ഒരു സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് സ്വമേധയാ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം. സ്ക്വയർ റൂട്ട് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? പ്രോപ്പർട്ടികൾ, റൂട്ട് എക്സ്ട്രാക്ഷൻ ഉദാഹരണങ്ങൾ

യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ

ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത വർഗ്ഗമൂലത്തെ വിളിക്കുന്നു ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യംറാഡിക്കൽ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഫീൽഡിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, അവ ചിഹ്നത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു (ഒഴികെ സ്ക്വയർ റൂട്ട്പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന്). ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് പലപ്പോഴും സൂചിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഈ നൊട്ടേഷൻ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതാണ്. സാധാരണ തെറ്റ്:

ഒരു കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യ എഴുതുന്നതിനുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫോം ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

, ,

മോഡുലസിൻ്റെ റൂട്ട് അർത്ഥത്തിൽ മനസ്സിലാക്കുന്നിടത്ത് ഗണിത മൂല്യം, k എന്നിവയ്ക്ക് k=0, k=1 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം, അതിനാൽ ഉത്തരം രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഫലങ്ങളിൽ അവസാനിക്കുന്നു.

പൊതുവൽക്കരണങ്ങൾ

മറ്റ് ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾക്കായുള്ള ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരമായാണ് സ്‌ക്വയർ റൂട്ടുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നത്: മെട്രിക്‌സ്, ഫംഗ്‌ഷനുകൾ, ഓപ്പറേറ്റർമാർ മുതലായവ. തികച്ചും ഏകപക്ഷീയമായ ഗുണന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒരു പ്രവർത്തനമായി ഉപയോഗിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, സൂപ്പർപോസിഷൻ.

കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിൽ സ്ക്വയർ റൂട്ട്

പല ഫംഗ്‌ഷൻ-ലെവൽ പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളിലും (അതുപോലെ തന്നെ LaTeX പോലുള്ള മാർക്ക്അപ്പ് ഭാഷകളിലും), സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് ഫംഗ്‌ഷൻ ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു ചതുരശ്ര(ഇംഗ്ലീഷിൽ നിന്ന് സ്ക്വയർ റൂട്ട്"സ്ക്വയർ റൂട്ട്").

സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങൾ

തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം കണ്ടെത്തുകയോ കണക്കാക്കുകയോ ചെയ്യുന്നതിനെ വിളിക്കുന്നു വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ(ചതുരം) റൂട്ട്.

ടെയ്‌ലർ സീരീസ് വിപുലീകരണം

യിൽ.

ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം

സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതകൾ ശരിയാണ്:

അതായത്, ഒരു സംഖ്യയുടെ സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ പൂർണ്ണസംഖ്യ, അതിൽ നിന്ന് എല്ലാ ഒറ്റ സംഖ്യകളും കുറച്ചാൽ, ബാക്കിയുള്ളത് അടുത്ത കുറച്ച സംഖ്യയേക്കാൾ കുറവോ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമോ ആകുന്നതുവരെ, നടത്തിയ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതുപോലെ:

3 ഘട്ടങ്ങൾ പൂർത്തിയായി, 9 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം 3 ആണ്.

ഈ രീതിയുടെ പോരായ്മ എന്തെന്നാൽ, വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്ന റൂട്ട് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അതിൻ്റെ മുഴുവൻ ഭാഗവും മാത്രമേ കണ്ടെത്താൻ കഴിയൂ, പക്ഷേ കൂടുതൽ കൃത്യമായി അല്ല. അതേ സമയം, സ്ക്വയർ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കേണ്ട ലളിതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന കുട്ടികൾക്ക് ഈ രീതി തികച്ചും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതാണ്.

ഏകദേശ കണക്ക്

നിരവധി കണക്കുകൂട്ടൽ അൽഗോരിതങ്ങൾ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾപോസിറ്റീവിൽ നിന്ന് യഥാർത്ഥ സംഖ്യ എസ്ചില പ്രാരംഭ മൂല്യം ആവശ്യമാണ്. പ്രാരംഭ മൂല്യം റൂട്ടിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ മന്ദഗതിയിലാകും. അതിനാൽ, ഒരു ഏകദേശ കണക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്, അത് വളരെ കൃത്യതയില്ലാത്തതായിരിക്കാം, പക്ഷേ കണക്കുകൂട്ടാൻ എളുപ്പമാണ്. എങ്കിൽ എസ്≥ 1, അനുവദിക്കുക ഡിഅക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം ആയിരിക്കും എസ്ദശാംശ പോയിൻ്റിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത്. എങ്കിൽ എസ് < 1, пусть ഡിദശാംശ പോയിൻ്റിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള തുടർച്ചയായ പൂജ്യങ്ങളുടെ സംഖ്യയായിരിക്കും, ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തത്. അപ്പോൾ ഏകദേശ കണക്ക് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

എങ്കിൽ ഡിവിചിത്രമായ, ഡി = 2എൻ+ 1, തുടർന്ന് ഉപയോഗിക്കുക എങ്കിൽ ഡിപോലും, ഡി = 2എൻ+ 2, തുടർന്ന് ഉപയോഗിക്കുക

കാരണം രണ്ടും ആറും ഉപയോഗിക്കുന്നു ഒപ്പം

ഒരു ബൈനറി സിസ്റ്റത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ (കമ്പ്യൂട്ടറുകൾക്കുള്ളിലെന്നപോലെ), മറ്റൊരു മൂല്യനിർണ്ണയം ഉപയോഗിക്കണം (ഇവിടെ ഡിബൈനറി അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്).

ജ്യാമിതീയ വർഗ്ഗമൂല്യം

റൂട്ട് സ്വമേധയാ എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നതിന്, നീളമുള്ള വിഭജനത്തിന് സമാനമായ ഒരു നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. നാം തിരയുന്ന റൂട്ട് സംഖ്യ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ വലതുവശത്ത് നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള റൂട്ടിൻ്റെ സംഖ്യകൾ ക്രമേണ ലഭിക്കും. പരിമിതമായ ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എടുക്കാം. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, മാനസികമായോ മാർക്കുകളോ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ N എന്ന സംഖ്യയെ ദശാംശ പോയിൻ്റിൻ്റെ ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കുന്നു. ആവശ്യമെങ്കിൽ, ഗ്രൂപ്പുകൾ പൂജ്യങ്ങളാൽ പാഡ് ചെയ്യുന്നു - പൂർണ്ണസംഖ്യ ഭാഗം ഇടതുവശത്തും ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം വലതുവശത്തും പാഡ് ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ 31234.567 എന്നത് 03 12 34 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. 56 70. ഡിവിഷനിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, 2 അക്കങ്ങളുള്ള അത്തരം ഗ്രൂപ്പുകളിലാണ് പൊളിക്കൽ നടത്തുന്നത്.

അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ദൃശ്യ വിവരണം:

സാക്ഷരതയുടെ അടയാളമായ അനേകം അറിവുകളിൽ, അക്ഷരമാല ഒന്നാമതായി വരുന്നു. അടുത്ത, തുല്യമായ "അടയാളം" ഘടകം സങ്കലനം-ഗുണനം, അവയോട് ചേർന്നുള്ള, എന്നാൽ അർത്ഥത്തിൽ വിപരീതമായ, വ്യവകലനം-വിഭജനത്തിൻ്റെ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്നിവയാണ്. വിദൂര സ്കൂൾ കുട്ടിക്കാലത്ത് പഠിച്ച കഴിവുകൾ രാവും പകലും വിശ്വസ്തതയോടെ സേവിക്കുന്നു: ടിവി, പത്രം, എസ്എംഎസ്, കൂടാതെ എല്ലായിടത്തും നമ്മൾ വായിക്കുകയും എഴുതുകയും എണ്ണുകയും ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. പിന്നെ, എന്നോട് പറയൂ, ഡാച്ചയിലല്ലാതെ നിങ്ങളുടെ ജീവിതത്തിൽ പലപ്പോഴും വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കേണ്ടി വന്നിട്ടുണ്ടോ? ഉദാഹരണത്തിന്, അത്തരമൊരു വിനോദ പ്രശ്നം, 12345 എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം പോലെ ... ഫ്ലാസ്കുകളിൽ ഇപ്പോഴും വെടിമരുന്ന് ഉണ്ടോ? നമുക്ക് അത് കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയുമോ? ഒന്നും ലളിതമായിരിക്കില്ല! എൻ്റെ കാൽക്കുലേറ്റർ എവിടെയാണ്... അതില്ലാതെ, കൈകൾ തമ്മിലുള്ള പോരാട്ടം ദുർബലമാണോ?

ആദ്യം, അത് എന്താണെന്ന് വ്യക്തമാക്കാം - ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, “ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എടുക്കുക” എന്നാൽ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിന് വിപരീതമായി ഗണിത പ്രവർത്തനം നടത്തുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് - ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ജീവിത പ്രയോഗത്തിൽ വിപരീതങ്ങളുടെ ഐക്യമുണ്ട്. ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗുണനമാണ് സ്ക്വയർ എന്ന് നമുക്ക് പറയാം, അതായത്, സ്കൂളിൽ പഠിപ്പിച്ചതുപോലെ, X * X = A അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ X2 = A, വാക്കുകളിൽ - “X സ്ക്വയർ തുല്യമാണ് A.” അപ്പോൾ വിപരീത പ്രശ്നം ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു: A എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം X എന്ന സംഖ്യയാണ്, അത് സ്ക്വയർ ചെയ്യുമ്പോൾ A തുല്യമാണ്.

സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കൽ

സ്കൂൾ ഗണിത കോഴ്സിൽ നിന്ന്, "ഒരു നിരയിൽ" കണക്കുകൂട്ടൽ രീതികൾ അറിയപ്പെടുന്നു, ഇത് ആദ്യത്തെ നാല് ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏതെങ്കിലും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ സഹായിക്കുന്നു. അയ്യോ... ചതുരത്തിന് മാത്രമല്ല, ചതുരത്തിനും, വേരുകൾക്കും, അത്തരം അൽഗോരിതങ്ങൾ നിലവിലില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചെടുക്കാം? സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു നിഗമനം മാത്രമേയുള്ളൂ - റാഡിക്കൽ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ്റെ മൂല്യത്തെ സ്‌ക്വയർ സമീപിക്കുന്ന സംഖ്യകളെ തുടർച്ചയായി എണ്ണിക്കൊണ്ട് ഫലത്തിൻ്റെ മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അത്രയേയുള്ളൂ! ഒന്നോ രണ്ടോ മണിക്കൂർ കഴിയുന്നതിന് മുമ്പ്, ഒരു "കോളത്തിൽ", ഏത് സ്ക്വയർ റൂട്ടിലും അറിയപ്പെടുന്ന ഗുണന രീതി ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് കഴിവുകളുണ്ടെങ്കിൽ, ഇതിന് കുറച്ച് മിനിറ്റ് മാത്രമേ എടുക്കൂ. കാൽക്കുലേറ്ററിൻ്റെയോ പിസിയുടെയോ അത്ര വികസിതമല്ലാത്ത ഒരു ഉപയോക്താവിന് പോലും ഒറ്റയടിക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും - പുരോഗതി.

എന്നാൽ ഗൗരവമായി, സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ പലപ്പോഴും "ആർട്ടിലറി ഫോർക്ക്" ടെക്നിക് ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്: ആദ്യം റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുമായി ഏകദേശം യോജിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ എടുക്കുക. "ഞങ്ങളുടെ സ്ക്വയർ" ഈ പദപ്രയോഗത്തേക്കാൾ അല്പം ചെറുതാണെങ്കിൽ അത് നല്ലതാണ്. തുടർന്ന് അവർ അവരുടെ സ്വന്തം കഴിവും ധാരണയും അനുസരിച്ച് നമ്പർ ക്രമീകരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ടായി ഗുണിക്കുക, കൂടാതെ... അത് വീണ്ടും സ്ക്വയർ ചെയ്യുക. ഫലം എങ്കിൽ കൂടുതൽ എണ്ണംറൂട്ടിന് കീഴിൽ, ഒറിജിനൽ നമ്പർ തുടർച്ചയായി ക്രമീകരിച്ച്, റൂട്ടിന് കീഴിൽ ക്രമേണ അതിൻ്റെ "സഹപ്രവർത്തകനെ" സമീപിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ - കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ല, "ഒരു നിരയിൽ" എണ്ണാനുള്ള കഴിവ് മാത്രം. തീർച്ചയായും, വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിന് ശാസ്ത്രീയമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടതും ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്തതുമായ നിരവധി അൽഗോരിതങ്ങൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ " വീട്ടുപയോഗം"മുകളിലുള്ള സാങ്കേതികത ഫലത്തിൽ 100% ആത്മവിശ്വാസം നൽകുന്നു.

അതെ, ഞാൻ ഏറെക്കുറെ മറന്നുപോയി, നമ്മുടെ വർദ്ധിച്ച സാക്ഷരത സ്ഥിരീകരിക്കുന്നതിന്, മുമ്പ് സൂചിപ്പിച്ച സംഖ്യയായ 12345-ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. ഞങ്ങൾ അത് ഘട്ടം ഘട്ടമായി ചെയ്യുന്നു:

1. നമുക്ക് പൂർണ്ണമായും അവബോധപൂർവ്വം X=100 എടുക്കാം. നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: X * X = 10000. അവബോധം ഏറ്റവും മികച്ചതാണ് - ഫലം 12345 ൽ കുറവാണ്.

2. നമുക്ക് ശ്രമിക്കാം, പൂർണ്ണമായും അവബോധജന്യമായി, X = 120. പിന്നെ: X * X = 14400. വീണ്ടും, അവബോധം ക്രമത്തിലാണ് - ഫലം 12345-ൽ കൂടുതലാണ്.

3. മുകളിൽ നമുക്ക് 100, 120 എന്നിവയുടെ ഒരു "ഫോർക്ക്" ലഭിച്ചു. നമുക്ക് പുതിയ നമ്പറുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാം - 110, 115. നമുക്ക് യഥാക്രമം 12100 ഉം 13225 ഉം ലഭിക്കും - ഫോർക്ക് ഇടുങ്ങിയതാണ്.

4. നമുക്ക് "ഒരുപക്ഷേ" X=111 ശ്രമിക്കാം. നമുക്ക് X * X = 12321 ലഭിക്കുന്നു. ഈ സംഖ്യ ഇതിനകം 12345 ന് വളരെ അടുത്താണ്. ആവശ്യമായ കൃത്യതയ്ക്ക് അനുസൃതമായി, ലഭിച്ച ഫലത്തിൽ "ഫിറ്റ്" തുടരുകയോ നിർത്തുകയോ ചെയ്യാം. അത്രയേയുള്ളൂ. വാഗ്ദാനം ചെയ്തതുപോലെ - എല്ലാം വളരെ ലളിതവും കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെയുമാണ്.

ഒരു ചെറിയ ചരിത്രം മാത്രം...

സ്‌കൂളിലെ വിദ്യാർത്ഥികളും പൈതഗോറസിൻ്റെ അനുയായികളുമായ പൈതഗോറിയൻസ്, ബിസി 800 വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാനുള്ള ആശയം കൊണ്ടുവന്നു. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ സംഖ്യകളുടെ മേഖലയിൽ പുതിയ കണ്ടെത്തലുകൾ "ഓടി". അത് എവിടെ നിന്ന് വന്നു?

1. റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ഒരു പുതിയ ക്ലാസിൻ്റെ സംഖ്യകളുടെ രൂപത്തിൽ ഫലം നൽകുന്നു. അവരെ യുക്തിരഹിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, "യുക്തിരഹിതം", കാരണം. അവ ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയായി എഴുതിയിട്ടില്ല. മിക്കതും ക്ലാസിക് ഉദാഹരണംഇത്തരത്തിലുള്ള 2 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്. 1 ന് തുല്യമായ വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ ഡയഗണലിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലുമായി ഈ കേസ് യോജിക്കുന്നു - ഇതാണ് പൈതഗോറിയൻ സ്കൂളിൻ്റെ സ്വാധീനം. വശങ്ങളുടെ വളരെ നിർദ്ദിഷ്ട യൂണിറ്റ് വലുപ്പമുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെനസിന് "അവസാനമില്ലാത്ത" ഒരു സംഖ്യയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു വലുപ്പമുണ്ട്. അങ്ങനെയാണ് അവർ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത്

2. ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനത്തിൽ മറ്റൊരു ക്യാച്ച് ഉണ്ടെന്ന് മനസ്സിലായി - റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുമ്പോൾ, സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ചതുരം പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ഏത് സംഖ്യയാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. ഈ അനിശ്ചിതത്വം, ഒരു ഓപ്പറേഷനിൽ നിന്നുള്ള ഇരട്ട ഫലം, ഈ രീതിയിൽ രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.

ഈ പ്രതിഭാസവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങളുടെ പഠനം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു ദിശയായി മാറിയിരിക്കുന്നു, അതിനെ സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളുകളുടെ സിദ്ധാന്തം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇതിന് ഗണിതശാസ്ത്ര ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ വലിയ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുണ്ട്.

അതേ സർവവ്യാപിയായ I. ന്യൂട്ടൺ തൻ്റെ “യൂണിവേഴ്സൽ അരിത്മെറ്റിക്” എന്നതിൽ റൂട്ട് - റാഡിക്കൽ - എന്ന പദവി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു എന്നത് കൗതുകകരമാണ്. ആധുനിക രൂപംഫ്രഞ്ചുകാരനായ റോളിൻ്റെ "മാനുവൽ ഓഫ് ആൾജിബ്ര" എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് 1690 മുതൽ റൂട്ടിൻ്റെ നൊട്ടേഷൻ അറിയപ്പെടുന്നു.

ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുത്തും ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എന്ന ആശയം. ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി തുടരും: ഞങ്ങൾ സ്ക്വയർ റൂട്ടിൽ ആരംഭിക്കും, അവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ക്യൂബിക് റൂട്ടിൻ്റെ വിവരണത്തിലേക്ക് പോകും, ​​അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ റൂട്ട് എന്ന ആശയം സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും nth റൂട്ട് നിർവചിക്കുകയും ചെയ്യും. അതേ സമയം, ഞങ്ങൾ നിർവചനങ്ങളും നൊട്ടേഷനുകളും അവതരിപ്പിക്കും, വേരുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും ആവശ്യമായ വിശദീകരണങ്ങളും അഭിപ്രായങ്ങളും നൽകുകയും ചെയ്യും.

സ്ക്വയർ റൂട്ട്, ഗണിത സ്ക്വയർ റൂട്ട്

ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനം മനസിലാക്കാൻ, പ്രത്യേകിച്ച് സ്ക്വയർ റൂട്ട്, നിങ്ങൾക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കണം . ഈ ഘട്ടത്തിൽ നമ്മൾ പലപ്പോഴും ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയെ കണ്ടുമുട്ടും - ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം.

നമുക്ക് തുടങ്ങാം സ്ക്വയർ റൂട്ട് നിർവചനങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം

a യുടെ ചതുര റൂട്ട് a ന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

കൊണ്ടുവരാൻ വേണ്ടി വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ, നിരവധി സംഖ്യകൾ എടുക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, 5, −0.3, 0.3, 0, അവയെ വർഗ്ഗം, നമുക്ക് യഥാക്രമം 25, 0.09, 0.09, 0 എന്നീ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും (5 2 =5·5=25, (-0.3) 2 =(-0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 കൂടാതെ 0 2 =0·0=0 ). തുടർന്ന്, മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, സംഖ്യ 5 എന്നത് 25 എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലവും −0.3, 0.3 എന്നിവ 0.09 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലവും 0 പൂജ്യത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലവുമാണ്.

ഒരു സംഖ്യയ്ക്കും a എന്നതിന് തുല്യമായ ചതുരം നിലവിലില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അതായത്, ഏതിനും നെഗറ്റീവ് നമ്പർ a എന്നതിന് തുല്യമായ ചതുരം b എന്ന യഥാർത്ഥ സംഖ്യ ഇല്ല. വാസ്തവത്തിൽ, തുല്യത a=b 2 ഏതൊരു നെഗറ്റീവ് a യ്ക്കും അസാധ്യമാണ്, കാരണം b 2 ഏതൊരു bയ്ക്കും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയാണ്. അങ്ങനെ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലമില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല, അർത്ഥമില്ല.

ഇത് ഒരു യുക്തിസഹമായ ചോദ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: "ഏതെങ്കിലും നോൺ-നെഗറ്റീവ് a യ്‌ക്ക് a യുടെ വർഗ്ഗമൂലമുണ്ടോ"? അതെ എന്നാണ് ഉത്തരം. ഈ വസ്തുതയുടെ ന്യായീകരണം പരിഗണിക്കാവുന്നതാണ് സൃഷ്ടിപരമായ വഴി, സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അപ്പോൾ അടുത്ത ലോജിക്കൽ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: “നൽകിയ ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയുടെ എല്ലാ വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെയും എണ്ണം എന്താണ് - ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന് അല്ലെങ്കിൽ അതിലും കൂടുതൽ”? ഉത്തരം ഇതാ: a പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഏക വർഗ്ഗമൂല്യം പൂജ്യമാണ്; a ചിലതാണെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, അപ്പോൾ a എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ എണ്ണം രണ്ടാണ്, വേരുകൾ . നമുക്ക് ഇതിനെ ന്യായീകരിക്കാം.

a=0 എന്ന കേസിൽ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. ആദ്യം, പൂജ്യം തീർച്ചയായും പൂജ്യത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണെന്ന് കാണിക്കാം. ഇത് വ്യക്തമായ സമത്വം 0 2 =0·0=0 എന്നിവയിൽ നിന്നും സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നും പിന്തുടരുന്നു.

ഇനി പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഏക വർഗ്ഗമൂലമാണ് 0 എന്ന് തെളിയിക്കാം. നമുക്ക് വിപരീത രീതി ഉപയോഗിക്കാം. പൂജ്യത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമായ ചില നോൺസീറോ നമ്പർ b ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. അപ്പോൾ b 2 =0 എന്ന വ്യവസ്ഥ തൃപ്‌തിപ്പെടുത്തണം, അത് അസാധ്യമാണ്, കാരണം പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏത് b 2 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആണ്. ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തിയിരിക്കുന്നു. പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഏക വർഗ്ഗമൂലമാണ് 0 എന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു.

a എന്നത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ ആയ സാഹചര്യങ്ങളിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം. നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും വർഗ്ഗമൂല്യം എപ്പോഴും ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്, a യുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം സംഖ്യ b ആയിരിക്കട്ടെ. ഒരു സംഖ്യ c ഉണ്ടെന്ന് പറയാം, അത് a യുടെ വർഗ്ഗമൂലവും കൂടിയാണ്. തുടർന്ന്, ഒരു വർഗ്ഗമൂലത്തിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, b 2 =a, c 2 =a എന്നീ തുല്യതകൾ ശരിയാണ്, അതിൽ നിന്ന് b 2 -c 2 =a-a=0 എന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ b 2 -c 2 =( b−c)·( b+c) , പിന്നെ (b−c)·(b+c)=0 . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വം സാധുവാണ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ b−c=0 അല്ലെങ്കിൽ b+c=0 എപ്പോൾ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. അങ്ങനെ, ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകൾ തുല്യമോ വിപരീതമോ ആണ്.

a എന്ന സംഖ്യയുടെ മറ്റൊരു വർഗ്ഗമൂലമായ d എന്നൊരു സംഖ്യ ഉണ്ടെന്ന് നമ്മൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇതിനകം നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് സമാനമായ ന്യായവാദത്തിലൂടെ, d എന്നത് b അല്ലെങ്കിൽ c എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ എണ്ണം രണ്ടാണ്, വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ വിപരീത സംഖ്യകളാണ്.

സ്ക്വയർ റൂട്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള എളുപ്പത്തിനായി നെഗറ്റീവ് റൂട്ട്പോസിറ്റീവിൽ നിന്ന് "വേർപെടുത്തുന്നു". ഈ ആവശ്യത്തിനായി, ഇത് അവതരിപ്പിക്കുന്നു ഗണിത സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനം.

നിർവ്വചനം

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം aഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയാണ്, അതിൻ്റെ ചതുരം a ന് തുല്യമാണ്.

a യുടെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂലത്തിൻ്റെ നൊട്ടേഷൻ ആണ്. ഈ ചിഹ്നത്തെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇതിനെ റാഡിക്കൽ അടയാളം എന്നും വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ചിലപ്പോൾ “റൂട്ട്”, “റാഡിക്കൽ” എന്നിവ കേൾക്കാം, അതായത് ഒരേ ഒബ്ജക്റ്റ്.

ഗണിത വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു റാഡിക്കൽ നമ്പർ, കൂടാതെ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ, "റാഡിക്കൽ നമ്പർ" എന്ന പദം പലപ്പോഴും "റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ" ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നൊട്ടേഷനിൽ നമ്പർ 151 ഒരു റാഡിക്കൽ സംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ നൊട്ടേഷനിൽ a എന്ന പദപ്രയോഗം ഒരു സമൂലമായ പദപ്രയോഗമാണ്.

വായിക്കുമ്പോൾ, "ഗണിതം" എന്ന വാക്ക് പലപ്പോഴും ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, എൻട്രി "ഏഴ് പോയിൻ്റ് ഇരുപത്തിയൊമ്പതിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം" എന്ന് വായിക്കുന്നു. അവർ അത് ഊന്നിപ്പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ മാത്രമാണ് "ഗണിതം" എന്ന വാക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്പ്രത്യേകിച്ച് ഒരു സംഖ്യയുടെ പോസിറ്റീവ് സ്ക്വയർ റൂട്ടിനെക്കുറിച്ച്.

അവതരിപ്പിച്ച നൊട്ടേഷൻ്റെ വെളിച്ചത്തിൽ, ഒരു ഗണിത സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, ഏത് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയ്ക്കും a .

a എന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചാണ് എഴുതുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, 13 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ, ഒപ്പം . പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം പൂജ്യമാണ്, അതായത്, . നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾക്കായി, ഞങ്ങൾ പഠിക്കുന്നത് വരെ നൊട്ടേഷനിൽ അർത്ഥം ചേർക്കില്ല സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, പദപ്രയോഗങ്ങൾ അർത്ഥശൂന്യമാണ്.

വർഗ്ഗമൂലത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു, അവ പലപ്പോഴും പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ഉപസംഹാരത്തിൽ, a എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ x എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് x 2 =a ഫോമിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട്

ക്യൂബ് റൂട്ടിൻ്റെ നിർവ്വചനംസംഖ്യയുടെ a വർഗ്ഗമൂലത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിന് സമാനമായി നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഇത് ഒരു സംഖ്യയുടെ ഒരു ക്യൂബ് എന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, ഒരു ചതുരമല്ല.

നിർവ്വചനം

a യുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട്ക്യൂബ് a ന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

കൊടുക്കാം ക്യൂബ് വേരുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിരവധി സംഖ്യകൾ എടുക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, 7, 0, −2/3, അവയെ ക്യൂബ് ചെയ്യുക: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . തുടർന്ന്, ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് 7 എന്നത് 343 ൻ്റെ ക്യൂബ് റൂട്ടാണെന്നും 0 പൂജ്യത്തിൻ്റെ ക്യൂബ് റൂട്ടാണെന്നും −2/3 എന്നത് -8/27 ൻ്റെ ക്യൂബ് റൂട്ടാണെന്നും പറയാം.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട്, സ്ക്വയർ റൂട്ടിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത a യ്ക്ക് മാത്രമല്ല, ഏത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും എല്ലായ്പ്പോഴും നിലവിലുണ്ടെന്ന് കാണിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സ്ക്വയർ റൂട്ടുകൾ പഠിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ച അതേ രീതി നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം.

മാത്രവുമല്ല, തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെ ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ. അവസാന പ്രസ്താവന തെളിയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മൂന്ന് കേസുകൾ വെവ്വേറെ പരിഗണിക്കുക: a ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ, a=0, a എന്നത് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

a പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, a യുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയോ പൂജ്യമോ ആകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. തീർച്ചയായും, b എന്നത് a യുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് ആകട്ടെ, പിന്നെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് b 3 =a എന്ന സമത്വം എഴുതാം. ഈ സമത്വം നെഗറ്റീവ് b നും b=0 നും ശരിയാകില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, കാരണം ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ b 3 =b·b·b യഥാക്രമം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കും. അതിനാൽ a പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

ഇപ്പോൾ b എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് പുറമേ a എന്ന സംഖ്യയുടെ മറ്റൊരു ക്യൂബ് റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, നമുക്ക് അത് c എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ c 3 =a. അതിനാൽ, b 3 -c 3 =a−a=0, പക്ഷേ b 3 -c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(ഇതാണ് ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യം സമചതുര വ്യത്യാസം), എവിടെ നിന്ന് (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വം b−c=0 അല്ലെങ്കിൽ b 2 +b·c+c 2 =0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. ആദ്യത്തെ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് b=c ഉണ്ട്, രണ്ടാമത്തെ സമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, കാരണം അതിൻ്റെ ഇടതുവശം ഏത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും b, c എന്നീ മൂന്ന് പോസിറ്റീവ് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. ഇത് a എന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ടിൻ്റെ പ്രത്യേകത തെളിയിക്കുന്നു.

a=0 ആകുമ്പോൾ, a എന്ന സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് പൂജ്യം സംഖ്യ മാത്രമാണ്. തീർച്ചയായും, പൂജ്യത്തിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ക്യൂബ് റൂട്ട് ആയ ഒരു സംഖ്യ b ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, b 3 =0 എന്ന തുല്യത നിലനിർത്തണം, അത് b=0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ.

നെഗറ്റീവ് എയ്‌ക്ക്, പോസിറ്റീവ് എയ്‌ക്ക് സമാനമായ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ നൽകാം. ആദ്യം, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്‌ക്കോ പൂജ്യത്തിനോ തുല്യമാകില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു. രണ്ടാമതായി, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ക്യൂബ് റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയും അത് ആദ്യത്തേതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുമെന്ന് കാണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ടും ഒരു അതുല്യമായ സംഖ്യയും എപ്പോഴും ഉണ്ടായിരിക്കും.

കൊടുക്കാം ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനം.

നിർവ്വചനം

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ട് aഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അതിൻ്റെ ക്യൂബ് a ന് തുല്യമാണ്.

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ട് എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, ചിഹ്നത്തെ ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ടിൻ്റെ അടയാളം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഈ നൊട്ടേഷനിലെ നമ്പർ 3 എന്ന് വിളിക്കുന്നു റൂട്ട് സൂചിക. റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യയാണ് റാഡിക്കൽ നമ്പർ, റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ.

ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യകൾക്ക് മാത്രമേ നിർവചിച്ചിട്ടുള്ളൂവെങ്കിലും, ഗണിത ക്യൂബ് റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ കാണപ്പെടുന്ന നൊട്ടേഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതും സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഞങ്ങൾ അവയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മനസ്സിലാക്കും: , ഇവിടെ a എന്നത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, .

വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങൾ എന്ന പൊതു ലേഖനത്തിൽ ക്യൂബ് വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ സംസാരിക്കും.

ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിനെ ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു; വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്ന ലേഖനത്തിൽ ഈ പ്രവർത്തനം ചർച്ചചെയ്യുന്നു: രീതികൾ, ഉദാഹരണങ്ങൾ, പരിഹാരങ്ങൾ.

ഈ പോയിൻ്റ് അവസാനിപ്പിക്കാൻ, a എന്ന സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് x 3 =a എന്ന ഫോമിൻ്റെ പരിഹാരമാണെന്ന് പറയാം.

nth റൂട്ട്, n ഡിഗ്രിയുടെ ഗണിതമൂല്യം

ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എന്ന ആശയം നമുക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കാം - ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു nth റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനംവേണ്ടി n.

നിർവ്വചനം

a യുടെ nth റൂട്ട് a ന് തുല്യമായ nth ശക്തിയുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ്.

നിന്ന് ഈ നിർവചനം a എന്ന സംഖ്യയുടെ ആദ്യ ഡിഗ്രി റൂട്ട് a എന്ന സംഖ്യ തന്നെയാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, കാരണം ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രി പഠിക്കുമ്പോൾ നമ്മൾ 1 =a എടുത്തിരുന്നു.

n=2, n=3 എന്നിവയ്‌ക്കായുള്ള nth റൂട്ടിൻ്റെ പ്രത്യേക കേസുകൾ ഞങ്ങൾ മുകളിൽ നോക്കി - സ്‌ക്വയർ റൂട്ടും ക്യൂബ് റൂട്ടും. അതായത്, ഒരു വർഗ്ഗമൂല്യം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു മൂലമാണ്, ഒരു ക്യൂബ് റൂട്ട് മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു മൂലമാണ്. n=4, 5, 6, ... എന്നതിനായുള്ള nth ഡിഗ്രിയുടെ വേരുകൾ പഠിക്കാൻ, അവയെ രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്: ആദ്യ ഗ്രൂപ്പ് - ഇരട്ട ഡിഗ്രികളുടെ വേരുകൾ (അതായത്, n = 4, 6, 8 ന് , ...), രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ് - വേരുകൾ ഒറ്റ ഡിഗ്രി (അതായത്, n=5, 7, 9, ...). ഇരട്ട ശക്തികളുടെ വേരുകൾ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ്, ഒറ്റ ശക്തികളുടെ വേരുകൾ ക്യൂബിക് വേരുകൾക്ക് സമാനമാണ് എന്നതാണ് ഇതിന് കാരണം. നമുക്ക് അവ ഓരോന്നായി കൈകാര്യം ചെയ്യാം.

4, 6, 8, എന്നീ ഇരട്ട സംഖ്യകളുള്ള വേരുകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം ... ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പറഞ്ഞതുപോലെ, അവ a എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് സമാനമാണ്. അതായത്, a എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏതെങ്കിലും ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് നെഗറ്റീവല്ലാത്ത a യ്ക്ക് മാത്രമേ നിലനിൽക്കൂ. മാത്രമല്ല, a=0 ആണെങ്കിൽ, a യുടെ റൂട്ട് അദ്വിതീയവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യവുമാണ്, കൂടാതെ a>0 ആണെങ്കിൽ, a എന്ന സംഖ്യയുടെ ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്, അവ വിപരീത സംഖ്യകളാണ്.

അവസാനത്തെ പ്രസ്താവനയെ നമുക്ക് സാധൂകരിക്കാം. b ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു റൂട്ട് ആയിരിക്കട്ടെ (ഞങ്ങൾ അതിനെ 2 മീറ്റർ ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇവിടെ m എന്നത് ചിലതാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ) എ നമ്പറിൽ നിന്ന്. ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക - a എന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഡിഗ്രി 2·m ൻ്റെ മറ്റൊരു റൂട്ട്. അപ്പോൾ b 2·m -c 2·m =a−a=0 . എന്നാൽ നമുക്ക് b 2 m -c 2 m = (b−c) (b+c) ഫോം അറിയാം. (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), പിന്നെ (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നത് b−c=0, അല്ലെങ്കിൽ b+c=0, അല്ലെങ്കിൽ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. ആദ്യത്തെ രണ്ട് തുല്യതകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകൾ തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ ബിയും സിയും വിപരീതമാണ്. അവസാനത്തെ സമത്വം b=c=0 ന് മാത്രമേ സാധുതയുള്ളൂ, കാരണം അതിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഏതെങ്കിലും b-നും c-നും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത ഒരു പദപ്രയോഗം ഉണ്ട്, നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക.

ഒറ്റ n ൻ്റെ nth ഡിഗ്രിയുടെ വേരുകളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അവ ക്യൂബ് റൂട്ടിന് സമാനമാണ്. അതായത്, a എന്ന സംഖ്യയുടെ ഏതെങ്കിലും ഒറ്റ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും a നിലവിലുണ്ട്, തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയ്ക്ക് അത് അദ്വിതീയമാണ്.

a എന്ന സംഖ്യയുടെ ഒറ്റ ഡിഗ്രി 2·m+1 ൻ്റെ ഒരു മൂലത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകത, a യുടെ ക്യൂബ് റൂട്ടിൻ്റെ അദ്വിതീയതയുടെ തെളിവ് ഉപയോഗിച്ച് സാമ്യം തെളിയിക്കുന്നു. സമത്വത്തിനു പകരം ഇവിടെ മാത്രം a 3 -b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) b 2 m+1 -c 2 m+1 = ഫോമിൻ്റെ ഒരു തുല്യത ഉപയോഗിക്കുന്നു (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). അവസാന ബ്രാക്കറ്റിലെ പദപ്രയോഗം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). ഉദാഹരണത്തിന്, m=2 ഉപയോഗിച്ച് നമുക്കുണ്ട് b 5 -c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). a, b എന്നിവ രണ്ടും പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, പിന്നെ പരാൻതീസിസിൽ തന്നെ b 2 +c 2 +b·c എന്ന പദപ്രയോഗം ഉയർന്ന ബിരുദംനെസ്റ്റിംഗ്, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായി പോസിറ്റീവ് ആണ്. ഇപ്പോൾ, നെസ്റ്റിംഗിൻ്റെ മുൻ ഡിഗ്രികളുടെ ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ എക്സ്പ്രഷനുകളിലേക്ക് തുടർച്ചയായി നീങ്ങുമ്പോൾ, അവയും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായി പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ബോധ്യമുണ്ട്. തൽഫലമായി, തുല്യത b 2 m+1 -c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 b−c=0, അതായത് b എന്ന സംഖ്യ c എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ.

Nth വേരുകളുടെ നൊട്ടേഷൻ മനസ്സിലാക്കേണ്ട സമയമാണിത്. ഇതിനായി നൽകിയിട്ടുണ്ട് nth ഡിഗ്രിയുടെ ഗണിത മൂലത്തിൻ്റെ നിർവചനം.

നിർവ്വചനം

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ nth ഡിഗ്രിയുടെ ഗണിതമൂല്യം aഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അതിൻ്റെ nth പവർ a ന് തുല്യമാണ്.

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഭൂമിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം 81 dm² ആണ്. അവൻ്റെ വശം കണ്ടെത്തുക. ചതുരത്തിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളം ആണെന്ന് കരുതുക എക്സ്ഡെസിമീറ്ററുകൾ. അപ്പോൾ പ്ലോട്ടിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എക്സ്² ചതുരശ്ര ഡെസിമീറ്റർ. വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ഈ പ്രദേശം 81 dm² ന് തുല്യമായതിനാൽ എക്സ്² = 81. ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്തിൻ്റെ നീളം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. 81 ആയ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ സംഖ്യ 9 ആണ്. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, 81 ആയ സംഖ്യ x കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എക്സ്² = 81. ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: x 1 = 9 ഒപ്പം x 2 = - 9, 9² = 81 ഉം (- 9)² = 81 ഉം ആയതിനാൽ. 9, - 9 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളെയും 81 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സ്ക്വയർ റൂട്ടുകളിലൊന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക എക്സ്= 9 ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. ഇതിനെ 81 ൻ്റെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂലമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് √81 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ √81 = 9.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം എചതുരത്തിന് തുല്യമായ ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയാണ് എ.

ഉദാഹരണത്തിന്, 6, - 6 എന്നീ സംഖ്യകൾ 36 എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങളാണ്. എന്നിരുന്നാലും, 6 എന്നത് 36-ൻ്റെ ഒരു ഗണിത വർഗ്ഗമൂലമാണ്, കാരണം 6 എന്നത് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയും 6² = 36 ആണ്. സംഖ്യ - 6 ഒരു അല്ല. ഗണിത റൂട്ട്.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം എഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: √ എ.

ചിഹ്നത്തെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു; എ- ഒരു റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എക്സ്പ്രഷൻ √ എവായിച്ചു ഇതുപോലെ: ഒരു സംഖ്യയുടെ ഗണിത വർഗ്ഗമൂല്യം എ.ഉദാഹരണത്തിന്, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. നമ്മൾ ഒരു ഗണിത മൂലത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് വ്യക്തമാകുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ, അവർ ചുരുക്കമായി പറയുന്നു: “ഇതിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം എ«.

ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ സ്ക്വയർ റൂട്ടിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം സ്ക്വയറിംഗിൻ്റെ വിപരീതമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് ഏത് സംഖ്യയും സ്‌ക്വയർ ചെയ്യാം, എന്നാൽ ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്നും സ്‌ക്വയർ റൂട്ടുകൾ എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റ് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യുന്നത് അസാധ്യമാണ് - 4. അത്തരമൊരു റൂട്ട് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നു എക്സ്, ഇടതുവശത്ത് ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയും വലതുവശത്ത് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയും ഉള്ളതിനാൽ നമുക്ക് തെറ്റായ തുല്യത x² = - 4 ലഭിക്കും.

എക്സ്പ്രഷൻ √ എഎപ്പോൾ മാത്രമേ അർത്ഥമുള്ളൂ ഒരു ≥ 0. സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനം ഇങ്ങനെ ചുരുക്കി എഴുതാം: √ ഒരു ≥ 0, (√എ)² = എ. സമത്വം (√ എ)² = എസാധുതയുള്ള ഒരു ≥ 0. അങ്ങനെ, ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഉറപ്പാക്കാൻ എതുല്യമാണ് ബി, അതായത് വസ്തുതയിൽ √ എ =ബി, ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് നിബന്ധനകൾ പാലിച്ചിട്ടുണ്ടോയെന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്: b≥ 0, ബി² = എ.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ചതുരാകൃതി

നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. √25 = 5, √36 = 6 എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, സമത്വം നിലവിലുണ്ടോ എന്ന് നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം.

കാരണം പിന്നെ, സമത്വം സത്യമാണ്. അതിനാൽ, .

സിദ്ധാന്തം:എങ്കിൽ എ≥ 0 ഒപ്പം ബി> 0, അതായത്, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ റൂട്ട് ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ റൂട്ട് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ സംഖ്യയുടെ റൂട്ടിന് തുല്യമാണ്. അത് തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: കൂടാതെ .

മുതൽ √ എ≥0 ഒപ്പം √ ബി> 0, പിന്നെ .

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടിയിലും ഒരു സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനത്തിലും സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്. ഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടുക .

രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം: അത് തെളിയിക്കുക , എങ്കിൽ എ ≤ 0, ബി < 0. .

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: കണക്കുകൂട്ടുക.

.

സ്ക്വയർ റൂട്ട് പരിവർത്തനം

റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നിന്ന് ഗുണനം നീക്കംചെയ്യുന്നു. എക്സ്പ്രഷൻ കൊടുക്കാം. എങ്കിൽ എ≥ 0 ഒപ്പം ബി≥ 0, തുടർന്ന് ഉൽപ്പന്ന റൂട്ട് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് എഴുതാം:

ഈ പരിവർത്തനത്തെ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഘടകം നീക്കംചെയ്യൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം;

എന്നതിൽ കണക്കാക്കുക എക്സ്= 2. നേരിട്ടുള്ള പകരം വയ്ക്കൽ എക്സ്റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനിലെ = 2 സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഘടകങ്ങൾ നിങ്ങൾ ആദ്യം നീക്കം ചെയ്താൽ ഈ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാം: . ഇപ്പോൾ x = 2 പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:.

അതിനാൽ, റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നിന്ന് ഘടകം നീക്കംചെയ്യുമ്പോൾ, ഒന്നോ അതിലധികമോ ഘടകങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളാകുന്ന ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. തുടർന്ന് ഉൽപ്പന്ന റൂട്ട് സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിച്ച് ഓരോ ഘടകത്തിൻ്റെയും റൂട്ട് എടുക്കുക. നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കാം: റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തെ രണ്ട് പദങ്ങളിലെ ഘടകങ്ങൾ എടുത്ത് A = √8 + √18 - 4√2 എന്ന പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: ആ സമത്വത്തിന് ഞങ്ങൾ ഊന്നൽ നൽകുന്നു എപ്പോൾ മാത്രമേ സാധുതയുള്ളൂ എ≥ 0 ഒപ്പം ബി≥ 0. എങ്കിൽ എ < 0, то .

അത് അടുക്കാൻ സമയമായി റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ രീതികൾ. അവ വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും, തുല്യതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഏത് നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയും ബി.

വേരുകൾ ഓരോന്നായി വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതികൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ നോക്കും.

നമുക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം - ചതുരങ്ങളുടെ പട്ടിക, ക്യൂബുകളുടെ ഒരു പട്ടിക മുതലായവ ഉപയോഗിച്ച് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

ചതുരങ്ങൾ, ക്യൂബുകൾ മുതലായവയുടെ പട്ടികകൾ ആണെങ്കിൽ. നിങ്ങളുടെ കയ്യിൽ അത് ഇല്ലെങ്കിൽ, റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്, അതിൽ റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു.

വിചിത്ര ഘാതകങ്ങളുള്ള വേരുകൾക്ക് സാധ്യമായത് എന്താണെന്ന് പ്രത്യേകം പരാമർശിക്കേണ്ടതാണ്.

അവസാനമായി, റൂട്ട് മൂല്യത്തിൻ്റെ അക്കങ്ങൾ തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു രീതി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

സ്ക്വയറുകളുടെ ഒരു ടേബിൾ, ക്യൂബുകളുടെ ഒരു ടേബിൾ മുതലായവ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഏറ്റവും ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സ്ക്വയറുകളുടെ പട്ടികകൾ, ക്യൂബുകൾ മുതലായവ വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. എന്താണ് ഈ പട്ടികകൾ?

0 മുതൽ 99 വരെയുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ പട്ടിക (ചുവടെ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത്) രണ്ട് സോണുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. പട്ടികയുടെ ആദ്യ സോൺ ചാരനിറത്തിലുള്ള പശ്ചാത്തലത്തിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്; ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട വരിയും ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട നിരയും തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ, 0 മുതൽ 99 വരെയുള്ള ഒരു സംഖ്യ രചിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 8 ടെൻസിൻ്റെ ഒരു വരിയും 3 യൂണിറ്റുകളുടെ ഒരു നിരയും തിരഞ്ഞെടുക്കാം, ഇതുപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ 83 എന്ന നമ്പർ ഉറപ്പിച്ചു. രണ്ടാമത്തെ സോൺ പട്ടികയുടെ ബാക്കി ഭാഗങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഓരോ സെല്ലും ഒരു നിശ്ചിത വരിയുടെയും ഒരു നിശ്ചിത നിരയുടെയും കവലയിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്, കൂടാതെ 0 മുതൽ 99 വരെയുള്ള അനുബന്ധ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത 8 ടെൻ നിരയുടെയും കോളം 3 ൻ്റെയും കവലയിൽ 6,889 എന്ന നമ്പറുള്ള ഒരു സെല്ലുണ്ട്, അത് 83 എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമാണ്.

ക്യൂബുകളുടെ പട്ടികകൾ, 0 മുതൽ 99 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ നാലാമത്തെ ശക്തികളുടെ പട്ടികകൾ, അങ്ങനെ പലതും ചതുരങ്ങളുടെ പട്ടികയ്ക്ക് സമാനമാണ്, അവയിൽ മാത്രമേ രണ്ടാം സോണിൽ ക്യൂബുകൾ, നാലാമത്തെ ശക്തികൾ മുതലായവ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ. അനുബന്ധ സംഖ്യകൾ.

ചതുരങ്ങൾ, സമചതുരങ്ങൾ, നാലാമത്തെ ശക്തികൾ മുതലായവയുടെ പട്ടികകൾ. വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ, ക്യൂബ് റൂട്ടുകൾ, നാലാമത്തെ വേരുകൾ മുതലായവ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അതനുസരിച്ച് ഈ പട്ടികകളിലെ അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന്. വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുമ്പോൾ അവയുടെ ഉപയോഗത്തിൻ്റെ തത്വം നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം.

നമുക്ക് a എന്ന സംഖ്യയുടെ nth റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യേണ്ടതുണ്ടെന്ന് പറയാം, അതേസമയം a എന്ന സംഖ്യ nth ശക്തികളുടെ പട്ടികയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, a=b n എന്ന സംഖ്യ b കണ്ടെത്തുന്നു. പിന്നെ അതിനാൽ, b എന്ന സംഖ്യ nth ഡിഗ്രിയുടെ ആവശ്യമുള്ള റൂട്ടായിരിക്കും.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, 19,683-ൻ്റെ ക്യൂബ് റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യാൻ ഒരു ക്യൂബ് ടേബിൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് കാണിക്കാം. ക്യൂബുകളുടെ പട്ടികയിൽ ഞങ്ങൾ 19,683 എന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നു, അതിൽ നിന്ന് ഈ സംഖ്യ 27 എന്ന സംഖ്യയുടെ ക്യൂബാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതിനാൽ, .

വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ nth ശക്തികളുടെ പട്ടികകൾ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, അവ പലപ്പോഴും കൈയിലില്ല, അവ കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിന് കുറച്ച് സമയം ആവശ്യമാണ്. മാത്രമല്ല, അനുബന്ധ പട്ടികകളിൽ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റ് രീതികൾ അവലംബിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നു

മതി സൗകര്യപ്രദമായ രീതിയിൽ, ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നത് (തീർച്ചയായും, റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുത്താൽ), റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതാണ്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ കാര്യം ഇതാണ്: അതിനുശേഷം അതിനെ ഒരു ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ് ആവശ്യമായ സൂചകം, ഇത് റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം നേടാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ കാര്യം വ്യക്തമാക്കാം.

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ n-ാമത്തെ റൂട്ട് എടുക്കട്ടെ, അതിൻ്റെ മൂല്യം b ആകട്ടെ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, a=b n എന്ന തുല്യത ശരിയാണ്. ഏതൊരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും പോലെ, b എന്ന സംഖ്യ, അതിൻ്റെ എല്ലാ പ്രധാന ഘടകങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം p 1 , p 2 , ..., p m എന്ന രൂപത്തിൽ p 1 ·p 2 ·…·p m , കൂടാതെ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ റാഡിക്കൽ നമ്പർ a (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയെ പ്രൈം ഫാക്ടറുകളാക്കി വിഘടിപ്പിക്കുന്നത് അദ്വിതീയമായതിനാൽ, റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ പ്രൈം ഫാക്ടറുകളിലേക്കുള്ള വിഘടനത്തിന് ഫോം (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ഉണ്ടായിരിക്കും, ഇത് റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. പോലെ.

ഒരു റാഡിക്കൽ സംഖ്യയുടെ പ്രൈം ഫാക്ടറുകളിലേക്കുള്ള വിഘടനം (p 1 ·p 2 ·...·p m) n എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു സംഖ്യയുടെ nth റൂട്ട് പൂർണ്ണമായും വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ഇത് കണ്ടെത്താം.

ഉദാഹരണം.

144 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമെടുക്കുക.

പരിഹാരം.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരങ്ങളുടെ പട്ടിക നോക്കിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് 144 = 12 2 എന്ന് വ്യക്തമായി കാണാൻ കഴിയും, അതിൽ നിന്ന് 144 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം 12 ന് തുല്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

എന്നാൽ ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ വെളിച്ചത്തിൽ, 144 എന്ന റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിച്ച് റൂട്ട് എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു എന്നതിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. ഈ പരിഹാരം നോക്കാം.

നമുക്ക് വിഘടിപ്പിക്കാം 144 മുതൽ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ വരെ:

അതായത്, 144=2·2·2·2·3·3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വിഘടനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. അതിനാൽ, .

ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണങ്ങളും വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്, പരിഹാരം അല്പം വ്യത്യസ്തമായി രൂപപ്പെടുത്താം: .

ഉത്തരം:

മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം.

റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

243 എന്ന റാഡിക്കൽ സംഖ്യയുടെ പ്രൈം ഫാക്‌ടറൈസേഷന് 243=3 5 എന്ന രൂപമുണ്ട്. അങ്ങനെ, .

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം.

റൂട്ട് മൂല്യം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണോ?

പരിഹാരം.

ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, നമുക്ക് റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ പ്രൈം ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഫാക്ടർ ചെയ്ത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഒരു ക്യൂബായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നോക്കാം.

ഞങ്ങൾക്ക് 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 ഉണ്ട്. പ്രൈം ഫാക്ടർ 7 ൻ്റെ ശക്തി മൂന്നിൻ്റെ ഗുണിതമല്ലാത്തതിനാൽ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വികാസത്തെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഒരു ക്യൂബായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, 285,768 എന്ന ക്യൂബ് റൂട്ട് പൂർണ്ണമായും വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഉത്തരം:

ഇല്ല.

ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു

റൂട്ട് എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചെടുക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കേണ്ട സമയമാണിത് ഭിന്നസംഖ്യ. ഫ്രാക്ഷണൽ റാഡിക്കൽ നമ്പർ p/q എന്ന് എഴുതട്ടെ. ഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ മൂലത്തിൻ്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം ശരിയാണ്. ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്നാണ് അത് പിന്തുടരുന്നത് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം: ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂലഭാഗം ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ റൂട്ട് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ സംഖ്യയുടെ മൂലത്തിൻ്റെ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

എന്താണ് വർഗ്ഗമൂല്യം പൊതു അംശം 25/169 .

പരിഹാരം.

ചതുരങ്ങളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, യഥാർത്ഥ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം 5 നും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം 13 നും തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. പിന്നെ . ഇത് 25/169 എന്ന പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ പൂർത്തിയാക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

റാഡിക്കൽ സംഖ്യകളെ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിന് ശേഷം ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെയോ മിക്സഡ് സംഖ്യയുടെയോ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.

474.552 എന്ന ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് റൂട്ട് എടുക്കുക.

പരിഹാരം.

നമുക്ക് ഒറിജിനൽ സങ്കൽപ്പിക്കാം ദശാംശംഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയായി: 474.552=474552/1000. പിന്നെ . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലുമുള്ള ക്യൂബ് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. കാരണം 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3, 1 000 = 10 3, പിന്നെ ഒപ്പം . കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പൂർത്തിയാക്കാൻ മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത് .

ഉത്തരം:

.

ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എടുക്കൽ

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്. വേരുകൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, റൂട്ട് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഒറ്റ സംഖ്യയാകുമ്പോൾ, റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ഉണ്ടാകാമെന്ന് ഞങ്ങൾ പറഞ്ഞു. ഈ എൻട്രികൾക്ക് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അർത്ഥം നൽകി: ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്കും 2 n−1 എന്ന റൂട്ടിൻ്റെ ഒറ്റ ഘാതം, . ഈ സമത്വം നൽകുന്നു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഒറ്റമൂലികൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം: ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ വിപരീത പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഫലത്തിന് മുന്നിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഇടുക.

ഉദാഹരണം പരിഹാരം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

മൂല ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ വരുന്ന തരത്തിൽ യഥാർത്ഥ എക്സ്പ്രഷൻ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: . ഇപ്പോൾ മിക്സഡ് സംഖ്യയെ ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: . ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു: . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിലെയും ഡിനോമിനേറ്ററിലെയും വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു: .

പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഒരു ഹ്രസ്വ സംഗ്രഹം ഇതാ: .

ഉത്തരം:

.

റൂട്ട് മൂല്യത്തിൻ്റെ ബിറ്റ്വൈസ് നിർണ്ണയം

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുടെ nth ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു സംഖ്യ റൂട്ടിന് കീഴിൽ ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന റൂട്ടിൻ്റെ അർത്ഥം അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, കുറഞ്ഞത് ഒരു നിശ്ചിത അടയാളം വരെ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യുന്നതിന്, ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യയുടെ മതിയായ എണ്ണം അക്ക മൂല്യങ്ങൾ തുടർച്ചയായി നേടാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കാം.

ഈ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഘട്ടം റൂട്ട് മൂല്യത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ബിറ്റ് എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സംഖ്യകൾ 0, 10, 100, ... തുടർച്ചയായി പവർ n ലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു, ഒരു സംഖ്യ റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ കവിയുന്ന നിമിഷം വരെ. മുമ്പത്തെ ഘട്ടത്തിൽ ഞങ്ങൾ പവർ n-ലേക്ക് ഉയർത്തിയ സംഖ്യ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട അക്കത്തെ സൂചിപ്പിക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, അഞ്ചിൻ്റെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യുമ്പോൾ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ഈ ഘട്ടം പരിഗണിക്കുക. 0, 10, 100, ... എന്നീ സംഖ്യകൾ എടുത്ത് 5-നേക്കാൾ വലിയൊരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതുവരെ അവയെ സമചതുരമാക്കുക. ഞങ്ങൾക്ക് 0 2 =0 ഉണ്ട്<5 , 10 2 =100>5, അതായത് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട അക്കം ഒറ്റ അക്കമായിരിക്കും. ഈ ബിറ്റിൻ്റെ മൂല്യവും താഴ്ന്നവയും റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്ഷൻ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ അടുത്ത ഘട്ടങ്ങളിൽ കണ്ടെത്തും.

അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ എല്ലാ തുടർന്നുള്ള ഘട്ടങ്ങളും റൂട്ടിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യത്തിൻ്റെ അടുത്ത ബിറ്റുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, ഏറ്റവും ഉയർന്നതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് ഏറ്റവും താഴ്ന്നവയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം തുടർച്ചയായി വ്യക്തമാക്കാൻ ലക്ഷ്യമിടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യ ഘട്ടത്തിലെ റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം 2 ആയി മാറുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ - 2.2, മൂന്നാമത്തേതിൽ - 2.23, അങ്ങനെ 2.236067977.... അക്കങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നമുക്ക് വിവരിക്കാം.

സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളായ 0, 1, 2, ..., 9 എന്നിവയിലൂടെ തിരഞ്ഞാണ് അക്കങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അനുബന്ധ സംഖ്യകളുടെ nth ശക്തികൾ സമാന്തരമായി കണക്കാക്കുന്നു, അവ റാഡിക്കൽ സംഖ്യയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു. ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ കവിയുന്നുവെങ്കിൽ, മുമ്പത്തെ മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അക്കത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തിയതായി കണക്കാക്കുകയും റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്ഷൻ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് മാറുകയും ചെയ്യുന്നു; ഇത് സംഭവിച്ചില്ലെങ്കിൽ, അപ്പോൾ ഈ അക്കത്തിൻ്റെ മൂല്യം 9 ആണ്.

അഞ്ചിൻ്റെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നതിൻ്റെ അതേ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ പോയിൻ്റുകൾ വിശദീകരിക്കാം.

ആദ്യം നമ്മൾ യൂണിറ്റുകളുടെ അക്കത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു. റാഡിക്കൽ നമ്പർ 5 നേക്കാൾ വലിയ മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ യഥാക്രമം 0, 1, 2, ..., 9 മൂല്യങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകും, ​​0 2, 1 2, ..., 9 2 കണക്കാക്കുന്നു. ഈ കണക്കുകൂട്ടലുകളെല്ലാം ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

അതിനാൽ യൂണിറ്റുകളുടെ അക്കത്തിൻ്റെ മൂല്യം 2 ആണ് (2 2 മുതൽ<5 , а 2 3 >5 ). പത്താം സ്ഥാനത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 എന്നീ സംഖ്യകളെ വർഗ്ഗീകരിക്കും, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യങ്ങളെ റാഡിക്കൽ നമ്പർ 5 മായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു:

2.2 മുതൽ 2<5 , а 2,3 2 >5, അപ്പോൾ പത്താം സ്ഥാനത്തിൻ്റെ മൂല്യം 2 ആണ്. നൂറാം സ്ഥാനത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് തുടരാം:

അഞ്ചിൻ്റെ റൂട്ടിൻ്റെ അടുത്ത മൂല്യം കണ്ടെത്തിയത് ഇങ്ങനെയാണ്, അത് 2.23 ന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് തുടരാം: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് നൂറിലൊന്ന് കൃത്യതയോടെ ഞങ്ങൾ റൂട്ടിൻ്റെ വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ വിശകലനം ചെയ്യും.

ആദ്യം നമ്മൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട അക്കം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ 0, 10, 100 മുതലായവ ക്യൂബ് ചെയ്യുന്നു. 2,151,186-നേക്കാൾ വലിയൊരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതുവരെ. ഞങ്ങൾക്ക് 0 3 =0 ഉണ്ട്<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , അതിനാൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട അക്കം പത്ത് അക്കമാണ്.

നമുക്ക് അതിൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കാം.

10 3 മുതൽ<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, അപ്പോൾ പത്ത് സ്ഥലത്തിൻ്റെ മൂല്യം 1 ആണ്. നമുക്ക് യൂണിറ്റുകളിലേക്ക് പോകാം.

അങ്ങനെ, വൺസ് അക്കത്തിൻ്റെ മൂല്യം 2 ആണ്. നമുക്ക് പത്തിലേക്ക് കടക്കാം.

12.9 3 പോലും റാഡിക്കൽ നമ്പർ 2 151.186 നേക്കാൾ കുറവായതിനാൽ, പത്താം സ്ഥാനത്തിൻ്റെ മൂല്യം 9 ആണ്. അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ അവസാന ഘട്ടം നിർവഹിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു; അത് ആവശ്യമായ കൃത്യതയോടെ റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം നമുക്ക് നൽകും.

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം നൂറിലൊന്ന് വരെ കൃത്യമായി കണ്ടെത്തുന്നു: .

ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ സമാപനത്തിൽ, വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ മറ്റ് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞാൻ പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. എന്നാൽ മിക്ക ജോലികൾക്കും, നമ്മൾ മുകളിൽ പഠിച്ചവ മതിയാകും.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• മകാരിചെവ് യു.എൻ., മിൻഡ്യൂക്ക് എൻ.ജി., നെഷ്കോവ് കെ.ഐ., സുവോറോവ എസ്.ബി. ബീജഗണിതം: എട്ടാം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.
• കോൾമോഗോറോവ് എ.എൻ., അബ്രമോവ് എ.എം., ഡഡ്നിറ്റ്സിൻ യു.പി. ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും: പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ 10 - 11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.
• ഗുസെവ് വി.എ., മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി. ഗണിതശാസ്ത്രം (സാങ്കേതികവിദ്യാലയങ്ങളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ).