0 ഗ്രാഫിനേക്കാൾ 0 ബിയിൽ കുറവ് കെ. ജിഐഎ. ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനുകൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. അവയിൽ മിക്കവയും നമുക്ക് പട്ടികപ്പെടുത്താം. മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള രീതിപകരക്കാർ. ഒരു സമവാക്യത്തിൽ, ഒരു വേരിയബിളിനെ മറ്റൊന്നിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും മറ്റൊരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിൽ ഒരു വേരിയബിൾ മാത്രം ശേഷിക്കുന്നതുവരെ. ഇത് പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് ഒരു വേരിയബിൾ വിടേണ്ടതുണ്ട് (അത് ഒരു ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് ആകാം), തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ മറുവശത്ത് എല്ലാ സംഖ്യാ ഡാറ്റയും, സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നം മാറ്റാൻ മറക്കരുത്. കൈമാറ്റം ചെയ്യുമ്പോൾ വിപരീതം. ഒരു വേരിയബിൾ കണക്കാക്കിയ ശേഷം, അതിനെ മറ്റ് എക്സ്പ്രഷനുകളിലേക്ക് മാറ്റി, അതേ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ തുടരുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഒരു ലീനിയർ സിസ്റ്റം എടുക്കാം പ്രവർത്തനങ്ങൾ, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:
x=y+2.
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സമത്വത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റുമ്പോൾ, മുകളിൽ വിവരിച്ചതുപോലെ y, വേരിയബിളുകൾ എന്നിവയുടെ അടയാളം മാറി.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഞങ്ങൾ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അങ്ങനെ അതിൽ നിന്ന് വേരിയബിൾ x ഒഴിവാക്കുന്നു:
2*(y+2)+y-7=0.
ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു:
2y+4+y-7=0.
ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകളും നമ്പറുകളും ഒരുമിച്ച് ചേർക്കുകയും അവയെ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
3у-3=0.
ഞങ്ങൾ അതിനെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കി അടയാളം മാറ്റുന്നു:
3y=3.
മൊത്തം ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
y=1.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം ഞങ്ങൾ ആദ്യ എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
x=y+2.
നമുക്ക് x=3 ലഭിക്കും.

സമാനമായവ പരിഹരിക്കാനുള്ള മറ്റൊരു മാർഗ്ഗം, ഒരു വേരിയബിളിനൊപ്പം പുതിയൊരെണ്ണം ലഭിക്കുന്നതിന് ടേം അനുസരിച്ച് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കുക എന്നതാണ്. സമവാക്യത്തെ ഒരു നിശ്ചിത ഗുണകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, പ്രധാന കാര്യം സമവാക്യത്തിലെ ഓരോ അംഗത്തെയും ഗുണിക്കുക എന്നതാണ്, മറക്കരുത്, തുടർന്ന് ഒരു സമവാക്യം ചേർക്കുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുക. ഒരു ലീനിയർ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ഈ രീതി വളരെ ലാഭകരമാണ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇതിനകം പരിചിതമായ സിസ്റ്റം എടുക്കാം:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
y എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണകം ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങളിൽ സമാനമാണെന്നും ചിഹ്നത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുണ്ടെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഇതിനർത്ഥം, ഈ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും ടേം അനുസരിച്ച് ചേർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് പുതിയൊരെണ്ണം ലഭിക്കും, പക്ഷേ ഒരു വേരിയബിൾ.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ ഡാറ്റ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അടയാളം മാറ്റുന്നു:
3x=9.
പൊതുവായ ഘടകം കണ്ടെത്തുന്നു ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, x-ൽ നിൽക്കുകയും സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും അത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുക:
x=3.
ഫലം ഏതെങ്കിലും സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റി y കണക്കാക്കാൻ കഴിയും:
x-y-2=0;
3-у-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.

കൃത്യമായ ഗ്രാഫ് സൃഷ്ടിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങൾക്ക് ഡാറ്റ കണക്കാക്കാനും കഴിയും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ. വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനത്തെ ഹോമോജീനിയസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കാൻ ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും - അവയിലൊന്ന് x-അക്ഷത്തിലും മറ്റൊന്ന് y-അക്ഷത്തിലും സ്ഥിതിചെയ്യും.

ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യം എടുത്ത് അവിടെ x=0 മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
2*0+y-7=0;
നമുക്ക് y=7 ലഭിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ആദ്യത്തെ പോയിൻ്റ്, അതിനെ A എന്ന് വിളിക്കാം, A (0;7) കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.
x-അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മൂല്യം y=0 പകരം വയ്ക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:
x-0-2=0;
x=2.
രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റിന് (ബി) ബി (2;0) കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.
കോർഡിനേറ്റ് ഗ്രിഡിൽ ലഭിച്ച പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും അവയിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങൾ ഇത് വളരെ കൃത്യമായി പ്ലോട്ട് ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, x, y എന്നിവയുടെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് കണക്കാക്കാം.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, വിലാസം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം ഇമെയിൽതുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകളും മറ്റ് ഇവൻ്റുകളും വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകളും.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികൾ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ പൊതു അഭ്യർത്ഥനകൾ അല്ലെങ്കിൽ അഭ്യർത്ഥനകൾ എന്നിവയ്ക്ക് അനുസൃതമായി സർക്കാർ ഏജൻസികൾറഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രദേശത്ത് - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുക. സുരക്ഷയ്‌ക്കോ നിയമ നിർവ്വഹണത്തിനോ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്കോ ​​അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെയുള്ള മുൻകരുതലുകൾ ഞങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

>>ഗണിതം: ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനും അതിൻ്റെ ഗ്രാഫും

ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനും അതിൻ്റെ ഗ്രാഫും

സമവാക്യം + by + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം, ഞങ്ങൾ § 28 ൽ രൂപപ്പെടുത്തിയത്, അതിൻ്റെ എല്ലാ വ്യക്തതയ്ക്കും ഉറപ്പിനും, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ശരിക്കും ഇഷ്ടമല്ല. അവർ സാധാരണയായി അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ആദ്യ രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളെക്കുറിച്ച് അവകാശവാദങ്ങൾ ഉന്നയിക്കുന്നു. എന്തുകൊണ്ടാണ് അവർ പറയുന്നത്, y എന്ന വേരിയബിളിനായി സമവാക്യം രണ്ടുതവണ പരിഹരിക്കുക: ആദ്യം ax1 + by + c = O, തുടർന്ന് ax1 + by + c = O? ax + by + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് y ഉടനടി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, അപ്പോൾ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നത് എളുപ്പമായിരിക്കും (കൂടാതെ, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, വേഗത്തിൽ)? നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ആദ്യം പരിഗണിക്കാം സമവാക്യം 3x - 2y + 6 = 0 (§ 28-ൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണം 2 കാണുക).

x നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നതിലൂടെ, അനുബന്ധ y മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, x = 0 ആകുമ്പോൾ നമുക്ക് y = 3 ലഭിക്കും; x = -2-ൽ നമുക്ക് y = 0; x = 2 ന് നമുക്ക് y = 6 ഉണ്ട്; x = 4 ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: y = 9.

പോയിൻ്റുകൾ (0; 3), (- 2; 0), (2; 6), (4; 9) എന്നിവ എത്ര എളുപ്പത്തിലും വേഗത്തിലും കണ്ടെത്തിയെന്ന് നിങ്ങൾ കാണുന്നു, അവ § 28 ൽ നിന്ന് ഉദാഹരണം 2 ൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തു.

അതുപോലെ, bx - 2y = 0 എന്ന സമവാക്യം (§ 28-ൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണം 4 കാണുക) 2y = 16 -3x എന്ന രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്. കൂടുതൽ y = 2.5x; ഈ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിൻ്റുകൾ (0; 0), (2; 5) എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

അവസാനമായി, അതേ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള 3x + 2y - 16 = 0 എന്ന സമവാക്യം 2y = 16 -3x രൂപത്തിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം, തുടർന്ന് അത് തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിൻ്റുകൾ (0; 0), (2; 5) കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ഈ പരിവർത്തനങ്ങളെ പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പരിഗണിക്കാം.

അങ്ങനെ, x, y എന്നീ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യം (1) എല്ലായ്പ്പോഴും രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്.
y = kx + m,(2) ഇവിടെ k,m എന്നത് സംഖ്യകളാണ് (ഗുണകങ്ങൾ), കൂടാതെ .

ഈ സ്വകാര്യ കാഴ്ചലീനിയർ സമവാക്യത്തെ ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കും.

തുല്യത (2) ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട x മൂല്യം വ്യക്തമാക്കാനും അനുബന്ധ y മൂല്യം കണക്കാക്കാനും എളുപ്പമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, അനുവദിക്കുക

y = 2x + 3. തുടർന്ന്:
x = 0 ആണെങ്കിൽ, y = 3;
x = 1 ആണെങ്കിൽ, y = 5;
x = -1 ആണെങ്കിൽ, y = 1;
x = 3 ആണെങ്കിൽ, y = 9 മുതലായവ.

സാധാരണയായി ഈ ഫലങ്ങൾ ഫോമിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു പട്ടികകൾ:

പട്ടികയുടെ രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ നിന്നുള്ള y യുടെ മൂല്യങ്ങളെ യഥാക്രമം x = 0, x = 1, x = -1, x = - എന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ യഥാക്രമം y = 2x + 3 എന്ന രേഖീയ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. 3.

സമവാക്യത്തിൽ (1) hnu വേരിയബിളുകൾ തുല്യമാണ്, എന്നാൽ സമവാക്യത്തിൽ (2) അവയല്ല: അവയിലൊന്നിന് ഞങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു - വേരിയബിൾ x, അതേസമയം y വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം വേരിയബിളിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, x എന്നത് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ (അല്ലെങ്കിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റ്), y എന്നത് ആശ്രിത വേരിയബിൾ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ സാധാരണയായി പറയുന്നു.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു പ്രത്യേക തരം ലീനിയർ സമവാക്യമാണ് ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. സമവാക്യ ഗ്രാഫ് y - kx + m, രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ഏതെങ്കിലും രേഖീയ സമവാക്യം പോലെ, ഒരു നേർരേഖയാണ് - ഇതിനെ രേഖീയ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് എന്നും വിളിക്കുന്നു y = kx + m. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം സാധുവാണ്.

ഉദാഹരണം 1. y = 2x + 3 എന്ന ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഒരു മേശ ഉണ്ടാക്കാം:

രണ്ടാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ x, ആദ്യ സാഹചര്യത്തിലെന്നപോലെ, ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, 1, 2, 3, ..., 16 മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ എടുക്കാൻ കഴിയൂ. തീർച്ചയായും, x = 16 എങ്കിൽ, y = 500 - 30x ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: y = 500 - 30 16 = 20. ഇതിനർത്ഥം ഇതിനകം 17-ാം ദിവസം വെയർഹൗസിൽ നിന്ന് 30 ടൺ കൽക്കരി നീക്കം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ഈ ദിവസം 20 മാത്രം ടൺ കണക്കിന് വെയർഹൗസിൽ അവശേഷിക്കും, കൽക്കരി നീക്കം ചെയ്യുന്ന പ്രക്രിയ നിർത്തേണ്ടിവരും. അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൻ്റെ പരിഷ്കരിച്ച ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃക ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

y = 500 - ZOD:, ഇവിടെ x = 1, 2, 3, .... 16.

മൂന്നാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ x ന് സൈദ്ധാന്തികമായി ഏതെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത മൂല്യം എടുക്കാം (ഉദാഹരണത്തിന്, x മൂല്യം = 0, x മൂല്യം = 2, x മൂല്യം = 3.5, മുതലായവ), എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി ഒരു വിനോദസഞ്ചാരിക്ക് ഉറക്കവും വിശ്രമവുമില്ലാതെ സ്ഥിരമായ വേഗതയിൽ നടക്കാൻ കഴിയില്ല. കാലത്തിൻ്റെ . അതുകൊണ്ട് x-ന് ന്യായമായ നിയന്ത്രണങ്ങൾ ഏർപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്, പറയുക 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

നോൺ-സ്ട്രിക്റ്റിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ മാതൃക ഓർക്കുക ഇരട്ട അസമത്വം 0 < х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

"x ഗണത്തിൽ പെട്ട X" എന്ന പദത്തിനു പകരം എഴുതാൻ നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം (വായിക്കുക: "എലമെൻ്റ് x സെറ്റ് X-ൻ്റെതാണ്", e ആണ് അംഗത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം). നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയുമായുള്ള നമ്മുടെ പരിചയം നിരന്തരം തുടരുകയാണ്.

ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ y = kx + m എന്നത് x-ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും വേണ്ടിയല്ല, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യാ ഇടവേള X-ൽ നിന്നുള്ള x-ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ പരിഗണിക്കാവൂ എങ്കിൽ, അവർ എഴുതുന്നു:

ഉദാഹരണം 2. ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക:

പരിഹാരം, a) y = 2x + 1 എന്ന ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷനായി നമുക്ക് ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം

നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം കോർഡിനേറ്റ് വിമാനം xОу പോയിൻ്റുകൾ (-3; 7), (2; -3) എന്നിവയിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുക. ഇത് y = -2x: + 1 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് ആണ്. അടുത്തതായി, നിർമ്മിച്ച പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കുക (ചിത്രം 38). ഈ സെഗ്‌മെൻ്റ് ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ആണ് y = -2x+1, whichxe [-3, 2].

അവർ സാധാരണയായി പറയുന്നത് ഇതാണ്: ഞങ്ങൾ [- 3, 2] എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൽ y = - 2x + 1 എന്ന ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്‌തു.

ബി) ഈ ഉദാഹരണം മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ സമാനമാണ് (y = -2x + 1), അതായത് അതേ നേർരേഖ അതിൻ്റെ ഗ്രാഫായി വർത്തിക്കുന്നു എന്നാണ്. പക്ഷെ സൂക്ഷിക്കണം! - ഇത്തവണ x e (-3, 2), അതായത് x = -3, x = 2 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കില്ല, അവ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല (- 3, 2). ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് ഒരു ഇടവേളയുടെ അറ്റങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തിയത്? ലൈറ്റ് സർക്കിളുകൾ (ചിത്രം 39), ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചു § 26. അതുപോലെ, പോയിൻ്റുകൾ (- 3; 7), ബി; - 3) ലൈറ്റ് സർക്കിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡ്രോയിംഗിൽ അടയാളപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്. സർക്കിളുകളാൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള y = - 2x + 1 എന്ന വരിയുടെ പോയിൻ്റുകൾ മാത്രമേ എടുക്കൂ എന്ന് ഇത് നമ്മെ ഓർമ്മിപ്പിക്കും (ചിത്രം 40). എന്നിരുന്നാലും, ചിലപ്പോൾ അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ അവർ ലൈറ്റ് സർക്കിളുകളേക്കാൾ അമ്പുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു (ചിത്രം 41). ഇത് അടിസ്ഥാനപരമല്ല, എന്താണ് പറയുന്നതെന്ന് മനസിലാക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം.

ഉദാഹരണം 3.സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷനുവേണ്ടി നമുക്ക് ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം

നമുക്ക് xOy കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ പോയിൻ്റുകൾ (0; 4), (6; 7) എന്നിവ നിർമ്മിക്കാം, അവയിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കാം - ലീനിയർ x ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് (ചിത്രം 42).

ഈ ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ മൊത്തത്തിലല്ല, മറിച്ച് ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ, അതായത് x e-യ്‌ക്കായി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഗ്രാഫിൻ്റെ അനുബന്ധ വിഭാഗം ഡ്രോയിംഗിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. തിരഞ്ഞെടുത്ത ഭാഗത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളുടെ ഏറ്റവും വലിയ ഓർഡിനേറ്റ് 7 ന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു - ഇതാണ് ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യംസെഗ്മെൻ്റിലെ രേഖീയ പ്രവർത്തനം. സാധാരണയായി ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു: y max =7.

ചിത്രം 42-ൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന വരിയുടെ ഭാഗത്തുള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ ഓർഡിനേറ്റ് 4-ന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു - ഇത് സെഗ്‌മെൻ്റിലെ ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യമാണ്.
സാധാരണയായി ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു: y പേര്. = 4.

ഉദാഹരണം 4. y naib, y naim എന്നിവ കണ്ടെത്തുക. ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷന് y = -1.5x + 3.5

a) സെഗ്മെൻ്റിൽ; ബി) ഇടവേളയിൽ (1.5);
സി) പകുതി ഇടവേളയിൽ.

പരിഹാരം. y = -l.5x + 3.5 എന്ന ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷനായി നമുക്ക് ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം:

നമുക്ക് xOy കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ പോയിൻ്റുകൾ (1; 2), (5; - 4) എന്നിവ നിർമ്മിക്കാം, അവയിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കാം (ചിത്രം 43-47). നിർമ്മിച്ച നേർരേഖയിൽ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നിന്ന് x മൂല്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഭാഗം (ചിത്രം 43), ഇടവേള A, 5) (ചിത്രം 44), പകുതി ഇടവേളയിൽ നിന്ന് (ചിത്രം 47) തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

a) ചിത്രം 43 ഉപയോഗിച്ച്, y max = 2 (ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ഈ മൂല്യം x = 1-ൽ എത്തുന്നു), y min എന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്. = - 4 (ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ഈ മൂല്യത്തിൽ x = 5 ൽ എത്തുന്നു).

b) ചിത്രം 44 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു: ഈ രേഖീയ ഫംഗ്ഷന് ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ ഏറ്റവും വലുതോ ചെറുതോ ആയ മൂല്യങ്ങൾ ഇല്ല. എന്തുകൊണ്ട്? മുമ്പത്തെ കേസിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങളിൽ എത്തിയ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ രണ്ട് അറ്റങ്ങളും പരിഗണനയിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത.

c) ചിത്രം 45 ഉപയോഗിച്ച്, y max എന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. = 2 (ആദ്യ കേസിൽ പോലെ), ഒപ്പം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യംലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ഇല്ല (രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ പോലെ).

d) ചിത്രം 46 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു: y max = 3.5 (ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ഈ മൂല്യം x = 0-ൽ എത്തുന്നു), കൂടാതെ y max. നിലവിലില്ല.

e) ചിത്രം 47 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു: y max = -1 (ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ഈ മൂല്യത്തിൽ x = 3 ൽ എത്തുന്നു), കൂടാതെ y max നിലവിലില്ല.

ഉദാഹരണം 5. ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക

y = 2x - 6. ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകാൻ ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിക്കുക:

a) x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് y = 0?
b) x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്ക് y > 0 ആയിരിക്കും?
c) x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങളിൽ y ആയിരിക്കും< 0?

പരിഹാരം. y = 2x-6 എന്ന ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷന് വേണ്ടി നമുക്ക് ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം:

പോയിൻ്റുകളിലൂടെ (0; - 6), (3; 0) ഞങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുന്നു - ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y = 2x - 6 (ചിത്രം 48).

a) y = 0 at x = 3. ഗ്രാഫ് x അക്ഷത്തെ x = 3 എന്ന പോയിൻ്റിൽ വിഭജിക്കുന്നു, ഇതാണ് y = 0 എന്ന ഓർഡിനേറ്റ് ഉള്ള പോയിൻ്റ്.
b) x > 3 ന് y > 0. വാസ്തവത്തിൽ, x > 3 ആണെങ്കിൽ, നേർരേഖ x അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്, അതായത് നേർരേഖയുടെ അനുബന്ധ പോയിൻ്റുകളുടെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ പോസിറ്റീവ് ആണെന്നാണ്.

സി) ചെയ്തത്< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ചുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക:

a) സമവാക്യം 2x - 6 = 0 (നമുക്ക് x = 3 ലഭിച്ചു);
b) അസമത്വം 2x - 6 > 0 (ഞങ്ങൾക്ക് x > 3 ലഭിച്ചു);
സി) അസമത്വം 2x - 6< 0 (получили х < 3).

അഭിപ്രായം. റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ, ഒരേ വസ്തുവിനെ പലപ്പോഴും വ്യത്യസ്തമായി വിളിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്: "വീട്", "കെട്ടിടം", "ഘടന", "കുടിൽ", "മാളിക", "ബാരക്ക്", "ഷാക്ക്", "കുടിൽ". ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിൽ സ്ഥിതി ഏകദേശം സമാനമാണ്. പറയുക, y = kx + m എന്ന രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള തുല്യത, ഇവിടെ k, m എന്നത് നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളാണ്, ഒരു രേഖീയ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കാം, വിളിക്കാം രേഖീയ സമവാക്യം x, y എന്നീ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളായ x, y) എന്നിവയെ ഒരു ഫോർമുല എന്ന് വിളിക്കാം, x, y എന്നിവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ബന്ധം എന്ന് വിളിക്കാം, ഒടുവിൽ x ഉം y ഉം തമ്മിലുള്ള ആശ്രിതത്വം എന്ന് വിളിക്കാം. ഇത് പ്രശ്നമല്ല, എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും അത് മനസ്സിലാക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്ഗണിത മാതൃകയെക്കുറിച്ച് y = kx + m

.

ചിത്രം 49, എയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക. നമ്മൾ ഈ ഗ്രാഫിലൂടെ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് നീങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, ഗ്രാഫിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ എല്ലായ്‌പ്പോഴും വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്, നമ്മൾ “ഒരു കുന്നിൻ മുകളിൽ കയറുന്നത്” പോലെ. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ വർദ്ധനവ് എന്ന പദം ഉപയോഗിക്കുകയും ഇത് പറയുകയും ചെയ്യുന്നു: k>0 ആണെങ്കിൽ, ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ y = kx + m വർദ്ധിക്കുന്നു.

ചിത്രം 49, ബിയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക. നമ്മൾ ഈ ഗ്രാഫിലൂടെ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് നീങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, ഗ്രാഫിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ എല്ലായ്‌പ്പോഴും കുറയുന്നു, നമ്മൾ "ഒരു കുന്നിൻ താഴേക്ക് ഇറങ്ങുന്നത്" പോലെ. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ കുറവ് എന്ന പദം ഉപയോഗിക്കുകയും ഇങ്ങനെ പറയുകയും ചെയ്യുന്നു: എങ്കിൽ k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

ജീവിതത്തിലെ രേഖീയ പ്രവർത്തനം

ഇനി ഈ വിഷയം സംഗ്രഹിക്കാം. ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന നിലയിൽ അത്തരമൊരു ആശയം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിചയപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്, അതിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾക്കറിയാം, ഗ്രാഫുകൾ എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു. കൂടാതെ, നിങ്ങൾ ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിക്കുകയും ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം എന്താണ് ആശ്രയിക്കുന്നതെന്ന് മനസിലാക്കുകയും ചെയ്തു. എന്നാൽ അത് നമ്മിൽ അത് മാറുന്നു ദൈനംദിന ജീവിതംഈ ഗണിത മാതൃകയുമായി ഞങ്ങൾ നിരന്തരം വിഭജിക്കുന്നു.

ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനുകൾ പോലുള്ള ഒരു ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട യഥാർത്ഥ ജീവിത സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം? കൂടാതെ, ഏത് അളവുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ജീവിത സാഹചര്യങ്ങൾക്കിടയിൽ ഒരു രേഖീയ ബന്ധം സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും?

ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പഠിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത നിങ്ങളിൽ പലർക്കും മനസ്സിലാകില്ല, കാരണം പിന്നീടുള്ള ജീവിതത്തിൽ ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാകാൻ സാധ്യതയില്ല. എന്നാൽ ഇവിടെ നിങ്ങൾ വളരെ തെറ്റിദ്ധരിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം ഞങ്ങൾ എല്ലാ സമയത്തും എല്ലായിടത്തും ഫംഗ്‌ഷനുകൾ നേരിടുന്നു. കാരണം ഒരു സാധാരണ മാസ വാടക പോലും പല വേരിയബിളുകളെ ആശ്രയിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ കൂടിയാണ്. ഈ വേരിയബിളുകളിൽ ചതുരശ്ര അടി, താമസക്കാരുടെ എണ്ണം, താരിഫുകൾ, വൈദ്യുതി ഉപയോഗം മുതലായവ ഉൾപ്പെടുന്നു.

തീർച്ചയായും, രേഖീയ ആശ്രിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേരിട്ടത് ഗണിത പാഠങ്ങളിലാണ്.

നിങ്ങളും ഞാനും ഒരു നിശ്ചിത വേഗതയിൽ കാറുകളോ ട്രെയിനുകളോ കാൽനടയാത്രക്കാരോ സഞ്ചരിച്ച ദൂരം കണ്ടെത്തിയ പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു. ഇവ ചലന സമയത്തിൻ്റെ രേഖീയ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്. എന്നാൽ ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ മാത്രമല്ല, നമ്മുടെ നിത്യജീവിതത്തിലും ബാധകമാണ്.

പാലുൽപ്പന്നങ്ങളുടെ കലോറി ഉള്ളടക്കം കൊഴുപ്പ് ഉള്ളടക്കത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അത്തരമൊരു ആശ്രിതത്വം സാധാരണയായി ഒരു രേഖീയ പ്രവർത്തനമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പുളിച്ച വെണ്ണയിൽ കൊഴുപ്പിൻ്റെ ശതമാനം വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ കലോറി ഉള്ളടക്കവും വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തി സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ച് k, b എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം:

ഇനി നമുക്ക് ഡിപൻഡൻസി ഫോർമുല എടുക്കാം:

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു രേഖീയ ബന്ധം ലഭിച്ചു.

താപനിലയെ ആശ്രയിച്ച് ശബ്ദ പ്രചരണത്തിൻ്റെ വേഗത അറിയാൻ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ സാധിക്കും: v = 331 +0.6t, ഇവിടെ v എന്നത് വേഗതയാണ് (m/s ൽ), t എന്നത് താപനിലയാണ്. ഈ ബന്ധത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരച്ചാൽ, അത് രേഖീയമായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് കാണാം, അതായത്, അത് ഒരു നേർരേഖയെ പ്രതിനിധീകരിക്കും.

രേഖീയ പ്രവർത്തനപരമായ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ പ്രയോഗത്തിൽ അറിവിൻ്റെ അത്തരം പ്രായോഗിക ഉപയോഗങ്ങൾ വളരെക്കാലം പട്ടികപ്പെടുത്താം. ഫോൺ ചാർജുകൾ, മുടിയുടെ നീളവും വളർച്ചയും തുടങ്ങി സാഹിത്യത്തിലെ പഴഞ്ചൊല്ലുകൾ പോലും. ഈ പട്ടിക നീളുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ കലണ്ടർ-തീമാറ്റിക് ആസൂത്രണം, വീഡിയോഗണിതം ഓൺലൈനിൽ, സ്കൂളിൽ ഗണിതം ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

A. V. Pogorelov, 7-11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ജ്യാമിതി, വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം

ഒരു സംഖ്യാ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ആശയം. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ.

ഒരു ന്യൂമറിക് സ്‌പെയ്‌സിൽ (സെറ്റ്) നിന്ന് മറ്റൊരു ന്യൂമെറിക് സ്‌പെയ്‌സിലേക്ക് (സെറ്റ്) പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് ന്യൂമറിക് ഫംഗ്‌ഷൻ.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുന്നതിനുള്ള മൂന്ന് പ്രധാന വഴികൾ: അനലിറ്റിക്കൽ, ടാബ്ലർ, ഗ്രാഫിക്കൽ.

1. അനലിറ്റിക്കൽ.

ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വ്യക്തമാക്കുന്ന രീതിയെ അനലിറ്റിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ രീതിയാണ് മാറ്റിൽ പ്രധാനം. വിശകലനം, പക്ഷേ പ്രായോഗികമായി ഇത് സൗകര്യപ്രദമല്ല.

2. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള ടാബുലാർ രീതി.

ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങളും അവയുടെ അനുബന്ധ ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങളും അടങ്ങുന്ന ഒരു ടേബിൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വ്യക്തമാക്കാം.

3. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ y=f(x) അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിച്ചാൽ ഗ്രാഫിക്കായി നൽകുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വ്യക്തമാക്കുന്ന ഈ രീതി ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ ഏകദേശം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു, കാരണം ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതും അതിൽ ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതും പിശകുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ കണക്കിലെടുക്കേണ്ട ഗുണവിശേഷതകൾ:

1) പ്രദേശം ഫംഗ്ഷൻ നിർവചനങ്ങൾ.

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ,അതായത്, F =y (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് x എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ.

2) ഫംഗ്ഷനുകൾ വർദ്ധിക്കുന്നതും കുറയുന്നതും ഇടവേളകൾ.

പ്രവർത്തനത്തെ വർദ്ധിപ്പിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നുപരിഗണനയിലുള്ള ഇടവേളയിൽ, എങ്കിൽ ഉയർന്ന മൂല്യം y(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വലിയ മൂല്യവുമായി ആർഗ്യുമെൻ്റ് യോജിക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം x 1, x 2 എന്നീ രണ്ട് ആർബിട്രറി ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ പരിഗണനയിലുള്ള ഇടവേളയിൽ നിന്നും x 1 > x 2 ഉം എടുത്താൽ, y(x 1) > y(x 2).

പ്രവർത്തനത്തെ കുറയുന്നു എന്ന് വിളിക്കുന്നുപരിഗണനയിലുള്ള ഇടവേളയിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വലിയ മൂല്യം y(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ചെറിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ. ഇതിനർത്ഥം x 1, x 2 എന്നീ രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ഇടവേളയിൽ നിന്ന് എടുത്താൽ, കൂടാതെ x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ.

F = y (x) ഫംഗ്‌ഷൻ abscissa അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളെ (അവ y(x) = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്നതാണ്) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

4) ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ.

ഫംഗ്ഷനെ ഈവൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു,എന്നതിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്കും നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ

y(-x) = y(x).

പട്ടിക പ്രവർത്തനം പോലുംഓർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടിനെക്കുറിച്ചുള്ള സമമിതി.

ഫംഗ്ഷനെ ഓഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും

y(-x) = -y(x).

ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ച് സമമിതിയാണ്.

പല ഫംഗ്‌ഷനുകളും ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.

5) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ആനുകാലികത.

പ്രവർത്തനത്തെ ആനുകാലികം എന്ന് വിളിക്കുന്നു,നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും ഒരു നമ്പർ P ഉണ്ടെങ്കിൽ

y(x + P) = y(x).

ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ, അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും ഗ്രാഫും.

ഒരു രേഖീയ ഫംഗ്ഷൻ രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രവർത്തനമാണ് y = kx + b, എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

കെ – ചരിവ് (യഥാർത്ഥ സംഖ്യ)

ബി- ഡമ്മി പദം (യഥാർത്ഥ നമ്പർ)

x- സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ.

· പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ, k = 0 ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു സ്ഥിരമായ ഫംഗ്ഷൻ y = b ലഭിക്കും, ഇതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന Ox അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു നേർരേഖയാണ് (0; b).

· b = 0 ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് y = kx എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും, അത് നേരിട്ടുള്ള ആനുപാതികതയാണ്.

ഒ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംകോ എഫിഷ്യൻ്റ് b എന്നത് ഒയ് അക്ഷത്തിൽ നേർരേഖയിൽ വെട്ടിയ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളമാണ്, ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നു.

Ox അക്ഷത്തിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്കുള്ള നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോണാണ് k എന്ന ഗുണകത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ കണക്കാക്കുന്നു.

ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ:

1) ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ യഥാർത്ഥ അക്ഷമാണ്;

2) k ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി മുഴുവൻ യഥാർത്ഥ അക്ഷമാണ്.

k = 0 ആണെങ്കിൽ, ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി b എന്ന സംഖ്യ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു;

3) ഒരു രേഖീയ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തുല്യതയും വിചിത്രതയും k, b എന്നീ ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

a) b ≠ 0, k = 0, അതിനാൽ, y = b - പോലും;

b) b = 0, k ≠ 0, അതിനാൽ y = kx - വിചിത്രം;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, അതിനാൽ y = kx + b എന്നത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് പൊതുവായ കാഴ്ച;

d) b = 0, k = 0, അതിനാൽ y = 0 എന്നത് ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ്.

4) ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്ഷന് ആവർത്തനത്തിൻ്റെ സ്വത്ത് ഇല്ല;

5) കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുള്ള കവലയുടെ പോയിൻ്റുകൾ:

കാള: y = kx + b = 0, x = -b/k, അതിനാൽ (-b/k; 0) എന്നത് x-ആക്സിസുമായുള്ള വിഭജന പോയിൻ്റാണ്.

Oy: y = 0k + b = b, അതിനാൽ (0; b) എന്നത് ഓർഡിനേറ്റുമായുള്ള വിഭജന പോയിൻ്റാണ്.

അഭിപ്രായം. b = 0 ഉം k = 0 ഉം ആണെങ്കിൽ, x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും y = 0 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ അപ്രത്യക്ഷമാകും. b ≠ 0 ഉം k = 0 ഉം ആണെങ്കിൽ, x വേരിയബിളിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന് y = b എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നില്ല.

6) സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ k എന്ന ഗുണകത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b - (-b/k; +∞) എന്നതിൽ നിന്ന് x-ൽ പോസിറ്റീവ്

y = kx + b – (-∞; -b/k) ൽ നിന്നുള്ള x ന് നെഗറ്റീവ്.

ബി) കെ< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – (-∞; -b/k) എന്നതിൽ നിന്ന് x-ൽ പോസിറ്റീവ്

y = kx + b - (-b/k; +∞) ൻ്റെ x ന് നെഗറ്റീവ്.

c) k = 0, b > 0; y = kx + b എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലുടനീളം പോസിറ്റീവ് ആണ്,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മോണോടോണിസിറ്റി ഇടവേളകൾ k എന്ന ഗുണകത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

k > 0, അതിനാൽ y = kx + b നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലുടനീളം വർദ്ധിക്കുന്നു,

കെ< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. ഫംഗ്ഷൻ y = ax 2 + bx + c, അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും ഗ്രാഫും.

ഫംഗ്‌ഷൻ y = ax 2 + bx + c (a, b, c എന്നത് സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്, a ≠ 0) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ചതുരാകൃതിയിലുള്ളഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ, y = ax 2 (b = c = 0) ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വളഞ്ഞ രേഖയാണ്. y = ax 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന വക്രം ഒരു പരവലയമാണ്. എല്ലാ പരാബോളയ്ക്കും സമമിതിയുടെ ഒരു അക്ഷമുണ്ട് പരവലയത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ട്.ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് O എന്ന് വിളിക്കുന്നു പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം.

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം അനുസരിച്ച് ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാം: 1) പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക x 0 = -b/2a; y 0 = y (x 0). 2) പരവലയത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന നിരവധി പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു; നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, x = -b/2a എന്ന നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പരാബോളയുടെ സമമിതികൾ നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. 3) സൂചിപ്പിച്ച പോയിൻ്റുകൾ സുഗമമായ വരി ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കുക. ഉദാഹരണം. ഫംഗ്ഷൻ b = x 2 + 2x - 3 ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക.പരിഹാരങ്ങൾ. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്, അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു. x 0 = 2/(2 ∙1) = -1 എന്ന പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ abscissa, y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. അതിനാൽ, പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം പോയിൻ്റാണ് (-1; -4). പരാബോളയുടെ സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ വലതുവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന നിരവധി പോയിൻ്റുകൾക്കായി മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക സമാഹരിക്കാം - നേർരേഖ x = -1. പ്രവർത്തന സവിശേഷതകൾ.