisinga: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Kaip jau pastebėjome, ši funkcija turi be galo daug antidarinių (žr. pavyzdį Nr. 1).

2 pavyzdys. F(x)=x funkcija yra antidarinė visiems f(x)= 1/x intervale (0; +), nes visiems x iš šio intervalo galioja lygybė.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

3 pavyzdys. F(x)=tg3x funkcija yra antidarinė f(x)=3/cos3x intervale (-n/ 2; P/ 2),
nes F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

4 pavyzdys. Funkcija F(x)=3sin4x+1/x-2 yra antiderivinė f(x)=12cos4x-1/x 2 intervale (0;∞)
nes F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

2 paskaita.

Tema: Antidariniai. Pagrindinė antiderivatinės funkcijos savybė.

Tirdami antidarinį, remsimės šiuo teiginiu. Funkcijos pastovumo ženklas: Jei intervale J funkcijos išvestinė Ψ(x) lygi 0, tai šiame intervale funkcija Ψ(x) yra pastovi.

Šį teiginį galima parodyti geometriškai.

Yra žinoma, kad Ψ`(x)=tgα, γde α yra funkcijos Ψ(x) grafiko liestinės polinkio kampas taške, kurio abscisė x 0. Jei Ψ`(υ)=0 bet kuriame intervalo J taške, tai tanα=0 δ bet kuriai funkcijos Ψ(x) grafiko liestinei. Tai reiškia, kad funkcijos grafiko liestinė bet kuriame taške yra lygiagreti abscisių ašiai. Todėl nurodytame intervale funkcijos Ψ(x) grafikas sutampa su tiesės atkarpa y=C.

Taigi funkcija f(x)=c yra pastovi intervale J, jei f`(x)=0 šiame intervale.

Iš tiesų, savavališkai x 1 ir x 2 iš intervalo J, naudodamiesi teorema apie vidutinę funkcijos reikšmę, galime parašyti:
f(x 2) – f(x 1) = f`(c) (x 2 – x 1), nes f`(c)=0, tada f(x2)= f(x1)

Teorema: (Pagrindinė antiderivatinės funkcijos savybė)

Jei F(x) yra vienas iš funkcijos f(x) antidarinių intervale J, tai visų šios funkcijos antidarinių aibė turi tokią formą: F(x)+C, kur C yra bet koks realusis skaičius.

Įrodymas:

Tegul F`(x) = f(x), tada (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), jei x Є J.
Tarkime, kad egzistuoja Φ(x) – dar vienas antidarinys f (x) intervale J, t.y. Φ`(x) = f (x),
tada (Φ(x) - F(x)) = f (x) – f (x) = 0, jei x Є J.
Tai reiškia, kad Φ(x) - F(x) yra pastovus intervale J.
Todėl Φ(x) - F(x) = C.
Iš kur Φ(x)= F(x)+C.
Tai reiškia, kad jei F(x) yra funkcijos f (x) intervale J antidarinė, tai visų šios funkcijos antidarinių aibė turi tokią formą: F(x)+C, kur C yra bet koks realusis skaičius.
Vadinasi, bet kurie du tam tikros funkcijos antidariniai skiriasi vienas nuo kito pastoviu terminu.

Pavyzdys: Raskite funkcijos f (x) = cos x antidarinių aibę. Nubraižykite pirmųjų trijų grafikus.

Sprendimas: Sin x yra vienas iš funkcijos f (x) = cos x antidarinių
F(x) = Sin x+C – visų antidarinių aibė.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geometrinė iliustracija: Bet kurios antidarinės F(x)+C grafiką galima gauti iš antidarinės F(x) grafiko, naudojant lygiagretų r (0;c) perdavimą.

Pavyzdys: Funkcijos f (x) = 2x atveju raskite antidarinę, kurios grafikas eina per t.M (1;4)

Sprendimas: F(x)=x 2 +C – visų antidarinių aibė, F(1)=4 – pagal uždavinio sąlygas.
Todėl 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Yra trys pagrindinės taisyklės, kaip rasti antiderivatines funkcijas. Jos labai panašios į atitinkamas diferenciacijos taisykles.

1 taisyklė

Jei F yra kokios nors funkcijos f antidarinys, o G yra kokios nors funkcijos g antidarinys, tai F + G bus f + g antidarinys.

Pagal antidarinio apibrėžimą F’ = f. G' = g. Ir kadangi šios sąlygos yra įvykdytos, pagal funkcijų sumos išvestinės apskaičiavimo taisyklę turėsime:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

2 taisyklė

Jei F yra kokios nors funkcijos f antidarinys, o k yra kokia nors konstanta. Tada k*F yra funkcijos k*f antidarinė. Ši taisyklė išplaukia iš sudėtingos funkcijos išvestinės apskaičiavimo taisyklės.

Turime: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

3 taisyklė

Jei F(x) yra tam tikra funkcijos f(x) antidarinė, o k ir b yra tam tikros konstantos, o k nėra lygus nuliui, tada (1/k)*F*(k*x+b) bus funkcijos f (k*x+b) antidarinys.

Ši taisyklė išplaukia iš sudėtingos funkcijos išvestinės apskaičiavimo taisyklės:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kaip taikomos šios taisyklės:

1 pavyzdys. Rasti bendra forma funkcijos f(x) = x^3 +1/x^2 antidariniai. Funkcijos x^3 viena iš antidarinių bus funkcija (x^4)/4, o funkcijai 1/x^2 viena iš antidarinių bus funkcija -1/x. Naudodami pirmą taisyklę, turime:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

2 pavyzdys. Raskime funkcijos f(x) = 5*cos(x) antidarinių bendrąją formą. Funkcijos cos(x) viena iš antidarinių bus funkcija sin(x). Jei dabar naudosime antrąją taisyklę, turėsime:

F(x) = 5*sin(x).

3 pavyzdys. Raskite vieną iš funkcijos y = sin(3*x-2) antidarinių. Funkcijos sin(x) viena iš antidarinių bus funkcija -cos(x). Jei dabar naudosime trečiąją taisyklę, gautume antidarinio išraišką:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

4 pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = 1/(7-3*x)^5 antidarinį

Funkcijos 1/x^5 antidarinė bus funkcija (-1/(4*x^4)). Dabar, naudodamiesi trečiąja taisykle, gauname.

Anksčiau pagal duotą funkciją vadovavosi įvairios formulės ir taisykles, rado jos išvestinį. Darinys turi daugybę naudojimo būdų: tai judėjimo greitis (arba, apskritai, bet kokio proceso greitis); funkcijos grafiko liestinės kampinis koeficientas; naudodami išvestinę funkciją galite ištirti monotoniškumą ir ekstremalumą; tai padeda išspręsti optimizavimo problemas.

Tačiau kartu su greičio nustatymo pagal žinomą judėjimo dėsnį problema yra ir atvirkštinė problema – judėjimo dėsnio atkūrimo pagal žinomą greitį problema. Panagrinėkime vieną iš šių problemų.

1 pavyzdys. Materialus taškas juda tiesia linija, jo greitis momentu t apibrėžiamas formule v=gt. Raskite judėjimo dėsnį.
Sprendimas. Tegu s = s(t) yra norimas judėjimo dėsnis. Yra žinoma, kad s"(t) = v(t). Tai reiškia, kad uždaviniui išspręsti reikia pasirinkti funkciją s = s(t), kurios išvestinė lygi gt. Atspėti nesunku kad $s(t) = \frac(gt^ 2)(2) $.
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$
Atsakymas: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad pavyzdys išspręstas teisingai, bet nepilnai. Gavome $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Tiesą sakant, problema turi be galo daug sprendimų: bet kuri formos $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ funkcija, kur C yra savavališka konstanta, gali būti naudojamas kaip judesys, nes \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

Kad problema būtų konkretesnė, turėjome pataisyti pradinę situaciją: nurodyti judančio taško koordinatę tam tikru momentu, pavyzdžiui, t = 0. Jei, tarkime, s(0) = s 0, tada nuo lygybę s(t) = (gt 2)/2 + C gauname: s(0) = 0 + C, t.y. C = s 0. Dabar judėjimo dėsnis yra vienareikšmiškai apibrėžtas: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Matematikoje tarpusavyje atvirkštiniai veiksmai suteikiami skirtingais pavadinimais, sugalvojami specialūs žymėjimai, pvz.: kvadratas (x 2) ir kvadratinė šaknis ($\sqrt(x) $), sinusas (sin x) ir arcsinusas (arcsin x) ir tt Duotos funkcijos išvestinės paieškos procesas vadinamas diferenciacija, o atvirkštinė operacija, t.y. funkcijos suradimo iš tam tikros išvestinės procesas, yra integracija.

Pats terminas „išvestinė“ gali būti pateisinamas „kasdieniškai“: funkcija y = f(x) „gimdo“ naują funkciją y“ = f“(x). Funkcija y = f(x) veikia kaip „tėvinė“, bet matematikai, žinoma, nevadina jos „tėvu“ ar „gamintojas“; jie sako, kad taip yra, atsižvelgiant į funkciją y" = f"( x) , pirminis vaizdas arba primityvus.

Apibrėžimas. Funkcija y = F(x) vadinama funkcijos y = f(x) išvestine intervale X, jei lygybė F"(x) = f(x) galioja $x \in X$

Praktikoje intervalas X paprastai nenurodomas, o numanomas (kaip natūrali funkcijos apibrėžimo sritis).

Pateikime pavyzdžių.
1) Funkcija y = x 2 yra funkcijos y = 2x priešišvestinė, nes bet kurios x lygybė (x 2)" = 2x yra teisinga
2) Funkcija y = x 3 yra funkcijos y = 3x 2 priešišvestinė, nes bet kuriai x lygybė (x 3)" = 3x 2 yra teisinga
3) Funkcija y = sin(x) yra funkcijos y = cos(x) išvestinė, nes bet kuriai x lygybė (sin(x))" = cos(x) yra teisinga

Ieškant antidarinių, kaip ir darinių, naudojamos ne tik formulės, bet ir kai kurios taisyklės. Jos yra tiesiogiai susijusios su atitinkamomis išvestinių finansinių priemonių apskaičiavimo taisyklėmis.

Žinome, kad sumos išvestinė yra lygi jos išvestinių sumai. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

1 taisyklė. Sumos antidarinė lygi antidarinių sumai.

Žinome, kad pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

2 taisyklė. Jei F(x) yra f(x) antidarinys, tai kF(x) yra kf(x) antidarinys.

1 teorema. Jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė, tai funkcijos y = f(kx + m) antidarinė yra funkcija $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

2 teorema. Jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė intervale X, tai funkcija y = f(x) turi be galo daug antidarinių, ir jie visi turi formą y = F(x) + C.

Integravimo metodai

Kintamasis pakeitimo metodas (pakeitimo metodas)

Integravimo pakeitimu metodas apima naujo integravimo kintamojo (ty pakeitimo) įvedimą. Šiuo atveju duotas integralas redukuojamas į naują integralą, kuris yra lentelės pavidalu arba redukuojamas į jį. Įprasti metodai nėra pakaitalų pasirinkimo. Gebėjimas teisingai nustatyti pakeitimą įgyjamas praktikuojant.
Tegu reikia apskaičiuoti integralą $\textstyle \int F(x)dx $. Padarykime pakeitimą $x= \varphi(t) $, kur $\varphi(t) $ yra funkcija, turinti ištisinę išvestinę.
Tada $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ ir remdamiesi neapibrėžto integralo integravimo formulės nekintamumu, pakeitimu gauname integravimo formulę:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Formos $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $ išraiškų integravimas

Jei m nelyginis, m > 0, tai patogiau pakeisti sin x = t.
Jei n nelyginis, n > 0, tai patogiau atlikti pakeitimą cos x = t.
Jei n ir m yra lyginiai, tai patogiau pakeisti tg x = t.

Integravimas dalimis

Integravimas dalimis – taikant šią integravimo formulę:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
arba:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Kai kurių funkcijų neapibrėžtųjų integralų (antidarinių) lentelė

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \tekstas(arctg) x +C $$ $$ \int \tekstas(ch) x dx = \tekstas(sh) x +C $$ $$ \int \tekstas(sh) x dx = \tekstas(ch ) x +C $$

Antiderivatinė funkcija f(x) tarp (a; b)ši funkcija vadinama F(x), ta lygybė galioja bet kuriai X nuo tam tikro intervalo.

Jei atsižvelgsime į tai, kad konstantos išvestinė SU yra lygi nuliui, tada lygybė yra teisinga. Taigi funkcija f(x) turi daug primityvų F(x)+C, savavališkai konstantai SU, ir šie antidariniai vienas nuo kito skiriasi savavališka pastovia verte.

Neapibrėžto integralo apibrėžimas.

Visas antiderivatinių funkcijų rinkinys f(x) vadinamas neapibrėžtuoju šios funkcijos integralu ir žymimas .

Išraiška vadinama integrandas, A f(x) – integrand funkcija. Integrandas reiškia funkcijos skirtumą f(x).

Nežinomos funkcijos radimo veiksmas, atsižvelgiant į jos diferencialą, vadinamas neapibrėžtas integracija, nes integracijos rezultatas yra daugiau nei viena funkcija F(x), ir jo primityvų aibė F(x)+C.

Neapibrėžtinio integralo geometrinė reikšmė. Antidarinės D(x) grafikas vadinamas integraliąja kreive. X0y koordinačių sistemoje visų tam tikros funkcijos antidarinių grafikai vaizduoja kreivių šeimą, kuri priklauso nuo konstantos C vertės ir gaunama viena iš kitos lygiagrečiai pasislinkus išilgai 0y ašies. Aukščiau aptartame pavyzdyje turime:

J 2 x^x = x2 + C.

Antidarinių šeima (x + C) geometriškai interpretuojama parabolių rinkiniu.

Jei reikia rasti vieną iš antidarinių šeimos, tuomet nustatomos papildomos sąlygos, leidžiančios nustatyti konstantą C. Paprastai tam yra nustatomos pradinės sąlygos: kai argumentas x = x0, funkcija turi D reikšmę. (x0) = y0.

Pavyzdys. Reikia rasti, kad viena iš funkcijos y = 2 x antidarinių, kuri įgauna reikšmę 3, kai x0 = 1.

Reikalingas antidarinys: D(x) = x2 + 2.

Sprendimas. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Pagrindinės neapibrėžtinio integralo savybės

1. Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi integrando funkcijai:

2. Neapibrėžtinio integralo diferencialas lygus integrando išraiškai:

3. Tam tikros funkcijos diferencialo neapibrėžtasis integralas yra lygus pačios šios funkcijos ir savavališkos konstantos sumai:

4. Iš integralo ženklo galima išimti pastovų koeficientą:

5. Sumos (skirtumo) integralas lygus integralų sumai (skirtumui):

6. Savybė yra 4 ir 5 savybių derinys:

7. Neapibrėžtinio integralo nekintamumo savybė:

Jeigu , Tai

8. Nuosavybė:

Jeigu , Tai

Tiesą sakant, ši savybė yra ypatingas integravimo, naudojant kintamųjų keitimo metodą, atvejis, kuris išsamiau aptariamas kitame skyriuje.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

3. Integravimo metodas kurioje duotasis integralas identiškais integrando (arba išraiškos) transformacijomis ir neapibrėžtinio integralo savybių taikymu redukuojamas į vieną ar daugiau lentelės integralų, vadinamas tiesioginė integracija. Sumažinant šį integralą į lentelę, dažnai naudojamos šios diferencinės transformacijos (operacija " pasirašydamas diferencialinį ženklą»):

Iš viso, f’(u)du = d(f(u)). Tai (formulė labai dažnai naudojama skaičiuojant integralus.