Naudodami šią matematikos programą galite padalinti daugianario stulpelį.
Daugianaro padalijimo iš daugianario programa ne tik duoda atsakymą į uždavinį, o pateikia išsamų sprendimą su paaiškinimais, t.y. rodomas sprendimo procesas, skirtas matematikos ir (arba) algebros žinioms patikrinti.

Ši programa gali praversti bendrojo lavinimo mokyklų gimnazistams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, pasitikrinti žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, o tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakils.

Jei reikia arba supaprastinti daugianarį arba padauginti daugianario, tada tam turime atskirą programą Dauginamo supaprastinimas (daugyba).

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Polinomo padalijimas į daugianarį (binomį) iš stulpelio (kampo)

Algebroje daugianario dalijimas stulpeliu (kampu)- daugnaro f(x) padalijimo iš daugianario (binomialo) g(x), kurio laipsnis yra mažesnis arba lygus daugianario f(x) laipsniui, algoritmas.

Dauginamo padalijimo algoritmas yra apibendrinta skaičių stulpelių padalijimo forma, kurią galima lengvai įgyvendinti ranka.

Bet kokiems polinomams \(f(x) \) ir \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \) yra unikalūs daugianariai \(q(x) \) ir \(r( x ) \), kad
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
ir \(r(x)\) laipsnis yra žemesnis nei \(g(x)\).

Polinomų padalijimo į stulpelį (kampą) algoritmo tikslas yra rasti dalinį \(q(x) \) ir likutį \(r(x) \) duotam dividendui \(f(x) \) ir ne nulis daliklis \(g(x) \)

Pavyzdys

Padalinkime vieną daugianarį iš kito daugianario (binomialo), naudodami stulpelį (kampą):
\(\didelis \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Šių daugianarių koeficientą ir likutį galima rasti atlikus šiuos veiksmus:
1. Pirmąjį dividendo elementą padalinkite iš didžiausio daliklio elemento, rezultatą padėkite po eilute \((x^3/x = x^2)\)

3. Iš dividendo atimkite daugianarį, gautą padauginus, rezultatą parašykite po eilute \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

4. Pakartokite ankstesnius 3 veiksmus, naudodami daugianarį, parašytą po linija, kaip dividendą.

5. Pakartokite 4 veiksmą.

6. Algoritmo pabaiga.
Taigi, daugianario \(q(x)=x^2-9x-27\) yra daugianario dalybos koeficientas, o \(r(x)=-123\) yra polinomų dalybos liekana.

Polinomų padalijimo rezultatas gali būti parašytas dviejų lygybių forma:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
arba
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

Tinklalapis „Profesionalus matematikos mokytojas“ tęsia metodinių straipsnių apie mokymą seriją. Skelbiu savo darbo metodų aprašymus sudėtingiausiomis ir problemiškiausiomis mokyklinio ugdymo turinio temomis. Ši medžiaga bus naudinga matematikos mokytojams ir dėstytojams, dirbantiems su 8-11 klasių mokiniais tiek įprastoje, tiek matematikos pamokų programoje.

Matematikos mokytojas ne visada gali paaiškinti vadovėlyje prastai pateiktą medžiagą. Deja, tokių temų vis daugėja, masiškai daromos pristatymo klaidos, vadovaujantis žinynų autoriais. Tai galioja ne tik pradedantiesiems matematikos dėstytojams ir neakivaizdiniams dėstytojams (tutoriai yra studentai ir universiteto dėstytojai), bet ir patyrusiems mokytojams, profesionaliems dėstytojams, patirties ir kvalifikaciją turintiems dėstytojams. Ne visi matematikos mokytojai turi gabumų kompetentingai taisyti mokykliniuose vadovėliuose esančius neapdorotus kraštus. Ne visi taip pat supranta, kad šie pataisymai (ar papildymai) yra būtini. Nedaug vaikų dalyvauja adaptuojant medžiagą, kad vaikai ją suvoktų kokybiškai. Deja, jau praėjo laikas, kai matematikos mokytojai kartu su metodininkais ir publikacijų autoriais masiškai aptarinėjo kiekvieną vadovėlio raidę. Anksčiau, prieš išleidžiant vadovėlį į mokyklas, buvo atliekamos rimtos mokymosi rezultatų analizės ir tyrimai. Atėjo laikas mėgėjams, kurie siekia, kad vadovėliai būtų universalūs, priderindami juos prie stiprių matematikos klasių standartų.

Lenktynės dėl informacijos kiekio didinimo tik lemia jos įsisavinimo kokybės mažėjimą ir dėl to realių matematikos žinių lygio sumažėjimą. Tačiau niekas į tai nekreipia dėmesio. O mūsų vaikai priversti jau 8 klasėje mokytis to, ką mes studijavome institute: tikimybių teoriją, aukšto laipsnio lygčių sprendimą ir dar kažką. Medžiagos pritaikymas knygose visapusiškam vaiko suvokimui palieka daug norimų rezultatų, o matematikos mokytojas yra priverstas kažkaip su tuo susitvarkyti.

Pakalbėkime apie tokios konkrečios temos mokymo metodiką kaip „polinomo padalijimas iš daugianario iš kampo“, suaugusiųjų matematikoje geriau žinomas kaip „Bezout teorema ir Hornerio schema“. Vos prieš porą metų matematikos korepetitoriui šis klausimas nebuvo toks aktualus, nes jis nebuvo įtrauktas į pagrindinę mokyklos programą. Dabar gerbiami Teljakovskio redaguoto vadovėlio autoriai padarė pakeitimus naujausiame, mano nuomone, geriausio vadovėlio leidime ir, visiškai jį sugadinę, tik pridėjo bereikalingų rūpesčių dėstytojui. Matematikos statuso neturinčių mokyklų ir klasių mokytojai, sutelkę dėmesį į autorių naujoves, į pamokas pradėjo dažniau įtraukti papildomų pastraipų, o smalsūs vaikai, žiūrėdami į gražius matematikos vadovėlio puslapius, vis dažniau klausia dėstytojas: „Kas yra šis padalijimas kampu? Ar mes tai išgyvensime? Kaip pasidalinti kampą? Nuo tokių tiesioginių klausimų jau nepasislėpsi. Auklėtojas turės ką nors pasakyti vaikui.

Bet kaip? Ko gero, nebūčiau aprašęs darbo su tema metodo, jei jis būtų kompetentingai pateiktas vadovėliuose. Kaip viskas vyksta pas mus? Vadovėlius reikia spausdinti ir parduoti. Ir tam jie turi būti reguliariai atnaujinami. Ar universitetų dėstytojai skundžiasi, kad vaikai pas juos ateina tuščiomis, be žinių ir įgūdžių? Ar didėja matematinių žinių reikalavimai? Puiku! Išimkime kai kuriuos pratimus ir vietoj jų įterpkime temas, kurios nagrinėjamos kitose programose. Kodėl mūsų vadovėlis blogesnis? Įtrauksime keletą papildomų skyrių. Moksleiviai nežino kampo padalijimo taisyklės? Tai pagrindinė matematika. Ši pastraipa turėtų būti neprivaloma ir pavadinta „tiems, kurie nori sužinoti daugiau“. Mokytojai prieš tai? Kodėl mums apskritai rūpi dėstytojai? Prieš tai irgi metodininkai, mokyklų mokytojai? Mes neapsunkinsime medžiagos ir apsvarstysime paprasčiausią jos dalį.

Ir čia viskas prasideda. Temos paprastumas ir įsisavinimo kokybė pirmiausia slypi jos logikos suvokime, o ne pagal vadovėlio autorių nurodymus atliekant tam tikrą operacijų rinkinį, kurie nėra aiškiai tarpusavyje susiję. . Priešingu atveju studento galvoje bus rūkas. Jei autoriai orientuojasi į palyginti stiprius studentus (bet studijuoja pagal įprastą programą), tuomet neturėtumėte temos pateikti komandų forma. Ką matome vadovėlyje? Vaikai, mes turime skirstytis pagal šią taisyklę. Gaukite polinomą po kampu. Taigi pradinis daugianomas bus koeficientas. Tačiau neaišku, kodėl po kampu esantys terminai parinkti būtent taip, kodėl juos reikia padauginti iš daugianario virš kampo, o tada atimti iš esamos liekanos. Ir, svarbiausia, neaišku, kodėl galiausiai reikia pridėti pasirinktus vienatūrius ir kodėl gautos skliaustuose bus pradinio daugianario išplėtimas. Bet kuris kompetentingas matematikas uždės paryškintą klaustuką virš vadovėlyje pateiktų paaiškinimų.

Korepetitorių ir matematikos mokytojų dėmesį kreipiu į savo problemos sprendimą, kuris praktiškai viską, kas pasakyta vadovėlyje, mokiniui daro akivaizdu. Tiesą sakant, mes įrodysime Bezouto teoremą: jei skaičius a yra daugianario šaknis, tai šis daugianomas gali būti išskaidytas į veiksnius, iš kurių vienas yra x-a, o antrasis gaunamas iš pradinio vienu iš trijų būdų: išskiriant tiesinį faktorių per transformacijas, dalijant iš kampo arba pagal Hornerio schemą. Su tokia formuluote matematikos mokytojui bus lengviau dirbti.

Kas yra mokymo metodika? Visų pirma, tai yra aiški paaiškinimų ir pavyzdžių seka, kurios pagrindu daromos matematinės išvados. Ši tema nėra išimtis. Matematikos mokytojui labai svarbu supažindinti vaiką su Bezouto teorema prieš dalijant kampu. Tai labai svarbu! Geriausia suprasti naudojant konkretų pavyzdį. Paimkime kokį nors daugianarį su pasirinkta šaknimi ir parodykime jo faktorinavimo į veiksnius techniką tapatybės transformacijų metodu, pažįstamu moksleiviams nuo 7 klasės. Turint atitinkamus matematikos mokytojo paaiškinimus, akcentus ir patarimus, medžiagą galima perteikti be jokių bendrų matematinių skaičiavimų, savavališkų koeficientų ir laipsnių.

Svarbus patarimas matematikos mokytojui- vykdykite instrukcijas nuo pradžios iki pabaigos ir nekeiskite šios sekos.

Taigi, tarkime, kad turime daugianarį. Jei vietoj jo X pakeisime skaičių 1, tai daugianario reikšmė bus lygi nuliui. Todėl x=1 yra jo šaknis. Pabandykime išskaidyti jį į du terminus, kad vienas iš jų būtų tiesinės išraiškos ir kažkokio monomio sandauga, o antrasis laipsnis būtų vienu mažesnis nei . Tai yra, pavaizduokime jį formoje

Raudonojo lauko mononomą pasirenkame taip, kad padauginus iš pagrindinio nario jis visiškai sutaptų su pirminio daugianario pirmuoju nariu. Jei mokinys nėra pats silpniausias, jis tikrai sugebės matematikos mokytojui pasakyti reikiamą išraišką: . Mokytojo reikia nedelsiant paprašyti įterpti jį į raudoną lauką ir parodyti, kas atsitiks juos atidarius. Šį virtualų laikiną daugianarį geriausia pasirašyti po rodyklėmis (po maža nuotrauka), paryškinant kokia nors spalva, pavyzdžiui, mėlyna. Tai padės pasirinkti terminą raudonam laukui, vadinamam likusia pasirinkimo dalimi. Patarčiau dėstytojams čia atkreipti dėmesį, kad šią likutį galima rasti atimant. Atlikdami šią operaciją gauname:

Matematikos dėstytojas turėtų atkreipti mokinio dėmesį į tai, kad šioje lygybėje pakeitę vieną, garantuojame, kad kairėje jos pusėje gausime nulį (nes 1 yra pradinio daugianario šaknis), o dešinėje, aišku, taip pat panaikins pirmą kadenciją. Tai reiškia, kad be jokio patikrinimo galime pasakyti, kad vienas yra „žaliosios liekanos“ šaknis.

Su juo elgsimės taip pat, kaip ir su pradiniu daugianario, išskirdami nuo jo tą patį tiesinį koeficientą. Matematikos mokytojas nupiešia du rėmelius prieš mokinį ir prašo užpildyti iš kairės į dešinę.

Studentas pasirenka mokytojui raudonojo lauko mononomą, kad, padauginus iš tiesinės išraiškos pirmaujančio nario, būtų gautas besiplečiančio daugianario pagrindinis narys. Sutalpiname jį į rėmą, iš karto atidarome skliaustelį ir mėlyna spalva paryškiname išraišką, kurią reikia atimti iš sulankstomos. Atlikdami šią operaciją gauname

Ir galiausiai tą patį daro su paskutine likusia dalimi

pagaliau sulauksime

Dabar išimkime išraišką iš skliaustų ir pamatysime pradinio daugianario išskaidymą į veiksnius, iš kurių vienas yra „x atėmus pasirinktą šaknį“.

Kad mokinys negalvotų, kad paskutinė „žalioji liekana“ buvo netyčia išskaidyta į reikiamus veiksnius, matematikos mokytojas turėtų nurodyti svarbią visų žaliųjų liekanų savybę – kiekvienos iš jų šaknis yra 1. šios liekanos mažėja, tada kad ir koks pradinio laipsnis, nesvarbu, kiek daugianario mums būtų suteikta, anksčiau ar vėliau gausime tiesinę „žaliąją liekaną“ su šaknimi 1, todėl ji būtinai suskaidys į tam tikros sandaugą. skaičius ir išraiška.

Po tokių parengiamųjų darbų matematikos korepetitoriui nebus sunku mokiniui paaiškinti, kas nutinka dalinant iš kampo. Tai tas pats procesas, tik trumpesne ir kompaktiškesne forma, be lygybės ženklų ir neperrašant tų pačių paryškintų terminų. Polinomas, iš kurio išgaunamas tiesinis koeficientas, rašomas kampo kairėje, pasirinkti raudoni mononomai surenkami kampu (dabar aiškėja, kodėl jie turėtų sumuotis), kad būtų gauti „mėlyni daugianariai“, „raudona“. ” vienetus reikia padauginti iš x-1, o tada atimti iš šiuo metu pasirinkto, kaip tai daroma įprastu skaičių padalijimu į stulpelį (čia yra analogija su tuo, kas buvo ištirta anksčiau). Gautos „žaliosios liekanos“ turi būti izoliuojamos ir atrenkamos „raudonieji monomai“. Ir taip toliau, kol pasieksite nulį „žaliosios balanso“. Svarbiausia, kad mokinys suprastų tolimesnį rašytinių daugianario virš ir žemiau kampo likimą. Akivaizdu, kad tai yra skliaustai, kurių sandauga yra lygi pradiniam daugianariui.

Kitas matematikos mokytojo darbo etapas yra Bezouto teoremos formulavimas. Tiesą sakant, jo formuluotė taikant tokį mokytojo požiūrį tampa akivaizdi: jei skaičius a yra daugianario šaknis, tada jį galima koeficientuoti, iš kurių vienas yra , o kitas gaunamas iš pradinio vienu iš trijų būdų. :

• tiesioginis skaidymas (analogiškas grupavimo metodui)
• padalijimas kampu (stulpelyje)
• per Hornerio grandinę

Reikia pasakyti, kad ne visi matematikos dėstytojai rodo mokiniams rago diagramą, o ne visi mokyklų mokytojai (pačių korepetitorių laimei) per pamokas taip gilinasi į temą. Tačiau matematikos klasės mokiniui nematau jokios priežasties sustoti ties ilguoju skirstymu. Be to, patogiausias ir greitai Dekompozicijos technika pagrįsta būtent Hornerio schema. Norint paaiškinti vaikui, iš kur jis kilęs, pakanka atsekti, naudojant padalijimo iš kampo pavyzdį, didesnių koeficientų atsiradimą žaliose liekanose. Pasidaro aišku, kad pirminis pradinio daugianario koeficientas perkeliamas į pirmojo „raudonojo monomio“ koeficientą, o toliau nuo antrojo dabartinio viršutinio daugianario koeficiento. atskaityta„raudonojo monomio“ srovės koeficientą padauginus iš . Todėl galima papildyti rezultatas padauginus iš . Sutelkęs mokinio dėmesį į veiksmų su koeficientais specifiką, matematikos dėstytojas gali parodyti, kaip dažniausiai šie veiksmai atliekami nefiksuojant pačių kintamųjų. Norėdami tai padaryti, šioje lentelėje patogu įvesti pradinio daugianario šaknį ir koeficientus eilės tvarka:

Jei polinome trūksta kurio nors laipsnio, jo nulinis koeficientas įtraukiamas į lentelę. „Raudonųjų daugianarių“ koeficientai rašomi paeiliui apatinėje eilutėje pagal „kablio“ taisyklę:

Šaknis padauginama iš paskutinio raudono koeficiento, pridedama prie kito koeficiento viršutinėje eilutėje, o rezultatas įrašomas į apatinę eilutę. Paskutiniame stulpelyje garantuojame, kad gausime didžiausią paskutinės „žaliosios liekanos“ koeficientą, ty nulį. Kai procesas bus baigtas, skaičiai įspraustą tarp suderintos šaknies ir nulinės liekanos yra antrojo (netiesinio) koeficiento koeficientai.

Kadangi šaknis a pateikia nulį apatinės eilutės pabaigoje, Hornerio schemą galima naudoti norint patikrinti daugianario šaknies pavadinimo skaičius. Jei specialioji teorema apie racionaliosios šaknies parinkimą. Visi jo pagalba gauti kandidatai į šį titulą tiesiog paeiliui įterpiami iš kairės į Hornerio diagramą. Kai tik gausime nulį, patikrintas skaičius bus šaknis, o tuo pačiu jo tiesėje gausime pradinio daugianario faktorizavimo koeficientus. Labai patogiai.

Baigdamas noriu pažymėti, kad norint tiksliai pristatyti Hornerio schemą, taip pat praktiškai įtvirtinti temą, matematikos dėstytojas turi turėti pakankamai valandų. Mokytojas, dirbantis pagal režimą „kartą per savaitę“, neturėtų užsiimti skirstymu į kampą. Kalbant apie vieningą valstybinį matematikos egzaminą ir Valstybinę matematikos matematikos akademiją, mažai tikėtina, kad pirmoje dalyje kada nors susidursite su trečiojo laipsnio lygtimi, kurią būtų galima išspręsti tokiomis priemonėmis. Jei dėstytojas ruošia vaiką matematikos egzaminui Maskvos valstybiniame universitete, temos studijos tampa privalomos. Universiteto dėstytojai, skirtingai nei vieningo valstybinio egzamino rengėjai, labai mėgsta pasitikrinti pretendento žinių gilumą.

Kolpakovas Aleksandras Nikolajevičius, matematikos mokytojas Maskva, Strogino

Hornerio schema – daugianario dalybos metodas

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1) )+a_(2)x^(n-2)+\ltaškai+a_(n-1)x+a_n$$

ant dvejetainio $x-a$. Turėsite dirbti su lentele, kurios pirmoje eilutėje yra nurodyto daugianario koeficientai. Pirmasis antrosios eilutės elementas bus skaičius $a$, paimtas iš dvejetainio $x-a$:

N-ojo laipsnio daugianarį padalijus iš dvinario $x-a$, gauname daugianarį, kurio laipsnis vienu mažesnis už pradinį, t.y. lygus $n-1$. Tiesioginį Hornerio schemos taikymą lengviausia parodyti pavyzdžiais.

1 pavyzdys

Padalinkite $5x^4+5x^3+x^2-11$ iš $x-1$ naudodami Hornerio schemą.

Padarykime dviejų eilučių lentelę: pirmoje eilutėje užrašome daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ koeficientus, išdėstytus kintamojo $x$ laipsnių mažėjimo tvarka. Atkreipkite dėmesį, kad šiame daugianario nėra $x$ iki pirmojo laipsnio, t.y. $x$ koeficientas iki pirmosios laipsnio yra 0. Kadangi dalijame iš $x-1$, antroje eilutėje rašome vieną:

Pradėkime užpildyti tuščius langelius antroje eilutėje. Antroje antrosios eilutės langelyje įrašome skaičių $5$, tiesiog perkeldami jį iš atitinkamo pirmosios eilutės langelio:

Kitą langelį užpildykime tokiu principu: $1\cdot 5+5=10$:

Taip pat užpildykime ketvirtą antros eilutės langelį: $1\cdot 10+1=11$:

Už penktą langelį gauname: $1\cdot 11+0=11$:

Ir galiausiai, paskutiniame, šeštajame langelyje, turime: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Problema išspręsta, belieka užsirašyti atsakymą:

Kaip matote, antroje eilutėje esantys skaičiai (tarp vieno ir nulio) yra daugianario koeficientai, gauti padalijus $5x^4+5x^3+x^2-11$ iš $x-1$. Natūralu, kad pradinio daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ laipsnis buvo lygus keturiems, gauto daugianario $5x^3+10x^2+11x+11$ laipsnis yra vienas mažiau, t.y. lygus trims. Paskutinis skaičius antroje eilutėje (nulis) reiškia likutį dalijant daugianarį $5x^4+5x^3+x^2-11$ iš $x-1$. Mūsų atveju liekana lygi nuliui, t.y. daugianariai dalijasi tolygiai. Šį rezultatą taip pat galima apibūdinti taip: daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ reikšmė $x=1$ yra lygi nuliui.

Išvadą galima suformuluoti ir tokia forma: kadangi daugianario $5x^4+5x^3+x^2-11$ reikšmė ties $x=1$ yra lygi nuliui, tai vienybė yra daugianario šaknis. 5x^4+5x^3+ x^2-11$.

2 pavyzdys

Padalinkite daugianarį $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ iš $x+3$, naudodami Hornerio schemą.

Iš karto nustatykime, kad išraiška $x+3$ turi būti pavaizduota forma $x-(-3)$. Hornerio schema apims lygiai -3 USD. Kadangi pradinio daugianario $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ laipsnis yra lygus keturiems, tai dalybos rezultate gauname trečiojo laipsnio daugianarį:

Rezultatas reiškia

$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

Esant tokiai situacijai, likusi dalis padalijus $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ iš $x+3$ yra $4$. Arba, kas yra tas pats, daugianario $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ vertė $x=-3$ yra lygi $4$. Beje, tai nesunku dar kartą patikrinti, tiesiogiai pakeičiant $x=-3$ į nurodytą daugianarį:

$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \ctaškas (-3)^3-5 \ctaškas (-3)-47=4.$$

Tie. Hornerio schema gali būti naudojama, jei reikia rasti polinomo reikšmę tam tikrai kintamojo reikšmei. Jei mūsų tikslas yra rasti visas daugianario šaknis, tai Hornerio schemą galima taikyti kelis kartus iš eilės, kol išnaudosime visas šaknis, kaip aptarta 3 pavyzdyje.

3 pavyzdys

Raskite visas daugianario $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ sveikąsias šaknis naudodami Hornerio schemą.

Nagrinėjamo daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai, o didžiausios kintamojo laipsnio koeficientas (t.y. $x^6$) lygus vienetui. Šiuo atveju tarp laisvojo nario daliklių reikia ieškoti sveikųjų daugianario šaknų, t.y. tarp skaičiaus 45 daliklių. Tam tikro daugianario tokios šaknys gali būti skaičiai $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1 USD ir -45 USD; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1 $. Patikrinkime, pavyzdžiui, skaičių $1$:

Kaip matote, daugianario $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ vertė su $x=1$ yra lygi $192$ (paskutinis skaičius antroje eilutėje), o ne $0 $, todėl vienybė nėra šio daugianario šaknis. Kadangi vieno patikrinimas nepavyko, patikrinkime reikšmę $x=-1$. Tam naujos lentelės nekursime, bet toliau naudosime lentelę. Nr. 1, pridedant prie jo naują (trečią) eilutę. Antroji eilutė, kurioje buvo pažymėta 1 USD vertė, bus paryškinta raudonai ir nebus naudojama tolesnėse diskusijose.

Žinoma, lentelę galite tiesiog perrašyti dar kartą, tačiau jos pildymas rankiniu būdu užtruks daug laiko. Be to, gali būti keli skaičiai, kurių patikrinimas nepavyks, ir kiekvieną kartą sunku parašyti naują lentelę. Skaičiuojant „ant popieriaus“, raudonas linijas galima tiesiog perbraukti.

Taigi, daugianario $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ reikšmė ties $x=-1$ lygi nuliui, t.y. skaičius $-1$ yra šio daugianario šaknis. Padalijus daugianarį $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ iš dvinario $x-(-1)=x+1$, gauname daugianarį $x ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, kurių koeficientai paimti iš trečios lentelės eilės. Nr. 2 (žr. pavyzdį Nr. 1). Skaičiavimų rezultatas taip pat gali būti pateiktas tokia forma:

\begin(lygtis)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2 +69x+45)\pabaiga (lygtis)

Tęskime sveikųjų skaičių šaknų paiešką. Dabar reikia ieškoti daugianario $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ šaknų. Vėlgi, sveikųjų šio daugianario šaknų ieškoma tarp jo laisvojo termino daliklių, skaičių $45$. Pabandykime dar kartą patikrinti skaičių $-1$. Mes nekursime naujos lentelės, bet toliau naudosime ankstesnę lentelę. Nr.2, t.y. Pridėkime prie jo dar vieną eilutę:

Taigi skaičius $-1$ yra daugianario $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$ šaknis. Rezultatą galima parašyti taip:

\begin(lygtis)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \end(lygtis)

Atsižvelgiant į lygybę (2), lygybė (1) gali būti perrašyta tokia forma:

\begin (lygtis)\begin (lygiuotas) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4–22x^2+24x+45)\pabaiga (sulygiuota)\pabaiga (lygtis)

Dabar reikia ieškoti daugianario $x^4-22x^2+24x+45$ šaknų – natūralu, tarp jo laisvojo nario daliklių (skaičiai $45$). Dar kartą patikrinkime skaičių $-1$:

Skaičius $-1$ yra daugianario $x^4-22x^2+24x+45$ šaknis. Rezultatą galima parašyti taip:

\begin(lygtis)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \end(lygtis)

Atsižvelgdami į lygybę (4), lygybę (3) perrašome tokia forma:

\begin (lygtis)\begin (lygiuotas) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3 +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2–21x+45)\pabaiga (sulygiuota)\pabaiga (lygtis)

Dabar ieškome daugianario $x^3-x^2-21x+45$ šaknų. Dar kartą patikrinkime skaičių $-1$:

Patikrinimas baigėsi nesėkmingai. Pažymėkime šeštąją eilutę raudonai ir pabandykime patikrinti kitą skaičių, pavyzdžiui, skaičių $3$:

Likutis lygus nuliui, todėl skaičius $3$ yra aptariamo daugianario šaknis. Taigi, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Dabar lygybę (5) galima perrašyti taip.

3 skaidrė

Horner Williams George (1786-1837 9 22) – anglų matematikas. Gimė Bristolyje. Ten jis mokėsi ir dirbo, vėliau – Bato mokyklose. Pagrindiniai algebros darbai. 1819 metais paskelbė daugianario realiųjų šaknų apytikrio apskaičiavimo metodą, kuris dabar vadinamas Ruffini-Horner metodu (šis metodas kinams buvo žinomas dar XIII a.) Polinomo padalijimo iš binomo x-a schema pavadinta. po Hornerio.

4 skaidrė

HORNER SCHEMA

N-ojo laipsnio daugianario padalijimo iš tiesinio dvinario - a metodas, pagrįstas tuo, kad nepilnojo dalinio ir liekanos koeficientai yra susieti su dalijamo daugianario koeficientais ir formulėmis:

5 skaidrė

Skaičiavimai pagal Hornerio schemą pateikiami lentelėje:

Pavyzdys 1. Padalinimas Dalinis koeficientas yra x3-x2+3x - 13, o likusioji dalis yra 42=f(-3).

6 skaidrė

Pagrindinis šio metodo privalumas yra žymėjimo kompaktiškumas ir galimybė greitai padalinti daugianarį į dvinarį. Tiesą sakant, Hornerio schema yra dar viena grupavimo metodo įrašymo forma, nors, skirtingai nei pastarasis, ji yra visiškai nevaizdi. Atsakymas (faktorizavimas) čia gaunamas savaime, o jo gavimo proceso nematome. Mes nesiimsime į griežtą Hornerio schemos pagrindimą, o tik parodysime, kaip ji veikia.

7 skaidrė

2 pavyzdys.

Įrodykime, kad daugianomas P(x)=x4-6x3+7x-392 dalijasi iš x-7, ir raskime dalybos koeficientą. Sprendimas. Naudodami Hornerio schemą randame P(7): Iš čia gauname P(7)=0, t.y. dalijant daugianarį iš x-7 likusioji dalis yra lygi nuliui, todėl polinomas P(x) yra (x-7) kartotinis. Be to, antroje lentelės eilutėje esantys skaičiai yra skaitiklio koeficientai. P(x) dalinys, padalytas iš (x-7), todėl P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

8 skaidrė

Padalinkite daugianario koeficientą x3 – 5x2 – 2x + 16.

Šis daugianomas turi sveikųjų skaičių koeficientus. Jei sveikasis skaičius yra šio daugianario šaknis, tai jis yra skaičiaus 16 daliklis. Taigi, jei duotasis daugianomas turi sveikųjų skaičių šaknis, tai gali būti tik skaičiai ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Tiesioginiu patikrinimu įsitikiname, kad skaičius 2 yra šio daugianario šaknis, tai yra x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), kur Q(x) yra antrojo laipsnio daugianario

9 skaidrė

Gauti skaičiai 1, −3, −8 yra daugianario koeficientai, gaunami pradinį daugianarį padalijus iš x – 2. Tai reiškia, kad padalijimo rezultatas yra: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Dauginamo laipsnis, gautas padalijus, visada yra 1 mažesnis už pradinio laipsnį. Taigi: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) (x2 – 3x – 8).

Pamokos tikslai:

• mokyti studentus spręsti aukštesnių laipsnių lygtis naudojant Hornerio schemą;
• ugdyti gebėjimą dirbti poromis;
• kartu su pagrindinėmis kurso dalimis sukurti studentų gebėjimų ugdymo pagrindą;
• padėti mokiniui įvertinti savo potencialą, ugdyti domėjimąsi matematika, gebėjimą mąstyti ir kalbėti šia tema.

Įranga: atvirutės grupiniam darbui, plakatas su Hornerio diagrama.

Mokymo metodas: paskaita, pasakojimas, paaiškinimas, lavinamųjų pratimų atlikimas.

Kontrolės forma: savarankiškų problemų sprendimo tikrinimas, savarankiškas darbas.

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas

2. Mokinių žinių atnaujinimas

Kokia teorema leidžia nustatyti, ar skaičius yra duotosios lygties šaknis (suformuluoti teoremą)?

Bezouto teorema. Polinomo P(x) dalijimo iš dvinalio x-c liekana lygi P(c), skaičius c vadinamas daugianario P(x) šaknimi, jei P(c)=0. Teorema leidžia neatliekant padalijimo operacijos nustatyti, ar duotas skaičius yra daugianario šaknis.

Kokie teiginiai padeda lengviau rasti šaknis?

a) Jei daugianario pirmaujantis koeficientas lygus vienetui, tai daugianario šaknų reikia ieškoti tarp laisvojo nario daliklių.

b) Jei daugianario koeficientų suma lygi 0, tai viena iš šaknų lygi 1.

c) Jei koeficientų suma lyginėse vietose yra lygi nelyginių vietų koeficientų sumai, tai viena iš šaknų lygi -1.

d) Jei visi koeficientai yra teigiami, tai daugianario šaknys yra neigiami skaičiai.

e) Nelyginio laipsnio daugianario turi bent vieną tikrąją šaknį.

3. Naujos medžiagos mokymasis

Spręsdami visas algebrines lygtis, turite rasti daugianario šaknų reikšmes. Šią operaciją galima žymiai supaprastinti, jei skaičiavimai atliekami naudojant specialų algoritmą, vadinamą Hornerio schema. Ši grandinė pavadinta anglų mokslininko Williamo George'o Hornerio vardu. Hornerio schema yra daugianario P(x) dalijimo iš x-c koeficiento ir liekanos skaičiavimo algoritmas. Trumpai kaip tai veikia.

Tegu pateiktas savavališkas daugianomas P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n-1 x+ a n. Padalijus šį daugianarį iš x-c, gaunamas jo vaizdas P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Dalinis g(x)=in 0 x n-1 + in n x n-2 +...+in n-2 x + in n-1, kur 0 =a 0, n =st n-1 +a n , n=1,2,3,…n-1. Likutis r(x)= st n-1 +a n. Šis skaičiavimo metodas vadinamas Hornerio schema. Algoritmo pavadinime esantis žodis „schema“ yra dėl to, kad jo įgyvendinimas dažniausiai suformatuojamas taip. Pirmiausia nubraižykite lentelę 2(n+2). Apatiniame kairiajame langelyje parašykite skaičių c, o viršutinėje eilutėje – daugianario P(x) koeficientus. Šiuo atveju viršutinis kairysis langelis paliekamas tuščias.

Skaičius, kuris, įvykdžius algoritmą, pasirodo esąs parašytas apatiniame dešiniajame langelyje, yra polinomo P(x) padalijimo iš x-c liekana. Kiti skaičiai 0, 1, 2,... apatinėje eilutėje yra dalinio koeficientai.

Pavyzdžiui: polinomą P(x)= x 3 -2x+3 padalinkite iš x-2.

Gauname, kad x 3 -2x+3=(x-2) (x 2 +2x+2) + 7.

4. Studijuotos medžiagos konsolidavimas

1 pavyzdys: Padalinkite daugianarį P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 į veiksnius su sveikųjų skaičių koeficientais.

Ištisų šaknų ieškome tarp laisvojo termino daliklių -1: 1; -1. Padarykime lentelę:

X = -1 – šaknis

P(x)= (x+1) (2x 3 -9x 2 +6x -1)

Patikrinkim 1/2.

Todėl polinomas P(x) gali būti pavaizduotas forma

P(x)= (x+1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) = (x+1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

2 pavyzdys: Išspręskite lygtį 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Kadangi kairėje lygties pusėje užrašyto polinomo koeficientų suma lygi nuliui, tai viena iš šaknų yra 1. Pasinaudokime Hornerio schema:

Gauname P(x)=(x-1) (2x 3 -3x 2 =2x +2). Šaknų ieškosime tarp laisvojo termino 2 daliklių.

Sužinojome, kad sveikų šaknų nebėra. Patikrinkim 1/2; -1/2.

Atsakymas: 1; -1/2.

3 pavyzdys: Išspręskite lygtį 5x 4 – 3x 3 – 4x 2 -3x+ 5 = 0.

Šios lygties šaknų ieškosime tarp laisvojo termino 5 daliklių: 1;-1;5;-5. x=1 yra lygties šaknis, nes koeficientų suma lygi nuliui. Naudokime Hornerio schemą:

Pateikime lygtį kaip trijų veiksnių sandaugą: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) = 0. Išsprendę kvadratinę lygtį 5x 2 -7x+5=0, gavome D=49-100=-51, šaknų nėra.

1 kortelė

1. Dauginamojo koeficiento koeficientas: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Išspręskite lygtį: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

2 kortelė

1. Dauginamojo koeficiento koeficientas: x 4 - x 3 -7x 2 +13x-6
2. Išspręskite lygtį: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

3 kortelė

1. Koeficientas į: 2x 3 -21x 2 +37x+24
2. Išspręskite lygtį: x 3 -2x 2 +4x-8=0

4 kortelė

1. Koeficientas: 5x3 -46x2 +79x-14
2. Išspręskite lygtį: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Apibendrinant

Žinių tikrinimas sprendžiant poromis atliekamas klasėje atpažįstant veiksmo būdą ir atsakymo pavadinimą.

Namų darbai:

Išspręskite lygtis:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x+1=0

b) 5x4 -36x3 +62x2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 = 4x 2

d) x 4 +2x 3 -x-2=0

Literatūra

1. N.Ya. Vilenkin ir kt., Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (išsamus matematikos mokymasis): Švietimas, 2005 m.
2. U.I. Sacharčiukas, L.S. Sagatelova, Aukštesnių laipsnių lygčių sprendimas: Volgogradas, 2007 m.
3. S.B. Gashkov, Skaičių sistemos ir jų taikymas.