സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി ODZ ആണ്. (2019). ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡൊമെയ്ൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

തീരുമാനിക്കുന്നു വിവിധ ജോലികൾ, നമുക്ക് പലപ്പോഴും പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ സമാന പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ സ്വീകാര്യമാണ്, എന്നാൽ മറ്റുള്ളവയിൽ അല്ല. നടന്നുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങളുടെ സ്വീകാര്യത നിരീക്ഷിക്കുന്നതിൽ കാര്യമായ സഹായം ODZ നൽകുന്നു. ഇത് കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.

സമീപനത്തിൻ്റെ സാരാംശം ഇപ്രകാരമാണ്: ഒറിജിനൽ എക്‌സ്‌പ്രഷനുള്ള വേരിയബിളുകളുടെ ODZ സമാന പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി ലഭിച്ച എക്‌സ്‌പ്രഷനുള്ള വേരിയബിളുകളുടെ ODZ-മായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നു, താരതമ്യ ഫലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഉചിതമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു.

പൊതുവേ, ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് കഴിയും

• DL-നെ സ്വാധീനിക്കരുത്;
• ODZ ൻ്റെ വികാസത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു;
• ODZ ൻ്റെ സങ്കോചത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

ഓരോ കേസും ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം.

x 2 +x+3·x എന്ന പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക, ഈ എക്‌സ്‌പ്രഷനുള്ള x വേരിയബിളിൻ്റെ ODZ സെറ്റ് R ആണ്. ഇനി നമുക്ക് ഈ പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സമാന പരിവർത്തനം ചെയ്യാം - ഞങ്ങൾ സമാന പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഇത് x 2 +4·x എന്ന ഫോം എടുക്കും. വ്യക്തമായും, ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ വേരിയബിൾ x ഒരു സെറ്റ് R ആണ്. അങ്ങനെ, നടത്തിയ പരിവർത്തനം DZ-നെ മാറ്റിയില്ല.

നമുക്ക് നീങ്ങാം. നമുക്ക് x+3/x−3/x എന്ന പ്രയോഗം എടുക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ODZ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് x≠0 എന്ന അവസ്ഥയാണ്, അത് സെറ്റുമായി യോജിക്കുന്നു (−∞, 0)∪(0, +∞) . ഈ പദപ്രയോഗവും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു സമാനമായ നിബന്ധനകൾ, അത് കുറച്ചതിന് ശേഷം നമ്മൾ x എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ എത്തുന്നു, അതിന് ODZ R ആണ്. നമ്മൾ കാണുന്നത്: പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ODZ വിപുലീകരിച്ചു (ഒറിജിനൽ എക്സ്പ്രഷനായി x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ODZ-ലേക്ക് പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യ ചേർത്തു).

പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി ചുരുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. എക്സ്പ്രഷൻ എടുക്കാം . വേരിയബിളിൻ്റെ ODZ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അസമത്വം (x−1)·(x−3)≥0 ആണ്, അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിന് ഇത് അനുയോജ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, അതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് (-−∞, 1]∪∪; എഡിറ്റ് ചെയ്തു S. A. Telyakovsky - 17- ed. - M.: Education, 2008. - 240 pp.: ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.

മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. ഏഴാം ക്ലാസ്. ഉച്ചയ്ക്ക് 2 മണിക്ക് ഭാഗം 1. വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ/ എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. - 17-ാം പതിപ്പ്., ചേർക്കുക. - എം.: Mnemosyne, 2013. - 175 പേ.: അസുഖം. ISBN 978-5-346-02432-3.

മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. എട്ടാം ക്ലാസ്. 2 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ. ഭാഗം 1. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം / എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. - 11-ാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. 9-ാം ക്ലാസ്. 2 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ. ഭാഗം 1. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം / എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്, പി.വി. സെമെനോവ്. - 13-ാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതവും ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും. ഗ്രേഡ് 11. 2 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ, ഭാഗം 1. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം (പ്രൊഫൈൽ ലെവൽ) / എ.ജി. മൊർഡ്കോവിച്ച്, പി.വി. സെമെനോവ്. - രണ്ടാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

ബീജഗണിതംഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും. പത്താം ക്ലാസ്: പാഠപുസ്തകം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് സ്ഥാപനങ്ങൾ: അടിസ്ഥാനവും പ്രൊഫൈലും. ലെവലുകൾ / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; മാറ്റം വരുത്തിയത് A. B. Zhizhchenko. - മൂന്നാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2010.- 368 പേ. : അസുഖം - ISBN 978-5-09-022771-1.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? മിഡിൽ സ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ പലപ്പോഴും ഈ ടാസ്ക് കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ പ്രശ്നം മനസ്സിലാക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾ കുട്ടികളെ സഹായിക്കണം.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വ്യക്തമാക്കുന്നു.

ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിബന്ധനകൾ നമുക്ക് ഓർക്കാം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു വേരിയബിളിനെ മറ്റൊന്നിൽ ആശ്രയിക്കുന്നതാണ് ഫംഗ്ഷൻ. രണ്ട് സംഖ്യകളെ ഒരു പ്രത്യേക രീതിയിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന കർശനമായ ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമമാണിതെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, സംഖ്യാ വേരിയബിളുകൾ അക്ഷരമാല ചിഹ്നങ്ങളാൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നത് x ("x"), y ("y") എന്നിവയാണ്. x എന്ന വേരിയബിളിനെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് എന്നും y എന്ന വേരിയബിളിനെ x ൻ്റെ ആശ്രിത വേരിയബിൾ അല്ലെങ്കിൽ ഫംഗ്ഷൻ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

നിലവിലുണ്ട് വിവിധ വഴികൾവേരിയബിൾ ഡിപൻഡൻസികൾ ക്രമീകരിക്കുന്നു.

നമുക്ക് അവയെ പട്ടികപ്പെടുത്താം:

1. വിശകലന തരം.
2. ടാബുലാർ കാഴ്ച.
3. ഗ്രാഫിക് ഡിസ്പ്ലേ.

വിശകലന രീതിയെ ഫോർമുല പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). y=2x+3 എന്ന ഫോർമുല ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സാധാരണമാണ്. തന്നിരിക്കുന്ന ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു സംഖ്യാ മൂല്യംവാദം, നമുക്ക് y യുടെ മൂല്യം ലഭിക്കും.

രണ്ട് നിരകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു പട്ടികയാണ് പട്ടിക രീതി. ആദ്യ നിര X മൂല്യങ്ങൾക്കായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു, അടുത്ത കോളത്തിൽ പ്ലെയറിൻ്റെ ഡാറ്റ രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.

ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഏറ്റവും ദൃശ്യപരമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു ഗ്രാഫ് എന്നത് ഒരു വിമാനത്തിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും ഒരു പ്രദർശനമാണ്.

ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ഉപയോഗിക്കുന്നു. സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് ലംബ വരകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഒരേ യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ അക്ഷങ്ങളിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു. നേർരേഖകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര പോയിൻ്റിൽ നിന്നാണ് എണ്ണൽ നടത്തുന്നത്.

സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ഒരു തിരശ്ചീന രേഖയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനെ abscissa axis എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ലംബ രേഖ (y-axis) ആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ സംഖ്യാ മൂല്യം പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു. ഈ അക്ഷങ്ങളുടെ ലംബമായ കവലയിൽ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. പോയിൻ്റുകൾ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ഒരു സോളിഡ് ലൈൻ ലഭിക്കും. ഇത് ഷെഡ്യൂളിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമാണ്.

വേരിയബിൾ ഡിപൻഡൻസികളുടെ തരങ്ങൾ

നിർവ്വചനം.

പൊതുവേ, ആശ്രിതത്വം ഒരു സമവാക്യമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു: y=f(x). ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് x എന്ന സംഖ്യയുടെ ഓരോ മൂല്യത്തിനും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ y ഉണ്ടെന്ന് പിന്തുടരുന്നു. x എന്ന സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഗെയിമിൻ്റെ മൂല്യത്തെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ നേടുന്ന സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നായി മാറുന്നു. അതനുസരിച്ച്, ആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ മുഴുവൻ സംഖ്യകളും ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി നിർണ്ണയിക്കുന്നു. നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എന്നത് f(x) അർത്ഥമാക്കുന്ന വാദത്തിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ആണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രാരംഭ ചുമതല നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഈ പദം ശരിയായി നിർവചിക്കേണ്ടതാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, എല്ലാ തുടർന്നുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഉപയോഗശൂന്യമാകും. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ആദ്യ സെറ്റിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് മൂല്യങ്ങളുടെ അളവ് രൂപപ്പെടുന്നത്.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വ്യാപ്തി നേരിട്ട് നിയന്ത്രണങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താനുള്ള കഴിവില്ലായ്മ മൂലമാണ് പരിമിതികൾ ഉണ്ടാകുന്നത്. സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗത്തിനും പരിമിതികളുണ്ട്.

നിയന്ത്രണങ്ങളുടെ അഭാവത്തിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ ഇടവുമാണ്. അനന്തമായ ചിഹ്നത്തിന് തിരശ്ചീനമായ എട്ട് ചിഹ്നമുണ്ട്. മുഴുവൻ സംഖ്യകളും ഇതുപോലെയാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്: (-∞; ∞).

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഡാറ്റാ സെറ്റിൽ നിരവധി ഉപസെറ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. സംഖ്യാ ഇടവേളകളുടെയോ ഇടങ്ങളുടെയോ വ്യാപ്തി പരാമീറ്റർ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിയമത്തിൻ്റെ തരത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

നിയന്ത്രണങ്ങളെ സ്വാധീനിക്കുന്ന ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് ഇതാ:

• വിപരീത അനുപാതം;
• ഗണിത റൂട്ട്;
• എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ;
• ലോഗരിഥമിക് ആശ്രിതത്വം;
• ത്രികോണമിതി രൂപങ്ങൾ.

അത്തരം നിരവധി ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിയന്ത്രണങ്ങൾക്കായുള്ള തിരയൽ അവയിൽ ഓരോന്നിനും വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു. നിർണായക പോയിൻ്റുകളും വിടവുകളും തിരിച്ചറിയുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും വലിയ പ്രശ്നം. എല്ലാ സംഖ്യാ ഉപവിഭാഗങ്ങളെയും ഒന്നിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം.

സംഖ്യകളുടെ ഗണവും ഉപഗണവും

സെറ്റുകളെ കുറിച്ച്.

നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ D(f) ആയി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ യൂണിയൻ ചിഹ്നം ∪ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. എല്ലാ സംഖ്യാ ഇടവേളകളും പരാൻതീസിസിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. സൈറ്റിൻ്റെ അതിർത്തി സെറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ഒരു അർദ്ധവൃത്താകൃതിയിലുള്ള ബ്രാക്കറ്റ് സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ, ഒരു ഉപഗണത്തിൽ ഒരു സംഖ്യ ഉൾപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

y=k/x എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് വിപരീത അനുപാതം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത്. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് രണ്ട് ശാഖകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു വളഞ്ഞ വരയാണ്. ഇതിനെ സാധാരണയായി ഹൈപ്പർബോൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനാൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുന്നത് ഡിനോമിനേറ്ററിനെ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നത് നിരോധിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നത് എല്ലാവർക്കും അറിയാം. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ഡിനോമിനേറ്ററിനെ പൂജ്യത്തിലേക്ക് തുല്യമാക്കുകയും വേരുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: y=1/(x+4). നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക.

1. ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു.
   x+4=0
2. സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തൽ.
   x=-4
3. ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും സെറ്റ് ഞങ്ങൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

ഉത്തരം: ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ -4 ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുമാണ്.

സ്ക്വയർ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുന്നത് ഒരു അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.

റൂട്ട് നിർണ്ണയിക്കുന്ന പ്രദേശം റൂട്ട് സൂചകത്തിൻ്റെ തുല്യതയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. സൂചകം 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, പദപ്രയോഗം അത് അർത്ഥമാക്കുന്നു പോസിറ്റീവ് മൂല്യം. ഇൻഡിക്കേറ്ററിൻ്റെ ഒരു ഒറ്റസംഖ്യ സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിൻ്റെ സ്വീകാര്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്.

അസമത്വങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങൾ പോലെ തന്നെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു വ്യത്യാസമേ ഉള്ളൂ. അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിച്ച ശേഷം ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർഅടയാളം മറിച്ചിടണം.

സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ആണെങ്കിൽ, ഒരു അധിക നിബന്ധന ചുമത്തണം. സംഖ്യ മൂല്യം പൂജ്യമായിരിക്കരുത്. അസമത്വം കർശനമായ അസമത്വങ്ങളുടെ വിഭാഗത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ലോഗരിഥമിക്, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ

ലോഗരിതമിക് ഫോം എപ്പോൾ അർത്ഥമാക്കുന്നു പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ. അങ്ങനെ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻപൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് ഫംഗ്‌ഷന് സമാനമാണ്.

ലോഗരിഥമിക് ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: y=log(2x-6). നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

ഉത്തരം: (3; +∞).

y=sin x, y=cos x എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാറ്റിൻ്റെയും ഗണമാണ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ. ടാൻജെൻ്റിനും കോട്ടാൻജെൻ്റിനും നിയന്ത്രണങ്ങളുണ്ട്. ഒരു കോണിൻ്റെ കോസൈൻ അല്ലെങ്കിൽ സൈൻ കൊണ്ടുള്ള വിഭജനവുമായി അവ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഒരു കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സൈനിൻ്റെയും കോസൈൻ്റെയും അനുപാതമാണ്. ടാൻജെൻ്റ് മൂല്യം നിലവിലില്ലാത്ത ആംഗിൾ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. x=π/2+πn, n∈Z ഒഴികെയുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും y=tg x എന്ന ഫംഗ്ഷൻ അർത്ഥവത്താണ്.

y=ctg x ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ x=πn, n∈Z ഒഴികെയുള്ള യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റാണ്. ആർഗ്യുമെൻ്റ് സംഖ്യയോ π യുടെ ഗുണിതമോ ആണെങ്കിൽ, കോണിൻ്റെ സൈൻ പൂജ്യമാണ്. ഈ പോയിൻ്റുകളിൽ (അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ) കോട്ടാൻജെൻ്റ് നിലനിൽക്കില്ല.

നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ തിരിച്ചറിയുന്നതിനുള്ള ആദ്യ ജോലികൾ ഏഴാം ക്ലാസിലെ പാഠങ്ങളിൽ ആരംഭിക്കുന്നു. ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ ഈ വിഭാഗത്തിലേക്ക് ആദ്യമായി പരിചയപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, വിദ്യാർത്ഥി വിഷയം വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കണം.

ഈ പദം മുഴുവൻ പഠന കാലയളവിലുടനീളം സ്കൂൾ കുട്ടിക്കും തുടർന്ന് വിദ്യാർത്ഥിക്കും അനുഗമിക്കുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

ആദ്യം, എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് പഠിക്കാം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ. വേരിയബിളിൻ്റെ അത്തരം എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ അർത്ഥവത്താണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനായി തുക ഉണ്ടാക്കുന്ന എല്ലാ ഫംഗ്ഷനുകളും അർത്ഥമാക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനയുടെ സാധുതയെക്കുറിച്ച് യാതൊരു സംശയവുമില്ല:

f ഫംഗ്ഷൻ f 1, f 2, …, f n എന്നീ n ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയാണെങ്കിൽ, f ഫംഗ്ഷൻ y=f 1 (x)+f 2 (x)+...+f n (x) എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് നൽകുന്നത്. ), തുടർന്ന് f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ f 1, f 2, ..., f n ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകളുടെ കവലയാണ്. നമുക്ക് ഇത് എന്ന് എഴുതാം.

അവസാനത്തേതിന് സമാനമായ എൻട്രികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് തുടരാൻ സമ്മതിക്കാം, അതിലൂടെ ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു ചുരുണ്ട ബ്രേസിനുള്ളിൽ എഴുതിയത് അല്ലെങ്കിൽ ഏതെങ്കിലും വ്യവസ്ഥകളുടെ ഒരേസമയം പൂർത്തീകരണം എന്നാണ്. ഇത് സൗകര്യപ്രദവും സ്വാഭാവികമായും സിസ്റ്റങ്ങളുടെ അർത്ഥവുമായി പ്രതിധ്വനിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.

y=x 7 +x+5+tgx എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ നിർവചന ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

പരിഹാരം.

നാല് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് f ഫംഗ്‌ഷൻ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്: f 1 - എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 7 ഉള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ, f 2 - എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 1 ഉള്ള പവർ ഫംഗ്ഷൻ, f 3 - കോൺസ്റ്റൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ, എഫ് 4 - ടാൻജെൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ.

പ്രധാനം നിർവചിക്കുന്നതിനുള്ള മേഖലകളുടെ പട്ടിക നോക്കുന്നു പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ, D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , കൂടാതെ ഡൊമെയ്ൻ സംഖ്യകൾ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ നിർവചനം .

f 1, f 2, f 3, f 4 എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകളുടെ കവലയാണ് f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ. അക്കങ്ങൾ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ് ഇത് എന്നത് വളരെ വ്യക്തമാണ് .

ഉത്തരം:

ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും കൂട്ടം .

നമുക്ക് കണ്ടെത്തലിലേക്ക് പോകാം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമാനമായ ഒരു നിയമം ബാധകമാണ്:

f ഫംഗ്‌ഷൻ f 1, f 2, ..., f n ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗുണനഫലമാണെങ്കിൽ, f എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഫോർമുലയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), തുടർന്ന് f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ f 1, f 2, ..., f n ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകളുടെ കവലയാണ്. അതിനാൽ, .

ഇത് മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ, സൂചിപ്പിച്ച പ്രദേശത്ത് എല്ലാ ഉൽപ്പന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളും നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ ഫംഗ്ഷൻ f തന്നെ.

ഉദാഹരണം.

Y=3·arctgx·lnx.

പരിഹാരം.

ഫംഗ്‌ഷനെ നിർവചിക്കുന്ന ഫോർമുലയുടെ വലതുവശത്തെ ഘടനയെ f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) ആയി കണക്കാക്കാം, ഇവിടെ f 1 ഒരു സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനമാണ്, f 2 എന്നത് ആർക്റ്റഞ്ചൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷനാണ്, കൂടാതെ f 3 അടിസ്ഥാന e ഉള്ള ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനാണ്.

D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(-−∞, +∞) കൂടാതെ D(f 3)=(0, +∞) എന്നിവ നമുക്കറിയാം. പിന്നെ .

ഉത്തരം:

y=3·arctgx·lnx ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാ യഥാർത്ഥ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.

y=C·f(x) എന്ന ഫോർമുല നൽകുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുന്നതിൽ നമുക്ക് പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം, ഇവിടെ C എന്നത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നും യോജിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. തീർച്ചയായും, ഫംഗ്‌ഷൻ y=C·f(x) ഒരു സ്ഥിരാങ്ക ഫംഗ്‌ഷൻ്റെയും ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെയും ഫലമാണ്. സ്ഥിരമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്, കൂടാതെ f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ D(f) ആണ്. അപ്പോൾ y=C f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ആണ് , അതാണ് കാണിക്കേണ്ടത്.

അതിനാൽ, y=f(x), y=C·f(x) എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകൾ ഒത്തുചേരുന്നു, ഇവിടെ C എന്നത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, റൂട്ടിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ആണ്, F 2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ x-ൻ്റെയും സെറ്റാണ് D(f) എന്ന് വ്യക്തമാകും, ഇതിനായി f 1 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ f 2 (x) ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, ഒരു സങ്കീർണ്ണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ y=f 1 (f 2 (x)) എന്നത് രണ്ട് സെറ്റുകളുടെ കവലയാണ്: അത്തരം എല്ലാ x ആ x∈D(f 2) യുടെയും x ൻ്റെയും ഗണവും f 2 (x)D(f 1) അതായത്, നമ്മൾ സ്വീകരിച്ച നൊട്ടേഷനിൽ (ഇത് അടിസ്ഥാനപരമായി അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്).

ചില ഉദാഹരണ പരിഹാരങ്ങൾ നോക്കാം. ഈ പ്രക്രിയയെ ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിവരിക്കില്ല, കാരണം ഇത് ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ പരിധിക്കപ്പുറമാണ്.

ഉദാഹരണം.

y=lnx 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷനെ y=f 1 (f 2 (x)) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഇവിടെ f 1 എന്നത് e ബേസ് ഉള്ള ഒരു ലോഗരിതം ആണ്, കൂടാതെ f 2 എന്നത് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 2 ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷനാണ്.

പ്രധാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ഡൊമെയ്‌നുകളിലേക്ക് തിരിയുമ്പോൾ, നമുക്ക് D(f 1)=(0, +∞), D(f 2)=(−∞, +∞) .

പിന്നെ

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തി, ഇത് പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.

ഉത്തരം:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

ഉദാഹരണം.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എന്താണ് ?

പരിഹാരം.

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സങ്കീർണ്ണമാണ്, ഇതിനെ y=f 1 (f 2 (x)) ആയി കണക്കാക്കാം, ഇവിടെ f 1 എന്നത് എക്‌സ്‌പോണൻ്റോടുകൂടിയ ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, കൂടാതെ f 2 എന്നത് ആർക്‌സൈൻ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്കറിയാവുന്നത് നോക്കാം: D(f 1)=(0, +∞) കൂടാതെ D(f 2)=[−1, 1] . x∈D(f 2), f 2 (x)∈D(f 1) എന്നിങ്ങനെയുള്ള x മൂല്യങ്ങളുടെ സെറ്റുകളുടെ വിഭജനം കണ്ടെത്താൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

arcsinx>0-ലേക്ക്, arcsine ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഓർക്കുക. നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലുടനീളം ആർക്‌സൈൻ വർദ്ധിക്കുകയും [−1, 1] x=0-ൽ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുകയും ചെയ്യുന്നു, അതിനാൽ, ഇടവേളയിൽ നിന്ന് (0, 1] ഏത് x-നും arcsinx>0.

നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം:

അതിനാൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ആവശ്യമായ ഡൊമെയ്ൻ പകുതി ഇടവേളയാണ് (0, 1].

ഉത്തരം:

(0, 1] .

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് പോകാം പൊതുവായ കാഴ്ച y=f 1 (f 2 (...f n (x)))) . ഈ കേസിൽ f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഇങ്ങനെയാണ് കാണപ്പെടുന്നത് .

ഉദാഹരണം.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം.

നൽകിയിരിക്കുന്ന സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്‌ഷൻ y=f 1 (f 2 (f 3 (x))) എന്ന് എഴുതാം, ഇവിടെ f 1 – sin, f 2 – ഫോർത്ത്-ഡിഗ്രി റൂട്ട് ഫംഗ്‌ഷൻ, f 3 – ലോഗ്.

D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=- ∞; +∞[ .

ഉദാഹരണം 1. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക വൈ = 2 .

പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ല, അതായത് മുകളിലുള്ള നിർവചനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ സ്വാഭാവിക ഡൊമെയ്ൻ അർത്ഥമാക്കുന്നു. എക്സ്പ്രഷൻ എഫ്(x) = 2 ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾക്കായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു x, അതിനാൽ, ഈ ഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ സെറ്റിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു ആർ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ.

അതിനാൽ, മുകളിലുള്ള ഡ്രോയിംഗിൽ, മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി മുതൽ പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി വരെയുള്ള എല്ലാ വഴികളിലും നമ്പർ ലൈൻ ഷേഡുള്ളതാണ്.

റൂട്ട് ഡെഫനിഷൻ ഏരിയ എൻബിരുദം

സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷൻ നൽകുമ്പോൾ എൻ- സ്വാഭാവിക സംഖ്യ:

ഉദാഹരണം 2. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം. നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതായത് - 1 ≤ ആണെങ്കിൽ ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് അർത്ഥമാക്കുന്നു. x≤ 1. അതിനാൽ, ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ [- 1; 1] .

മുകളിലുള്ള ഡ്രോയിംഗിലെ നമ്പർ ലൈനിൻ്റെ ഷേഡുള്ള ഏരിയയാണ് ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ.

പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ

എങ്കിൽ എ- പോസിറ്റീവ്, അപ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്, അതായത് ]- ∞; + ∞[ ;

എങ്കിൽ എ- നെഗറ്റീവ്, തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ സെറ്റ് ആണ് ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , അതായത്, പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയും.

മുകളിലുള്ള അനുബന്ധ ഡ്രോയിംഗിൽ, മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയും ഷേഡുള്ളതാണ്, കൂടാതെ പൂജ്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിൻ്റ് പഞ്ച് ചെയ്യുന്നു (ഇത് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല).

ഉദാഹരണം 3. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം. ആദ്യ പദം 3 ന് തുല്യമായ x ൻ്റെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, രണ്ടാമത്തെ പദത്തിലെ x ൻ്റെ ശക്തിയെ ഒന്നായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം - ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും. തൽഫലമായി, ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയാണ്, അതായത് ]- ∞; +∞[ .

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷൻ നൽകുമ്പോൾ:

പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ സെറ്റ് 0 ആണ്; +∞[ .

ഉദാഹരണം 4. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷൻ എക്‌സ്‌പ്രഷനിലെ രണ്ട് പദങ്ങളും ശക്തി പ്രവർത്തനങ്ങൾപോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളോടെ. തൽഫലമായി, ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ സെറ്റ് ആണ് - ∞; +∞[ .

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡൊമെയ്ൻ

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഫോർമുല വഴി നൽകുമ്പോൾ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയാണ്, അതായത് ] - ∞; +∞[ .

ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ

ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ അതിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്, അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ സെറ്റ് ]0 ആണ്; +∞[ .

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ സ്വയം കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് പരിഹാരം നോക്കുക

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡൊമെയ്ൻ

ഫംഗ്ഷൻ ഡൊമെയ്ൻ വൈ= cos( x) - പലതും ആർ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ.

ഫംഗ്ഷൻ ഡൊമെയ്ൻ വൈ= tg( x) - ഒരു കൂട്ടം ആർ സംഖ്യകൾ ഒഴികെയുള്ള യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ .

ഫംഗ്ഷൻ ഡൊമെയ്ൻ വൈ= ctg( x) - ഒരു കൂട്ടം ആർ സംഖ്യകൾ ഒഴികെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ.

ഉദാഹരണം 8. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം. ബാഹ്യ പ്രവർത്തനം - ദശാംശ ലോഗരിതംകൂടാതെ അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ പൊതുവെ ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് വിധേയമാണ്. അതായത്, അവളുടെ വാദം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം. ഇവിടെ വാദം "x" ൻ്റെ സൈൻ ആണ്. ഒരു വൃത്തത്തിന് ചുറ്റും ഒരു സാങ്കൽപ്പിക കോമ്പസ് തിരിയുമ്പോൾ, അവസ്ഥ പാപമാണെന്ന് നമുക്ക് കാണാം x"x" എന്നത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ, "pi", രണ്ട്, "pi" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, പൊതുവെ "pi" യുടെ ഗുണനത്തിനും ഏതെങ്കിലും ഇരട്ട അല്ലെങ്കിൽ ഒറ്റ പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും തുല്യമാകുമ്പോൾ > 0 ലംഘിക്കപ്പെടും.

അതിനാൽ, ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ നൽകിയിട്ടുണ്ട്

,

എവിടെ കെ- ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ.

വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ

ഫംഗ്ഷൻ ഡൊമെയ്ൻ വൈ= ആർക്‌സിൻ( x) - സെറ്റ് [-1; 1] .

ഫംഗ്ഷൻ ഡൊമെയ്ൻ വൈ= ആർക്കോസ്( x) - സെറ്റും [-1; 1] .

ഫംഗ്ഷൻ ഡൊമെയ്ൻ വൈ= ആർക്റ്റാൻ( x) - ഒരു കൂട്ടം ആർ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ.

ഫംഗ്ഷൻ ഡൊമെയ്ൻ വൈ= arcctg( x) - പലതും ആർ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ.

ഉദാഹരണം 9. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം. അസമത്വം പരിഹരിക്കാം:

അങ്ങനെ, ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും - സെഗ്മെൻ്റ് [- 4; 4] .

ഉദാഹരണം 10. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം. നമുക്ക് രണ്ട് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം:

ആദ്യ അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം:

രണ്ടാമത്തെ അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം:

അങ്ങനെ, ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും - സെഗ്മെൻ്റ്.

ഭിന്നസംഖ്യ വ്യാപ്തി

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ വേരിയബിൾ ഉള്ള ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ ആണ് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയതെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ സെറ്റ് ആണ് ആർ ഇവ ഒഴികെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ x, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമായി മാറുന്നു.

ഉദാഹരണം 11. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം. ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ തുല്യത പൂജ്യമായി പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു - സെറ്റ് ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .