27 ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളോടെ. ലോഗരിതം: ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

ബീജഗണിതം 11-ാം ക്ലാസ്

വിഷയം: "ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ"

പാഠത്തിൻ്റെ ലക്ഷ്യങ്ങൾ:

വിദ്യാഭ്യാസം: അറിവിൻ്റെ രൂപീകരണം വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കൽ, അവ ഓരോന്നിലും പ്രയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവുകൾ പ്രത്യേക സാഹചര്യംപരിഹരിക്കാൻ ഏതെങ്കിലും രീതി തിരഞ്ഞെടുക്കുക;

വികസിപ്പിക്കൽ: ഒരു പുതിയ സാഹചര്യത്തിൽ അറിവ് നിരീക്ഷിക്കാനും താരതമ്യം ചെയ്യാനും പ്രയോഗിക്കാനും പാറ്റേണുകൾ തിരിച്ചറിയാനും സാമാന്യവൽക്കരിക്കാനും കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുക; പരസ്പര നിയന്ത്രണത്തിൻ്റെയും ആത്മനിയന്ത്രണത്തിൻ്റെയും കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുക;

വിദ്യാഭ്യാസം: വിദ്യാഭ്യാസ പ്രവർത്തനങ്ങളോടുള്ള ഉത്തരവാദിത്ത മനോഭാവം വളർത്തുക, പാഠത്തിലെ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ശ്രദ്ധാപൂർവമായ ധാരണ, ശ്രദ്ധാപൂർവമായ കുറിപ്പ് എടുക്കൽ.

പാഠ തരം: പുതിയ മെറ്റീരിയൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠം.

"ലോഗരിതംസിൻ്റെ കണ്ടുപിടിത്തം, ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞൻ്റെ ജോലി കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ആയുസ്സ് നീട്ടി."
ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ പി.എസ്. ലാപ്ലേസ്

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

I. പാഠം ലക്ഷ്യം വെക്കുന്നു

ലോഗരിതം, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ എന്നിവയുടെ പഠിച്ച നിർവചനം ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും. എല്ലാ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും, അവ എത്ര സങ്കീർണ്ണമാണെങ്കിലും, ഏകീകൃത അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ ഈ അൽഗോരിതങ്ങൾ നോക്കാം. അവയിൽ പലതും ഇല്ല. നിങ്ങൾ അവയിൽ പ്രാവീണ്യം നേടിയാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുള്ള ഏത് സമവാക്യവും നിങ്ങൾക്ക് ഓരോരുത്തർക്കും സാധ്യമാകും.

നിങ്ങളുടെ നോട്ട്ബുക്കിൽ പാഠത്തിൻ്റെ വിഷയം എഴുതുക: "ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ." സഹകരിക്കാൻ എല്ലാവരെയും ക്ഷണിക്കുന്നു.

II. റഫറൻസ് അറിവ് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യുന്നു

പാഠത്തിൻ്റെ വിഷയം പഠിക്കാൻ നമുക്ക് തയ്യാറെടുക്കാം. നിങ്ങൾ ഓരോ ജോലിയും പരിഹരിച്ച് ഉത്തരം എഴുതുക; നിങ്ങൾ വ്യവസ്ഥ എഴുതേണ്ടതില്ല. ജോഡികളായി പ്രവർത്തിക്കുക.

1) x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് ഫംഗ്ഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത്:

(ഓരോ സ്ലൈഡിനും ഉത്തരങ്ങൾ പരിശോധിക്കുകയും പിശകുകൾ പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു)

2) ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ യോജിക്കുന്നുണ്ടോ?

3) തുല്യതകളെ ലോഗരിഥമിക് തുല്യതകളായി മാറ്റിയെഴുതുക:

4) അടിസ്ഥാന 2 ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകൾ ലോഗരിതം ആയി എഴുതുക:

5) കണക്കാക്കുക:

6) ഈ തുല്യതകളിൽ നഷ്ടപ്പെട്ട ഘടകങ്ങൾ പുനഃസ്ഥാപിക്കാനോ അനുബന്ധമായി നൽകാനോ ശ്രമിക്കുക.

III. പുതിയ മെറ്റീരിയലിലേക്കുള്ള ആമുഖം

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന സ്ക്രീനിൽ ദൃശ്യമാകുന്നു:

"എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര എള്ളുകളും തുറക്കുന്ന സുവർണ്ണ താക്കോലാണ് സമവാക്യം."
ആധുനിക പോളിഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ എസ്. കോവൽ

ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്താൻ ശ്രമിക്കുക. (ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ അജ്ഞാതമായ ഒരു സമവാക്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു).

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം:ലോഗ്എx = b(എവിടെ a>0, a ≠ 1). കാരണം ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻപോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും (അല്ലെങ്കിൽ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു) എല്ലാ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളും എടുക്കുന്നു, തുടർന്ന് റൂട്ട് സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, ഏത് b-നും ഈ സമവാക്യം ഉണ്ട്, കൂടാതെ, ഒരു പരിഹാരവും പോസിറ്റീവ് ഒന്നുമേയുള്ളൂ.

ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം ഓർക്കുക. (ഒരു സംഖ്യയുടെ x-ൻ്റെ ലോഗരിതം a ബേസ് a എന്നത് x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് a അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിയുടെ സൂചകമാണ്). ലോഗരിതം എന്ന നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് ഉടനടി പിന്തുടരുന്നു എവിഅത്തരമൊരു പരിഹാരമാണ്.

തലക്കെട്ട് എഴുതുക: ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

1. ലോഗരിതം നിർവചനം പ്രകാരം.

ഫോമിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം നമ്പർ 514(എ)): സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു? (ലോഗരിതം നിർവചനം പ്രകാരം)

പരിഹാരം. , അതിനാൽ 2x - 4 = 4; x = 4.

ഈ ടാസ്ക്കിൽ, 2x - 4 > 0, മുതൽ > 0, അതിനാൽ പുറമേയുള്ള വേരുകളൊന്നും ദൃശ്യമാകില്ല, കൂടാതെ പരിശോധിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഈ ടാസ്ക്കിൽ 2x - 4 > 0 എന്ന അവസ്ഥ എഴുതേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

2. പൊട്ടൻറൈസേഷൻ(ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് ഈ പദപ്രയോഗത്തിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം).

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം നമ്പർ 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

ഏത് സവിശേഷതയാണ് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചത്? (അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകളുടെയും ലോഗരിതം തുല്യമാണ്.) എന്തു ചെയ്യാൻ കഴിയും? (പൊട്ടൻറൈസ് ചെയ്യുക).

ലോഗരിഥമിക് എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ പോസിറ്റീവ് ആയിട്ടുള്ള എല്ലാ x ൻ്റെയും ഇടയിൽ ഏതെങ്കിലും പരിഹാരം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് കണക്കിലെടുക്കണം.

പരിഹാരം: ODZ:

X2+8>0 എന്നത് ഒരു അനാവശ്യ അസമത്വമാണ്

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

നമുക്ക് യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ശക്തമാക്കാം

നമുക്ക് x2+8= 8x+8 എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും

നമുക്ക് അത് പരിഹരിക്കാം: x2-8x=0

ഉത്തരം: 0; 8

IN പൊതുവായ കാഴ്ച തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റം:

സമവാക്യം

(സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു അനാവശ്യ അവസ്ഥ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു - അസമത്വങ്ങളിലൊന്ന് പരിഗണിക്കേണ്ടതില്ല).

ക്ലാസ്സിനുള്ള ചോദ്യം: ഈ മൂന്ന് പരിഹാരങ്ങളിൽ ഏതാണ് നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ഇഷ്ടപ്പെട്ടത്? (രീതികളുടെ ചർച്ച).

ഏതുവിധേനയും തീരുമാനിക്കാനുള്ള അവകാശം നിങ്ങൾക്കുണ്ട്.

3. ഒരു പുതിയ വേരിയബിളിൻ്റെ ആമുഖം.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം നമ്പർ 520(ഗ്രാം). .

നിങ്ങൾ എന്താണ് ശ്രദ്ധിച്ചത്? (ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം log3x സംബന്ധിച്ച്) നിങ്ങളുടെ നിർദ്ദേശങ്ങൾ? (ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുക)

പരിഹാരം. ODZ: x > 0.

അനുവദിക്കുക , അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കുന്നു:. വിവേചനം D > 0. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് വേരുകൾ:.

നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കുന്നതിലേക്ക് മടങ്ങാം: അല്ലെങ്കിൽ.

ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ച ശേഷം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉത്തരം: 27;

4. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശവും ലോഗരിതം.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:.

പരിഹാരം: ODZ: x>0, അടിസ്ഥാനം 10-ൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും ലോഗരിതം എടുക്കുക:

നമുക്ക് ഒരു ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം എന്ന പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിക്കാം:

(logx + 3) logx = 4

logx = y എന്ന് അനുവദിക്കുക, തുടർന്ന് (y + 3)y = 4

, (D > 0) വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് വേരുകൾ: y1 = -4, y2 = 1.

നമുക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കലിലേക്ക് മടങ്ങാം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: lgx = -4,; lgx = 1, .

ഉത്തരം: 0.0001; 10.

5. ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കൽ.

നമ്പർ 523(സി). സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം: ODZ: x>0. നമുക്ക് അടിസ്ഥാനം 3 ലേക്ക് പോകാം.

6. ഫങ്ഷണൽ-ഗ്രാഫിക് രീതി.

№ 509(ഡി).സമവാക്യം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക: = 3 - x.

എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു? (പോയിൻ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് y = log2x, y = 3 - x എന്നീ രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുക, ഗ്രാഫുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസ്സയ്ക്കായി നോക്കുക).

സ്ലൈഡിൽ നിങ്ങളുടെ പരിഹാരം നോക്കുക.

ഗ്രാഫുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നത് ഒഴിവാക്കാൻ ഒരു വഴിയുണ്ട് . അത് ഇപ്രകാരമാണ് : ഫംഗ്ഷനുകളിൽ ഒന്നാണെങ്കിൽ y = f(x) വർദ്ധിക്കുന്നു, മറ്റൊന്ന് y = g(x) ഇടവേള X-ൽ കുറയുന്നു, തുടർന്ന് സമവാക്യം f(x)= g(x) X എന്ന ഇടവേളയിൽ പരമാവധി ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

വേരുണ്ടെങ്കിൽ അത് ഊഹിക്കാം.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, x>0 ന് ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു, കൂടാതെ x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും y = 3 - x ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുന്നു, x>0 ഉൾപ്പെടെ, അതായത് സമവാക്യത്തിന് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ റൂട്ട് ഇല്ല എന്നാണ്. x = 2-ൽ സമവാക്യം യഥാർത്ഥ സമത്വമായി മാറുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

« ശരിയായ ഉപയോഗംരീതികൾ പഠിക്കാൻ കഴിയും
അവ പ്രയോഗിക്കുന്നതിലൂടെ മാത്രം വിവിധ ഉദാഹരണങ്ങൾ».
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഡാനിഷ് ചരിത്രകാരനായ ജി.ജി.സെയ്റ്റൻ

ഐവി. ഹോം വർക്ക്

P. 39 ഉദാഹരണം 3 പരിഗണിക്കുക, നമ്പർ 514(b), No. 529(b), No. 520(b), No. 523(b) പരിഹരിക്കുക

വി. പാഠം സംഗ്രഹിക്കുന്നു

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഏത് രീതികളാണ് ഞങ്ങൾ ക്ലാസിൽ നോക്കിയത്?

അടുത്ത പാഠങ്ങളിൽ നമ്മൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കും. അവ പരിഹരിക്കാൻ, പഠിച്ച രീതികൾ ഉപയോഗപ്രദമാകും.

അവസാനം കാണിച്ച സ്ലൈഡ്:

“ലോകത്തിലെ മറ്റെന്തിനെക്കാളും എന്താണ്?
സ്ഥലം.
ഏറ്റവും ബുദ്ധിപരമായ കാര്യം എന്താണ്?
സമയം.
ഏതാണ് മികച്ച ഭാഗം?
നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് നേടുക."
തേൽസ്

എല്ലാവരും അവർ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് നേടണമെന്ന് ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. നിങ്ങളുടെ സഹകരണത്തിനും മനസ്സിലാക്കലിനും നന്ദി.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളോ വേരുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പോ ആവശ്യമില്ലാത്ത ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഇന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും. എന്നാൽ അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് വളരെ എളുപ്പമായിരിക്കും.

ലോഗ് a f (x) = b എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യമാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ a, b എന്നത് സംഖ്യകളാണ് (a > 0, a ≠ 1), f (x) എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത ഫംഗ്ഷനാണ്.

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്നിധ്യമാണ് എല്ലാ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളുടെയും ഒരു പ്രത്യേകത. പ്രശ്നത്തിൽ തുടക്കത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യം ഇതാണ് എങ്കിൽ, അതിനെ ഏറ്റവും ലളിതമായത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മറ്റേതൊരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും പ്രത്യേക പരിവർത്തനങ്ങളാൽ ഏറ്റവും ലളിതമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു ("ലോഗരിതംസിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ" കാണുക). എന്നിരുന്നാലും, നിരവധി സൂക്ഷ്മതകൾ കണക്കിലെടുക്കണം: അധിക വേരുകൾ ഉണ്ടാകാം, അതിനാൽ സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കും.

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള സംഖ്യയെ ഇടതുവശത്തുള്ള അതേ അടിത്തറയിൽ ഒരു ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ മതി. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം എന്ന അടയാളം ഒഴിവാക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

ഞങ്ങൾക്ക് സാധാരണ സമവാക്യം ലഭിച്ചു. അതിൻ്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്.

ബിരുദങ്ങൾ എടുക്കുന്നു

പലപ്പോഴും ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ, ബാഹ്യമായി സങ്കീർണ്ണവും അപകടകരവുമായി കാണപ്പെടുന്നു, അവ ഉൾപ്പെടാതെ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ രണ്ട് വരികളിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ഇന്ന് നമ്മൾ അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ നോക്കും, അവിടെ നിങ്ങൾക്ക് വേണ്ടത് ഫോർമുലയെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം കുറയ്ക്കുകയും ലോഗരിതങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിനായി തിരയുമ്പോൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്.

ഇന്ന്, നിങ്ങൾ ശീർഷകത്തിൽ നിന്ന് ഊഹിച്ചതുപോലെ, കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിനുള്ള ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കും. ഈ വീഡിയോ പാഠത്തിൻ്റെ പ്രധാന "ട്രിക്ക്" ഡിഗ്രികളുമായി പ്രവർത്തിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്നും വാദത്തിൽ നിന്നും ബിരുദം കുറയ്ക്കുന്നതാണ്. നമുക്ക് നിയമം നോക്കാം:

അതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് അടിത്തറയിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടാനാകും:

നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്ന് ബിരുദം നീക്കം ചെയ്യുമ്പോൾ നമുക്ക് മുന്നിൽ ഒരു അധിക ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അടിത്തറയിൽ നിന്ന് ഡിഗ്രി നീക്കം ചെയ്യുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ഘടകം മാത്രമല്ല, വിപരീത ഘടകമാണ് ലഭിക്കുന്നത്. ഇത് ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അവസാനമായി, ഏറ്റവും രസകരമായ കാര്യം. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, തുടർന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും:

തീർച്ചയായും, ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ, നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തിയുടെ സാധ്യമായ വിപുലീകരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില അപകടങ്ങളുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി ചുരുക്കുന്നു. സ്വയം വിധിക്കുക:

ലോഗ് 3 x 2 = 2 ∙ ലോഗ് 3 x

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ x എന്നത് 0 അല്ലാതെ മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യയായിരിക്കാം, അതായത് x ≠ 0 എന്ന ആവശ്യകത, രണ്ടാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ നമ്മൾ x-ൽ മാത്രം തൃപ്തരാണ്, അത് തുല്യമല്ല മാത്രമല്ല, 0-നേക്കാൾ കൂടുതലാണ്, കാരണം ഇതിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം, വാദം കർശനമായി 0-നേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. അതിനാൽ, 8-9 ഗ്രേഡ് ബീജഗണിത കോഴ്‌സിൽ നിന്നുള്ള ഒരു അത്ഭുതകരമായ ഫോർമുല ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കും:

അതായത്, നമ്മുടെ ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതണം:

ലോഗ് 3 x 2 = 2 ∙ ലോഗ് 3 |x |

അപ്പോൾ നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തിയുടെ സങ്കോചം സംഭവിക്കില്ല.

എന്നിരുന്നാലും, ഇന്നത്തെ വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയലിൽ ചതുരങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. നിങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജോലികൾ നോക്കിയാൽ, നിങ്ങൾ വേരുകൾ മാത്രമേ കാണൂ. അതിനാൽ, അപേക്ഷിക്കുക ഈ നിയമംഞങ്ങൾ ചെയ്യില്ല, പക്ഷേ നിങ്ങൾ അത് മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിനാൽ നിങ്ങൾ കാണുമ്പോൾ ശരിയായ നിമിഷത്തിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനംഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിലോ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലോ, നിങ്ങൾ ഈ നിയമം ഓർമ്മിക്കുകയും എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും ശരിയായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യും.

അതിനാൽ ആദ്യത്തെ സമവാക്യം ഇതാണ്:

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഫോർമുലയിലെ ഓരോ പദങ്ങളും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ആദ്യ പദം ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ശക്തിയായി മാറ്റിയെഴുതാം:

ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ പദം നോക്കുന്നു: ലോഗ് 3 (1 - x). ഇവിടെ ഒന്നും ചെയ്യേണ്ടതില്ല, എല്ലാം ഇതിനകം തന്നെ ഇവിടെ രൂപാന്തരപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

അവസാനമായി, 0, 5. മുൻ പാഠങ്ങളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ നിന്ന് സാധാരണമായവയിലേക്ക് മാറാൻ ഞാൻ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. നമുക്കിത് ചെയ്യാം:

0,5 = 5/10 = 1/2

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നിബന്ധനകൾ കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ ഫോർമുല മാറ്റിയെഴുതാം:

ലോഗ് 3 (1 - x ) = 1

ഇനി നമുക്ക് കാനോനിക്കൽ ഫോമിലേക്ക് പോകാം:

ലോഗ് 3 (1 - x ) = ലോഗ് 3 3

ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാക്കി ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നു:

1 - x = 3

-x = 2

x = -2

അത്രയേയുള്ളൂ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് ഇത് സുരക്ഷിതമായി പ്ലേ ചെയ്ത് നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് യഥാർത്ഥ ഫോർമുലയിലേക്ക് തിരികെ പോയി നോക്കാം:

1 - x > 0

−x > -1

x< 1

ഞങ്ങളുടെ റൂട്ട് x = −2 ഈ ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അതിനാൽ x = -2 യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് കർശനമായ, വ്യക്തമായ ന്യായീകരണം ലഭിച്ചു. അത്രയേയുള്ളൂ, പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ടാസ്ക്കിലേക്ക് പോകാം:

ഓരോ പദവും പ്രത്യേകം നോക്കാം.

ആദ്യത്തേത് എഴുതാം:

ഞങ്ങൾ ആദ്യ ടേം മാറ്റി. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ടേമിനൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

അവസാനമായി, തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള അവസാന പദം:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുലയിലെ നിബന്ധനകൾക്ക് പകരം ഞങ്ങൾ ഫലമായ എക്സ്പ്രഷനുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ലോഗ് 3 x = 1

നമുക്ക് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് പോകാം:

ലോഗ് 3 x = ലോഗ് 3 3

ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുന്നു, ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

x = 3

വീണ്ടും, സുരക്ഷിതമായ വശത്തായിരിക്കാൻ, നമുക്ക് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് തിരികെ പോയി നോക്കാം. യഥാർത്ഥ ഫോർമുലയിൽ, x എന്ന വേരിയബിൾ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ മാത്രമേ ഉള്ളൂ, അതിനാൽ,

x > 0

രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതത്തിൽ, x റൂട്ടിന് കീഴിലാണ്, എന്നാൽ വീണ്ടും ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ, അതിനാൽ, റൂട്ട് 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം, അതായത്, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം. നമ്മൾ നമ്മുടെ റൂട്ട് x = 3 നോക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, അത് ഈ ആവശ്യം നിറവേറ്റുന്നു. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ് x = 3. അത്രയേയുള്ളൂ, പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

ഇന്നത്തെ വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയലിൽ രണ്ട് പ്രധാന പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ട്:

1) ലോഗരിതം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ ഭയപ്പെടരുത്, പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് അധികാരങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാൻ ഭയപ്പെടരുത്: ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു പവർ നീക്കംചെയ്യുമ്പോൾ, അത് മാറ്റങ്ങളില്ലാതെ പുറത്തെടുക്കുന്നു. ഒരു ഗുണിതമായി, അടിത്തറയിൽ നിന്ന് ഒരു ശക്തി നീക്കം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഈ ശക്തി വിപരീതമാണ്.

2) രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റ് കാനോനിക്കൽ രൂപവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യ ഫോർമുലയുടെ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്തു. ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

a = ലോഗ് b b a

തീർച്ചയായും, "ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ബി" എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ, ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്ന സംഖ്യകളെയാണ് ഞാൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, അതായത്.

1 ≠ b > 0

അത്തരം ബി, അടിസ്ഥാനം ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്നതിനാൽ, ഈ ആവശ്യകത യാന്ത്രികമായി നിറവേറ്റപ്പെടും. എന്നാൽ അത്തരം ബി - ഈ ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നവ - ഈ പരിവർത്തനം നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും, കൂടാതെ നമുക്ക് ഒരു കാനോനിക്കൽ ഫോം ലഭിക്കും, അതിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാനാകും.

നിർവചനത്തിൻ്റെയും അധിക റൂട്ടുകളുടെയും ഡൊമെയ്ൻ വികസിപ്പിക്കുന്നു

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ വ്യക്തമായ വികാസം സംഭവിക്കാം. പലപ്പോഴും വിദ്യാർത്ഥികൾ ഇത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നില്ല, ഇത് തെറ്റുകളിലേക്കും തെറ്റായ ഉത്തരങ്ങളിലേക്കും നയിക്കുന്നു.

ലളിതമായ ഡിസൈനുകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്:

ലോഗ് a f (x) = b

ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ മാത്രമേ x ഉള്ളൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? ഞങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ ഫോം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, b = log a a b എന്ന സംഖ്യ സങ്കൽപ്പിക്കുക, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതും:

log a f (x) = log a a b

ഈ എൻട്രിയെ കാനോനിക്കൽ ഫോം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ മാത്രമല്ല, ഏത് സ്വതന്ത്രവും പരീക്ഷണാത്മകവുമായ ജോലിയിലും നിങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം കുറയ്ക്കേണ്ടത് ഇതിലേക്കാണ്.

കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ എങ്ങനെ എത്തിച്ചേരാം, എന്ത് സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഉപയോഗിക്കണം എന്നത് പരിശീലനത്തിൻ്റെ കാര്യമാണ്. മനസിലാക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യം, നിങ്ങൾക്ക് അത്തരമൊരു റെക്കോർഡ് ലഭിച്ചാലുടൻ, പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചതായി നിങ്ങൾക്ക് പരിഗണിക്കാം എന്നതാണ്. കാരണം അടുത്ത ഘട്ടം എഴുതുക എന്നതാണ്:

f (x) = a b

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുകയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ സമീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

എന്തിനാ ഈ സംസാരം? കാനോനിക്കൽ ഫോം ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് മാത്രമല്ല, മറ്റെല്ലാവർക്കും ബാധകമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇന്ന് നമ്മൾ തീരുമാനിക്കുന്നവ. നമുക്ക് ഒന്ന് നോക്കാം.

ആദ്യ ദൗത്യം:

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രശ്നം എന്താണ്? ഒരേസമയം രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളിലാണ് പ്രവർത്തനം എന്നതാണ് വസ്തുത. ഒരു ലോഗരിതം മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് കുറച്ചാൽ പ്രശ്നം ഏറ്റവും ലളിതമായി ചുരുക്കാം. എന്നാൽ നിർവചന മേഖലയിൽ പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നു: അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. അതിനാൽ നമുക്ക് ലോഗരിതങ്ങളിലൊന്ന് വലത്തേക്ക് നീക്കാം:

ഈ എൻട്രി കാനോനിക്കൽ രൂപത്തോട് വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്. എന്നാൽ ഒരു സൂക്ഷ്മത കൂടി ഉണ്ട്: കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ, വാദങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം. ഇടതുവശത്ത് നമുക്ക് അടിസ്ഥാനം 3-ലും വലതുവശത്ത് 1/3-ലും ലോഗരിതം ഉണ്ട്. ഈ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒരേ നമ്പറിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ടെന്ന് അവനറിയാം. ഉദാഹരണത്തിന്, നെഗറ്റീവ് ശക്തികൾ എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം:

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ലോഗിന് പുറത്തുള്ള "−1" എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഒരു ഗുണിതമായി ഉപയോഗിക്കും:

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: അടിത്തട്ടിലുണ്ടായിരുന്ന ബിരുദം തിരിച്ച് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി മാറുന്നു. വ്യത്യസ്‌ത അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾക്ക് ഏതാണ്ട് കാനോനിക്കൽ നൊട്ടേഷൻ ലഭിച്ചു, പക്ഷേ തിരിച്ചും വലതുവശത്ത് “−1” എന്ന ഘടകം ലഭിച്ചു. ഈ ഘടകത്തെ ഒരു ശക്തിയാക്കി മാറ്റി വാദത്തിലേക്ക് ഫാക്ടർ ചെയ്യാം:

തീർച്ചയായും, കാനോനിക്കൽ ഫോം ലഭിച്ചതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം അടയാളം ധൈര്യത്തോടെ മറികടക്കുകയും വാദങ്ങൾ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതേ സമയം, “−1” എന്ന പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, ഭിന്നസംഖ്യ ലളിതമായി തിരിയുന്നു - ഒരു അനുപാതം ലഭിക്കും.

നമുക്ക് അനുപാതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് ഉപയോഗിക്കുകയും അതിനെ ക്രോസ്വൈസ് ആയി ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യാം:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20

x 2 - 10x + 16 = 0

മുകളിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഞങ്ങളുടെ മുമ്പിലുണ്ട്, അതിനാൽ വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കുന്നു:

(x - 8)(x - 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

അത്രയേയുള്ളൂ. സമവാക്യം പരിഹരിച്ചതായി നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ? ഇല്ല! അത്തരമൊരു പരിഹാരത്തിനായി നമുക്ക് 0 പോയിൻ്റുകൾ ലഭിക്കും, കാരണം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ x എന്ന വേരിയബിളുമായി രണ്ട് ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണക്കിലെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഇവിടെയാണ് വിനോദം ആരംഭിക്കുന്നത്. മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാണ്: ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എന്താണ്? തീർച്ചയായും, എല്ലാ ആർഗ്യുമെൻ്റുകളും (നമുക്ക് രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്) പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം:

(x - 4)/(3x - 4) > 0

(x - 5)/(2x - 1) > 0

ഈ അസമത്വങ്ങൾ ഓരോന്നും പരിഹരിക്കണം, ഒരു നേർരേഖയിൽ അടയാളപ്പെടുത്തി, വിഭജിച്ച്, കവലയിൽ ഏതൊക്കെ വേരുകളാണ് കിടക്കുന്നതെന്ന് അപ്പോൾ മാത്രമേ കാണൂ.

ഞാൻ സത്യസന്ധനാണ്: ഈ സാങ്കേതികതയ്ക്ക് നിലനിൽക്കാൻ അവകാശമുണ്ട്, അത് വിശ്വസനീയമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് ശരിയായ ഉത്തരം ലഭിക്കും, പക്ഷേ അതിൽ അനാവശ്യമായ നിരവധി ഘട്ടങ്ങളുണ്ട്. അതിനാൽ നമുക്ക് ഞങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിലൂടെ വീണ്ടും പോയി നോക്കാം: കൃത്യമായി എവിടെയാണ് സ്കോപ്പ് പ്രയോഗിക്കേണ്ടത്? മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുമ്പോൾ നിങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

1. തുടക്കത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ലോഗരിതം ഉണ്ടായിരുന്നു. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അവയിലൊന്ന് വലത്തേക്ക് നീക്കി, പക്ഷേ ഇത് നിർവചന മേഖലയെ ബാധിച്ചില്ല.
2. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അടിത്തറയിൽ നിന്ന് പവർ നീക്കംചെയ്യുന്നു, പക്ഷേ ഇപ്പോഴും രണ്ട് ലോഗരിതം ഉണ്ട്, അവയിൽ ഓരോന്നിലും ഒരു വേരിയബിൾ x ഉണ്ട്.
3. അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ ലോഗ് അടയാളങ്ങൾ മറികടന്ന് ക്ലാസിക് നേടുന്നു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം.

നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി വിപുലീകരിക്കുന്നത് അവസാന ഘട്ടത്തിലാണ്! ലോഗ് ചിഹ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ-റേഷണൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറിയ ഉടൻ, വേരിയബിളിൻ്റെ ആവശ്യകതകൾ x-ൻ്റെ ആവശ്യകതകൾ ഗണ്യമായി മാറി!

തൽഫലമായി, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ പരിഹാരത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിലല്ല, സൂചിപ്പിച്ച ഘട്ടത്തിൽ മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ - വാദങ്ങൾ നേരിട്ട് തുല്യമാക്കുന്നതിന് മുമ്പ്.

ഇവിടെയാണ് ഒപ്റ്റിമൈസേഷനുള്ള അവസരം. ഒരു വശത്ത്, രണ്ട് വാദങ്ങളും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. മറുവശത്ത്, ഞങ്ങൾ ഈ വാദങ്ങളെ കൂടുതൽ സമീകരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അവയിലൊന്നെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തേതും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും!

അതിനാൽ രണ്ട് അസമത്വങ്ങൾ ഒരേസമയം പൂർത്തീകരിക്കാൻ ആവശ്യപ്പെടുന്നത് അതിരുകടന്നതായി മാറുന്നു. ഈ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് മാത്രം പരിഗണിച്ചാൽ മതി. അതിൽ ഏത്? അതിലും ലളിതമായ ഒന്ന്. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് വലതുവശത്തുള്ള അംശം നോക്കാം:

(x - 5)/(2x - 1) > 0

ഇതൊരു സാധാരണ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ അസമത്വമാണ്; ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇത് പരിഹരിക്കുന്നു:

അടയാളങ്ങൾ എങ്ങനെ സ്ഥാപിക്കാം? നമ്മുടെ എല്ലാ വേരുകളേക്കാളും വ്യക്തമായ ഒരു സംഖ്യ എടുക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, 1 ബില്ല്യൺ. ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ ഭിന്നസംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, അതായത്. x = 5 എന്ന റൂട്ടിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം ഉണ്ടാകും.

അപ്പോൾ അടയാളങ്ങൾ മാറിമാറി വരുന്നു, കാരണം ഒരിടത്തും ബഹുത്വത്തിൻ്റെ വേരുകളില്ല. പ്രവർത്തനം പോസിറ്റീവ് ആയ ഇടവേളകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. അതിനാൽ, x ∈ (−∞; -1/2)∪(5; +∞).

ഇനി നമുക്ക് ഉത്തരങ്ങൾ ഓർക്കാം: x = 8, x = 2. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇവ ഇതുവരെ ഉത്തരങ്ങളല്ല, ഉത്തരത്തിനുള്ള അപേക്ഷകർ മാത്രം. നിർദ്ദിഷ്‌ട ഗണത്തിൽ പെട്ടത് ഏതാണ്? തീർച്ചയായും, x = 8. എന്നാൽ x = 2 അതിൻ്റെ നിർവ്വചന മേഖലയുടെ കാര്യത്തിൽ നമുക്ക് അനുയോജ്യമല്ല.

മൊത്തത്തിൽ, ആദ്യത്തെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഉത്തരം x = 8 ആയിരിക്കും. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ശരിയായത് ലഭിച്ചു, അറിവുള്ള ഒരു തീരുമാനംനിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണക്കിലെടുക്കുന്നു.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം:

ലോഗ് 5 (x - 9) = ലോഗ് 0.5 4 - ലോഗ് 5 (x - 5) + 3

സമവാക്യത്തിൽ ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അത് ഒഴിവാക്കണമെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് 0.5 ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയായി മാറ്റിയെഴുതാം. ഈ അടിസ്ഥാനം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ലോഗരിതം എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ ഉടൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു നിമിഷമാണ്! അടിസ്ഥാനത്തിലും ആർഗ്യുമെൻ്റിലും നമുക്ക് ഡിഗ്രികൾ ഉള്ളപ്പോൾ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ ഡിഗ്രികളുടെ സൂചകങ്ങൾ കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് തിരികെ പോയി അത് മാറ്റിയെഴുതാം:

ലോഗ് 5 (x - 9) = 1 - ലോഗ് 5 (x - 5)

കാനോനിക്കൽ രൂപത്തോട് വളരെ അടുത്തുള്ള ഒരു ഡിസൈൻ ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള നിബന്ധനകളും മൈനസ് ചിഹ്നവും ഞങ്ങളെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. അടിസ്ഥാന 5-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം ആയി ഒന്നിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ലോഗ് 5 (x - 9) = ലോഗ് 5 5 1 - ലോഗ് 5 (x - 5)

വലതുവശത്തുള്ള ലോഗരിതം കുറയ്ക്കുക (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അവരുടെ വാദങ്ങൾ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു):

ലോഗ് 5 (x - 9) = ലോഗ് 5 5/(x - 5)

അത്ഭുതം. അങ്ങനെ നമുക്ക് കാനോനിക്കൽ രൂപം ലഭിച്ചു! ഞങ്ങൾ ലോഗ് അടയാളങ്ങൾ മറികടന്ന് ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാക്കുന്നു:

(x - 9)/1 = 5/(x - 5)

ക്രോസ്വൈസ് ഗുണിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാവുന്ന ഒരു അനുപാതമാണിത്:

(x - 9)(x - 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x 2 - 14x + 40 = 0

വ്യക്തമായും, നമുക്ക് കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ട്. വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും:

(x - 10)(x - 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിച്ചു. എന്നാൽ ഇവ അന്തിമ ഉത്തരങ്ങളല്ല, സ്ഥാനാർത്ഥികൾ മാത്രമാണ്, കാരണം ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന് നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു: എപ്പോൾ തിരയേണ്ട ആവശ്യമില്ല ഓരോന്നുംവാദങ്ങൾ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കും. ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റ്-x - 9 അല്ലെങ്കിൽ 5/(x - 5) - പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ മതി. ആദ്യത്തെ വാദം പരിഗണിക്കുക:

x - 9 > 0

x > 9

വ്യക്തമായും, x = 10 മാത്രമേ ഈ ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തൂ. ഇതാണ് അന്തിമ ഉത്തരം. മുഴുവൻ പ്രശ്നവും പരിഹരിച്ചു.

ഒരിക്കൽ കൂടി, ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൻ്റെ പ്രധാന ചിന്തകൾ:

1. വേരിയബിൾ x നിരവധി ലോഗരിതങ്ങളിൽ ദൃശ്യമാകുമ്പോൾ, സമവാക്യം പ്രാഥമികമായി അവസാനിക്കും, കൂടാതെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ അതിനായി കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരത്തിൽ അധിക വേരുകൾ എളുപ്പത്തിൽ എഴുതാം.
2. അസമത്വം ഉടനടിയല്ല, ലോഗ് ചിഹ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്ന നിമിഷത്തിൽ തന്നെ ഞങ്ങൾ എഴുതുകയാണെങ്കിൽ ഡൊമെയ്‌നുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നത് ഗണ്യമായി ലളിതമാക്കാം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, വാദങ്ങൾ പരസ്പരം തുല്യമാക്കുമ്പോൾ, അവയിലൊന്ന് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെട്ടാൽ മതി.

തീർച്ചയായും, അസമത്വം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് ഏത് വാദമാണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടതെന്ന് ഞങ്ങൾ സ്വയം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അതിനാൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ, ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സെക്കൻഡ് ആർഗ്യുമെൻ്റിന് വിരുദ്ധമായി, ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനായ ആർഗ്യുമെൻ്റ് (x - 9) ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തു. സമ്മതിക്കുന്നു, x - 9 > 0 അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നത് 5/(x - 5) > 0 എന്നതിനേക്കാൾ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഫലം ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിലും.

ഈ പരാമർശം ODZ-നുള്ള തിരയലിനെ വളരെയധികം ലളിതമാക്കുന്നു, എന്നാൽ ശ്രദ്ധിക്കുക: വാദങ്ങൾ കൃത്യമായി ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടിന് പകരം ഒരു അസമത്വം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ. പരസ്പരം തുല്യമാണ്!

തീർച്ചയായും, ഇപ്പോൾ ആരെങ്കിലും ചോദിക്കും: വ്യത്യസ്തമായി എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നത്? അതെ, ചിലപ്പോൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, ഘട്ടത്തിൽ തന്നെ, ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ രണ്ട് ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അനാവശ്യമായ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാനുള്ള ഒരു അപകടമുണ്ട്.

സ്വയം വിധിക്കുക: ആദ്യം ഓരോ വാദങ്ങളും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം, എന്നാൽ ഗുണിച്ചതിന് ശേഷം അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായാൽ മതി. തൽഫലമായി, ഈ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഓരോന്നും നെഗറ്റീവ് ആയ സന്ദർഭം നഷ്‌ടമായി.

അതിനാൽ, നിങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ മനസിലാക്കാൻ തുടങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു സാഹചര്യത്തിലും വേരിയബിൾ x അടങ്ങിയ ലോഗരിതം ഗുണിക്കരുത് - ഇത് പലപ്പോഴും അനാവശ്യ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിലേക്ക് നയിക്കും. ഒരു അധിക ഘട്ടം എടുത്ത് ഒരു പദം മറുവശത്തേക്ക് നീക്കി ഒരു കാനോനിക്കൽ ഫോം സൃഷ്ടിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

ശരി, അത്തരം ലോഗരിതം ഗുണിക്കാതെ നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യണം, അടുത്ത വീഡിയോ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യും. :)

സമവാക്യത്തിലെ ശക്തികളെക്കുറിച്ച് ഒരിക്കൽ കൂടി

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചോ കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ നിന്നും അടിസ്ഥാനങ്ങളിൽ നിന്നും അധികാരങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്യുന്നതിനെ കുറിച്ചുള്ള ഒരു സ്ലിപ്പറി വിഷയം ഇന്ന് നമ്മൾ പരിശോധിക്കും.

അധികാരങ്ങൾ പോലും നീക്കം ചെയ്യുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുമെന്ന് ഞാൻ പറയും, കാരണം യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മിക്ക ബുദ്ധിമുട്ടുകളും ഉണ്ടാകുന്നത് പോലും അധികാരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ്.

കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. log a f (x) = b എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം നമുക്കുണ്ടെന്ന് പറയാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, b = log a a b എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നമ്പർ b വീണ്ടും എഴുതുന്നു. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്നതായി മാറുന്നു:

log a f (x) = log a a b

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ വാദങ്ങൾ തുല്യമാക്കുന്നു:

f (x) = a b

അവസാന ഫോർമുലയെ കാനോനിക്കൽ ഫോം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ എത്ര സങ്കീർണ്ണവും ഭയാനകവുമാണെന്ന് തോന്നിയാലും ഏതെങ്കിലും ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം കുറയ്ക്കാൻ അവർ ശ്രമിക്കുന്നത് ഇതിലേക്കാണ്.

അതുകൊണ്ട് ശ്രമിക്കാം. ആദ്യ ടാസ്ക്കിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം:

പ്രാഥമിക കുറിപ്പ്: ഞാൻ പറഞ്ഞതുപോലെ, എല്ലാം ദശാംശങ്ങൾഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൽ ഇത് സാധാരണമായവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്:

0,5 = 5/10 = 1/2

ഈ വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം. 1/1000 ഉം 100 ഉം പത്തിൻ്റെ ശക്തികളാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക, എന്നിട്ട് അവ എവിടെയായിരുന്നാലും നമുക്ക് അധികാരങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ നിന്നും ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും പോലും:

ഇവിടെ പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഒരു ചോദ്യമുണ്ട്: "വലതുവശത്തുള്ള മൊഡ്യൂൾ എവിടെ നിന്ന് വന്നു?" തീർച്ചയായും, എന്തുകൊണ്ട് ലളിതമായി എഴുതരുത് (x - 1)? തീർച്ചയായും, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ എഴുതും (x - 1), എന്നാൽ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ അത്തരമൊരു നൊട്ടേഷൻ്റെ അവകാശം ഞങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നു. എല്ലാത്തിനുമുപരി, മറ്റൊരു ലോഗരിതം ഇതിനകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (x - 1), ഈ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.

എന്നാൽ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തട്ടിൽ നിന്ന് ചതുരം നീക്കം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമ്മൾ കൃത്യമായി മൊഡ്യൂൾ അടിത്തറയിൽ ഉപേക്ഷിക്കണം. എന്തുകൊണ്ടെന്ന് ഞാൻ വിശദീകരിക്കാം.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ബിരുദം എടുക്കുന്നത് റൂട്ട് എടുക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത. പ്രത്യേകിച്ചും, (x - 1) 2 എന്ന പദപ്രയോഗം സ്ക്വയർ ചെയ്യുമ്പോൾ, നമ്മൾ പ്രധാനമായും രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് എടുക്കുന്നു. എന്നാൽ സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഒരു മോഡുലസ് മാത്രമല്ല. കൃത്യമായി മൊഡ്യൂൾ, കാരണം x − 1 എന്ന പദപ്രയോഗം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽപ്പോലും, സ്ക്വയർ ചെയ്യുമ്പോൾ, "മൈനസ്" അപ്പോഴും കത്തിത്തീരും. റൂട്ട് കൂടുതൽ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് നമുക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ നൽകും - യാതൊരു മൈനസുകളും ഇല്ലാതെ.

പൊതുവേ, കുറ്റകരമായ തെറ്റുകൾ വരുത്താതിരിക്കാൻ, ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർക്കുക:

ഒരേ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്ന ഏതൊരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെയും ഇരട്ട ശക്തിയുടെ റൂട്ട് തുല്യമാണ് ഫംഗ്‌ഷനല്ല, മറിച്ച് അതിൻ്റെ മോഡുലസിന്:

നമുക്ക് നമ്മുടെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. മൊഡ്യൂളിനെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇത് വേദനയില്ലാതെ നീക്കംചെയ്യാമെന്ന് ഞാൻ വാദിച്ചു. ഇത് സത്യമാണ്. എന്തുകൊണ്ടെന്ന് ഇപ്പോൾ ഞാൻ വിശദീകരിക്കും. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x - 1| = x - 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

ഈ ഓപ്ഷനുകളിൽ ഓരോന്നും അഭിസംബോധന ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ ഒരു ക്യാച്ച് ഉണ്ട്: യഥാർത്ഥ ഫോർമുലയിൽ ഒരു മോഡുലസും ഇല്ലാതെ ഫംഗ്ഷൻ (x - 1) ഇതിനകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ലോഗരിതങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ പിന്തുടർന്ന്, x - 1 > 0 എന്ന് ഉടനടി എഴുതാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്.

പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ ഞങ്ങൾ ചെയ്യുന്ന ഏതെങ്കിലും മൊഡ്യൂളുകളും മറ്റ് പരിവർത്തനങ്ങളും പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ ഈ ആവശ്യകത തൃപ്‌തികരമായിരിക്കണം. അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ പരിഗണിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല - അത് ഒരിക്കലും ഉണ്ടാകില്ല. അസമത്വത്തിൻ്റെ ഈ ശാഖ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ചില സംഖ്യകൾ ലഭിച്ചാലും, അവ അന്തിമ ഉത്തരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തില്ല.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ നിന്ന് അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പടി അകലെയാണ്. നമുക്ക് യൂണിറ്റിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

1 = ലോഗ് x - 1 (x - 1) 1

കൂടാതെ, വലതുവശത്തുള്ള ഫാക്ടർ −4 ഞങ്ങൾ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

ലോഗ് x - 1 10 −4 = ലോഗ് x - 1 (x - 1)

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപമാണ് നമുക്ക് മുന്നിൽ. ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുന്നു:

10 -4 = x - 1

എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആയിരുന്നതിനാൽ (ഒരു പ്രൈം സംഖ്യയല്ല), ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണമെന്നും ഒന്നിന് തുല്യമല്ലെന്നും ഞങ്ങൾ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റം ഇതായിരിക്കും:

ആവശ്യകത x - 1 > 0 സ്വയമേവ തൃപ്തിപ്പെടുന്നതിനാൽ (എല്ലാത്തിനുമുപരി, x - 1 = 10 -4), അസമത്വങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഇല്ലാതാക്കാൻ കഴിയും. രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥയും മറികടക്കാം, കാരണം x - 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0.0001 = 1.0001

ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്ന ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ എല്ലാ ആവശ്യകതകളും യാന്ത്രികമായി നിറവേറ്റുന്ന ഒരേയൊരു റൂട്ട് ഇതാണ് (എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്‌നത്തിൻ്റെ സാഹചര്യങ്ങളിൽ വ്യക്തമായും നിറവേറ്റിയതിനാൽ എല്ലാ ആവശ്യകതകളും ഇല്ലാതാക്കി).

അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം:

3 ലോഗ് 3 x x = 2 ലോഗ് 9 x x 2

ഈ സമവാക്യം മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് അടിസ്ഥാനപരമായി എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ - 3x, 9x - അല്ല എന്ന വസ്തുതയാൽ മാത്രം സ്വാഭാവിക ബിരുദങ്ങൾഅന്യോന്യം. അതിനാൽ, മുമ്പത്തെ പരിഹാരത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച സംക്രമണം സാധ്യമല്ല.

ഡിഗ്രികളെങ്കിലും ഒഴിവാക്കട്ടെ. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, രണ്ടാമത്തെ വാദത്തിൽ മാത്രമാണ് ബിരുദം:

3 ലോഗ് 3 x x = 2 ∙ 2 ലോഗ് 9 x |x |

എന്നിരുന്നാലും, മോഡുലസ് ചിഹ്നം നീക്കം ചെയ്യാവുന്നതാണ്, കാരണം വേരിയബിൾ x അടിയിലും ഉണ്ട്, അതായത്. x > 0 ⇒ |x| = x. നമുക്ക് നമ്മുടെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം:

3 ലോഗ് 3 x x = 4 ലോഗ് 9 x x

ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ സമാനമായ ലോഗരിതം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു, പക്ഷേ വ്യത്യസ്ത കാരണങ്ങൾ. ഇനി എന്ത് ചെയ്യണം? ഇവിടെ നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം മാത്രമേ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കൂ, അവ ഏറ്റവും യുക്തിസഹമാണ്, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും വേഗമേറിയതും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമായ ടെക്നിക്കുകൾ ഇവയാണ്.

ആദ്യ ഓപ്ഷൻ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്: ഏതെങ്കിലും വ്യക്തമല്ലാത്ത സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു വേരിയബിൾ ബേസ് ഉള്ള ലോഗരിതം ചില സ്ഥിരമായ അടിത്തറയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഡ്യൂസിലേക്ക്. പരിവർത്തന സൂത്രവാക്യം ലളിതമാണ്:

തീർച്ചയായും, വേരിയബിളിൻ്റെ പങ്ക് ഒരു സാധാരണ സംഖ്യയായിരിക്കണം: 1 ≠ c > 0. നമ്മുടെ സാഹചര്യത്തിൽ c = 2. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മുമ്പിൽ ഒരു സാധാരണ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം ഉണ്ട്. ഇടതുവശത്തുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നു:

വ്യക്തമായും, ലോഗ് 2 x ഘടകം നീക്കം ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്, കാരണം ഇത് ഒന്നും രണ്ടും ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഉണ്ട്.

ലോഗ് 2 x = 0;

3 ലോഗ് 2 9x = 4 ലോഗ് 2 3x

ഞങ്ങൾ ഓരോ ലോഗിനെയും രണ്ട് പദങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു:

ലോഗ് 2 9x = ലോഗ് 2 9 + ലോഗ് 2 x = 2 ലോഗ് 2 3 + ലോഗ് 2 x;

ലോഗ് 2 3x = ലോഗ് 2 3 + ലോഗ് 2 x

ഈ വസ്തുതകൾ കണക്കിലെടുത്ത് സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും മാറ്റിയെഴുതാം:

3 (2 ലോഗ് 2 3 + ലോഗ് 2 x ) = 4 (ലോഗ് 2 3 + ലോഗ് 2 x )

6 ലോഗ് 2 3 + 3 ലോഗ് 2 x = 4 ലോഗ് 2 3 + 4 ലോഗ് 2 x

2 ലോഗ് 2 3 = ലോഗ് 2 x

ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത് ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ രണ്ട് നൽകുക മാത്രമാണ് (അത് ഒരു ശക്തിയായി മാറും: 3 2 = 9):

ലോഗ് 2 9 = ലോഗ് 2 x

ഞങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് ക്ലാസിക് കാനോനിക്കൽ രൂപമാണ്, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

പ്രതീക്ഷിച്ചതുപോലെ, ഈ റൂട്ട് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായി മാറി. നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ പരിശോധിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. കാരണങ്ങൾ നോക്കാം:

എന്നാൽ റൂട്ട് x = 9 ഈ ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്നു. അതിനാൽ, ഇത് അന്തിമ തീരുമാനമാണ്.

ഈ പരിഹാരത്തിൽ നിന്നുള്ള നിഗമനം ലളിതമാണ്: നീണ്ട കണക്കുകൂട്ടലുകളെ ഭയപ്പെടരുത്! തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഞങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായി ഒരു പുതിയ അടിത്തറ തിരഞ്ഞെടുത്തു - ഇത് പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി സങ്കീർണ്ണമാക്കി.

എന്നാൽ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: എന്താണ് അടിസ്ഥാനം ഒപ്റ്റിമൽ? രണ്ടാമത്തെ രീതിയിൽ ഞാൻ ഇതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും.

നമുക്ക് നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം:

3 ലോഗ് 3x x = 2 ലോഗ് 9x x 2

3 ലോഗ് 3x x = 2 ∙ 2 ലോഗ് 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 ലോഗ് 3 x x = 4 ലോഗ് 9 x x

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അൽപ്പം ചിന്തിക്കാം: ഏത് സംഖ്യയോ പ്രവർത്തനമോ ഒപ്റ്റിമൽ അടിസ്ഥാനമായിരിക്കും? അത് വ്യക്തമാണ് മികച്ച ഓപ്ഷൻ c = x ഉണ്ടാകും - ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ ഇതിനകം ഉള്ളത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, log a b = log c b /log c a എന്ന ഫോർമുല ഫോം എടുക്കും:

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പദപ്രയോഗം ലളിതമായി വിപരീതമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വാദവും അടിസ്ഥാനവും സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യം വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്, സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ വളരെ ഗുരുതരമായ ഒരു പോരായ്മയുണ്ട്. അടിസ്ഥാനത്തിനുപകരം ഞങ്ങൾ വേരിയബിൾ x മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, മുമ്പ് നിരീക്ഷിച്ചിട്ടില്ലാത്ത നിയന്ത്രണങ്ങൾ അതിന്മേൽ ചുമത്തപ്പെടും:

യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ അത്തരമൊരു പരിമിതി ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. അതിനാൽ, x = 1 ആകുമ്പോൾ നമ്മൾ കേസ് പ്രത്യേകം പരിശോധിക്കണം. ഈ മൂല്യം നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

3 ലോഗ് 3 1 = 4 ലോഗ് 9 1

നമുക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം ലഭിക്കും. അതിനാൽ x = 1 ഒരു റൂട്ട് ആണ്. പരിഹാരത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ മുമ്പത്തെ രീതിയിലും ഞങ്ങൾ അതേ റൂട്ട് കണ്ടെത്തി.

എന്നാൽ ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഈ പ്രത്യേക കേസ് പ്രത്യേകമായി പരിഗണിച്ചതിനാൽ, x ≠ 1 എന്ന് ഞങ്ങൾ സുരക്ഷിതമായി അനുമാനിക്കുന്നു. അപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതും:

3 ലോഗ് x 9x = 4 ലോഗ് x 3x

മുമ്പത്തെ അതേ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളും വികസിപ്പിക്കുന്നു. ലോഗ് x x = 1 എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക:

3 (ലോഗ് x 9 + ലോഗ് x x ) = 4 (ലോഗ് x 3 + ലോഗ് x x )

3 ലോഗ് x 9 + 3 = 4 ലോഗ് x 3 + 4

3 ലോഗ് x 3 2 - 4 ലോഗ് x 3 = 4 - 3

2 ലോഗ് x 3 = 1

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് എത്തി:

ലോഗ് x 9 = ലോഗ് x x 1

x=9

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് ലഭിച്ചു. ഇത് x ≠ 1 എന്ന ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, x = 9 സഹിതം x = 1 ആണ് അന്തിമ ഉത്തരം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ചെറുതായി കുറഞ്ഞു. എന്നാൽ ഒരു യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഘട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം വളരെ കുറവായിരിക്കും, കാരണം നിങ്ങൾ ഓരോ ഘട്ടവും വിശദമായി വിവരിക്കേണ്ടതില്ല.

ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൻ്റെ പ്രധാന നിയമം ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്: പ്രശ്‌നത്തിൽ ഒരു ഇരട്ട ഡിഗ്രി ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതേ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്‌താൽ, ഔട്ട്‌പുട്ട് ഒരു മോഡുലസ് ആയിരിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, ലോഗരിതങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ ഈ മൊഡ്യൂൾ നീക്കം ചെയ്യാവുന്നതാണ്.

എന്നാൽ ശ്രദ്ധിക്കുക: ഈ പാഠത്തിന് ശേഷം, മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും അവർ എല്ലാം മനസ്സിലാക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുന്നു. എന്നാൽ യഥാർത്ഥ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവർക്ക് മുഴുവൻ ലോജിക്കൽ ശൃംഖലയും പുനർനിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല. തൽഫലമായി, സമവാക്യം അനാവശ്യമായ വേരുകൾ നേടുന്നു, ഉത്തരം തെറ്റാണ്.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠങ്ങളുടെ ഒരു നീണ്ട പരമ്പരയിലെ അവസാന വീഡിയോകൾ. ഈ സമയം ഞങ്ങൾ പ്രാഥമികമായി ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കും - നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ തെറ്റായ പരിഗണന (അല്ലെങ്കിൽ പോലും അവഗണിക്കുന്നത്) കാരണം അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മിക്ക പിശകുകളും ഉണ്ടാകുന്നു.

ഈ ഹ്രസ്വ വീഡിയോ പാഠത്തിൽ, ലോഗരിതം ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം ഞങ്ങൾ നോക്കും, കൂടാതെ പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും പ്രശ്‌നങ്ങളുള്ള ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളും കൈകാര്യം ചെയ്യും.

നമ്മൾ എന്തിനെ കുറിച്ച് സംസാരിക്കും? പ്രധാന ഫോർമുലഞാൻ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് ഇതുപോലെയാണ്:

ലോഗ് എ (എഫ് ജി) = ലോഗ് എ എഫ് + ലോഗ് എ ജി

ഇത് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്കും പിന്നിലേക്കും ഒരു സാധാരണ പരിവർത്തനമാണ്. ലോഗരിതം പഠിക്കുന്നതിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഈ ഫോർമുല നിങ്ങൾക്കറിയാം. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു തടസ്സമുണ്ട്.

വേരിയബിളുകൾ a, f, g എന്നിവ സാധാരണ സംഖ്യകളായിരിക്കുന്നിടത്തോളം, പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. ഈ ഫോർമുല മികച്ച രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, f, g എന്നിവയ്‌ക്ക് പകരം ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുമ്പോൾ, ഏത് ദിശയിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടണം എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച് നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ വികസിപ്പിക്കുന്നതിനോ ചുരുക്കുന്നതിനോ ഉള്ള പ്രശ്‌നം ഉയർന്നുവരുന്നു. സ്വയം വിലയിരുത്തുക: ഇടതുവശത്ത് എഴുതിയ ലോഗരിതം, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഇപ്രകാരമാണ്:

fg> 0

എന്നാൽ വലതുവശത്ത് എഴുതിയ തുകയിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഇതിനകം തന്നെ വ്യത്യസ്തമാണ്:

f > 0

g > 0

ഈ ആവശ്യകതകളുടെ കൂട്ടം യഥാർത്ഥമായതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ കർശനമാണ്. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, f എന്ന ഓപ്ഷനിൽ ഞങ്ങൾ സംതൃപ്തരാകും< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്തു).

അതിനാൽ, ഇടത് നിർമ്മിതിയിൽ നിന്ന് വലത്തേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ സങ്കോചം സംഭവിക്കുന്നു. ആദ്യം ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു തുകയുണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത് ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതുകയാണെങ്കിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ വികസിക്കുന്നു.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ നമുക്ക് വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടാം, രണ്ടാമത്തേതിൽ നമുക്ക് അധികമായി ലഭിക്കും. യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഇത് കണക്കിലെടുക്കണം.

അതിനാൽ, ആദ്യ ചുമതല:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഇടതുവശത്ത് ഒരേ അടിസ്ഥാനം ഉപയോഗിക്കുന്ന ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കാണാം. അതിനാൽ, ഈ ലോഗരിതങ്ങൾ ചേർക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വലതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പൂജ്യം മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചു:

a = ലോഗ് b b a

നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം കുറച്ചുകൂടി പുനഃക്രമീകരിക്കാം:

ലോഗ് 4 (x - 5) 2 = ലോഗ് 4 1

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപമാണ് നമ്മുടെ മുമ്പിലുള്ളത്; നമുക്ക് ലോഗ് ചിഹ്നം മറികടന്ന് ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാക്കാം:

(x - 5) 2 = 1

|x - 5| = 1

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: മൊഡ്യൂൾ എവിടെ നിന്നാണ് വന്നത്? ഒരു കൃത്യമായ ചതുരത്തിൻ്റെ റൂട്ട് മോഡുലസിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ക്ലാസിക്കൽ സമവാക്യം മോഡുലസ് ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x - 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

രണ്ട് സ്ഥാനാർത്ഥികളുടെ ഉത്തരങ്ങൾ ഇതാ. അവ യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണോ? ഒരു വഴിയുമില്ല!

എല്ലാം അങ്ങനെ തന്നെ ഉപേക്ഷിച്ച് ഉത്തരം എഴുതാൻ നമുക്ക് അവകാശമില്ല. ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയെ ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഒരു ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന ഘട്ടം നോക്കുക. യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ നമുക്ക് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട് എന്നതാണ് പ്രശ്നം. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:

x(x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0.

ഞങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഒരു കൃത്യമായ ചതുരം ലഭിക്കുമ്പോൾ, ആവശ്യകതകൾ മാറി:

(x - 5) 2 > 0

ഈ ആവശ്യകത എപ്പോഴാണ് നിറവേറ്റുന്നത്? അതെ, മിക്കവാറും എപ്പോഴും! x - 5 = 0 ആകുമ്പോൾ ഒഴികെ. അതായത് അസമത്വം ഒരു പഞ്ചർ പോയിൻ്റായി കുറയ്ക്കും:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി വികസിച്ചു, അതാണ് ഞങ്ങൾ പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ സംസാരിച്ചത്. തൽഫലമായി, അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം.

ഈ അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് എങ്ങനെ തടയാം? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്: ഞങ്ങൾ ലഭിച്ച വേരുകൾ നോക്കുകയും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് കണക്കാക്കാം:

x (x - 5) > 0

ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കും:

x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ വരിയിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു. അസമത്വം കർശനമായതിനാൽ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും നഷ്‌ടമായി. 5-ൽ കൂടുതലുള്ള ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ എടുത്ത് പകരം വയ്ക്കുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഇടവേളകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട് (-∞; 0) ∪ (5; ∞). സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നമ്മുടെ വേരുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ, x = 4 നമുക്ക് അനുയോജ്യമല്ലെന്ന് നമുക്ക് കാണാം, കാരണം ഈ റൂട്ട് യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിന് പുറത്താണ്.

ഞങ്ങൾ ആകെത്തുകയിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു, റൂട്ട് x = 4 കടന്ന് ഉത്തരം എഴുതുക: x = 6. യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ അവസാന ഉത്തരമാണിത്. അത്രയേയുള്ളൂ, പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

നമുക്ക് അത് പരിഹരിക്കാം. ആദ്യ പദം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണെന്നും രണ്ടാമത്തേത് അതേ ഭിന്നസംഖ്യയാണെന്നും എന്നാൽ വിപരീതമാണെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുക. lgx എന്ന പ്രയോഗം കണ്ട് പേടിക്കേണ്ട - ഇത് ലളിതമാണ് ദശാംശ ലോഗരിതം, നമുക്ക് എഴുതാം:

lgx = ലോഗ് 10 x

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 - 2t + 1)/t = 0;

(t - 1) 2 /t = 0.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ഒരു കൃത്യമായ ചതുരമാണ്. ഒരു അംശം പൂജ്യവും അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമല്ലാത്തതും ആയിരിക്കുമ്പോൾ അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

(t - 1) 2 = 0; t ≠ 0

നമുക്ക് ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

t - 1 = 0;

t = 1.

ഈ മൂല്യം രണ്ടാമത്തെ ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം പൂർണ്ണമായും പരിഹരിച്ചുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാം, പക്ഷേ ടി എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മാത്രം. ടി എന്താണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഓർക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഞങ്ങൾക്ക് അനുപാതം ലഭിച്ചു:

logx = 2 logx + 1

2 logx - logx = -1

logx = -1

ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു:

logx = ലോഗ് 10 -1

x = 10 -1 = 0.1

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ലഭിച്ചു, അത് സിദ്ധാന്തത്തിൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് ഇത് സുരക്ഷിതമായി പ്ലേ ചെയ്യാം, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എഴുതാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ റൂട്ട് എല്ലാ ആവശ്യങ്ങളും നിറവേറ്റുന്നു. യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തി. ഉത്തരം: x = 0.1. പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ ഒരു പ്രധാന പോയിൻ്റ് മാത്രമേയുള്ളൂ: ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ഒരു തുകയിലേക്കും പിന്നിലേക്കും നീങ്ങുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, പരിവർത്തനം ഏത് ദിശയിലാണ് സംഭവിക്കുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച് നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി ചുരുങ്ങുകയോ വിപുലീകരിക്കുകയോ ചെയ്യുമെന്ന് കണക്കിലെടുക്കുക.

എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം: സങ്കോചമോ വികാസമോ? വളരെ ലളിതം. നേരത്തെ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഒരുമിച്ചായിരുന്നുവെങ്കിലും ഇപ്പോൾ അവ വേറിട്ടതാണെങ്കിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി ചുരുങ്ങി (കൂടുതൽ ആവശ്യകതകൾ ഉള്ളതിനാൽ). ആദ്യം ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വെവ്വേറെ നിലകൊള്ളുകയും ഇപ്പോൾ അവ ഒരുമിച്ചിരിക്കുകയും ചെയ്‌താൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ വിപുലീകരിക്കപ്പെടുന്നു (വ്യക്തിഗത ഘടകങ്ങളേക്കാൾ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ കുറച്ച് ആവശ്യകതകൾ ചുമത്തുന്നു).

ഈ പരാമർശം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന് ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമില്ലെന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ എവിടെയും കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, പരിഹാരം ഗണ്യമായി ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുന്ന മറ്റൊരു അത്ഭുതകരമായ സാങ്കേതികതയിലേക്ക് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇത് ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പകരക്കാരും നിർവചനത്തിൻ്റെ പരിധിയിൽ നിന്ന് നമ്മെ മോചിപ്പിക്കുന്നില്ലെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക. അതുകൊണ്ടാണ് എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം, ഞങ്ങൾ മടിയന്മാരല്ല, അതിൻ്റെ ODZ കണ്ടെത്താൻ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങി.

പലപ്പോഴും, ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, വിദ്യാർത്ഥികൾ t യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുകയും പരിഹാരം പൂർത്തിയായി എന്ന് ചിന്തിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ ശല്യപ്പെടുത്തുന്ന പിശക് സംഭവിക്കുന്നു. ഒരു വഴിയുമില്ല!

നിങ്ങൾ t യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തിക്കഴിഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് തിരികെ പോയി ഈ അക്ഷരം കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ എന്താണ് ഉദ്ദേശിച്ചതെന്ന് നോക്കേണ്ടതുണ്ട്. തൽഫലമായി, നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം കൂടി പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, എന്നിരുന്നാലും, അത് യഥാർത്ഥമായതിനേക്കാൾ വളരെ ലളിതമായിരിക്കും.

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിൻ്റെ പോയിൻ്റ് ഇതാണ്. ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തെ രണ്ട് ഇൻ്റർമീഡിയറ്റുകളായി വിഭജിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും വളരെ ലളിതമായ പരിഹാരമുണ്ട്.

"നെസ്റ്റഡ്" ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഇന്ന് ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു, ഒരു ലോഗരിതം മറ്റൊരു ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലായിരിക്കുമ്പോൾ നിർമ്മാണങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും. കാനോനിക്കൽ ഫോം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കും.

ഇന്ന് നമ്മൾ ലോഗരിതം സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്നത് തുടരുകയും ഒരു ലോഗരിതം മറ്റൊന്നിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലായിരിക്കുമ്പോൾ നിർമ്മാണങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്യും. കാനോനിക്കൽ ഫോം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കും. log a f (x) = b എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം നമുക്കുണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു എന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. ഒന്നാമതായി, നമ്മൾ നമ്പർ b മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

b = log a a b

ശ്രദ്ധിക്കുക: a b എന്നത് ഒരു വാദം ആണ്. അതുപോലെ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഫംഗ്ഷൻ f(x) ആണ്. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുകയും ഈ നിർമ്മാണം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

log a f (x) = log a a b

അപ്പോൾ നമുക്ക് മൂന്നാമത്തെ ഘട്ടം നടത്താം - ലോഗരിതം ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കി ലളിതമായി എഴുതുക:

f (x) = a b

തൽഫലമായി, നമുക്ക് ഒരു പുതിയ സമവാക്യം ലഭിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, f (x) ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും ഏർപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനും അതിൻ്റെ സ്ഥാനം പിടിക്കാം. തുടർന്ന് നമുക്ക് വീണ്ടും ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും, അത് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യും.

എന്നിരുന്നാലും, വരികൾ മതി. നമുക്ക് യഥാർത്ഥ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം. അതിനാൽ, ടാസ്ക് നമ്പർ 1:

ലോഗ് 2 (1 + 3 ലോഗ് 2 x ) = 2

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം ഉണ്ട്. f (x) ൻ്റെ പങ്ക് നിർമ്മാണം 1 + 3 ലോഗ് 2 x ആണ്, കൂടാതെ b എന്ന സംഖ്യയുടെ പങ്ക് നമ്പർ 2 ആണ് (a യുടെ പങ്ക് രണ്ട് കൂടി വഹിക്കുന്നു). ഇവ രണ്ടും ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം:

ആദ്യത്തെ രണ്ട് രണ്ടെണ്ണം ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തട്ടിൽ നിന്നാണ് വന്നതെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്, അതായത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ 5 ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് 2 = ലോഗ് 5 5 2 ലഭിക്കും. പൊതുവേ, അടിസ്ഥാനം പ്രശ്നത്തിൽ ആദ്യം നൽകിയ ലോഗരിതം മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഇത് നമ്പർ 2 ആണ്.

അതിനാൽ, വലതുവശത്തുള്ള രണ്ടും യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു ലോഗരിതം കൂടിയാണെന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ലോഗ് 2 (1 + 3 ലോഗ് 2 x ) = ലോഗ് 2 4

നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം അവസാന ഘട്ടംഞങ്ങളുടെ സ്കീം - ഞങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ ഫോം ഒഴിവാക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് പറയാം, ഞങ്ങൾ ലോഗിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ മറികടക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, "ക്രോസ് ഔട്ട് ലോഗ്" അസാധ്യമാണ് - ഞങ്ങൾ വാദങ്ങളെ സമീകരിക്കുന്നുവെന്ന് പറയുന്നത് കൂടുതൽ ശരിയാണ്:

1 + 3 ലോഗ് 2 x = 4

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് 3 ലോഗ് 2 x എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും:

3 ലോഗ് 2 x = 3

ലോഗ് 2 x = 1

നമുക്ക് വീണ്ടും ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം ലഭിച്ചു, അതിനെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് തിരികെ കൊണ്ടുവരാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തേണ്ടതുണ്ട്:

1 = ലോഗ് 2 2 1 = ലോഗ് 2 2

എന്തുകൊണ്ടാണ് അടിത്തട്ടിൽ രണ്ട് ഉള്ളത്? കാരണം ഇടതുവശത്തുള്ള ഞങ്ങളുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിൽ അടിസ്ഥാനം 2-ന് കൃത്യമായി ഒരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്. ഈ വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

ലോഗ് 2 x = ലോഗ് 2 2

വീണ്ടും നമ്മൾ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നു, അതായത് ഞങ്ങൾ വാദങ്ങളെ സമീകരിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്, കൂടാതെ വലത്തോട്ടോ ഇടതുവശത്തോ കൂടുതൽ അധിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയിട്ടില്ല:

അത്രയേയുള്ളൂ! പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തി.

കുറിപ്പ്! ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ x എന്ന വേരിയബിൾ ദൃശ്യമാണെങ്കിലും (അതായത്, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിന് ആവശ്യകതകൾ ഉണ്ട്), ഞങ്ങൾ അധിക ആവശ്യകതകളൊന്നും ഉണ്ടാക്കില്ല.

ഞാൻ മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ, ഒരു ലോഗരിതം മാത്രമുള്ള ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ മാത്രമേ വേരിയബിൾ ദൃശ്യമാകൂ എങ്കിൽ ഈ പരിശോധന അനാവശ്യമാണ്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, x യഥാർത്ഥത്തിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ, ഒരു ലോഗ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ മാത്രം. അതിനാൽ, അധിക പരിശോധനകൾ ആവശ്യമില്ല.

എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ ഈ രീതി, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് x = 2 ഒരു റൂട്ട് ആണെന്ന് എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഈ സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ മതി.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം, ഇത് കുറച്ചുകൂടി രസകരമാണ്:

ലോഗ് 2 (ലോഗ് 1/2 (2x - 1) + ലോഗ് 2 4) = 1

വലിയ ലോഗരിതത്തിനുള്ളിലെ പദപ്രയോഗം f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇന്നത്തെ വീഡിയോ പാഠം ആരംഭിച്ച ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും. അതിനാൽ, നമുക്ക് കാനോനിക്കൽ ഫോം പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും, അതിനായി ഫോം ലോഗ് 2 2 1 = ലോഗ് 2 2 ലെ യൂണിറ്റിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്ക് നമ്മുടെ വലിയ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം:

ലോഗ് 2 (ലോഗ് 1/2 (2x - 1) + ലോഗ് 2 4) = ലോഗ് 2 2

വാദങ്ങളെ സമീകരിച്ചുകൊണ്ട് ലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് രക്ഷപ്പെടാം. ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്, കാരണം ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്. കൂടാതെ, ലോഗ് 2 4 = 2 ശ്രദ്ധിക്കുക:

ലോഗ് 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

ലോഗ് 1/2 (2x - 1) = 0

log a f (x) = b എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം വീണ്ടും നമ്മുടെ മുന്നിലുണ്ട്. നമുക്ക് കാനോനിക്കൽ ഫോമിലേക്ക് പോകാം, അതായത്, ഫോം ലോഗ് 1/2 (1/2)0 = ലോഗ് 1/2 1 ൽ പൂജ്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം തിരുത്തിയെഴുതുകയും ലോഗ് ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുകയും, ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

ലോഗ് 1/2 (2x - 1) = ലോഗ് 1/2 1

2x - 1 = 1

വീണ്ടും, ഞങ്ങൾക്ക് ഉടൻ ഉത്തരം ലഭിച്ചു. അധിക പരിശോധനകൾ ആവശ്യമില്ല, കാരണം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു ലോഗരിതം മാത്രമേ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റായി ഉൾക്കൊള്ളുന്നുള്ളൂ.

അതിനാൽ, അധിക പരിശോധനകൾ ആവശ്യമില്ല. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരേയൊരു റൂട്ട് x = 1 ആണെന്ന് നമുക്ക് സുരക്ഷിതമായി പറയാൻ കഴിയും.

എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതത്തിൽ നാലിനുപകരം x ൻ്റെ ചില ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ (അല്ലെങ്കിൽ 2x ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ അല്ല, പക്ഷേ ബേസിലായിരുന്നു) - അപ്പോൾ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, അധിക വേരുകളിലേക്ക് ഓടാനുള്ള ഉയർന്ന സാധ്യതയുണ്ട്.

ഈ അധിക വേരുകൾ എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു? ഈ പോയിൻ്റ് വളരെ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കണം. യഥാർത്ഥ സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കുക: എല്ലായിടത്തും x ഫംഗ്ഷൻ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണ്. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾ ലോഗ് 2 x എഴുതിയതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സ്വയമേവ ആവശ്യകത x > 0 സജ്ജമാക്കുന്നു. അല്ലെങ്കിൽ, ഈ എൻട്രി അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, എല്ലാ ലോഗ് അടയാളങ്ങളും ഒഴിവാക്കുകയും ലളിതമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇവിടെ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും സജ്ജീകരിച്ചിട്ടില്ല, കാരണം x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

അന്തിമ ഫംഗ്‌ഷൻ എല്ലായിടത്തും എല്ലായ്‌പ്പോഴും നിർവചിക്കപ്പെടുമ്പോൾ ഈ പ്രശ്‌നമാണ്, എന്നാൽ യഥാർത്ഥമായത് എല്ലായിടത്തും നിർവചിക്കപ്പെടുന്നില്ല, എല്ലായ്‌പ്പോഴും അല്ല, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ അധിക വേരുകൾ പലപ്പോഴും ഉണ്ടാകാനുള്ള കാരണം ഇതാണ്.

എന്നാൽ ഞാൻ ഒരിക്കൽ കൂടി ആവർത്തിക്കുന്നു: ഫംഗ്ഷൻ ഒന്നുകിൽ ഒന്നുകിൽ ലോഗരിതം അല്ലെങ്കിൽ അവയിലൊന്നിൻ്റെ അടിത്തട്ടിൽ ഉള്ള ഒരു സാഹചര്യത്തിൽ മാത്രമേ ഇത് സംഭവിക്കൂ. ഇന്ന് നമ്മൾ പരിഗണിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങളിൽ, തത്വത്തിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ വികസിപ്പിക്കുന്നതിൽ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല.

വ്യത്യസ്ത കാരണങ്ങളിലുള്ള കേസുകൾ

ഈ പാഠം കൂടുതൽ കാര്യങ്ങൾക്കായി സമർപ്പിക്കുന്നു സങ്കീർണ്ണമായ ഘടനകൾ. ഇന്നത്തെ സമവാക്യങ്ങളിലെ ലോഗരിതം ഉടൻ പരിഹരിക്കപ്പെടില്ല; ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

പരസ്പരം കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലാത്ത തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ അടിത്തറകളുള്ള ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഭയപ്പെടുത്താൻ അനുവദിക്കരുത് - അവ പരിഹരിക്കാൻ ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല ലളിതമായ ഡിസൈനുകൾഞങ്ങൾ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്തത്.

എന്നാൽ പ്രശ്നങ്ങളിലേക്ക് നേരിട്ട് നീങ്ങുന്നതിന് മുമ്പ്, കാനോനിക്കൽ ഫോം ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും ലളിതമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. ഇതുപോലുള്ള ഒരു പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക:

ലോഗ് a f (x) = b

ഫംഗ്ഷൻ f (x) ഒരു ഫംഗ്ഷൻ മാത്രമാണെന്നത് പ്രധാനമാണ്, കൂടാതെ a, b സംഖ്യകളുടെ പങ്ക് സംഖ്യകളായിരിക്കണം (x എന്ന വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതെ). തീർച്ചയായും, അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ ഒരു മിനിറ്റിനുള്ളിൽ, a, b എന്നീ വേരിയബിളുകൾക്ക് പകരം ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉള്ളപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത്തരം സന്ദർഭങ്ങൾ നോക്കും, എന്നാൽ അത് ഇപ്പോൾ അതിനെക്കുറിച്ച് അല്ല.

നമ്മൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, b എന്ന സംഖ്യയെ ഇടതുവശത്തുള്ള അതേ ബേസിലേക്ക് ഒരു ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് വളരെ ലളിതമായി ചെയ്തു:

b = log a a b

തീർച്ചയായും, "ഏത് നമ്പർ ബി", "ഏത് നമ്പർ എ" എന്നീ വാക്കുകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തിയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന മൂല്യങ്ങളെയാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്അടിസ്ഥാന a > 0, a ≠ 1 എന്നിവ മാത്രം.

എന്നിരുന്നാലും, ഈ ആവശ്യകത യാന്ത്രികമായി തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, കാരണം യഥാർത്ഥ പ്രശ്‌നത്തിൽ ഇതിനകം തന്നെ a അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു - ഇത് തീർച്ചയായും 0-നേക്കാൾ വലുതും 1 ന് തുല്യവുമല്ല. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് തുടരുന്നു:

log a f (x) = log a a b

അത്തരമൊരു നൊട്ടേഷനെ കാനോനിക്കൽ ഫോം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാക്കി നമുക്ക് ലോഗ് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഉടനടി രക്ഷപ്പെടാൻ കഴിയും എന്നതാണ് ഇതിൻ്റെ സൗകര്യം:

f (x) = a b

വേരിയബിൾ ബേസ് ഉപയോഗിച്ച് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഈ സാങ്കേതികതയാണ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് പോകാം!

ലോഗ് 2 (x 2 + 4x + 11) = ലോഗ് 0.5 0.125

അടുത്തത് എന്താണ്? നിങ്ങൾ ശരിയായ ലോഗരിതം കണക്കാക്കണം, അല്ലെങ്കിൽ അവയെ അതേ അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കണം, അല്ലെങ്കിൽ മറ്റെന്തെങ്കിലും ചെയ്യണമെന്ന് ആരെങ്കിലും ഇപ്പോൾ പറയും. തീർച്ചയായും, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ രണ്ട് അടിസ്ഥാനങ്ങളും ഒരേ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട് - ഒന്നുകിൽ 2 അല്ലെങ്കിൽ 0.5. എന്നാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ഒരിക്കൽ കൂടി പഠിക്കാം:

ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൽ ദശാംശങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ആ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ദശാംശത്തിൽ നിന്ന് സാധാരണ നൊട്ടേഷനിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക. ഈ പരിവർത്തനത്തിന് പരിഹാരം വളരെ ലളിതമാക്കാൻ കഴിയും.

അത്തരം ഒരു പരിവർത്തനം ഉടനടി നടപ്പിലാക്കണം, ഏതെങ്കിലും പ്രവർത്തനങ്ങളോ പരിവർത്തനങ്ങളോ നടത്തുന്നതിന് മുമ്പുതന്നെ. നമുക്ക് ഒന്ന് നോക്കാം:

ലോഗ് 2 (x 2 + 4x + 11) = ലോഗ് 1/2 1/8

അത്തരമൊരു റെക്കോർഡ് നമുക്ക് എന്താണ് നൽകുന്നത്? നമുക്ക് 1/2, 1/8 എന്നിവയെ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണസ് ഉള്ള പവറുകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

കാനോനിക്കൽ രൂപമാണ് നമ്മുടെ മുൻപിൽ. ഞങ്ങൾ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാക്കുകയും ക്ലാസിക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഇനിപ്പറയുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നമ്മുടെ മുമ്പിലുണ്ട്. ഹൈസ്കൂളിൽ, നിങ്ങൾ സമാനമായ ഡിസ്പ്ലേകൾ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ വാമൊഴിയായി കാണണം:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

അത്രയേയുള്ളൂ! യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു. ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിച്ചു.

നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ നിർവചിക്കാൻ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ ഈ സാഹചര്യത്തിൽവേരിയബിൾ x ഉള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ മാത്രമുള്ളതിനാൽ ആവശ്യമില്ല. അതിനാൽ, നിർവചന വ്യാപ്തി സ്വയമേവ നടപ്പിലാക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു. നമുക്ക് രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് പോകാം:

ലോഗ് 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = ലോഗ് 3 1/9

ലോഗ് 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = ലോഗ് 3 9 −1

ആദ്യ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉള്ള ഒരു പവർ ആയും എഴുതാം: 1/2 = 2 -1. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തുമുള്ള ശക്തികൾ എടുത്ത് എല്ലാം −1 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ വളരെയധികം നേടിയിരിക്കുന്നു പ്രധാനപ്പെട്ട ഘട്ടംഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിൽ. ആരെങ്കിലും എന്തെങ്കിലും ശ്രദ്ധിച്ചില്ലായിരിക്കാം, അതിനാൽ ഞാൻ വിശദീകരിക്കാം.

നമ്മുടെ സമവാക്യം നോക്കൂ: ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തും ഒരു ലോഗ് ചിഹ്നമുണ്ട്, എന്നാൽ ഇടതുവശത്ത് ബേസ് 2-ലേക്ക് ഒരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്, വലതുവശത്ത് ബേസ് 3-ലേക്ക് ഒരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്. മൂന്ന് എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല. രണ്ട്, നേരെമറിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് 2 എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ 3 ആണെന്ന് എഴുതാൻ കഴിയില്ല.

തൽഫലമായി, ഇവ വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള ലോഗരിതങ്ങളാണ്, അവ കേവലം പവർ ചേർത്തുകൊണ്ട് പരസ്പരം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല. ഈ ലോഗരിതങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഒഴിവാക്കുക മാത്രമാണ് ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള ഏക പോംവഴി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോഴും വളരെ ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ, വലതുവശത്തുള്ള ലോഗരിതം ലളിതമായി കണക്കാക്കി, ഞങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം ലഭിച്ചു - ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഞങ്ങൾ സംസാരിച്ചത്.

നമുക്ക് വലത് വശത്തുള്ള നമ്പർ 2, ലോഗ് 2 2 2 = ലോഗ് 2 4 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. തുടർന്ന് നമുക്ക് ലോഗരിതം ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കാം, അതിനുശേഷം നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം അവശേഷിക്കുന്നു:

ലോഗ് 2 (5x 2 + 9x + 2) = ലോഗ് 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

നമുക്ക് മുന്നിൽ ഒരു സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ട്, എന്നാൽ x 2 ൻ്റെ ഗുണകം ഏകത്വത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായതിനാൽ അത് കുറയുന്നില്ല. അതിനാൽ, ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇത് പരിഹരിക്കും:

D = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (-9 - 11)/10 = -2

അത്രയേയുള്ളൂ! ഞങ്ങൾ രണ്ട് വേരുകളും കണ്ടെത്തി, അതിനർത്ഥം യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം ലഭിച്ചു എന്നാണ്. യഥാർത്ഥ പ്രശ്നത്തിൽ, വേരിയബിൾ x ഉള്ള ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. തൽഫലമായി, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ അധിക പരിശോധനകളൊന്നും ആവശ്യമില്ല - ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് റൂട്ടുകളും തീർച്ചയായും സാധ്യമായ എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും പാലിക്കുന്നു.

ഇത് ഇന്നത്തെ വീഡിയോ പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനമാകാം, പക്ഷേ ഉപസംഹാരമായി ഞാൻ വീണ്ടും പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു: ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എല്ലാ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളും സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക. മിക്ക കേസുകളിലും, ഇത് അവരുടെ പരിഹാരം വളരെ ലളിതമാക്കുന്നു.

അപൂർവ്വമായി, വളരെ അപൂർവ്വമായി, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നത് കണക്കുകൂട്ടലുകളെ സങ്കീർണ്ണമാക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് നേരിടേണ്ടിവരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, അത്തരം സമവാക്യങ്ങളിൽ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ലെന്ന് തുടക്കത്തിൽ വ്യക്തമാണ്.

മറ്റ് മിക്ക കേസുകളിലും (പ്രത്യേകിച്ച് നിങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പരിശീലിക്കാൻ തുടങ്ങുകയാണെങ്കിൽ), ദശാംശങ്ങൾ ഒഴിവാക്കി അവയെ സാധാരണമായവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ മടിക്കേണ്ടതില്ല. കാരണം ഈ രീതിയിൽ നിങ്ങൾ തുടർന്നുള്ള പരിഹാരവും കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഗണ്യമായി ലഘൂകരിക്കുമെന്ന് പ്രാക്ടീസ് കാണിക്കുന്നു.

പരിഹാരത്തിൻ്റെ സൂക്ഷ്മതകളും തന്ത്രങ്ങളും

ഇന്ന് നമ്മൾ കൂടുതൽ കാര്യങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികൾഞങ്ങൾ ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കും, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സംഖ്യയല്ല, ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്.

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ രേഖീയമാണെങ്കിലും, പരിഹാര സ്കീമിൽ ചെറിയ മാറ്റങ്ങൾ വരുത്തേണ്ടതുണ്ട്, ഇതിൻ്റെ അർത്ഥം ലോഗരിതം നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ചുമത്തിയിരിക്കുന്ന അധിക ആവശ്യകതകളിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു.

സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികൾ

ഈ ട്യൂട്ടോറിയൽ വളരെ നീണ്ടതായിരിക്കും. അതിൽ ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഗുരുതരമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും, അവ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിരവധി വിദ്യാർത്ഥികൾ തെറ്റുകൾ വരുത്തുന്നു. ഒരു ഗണിത അദ്ധ്യാപകനെന്ന നിലയിൽ എൻ്റെ പ്രാക്ടീസ് സമയത്ത്, ഞാൻ നിരന്തരം രണ്ട് തരത്തിലുള്ള പിശകുകൾ നേരിട്ടു:

1. ലോഗരിതങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ വികാസം കാരണം അധിക വേരുകളുടെ രൂപം. അത്തരം നിന്ദ്യമായ തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ഓരോ പരിവർത്തനവും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നിരീക്ഷിക്കുക;
2. ചില “സൂക്ഷ്മമായ” കേസുകൾ പരിഗണിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥി മറന്നുപോയതിനാൽ വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടുന്നു - ഇവയാണ് ഞങ്ങൾ ഇന്ന് ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നത്.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അവസാന പാഠമാണിത്. ഇത് ദൈർഘ്യമേറിയതായിരിക്കും, ഞങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും. സ്വയം സുഖമായിരിക്കുക, ചായ ഉണ്ടാക്കുക, നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ആദ്യ സമവാക്യം തികച്ചും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയി കാണപ്പെടുന്നു:

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = ലോഗ് x - 0.5 (x + 1)

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളും പരസ്പരം വിപരീത പകർപ്പുകളാണെന്ന് നമുക്ക് ഉടനടി ശ്രദ്ധിക്കാം. അതിശയകരമായ ഫോർമുല നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം:

ലോഗ് എ ബി = 1/ലോഗ് ബി എ

എന്നിരുന്നാലും, a, b എന്നീ സംഖ്യകൾക്ക് പകരം x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ ഈ സൂത്രവാക്യത്തിന് നിരവധി പരിമിതികളുണ്ട്:

b > 0

1 ≠ a > 0

ഈ ആവശ്യകതകൾ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിന് ബാധകമാണ്. മറുവശത്ത്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നമുക്ക് 1 ≠ a > 0 ഉണ്ടായിരിക്കണം, കാരണം ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ വേരിയബിൾ a മാത്രമല്ല (അതിനാൽ a > 0), എന്നാൽ ലോഗരിതം തന്നെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിലാണ്. . എന്നാൽ ലോഗ് b 1 = 0, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമല്ലാത്തതായിരിക്കണം, അതിനാൽ a ≠ 1.

അതിനാൽ, വേരിയബിളിലെ നിയന്ത്രണങ്ങൾ നിലനിൽക്കുന്നു. എന്നാൽ b എന്ന വേരിയബിളിന് എന്ത് സംഭവിക്കും? ഒരു വശത്ത്, അടിസ്ഥാനം b > 0 സൂചിപ്പിക്കുന്നു, മറുവശത്ത്, വേരിയബിൾ b ≠ 1, കാരണം ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം 1 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കണം. മൊത്തത്തിൽ, ഫോർമുലയുടെ വലതുവശത്ത് നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നത് 1 ≠ b > 0.

എന്നാൽ ഇവിടെ പ്രശ്നം ഇതാണ്: ഇടത് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന ആദ്യ അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ ആവശ്യകത (b ≠ 1) കാണുന്നില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഈ പരിവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ നമ്മൾ ചെയ്യണം പ്രത്യേകം പരിശോധിക്കുക, b എന്ന വാദം ഒന്നിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെന്ന്!

അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് അത് പരിശോധിക്കാം. നമുക്ക് നമ്മുടെ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

1 ≠ x - 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, a, b എന്നിവ 0-നേക്കാൾ വലുതും 1-ന് തുല്യവുമാകരുത് എന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി. ഇതിനർത്ഥം നമുക്ക് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം എളുപ്പത്തിൽ വിപരീതമാക്കാം എന്നാണ്:

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = ടി

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതും:

(t 2 - 1)/t = 0

ന്യൂമറേറ്ററിൽ നമുക്ക് ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമുണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു:

(t - 1)(t + 1)/t = 0

ഒരു അംശം പൂജ്യവും അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമല്ലാത്തതും ആയിരിക്കുമ്പോൾ അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. എന്നാൽ ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഒരു ഉൽപ്പന്നം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഓരോ ഘടകത്തെയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു:

t 1 = 1;

t 2 = -1;

t ≠ 0.

നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ടി വേരിയബിളിൻ്റെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളും നമുക്ക് അനുയോജ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പരിഹാരം അവിടെ അവസാനിക്കുന്നില്ല, കാരണം നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് t അല്ല, x ൻ്റെ മൂല്യമാണ്. ഞങ്ങൾ ലോഗരിതത്തിലേക്ക് മടങ്ങുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = 1;

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = -1.

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഓരോന്നും കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ നൽകാം:

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = ലോഗ് x + 1 (x + 1) 1

ലോഗ് x + 1 (x - 0.5) = ലോഗ് x + 1 (x + 1) -1

ഞങ്ങൾ ആദ്യ കേസിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുകയും വാദങ്ങൾ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

x - 0.5 = x + 1;

x - x = 1 + 0.5;

അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, അതിനാൽ ആദ്യത്തെ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിനും വേരുകളില്ല. എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം കൂടുതൽ രസകരമാണ്:

(x - 0.5)/1 = 1/(x + 1)

അനുപാതം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(x - 0.5)(x + 1) = 1

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എല്ലാ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളും സാധാരണ പോലെ ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ, അതിനാൽ നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

(x - 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

താഴെയുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നമ്മുടെ മുന്നിലുണ്ട്, അത് വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1.5;

x 2 = 1.

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിച്ചു - അവ യഥാർത്ഥ ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്ഥാനാർത്ഥികളാണ്. ഉത്തരത്തിലേക്ക് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഏതൊക്കെ വേരുകൾ പോകുമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, നമുക്ക് യഥാർത്ഥ പ്രശ്നത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിനുള്ളിൽ അവ അനുയോജ്യമാണോ എന്ന് നോക്കാൻ ഇപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ ഓരോ റൂട്ടുകളും പരിശോധിക്കും:

1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1.

ഈ ആവശ്യകതകൾ ഇരട്ട അസമത്വത്തിന് തുല്യമാണ്:

1 ≠ x > 0.5

x = −1.5 എന്ന റൂട്ട് നമുക്ക് അനുയോജ്യമല്ല, എന്നാൽ x = 1 നമുക്ക് നന്നായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് പെട്ടെന്ന് കാണാം. അതിനാൽ x = 1 ആണ് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ അന്തിമ പരിഹാരം.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ടാസ്ക്കിലേക്ക് പോകാം:

ലോഗ് x 25 + ലോഗ് 125 x 5 = ലോഗ് 25 x 625

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, എല്ലാ ലോഗരിതങ്ങൾക്കും വ്യത്യസ്ത അടിത്തറയും വ്യത്യസ്ത വാദങ്ങളും ഉണ്ടെന്ന് തോന്നാം. അത്തരം ഘടനകളുമായി എന്തുചെയ്യണം? ഒന്നാമതായി, 25, 5, 625 എന്നീ സംഖ്യകൾ 5-ൻ്റെ ശക്തികളാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ലോഗരിതം എന്ന അത്ഭുതകരമായ സ്വത്ത് പ്രയോജനപ്പെടുത്താം. ഘടകങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അധികാരങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയും എന്നതാണ് കാര്യം:

ലോഗ് എ ബി എൻ = എൻ ∙ ലോഗ് എ ബി

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് b മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന സന്ദർഭത്തിലും ഈ പരിവർത്തനം നിയന്ത്രണങ്ങൾക്ക് വിധേയമാണ്. എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക്, b എന്നത് ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്, അധിക നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം:

2 ∙ ലോഗ് x 5 + ലോഗ് 125 x 5 = 4 ∙ ലോഗ് 25 x 5

ലോഗ് ചിഹ്നം അടങ്ങിയ മൂന്ന് പദങ്ങളുള്ള ഒരു സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. മാത്രമല്ല, മൂന്ന് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ തുല്യമാണ്.

ലോഗരിതങ്ങളെ ഒരേ അടിത്തറയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ അവയെ റിവേഴ്സ് ചെയ്യേണ്ട സമയമാണിത് - 5. വേരിയബിൾ b ഒരു സ്ഥിരാങ്കമായതിനാൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നും സംഭവിക്കുന്നില്ല. ഞങ്ങൾ വീണ്ടും എഴുതുന്നു:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

പ്രതീക്ഷിച്ചതുപോലെ, അതേ ലോഗരിതം ഡിനോമിനേറ്ററിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:

ലോഗ് 5 x = t

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതും:

നമുക്ക് ന്യൂമറേറ്റർ എഴുതി ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + ടി 2 + 2 ടി - 4 ടി 2 - 12 ടി = 2 ടി 2 + 10 ടി + 12 + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12

നമുക്ക് നമ്മുടെ ഭാഗത്തേക്ക് മടങ്ങാം. ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യമായിരിക്കണം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്:

t ≠ 0; t ≠ -3; t ≠ −2

അവസാന ആവശ്യകതകൾ സ്വയമേവ നിറവേറ്റപ്പെടുന്നു, കാരണം അവയെല്ലാം പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ എല്ലാ ഉത്തരങ്ങളും യുക്തിരഹിതമാണ്.

അതിനാൽ, ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു, ടി വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. നമുക്ക് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് മടങ്ങാം, ടി എന്താണെന്ന് ഓർക്കുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും യുക്തിരഹിതമായ ബിരുദമുള്ള ഒരു സംഖ്യ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത് നിങ്ങളെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാൻ അനുവദിക്കരുത് - അത്തരം വാദങ്ങൾ പോലും തുല്യമാക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിച്ചു. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, രണ്ട് കാൻഡിഡേറ്റ് ഉത്തരങ്ങൾ - നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കാം. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം വേരിയബിൾ x ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ആവശ്യമാണ്:

1 ≠ x > 0;

അതേ വിജയത്തോടെ, x ≠ 1/125 എന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പിച്ചു പറയുന്നു, അല്ലാത്തപക്ഷം രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഏകത്വത്തിലേക്ക് മാറും. അവസാനമായി, മൂന്നാമത്തെ ലോഗരിതത്തിന് x ≠ 1/25.

മൊത്തത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് നാല് നിയന്ത്രണങ്ങൾ ലഭിച്ചു:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഇതാണ്: നമ്മുടെ വേരുകൾ ഈ ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്നുണ്ടോ? തീർച്ചയായും അവർ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു! കാരണം 5 മുതൽ ഏത് പവറും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കും, കൂടാതെ ആവശ്യകത x > 0 സ്വയമേവ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും.

മറുവശത്ത്, 1 = 5 0, 1/25 = 5 -2, 1/125 = 5 -3, അതായത് നമ്മുടെ വേരുകൾക്കുള്ള ഈ നിയന്ത്രണങ്ങൾ (ഇത്, ഘാതകത്തിൽ ഒരു അകാരണ സംഖ്യ ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ) സംതൃപ്തരാണ്, രണ്ട് ഉത്തരങ്ങളും പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളാണ്.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് അന്തിമ ഉത്തരമുണ്ട്. ഈ ടാസ്ക്കിൽ രണ്ട് പ്രധാന പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ട്:

1. ആർഗ്യുമെൻ്റും അടിത്തറയും മാറുമ്പോൾ ഒരു ലോഗരിതം ഫ്ലിപ്പുചെയ്യുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക. അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾ നിർവചനത്തിൻ്റെ പരിധിയിൽ അനാവശ്യ നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഏർപ്പെടുത്തുന്നു.
2. ലോഗരിതം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ ഭയപ്പെടരുത്: അവ റിവേഴ്‌സ് ചെയ്യാൻ മാത്രമല്ല, സം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിപുലീകരിക്കാനും ലോഗരിഥമിക് എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ പഠിച്ച ഏതെങ്കിലും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പൊതുവായി മാറ്റാനും കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലായ്പ്പോഴും ഓർക്കുക: ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി വികസിപ്പിക്കുന്നു, ചിലത് അവയെ ചുരുക്കുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം:

ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അതിനെ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) എന്ന ഫോമിലേക്ക് മാറ്റാൻ ശ്രമിക്കണം, തുടർന്ന് \(f(x) എന്നതിലേക്ക് മാറ്റം വരുത്തുക. )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

ഉദാഹരണം:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

പരിഹാരം: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) പരീക്ഷ:\(10>2\) - DL-ന് അനുയോജ്യമാണ് ഉത്തരം:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

വളരെ പ്രധാനമാണ്!ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഈ പരിവർത്തനം സാധ്യമാകൂ:

നിങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായി എഴുതിയിട്ടുണ്ട്, അവസാനം കണ്ടെത്തിയവ DL-ൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടോ എന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കും. ഇത് ചെയ്തില്ലെങ്കിൽ, അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം, അതായത് തെറ്റായ തീരുമാനം.

ഇടത്തും വലത്തും ഉള്ള സംഖ്യ (അല്ലെങ്കിൽ പദപ്രയോഗം) ഒന്നുതന്നെയാണ്;

ഇടതും വലതും ഉള്ള ലോഗരിതം "ശുദ്ധമാണ്", അതായത്, ഗുണനങ്ങൾ, വിഭജനങ്ങൾ മുതലായവ ഉണ്ടാകരുത്. - തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തും ഒറ്റ ലോഗരിതം മാത്രം.

ഉദാഹരണത്തിന്:

ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആവശ്യമായ ഗുണങ്ങൾ പ്രയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ 3 ഉം 4 ഉം എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഉദാഹരണം . \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം :

		നമുക്ക് ODZ എഴുതാം: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		ലോഗരിതത്തിന് മുന്നിൽ ഇടതുവശത്ത് ഗുണകമാണ്, വലതുവശത്ത് ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. ഇത് ഞങ്ങളെ വിഷമിപ്പിക്കുന്നു. പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച് നമുക്ക് രണ്ടിനെയും എക്സ്പോണൻ്റിലേക്ക് \(x\) നീക്കാം: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		ഞങ്ങൾ സമവാക്യം \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) എന്ന ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കി, ODZ എഴുതി, അതായത് നമുക്ക് \(f(x) ഫോമിലേക്ക് നീങ്ങാം =g(x)\ ).
		സംഭവിച്ചത്. ഞങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കുകയും വേരുകൾ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		വേരുകൾ ODZ ന് അനുയോജ്യമാണോ എന്ന് ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, \(x>0\) ൽ \(x\) പകരം ഞങ്ങൾ \(5\), \(-5\) എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനം വാമൊഴിയായി നടത്താം.
\(5>0\), \(-5>0\)		ആദ്യത്തെ അസമത്വം ശരിയാണ്, രണ്ടാമത്തേത് അല്ല. ഇതിനർത്ഥം \(5\) ആണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട്, എന്നാൽ \(-5\) അല്ല. ഞങ്ങൾ ഉത്തരം എഴുതുന്നു.

ഉത്തരം : \(5\)

ഉദാഹരണം : സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

പരിഹാരം :

		നമുക്ക് ODZ എഴുതാം: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിച്ച ഒരു സാധാരണ സമവാക്യം. \(\log_2⁡x\) എന്നത് \(t\) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.
\(t=\log_2⁡x\)
		ഞങ്ങൾക്ക് സാധാരണ ലഭിക്കുന്നത്. നാം അതിൻ്റെ വേരുകൾ തേടുകയാണ്.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		ഒരു റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെൻ്റ് ഉണ്ടാക്കുന്നു
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		വലത് വശങ്ങൾ ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു, അവയെ ലോഗരിതങ്ങളായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) കൂടാതെ \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		ഇപ്പോൾ നമ്മുടെ സമവാക്യങ്ങൾ \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), നമുക്ക് \(f(x)=g(x)\) എന്നതിലേക്ക് മാറാം.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		ODZ ൻ്റെ വേരുകളുടെ കത്തിടപാടുകൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, \(x\) എന്നതിന് പകരം \(x>0\) അസമത്വത്തിലേക്ക് \(4\), \(2\) എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.
\(4>0\) \(2>0\)		രണ്ട് അസമത്വങ്ങളും ശരിയാണ്. \(4\) ഉം \(2\) ഉം സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഉത്തരം : \(4\); \(2\).

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, വിലാസം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം ഇമെയിൽതുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകളും മറ്റ് ഇവൻ്റുകളും വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകളും.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികൾ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ പൊതു അഭ്യർത്ഥനകൾ അല്ലെങ്കിൽ അഭ്യർത്ഥനകൾ എന്നിവയ്ക്ക് അനുസൃതമായി സർക്കാർ ഏജൻസികൾറഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രദേശത്ത് - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുക. സുരക്ഷ, നിയമപാലനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.