പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ പറ്റുമോ? അപ്പോൾ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ പറ്റുമോ? ഉയർന്ന ഗണിതത്തിൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജനം

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഒരു പ്രത്യേക നർമ്മബോധം ഉണ്ട്, കണക്കുകൂട്ടലുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില ചോദ്യങ്ങൾ ഇനി ഗൗരവമായി എടുക്കില്ല. എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതെന്ന് അവർ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും നിങ്ങളോട് വിശദീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുകയാണോ അതോ ഇത് മറ്റൊരു തമാശയാണോ എന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യക്തമല്ല. എന്നാൽ ചോദ്യം തന്നെ അത്ര വ്യക്തമല്ല; പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിൽ ഒരാൾക്ക് അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിൽ തികച്ചും യുക്തിസഹമായി എത്താൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ മറ്റ് പ്രാരംഭ അവസ്ഥകൾ ഉണ്ടാകാം.

പൂജ്യം എപ്പോഴാണ് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത്?

പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യ നിരവധി നിഗൂഢതകൾ നിറഞ്ഞതാണ്:

• IN പുരാതന റോംഅവർക്ക് ഈ നമ്പർ അറിയില്ലായിരുന്നു; റഫറൻസ് സിസ്റ്റം ഐയിൽ നിന്നാണ് ആരംഭിച്ചത്.
• വളരെക്കാലമായി, അറബികളും ഇന്ത്യക്കാരും പൂജ്യത്തിൻ്റെ പൂർവ്വികർ എന്ന് വിളിക്കാനുള്ള അവകാശത്തിനായി വാദിച്ചു.
• മായൻ സംസ്കാരത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങൾ ഇത് തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട് പുരാതന നാഗരികതപൂജ്യം ഉപയോഗിക്കുന്ന കാര്യത്തിൽ ആദ്യത്തേത് ആകുമായിരുന്നു.
• പൂജ്യത്തിന് സംഖ്യാ മൂല്യമില്ല, ചുരുങ്ങിയത് പോലുമില്ല.
• ഇത് അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒന്നുമല്ല, എണ്ണേണ്ട കാര്യങ്ങളുടെ അഭാവം.

പ്രാകൃത വ്യവസ്ഥയിൽ അത്തരമൊരു രൂപത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക ആവശ്യമൊന്നുമില്ല; എന്തിൻ്റെയെങ്കിലും അഭാവം വാക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കാം. എന്നാൽ നാഗരികതയുടെ ആവിർഭാവത്തോടെ, വാസ്തുവിദ്യയിലും എഞ്ചിനീയറിംഗിലും മനുഷ്യൻ്റെ ആവശ്യങ്ങളും വർദ്ധിച്ചു.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താനും പുതിയ ഫംഗ്ഷനുകൾ നേടാനും, അത് ആവശ്യമായിരുന്നു എന്തിൻ്റെയെങ്കിലും പൂർണ്ണമായ അഭാവം സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ.

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ പറ്റുമോ?

ഇതുണ്ട് തികച്ചും വിരുദ്ധമായ രണ്ട് അഭിപ്രായങ്ങൾ:

സ്കൂളിൽ, പ്രാഥമിക ഗ്രേഡുകളിൽ പോലും, നിങ്ങൾ ഒരിക്കലും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കരുതെന്ന് അവർ പഠിപ്പിക്കുന്നു. ഇത് വളരെ ലളിതമായി വിശദീകരിച്ചിരിക്കുന്നു:

1. നിങ്ങൾക്ക് 20 ടാംഗറിൻ കഷ്ണങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക.
2. അവയെ 5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നിങ്ങൾ അഞ്ച് സുഹൃത്തുക്കൾക്ക് 4 സ്ലൈസുകൾ നൽകും.
3. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് പ്രവർത്തിക്കില്ല, കാരണം ഒരാൾ തമ്മിലുള്ള വിഭജന പ്രക്രിയ നടക്കില്ല.

തീർച്ചയായും, ഇത് ഒരു ആലങ്കാരിക വിശദീകരണമാണ്, വലിയതോതിൽ ലളിതവും യാഥാർത്ഥ്യവുമായി പൂർണ്ണമായും പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. എന്നാൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഒന്നിനെ ഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അർത്ഥശൂന്യത അത് വളരെ ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്ന രീതിയിൽ വിശദീകരിക്കുന്നു.

എല്ലാത്തിനുമുപരി, വാസ്തവത്തിൽ, ഈ രീതിയിൽ വിഭജനത്തിൻ്റെ അഭാവത്തിൻ്റെ വസ്തുതയെ സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സങ്കീർണ്ണമാക്കുന്നതും വിഭജനത്തിൻ്റെ അഭാവം എഴുതുന്നതും എന്തുകൊണ്ട്?

പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുമോ?

പ്രായോഗിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ, പൂജ്യം ഉൾപ്പെടുന്ന ഏതെങ്കിലും വിഭജനം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ അവരുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ വ്യക്തമാണ്:

• പൂജ്യം വിഭജിക്കാം.
• വിഭജനത്തിന് ഏത് നമ്പറും ഉപയോഗിക്കാം.
• നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

മൂന്നാമത്തെ പോയിൻ്റ് ചെറിയ അമ്പരപ്പിന് കാരണമായേക്കാം, കാരണം അതിന് മുകളിലുള്ള ഏതാനും ഖണ്ഡികകൾ അത്തരമൊരു വിഭജനം തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണെന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ഇതെല്ലാം നിങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്ന അച്ചടക്കത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്കൂൾ കുട്ടികൾ അത് എഴുതുന്നതാണ് നല്ലത് എക്സ്പ്രഷൻ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല , അതിനാൽ, അത് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ ബീജഗണിത ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ചില ശാഖകളിൽ പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് അത്തരമൊരു പദപ്രയോഗം എഴുതാൻ അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും എപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്കമ്പ്യൂട്ടറുകളെയും പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളെയും കുറിച്ച്.

ഏതെങ്കിലും തുല്യതകൾ പരിഹരിക്കുമ്പോഴും പ്രാരംഭ മൂല്യങ്ങൾക്കായി തിരയുമ്പോഴും പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത ഉണ്ടാകാം. എന്നാൽ ആ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉത്തരം എപ്പോഴും പൂജ്യമായിരിക്കും. ഇവിടെ, ഗുണനം പോലെ, നിങ്ങൾ പൂജ്യത്തെ ഏത് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലും, നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യത്തിൽ കൂടുതൽ ലഭിക്കില്ല. അതിനാൽ, ഒരു വലിയ ഫോർമുലയിൽ ഈ അമൂല്യ സംഖ്യ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും വളരെ ലളിതമായ ഒരു പരിഹാരത്തിലേക്ക് വരുമോ എന്ന് വേഗത്തിൽ "കണ്ടെത്താൻ" ശ്രമിക്കുക.

അനന്തതയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ

അനന്തമായ വലുതും അനന്തവുമായ മൂല്യങ്ങൾ കുറച്ച് മുമ്പ് പരാമർശിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, കാരണം ഇത് പൂജ്യം ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടെയുള്ള വിഭജനത്തിനുള്ള ചില പഴുതുകളും തുറക്കുന്നു. അത് ശരിയാണ്, ഇവിടെ ഒരു ചെറിയ പിടിയുണ്ട്, കാരണം അനന്തമായ മൂല്യവും മൂല്യത്തിൻ്റെ പൂർണ്ണമായ അഭാവവും വ്യത്യസ്ത ആശയങ്ങളാണ്.

എന്നാൽ ഞങ്ങളുടെ അവസ്ഥകളിലെ ഈ ചെറിയ വ്യത്യാസം അവഗണിക്കാം; ആത്യന്തികമായി, അമൂർത്തമായ അളവുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നത്:

• സംഖ്യകളിൽ ഒരു അനന്ത ചിഹ്നം ഉണ്ടായിരിക്കണം.
• പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്ന ഒരു മൂല്യത്തിൻ്റെ പ്രതീകാത്മക ചിത്രമാണ് ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ.
• അനന്തമായ വലിയ പ്രവർത്തനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന അനന്തതയായിരിക്കും ഉത്തരം.

നമ്മൾ ഇപ്പോഴും സംസാരിക്കുന്നത് അനന്തമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പ്രതീകാത്മക പ്രദർശനത്തെക്കുറിച്ചാണ്, അല്ലാതെ പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഉപയോഗത്തെക്കുറിച്ചല്ല. ഈ അടയാളം കൊണ്ട് ഒന്നും മാറിയിട്ടില്ല; അത് ഇപ്പോഴും വളരെ അപൂർവമായ അപവാദങ്ങളായി വിഭജിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഭൂരിഭാഗവും, ഉള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പൂജ്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു തികച്ചും സൈദ്ധാന്തിക തലം. ഒരുപക്ഷേ, പതിറ്റാണ്ടുകൾ അല്ലെങ്കിൽ നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് ശേഷം, എല്ലാ ആധുനിക കമ്പ്യൂട്ടിംഗും കണ്ടെത്തും പ്രായോഗിക ഉപയോഗം, അവർ ശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരുതരം മഹത്തായ മുന്നേറ്റം നൽകും.

ഇതിനിടയിൽ, മിക്ക ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതിഭകളും ലോകമെമ്പാടുമുള്ള അംഗീകാരം സ്വപ്നം കാണുന്നു. ഈ നിയമങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള അപവാദം നമ്മുടെ സ്വഹാബിയാണ്, പെരെൽമാൻ. പക്ഷേ, പോയിൻക്വെറെ അനുമാനത്തിൻ്റെ തെളിവും അതിരുകടന്ന പെരുമാറ്റവും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു യുഗനിർമ്മാണ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് അദ്ദേഹം അറിയപ്പെടുന്നു.

വിരോധാഭാസങ്ങളും പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ അർത്ഥശൂന്യതയും

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, മിക്കവാറും, അർത്ഥമില്ല:

• ഡിവിഷൻ ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു ഗുണനത്തിൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനം.
• നമുക്ക് ഏത് സംഖ്യയെയും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഉത്തരമായി പൂജ്യം ലഭിക്കും.
• അതേ ലോജിക്കനുസരിച്ച്, ഒരാൾക്ക് ഏത് സംഖ്യയെയും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.
• അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളിൽ, പൂജ്യത്താൽ ഗുണിച്ചതോ ഹരിച്ചതോ ആയ ഏതൊരു സംഖ്യയും ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തിയ മറ്റേതൊരു സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യമാണെന്ന നിഗമനത്തിലെത്താൻ എളുപ്പമാണ്.
• ഞങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനം നിരസിക്കുകയും ഏറ്റവും രസകരമായ നിഗമനം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു - ഏത് സംഖ്യയും ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യമാണ്.

ഇത്തരം സംഭവങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനു പുറമേ, പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ പ്രായോഗിക അർത്ഥമില്ല, പൊതുവെ വാക്കിൽ നിന്ന്. ഈ പ്രവർത്തനം നടത്താൻ കഴിയുമെങ്കിലും, പുതിയ വിവരങ്ങളൊന്നും ലഭിക്കില്ല.

പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, മുഴുവൻ വസ്തുവും പൂജ്യം തവണകളായി വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്, ഒരു സമയം പോലും. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ - ഒരു വിഘടന പ്രക്രിയയും സംഭവിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ, ഈ സംഭവത്തിൻ്റെ ഫലം ഉണ്ടാകില്ല.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനെന്ന നിലയിൽ ഒരേ കമ്പനിയിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും കുറച്ച് നിസ്സാരമായ ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ച് രസകരവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമായ ഉത്തരം ലഭിക്കാത്തത്. അല്ലെങ്കിൽ പ്രകോപനം, കാരണം ഇത് ആദ്യമായല്ല ഒരു വ്യക്തിയോട് ഇത് ചോദിക്കുന്നത്. പിന്നെ പത്തിൽ പോലും ഇല്ല. അതിനാൽ നിങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ സുഹൃത്തുക്കളെ ശ്രദ്ധിക്കുക, ഒരു വിശദീകരണം നൂറ് തവണ ആവർത്തിക്കാൻ അവരെ നിർബന്ധിക്കരുത്.

വീഡിയോ: പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക

ഈ വീഡിയോയിൽ, നിങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യത്താൽ ഹരിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്നും ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയാത്തത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്നും ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ അന്ന ലോമക്കോവ നിങ്ങളോട് പറയും:

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ലെന്ന് എല്ലാവരും സ്കൂളിൽ നിന്ന് ഓർക്കുന്നു. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് ചെയ്യാൻ പാടില്ല എന്ന് പ്രൈമറി സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് ഒരിക്കലും വിശദീകരിച്ചിട്ടില്ല. "നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ വിരലുകൾ സോക്കറ്റിൽ ഇടാൻ കഴിയില്ല" അല്ലെങ്കിൽ "മുതിർന്നവരോട് വിഡ്ഢി ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കരുത്" എന്നിങ്ങനെയുള്ള മറ്റ് വിലക്കുകൾക്കൊപ്പം ഇത് നൽകിയിട്ടുള്ളതായി എടുക്കാൻ അവർ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ലോകത്തെ സാങ്കൽപ്പിക അല്ലെങ്കിൽ നിഷേധാത്മകമായതിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത അതിർത്തിയായി സംഖ്യയെ സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും. അവ്യക്തമായ സ്ഥാനം കാരണം, ഈ സംഖ്യാ മൂല്യമുള്ള പല പ്രവർത്തനങ്ങളും ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിക്ക് വിധേയമല്ല. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള അസാധ്യത ഇതിന് ഒരു പ്രധാന ഉദാഹരണമാണ്. ഒപ്പം അനുവദനീയവും ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾപൂജ്യം ഉപയോഗിച്ച് പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട നിർവചനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാം.

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള അസാധ്യതയുടെ ബീജഗണിത വിശദീകരണം

ഒരു ബീജഗണിത വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം അതിൽ അർത്ഥമില്ല. നമുക്ക് രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾ, a, b എന്നിവ എടുത്ത് അവയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം. a × 0 പൂജ്യത്തിനും b × 0 പൂജ്യത്തിനും തുല്യമാണ്. ഒരു × 0, b × 0 എന്നിവ തുല്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, കാരണം രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലെയും ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അങ്ങനെ, നമുക്ക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും: 0 × a = 0 × b. ഇനി നമുക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം എന്ന് അനുമാനിക്കാം: സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും അത് കൊണ്ട് ഹരിച്ച് a = b എന്ന് ലഭിക്കും. പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനം ഞങ്ങൾ അനുവദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാ അക്കങ്ങളും യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. എന്നാൽ 5 എന്നത് 6 ന് തുല്യമല്ല, 10 എന്നത് ½ ന് തുല്യമല്ല. അന്വേഷണാത്മക ജൂനിയർ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികളോട് പറയാതിരിക്കാൻ അധ്യാപകർ ഇഷ്ടപ്പെടുന്ന അനിശ്ചിതത്വം ഉയർന്നുവരുന്നു.

0:0 ഓപ്പറേഷൻ ഉണ്ടോ?

തീർച്ചയായും, 0 കൊണ്ട് ഗുണനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനം നിയമപരമാണെങ്കിൽ, പൂജ്യത്തെ പൂജ്യത്താൽ ഹരിക്കാൻ കഴിയുമോ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, 0x 5=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം തികച്ചും നിയമപരമാണ്. 5-ന് പകരം നിങ്ങൾക്ക് 0 ഇടാം, ഉൽപ്പന്നം മാറില്ല. തീർച്ചയായും, 0x0=0. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും 0 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. പറഞ്ഞതുപോലെ, വിഭജനം ഗുണനത്തിൻ്റെ വിപരീതമാണ്. അതിനാൽ, 0x5=0 ഉദാഹരണത്തിൽ, നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഘടകം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് 0x0=5 ലഭിക്കും. അല്ലെങ്കിൽ 10. അല്ലെങ്കിൽ അനന്തത. അനന്തതയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു - നിങ്ങൾക്കത് എങ്ങനെ ഇഷ്ടമാണ്? എന്നാൽ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ പദപ്രയോഗവുമായി യോജിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അത് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല; അനന്തമായ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഒരെണ്ണം മാത്രം തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ നമുക്ക് കഴിയില്ല. അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, 0:0 എന്ന പ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. പൂജ്യത്തെ പോലും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള അസാധ്യതയുടെ വിശദീകരണം

ഹൈസ്കൂളിൽ അവർ പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തം പഠിക്കുന്നു, അത് പൂജ്യത്താൽ ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അസാധ്യതയെക്കുറിച്ചും സംസാരിക്കുന്നു. ഈ സംഖ്യ അവിടെ "നിർവചിക്കപ്പെടാത്ത അനന്തമായ അളവ്" ആയി വ്യാഖ്യാനിക്കപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ 0 × X = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, X കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല, കാരണം ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇതും അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, കാരണം ഈ കേസിൽ ഡിവിഡൻ്റും ഡിവിസറും അനിശ്ചിതകാല അളവുകളാണ്, അതിനാൽ, അവയുടെ സമത്വത്തെക്കുറിച്ചോ അസമത്വത്തെക്കുറിച്ചോ ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുന്നത് അസാധ്യമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോഴാണ് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയുക?

സ്കൂൾ കുട്ടികളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, സാങ്കേതിക സർവകലാശാലകളിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും. ബീജഗണിതത്തിൽ അസാധ്യമായ ഒരു പ്രവർത്തനം ഗണിതശാസ്ത്ര വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ മറ്റ് മേഖലകളിൽ നടത്താം. ഈ പ്രവർത്തനം അനുവദിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പുതിയ അധിക വ്യവസ്ഥകൾ അവയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. നോൺ-സ്റ്റാൻഡേർഡ് വിശകലനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രഭാഷണങ്ങളുടെ ഒരു കോഴ്‌സ് കേൾക്കുന്നവർക്കും ഡിറാക് ഡെൽറ്റ ഫംഗ്‌ഷൻ പഠിക്കുന്നവർക്കും വിപുലീകൃത സങ്കീർണ്ണ തലം പരിചയപ്പെടുന്നവർക്കും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ സാധ്യമാകും.

പൂജ്യത്തിൻ്റെ ചരിത്രം

പൂജ്യമാണ് എല്ലാത്തിലും റഫറൻസ് പോയിൻ്റ് സ്റ്റാൻഡേർഡ് സിസ്റ്റങ്ങൾകാൽക്കുലസ്. യൂറോപ്യന്മാർ ഈ സംഖ്യ താരതമ്യേന അടുത്തിടെ ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി, പക്ഷേ ജ്ഞാനികൾ പുരാതന ഇന്ത്യയൂറോപ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ശൂന്യമായ സംഖ്യ പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് ആയിരം വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ഇന്ത്യക്കാർക്ക് മുമ്പുതന്നെ പൂജ്യം നിർബന്ധിത മൂല്യമായിരുന്നു സംഖ്യാ സംവിധാനംമായൻ. ഈ അമേരിക്കൻ ആളുകൾ ഡുവോഡെസിമൽ നമ്പർ സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ചു, ഓരോ മാസത്തിൻ്റെയും ആദ്യ ദിവസം പൂജ്യത്തോടെ ആരംഭിച്ചു. മായന്മാർക്കിടയിൽ "പൂജ്യം" സൂചിപ്പിക്കുന്ന അടയാളം "അനന്തത" സൂചിപ്പിക്കുന്ന അടയാളവുമായി പൂർണ്ണമായും പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നത് രസകരമാണ്. അതിനാൽ, ഈ അളവുകൾ സമാനവും അജ്ഞാതവുമാണെന്ന് പുരാതന മായന്മാർ നിഗമനം ചെയ്തു.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം

ഹൈസ്കൂൾ കണക്കിന് ഒരു തലവേദനയാണ് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഡിവിഷൻ. സാങ്കേതിക സർവ്വകലാശാലകളിൽ പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം പരിഹാരമില്ലാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുടെ ആശയത്തെ ചെറുതായി വികസിപ്പിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സ്‌കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്‌സ് കോഴ്‌സുകളിൽ പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്ത, ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന 0:0 എന്ന എക്‌സ്‌പ്രഷനിലേക്ക് പുതിയവ ചേർത്തിരിക്കുന്നു: അനന്തതയെ അനന്തതയാൽ ഹരിച്ചാൽ: ∞:∞; ഇൻഫിനിറ്റി മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി: ∞−∞; യൂണിറ്റ് അനന്ത ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തി: 1∞; അനന്തതയെ 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ: ∞*0; മറ്റു ചിലർ.

പ്രാഥമിക രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. എന്നാൽ ഉയർന്ന ഗണിതത്തിന് നന്ദി അധിക സവിശേഷതകൾസമാനമായ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിമിതമായ പരിഹാരങ്ങൾ നൽകുന്നു. പരിമിതികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഗണനയിൽ ഇത് പ്രത്യേകിച്ചും വ്യക്തമാണ്.

അനിശ്ചിതത്വം അൺലോക്ക് ചെയ്യുന്നു

പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ, മൂല്യം 0 ന് പകരം ഒരു സോപാധികമായ അനന്തമായ വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, പൂജ്യത്താൽ വിഭജനം ലഭിക്കുന്ന എക്സ്പ്രഷനുകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.

താഴെ സാധാരണ ഉദാഹരണംസാധാരണ ബീജഗണിത പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിധി വെളിപ്പെടുത്തുന്നു: ഉദാഹരണത്തിൽ കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ലളിതമായ കുറവ് അതിൻ്റെ മൂല്യത്തെ പൂർണ്ണമായും യുക്തിസഹമായ ഉത്തരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

പരിധികൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾഅവരുടെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയിലേക്ക് കുറയുന്നു. ഒരു പരിധി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ ഡിനോമിനേറ്റർ 0 ആയി മാറുന്ന പരിധികൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, ശ്രദ്ധേയമായ രണ്ടാമത്തെ പരിധി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

എൽ'ഹോപ്പിറ്റൽ രീതി

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ പരിധികൾ അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പരിധികളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. Guillaume L'Hopital - ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, ഫ്രഞ്ച് സ്കൂൾ ഓഫ് ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ സ്ഥാപകൻ. പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിധികൾ ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പരിധിക്ക് തുല്യമാണെന്ന് അദ്ദേഹം തെളിയിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷനിൽ, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഭരണം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

സ്കൂളിൽ പോലും, അധ്യാപകർ ഞങ്ങളുടെ തലയിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായ നിയമം അടിച്ചേൽപ്പിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു: "ഏതൊരു സംഖ്യയും പൂജ്യത്താൽ ഗുണിച്ചാൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്!", – എന്നാൽ ഇപ്പോഴും അദ്ദേഹത്തിന് ചുറ്റും ധാരാളം വിവാദങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നു. ചില ആളുകൾ നിയമം ഓർക്കുന്നു, "എന്തുകൊണ്ട്?" “നിങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല, അത്രമാത്രം, കാരണം അവർ സ്കൂളിൽ അങ്ങനെ പറഞ്ഞു, ഭരണം നിയമമാണ്!” ആർക്കെങ്കിലും പകുതി നോട്ട്ബുക്ക് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് പൂരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, ഈ നിയമം തെളിയിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ യുക്തിരഹിതമാണ്.

അവസാനം ആരാണ് ശരി?

ഈ തർക്കങ്ങൾക്കിടയിൽ, പരസ്പരവിരുദ്ധമായ കാഴ്ചപ്പാടുകളുള്ള രണ്ടുപേരും പരസ്പരം ആട്ടുകൊറ്റനെപ്പോലെ നോക്കുകയും തങ്ങൾ ശരിയാണെന്ന് എല്ലാ ശക്തിയോടെയും തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ അവയെ വശത്ത് നിന്ന് നോക്കിയാൽ, ഒന്നല്ല, രണ്ട് ആട്ടുകൊറ്റന്മാരെ, പരസ്പരം കൊമ്പുകൾ വിശ്രമിക്കുന്നതായി കാണാം. അവർ തമ്മിലുള്ള ഒരേയൊരു വ്യത്യാസം ഒരാൾ മറ്റൊരാളേക്കാൾ വിദ്യാഭ്യാസം കുറവാണ്.

മിക്കപ്പോഴും, ഈ നിയമം തെറ്റാണെന്ന് കരുതുന്നവർ ഈ രീതിയിൽ യുക്തിയെ ആകർഷിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു:

എൻ്റെ മേശപ്പുറത്ത് രണ്ട് ആപ്പിളുകൾ ഉണ്ട്, ഞാൻ അവയിൽ സീറോ ആപ്പിൾ ഇട്ടാൽ, അതായത്, ഞാൻ ഒരെണ്ണം പോലും വെച്ചിട്ടില്ല, അപ്പോൾ എൻ്റെ രണ്ട് ആപ്പിൾ അപ്രത്യക്ഷമാകില്ല! നിയമം യുക്തിരഹിതമാണ്!

തീർച്ചയായും, ആപ്പിൾ എവിടെയും അപ്രത്യക്ഷമാകില്ല, പക്ഷേ നിയമം യുക്തിരഹിതമായതുകൊണ്ടല്ല, മറിച്ച് അല്പം വ്യത്യസ്തമായ ഒരു സമവാക്യം ഇവിടെ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതുകൊണ്ടാണ്: 2 + 0 = 2. അതിനാൽ നമുക്ക് ഈ നിഗമനം ഉടൻ തന്നെ ഉപേക്ഷിക്കാം - ഇത് യുക്തിരഹിതമാണ്, ഇതിന് വിപരീത ലക്ഷ്യമുണ്ടെങ്കിലും - യുക്തിയിലേക്ക് വിളിക്കാൻ.

എന്താണ് ഗുണനം

യഥാർത്ഥത്തിൽ ഗുണന നിയമംസ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കായി മാത്രം നിർവചിക്കപ്പെട്ടത്: ഗുണനം എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം തവണ ചേർത്ത ഒരു സംഖ്യയാണ്, ഇത് സംഖ്യ സ്വാഭാവികമാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഗുണനമുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം:

1. 25×3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25×3 = 25 + 25 + 25

ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു ഗുണനം ഒരു ലളിതമായ കൂട്ടിച്ചേർക്കലാണെന്ന്.

എന്താണ് പൂജ്യം

കുട്ടിക്കാലം മുതൽ ഏതൊരു വ്യക്തിക്കും അറിയാം: പൂജ്യം ശൂന്യതയാണ്, ഈ ശൂന്യതയ്ക്ക് ഒരു പദവിയുണ്ടെങ്കിലും, അത് ഒന്നും വഹിക്കുന്നില്ല. പുരാതന കിഴക്കൻ ശാസ്ത്രജ്ഞർ വ്യത്യസ്തമായി ചിന്തിച്ചു - അവർ ഈ പ്രശ്നത്തെ ദാർശനികമായി സമീപിക്കുകയും ശൂന്യതയും അനന്തതയും തമ്മിൽ ചില സമാനതകൾ വരയ്ക്കുകയും ഈ സംഖ്യയിൽ ആഴത്തിലുള്ള അർത്ഥം കാണുകയും ചെയ്തു. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ശൂന്യത എന്ന അർത്ഥമുള്ള പൂജ്യം, ഏതെങ്കിലുമൊരു അരികിൽ നിൽക്കുന്നു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, അത് പത്തിരട്ടിയായി വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ ഗുണനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള എല്ലാ തർക്കങ്ങളും - ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് വളരെയധികം പൊരുത്തക്കേടുകൾ ഉണ്ട്, ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. കൂടാതെ, ശൂന്യമായ അക്കങ്ങൾ നിർവചിക്കാൻ പൂജ്യം നിരന്തരം ഉപയോഗിക്കുന്നു ദശാംശങ്ങൾ, ഇത് ദശാംശ പോയിൻ്റിന് മുമ്പും ശേഷവും ചെയ്യുന്നു.

ശൂന്യത കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ കഴിയുമോ?

നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, പക്ഷേ അത് ഉപയോഗശൂന്യമാണ്, കാരണം, ഒരാൾ എന്ത് പറഞ്ഞാലും, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോഴും നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കും. ഈ ലളിതമായ നിയമം ഓർമ്മിച്ചാൽ മതി, ഇനി ഒരിക്കലും ഈ ചോദ്യം ചോദിക്കരുത്. വാസ്തവത്തിൽ, എല്ലാം ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ തോന്നുന്നതിനേക്കാൾ ലളിതമാണ്. പുരാതന ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിശ്വസിച്ചതുപോലെ, മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന അർത്ഥങ്ങളും രഹസ്യങ്ങളും ഇല്ല. ഈ ഗുണനം ഉപയോഗശൂന്യമാണെന്ന ഏറ്റവും യുക്തിസഹമായ വിശദീകരണം ഞങ്ങൾ ചുവടെ നൽകും, കാരണം നിങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യയെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് അതേ കാര്യം തന്നെ ലഭിക്കും - പൂജ്യം.

തുടക്കത്തിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ, രണ്ട് ആപ്പിളുകളെക്കുറിച്ചുള്ള വാദത്തിലേക്ക്, 2 തവണ 0 ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

• നിങ്ങൾ അഞ്ച് തവണ രണ്ട് ആപ്പിൾ കഴിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 ആപ്പിൾ കഴിക്കും.
• നിങ്ങൾ അതിൽ രണ്ടെണ്ണം മൂന്ന് തവണ കഴിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ 2×3 = 2+2+2 = 6 ആപ്പിൾ കഴിക്കും.
• നിങ്ങൾ രണ്ട് ആപ്പിൾ പൂജ്യം തവണ കഴിച്ചാൽ, ഒന്നും കഴിക്കില്ല - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഒരു ആപ്പിൾ 0 തവണ കഴിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം ഒരെണ്ണം പോലും കഴിക്കരുത് എന്നാണ്. അത് നിങ്ങൾക്ക് പോലും വ്യക്തമാകും ഒരു ചെറിയ കുട്ടിക്ക്. ഒരാൾ എന്ത് പറഞ്ഞാലും, ഫലം 0 ആയിരിക്കും, രണ്ടോ മൂന്നോ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, ഫലം തികച്ചും സമാനമായിരിക്കും. പിന്നെ ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ പൂജ്യം ഒന്നുമല്ല, നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോൾ ഉണ്ട് അവിടെ ഒന്നുമില്ല, അപ്പോൾ നിങ്ങൾ എത്ര ഗുണിച്ചാലും അത് അങ്ങനെ തന്നെ പൂജ്യം ആയിരിക്കും. മാന്ത്രികത എന്നൊന്നില്ല, നിങ്ങൾ 0-നെ ഒരു ദശലക്ഷത്താൽ ഗുണിച്ചാലും ഒന്നും ആപ്പിളിനെ ഉണ്ടാക്കില്ല. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതും യുക്തിസഹവുമായ വിശദീകരണമാണിത്. എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഗണിതത്തിൽ നിന്നും വളരെ അകലെയുള്ള ഒരു വ്യക്തിക്ക്, തലയിലെ വൈരുദ്ധ്യം പരിഹരിക്കാനും എല്ലാം ശരിയാക്കാനും അത്തരമൊരു വിശദീകരണം മതിയാകും.

ഡിവിഷൻ

മേൽപ്പറഞ്ഞവയിൽ നിന്ന്, മറ്റൊരു കാര്യം പിന്തുടരുന്നു പ്രധാനപ്പെട്ട നിയമം:

നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല!

കുട്ടിക്കാലം മുതൽ ഈ നിയമം നമ്മുടെ തലയിൽ സ്ഥിരമായി തുളച്ചുകയറുന്നു. അത് അസാധ്യമാണെന്നും സ്വയം ശല്യപ്പെടുത്താതെ അത്രയേയുള്ളൂവെന്നും നമുക്കറിയാം. അനാവശ്യ വിവരങ്ങൾ. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട് നിരോധിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന ചോദ്യം അപ്രതീക്ഷിതമായി നിങ്ങളോട് ചോദിച്ചാൽ, ഭൂരിപക്ഷവും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകും, കൂടാതെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ചോദ്യത്തിന് വ്യക്തമായി ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയില്ല. സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി, കാരണം ഈ നിയമത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള വിവാദങ്ങളും വിവാദങ്ങളും ഇല്ല.

എല്ലാവരും ലളിതമായി നിയമം മനഃപാഠമാക്കി, പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചില്ല, ഉത്തരം ഉപരിതലത്തിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്നുവെന്ന് സംശയിക്കാതെ. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, ഗുണനം, ഹരിക്കൽ, വ്യവകലനം എന്നിവ അസമമാണ്; മുകളിൽ പറഞ്ഞവയിൽ, ഗുണനവും സങ്കലനവും മാത്രമേ സാധുതയുള്ളൂ, കൂടാതെ സംഖ്യകളുള്ള മറ്റെല്ലാ കൃത്രിമത്വങ്ങളും അവയിൽ നിന്നാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. അതായത്, 10: 2 എന്ന നൊട്ടേഷൻ 2 * x = 10 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ചുരുക്കമാണ്. ഇതിനർത്ഥം 10: 0 എന്ന നൊട്ടേഷൻ 0 * x = 10 ൻ്റെ അതേ ചുരുക്കമാണ് എന്നാണ്. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് ഒരു ടാസ്ക് ആണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക, 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് 10 ലഭിക്കും, അത്തരമൊരു സംഖ്യ നിലവിലില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്, അതിനർത്ഥം ഈ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമില്ല, ഇത് ഒരു മുൻകൂർ തെറ്റായിരിക്കും.

ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയട്ടെ,

0 കൊണ്ട് ഹരിക്കാതിരിക്കാൻ!

1 നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളതുപോലെ നീളത്തിൽ മുറിക്കുക,

0 കൊണ്ട് ഹരിക്കരുത്!

എന്തുകൊണ്ടാണ് പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നത് എന്ന് പലരും പലപ്പോഴും ചിന്തിക്കാറുണ്ട്. ഈ നിയമം എവിടെ നിന്നാണ് വന്നതെന്നതിനെക്കുറിച്ചും പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ച് എന്ത് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താമെന്നതിനെക്കുറിച്ചും ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ വിശദമായി സംസാരിക്കും.

എന്നിവരുമായി ബന്ധപ്പെട്ടു

പൂജ്യത്തെ ഏറ്റവും രസകരമായ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് എന്ന് വിളിക്കാം. ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് അർത്ഥമില്ല, വാക്കിൻ്റെ ശരിയായ അർത്ഥത്തിൽ ശൂന്യത എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. എന്നിരുന്നാലും, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുടെ അടുത്തായി ഒരു പൂജ്യം സ്ഥാപിച്ചാൽ, ഈ സംഖ്യയുടെ മൂല്യം പല മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കും.

നമ്പർ തന്നെ വളരെ നിഗൂഢമാണ്. ഞാൻ അത് വീണ്ടും ഉപയോഗിച്ചു പുരാതന ആളുകൾമായൻ. മായൻമാരെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, പൂജ്യം "ആരംഭം" എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്, കൂടാതെ കലണ്ടർ ദിവസങ്ങളും പൂജ്യത്തിൽ നിന്നാണ് ആരംഭിച്ചത്.

വളരെ രസകരമായ വസ്തുതപൂജ്യ ചിഹ്നവും അനിശ്ചിതത്വ ചിഹ്നവും സമാനമായിരുന്നു എന്നതാണ്. ഇതിലൂടെ, പൂജ്യം അനിശ്ചിതത്വത്തിൻ്റെ അതേ ചിഹ്നമാണെന്ന് കാണിക്കാൻ മായന്മാർ ആഗ്രഹിച്ചു. യൂറോപ്പിൽ, പൂജ്യം എന്ന പദവി താരതമ്യേന അടുത്തിടെ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

പൂജ്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിരോധനവും പലർക്കും അറിയാം. അത് ആരായാലും പറയും നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. സ്കൂളിലെ അധ്യാപകർ ഇത് പറയുന്നു, കുട്ടികൾ സാധാരണയായി അവരുടെ വാക്ക് സ്വീകരിക്കുന്നു. സാധാരണയായി, കുട്ടികൾക്ക് ഒന്നുകിൽ ഇത് അറിയാൻ താൽപ്പര്യമില്ല, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്രധാന നിരോധനം കേട്ടാൽ എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് അവർക്കറിയാം, "എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തത്?" എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രായമാകുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ താൽപ്പര്യം ഉണരും, ഈ നിരോധനത്തിൻ്റെ കാരണങ്ങളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ അറിയാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ന്യായമായ തെളിവുകളുണ്ട്.

പൂജ്യത്തോടുകൂടിയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ച് എന്ത് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താമെന്ന് ആദ്യം നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നിലവിലുണ്ട് പല തരത്തിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ:

• കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ;
• ഗുണനം;
• കുറയ്ക്കൽ;
• വിഭജനം (സംഖ്യ പ്രകാരം പൂജ്യം);
• എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ.

പ്രധാനം!കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോൾ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയോട് പൂജ്യം ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യ അതേപടി നിലനിൽക്കും, അത് മാറ്റില്ല സംഖ്യാ മൂല്യം. ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയിൽ നിന്ന് പൂജ്യം കുറച്ചാൽ ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കും.

ഗുണിക്കുമ്പോഴും ഹരിക്കുമ്പോഴും കാര്യങ്ങൾ അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ്. എങ്കിൽ ഏത് സംഖ്യയെയും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അപ്പോൾ ഉൽപ്പന്നവും പൂജ്യമായി മാറും.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

നമുക്ക് ഇത് ഒരു കൂട്ടിച്ചേർക്കലായി എഴുതാം:

ആകെ അഞ്ച് പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ അത് മാറുന്നു

ഒന്നിനെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഫലവും പൂജ്യമായിരിക്കും.

പൂജ്യത്തെ അതിന് തുല്യമല്ലാത്ത മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫലം ആയിരിക്കും, അതിൻ്റെ മൂല്യവും പൂജ്യമായിരിക്കും. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും ഇതേ നിയമം ബാധകമാണ്. പൂജ്യത്തെ ഹരിച്ചാൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, അപ്പോൾ അത് പൂജ്യമായിരിക്കും.

നിങ്ങൾക്ക് ഏത് നമ്പറും നിർമ്മിക്കാനും കഴിയും പൂജ്യം ഡിഗ്രി വരെ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫലം 1 ആയിരിക്കും. "പൂജ്യം മുതൽ പൂജ്യം വരെ" എന്ന പ്രയോഗം തികച്ചും അർത്ഥശൂന്യമാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. പൂജ്യം ഏതെങ്കിലും ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താൻ ശ്രമിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കും. ഉദാഹരണം:

നമ്മൾ ഗുണന നിയമം ഉപയോഗിക്കുകയും 0 നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.

അപ്പോൾ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ പറ്റുമോ?

അതിനാൽ, ഇവിടെ നമ്മൾ പ്രധാന ചോദ്യത്തിലേക്ക് വരുന്നു. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ പറ്റുമോ?എന്തായാലും? പൂജ്യത്തോടുകൂടിയ മറ്റെല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും നിലനിൽക്കുകയും പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതിനാൽ, എന്തുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല? ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ നിങ്ങൾ ബന്ധപ്പെടേണ്ടതുണ്ട് ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം.

ആശയത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം, എന്താണ് പൂജ്യം? സ്കൂൾ അധ്യാപകർപൂജ്യം ഒന്നുമല്ലെന്ന് അവർ പറയുന്നു. ശൂന്യത. അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് 0 ഹാൻഡിലുകളുണ്ടെന്ന് പറയുമ്പോൾ, അതിനർത്ഥം നിങ്ങൾക്ക് ഹാൻഡിലുകൾ ഇല്ല എന്നാണ്.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, "പൂജ്യം" എന്ന ആശയം വിശാലമാണ്. അതിനർത്ഥം ശൂന്യത എന്നല്ല. ഇവിടെ പൂജ്യത്തെ അനിശ്ചിതത്വം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം നമ്മൾ ഒരു ചെറിയ ഗവേഷണം നടത്തിയാൽ, പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യയിൽ അവസാനിക്കാം, അത് പൂജ്യമാകണമെന്നില്ല.

നിങ്ങൾ സ്കൂളിൽ പഠിച്ച ആ ലളിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരസ്പരം അത്ര തുല്യമല്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ? ഏറ്റവും അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങൾആകുന്നു കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഗുണനവും.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക്, "", "വ്യവകലനം" എന്നീ ആശയങ്ങൾ നിലവിലില്ല. നമുക്ക് പറയാം: നിങ്ങൾ അഞ്ചിൽ നിന്ന് മൂന്ന് കുറച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ശേഷിക്കും. കുറയ്ക്കൽ ഇങ്ങനെയാണ് കാണപ്പെടുന്നത്. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതും:

അങ്ങനെ, അജ്ഞാതമായ വ്യത്യാസം 5 ലഭിക്കാൻ 3-ലേക്ക് ചേർക്കേണ്ട ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണെന്ന് മാറുന്നു. അതായത്, നിങ്ങൾ ഒന്നും കുറയ്ക്കേണ്ടതില്ല, ഉചിതമായ നമ്പർ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഈ നിയമം കൂട്ടിച്ചേർക്കലിന് ബാധകമാണ്.

കൂടെ കാര്യങ്ങൾ അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ് ഗുണനത്തിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും നിയമങ്ങൾ.പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് പൂജ്യ ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് അറിയാം. ഉദാഹരണത്തിന്, 3:0=x ആണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ എൻട്രി റിവേഴ്സ് ചെയ്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് 3*x=0 ലഭിക്കും. 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ഒരു സംഖ്യ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ പൂജ്യം നൽകും. പൂജ്യമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിൽ പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റൊരു മൂല്യവും നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യയും ഇല്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. ഇതിനർത്ഥം പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നത് അർത്ഥശൂന്യമാണ്, അതായത്, ഇത് നമ്മുടെ നിയമത്തിന് അനുയോജ്യമാണ്.

എന്നാൽ പൂജ്യം സ്വയം ഹരിക്കാൻ ശ്രമിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? നമുക്ക് ചില അനിശ്ചിത സംഖ്യകൾ x ആയി എടുക്കാം. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം 0*x=0 ആണ്. അത് പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്.

x ന് പകരം പൂജ്യം എടുക്കാൻ ശ്രമിച്ചാൽ നമുക്ക് 0:0=0 ലഭിക്കും. അത് ലോജിക്കൽ ആയി തോന്നുമോ? എന്നാൽ നമ്മൾ മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യ എടുക്കാൻ ശ്രമിച്ചാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, 1, x-ന് പകരം, 0:0=1 എന്നതിൽ അവസാനിക്കും. നമ്മൾ മറ്റേതെങ്കിലും നമ്പർ എടുത്താലും ഇതേ അവസ്ഥ സംഭവിക്കും ഇത് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പ്ലഗ് ചെയ്യുക.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യയെ ഒരു ഘടകമായി എടുക്കാം. അനന്തമായ സംഖ്യയായിരിക്കും ഫലം വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾ. ചിലപ്പോൾ ഉയർന്ന ഗണിതത്തിൽ 0 കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നത് ഇപ്പോഴും അർത്ഥവത്താണ്, പക്ഷേ സാധാരണയായി ഒരു പ്രത്യേക അവസ്ഥ ദൃശ്യമാകും, അതിന് നന്ദി, ഞങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അനുയോജ്യമായ ഒരു നമ്പർ തിരഞ്ഞെടുക്കാനാകും. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ "അനിശ്ചിതത്വ വെളിപ്പെടുത്തൽ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സാധാരണ ഗണിതത്തിൽ, പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അതിൻ്റെ അർത്ഥം നഷ്ടപ്പെടും, കാരണം നമുക്ക് സെറ്റിൽ നിന്ന് ഒരു നമ്പർ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ കഴിയില്ല.

പ്രധാനം!നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല.

പൂജ്യവും അനന്തതയും

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അനന്തത പലപ്പോഴും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. അനന്തതയോടുകൂടിയ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനങ്ങളും ഉണ്ടെന്ന് സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് അറിയുന്നത് പ്രധാനമല്ലാത്തതിനാൽ, പൂജ്യത്താൽ വിഭജിക്കുന്നത് അസാധ്യമായത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് അധ്യാപകർക്ക് കുട്ടികളോട് ശരിയായി വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൻ്റെ ആദ്യ വർഷത്തിൽ മാത്രമാണ് വിദ്യാർത്ഥികൾ അടിസ്ഥാന ഗണിത രഹസ്യങ്ങൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നത്. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം പരിഹാരമില്ലാത്ത ഒരു വലിയ സമുച്ചയം നൽകുന്നു. ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ പ്രശ്നങ്ങൾ അനന്തതയുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങളാണ്. അവ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ് ഗണിത വിശകലനം.

അനന്തതയിലും പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ് പ്രാഥമിക ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ:കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, സംഖ്യകൊണ്ട് ഗുണനം. സാധാരണയായി അവർ കുറയ്ക്കലും വിഭജനവും ഉപയോഗിക്കുന്നു, പക്ഷേ അവസാനം അവ ഇപ്പോഴും രണ്ട് ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് വരുന്നു.

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ലോകത്തെ സാങ്കൽപ്പിക അല്ലെങ്കിൽ നിഷേധാത്മകമായതിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത അതിർത്തിയായി സംഖ്യയെ സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും. അവ്യക്തമായ സ്ഥാനം കാരണം, ഈ സംഖ്യാ മൂല്യമുള്ള പല പ്രവർത്തനങ്ങളും ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിക്ക് വിധേയമല്ല. പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള അസാധ്യത ഇതിന് ഒരു പ്രധാന ഉദാഹരണമാണ്. കൂടാതെ പൂജ്യത്തോടുകൂടിയ അനുവദനീയമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട നിർവചനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നടത്താവുന്നതാണ്.

പൂജ്യത്തിൻ്റെ ചരിത്രം

എല്ലാ സ്റ്റാൻഡേർഡ് നമ്പർ സിസ്റ്റങ്ങളിലെയും റഫറൻസ് പോയിൻ്റാണ് പൂജ്യം. യൂറോപ്യന്മാർ ഈ സംഖ്യ താരതമ്യേന അടുത്തിടെ ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങി, എന്നാൽ പുരാതന ഇന്ത്യയിലെ ഋഷിമാർ ശൂന്യമായ സംഖ്യ യൂറോപ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് ആയിരം വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചു. ഇന്ത്യക്കാർക്ക് മുമ്പ് തന്നെ, മായൻ സംഖ്യാ സമ്പ്രദായത്തിൽ പൂജ്യം നിർബന്ധിത മൂല്യമായിരുന്നു. ഈ അമേരിക്കൻ ആളുകൾ ഡുവോഡെസിമൽ നമ്പർ സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ചു, ഓരോ മാസത്തിൻ്റെയും ആദ്യ ദിവസം പൂജ്യത്തോടെ ആരംഭിച്ചു. മായന്മാർക്കിടയിൽ "പൂജ്യം" സൂചിപ്പിക്കുന്ന അടയാളം "അനന്തത" സൂചിപ്പിക്കുന്ന അടയാളവുമായി പൂർണ്ണമായും പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നത് രസകരമാണ്. അതിനാൽ, ഈ അളവുകൾ സമാനവും അജ്ഞാതവുമാണെന്ന് പുരാതന മായന്മാർ നിഗമനം ചെയ്തു.

പൂജ്യത്തോടുകൂടിയ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ

പൂജ്യം ഉള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ ഓപ്പറേഷനുകൾ കുറച്ച് നിയമങ്ങളായി ചുരുക്കാം.

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ: നിങ്ങൾ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യയിലേക്ക് പൂജ്യം ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് അതിൻ്റെ മൂല്യം മാറ്റില്ല (0+x=x).

കുറയ്ക്കൽ: ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയിൽ നിന്ന് പൂജ്യം കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, സബ്ട്രഹെൻഡിൻ്റെ മൂല്യം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരും (x-0=x).

ഗുണനം: ഏത് സംഖ്യയും 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 0 (a*0=0) ലഭിക്കും.

വിഭജനം: പൂജ്യത്തെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഏത് സംഖ്യ കൊണ്ടും ഹരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത്തരമൊരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം 0 ആയിരിക്കും. കൂടാതെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് നിരോധിച്ചിരിക്കുന്നു.

എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ. ഏത് നമ്പറിലും ഈ പ്രവർത്തനം നടത്താം. പൂജ്യം പവറിലേക്ക് ഉയർത്തിയ അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യ 1 (x 0 =1) നൽകും.

ഏതൊരു ശക്തിയുടെയും പൂജ്യം 0 (0 a = 0) ന് തുല്യമാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ഉടനടി ഉയർന്നുവരുന്നു: 0 0 എന്ന പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വിരോധാഭാസങ്ങൾ

പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ അസാധ്യമാണെന്ന് പലർക്കും സ്കൂളിൽ നിന്ന് അറിയാം. എന്നാൽ ചില കാരണങ്ങളാൽ അത്തരമൊരു നിരോധനത്തിൻ്റെ കാരണം വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല. വാസ്തവത്തിൽ, എന്തുകൊണ്ട് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിലവിലില്ല, എന്നാൽ ഈ സംഖ്യയുള്ള മറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ തികച്ചും ന്യായവും സാദ്ധ്യവുമാണ്? ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ നൽകുന്നു.

സ്കൂൾ കുട്ടികൾ പഠിക്കുന്ന സാധാരണ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്നതാണ് കാര്യം പ്രാഥമിക വിദ്യാലയം, വാസ്തവത്തിൽ, നമ്മൾ കരുതുന്നത്ര തുല്യമല്ല. എല്ലാ ലളിതമായ സംഖ്യ പ്രവർത്തനങ്ങളും രണ്ടായി ചുരുക്കാം: സങ്കലനവും ഗുണനവും. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സംഖ്യ എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ സാരാംശം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, മറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇവ രണ്ടിൻ്റെയും ഉപയോഗത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.

കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഗുണനവും

നമുക്ക് ഒരു സാധാരണ കുറയ്ക്കൽ ഉദാഹരണം എടുക്കാം: 10-2=8. സ്കൂളിൽ അവർ അത് ലളിതമായി പരിഗണിക്കുന്നു: നിങ്ങൾ പത്ത് വിഷയങ്ങളിൽ നിന്ന് രണ്ടെണ്ണം കുറച്ചാൽ, എട്ട് അവശേഷിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ പ്രവർത്തനത്തെ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായി കാണുന്നു. എല്ലാത്തിനുമുപരി, കുറയ്ക്കൽ പോലുള്ള ഒരു പ്രവർത്തനം അവർക്ക് നിലവിലില്ല. ഈ ഉദാഹരണം മറ്റൊരു രീതിയിൽ എഴുതാം: x+2=10. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അജ്ഞാതമായ വ്യത്യാസം എട്ട് ആക്കുന്നതിന് രണ്ടിൽ ചേർക്കേണ്ട സംഖ്യയാണ്. ഇവിടെ കുറയ്ക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, നിങ്ങൾ ഉചിതമായ സംഖ്യാ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഗുണനവും വിഭജനവും ഒരുപോലെ പരിഗണിക്കുന്നു. ഉദാഹരണം 12:4=3 ൽ, ​​ഞങ്ങൾ എട്ട് ഒബ്ജക്റ്റുകളെ രണ്ട് തുല്യ പൈലുകളായി വിഭജിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാക്കാം. എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് 3x4 = 12 എഴുതുന്നതിനുള്ള ഒരു വിപരീത ഫോർമുല മാത്രമാണ്. വിഭജനത്തിൻ്റെ അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ അനന്തമായി നൽകാം.

0 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയാത്തതെന്ന് ഇവിടെയാണ് അൽപ്പം വ്യക്തമാകുന്നത്. പൂജ്യത്താൽ ഗുണിക്കുന്നതും ഹരിക്കുന്നതും അവരുടേതായ നിയമങ്ങൾ പാലിക്കുന്നു. ഈ അളവ് ഹരിക്കുന്നതിനുള്ള എല്ലാ ഉദാഹരണങ്ങളും 6:0 = x ആയി രൂപപ്പെടുത്താം. എന്നാൽ ഇത് 6 * x=0 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ വിപരീത നൊട്ടേഷനാണ്. പക്ഷേ, നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഏത് സംഖ്യയും 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ 0 മാത്രമേ ലഭിക്കൂ. പൂജ്യം മൂല്യം എന്ന ആശയത്തിൽ തന്നെ ഈ ഗുണം അന്തർലീനമാണ്.

0 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഏതെങ്കിലും മൂർത്തമായ മൂല്യം നൽകുന്ന അത്തരമൊരു സംഖ്യ ഇല്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, അതായത് ഈ ചുമതലഒരു പരിഹാരവുമില്ല. ഈ ഉത്തരത്തെ നിങ്ങൾ ഭയപ്പെടേണ്ടതില്ല; ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള സ്വാഭാവിക ഉത്തരമാണിത്. 6:0 എന്ന റെക്കോർഡിന് ഒരു അർത്ഥവും ഇല്ലെന്നും അതിന് ഒന്നും വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്നും മാത്രം. ചുരുക്കത്തിൽ, ഈ പദപ്രയോഗം അനശ്വരമായ "പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അസാധ്യമാണ്" എന്ന് വിശദീകരിക്കാം.

0:0 ഓപ്പറേഷൻ ഉണ്ടോ? തീർച്ചയായും, 0 കൊണ്ട് ഗുണനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനം നിയമപരമാണെങ്കിൽ, പൂജ്യത്തെ പൂജ്യത്താൽ ഹരിക്കാൻ കഴിയുമോ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, 0x 5=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം തികച്ചും നിയമപരമാണ്. 5-ന് പകരം നിങ്ങൾക്ക് 0 ഇടാം, ഉൽപ്പന്നം മാറില്ല.

തീർച്ചയായും, 0x0=0. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും 0 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. പറഞ്ഞതുപോലെ, വിഭജനം ഗുണനത്തിൻ്റെ വിപരീതമാണ്. അതിനാൽ, 0x5=0 ഉദാഹരണത്തിൽ, നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഘടകം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് 0x0=5 ലഭിക്കും. അല്ലെങ്കിൽ 10. അല്ലെങ്കിൽ അനന്തത. അനന്തതയെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു - നിങ്ങൾക്കത് എങ്ങനെ ഇഷ്ടമാണ്?

എന്നാൽ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ പദപ്രയോഗവുമായി യോജിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അത് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല; അനന്തമായ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഒരെണ്ണം മാത്രം തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ നമുക്ക് കഴിയില്ല. അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, 0:0 എന്ന പ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. പൂജ്യത്തെ പോലും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം

ഹൈസ്കൂൾ കണക്കിന് ഒരു തലവേദനയാണ് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഡിവിഷൻ. സാങ്കേതിക സർവ്വകലാശാലകളിൽ പഠിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം പരിഹാരമില്ലാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുടെ ആശയത്തെ ചെറുതായി വികസിപ്പിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, സ്‌കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്‌സ് കോഴ്‌സുകളിൽ പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്ത, ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന 0:0 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് പുതിയവ ചേർത്തിരിക്കുന്നു:

• അനന്തതയെ അനന്തതയാൽ ഹരിക്കുന്നു: ∞:∞;
• ഇൻഫിനിറ്റി മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി: ∞−∞;
• യൂണിറ്റ് അനന്ത ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തി: 1 ∞ ;
• അനന്തതയെ 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ: ∞*0;
• മറ്റു ചിലർ.

പ്രാഥമിക രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. എന്നാൽ ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം, സമാനമായ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള അധിക സാധ്യതകൾക്ക് നന്ദി, അന്തിമ പരിഹാരങ്ങൾ നൽകുന്നു. പരിമിതികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഗണനയിൽ ഇത് പ്രത്യേകിച്ചും വ്യക്തമാണ്.

അനിശ്ചിതത്വം അൺലോക്ക് ചെയ്യുന്നു

പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ, മൂല്യം 0 ന് പകരം ഒരു സോപാധികമായ അനന്തമായ വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, പൂജ്യത്താൽ വിഭജനം ലഭിക്കുന്ന എക്സ്പ്രഷനുകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സാധാരണ ബീജഗണിത പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിധി വികസിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാധാരണ ഉദാഹരണം ചുവടെ:

ഉദാഹരണത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നത് അതിൻ്റെ മൂല്യത്തെ പൂർണ്ണമായും യുക്തിസഹമായ ഉത്തരത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പരിധി പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയിലേക്ക് കുറയുന്നു. ഒരു പരിധി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ ഡിനോമിനേറ്റർ 0 ആയി മാറുന്ന പരിധികൾ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, ശ്രദ്ധേയമായ രണ്ടാമത്തെ പരിധി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

എൽ'ഹോപ്പിറ്റൽ രീതി

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ പരിധികൾ അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പരിധികളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. Guillaume L'Hopital - ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, ഫ്രഞ്ച് സ്കൂൾ ഓഫ് ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ സ്ഥാപകൻ. പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിധികൾ ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പരിധിക്ക് തുല്യമാണെന്ന് അദ്ദേഹം തെളിയിച്ചു. ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷനിൽ, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഭരണം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു.