മൂന്ന് മുതൽ അടിസ്ഥാനം വരെയുള്ള ലോഗരിതം 2. ലോഗരിതം. ബൈനറി ലോഗരിതം, നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം, ഡെസിമൽ ലോഗരിതം എന്നിവയുടെ നിർവ്വചനം; എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ exp(x), നമ്പർ ഇ. ലോഗ്, Ln. ശക്തികളുടെയും ലോഗരിതങ്ങളുടെയും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ലോഗരിതം, ഡെസിബെൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു

1.1 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഘാതം നിർണ്ണയിക്കുന്നു

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N തവണ

1.2 പൂജ്യം ഡിഗ്രി.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഏത് സംഖ്യയുടെയും പൂജ്യം പവർ 1 ആണെന്ന് പൊതുവെ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

1.3 നെഗറ്റീവ് ബിരുദം.

X -N = 1/X N

1.4 ഫ്രാക്ഷണൽ പവർ, റൂട്ട്.

X 1/N = X ൻ്റെ N റൂട്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്: X 1/2 = √X.

1.5 ശക്തികൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല.

X (N+M) = X N *X M

1.6. പവറുകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല.

X (N-M) = X N /X M

1.7 ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല.

X N*M = (X N) M

1.8 ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല.

(X/Y) N = X N /Y N

2. നമ്പർ ഇ.

e എന്ന സംഖ്യയുടെ മൂല്യം ഇനിപ്പറയുന്ന പരിധിക്ക് തുല്യമാണ്:

E = lim(1+1/N), N → ∞ ആയി.

17 അക്കങ്ങളുടെ കൃത്യതയോടെ, നമ്പർ e 2.71828182845904512 ആണ്.

3. യൂലറുടെ സമത്വം.

ഈ സമത്വം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു പ്രത്യേക പങ്ക് വഹിക്കുന്ന അഞ്ച് സംഖ്യകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു: 0, 1, ഇ, പൈ, സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ്.

E (i*pi) + 1 = 0

4. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ exp(x)

exp(x) = e x

5. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന് ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു ഗുണമുണ്ട്: ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന് തുല്യമാണ്:

(exp(x))" = exp(x)

6. ലോഗരിതം.

6.1 ലോഗരിതം ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവ്വചനം

x = b y ആണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം ഫംഗ്‌ഷനാണ്

Y = ലോഗ് b(x).

ലോഗരിതം ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി കാണിക്കുന്നു - തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യ (X) ലഭിക്കുന്നതിന് ലോഗരിതം (ബി) യുടെ അടിസ്ഥാനം. പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായ X ന് ലോഗരിതം ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: ലോഗ് 10 (100) = 2.

6.2 ദശാംശ ലോഗരിതം

അടിസ്ഥാന 10-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഇതാണ്:

Y = ലോഗ് 10 (x) .

ലോഗ്(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചത്: ലോഗ്(x) = ലോഗ് 10 (x).

ഡെസിമൽ ലോഗരിതം ഉപയോഗത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഡെസിബെൽ ആണ്.

6.3 ഡെസിബെൽ

ഡെസിബെൽ എന്ന പ്രത്യേക പേജിൽ ഇനം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിട്ടുണ്ട്

6.4 ബൈനറി ലോഗരിതം

ഇതാണ് അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം:

Y = ലോഗ് 2 (x).

Lg(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചത്: Lg(x) = ലോഗ് 2 (X)

6.5 സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

e-യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഇതാണ്:

Y = ലോഗ് ഇ (x) .

Ln(x) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചത്: Ln(x) = ലോഗ് e (X)
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ (എക്‌സ്) വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം.

6.6 സ്വഭാവ പോയിൻ്റുകൾ

ലോഗ(1) = 0
ലോഗ് എ (എ) = 1

6.7 ഉൽപ്പന്ന ലോഗരിതം ഫോർമുല

ലോഗ് എ (x*y) = ലോഗ് എ (x)+ലോഗ് എ (y)

6.8 ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഫോർമുല

ലോഗ് എ (x/y) = ലോഗ് എ (x)-ലോഗ് എ (y)

6.9 പവർ ഫോർമുലയുടെ ലോഗരിതം

ലോഗ് എ (x y) = y*ലോഗ് എ (x)

6.10 വ്യത്യസ്ത അടിത്തറയുള്ള ഒരു ലോഗരിതത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല

ലോഗ് b (x) = (ലോഗ് എ (x))/ലോഗ് എ (ബി)

ഉദാഹരണം:

ലോഗ് 2 (8) = ലോഗ് 10 (8)/ലോഗ് 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. ജീവിതത്തിൽ ഉപയോഗപ്രദമായ ഫോർമുലകൾ

പലപ്പോഴും വോളിയം വിസ്തീർണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ നീളം ആക്കി മാറ്റുന്നതിൽ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്, വിപരീത പ്രശ്നമുണ്ട് - ഏരിയയെ വോളിയമാക്കി മാറ്റുന്നതിൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, ബോർഡുകൾ ക്യൂബുകളിൽ (ക്യുബിക് മീറ്റർ) വിൽക്കുന്നു, ഒരു നിശ്ചിത വോള്യത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ബോർഡുകൾ ഉപയോഗിച്ച് എത്ര മതിൽ വിസ്തീർണ്ണം മൂടാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, ബോർഡുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ കാണുക, ഒരു ക്യൂബിൽ എത്ര ബോർഡുകൾ ഉണ്ട്. അല്ലെങ്കിൽ, മതിലിൻ്റെ അളവുകൾ അറിയാമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഇഷ്ടികകളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഇഷ്ടിക കണക്കുകൂട്ടൽ കാണുക.

ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു സജീവ ലിങ്ക് ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്തിട്ടുള്ള സൈറ്റ് മെറ്റീരിയലുകൾ ഉപയോഗിക്കാൻ ഇതിന് അനുമതിയുണ്ട്.

സമൂഹം വികസിക്കുകയും ഉൽപ്പാദനം സങ്കീർണ്ണമാവുകയും ചെയ്തപ്പോൾ ഗണിതവും വികസിച്ചു. ലളിതത്തിൽ നിന്ന് സങ്കീർണ്ണതയിലേക്കുള്ള ചലനം. സങ്കലനത്തിൻ്റെയും വ്യവകലനത്തിൻ്റെയും രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള സാധാരണ അക്കൗണ്ടിംഗിൽ നിന്ന്, അവയുടെ ആവർത്തിച്ചുള്ള ആവർത്തനത്തോടെ, ഞങ്ങൾ ഗുണനത്തിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും ആശയത്തിലേക്ക് എത്തി. ഗുണനത്തിൻ്റെ ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനം കുറയ്ക്കുന്നത് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ എന്ന ആശയമായി മാറി. സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെയും വർദ്ധനസംഖ്യയുടെയും ആദ്യ പട്ടികകൾ 8-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വാരസേനയാണ് സമാഹരിച്ചത്. അവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം സംഭവിക്കുന്ന സമയം കണക്കാക്കാം.

ചരിത്ര സ്കെച്ച്

പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ യൂറോപ്പിൻ്റെ പുനരുജ്ജീവനവും മെക്കാനിക്സിൻ്റെ വികാസത്തെ ഉത്തേജിപ്പിച്ചു. ടി ഒരു വലിയ അളവിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമാണ്ഗുണനവും വിഭജനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ഒന്നിലധികം അക്ക സംഖ്യകൾ. പുരാതന ടേബിളുകൾ മികച്ച സേവനമായിരുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ലളിതമായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് അവർ സാധ്യമാക്കി - സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും. 1544-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ മൈക്കൽ സ്റ്റീഫലിൻ്റെ സൃഷ്ടിയാണ് ഒരു വലിയ മുന്നേറ്റം, അതിൽ നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ആശയം അദ്ദേഹം തിരിച്ചറിഞ്ഞു. ഇത് പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ രൂപത്തിലുള്ള ശക്തികൾക്ക് മാത്രമല്ല, ഏകപക്ഷീയമായ യുക്തിസഹമായവയ്ക്കും പട്ടികകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കി.

1614-ൽ, സ്കോട്ട്ലൻഡുകാരനായ ജോൺ നേപ്പിയർ ഈ ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, "ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം" എന്ന പുതിയ പദം ആദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചു. സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും ലോഗരിതം, ടാൻജെൻ്റുകൾ എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നതിനായി പുതിയ സങ്കീർണ്ണ പട്ടികകൾ സമാഹരിച്ചു. ഇത് ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രവർത്തനത്തെ വളരെയധികം കുറച്ചു.

പുതിയ പട്ടികകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ തുടങ്ങി, അത് മൂന്ന് നൂറ്റാണ്ടുകളായി ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിജയകരമായി ഉപയോഗിച്ചു. ബീജഗണിതത്തിലെ പുതിയ ഓപ്പറേഷൻ അതിൻ്റെ പൂർത്തിയായ രൂപം നേടുന്നതിന് മുമ്പ് ഒരുപാട് സമയം കടന്നുപോയി. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം നൽകുകയും അതിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്തു.

20-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, കാൽക്കുലേറ്ററിൻ്റെയും കമ്പ്യൂട്ടറിൻ്റെയും ആവിർഭാവത്തോടെ, പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലുടനീളം വിജയകരമായി പ്രവർത്തിച്ചിരുന്ന പുരാതന പട്ടികകൾ മാനവികത ഉപേക്ഷിച്ചു.

ഇന്ന് നമ്മൾ b യുടെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു a സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി x എന്നത് b ഉണ്ടാക്കാനുള്ള a യുടെ ശക്തിയാണ്. ഇത് ഒരു ഫോർമുലയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു: x = log a(b).

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 3(9) 2 ന് തുല്യമായിരിക്കും. നിങ്ങൾ നിർവചനം പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ ഇത് വ്യക്തമാണ്. നമ്മൾ 3 നെ 2 ൻ്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

അങ്ങനെ, രൂപപ്പെടുത്തിയ നിർവചനം ഒരു നിയന്ത്രണം മാത്രമേ സജ്ജമാക്കൂ: a, b എന്നീ സംഖ്യകൾ യഥാർത്ഥമായിരിക്കണം.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

ക്ലാസിക് നിർവചനത്തെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ a x = b എന്ന സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. ഓപ്‌ഷൻ a = 1 അതിർത്തിരേഖയാണ്, താൽപ്പര്യമില്ല. ശ്രദ്ധിക്കുക: ഏതൊരു ശക്തിയുടെയും 1 എന്നത് 1 ന് തുല്യമാണ്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യംഅടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെൻ്റും 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രം നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കരുത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലയിൽ പ്രത്യേക സ്ഥാനംലോഗരിതം പ്ലേ ചെയ്യുക, അവയുടെ അടിത്തറയുടെ വലുപ്പം അനുസരിച്ച് പേരിടും:

നിയമങ്ങളും നിയന്ത്രണങ്ങളും

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് നിയമമാണ്: ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ലോഗ് എബിപി = ലോഗ് എ (ബി) + ലോഗ് എ (പി).

ഈ പ്രസ്താവനയുടെ ഒരു വകഭേദം എന്ന നിലയിൽ ഉണ്ടാകും: ലോഗ് സി(ബി/പി) = ലോഗ് സി(ബി) - ലോഗ് സി(പി), ക്വട്ടേഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

മുമ്പത്തെ രണ്ട് നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്: log a(b p) = p * log a(b).

മറ്റ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

അഭിപ്രായം. ഒരു സാധാരണ തെറ്റ് ചെയ്യരുത് - തുകയുടെ ലോഗരിതം അല്ല തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ലോഗരിതം.

നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി, ഒരു ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനം സമയമെടുക്കുന്ന ഒരു ജോലിയായിരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പോളിനോമിയൽ വികാസത്തിൻ്റെ ലോഗരിഥമിക് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചു:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ഇവിടെ n - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 1-ൽ കൂടുതൽ, ഇത് കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ കൃത്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചും ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചും സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാണ് മറ്റ് ബേസുകളുള്ള ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത്.

ഈ രീതി വളരെ അധ്വാനിക്കുന്നതിനാൽ പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾനടപ്പിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രീ-കംപൈൽ ചെയ്ത പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് എല്ലാ ജോലികളും ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രത്യേകം സമാഹരിച്ച ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് കുറച്ച് കൃത്യത നൽകി, പക്ഷേ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യത്തിനായുള്ള തിരയൽ ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി. y = log a(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വക്രം, നിരവധി പോയിൻ്റുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, മറ്റേതെങ്കിലും പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഒരു സാധാരണ ഭരണാധികാരിയെ ഉപയോഗിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. വളരെക്കാലമായി, എഞ്ചിനീയർമാർ ഈ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഗ്രാഫ് പേപ്പർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഉപയോഗിച്ചു.

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ആദ്യത്തെ സഹായ അനലോഗ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് അവസ്ഥകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു 19-ആം നൂറ്റാണ്ട്ഒരു പൂർത്തിയായ രൂപം സ്വന്തമാക്കി. ഏറ്റവും വിജയകരമായ ഉപകരണത്തെ സ്ലൈഡ് റൂൾ എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു. ഉപകരണത്തിൻ്റെ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അതിൻ്റെ രൂപം എല്ലാ എഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെയും പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി ത്വരിതപ്പെടുത്തി, ഇത് അമിതമായി കണക്കാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. നിലവിൽ, ഈ ഉപകരണം കുറച്ച് ആളുകൾക്ക് പരിചിതമാണ്.

കാൽക്കുലേറ്ററുകളുടെയും കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെയും വരവ് മറ്റേതെങ്കിലും ഉപകരണങ്ങളുടെ ഉപയോഗം അർത്ഥശൂന്യമാക്കി.

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു: ലോഗ് എ (ബി) = ലോഗ് സി (ബി) / ലോഗ് സി (എ);
• മുമ്പത്തെ ഓപ്ഷൻ്റെ അനന്തരഫലമായി: log a(b) = 1 / log b(a).

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്:

• അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെൻ്റും ഒന്നിൽ കൂടുതലോ കുറവോ ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആകുകയുള്ളൂ; ഒരു വ്യവസ്ഥയെങ്കിലും ലംഘിച്ചാൽ, ലോഗരിതം മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.
• ലോഗരിതം ഫംഗ്‌ഷൻ അസമത്വത്തിൻ്റെ വലത്തും ഇടത്തും പ്രയോഗിച്ചാൽ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടും; അല്ലെങ്കിൽ അത് മാറുന്നു.

സാമ്പിൾ പ്രശ്നങ്ങൾ

ലോഗരിതങ്ങളും അവയുടെ സവിശേഷതകളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ലോഗരിതം ഒരു പവറിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക:

• പ്രശ്നം 3. 25^ലോഗ് 5(3) കണക്കാക്കുക. പരിഹാരം: പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ, എൻട്രി ഇനിപ്പറയുന്ന (5^2)^log5(3) അല്ലെങ്കിൽ 5^(2 * ലോഗ് 5(3)) പോലെയാണ്. നമുക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം: 5^ലോഗ് 5(3*2), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റായി ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർഗ്ഗമായി എഴുതാം (5^ലോഗ് 5(3))^2. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ പദപ്രയോഗം 3^2 ന് തുല്യമാണ്. ഉത്തരം: കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

പ്രായോഗിക ഉപയോഗം

തികച്ചും ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ആയതിനാൽ, അത് വളരെ അകലെയാണെന്ന് തോന്നുന്നു യഥാർത്ഥ ജീവിതംലോഗരിതം പെട്ടെന്ന് നേടിയെടുത്തത് വലിയ പ്രാധാന്യംവസ്തുക്കളെ വിവരിക്കാൻ യഥാർത്ഥ ലോകം. അത് ഉപയോഗിക്കാത്ത ഒരു ശാസ്ത്രം കണ്ടെത്താൻ പ്രയാസമാണ്. ഇത് പ്രകൃതിക്ക് മാത്രമല്ല, വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ മാനുഷിക മേഖലകൾക്കും പൂർണ്ണമായും ബാധകമാണ്.

ലോഗരിഥമിക് ഡിപൻഡൻസികൾ

സംഖ്യാ ആശ്രിതത്വങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും

ചരിത്രപരമായി, മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും എല്ലായ്പ്പോഴും ഗണിതശാസ്ത്ര ഗവേഷണ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് വികസിപ്പിച്ചെടുത്തത്, അതേ സമയം ലോഗരിതം ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികസനത്തിന് പ്രോത്സാഹനമായി. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ മിക്ക നിയമങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തം എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഭാഷയിലാണ്. ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഭൗതിക നിയമങ്ങൾ വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം നൽകാം.

റോക്കറ്റിൻ്റെ വേഗത പോലുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ബഹിരാകാശ പര്യവേക്ഷണ സിദ്ധാന്തത്തിന് അടിത്തറയിട്ട സിയോൾകോവ്സ്കി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

V = I * ln (M1/M2), എവിടെ

• V ആണ് വിമാനത്തിൻ്റെ അവസാന വേഗത.
• ഞാൻ - എഞ്ചിൻ്റെ പ്രത്യേക പ്രേരണ.
• M 1 - റോക്കറ്റിൻ്റെ പ്രാരംഭ പിണ്ഡം.
• M 2 - അന്തിമ പിണ്ഡം.

മറ്റൊരു പ്രധാന ഉദാഹരണം- ഇത് മറ്റൊരു മികച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞനായ മാക്സ് പ്ലാങ്കിൻ്റെ ഫോർമുലയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് തെർമോഡൈനാമിക്സിലെ സന്തുലിതാവസ്ഥയെ വിലയിരുത്താൻ സഹായിക്കുന്നു.

S = k * ln (Ω), എവിടെ

• എസ് - തെർമോഡൈനാമിക് പ്രോപ്പർട്ടി.
• k - ബോൾട്ട്സ്മാൻ സ്ഥിരാങ്കം.
• Ω എന്നത് വിവിധ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഭാരം ആണ്.

രസതന്ത്രം

രസതന്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അനുപാതം അടങ്ങിയ ഫോർമുലകളുടെ ഉപയോഗം അത്ര വ്യക്തമല്ല. രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം പറയാം:

• നേർനസ്റ്റ് സമവാക്യം, പദാർത്ഥങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മീഡിയത്തിൻ്റെ റെഡോക്സ് പൊട്ടൻഷ്യലിൻ്റെ അവസ്ഥയും സന്തുലിത സ്ഥിരാങ്കവും.
• ഓട്ടോലിസിസ് ഇൻഡക്സ്, ലായനിയുടെ അസിഡിറ്റി തുടങ്ങിയ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലും ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനമില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

സൈക്കോളജിയും ബയോളജിയും

പിന്നെ മനഃശാസ്ത്രത്തിന് ഇതുമായി എന്ത് ബന്ധമുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമല്ല. ഉത്തേജക തീവ്രത മൂല്യത്തിൻ്റെയും താഴ്ന്ന തീവ്രത മൂല്യത്തിൻ്റെയും വിപരീത അനുപാതമായി ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സംവേദനത്തിൻ്റെ ശക്തി നന്നായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

മേൽപ്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം, ജീവശാസ്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല. ലോഗരിഥമിക് സർപ്പിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജൈവ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് മുഴുവൻ വാല്യങ്ങളും എഴുതാം.

മറ്റ് മേഖലകൾ

ഈ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധമില്ലാതെ ലോകത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പ് അസാധ്യമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, അത് എല്ലാ നിയമങ്ങളെയും നിയന്ത്രിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും പ്രകൃതി നിയമങ്ങൾ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുമ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. MatProfi വെബ്‌സൈറ്റിലേക്ക് തിരിയുന്നത് മൂല്യവത്താണ്, അത്തരം നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട് ഇനിപ്പറയുന്ന മേഖലകൾപ്രവർത്തനങ്ങൾ:

പട്ടിക അനന്തമായിരിക്കാം. ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന തത്ത്വങ്ങളിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടിയ ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ ജ്ഞാനത്തിൻ്റെ ലോകത്തിലേക്ക് കടക്കാൻ കഴിയും.

a (a > 0, a ≠ 1) ആധാരമാക്കാൻ b (b > 0) എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം- b ലഭിക്കാൻ a സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ഘാതം.

b യുടെ അടിസ്ഥാന 10 ലോഗരിതം ഇങ്ങനെ എഴുതാം ലോഗ് (ബി), കൂടാതെ ബേസ് e-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം (സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം) ആണ് ln(b).

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

പ്രധാനമായും നാല് ഉണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ.

a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0 എന്നിവ അനുവദിക്കുക.

പ്രോപ്പർട്ടി 1. ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം

ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതംലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യം:

ലോഗ് a (x ⋅ y) = ലോഗ് എ x + ലോഗ് എ വൈ

പ്രോപ്പർട്ടി 2. ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം

ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതംലോഗരിതം വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യം:

ലോഗ് a (x / y) = ലോഗ് എ x - ലോഗ് എ വൈ

പ്രോപ്പർട്ടി 3. ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം

ബിരുദത്തിൻ്റെ ലോഗരിതംശക്തിയുടെയും ലോഗരിതത്തിൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഡിഗ്രിയിലാണെങ്കിൽ, മറ്റൊരു ഫോർമുല ബാധകമാണ്:

പ്രോപ്പർട്ടി 4. റൂട്ടിൻ്റെ ലോഗരിതം

ശക്തിയുടെ nth റൂട്ട് 1/n ൻ്റെ ശക്തിക്ക് തുല്യമായതിനാൽ, ഒരു ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം ഗുണത്തിൽ നിന്ന് ഈ ഗുണം ലഭിക്കും:

ഒരു ബേസിലെ ഒരു ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു ബേസിലെ ഒരു ലോഗരിതത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല

ലോഗരിതത്തിലെ വിവിധ ജോലികൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ ഫോർമുല പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു:

പ്രത്യേക കേസ്:

ലോഗരിതം താരതമ്യം ചെയ്യുക (അസമത്വങ്ങൾ)

ഒരേ ബേസുകളുള്ള ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് കീഴിൽ നമുക്ക് f(x), g(x) എന്നീ 2 ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ, അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു അസമത്വ ചിഹ്നമുണ്ട്:

അവയെ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യം ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനം നോക്കേണ്ടതുണ്ട്:

• a > 0 ആണെങ്കിൽ, f(x) > g(x) > 0
• 0 ആണെങ്കിൽ< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം: ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതം പ്രശ്നങ്ങൾടാസ്‌ക് 5-ലും ടാസ്‌ക് 7-ലും ഗ്രേഡ് 11-നുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, ഞങ്ങളുടെ വെബ്‌സൈറ്റിൽ ഉചിതമായ വിഭാഗങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് പരിഹാരങ്ങളുള്ള ടാസ്‌ക്കുകൾ കണ്ടെത്താനാകും. കൂടാതെ, ഗണിത ടാസ്‌ക് ബാങ്കിൽ ലോഗരിതം ഉള്ള ടാസ്‌ക്കുകൾ കാണപ്പെടുന്നു. സൈറ്റിൽ തിരയുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ഉദാഹരണങ്ങളും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം

ലോഗരിതം എപ്പോഴും പരിഗണിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ വിഷയംഒരു സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൽ. ലോഗരിതത്തിന് നിരവധി വ്യത്യസ്ത നിർവചനങ്ങൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ ചില കാരണങ്ങളാൽ മിക്ക പാഠപുസ്തകങ്ങളും അവയിൽ ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണവും വിജയിക്കാത്തതുമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ലളിതമായും വ്യക്തമായും നിർവചിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം:

അതിനാൽ, നമുക്ക് രണ്ട് ശക്തികളുണ്ട്.

ലോഗരിതം - പ്രോപ്പർട്ടികൾ, ഫോർമുലകൾ, എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

താഴത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ നമ്പർ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് രണ്ടെണ്ണം ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, 16 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ നാലാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് രണ്ടെണ്ണം ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. 64 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം ആറാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് മേശയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും.

ഇപ്പോൾ - യഥാർത്ഥത്തിൽ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം:

x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ a എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിയാണ് x എന്ന വാദത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം.

പദവി: ലോഗ് a x = b, ഇവിടെ a അടിസ്ഥാനം, x എന്നത് ആർഗ്യുമെൻ്റ്, b എന്നത് ലോഗരിതം യഥാർത്ഥത്തിൽ തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (8 ൻ്റെ അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം മൂന്ന് ആയതിനാൽ 2 3 = 8). അതേ വിജയത്തോടെ, 2 6 = 64 മുതൽ 2 64 = 6 ലോഗ് ചെയ്യുക.

ഒരു നിശ്ചിത അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നമ്മുടെ പട്ടികയിലേക്ക് ഒരു പുതിയ വരി ചേർക്കാം:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
ലോഗ് 2 2 = 1	ലോഗ് 2 4 = 2	ലോഗ് 2 8 = 3	ലോഗ് 2 16 = 4	ലോഗ് 2 32 = 5	ലോഗ് 2 64 = 6

നിർഭാഗ്യവശാൽ, എല്ലാ ലോഗരിതങ്ങളും അത്ര എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 5 കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. പട്ടികയിൽ നമ്പർ 5 ഇല്ല, എന്നാൽ ലോജിക് ലോഗരിതം ഇടവേളയിൽ എവിടെയെങ്കിലും കിടക്കുമെന്ന് നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. കാരണം 2 2< 5 < 2 3 , а чем കൂടുതൽ ബിരുദംരണ്ട്, വലിയ സംഖ്യ.

അത്തരം സംഖ്യകളെ യുക്തിരഹിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു: ദശാംശ പോയിൻ്റിന് ശേഷമുള്ള സംഖ്യകൾ അനന്തമായി എഴുതാം, അവ ഒരിക്കലും ആവർത്തിക്കില്ല. ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് തെളിഞ്ഞാൽ, അത് അങ്ങനെ തന്നെ ഉപേക്ഷിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്: ലോഗ് 2 5, ലോഗ് 3 8, ലോഗ് 5 100.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള (അടിസ്ഥാനവും വാദവും) ഒരു പദപ്രയോഗമാണ് ലോഗരിതം എന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ആദ്യം, അടിസ്ഥാനം എവിടെയാണെന്നും വാദം എവിടെയാണെന്നും പലരും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. ശല്യപ്പെടുത്തുന്ന തെറ്റിദ്ധാരണകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ചിത്രം നോക്കുക:

ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല നമ്മുടെ മുമ്പിൽ. ഓർക്കുക: ലോഗരിതം ഒരു ശക്തിയാണ്, ഒരു വാദം ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാനം നിർമ്മിക്കണം. ഇത് ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ അടിത്തറയാണ് - ഇത് ചിത്രത്തിൽ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനം എല്ലായ്പ്പോഴും അടിയിലാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു! ആദ്യ പാഠത്തിൽ തന്നെ ഈ അത്ഭുതകരമായ നിയമം ഞാൻ എൻ്റെ വിദ്യാർത്ഥികളോട് പറയുന്നു - ആശയക്കുഴപ്പം ഉണ്ടാകില്ല.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം

ഞങ്ങൾ നിർവചനം കണ്ടെത്തി - ലോഗരിതം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് പഠിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്, അതായത്. "ലോഗ്" ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുക. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് പ്രധാന വസ്തുതകൾ പിന്തുടരുന്നത് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

1. വാദവും അടിത്തറയും എപ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം. ഇത് ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് പിന്തുടരുന്നു, അതിലേക്ക് ലോഗരിതം നിർവചനം കുറയുന്നു.
2. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമായിരിക്കണം, കാരണം ഒരെണ്ണം ഏതെങ്കിലുമൊരു ഡിഗ്രി വരെ ഇപ്പോഴും ഒന്നായി തുടരും. ഇക്കാരണത്താൽ, "രണ്ടെണ്ണം ലഭിക്കാൻ ഒരാൾ ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണം" എന്ന ചോദ്യം അർത്ഥശൂന്യമാണ്. അങ്ങനെ ഒരു ബിരുദം ഇല്ല!

അത്തരം നിയന്ത്രണങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പ്രദേശം സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങൾ (ODZ). ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ ഇതുപോലെയാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു: ലോഗ് a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

ബി നമ്പറിൽ (ലോഗരിതം മൂല്യം) നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ലെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കാം: ലോഗ് 2 0.5 = -1, കാരണം 0.5 = 2 -1.

എന്നിരുന്നാലും, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ മാത്രമാണ് പരിഗണിക്കുന്നത്, അവിടെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ VA അറിയേണ്ട ആവശ്യമില്ല. എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും ഇതിനകം തന്നെ ചുമതലകളുടെ രചയിതാക്കൾ കണക്കിലെടുത്തിട്ടുണ്ട്. എന്നാൽ ലോഗരിതമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പ്രാബല്യത്തിൽ വരുമ്പോൾ, ഡിഎൽ ആവശ്യകതകൾ നിർബന്ധമാകും. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അടിസ്ഥാനത്തിലും വാദത്തിലും മുകളിൽ പറഞ്ഞ നിയന്ത്രണങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത വളരെ ശക്തമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം.

ഇപ്പോൾ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു സ്കീം നോക്കാം. ഇത് മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. അടിസ്ഥാനം a, ആർഗ്യുമെൻ്റ് x എന്നിവ ഒരു ശക്തിയായി പ്രകടിപ്പിക്കുക, സാധ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ്. വഴിയിൽ, ദശാംശങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്;
2. വേരിയബിളിൻ്റെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക b: x = a b ;
3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ b ആയിരിക്കും ഉത്തരം.

അത്രയേയുള്ളൂ! ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ തന്നെ ദൃശ്യമാകും. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിനെക്കാൾ വലുതായിരിക്കണമെന്ന ആവശ്യം വളരെ പ്രധാനമാണ്: ഇത് പിശകിൻ്റെ സാധ്യത കുറയ്ക്കുകയും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതുപോലെ ദശാംശങ്ങൾ: നിങ്ങൾ അവ ഉടനടി പതിവുള്ളവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, കുറച്ച് പിശകുകൾ ഉണ്ടാകും.

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ സ്കീം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം:

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 5 25

1. അടിസ്ഥാനവും വാദവും അഞ്ചിൻ്റെ ശക്തിയായി സങ്കൽപ്പിക്കുക: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

നമുക്ക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് പരിഹരിക്കാം:
ലോഗ് 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 2.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക:

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 4 64

1. അടിസ്ഥാനവും വാദവും രണ്ടിൻ്റെ ശക്തിയായി നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. നമുക്ക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് പരിഹരിക്കാം:
   ലോഗ് 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 3.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 16 1

1. അടിസ്ഥാനവും വാദവും രണ്ടിൻ്റെ ശക്തിയായി നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. നമുക്ക് സമവാക്യം സൃഷ്ടിച്ച് പരിഹരിക്കാം:
   ലോഗ് 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 0.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 7 14

1. നമുക്ക് അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഏഴിൻ്റെ ശക്തിയായി സങ്കൽപ്പിക്കാം: 7 = 7 1 ; 7 1 മുതൽ 14-നെ ഏഴിൻ്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല< 14 < 7 2 ;
2. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നില്ല;
3. ഉത്തരം മാറ്റമില്ല: ലോഗ് 7 14.

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഒരു ചെറിയ കുറിപ്പ്. ഒരു സംഖ്യ മറ്റൊരു സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തിയല്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ഉറപ്പിക്കാം? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് - അതിനെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കുക. വികാസത്തിന് കുറഞ്ഞത് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങളെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, സംഖ്യ ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല.

ടാസ്ക്. സംഖ്യകൾ കൃത്യമായ ശക്തികളാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - കൃത്യമായ ഡിഗ്രി, കാരണം ഒരു ഗുണിതം മാത്രമേയുള്ളൂ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല, കാരണം രണ്ട് ഘടകങ്ങളുണ്ട്: 3, 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - കൃത്യമായ ഡിഗ്രി;
35 = 7 · 5 - വീണ്ടും ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല;
14 = 7 · 2 - വീണ്ടും ഒരു കൃത്യമായ ഡിഗ്രി അല്ല;

നമ്മൾ തന്നെയാണെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കാം പ്രധാന സംഖ്യകൾഎല്ലായ്പ്പോഴും അവയുടെ കൃത്യമായ ഡിഗ്രികളാണ്.

ദശാംശ ലോഗരിതം

ചില ലോഗരിതങ്ങൾ വളരെ സാധാരണമാണ്, അവയ്ക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പേരും ചിഹ്നവും ഉണ്ട്.

ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ x എന്നത് അടിസ്ഥാന 10-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ 10 എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി. പദവി: lg x.

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - മുതലായവ.

ഇനി മുതൽ, "Find lg 0.01" പോലുള്ള ഒരു വാചകം ഒരു പാഠപുസ്തകത്തിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുമ്പോൾ, ഇത് അക്ഷരത്തെറ്റല്ലെന്ന് അറിയുക. ഇതൊരു ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾക്ക് ഈ നൊട്ടേഷൻ പരിചയമില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും മാറ്റിയെഴുതാം:
ലോഗ് x = ലോഗ് 10 x

സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് സത്യമായതെല്ലാം ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങൾക്കും ശരിയാണ്.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

അതിൻ്റേതായ പദവിയുള്ള മറ്റൊരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്. ചില വഴികളിൽ, ഇത് ദശാംശത്തേക്കാൾ പ്രധാനമാണ്. അത് ഏകദേശംസ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തെക്കുറിച്ച്.

ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ x എന്നത് e അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ e എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി. പദവി: ln x.

പലരും ചോദിക്കും: ഇ നമ്പർ എന്താണ്? ഇതൊരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്; അതിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം കണ്ടെത്താനും എഴുതാനും കഴിയില്ല. ഞാൻ ആദ്യ കണക്കുകൾ മാത്രം നൽകും:
ഇ = 2.718281828459…

ഈ നമ്പർ എന്താണെന്നും എന്തിനാണ് ഇത് ആവശ്യമുള്ളതെന്നും ഞങ്ങൾ വിശദമായി പറയില്ല. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം e ആണെന്ന് ഓർക്കുക:
ln x = ലോഗ് ഇ x

അങ്ങനെ ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - മുതലായവ. മറുവശത്ത്, ln 2 ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്. പൊതുവേ, ഏതിൻറെയും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയുക്തിരഹിതമായ. തീർച്ചയായും, ഒന്നിന് ഒഴികെ: ln 1 = 0.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങൾക്ക്, സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ശരിയായ എല്ലാ നിയമങ്ങളും സാധുവാണ്.

ഇതും കാണുക:

ലോഗരിതം. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ (ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ശക്തി).

ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം?

ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തേണ്ട ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റാണ് ലോഗരിതം.

അങ്ങനെ, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ c ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന്, ലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയുടെ അതേ അടിത്തറയുള്ള ഒരു പവർ നിങ്ങൾ നൽകേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഈ സംഖ്യ c ആയി എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ആയി എഴുതുക:

തീർച്ചയായും ഏത് സംഖ്യയെയും ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം - പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, പൂർണ്ണസംഖ്യ, ഫ്രാക്ഷണൽ, യുക്തിസഹമായ, യുക്തിരഹിതം:

ഒരു പരീക്ഷയുടെയോ പരീക്ഷയുടെയോ സമ്മർദ്ദകരമായ സാഹചര്യങ്ങളിൽ a, c എന്നിവ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാതിരിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഓർമ്മപ്പെടുത്തൽ നിയമം ഉപയോഗിക്കാം:

താഴെയുള്ളത് താഴേക്ക് പോകുന്നു, മുകളിലുള്ളത് ഉയരുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ബേസ് 3 ലേക്ക് ഒരു ലോഗരിതം ആയി നിങ്ങൾ നമ്പർ 2 പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകളുണ്ട് - 2 ഉം 3 ഉം. ഈ സംഖ്യകൾ അടിസ്ഥാനവും ഘാതവുമാണ്, അത് ലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതും. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏതാണ്, ശക്തിയുടെ അടിത്തറയിലേക്ക്, ഏതാണ് - മുകളിലേക്ക്, എക്‌സ്‌പോണൻ്റിലേക്ക് എഴുതേണ്ടതെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു.

ഒരു ലോഗരിതം നൊട്ടേഷനിലെ ബേസ് 3 താഴെയാണ്, അതായത് ബേസ് 3 ലേക്ക് രണ്ടെണ്ണം ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ 3 ആധാരത്തിലേക്ക് എഴുതും.

2 എന്നത് മൂന്നിനേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. ഡിഗ്രി രണ്ടിൻ്റെ നൊട്ടേഷനിൽ ഞങ്ങൾ മൂന്നിന് മുകളിൽ എഴുതുന്നു, അതായത്, ഒരു ഘാതം:

ലോഗരിതംസ്. ആദ്യ നില.

ലോഗരിതംസ്

ലോഗരിതംപോസിറ്റീവ് നമ്പർ ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എ, എവിടെ a > 0, a ≠ 1, സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട എക്സ്പോണൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ, ലഭിക്കാൻ ബി.

ലോഗരിതം നിർവ്വചനംഇങ്ങനെ ചുരുക്കി എഴുതാം:

ഈ സമത്വം സാധുവാണ് b > 0, a > 0, a ≠ 1.ഇത് സാധാരണയായി വിളിക്കപ്പെടുന്നു ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി.
ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു ലോഗരിതം വഴി.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ:

ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം:

ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം:

ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ബിരുദത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം:

റൂട്ടിൻ്റെ ലോഗരിതം:

പവർ ബേസ് ഉള്ള ലോഗരിതം:

ദശാംശവും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളും.

ദശാംശ ലോഗരിതംനമ്പറുകൾ ഈ നമ്പറിൻ്റെ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം 10-ലേക്ക് വിളിച്ച്   lg എന്ന് എഴുതുക ബി
സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംസംഖ്യകളെ ആ സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഇ, എവിടെ ഇ- ഏകദേശം 2.7 ന് തുല്യമായ ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ. അതേ സമയം അവർ ln എഴുതുന്നു ബി.

ബീജഗണിതത്തെയും ജ്യാമിതിയെയും കുറിച്ചുള്ള മറ്റ് കുറിപ്പുകൾ

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ ബേസുകളുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ഒരു x ലോഗ് ചെയ്യുക, ഒരു y ലോഗ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. ലോഗ് എ x + ലോഗ് എ വൈ = ലോഗ് എ (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കപ്പെടാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9.

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9 = ലോഗ് 6 (4 9) = ലോഗ് 6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3 = ലോഗ് 2 (48: 3) = ലോഗ് 2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5 = ലോഗ് 3 (135: 5) = ലോഗ് 3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പലതും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് ടെസ്റ്റ് പേപ്പറുകൾ. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അവസാന നിയമം ആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക. , അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 7 49 6 .

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
ലോഗ് 7 49 6 = 6 ലോഗ് 7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: ലോഗ് 2 7. ലോഗ് 2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

ലോഗരിതം ലോഗ് a x നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x സജ്ജീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പരമ്പരാഗതമായി അപൂർവ്വമായി കാണപ്പെടുന്നു സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ. തീരുമാനിക്കുന്നതിലൂടെ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾഅസമത്വങ്ങളും.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 5 16 ലോഗ് 2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: ലോഗ് 5 16 = ലോഗ് 5 2 4 = 4ലോഗ് 5 2; ലോഗ് 2 25 = ലോഗ് 2 5 2 = 2ലോഗ് 2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ സംഖ്യ n ഘാതം ആയി മാറുന്നു. n എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: .

വാസ്തവത്തിൽ, ബി എന്ന സംഖ്യ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും, ഈ ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ a സംഖ്യ നൽകുന്നു? അത് ശരിയാണ്: ഫലം അതേ സംഖ്യയാണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, പ്രധാനം ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റിചിലപ്പോൾ അത് മാത്രമാണ് സാധ്യമായ പരിഹാരം.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

ലോഗ് 25 64 = ലോഗ് 5 8 - ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്നും സ്ക്വയർ എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗ് a a = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ എന്നെന്നേക്കുമായി ഓർക്കുക: ആ ബേസിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ബേസ് a-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ് a 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം ഒരു 0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിൻ്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

ലോഗ് എ ആർ ബി ആർ =ലോഗ് എ ബിഅഥവാ ലോഗ് എ ബി= ലോഗ് എ ആർ ബി ആർ

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യയും ഒരേ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ ലോഗരിതം മൂല്യം മാറില്ല.

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ, കൂടാതെ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം ഒന്നിന് തുല്യമല്ല.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

1) ലോഗ് 3 9 ഉം ലോഗ് 9 81 ഉം താരതമ്യം ചെയ്യുക.

ലോഗ് 3 9=2, 3 2 =9 മുതൽ;

ലോഗ് 9 81=2, 9 2 =81 മുതൽ.

അതിനാൽ ലോഗ് 3 9=ലോഗ് 9 81.

രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയുടെ വർഗ്ഗത്തിന് തുല്യമാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക: 9=3 2, രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ ആദ്യ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗത്തിന് തുല്യമാണ്. ലോഗരിതം: 81=9 2. ആദ്യത്തെ ലോഗരിതം ലോഗ് 3 9 ൻ്റെ സംഖ്യയും അടിത്തറയും രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തി, ലോഗരിതം മൂല്യം ഇതിൽ നിന്ന് മാറിയിട്ടില്ല:

അടുത്തത്, റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് മുതൽ എൻഇടയിൽ നിന്ന് ബിരുദം എഒരു സംഖ്യയുടെ വർദ്ധനവാണ് എഡിഗ്രി വരെ ( 1/n), തുടർന്ന് ലോഗ് 9 81 ൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലവും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനവും എടുത്ത് ലോഗ് 3 9 ലഭിക്കും:

2) തുല്യത പരിശോധിക്കുക: ലോഗ് 4 25=ലോഗ് 0.5 0.2.

ആദ്യത്തെ ലോഗരിതം നോക്കാം. നമുക്ക് വേർതിരിച്ചെടുക്കാം സ്ക്വയർ റൂട്ട്അടിത്തട്ടിൽ നിന്ന് 4 ഇടയിൽ നിന്നും 25 ; നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: ലോഗ് 4 25=ലോഗ് 2 5.

രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം നോക്കാം. ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം: 0.5= 1/2. ഈ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ: 0.2= 1/5. ഈ സംഖ്യകൾ ഓരോന്നും മൈനസ് ഫസ്റ്റ് പവറിലേക്ക് ഉയർത്താം:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

അതിനാൽ ലോഗ് 0.5 0.2=ലോഗ് 2 5. ഉപസംഹാരം: ഈ സമത്വം സത്യമാണ്.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ലോഗ് 4 x 4 +ലോഗ് 16 81=ലോഗ് 2 (5x+2).നമുക്ക് ലോഗരിതം ഇടത്തുനിന്നും അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കാം 2 .

ലോഗ് 2 x 2 +ലോഗ് 2 3=ലോഗ് 2 (5x+2). സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂലവും ആദ്യത്തെ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനവും എടുക്കുക. സംഖ്യയുടെ നാലാമത്തെ മൂലവും രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനവും വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

ലോഗ് 2 (3x 2)=ലോഗ് 2 (5x+2). ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക.

3x 2 =5x+2. പൊട്ടൻഷ്യേഷനു ശേഷം ലഭിച്ചു.

3x 2 -5x-2=0. നമുക്ക് തീരുമാനിക്കാം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഎഴുതിയത് പൊതു ഫോർമുലഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനായി:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 യഥാർത്ഥ വേരുകൾ.

പരീക്ഷ.

x=2.

ലോഗ് 4 2 4 +ലോഗ് 16 81=ലോഗ് 2 (5∙ 2+2);

ലോഗ് 2 2 2 +ലോഗ് 2 3=ലോഗ് 2 12;

ലോഗ് 2 (4∙ 3)=ലോഗ് 2 12;

ലോഗ് 2 12=ലോഗ് 2 12;

ലോഗ് എ എൻ ബി=(1/ എൻ)∙ ലോഗ് എ ബി

ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു എൻഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ് 1/ എൻഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം വരെ ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എ.

കണ്ടെത്തുക:1) 21ലോഗ് 8 3+40ലോഗ് 25 2; 2) 30ലോഗ് 32 3∙ലോഗ് 125 2 , അത് അറിയാമെങ്കിൽ ലോഗ് 2 3=ബി,ലോഗ് 5 2=c.

പരിഹാരം.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

1) ലോഗ് 2 x+ലോഗ് 4 x+ലോഗ് 16 x=5.25.

പരിഹാരം.

നമുക്ക് ഈ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം 2 ആയി കുറയ്ക്കാം. ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക: ലോഗ് എ എൻ ബി=(1/ എൻ)∙ ലോഗ് എ ബി

ലോഗ് 2 x+(½) ലോഗ് 2 x+(¼) ലോഗ് 2 x=5.25;

ലോഗ് 2 x+0.5ലോഗ് 2 x+0.25ലോഗ് 2 x=5.25. സമാന നിബന്ധനകൾ ഇതാ:

(1+0.5+0.25) ലോഗ് 2 x=5.25;

1.75 ലോഗ് 2 x=5.25 |:1.75

ലോഗ് 2 x=3. ലോഗരിതം നിർവചനം പ്രകാരം:

2) 0.5ലോഗ് 4 (x-2)+ലോഗ് 16 (x-3)=0.25.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ലോഗരിതം ബേസ് 16 ആക്കി ബേസ് 4 ആയി മാറ്റാം.

0.5ലോഗ് 4 (x-2)+0.5ലോഗ് 4 (x-3)=0.25 |:0.5

ലോഗ് 4 (x-2)+ലോഗ് 4 (x-3)=0.5. നമുക്ക് ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതമാക്കി മാറ്റാം.

ലോഗ് 4 ((x-2)(x-3))=0.5;

ലോഗ് 4 (x 2 -2x-3x+6)=0.5;

ലോഗ് 4 (x 2 -5x+6)=0.5. ലോഗരിതം നിർവചനം പ്രകാരം:

x 2 -5x+4=0. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്:

x 1 =1; x 2 =4. x ൻ്റെ ആദ്യ മൂല്യം പ്രവർത്തിക്കില്ല, കാരണം x = 1-ൽ ഈ സമത്വത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം നിലവിലില്ല, കാരണം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.

നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം x=4-ൽ പരിശോധിക്കാം.

പരീക്ഷ.

0.5ലോഗ് 4 (4-2)+ലോഗ് 16 (4-3)=0.25

0.5ലോഗ് 4 2+ലോഗ് 16 1=0.25

0,5∙0,5+0=0,25

ലോഗ് എ ബി=ലോഗ് സി ബി/ലോഗ് സി എ

ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം ബിഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി എസംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം തുല്യമാണ് ബിഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കൂടെ, പഴയ അടിത്തറയുടെ ലോഗരിതം കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു എഒരു പുതിയ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കൂടെ.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

1) ലോഗ് 2 3=lg3/lg2;

2) ലോഗ് 8 7=ln7/ln8.

കണക്കാക്കുക:

1) ലോഗ് 5 7, അത് അറിയാമെങ്കിൽ lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

സിബി / ലോഗ് സിഎ.

ലോഗ് 5 7=ലോഗ്7/ലോഗ്5≈0.8451:0.6990≈1.2090.

ഉത്തരം: ലോഗ് 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) ലോഗ് 5 7 , അത് അറിയാമെങ്കിൽ ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

പരിഹാരം. ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക: ലോഗ് എ ബി =ലോഗ് സിബി / ലോഗ് സിഎ.

ലോഗ് 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

ഉത്തരം: ലോഗ് 5 7≈1,209 1≈1,209 .

x കണ്ടെത്തുക:

1) ലോഗ് 3 x=ലോഗ് 3 4+ലോഗ് 5 6/ലോഗ് 5 3+ലോഗ് 7 8/ലോഗ് 7 3.

ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു: ലോഗ് സിബി / ലോഗ് സി a = ലോഗ് എ ബി . നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ലോഗ് 3 x=ലോഗ് 3 4+ലോഗ് 3 6+ലോഗ് 3 8;

ലോഗ് 3 x=ലോഗ് 3 (4∙ 6∙8);

ലോഗ് 3 x=ലോഗ് 3 192;

x=192

2) ലോഗ് 7 x=lg143-ലോഗ് 6 11/ലോഗ് 6 10-ലോഗ് 5 13/ലോഗ് 5 10.

ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു: ലോഗ് സിബി / ലോഗ് സി a = ലോഗ് എ ബി. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ലോഗ് 7 x=lg143-lg11-lg13;

ലോഗ് 7 x=lg143- (lg11+lg13);

ലോഗ് 7 x=lg143-lg (11∙13);

ലോഗ് 7 x=lg143-lg143;

x=1.

പേജ് 1 / 1 1

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗ് എ xഒപ്പം ലോഗ് എ വൈ. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. ലോഗ് എ x+ ലോഗ് എ വൈ=ലോഗ് എ (x · വൈ);
2. ലോഗ് എ x- ലോഗ് എ വൈ=ലോഗ് എ (x : വൈ).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കപ്പെടാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9.

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9 = ലോഗ് 6 (4 9) = ലോഗ് 6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3 = ലോഗ് 2 (48: 3) = ലോഗ് 2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5 = ലോഗ് 3 (135: 5) = ലോഗ് 3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പല പരിശോധനകളും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അവസാന നിയമം ആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നതായി കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിച്ചാൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥമാക്കുന്നു: എ > 0, എ ≠ 1, x> 0. ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ ഫോർമുലകളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക, അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം. ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 7 49 6 .

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
ലോഗ് 7 49 6 = 6 ലോഗ് 7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും ഞങ്ങൾ ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: ലോഗ് 2 7. ലോഗ് 2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

ലോഗരിതം ലോഗ് നൽകട്ടെ എ x. പിന്നെ ഏത് നമ്പറിനും സിഅത്തരം സി> 0 ഒപ്പം സി≠ 1, സമത്വം ശരിയാണ്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങൾ ഇട്ടാൽ സി = x, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 5 16 ലോഗ് 2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: ലോഗ് 5 16 = ലോഗ് 5 2 4 = 4ലോഗ് 5 2; ലോഗ് 2 25 = ലോഗ് 2 5 2 = 2ലോഗ് 2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 9 100 lg 3.

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ കേസിൽ, നമ്പർ എൻവാദത്തിൽ നിലകൊള്ളുന്ന ഡിഗ്രിയുടെ സൂചകമായി മാറുന്നു. നമ്പർ എൻതികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി.

വാസ്തവത്തിൽ, നമ്പർ ആണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും ബിസംഖ്യയെ അത്തരം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക ബിഈ ശക്തിക്ക് നമ്പർ നൽകുന്നു എ? അത് ശരിയാണ്: നിങ്ങൾക്ക് ഇതേ നമ്പർ ലഭിക്കും എ. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ലോഗ് 25 64 = ലോഗ് 5 8 - ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്നും സ്ക്വയർ എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗ് എ എ= 1 ഒരു ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റാണ്. ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർക്കുക: ഏതെങ്കിലും അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതം എഇതിൽ നിന്ന് തന്നെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ് എ 1 = 0 എന്നത് ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യമാണ്. അടിസ്ഥാനം എഎന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം എ 0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിൻ്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.