Nth റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. പവർ ഫംഗ്ഷനും വേരുകളും - നിർവചനം, ഗുണങ്ങൾ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

റൂട്ട് ബിരുദം എൻഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് എ, എവിടെ എൻ - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, ഇതിനെ വിളിക്കുന്നു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ x, എൻഅതിൻ്റെ ഡിഗ്രി തുല്യമാണ് എ.

റൂട്ട് ബിരുദം എൻനമ്പറിൽ നിന്ന് എചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ നിർവചനം അനുസരിച്ച്.

റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്നു എൻഇടയിൽ നിന്ന് -th ഡിഗ്രി എറൂട്ട് എക്സ്ട്രാക്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമ്പർ എഒരു റാഡിക്കൽ നമ്പർ (എക്സ്പ്രഷൻ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു എൻ- റൂട്ട് സൂചകം. ഒറ്റയടിക്ക് എൻഒരു വേരുണ്ട് എൻഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും -th പവർ എ. എപ്പോൾ പോലും എൻഒരു വേരുണ്ട് എൻഅല്ലാത്തതിന് മാത്രം -th ബിരുദം നെഗറ്റീവ് നമ്പർഎ. റൂട്ട് അവ്യക്തമാക്കാൻ എൻഇടയിൽ നിന്ന് -th ഡിഗ്രി എ, ഒരു ഗണിത റൂട്ട് എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്നു എൻഇടയിൽ നിന്ന് -th ഡിഗ്രി എ.

ഡിഗ്രി N യുടെ ഗണിത മൂലത്തിൻ്റെ ആശയം

എങ്കിൽ എൻ- സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, കൂടുതൽ 1 , അപ്പോൾ ഉണ്ട്, ഒരേയൊരു, നോൺ-നെഗറ്റീവ് നമ്പർ എക്സ്, സമത്വം തൃപ്തികരമാകുന്ന തരത്തിൽ. ഈ നമ്പർ എക്സ്ഒരു ഗണിത റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എൻഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ശക്തി എ. നമ്പർ എഒരു റാഡിക്കൽ നമ്പർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എൻ- റൂട്ട് സൂചകം.

അതിനാൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നൊട്ടേഷൻ , എവിടെ , അർത്ഥമാക്കുന്നത്, ഒന്നാമതായി, അത്, രണ്ടാമതായി, അതായത്, അതായത്. .

യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം എന്ന ആശയം

സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം: അനുവദിക്കുക എഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ എൻ- ഒന്നിൽ കൂടുതൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, എൻസംഖ്യയുടെ ശക്തി എജോലി വിളിക്കുക എൻഘടകങ്ങൾ, ഓരോന്നും തുല്യമാണ് എ, അതായത്. . നമ്പർ എ- ബിരുദത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം, എൻ- ഘാതം. പൂജ്യം എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ: നിർവചനം അനുസരിച്ച്, എങ്കിൽ . ഒരു സംഖ്യയുടെ പൂജ്യം ശക്തി 0 അർത്ഥമില്ല. ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം: നിർവചനം അനുസരിച്ച് അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഒപ്പം എൻഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, അപ്പോൾ . ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു ബിരുദം: നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഇത് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു എൻ- സ്വാഭാവിക സംഖ്യ, എംഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, അപ്പോൾ .

വേരുകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

ചുവടെയുള്ള എല്ലാ ഫോർമുലകളിലും, ചിഹ്നം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു ഗണിത റൂട്ട് (സമൂലമായ പദപ്രയോഗം പോസിറ്റീവ് ആണ്).

1. നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഈ ഘടകങ്ങളുടെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

2. ഒരു അനുപാതത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെയും ഡിവിസറിൻ്റെയും വേരുകളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്:

3. ഒരു റൂട്ട് ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, ഈ ശക്തിയിലേക്ക് റാഡിക്കൽ നമ്പർ ഉയർത്തിയാൽ മതി:

4. നിങ്ങൾ റൂട്ടിൻ്റെ അളവ് n തവണ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും അതേ സമയം റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ nth ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയും ചെയ്താൽ, റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം മാറില്ല:

5. നിങ്ങൾ റൂട്ടിൻ്റെ അളവ് n മടങ്ങ് കുറയ്ക്കുകയും ഒരേസമയം റാഡിക്കൽ സംഖ്യയുടെ n-ആം റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യുകയും ചെയ്‌താൽ, റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം മാറില്ല:

ബിരുദം എന്ന ആശയം വിപുലീകരിക്കുന്നു. ഇതുവരെ നമ്മൾ ഡിഗ്രികൾ പരിഗണിച്ചത് സ്വാഭാവിക ഘാതകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ്; എന്നാൽ ശക്തികളും വേരുകളുമുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ നെഗറ്റീവ്, പൂജ്യം, ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളിലേക്കും നയിച്ചേക്കാം. ഈ ഘാതങ്ങൾക്കെല്ലാം അധിക നിർവ്വചനം ആവശ്യമാണ്.

നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണുള്ള ഒരു ബിരുദം. നെഗറ്റീവ് (പൂർണ്ണസംഖ്യ) എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെ ശക്തി, നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ കേവല മൂല്യത്തിന് തുല്യമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള അതേ സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാൽ ഹരിച്ച ഒന്നായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:

ഇപ്പോൾ a m: a n = a m - n എന്ന സൂത്രവാക്യം n-നേക്കാൾ വലിയ m എന്നതിന് മാത്രമല്ല, n-നേക്കാൾ കുറവായ m-നും ഉപയോഗിക്കാം.

ഉദാഹരണം a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

a m: a n = a m - n എന്ന ഫോർമുല m = n-ന് സാധുതയുള്ളതായിരിക്കണമെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഡിഗ്രി പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഒരു നിർവ്വചനം ആവശ്യമാണ്.

പൂജ്യം സൂചികയുള്ള ഒരു ബിരുദം. എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് പൂജ്യമുള്ള ഏത് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയുടെയും ശക്തി 1 ആണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ബിരുദം. ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ a-നെ m / n-ലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിന്, ഈ സംഖ്യയുടെ mth പവറിൻ്റെ n-ാമത്തെ റൂട്ട് നിങ്ങൾ എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട് a:

അർത്ഥമില്ലാത്ത പദപ്രയോഗങ്ങളെക്കുറിച്ച്. അത്തരം നിരവധി പദപ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്.

കേസ് 1.

എവിടെ ≠ 0 നിലവിലില്ല.

വാസ്തവത്തിൽ, x ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഡിവിഷൻ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിന് അനുസൃതമായി നമുക്ക്: a = 0 x, അതായത്. a = 0, ഇത് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണ്: a ≠ 0

കേസ് 2.

ഏതെങ്കിലും നമ്പർ.

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ പദപ്രയോഗം ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ x ന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കരുതുന്നുവെങ്കിൽ, ഡിവിഷൻ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്ക്: 0 = 0 · x. എന്നാൽ ഈ സമത്വം ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും x-ന് നിലനിൽക്കും, അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.

ശരിക്കും,

പരിഹാരം. നമുക്ക് മൂന്ന് പ്രധാന കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം:

1) x = 0 - ഈ മൂല്യം ഈ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല

2) x > 0 ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x / x = 1, അതായത്. 1 = 1, അതായത് x എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്; എന്നാൽ നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ x > 0 എന്നത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഉത്തരം x > 0 ആണ്;

3) x-ൽ< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഒരു പരിഹാരവുമില്ല. അങ്ങനെ x > 0.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, വിലാസം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം ഇമെയിൽതുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകളും മറ്റ് ഇവൻ്റുകളും വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകളും.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികൾ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ പൊതു അഭ്യർത്ഥനകൾ അല്ലെങ്കിൽ അഭ്യർത്ഥനകൾ എന്നിവയ്ക്ക് അനുസൃതമായി സർക്കാർ ഏജൻസികൾറഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രദേശത്ത് - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുക. സുരക്ഷയ്‌ക്കോ നിയമ നിർവ്വഹണത്തിനോ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്കോ ​​അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെയുള്ള മുൻകരുതലുകൾ ഞങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പതിനൊന്നാം ക്ലാസിലെ പാഠ സ്ക്രിപ്റ്റ്:

"റൂട്ട് nth ഡിഗ്രിഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിൽ നിന്ന്. »

പാഠത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം:റൂട്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള സമഗ്രമായ ധാരണയുടെ വിദ്യാർത്ഥികളിൽ രൂപീകരണം എൻ-ആം ഡിഗ്രിയും nth ഡിഗ്രിയുടെ ഗണിത മൂലവും, കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ കഴിവുകളുടെ രൂപീകരണം, ബോധപൂർവവും യുക്തിസഹമായ ഉപയോഗംപരിഹരിക്കുമ്പോൾ റൂട്ടിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ വിവിധ ജോലികൾഒരു റാഡിക്കൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. വിഷയത്തിലെ ചോദ്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ധാരണയുടെ നിലവാരം പരിശോധിക്കുക.

വിഷയം:വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള മെറ്റീരിയൽ മാസ്റ്റേഴ്സ് ചെയ്യുന്നതിന് അർത്ഥവത്തായതും സംഘടനാപരമായ വ്യവസ്ഥകൾ സൃഷ്ടിക്കുക "സംഖ്യാപരമായ ഒപ്പം അക്ഷര പ്രയോഗങ്ങൾ» ധാരണ, മനസ്സിലാക്കൽ, പ്രാഥമിക ഓർമ്മപ്പെടുത്തൽ എന്നിവയുടെ തലത്തിൽ; ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ nth റൂട്ട് കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഈ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കുക;

മെറ്റാ വിഷയം:കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് കഴിവുകളുടെ വികസനം പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുക; വിശകലനം ചെയ്യാനും താരതമ്യം ചെയ്യാനും സാമാന്യവൽക്കരിക്കാനും നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനുമുള്ള കഴിവ്;

വ്യക്തിപരം:ഒരാളുടെ കാഴ്ചപ്പാട് പ്രകടിപ്പിക്കാനും മറ്റുള്ളവരുടെ ഉത്തരങ്ങൾ കേൾക്കാനും സംഭാഷണത്തിൽ പങ്കെടുക്കാനും നല്ല സഹകരണത്തിനുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കാനുമുള്ള കഴിവ് വളർത്തിയെടുക്കുക.

ആസൂത്രിതമായ ഫലം.

വിഷയം: വേരുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോഴും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോഴും ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ nth റൂട്ടിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ ഒരു യഥാർത്ഥ സാഹചര്യത്തിൽ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും.

വ്യക്തിപരം: കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ശ്രദ്ധയും കൃത്യതയും വികസിപ്പിക്കുക, തന്നോടും ജോലിയോടും ആവശ്യപ്പെടുന്ന മനോഭാവം, പരസ്പര സഹായബോധം വളർത്തുക.

പാഠ തരം: പുതിയ അറിവ് പഠിക്കുന്നതിനും തുടക്കത്തിൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിനുമുള്ള പാഠം

വിദ്യാഭ്യാസ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള പ്രചോദനം:

കിഴക്കൻ ജ്ഞാനം പറയുന്നു: "നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കുതിരയെ വെള്ളത്തിലേക്ക് നയിക്കാം, പക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് അവനെ കുടിക്കാൻ നിർബന്ധിക്കാനാവില്ല." ഒരു വ്യക്തി സ്വയം കൂടുതൽ പഠിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ അവൻ്റെ മാനസിക വികാസത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള ആഗ്രഹം ഇല്ലെങ്കിൽ നന്നായി പഠിക്കാൻ നിർബന്ധിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അറിവ് ഒരാളുടെ ചിന്തകളുടെ പരിശ്രമത്തിലൂടെ നേടിയെടുക്കുമ്പോൾ മാത്രമാണ് അറിവ്, അല്ലാതെ ഓർമ്മയിലൂടെ മാത്രമല്ല.

"ഞങ്ങൾ പരിശ്രമിച്ചാൽ ഏത് കൊടുമുടിയും കീഴടക്കും" എന്ന മുദ്രാവാക്യത്തിന് കീഴിലാണ് ഞങ്ങളുടെ പാഠം നടക്കുന്നത്. പാഠത്തിനിടയിൽ, നിങ്ങൾക്കും എനിക്കും നിരവധി കൊടുമുടികളെ മറികടക്കാൻ സമയം ആവശ്യമാണ്, ഈ കൊടുമുടികൾ കീഴടക്കാൻ നിങ്ങൾ ഓരോരുത്തരും നിങ്ങളുടെ എല്ലാ ശ്രമങ്ങളും നടത്തണം.

"ഇന്ന് നമുക്ക് ഒരു പാഠമുണ്ട്, അതിൽ നമ്മൾ ഒരു പുതിയ ആശയം പരിചയപ്പെടണം: "Nth റൂട്ട്" കൂടാതെ വിവിധ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ പരിവർത്തനത്തിന് ഈ ആശയം എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കുക.

നിങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് വിവിധ രൂപങ്ങൾനിലവിലുള്ള അറിവ് സജീവമാക്കാനും മെറ്റീരിയലിൻ്റെ പഠനത്തിന് സംഭാവന നൽകാനും നല്ല ഗ്രേഡുകൾ നേടാനും പ്രവർത്തിക്കുക"
ഞങ്ങൾ എട്ടാം ക്ലാസ്സിൽ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം പഠിച്ചു. സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു വൈ=x 2. സുഹൃത്തുക്കളേ, ഞങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് സ്ക്വയർ റൂട്ടുകൾ കണക്കാക്കിയതെന്നും അതിന് എന്ത് ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്നും നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?
a) വ്യക്തിഗത സർവേ:

ഇത് എന്ത് തരത്തിലുള്ള ആവിഷ്കാരമാണ്

എന്താണ് സ്ക്വയർ റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്

ഗണിത സ്ക്വയർ റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്

സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ലിസ്റ്റ് ചെയ്യുക

b) ജോഡികളായി പ്രവർത്തിക്കുക: കണക്കുകൂട്ടുക.

-

2. അറിവ് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യുകയും ഒരു പ്രശ്ന സാഹചര്യം സൃഷ്ടിക്കുകയും ചെയ്യുക: x 4 =1 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. നമുക്ക് അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാനാകും? (വിശകലനവും ഗ്രാഫിക്കലും). നമുക്ക് അത് ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നമ്മൾ y = x 4 നേർരേഖ y = 1 (ചിത്രം 164 a) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കും. അവ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു: A (-1;1), B (1;1). എ, ബി പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസകൾ, അതായത്. x 1 = -1,

x 2 = 1 എന്നത് x 4 = 1 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്.
അതേ രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്തുകൊണ്ട്, x 4 =16 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: ഇനി നമുക്ക് x 4 =5 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം; ഒരു ജ്യാമിതീയ ചിത്രീകരണം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 164 ബി. സമവാക്യത്തിന് x 1, x 2 എന്നീ രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, മുമ്പത്തെ രണ്ട് കേസുകളിലെന്നപോലെ ഈ സംഖ്യകളും പരസ്പരം വിപരീതമാണ്. എന്നാൽ ആദ്യ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ കണ്ടെത്തി (ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിക്കാതെ അവ കണ്ടെത്താനാകും), എന്നാൽ x 4 = 5 സമവാക്യത്തിൽ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്: ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് നമുക്ക് വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ ഒരു റൂട്ട് ഇടത് പോയിൻ്റ് -1 ലും രണ്ടാമത്തേത് പോയിൻ്റ് 1 ൻ്റെ വലതുവശത്തും സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെന്ന് മാത്രമേ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയൂ.

x 2 = - (വായിക്കുക: "അഞ്ചിൻ്റെ നാലാമത്തെ റൂട്ട്").

ഞങ്ങൾ x 4 = a എന്ന സമവാക്യത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിച്ചത്, അവിടെ a 0. x 4 = a എന്ന സമവാക്യത്തെക്കുറിച്ചും നമുക്ക് നന്നായി സംസാരിക്കാം, ഇവിടെ a 0, n എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, x 5 = 1 എന്ന സമവാക്യം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ x = 1 (ചിത്രം 165) കണ്ടെത്തുന്നു; x 5 "= 7 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് x 1 ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നു, അത് പോയിൻ്റ് 1 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് x അക്ഷത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 165 കാണുക). x 1 എന്ന നമ്പറിനായി ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു നൊട്ടേഷൻ .

നിർവ്വചനം 1.ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ nth റൂട്ട് (n = 2, 3,4, 5,...) ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അത് പവർ n-ലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, a സംഖ്യയിൽ ഫലം ലഭിക്കും.

ഈ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, a എന്ന സംഖ്യയെ റാഡിക്കൽ നമ്പർ എന്നും n എന്ന സംഖ്യ റൂട്ടിൻ്റെ ഘാതം എന്നും വിളിക്കുന്നു.
n=2 ആണെങ്കിൽ, അവർ സാധാരണയായി “രണ്ടാം റൂട്ട്” എന്ന് പറയില്ല, പക്ഷേ “സ്ക്വയർ റൂട്ട്” എന്ന് പറയും. .

n = 3 ആണെങ്കിൽ, "മൂന്നാം ഡിഗ്രി റൂട്ട്" എന്നതിനുപകരം അവർ പലപ്പോഴും "ക്യൂബ് റൂട്ട്" എന്ന് പറയുന്നു. ക്യൂബ് റൂട്ടുമായുള്ള നിങ്ങളുടെ ആദ്യ പരിചയവും എട്ടാം ക്ലാസിലെ ബീജഗണിത കോഴ്‌സിലാണ്. ഒമ്പതാം ക്ലാസ്സിലെ ബീജഗണിതത്തിൽ ഞങ്ങൾ ക്യൂബ് റൂട്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ചു.

അതിനാൽ, a ≥0 ആണെങ്കിൽ, n= 2,3,4,5,…, പിന്നെ 1) ≥ 0; 2) () n = a.

പൊതുവേ, =b, b n =a എന്നിവ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള ഒരേ ബന്ധമാണ്, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തേത് മാത്രമേ കൂടുതൽ വിവരിച്ചിട്ടുള്ളൂ. ലളിതമായ ഭാഷയിൽആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ (ലളിതമായ പ്രതീകങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു).

നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ സാധാരണയായി റൂട്ട് എക്സ്ട്രാക്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം ഉചിതമായ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിൻ്റെ വിപരീതമാണ്. താരതമ്യം ചെയ്യുക:

ദയവായി വീണ്ടും ശ്രദ്ധിക്കുക: നിർവ്വചനം 1-ൽ ഇത് അനുശാസിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ മാത്രമേ പട്ടികയിൽ ദൃശ്യമാകൂ. ഉദാഹരണത്തിന്, (-6) 6 = 36 എന്നത് ശരിയായ തുല്യതയാണെങ്കിലും, അതിൽ നിന്ന് സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് നൊട്ടേഷനിലേക്ക് പോകുക, അതായത്. അത് അസാധ്യമാണെന്ന് എഴുതുക. നിർവചനം അനുസരിച്ച്, പോസിറ്റീവ് നമ്പർ അർത്ഥമാക്കുന്നത് = 6 (അല്ല -6). അതേ രീതിയിൽ, 2 4 =16, t (-2) 4 =16 ആണെങ്കിലും, വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു, നമ്മൾ = 2 (അതേ സമയം ≠-2) എഴുതണം.

ചിലപ്പോൾ പദപ്രയോഗത്തെ റാഡിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ലാറ്റിൻ പദമായ ഗാഡിക്സിൽ നിന്ന് - “റൂട്ട്”). റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ, റാഡിക്കൽ എന്ന പദം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, "സമൂലമായ മാറ്റങ്ങൾ" - ഇതിനർത്ഥം "സമൂലമായ മാറ്റങ്ങൾ" എന്നാണ്. വഴിയിൽ, റൂട്ടിൻ്റെ പദവി തന്നെ ഗാഡിക്സ് എന്ന വാക്കിനെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നു: ചിഹ്നം ഒരു സ്റ്റൈലൈസ്ഡ് അക്ഷരമാണ് r.

റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നതിൻ്റെ പ്രവർത്തനവും ഒരു നെഗറ്റീവ് റാഡിക്കൽ സംഖ്യയ്‌ക്കായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ ഒറ്റമൂലി എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ മാത്രം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, തുല്യത (-2) 5 = -32 =-2 എന്നതിന് തുല്യമായ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം. ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 2.ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഒരു ഒറ്റമൂലി n ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ് (n = 3.5,...) അത് n എന്ന പവർ ലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, a സംഖ്യയിൽ ഫലം ലഭിക്കും.

ഈ സംഖ്യ, നിർവചനം 1-ൽ ഉള്ളതുപോലെ, സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, സംഖ്യ a റാഡിക്കൽ സംഖ്യയാണ്, സംഖ്യ n എന്നത് റൂട്ടിൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റാണ്.
അതിനാൽ, a , n=,5,7,... എങ്കിൽ: 1) 0; 2) () n = a.

അങ്ങനെ, ഒരു സമമൂലത്തിന് അർത്ഥം (അതായത്, നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്) ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനു വേണ്ടി മാത്രം; ഒരു വിചിത്രമായ റൂട്ട് ഏത് സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തിനും അർത്ഥമാക്കുന്നു.

5. അറിവിൻ്റെ പ്രാഥമിക ഏകീകരണം:

1. കണക്കാക്കുക: നമ്പർ 33.5; 33.6; 33.74 33.8 വാമൊഴിയായി a) ; ബി) ; വി) ; ജി) .

d) വ്യത്യസ്തമായി മുൻ ഉദാഹരണങ്ങൾസംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ മൂല്യം സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല, ഇത് 2-ൽ കൂടുതലാണ്, എന്നാൽ 3-ൽ കുറവാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, കാരണം 2 4 = 16 (ഇത് 17-ൽ കുറവാണ്), 3 4 = 81 (ഇത് 17-ൽ കൂടുതലാണ്. ). 24 34 നേക്കാൾ 17 ന് വളരെ അടുത്താണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഏകദേശ സമത്വ ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് കാരണമുണ്ട്:
2. ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ അർത്ഥങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

ഉദാഹരണത്തിന് അടുത്തായി അനുബന്ധ അക്ഷരം സ്ഥാപിക്കുക.

മഹാനായ ശാസ്ത്രജ്ഞനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ചെറിയ വിവരങ്ങൾ. റെനെ ഡെസ്കാർട്ടസ് (1596-1650) ഫ്രഞ്ച് പ്രഭു, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, തത്ത്വചിന്തകൻ, ഫിസിയോളജിസ്റ്റ്, ചിന്തകൻ. റെനെ ഡെസ്കാർട്ടസ് അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാനം സ്ഥാപിക്കുകയും x 2, y 3 എന്ന അക്ഷര പദവികൾ അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. എല്ലാവർക്കും അറിയാം കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകൾ, വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനം നിർവചിക്കുന്നു.

3 . സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: a) = -2; b) = 1; c) = -4

പരിഹാരം: a) = -2 ആണെങ്കിൽ, y = -8. വാസ്തവത്തിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും നാം ക്യൂബ് ചെയ്യണം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ a), സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഞങ്ങൾ നാലാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: x=1.

c) അതിനെ നാലാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല; ഈ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം, നിർവചനം 1 അനുസരിച്ച്, ഇരട്ട റൂട്ട് ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.
നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധയ്ക്ക് നിരവധി ജോലികൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങൾ ഈ ജോലികൾ പൂർത്തിയാക്കുമ്പോൾ, മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ്റെ പേരും കുടുംബപ്പേരും നിങ്ങൾ പഠിക്കും. 1637-ൽ ഈ ശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് റൂട്ട് ചിഹ്നം ആദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചത്.

6. നമുക്ക് അൽപ്പം വിശ്രമിക്കാം.

ക്ലാസ് കൈകൾ ഉയർത്തുന്നു - ഇത് "ഒന്ന്" ആണ്.

തല തിരിഞ്ഞു - അത് "രണ്ട്" ആയിരുന്നു.

കൈ താഴ്ത്തി, മുന്നോട്ട് നോക്കുക - ഇത് "മൂന്ന്" ആണ്.

കൈകൾ വശങ്ങളിലേക്ക് വീതി കൂട്ടി "നാല്"

നിങ്ങളുടെ കൈകളിൽ ബലം പ്രയോഗിച്ച് അവയെ അമർത്തുന്നത് "ഹൈ ഫൈവ്" ആണ്.

എല്ലാ ആൺകുട്ടികളും ഇരിക്കേണ്ടതുണ്ട് - ഇത് "ആറ്" ആണ്.

7. സ്വതന്ത്ര ജോലി:

ഓപ്ഷൻ: ഓപ്ഷൻ 2:

b) 3-. b)12 -6.

2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: a) x 4 = -16; b) 0.02x 6 -1.28=0; a) x 8 = -3; b)0.3x 9 - 2.4=0;

സി) = -2; c)= 2

8. ആവർത്തനം:= - x എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക. സമവാക്യത്തിന് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ റൂട്ടുകളുണ്ടെങ്കിൽ, ചെറിയ റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം എഴുതുക.

9. പ്രതിഫലനം:പാഠത്തിൽ നിങ്ങൾ എന്താണ് പഠിച്ചത്? എന്താണ് രസകരമായത്? എന്തായിരുന്നു ബുദ്ധിമുട്ട്?

പാഠത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ:

വിദ്യാഭ്യാസപരം: N-ആം റൂട്ടിൻ്റെ സമഗ്രമായ ആശയം, വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ റൂട്ടിൻ്റെ ഗുണങ്ങളെ ബോധപൂർവവും യുക്തിസഹവുമായ ഉപയോഗത്തിനുള്ള കഴിവുകൾ എന്നിവ വിദ്യാർത്ഥികളിൽ രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ സൃഷ്ടിക്കുക.

വികസനപരം: അൽഗോരിതം, സൃഷ്ടിപരമായ ചിന്തകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സാഹചര്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുക, സ്വയം നിയന്ത്രണ കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുക.

വിദ്യാഭ്യാസപരം: വിഷയത്തിൽ താൽപ്പര്യം വളർത്തുക, പ്രവർത്തനം, ജോലിയിൽ കൃത്യത വളർത്തുക, സ്വന്തം അഭിപ്രായം പ്രകടിപ്പിക്കാനുള്ള കഴിവ്, ശുപാർശകൾ നൽകുക.

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

1. സംഘടനാ നിമിഷം.

ഗുഡ് ആഫ്റ്റർനൂൺ നല്ല മണിക്കൂർ!

നിങ്ങളെ കണ്ടതിൽ വളരെ സന്തോഷമുണ്ട്.

മണി മുഴങ്ങിക്കഴിഞ്ഞു

പാഠം ആരംഭിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ പുഞ്ചിരിച്ചു. ഞങ്ങൾ പിടിച്ചു.

ഞങ്ങൾ പരസ്പരം നോക്കി

അവർ ഒരുമിച്ചു മിണ്ടാതെ ഇരുന്നു.

2. പാഠം പ്രചോദനം.

മികച്ച ഫ്രഞ്ച് തത്ത്വചിന്തകനും ശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ ബ്ലെയ്‌സ് പാസ്കൽ വാദിച്ചു: “ഒരു വ്യക്തിയുടെ മഹത്വം അവൻ്റെ ചിന്താശേഷിയിലാണ്.” ഇന്ന് നമ്മൾ സ്വയം അറിവ് കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെ മഹാന്മാരായി തോന്നാൻ ശ്രമിക്കും. ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൻ്റെ മുദ്രാവാക്യം പുരാതന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ തേൽസിൻ്റെ വാക്കുകളായിരിക്കും:

ലോകത്ത് മറ്റെന്തിനേക്കാളും കൂടുതൽ എന്താണുള്ളത്? - സ്പേസ്.

ഏറ്റവും വേഗതയേറിയത് ഏതാണ്? - മനസ്സ്.

ഏറ്റവും ബുദ്ധിപരമായ കാര്യം എന്താണ്? - സമയം.

ഏതാണ് മികച്ച ഭാഗം? - നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് നേടുക.

ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ നിങ്ങൾ ഓരോരുത്തരും ആഗ്രഹിച്ച ഫലം കൈവരിക്കണമെന്ന് ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.

3. അറിവ് പുതുക്കുന്നു.

1. സംഖ്യകളിലെ പരസ്പര ബീജഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് പേര് നൽകുക. (സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും ഗുണനവും ഹരിക്കലും)

2. വിഭജനം പോലുള്ള ഒരു ബീജഗണിത പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണോ? (ഇല്ല, നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല)

3. അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെന്തു പ്രവർത്തനം നടത്താനാകും? (എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ)

4. എന്ത് ഓപ്പറേഷൻ അവളുടെ വിപരീതമായിരിക്കും? (വേരു വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ)

5. നിങ്ങൾക്ക് ഏത് തരം റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയും? (രണ്ടാം റൂട്ട്)

6. സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ എന്തൊക്കെ ഗുണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം? (ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം, ഒരു ഘടകത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു റൂട്ടിൽ നിന്ന്, ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു)

7. പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ അർത്ഥങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക:

ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന്. 4000 വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ്, ബാബിലോണിയൻ ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഗുണന പട്ടികകളും പട്ടികകളും സഹിതം സമാഹരിച്ചു. പരസ്‌പരം(അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ സംഖ്യകളുടെ വിഭജനം ഗുണനമാക്കി ചുരുക്കി) സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ പട്ടികകൾ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾസംഖ്യകൾ. അതേസമയം, ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെയും വർഗ്ഗമൂലത്തിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ അവർക്ക് കഴിഞ്ഞു.

4. പുതിയ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുന്നു.

വ്യക്തമായും, സ്വാഭാവിക എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾക്ക് അനുസൃതമായി, ഏതിൽ നിന്നും പോസിറ്റീവ് നമ്പർഇരട്ട മൂലയുടെ രണ്ട് വിപരീത മൂല്യങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, 4, -4 എന്നീ സംഖ്യകൾ 16 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങളാണ്, കാരണം (-4)2 = 42 = 16, കൂടാതെ 3 ഉം -3 സംഖ്യകളും 81 ൻ്റെ നാലാമത്തെ വേരുകളാണ്. , മുതൽ (-3)4 = 34 = 81.

കൂടാതെ, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് പോലും ഇല്ല കാരണം ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെയും ഇരട്ട ശക്തി നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണ്. ഒറ്റ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും ഈ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒറ്റ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 എന്നത് 27 ൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ മൂലമാണ്, 33 = 27, -2 എന്നത് -32 ൻ്റെ അഞ്ചാമത്തെ മൂലമാണ്, കാരണം (-2)5 = 32.

ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ രണ്ട് വേരുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, റൂട്ടിൻ്റെ ഈ അവ്യക്തത ഇല്ലാതാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഒരു ഗണിത റൂട്ട് എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ nth റൂട്ടിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത മൂല്യത്തെ ഒരു ഗണിത റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പദവി: - nth റൂട്ട്ഡിഗ്രികൾ.

n എന്ന സംഖ്യയെ ഗണിത മൂലത്തിൻ്റെ ശക്തി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. n = 2 ആണെങ്കിൽ, റൂട്ടിൻ്റെ ഡിഗ്രി സൂചിപ്പിക്കില്ല, അത് എഴുതിയിരിക്കുന്നു. രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ മൂലത്തെ സാധാരണയായി സ്ക്വയർ റൂട്ട് എന്നും മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ മൂലത്തെ ക്യൂബിക് റൂട്ട് എന്നും വിളിക്കുന്നു.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = a, p - പോലും a ≥ 0, b ≥ 0

n - ഒറ്റത്തവണ a, b - ഏതെങ്കിലും

പ്രോപ്പർട്ടികൾ

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b >0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k - സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ

5. പുതിയ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ഏകീകരണം.

വാക്കാലുള്ള ജോലി

എ) ഏത് പദപ്രയോഗങ്ങളാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

b) a എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

നമ്പർ 3, 4, 7, 9, 11 പരിഹരിക്കുക.

6. ശാരീരിക വിദ്യാഭ്യാസ മിനിറ്റ്.

എല്ലാ കാര്യങ്ങളിലും മിതത്വം ആവശ്യമാണ്,

അത് പ്രധാന നിയമമായിരിക്കട്ടെ.

ജിംനാസ്റ്റിക്സ് ചെയ്യുക, നിങ്ങൾ വളരെക്കാലമായി ചിന്തിക്കുന്നതിനാൽ,

ജിംനാസ്റ്റിക്സ് ശരീരത്തെ ക്ഷീണിപ്പിക്കുന്നില്ല,

എന്നാൽ ഇത് ശരീരത്തെ പൂർണ്ണമായും ശുദ്ധീകരിക്കുന്നു!

നിങ്ങളുടെ കണ്ണുകൾ അടയ്ക്കുക, നിങ്ങളുടെ ശരീരം വിശ്രമിക്കുക,

സങ്കൽപ്പിക്കുക - നിങ്ങൾ പക്ഷികളാണ്, നിങ്ങൾ പെട്ടെന്ന് പറക്കുന്നു!

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരു ഡോൾഫിനിനെപ്പോലെ സമുദ്രത്തിൽ നീന്തുകയാണ്,

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ പൂന്തോട്ടത്തിൽ പഴുത്ത ആപ്പിൾ പറിക്കുന്നു.

ഇടത്, വലത്, ചുറ്റും നോക്കി,

നിങ്ങളുടെ കണ്ണുകൾ തുറന്ന് ബിസിനസ്സിലേക്ക് മടങ്ങുക!

7. സ്വതന്ത്ര ജോലി.

ജോഡികളായി പ്രവർത്തിക്കുക. 178 നമ്പർ 1, നമ്പർ 2.

8. D/z.ഇനം 10 (പേജ് 160-161) പഠിക്കുക, നമ്പർ 5, 6, 8, 12, 16(1, 2) പരിഹരിക്കുക.

9. പാഠ സംഗ്രഹം. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പ്രതിഫലനം.

പാഠം അതിൻ്റെ ലക്ഷ്യം നേടിയോ?

നിങ്ങൾ എന്താണ് പഠിച്ചത്?

വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഗുണങ്ങളും ഉൾപ്പെടെ, പവർ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവ്, ഇൻ്റഗ്രൽ, എക്സ്പാൻഷൻ ഇൻ പവർ സീരീസ്ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിലൂടെയുള്ള പ്രാതിനിധ്യവും.

നിർവ്വചനം

നിർവ്വചനം
എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് പി ഉള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷൻഫംഗ്ഷൻ f ആണ് (x) = x പി, x എന്ന പോയിൻ്റിലെ മൂല്യം p എന്ന പോയിൻ്റിലെ x എന്ന ബേസ് ഉള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്.
കൂടാതെ, എഫ് (0) = 0 p = 0 p > എന്നതിന് 0 .

എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ സ്വാഭാവിക മൂല്യങ്ങൾക്ക്, പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ x ന് തുല്യമായ n സംഖ്യകളുടെ ഗുണനമാണ്:
.
ഇത് എല്ലാ സാധുതയ്ക്കും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് യുക്തിസഹമായ മൂല്യങ്ങൾക്ക്, പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ x എന്ന സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി m ൻ്റെ n റൂട്ടുകളുടെ ഗുണനമാണ്:
.
വിചിത്രമായ m-ന്, എല്ലാ യഥാർത്ഥ x-നും ഇത് നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു. m പോലും, നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തവയ്ക്ക് പവർ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

നെഗറ്റീവ് എന്നതിന്, പവർ ഫംഗ്ഷൻ ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:
.
അതിനാൽ, അത് പോയിൻ്റിൽ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല.

p യുടെ യുക്തിരഹിതമായ മൂല്യങ്ങൾക്ക്, പവർ ഫംഗ്ഷൻ ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:
,
ഇവിടെ a എന്നത് ഒന്നിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്: .
എപ്പോൾ, അത് നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു.
എപ്പോൾ, പവർ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്.

തുടർച്ച. ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ അതിൻ്റെ നിർവചന മേഖലയിൽ തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു.

x ≥ 0-നുള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗുണങ്ങളും ഫോർമുലകളും

അല്ല എന്നതിനുള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ ഇവിടെ പരിഗണിക്കും നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾവാദം x. മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ, എക്സ്പോണൻ്റ് p ൻ്റെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്ക്, x ൻ്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കും പവർ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇരട്ട അല്ലെങ്കിൽ ഒറ്റത്തവണ ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകളിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും. ഈ കേസുകൾ "" പേജിൽ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യുകയും ചിത്രീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ, y = x p, എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് p-യ്‌ക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:
(1.1) സെറ്റിൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും തുടർച്ചയായതും
എന്ന സമയത്ത്,
ചെയ്തത് ;
(1.2) പല അർത്ഥങ്ങളുണ്ട്
എന്ന സമയത്ത്,
ചെയ്തത് ;
(1.3) കൂടെ കർശനമായി വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു,
കർശനമായി കുറയുന്നു;
(1.4) ചെയ്തത് ;
ചെയ്തത് ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

"പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ (തുടർച്ചയുടെയും ഗുണങ്ങളുടെയും തെളിവ്)" പേജിൽ പ്രോപ്പർട്ടികളുടെ തെളിവ് നൽകിയിരിക്കുന്നു.

വേരുകൾ - നിർവചനം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ഗുണവിശേഷതകൾ

നിർവ്വചനം
n ഡിഗ്രിയുടെ x സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് n എന്ന പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ x നൽകുന്ന സംഖ്യയാണ്:
.
ഇവിടെ n = 2, 3, 4, ... - ഒന്നിൽ കൂടുതൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.

n ഡിഗ്രിയുടെ x സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് (അതായത് പരിഹാരം) ആണെന്നും നിങ്ങൾക്ക് പറയാം.
.
ഫംഗ്‌ഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിപരീതമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

സ്ക്വയർ റൂട്ട് x എന്ന നമ്പറിൽ നിന്ന്ഡിഗ്രി 2 ൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് ആണ്: .

x ൻ്റെ ക്യൂബ് റൂട്ട്ഡിഗ്രി 3 ൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് ആണ്: .

ബിരുദം പോലും

ഇരട്ട ശക്തികൾക്ക് n = 2 മീ, റൂട്ട് x ≥ ന് നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു 0 . പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് x എന്നിവയ്‌ക്ക് സാധുതയുള്ളതാണ്:
.
സ്ക്വയർ റൂട്ടിനായി:
.

പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്ന ക്രമം ഇവിടെ പ്രധാനമാണ് - അതായത്, ആദ്യം ചതുരം നടത്തുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഒരു നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യ ലഭിക്കും, തുടർന്ന് അതിൽ നിന്ന് റൂട്ട് എടുക്കുന്നു (നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയിൽ നിന്ന് സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കാം. ). നമ്മൾ ക്രമം മാറ്റിയാൽ: , നെഗറ്റീവ് x ന് റൂട്ട് നിർവചിക്കപ്പെടില്ല, കൂടാതെ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും നിർവചിക്കപ്പെടില്ല.

വിചിത്രമായ ബിരുദം

വിചിത്ര ശക്തികൾക്ക്, എല്ലാ x-നും റൂട്ട് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:
;
.

വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും

x ൻ്റെ റൂട്ട് ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷനാണ്:
.
എപ്പോൾ x ≥ 0 ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ബാധകമാണ്:
;
;
, ;
.

വേരിയബിളുകളുടെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കും ഈ ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. ശക്തികളുടെ പോലും സമൂലമായ ആവിഷ്കാരം നെഗറ്റീവ് അല്ലെന്ന് നിങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

സ്വകാര്യ മൂല്യങ്ങൾ

0 ൻ്റെ റൂട്ട് 0: ആണ്.
റൂട്ട് 1 1: ന് തുല്യമാണ്.
0 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം 0: ആണ്.
1 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം 1: ആണ്.

ഉദാഹരണം. വേരുകളുടെ റൂട്ട്

വേരുകളുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:
.
മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആന്തരിക സ്ക്വയർ റൂട്ട് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:
.
ഇനി നമുക്ക് യഥാർത്ഥ റൂട്ട് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:
.
അതിനാൽ,
.

p യുടെ വ്യത്യസ്‌ത മൂല്യങ്ങൾക്ക് y = x p.

ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ൻ്റെ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾ ഇതാ. x ൻ്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾ "പവർ ഫംഗ്ഷൻ, അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും ഗ്രാഫുകളും" എന്ന പേജിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

വിപരീത പ്രവർത്തനം

എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് p ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിപരീതം എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 1/p ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷനാണ്.

എങ്കിൽ, പിന്നെ.

ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

Nth ഓർഡറിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
;

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ >>>

ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അവിഭാജ്യ ഘടകം

പി ≠ - 1 ;
.

പവർ സീരീസ് വിപുലീകരണം

ഈ സമയത്ത് - 1 < x < 1 ഇനിപ്പറയുന്ന വിഘടനം നടക്കുന്നു:

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ

സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിൾ z ൻ്റെ പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക:
എഫ് (z) = z t.
r എന്ന മോഡുലസിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റ് φ (r = |z|)യുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിൾ z പ്രകടിപ്പിക്കാം:
z = r e i φ.
യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:
t = p + i q.
നമുക്ക് ഉണ്ട്:

അടുത്തതായി, വാദം φ അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നു:
,

q = ആകുമ്പോൾ നമുക്ക് കേസ് പരിഗണിക്കാം 0 , അതായത്, ഘാതം ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്, t = p. പിന്നെ
.

p ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, kp ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. തുടർന്ന്, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആനുകാലികത കാരണം:
.
അതാണ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം, തന്നിരിക്കുന്ന z-ന്, ഒരു മൂല്യം മാത്രമേയുള്ളൂ, അതിനാൽ അത് അവ്യക്തമാണ്.

p യുക്തിരഹിതമാണെങ്കിൽ, kp എന്ന ഉൽപ്പന്നം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ഉണ്ടാക്കില്ല. k എന്നതിനാൽ, മൂല്യങ്ങളുടെ അനന്തമായ ശ്രേണിയിലൂടെയാണ് പ്രവർത്തിക്കുന്നത് k = 0, 1, 2, 3, ..., അപ്പോൾ z p എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് അനന്തമായ നിരവധി മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. ആർഗ്യുമെൻ്റ് z വർദ്ധിക്കുമ്പോഴെല്ലാം 2π(ഒരു തിരിവ്), ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു പുതിയ ശാഖയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

p യുക്തിസഹമാണെങ്കിൽ, അതിനെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
, എവിടെ m, n- മുഴുവനും, അടങ്ങിയിട്ടില്ല പൊതു വിഭജനങ്ങൾ. പിന്നെ
.
k = k ഉള്ള ആദ്യ n മൂല്യങ്ങൾ 0 = 0, 1, 2, ... n-1, n നൽകുക വ്യത്യസ്ത അർത്ഥങ്ങൾ kp:
.
എന്നിരുന്നാലും, തുടർന്നുള്ള മൂല്യങ്ങൾ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, എപ്പോൾ k = k 0+nനമുക്ക് ഉണ്ട്:
.
ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ, ആരുടെ വാദങ്ങൾ ഗുണിതങ്ങളായ മൂല്യങ്ങളാൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു 2π, തുല്യ മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ട്. അതിനാൽ, k യുടെ കൂടുതൽ വർദ്ധനവ് കൊണ്ട്, k = k ന് സമാനമായ z p യുടെ അതേ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

അങ്ങനെ, ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന് മൾട്ടിവാല്യൂഡ് ആണ് കൂടാതെ n മൂല്യങ്ങൾ (ശാഖകൾ) ഉണ്ട്. ആർഗ്യുമെൻ്റ് z വർദ്ധിക്കുമ്പോഴെല്ലാം 2π(ഒരു തിരിവ്), ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു പുതിയ ശാഖയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു. അത്തരം വിപ്ലവങ്ങൾക്ക് ശേഷം ഞങ്ങൾ കൗണ്ട്ഡൗൺ ആരംഭിച്ച ആദ്യത്തെ ശാഖയിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു.

പ്രത്യേകിച്ചും, ഡിഗ്രി n ൻ്റെ ഒരു റൂട്ടിന് n മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണമായി, ഒരു യഥാർത്ഥ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ nth റൂട്ട് പരിഗണിക്കുക z = x. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
അതിനാൽ, ഒരു സ്ക്വയർ റൂട്ടിന്, n = 2 ,
.
k പോലും, (- 1 ) k = 1. ഒറ്റ കെക്ക്, (- 1 ) k = - 1.
അതായത്, വർഗ്ഗമൂലത്തിന് രണ്ട് അർത്ഥങ്ങളുണ്ട്: + ഒപ്പം -.

റഫറൻസുകൾ:
ഐ.എൻ. ബ്രോൺസ്റ്റീൻ, കെ.എ. സെമെൻഡയേവ്, എഞ്ചിനീയർമാർക്കും കോളേജ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ കൈപ്പുസ്തകം, "ലാൻ", 2009.