Menukar darjah kepada radian dan sebaliknya. Ukuran darjah sudut. Ukuran sudut radian. Menukar darjah kepada radian dan belakang Ijazah ukuran sudut

Jadual nilai fungsi trigonometri disusun untuk sudut 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 dan 360 darjah dan nilai sudut yang sepadan dalam radian. daripada fungsi trigonometri jadual menunjukkan sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan Dan kosekan. Untuk kemudahan menyelesaikan sekolah contoh makna fungsi trigonometri dalam jadual ditulis dalam bentuk pecahan sambil mengekalkan tanda-tanda mengekstrak punca kuasa dua nombor, yang sangat kerap membantu mengurangkan ungkapan matematik yang kompleks. Untuk tangen Dan kotangen Beberapa sudut tidak dapat ditentukan. Untuk nilai tangen Dan kotangen Terdapat sempang dalam jadual nilai fungsi trigonometri untuk sudut tersebut. Ia diterima umum bahawa tangen Dan kotangen daripada sudut tersebut sama dengan infiniti. Pada halaman yang berasingan terdapat formula untuk mengurangkan fungsi trigonometri.

Jadual nilai untuk fungsi sinus trigonometri menunjukkan nilai untuk sudut berikut: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 dalam darjah, yang sepadan dengan sin 0 pi, sin pi/6 , sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi dalam ukuran radian sudut. Jadual sekolah sinus.

Untuk fungsi kosinus trigonometri, jadual menunjukkan nilai untuk sudut berikut: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 dalam darjah, yang sepadan dengan cos 0 pi , cos pi by 6, cos pi by 4, cos pi by 3, cos pi by 2, cos pi, cos 3 pi by 2, cos 2 pi dalam ukuran radian sudut. Jadual sekolah kosinus.

Jadual trigonometri untuk fungsi tangen trigonometri memberikan nilai untuk sudut berikut: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 dalam ukuran darjah, yang sepadan dengan tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi dalam ukuran radian sudut. Nilai berikut bagi fungsi tangen trigonometri tidak ditakrifkan tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 dan dianggap sama dengan infiniti.

Untuk kotangen fungsi trigonometri dalam jadual trigonometri, nilai sudut berikut diberikan: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 dalam ukuran darjah, yang sepadan dengan ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 dalam ukuran radian sudut. Nilai berikut bagi fungsi kotangen trigonometri tidak ditakrifkan ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi dan dianggap sama dengan infiniti.

Nilai bagi fungsi trigonometri sekan dan kosekan diberikan untuk sudut yang sama dalam darjah dan radian seperti sinus, kosinus, tangen, kotangen.

Jadual nilai fungsi trigonometri sudut bukan piawai menunjukkan nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut dalam darjah 15, 18, 22.5, 36, 54, 67.5 72 darjah dan dalam radian pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radian. Nilai fungsi trigonometri dinyatakan dalam bentuk pecahan dan punca kuasa dua untuk memudahkan pengurangan pecahan dalam contoh sekolah.

Tiga lagi raksasa trigonometri. Yang pertama ialah tangen 1.5 satu setengah darjah atau pi dibahagikan dengan 120. Yang kedua ialah kosinus pi dibahagikan dengan 240, pi/240. Yang terpanjang ialah kosinus pi dibahagikan dengan 17, pi/17.

Bulatan trigonometri nilai fungsi sinus dan kosinus secara visual mewakili tanda sinus dan kosinus bergantung pada magnitud sudut. Khusus untuk berambut perang, nilai kosinus digariskan dengan sempang hijau untuk mengurangkan kekeliruan. Penukaran darjah kepada radian juga ditunjukkan dengan jelas apabila radian dinyatakan dalam sebutan pi.

Jadual trigonometri ini membentangkan nilai sinus, kosinus, tangen, dan kotangen untuk sudut dari 0 sifar hingga 90 sembilan puluh darjah pada selang satu darjah. Untuk empat puluh lima darjah pertama, nama fungsi trigonometri harus dilihat di bahagian atas jadual. Lajur pertama mengandungi darjah, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditulis dalam empat lajur seterusnya.

Untuk sudut dari empat puluh lima darjah hingga sembilan puluh darjah, nama-nama fungsi trigonometri ditulis di bahagian bawah jadual. Lajur terakhir mengandungi darjah; nilai kosinus, sinus, kotangen dan tangen ditulis dalam empat lajur sebelumnya. Anda harus berhati-hati kerana nama fungsi trigonometri di bahagian bawah jadual trigonometri adalah berbeza daripada nama di bahagian atas jadual. Sinus dan kosinus saling bertukar, sama seperti tangen dan kotangen. Ini disebabkan oleh simetri nilai fungsi trigonometri.

Tanda-tanda fungsi trigonometri ditunjukkan dalam rajah di atas. Sinus mempunyai nilai positif dari 0 hingga 180 darjah, atau 0 hingga pi. Sinus mempunyai nilai negatif dari 180 hingga 360 darjah atau dari pi hingga 2 pi. Nilai kosinus adalah positif dari 0 hingga 90 dan 270 hingga 360 darjah, atau 0 hingga 1/2 pi dan 3/2 hingga 2 pi. Tangen dan kotangen mempunyai nilai positif dari 0 hingga 90 darjah dan dari 180 hingga 270 darjah, sepadan dengan nilai dari 0 hingga 1/2 pi dan pi hingga 3/2 pi. Nilai negatif tangen dan kotangen adalah dari 90 hingga 180 darjah dan dari 270 hingga 360 darjah, atau dari 1/2 pi hingga pi dan dari 3/2 pi hingga 2 pi. Apabila menentukan tanda-tanda fungsi trigonometri untuk sudut lebih besar daripada 360 darjah atau 2 pi, anda harus menggunakan sifat berkala bagi fungsi ini.

Fungsi trigonometri sinus, tangen dan kotangen ialah fungsi ganjil. Nilai fungsi ini untuk sudut negatif akan menjadi negatif. Kosinus ialah fungsi trigonometri genap—nilai kosinus untuk sudut negatif akan menjadi positif. Peraturan tanda mesti dipatuhi semasa mendarab dan membahagi fungsi trigonometri.

Akar 2/2 ialah berapa pi?— Ia berlaku dalam cara yang berbeza (lihat gambar). Anda perlu tahu fungsi trigonometri yang sama dengan punca dua dibahagikan dengan dua.

Jika anda menyukai siaran itu dan ingin mengetahui lebih lanjut, saya mempunyai lebih banyak lagi dalam usaha.

cos pi dibahagikan dengan 2

Laman Utama > Direktori > Formula matematik.

Formula matematik.

Tukar radian kepada darjah.
A d = A r * 180 / pi

Menukar darjah kepada radian.
A r = A d * pi / 180
Di mana A d ialah sudut dalam darjah, A r ialah sudut dalam radian.

Ukur lilit.
L = 2 * pi * R

Panjang lengkok bulatan.
L=A*R

Luas segi tiga.

p=(a+b+c)/2 - separuh perimeter.

Luas bulatan.
S = pi * R 2

Kawasan sektor.
S = L d * R/2 = (A * R 2)/2

Luas permukaan bola.
S = 4 * pi * R 2

S = 2 * pi * R * H

Di mana S ialah luas permukaan sisi silinder, R ialah jejari tapak silinder, H ialah ketinggian silinder.

S = pi * R * L

S = pi * R * L + pi * R 2

Isipadu bola.
V = 4 / 3 * pi * R 3

Isipadu silinder.
V = pi * R 2 * H

Isipadu kon.

Disiarkan: 15/01/13
Kemas kini: 11/15/14
Jumlah paparan: 10754
hari ini: 1

Laman Utama > Direktori > Formula matematik.

Egor

Selamat petang! Anda bertanya soalan yang sangat menarik, saya harap kami dapat membantu anda.

Bagaimana untuk menyelesaikan C1. Pelajaran 2. Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam Matematik 2014

Anda dan saya perlu menyelesaikan masalah berikut: cari cos pi dibahagikan dengan 2.
Selalunya, untuk menyelesaikan masalah sedemikian, anda perlu menentukan eksponen kosinus atau sinus. Untuk sudut dari 0 hingga 360 darjah, hampir semua nilai cos atau sin boleh didapati dengan mudah dalam plat sepadan yang wujud dan tersebar luas, seperti ini:

Tetapi anda dan saya tidak mempunyai sinus (dosa), tetapi kosinus. Mari kita fahami dahulu apa itu kosinus. Cos (kosinus) ialah salah satu fungsi trigonometri. Untuk mengira kosinus segi tiga tegak akut, anda perlu mengetahui nisbah sisi sudut bersebelahan dengan hipotenus. Pi kosinus dibahagikan dengan 2 boleh dikira dengan mudah menggunakan formula trigonometri, yang merujuk kepada formula trigonometri piawai. Tetapi jika kita bercakap tentang nilai pi kosinus dibahagikan dengan 2, maka untuk ini kita akan menggunakan jadual yang telah kita sebutkan lebih daripada sekali:

Semoga berjaya kepada anda dalam penyelesaian masa depan untuk tugasan yang serupa!
Jawapan:

Laman Utama > Direktori > Formula matematik.

Formula matematik.

Tukar radian kepada darjah.
A d = A r * 180 / pi

Menukar darjah kepada radian.
A r = A d * pi / 180
Di mana A d ialah sudut dalam darjah, A r ialah sudut dalam radian.

Ukur lilit.
L = 2 * pi * R
Di mana L ialah lilitan, R ialah jejari bulatan.

Panjang lengkok bulatan.
L=A*R
Di mana L ialah panjang lengkok bulat, R ialah jejari bulatan, A ialah sudut pusat, dinyatakan dalam radian.
Untuk bulatan A = 2*pi (360 darjah), kita dapat L = 2*pi*R.

Luas segi tiga.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
Di mana S ialah luas segi tiga, a, b, c ialah panjang sisi,
p=(a+b+c)/2 - separuh perimeter.

Luas bulatan.
S = pi * R 2
Di mana S ialah luas bulatan, R ialah jejari bulatan.

Kawasan sektor.
S = L d * R/2 = (A * R 2)/2
Di mana S ialah luas sektor, R ialah jejari bulatan, L d ialah panjang lengkok.

Luas permukaan bola.
S = 4 * pi * R 2
Di mana S ialah luas permukaan bola, R ialah jejari bola.

Luas permukaan sisi silinder.
S = 2 * pi * R * H
Di mana S ialah luas permukaan sisi silinder, R ialah jejari tapak silinder, H ialah ketinggian silinder.

Jumlah luas permukaan silinder.
S = 2 * pi * R * H + 2 * pi * R 2
Di mana S ialah luas permukaan sisi silinder, R ialah jejari tapak silinder, H ialah ketinggian silinder.

Luas permukaan sisi kon.
S = pi * R * L
Di mana S ialah luas permukaan sisi kon, R ialah jejari tapak kon, L ialah panjang generatriks kon.

Jumlah luas permukaan kon.
S = pi * R * L + pi * R 2
Di mana S ialah jumlah luas permukaan kon, R ialah jejari tapak kon, L ialah panjang generatriks kon.

Isipadu bola.
V = 4 / 3 * pi * R 3
Di mana V ialah isipadu bola, R ialah jejari bola itu.

Isipadu silinder.
V = pi * R 2 * H
Di mana V ialah isipadu silinder, R ialah jejari tapak silinder, H ialah ketinggian silinder.

Isipadu kon.
V = pi * R * L = pi * R * H/cos (A/2) = pi * R * R/sin (A/2)
Di mana V ialah isipadu kon, R ialah jejari tapak kon, L ialah panjang generatriks kon, A ialah sudut pada puncak kon.

Disiarkan: 15/01/13
Kemas kini: 11/15/14
Jumlah paparan: 10742
hari ini: 1

Laman Utama > Direktori > Formula matematik.

Egor
Anda boleh mengikat wayar ke terminal bateri Crohn dengan potongan tiub dari penutup jarum perubatan.

Ukuran darjah sudut. Ukuran sudut radian. Menukar darjah kepada radian dan sebaliknya.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Dalam pelajaran lepas kita belajar cara mengukur sudut pada bulatan trigonometri. Mempelajari cara mengira sudut positif dan negatif. Kami belajar cara melukis sudut yang lebih besar daripada 360 darjah. Sudah tiba masanya untuk memikirkan cara mengukur sudut. Terutama dengan nombor "Pi", yang cuba mengelirukan kita dalam tugas yang rumit, ya...

Masalah standard dalam trigonometri dengan nombor "Pi" diselesaikan dengan baik. Memori visual membantu. Tetapi sebarang penyelewengan dari templat adalah bencana! Untuk mengelakkan jatuh - faham perlu. Inilah yang akan kita lakukan sekarang dengan kejayaan. Maksud saya, kita akan faham segala-galanya!

Jadi, apa adakah sudut dikira? Dalam kursus trigonometri sekolah, dua ukuran digunakan: ukuran darjah sudut Dan ukuran sudut radian. Mari kita lihat langkah-langkah ini. Tanpa ini, tiada tempat dalam trigonometri.

Ukuran darjah sudut.

Kami entah bagaimana sudah biasa dengan ijazah. Sekurang-kurangnya kita lulus geometri... Dan dalam kehidupan kita sering menjumpai frasa "berpusing 180 darjah," sebagai contoh. Pendek kata, ijazah adalah perkara yang mudah...

ya? Jawab saya kemudian apa itu ijazah? Apa, ia tidak berjaya serta-merta? itu sahaja...

Ijazah dicipta di Babylon Purba. Ia sudah lama dahulu... 40 abad yang lalu... Dan mereka datang dengan idea yang mudah. Mereka mengambil dan membahagi bulatan itu kepada 360 bahagian yang sama. 1 darjah ialah 1/360 bulatan. Itu sahaja. Mereka boleh memecahkannya kepada 100 keping. Atau 1000. Tetapi mereka membahagikannya kepada 360. By the way, kenapa betul-betul 360? Bagaimanakah 360 lebih baik daripada 100? 100 nampaknya lebih lancar... Cuba jawab soalan ini. Atau lemah terhadap Babylon Purba?

Di suatu tempat pada masa yang sama, di Mesir Purba mereka diseksa oleh soalan lain. Berapa kali panjang bulatan lebih besar daripada panjang diameternya? Dan mereka mengukurnya dengan cara ini, dan dengan cara itu... Semuanya ternyata lebih sedikit daripada tiga. Tetapi entah bagaimana ia ternyata berbulu, tidak rata... Tetapi mereka, orang Mesir, tidak boleh dipersalahkan. Selepas mereka, mereka menderita selama 35 abad lagi. Sehingga mereka akhirnya membuktikan bahawa tidak kira betapa halusnya anda memotong bulatan menjadi kepingan yang sama, daripada kepingan tersebut anda boleh buat licin panjang diameter adalah mustahil ... Pada dasarnya, ia adalah mustahil. Sudah tentu, berapa kali lilitan lebih besar daripada diameter yang ditetapkan. lebih kurang. 3.1415926... kali.

Ini ialah nombor "Pi". Sangat berbulu, jadi berbulu. Selepas titik perpuluhan terdapat bilangan nombor yang tidak terhingga tanpa sebarang susunan... Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional. Ini, dengan cara ini, bermakna bahawa dari kepingan bulatan yang sama diameternya licin jangan lipat. tidak pernah.

Untuk kegunaan praktikal, adalah kebiasaan untuk mengingat hanya dua digit selepas titik perpuluhan. Ingat:

Memandangkan kita faham bahawa lilitan bulatan lebih besar daripada diameternya mengikut masa "Pi", masuk akal untuk mengingati formula untuk lilitan bulatan:

di mana L- lilitan, dan d- diameternya.

Berguna dalam geometri.

Untuk pendidikan umum, saya akan menambah bahawa nombor "Pi" ditemui bukan sahaja dalam geometri... Dalam pelbagai cabang matematik, dan terutamanya dalam teori kebarangkalian, nombor ini muncul secara berterusan! Dengan sendirinya. Di luar keinginan kita. Macam ni.

Tetapi mari kita kembali ke darjah. Pernahkah anda mengetahui mengapa di Babylon Purba bulatan dibahagikan kepada 360 bahagian yang sama? Dan bukan dengan 100, sebagai contoh? Tidak? OKEY. Saya akan memberi anda versi. Anda tidak boleh bertanya kepada orang Babylon kuno... Untuk pembinaan, atau, katakan, astronomi, adalah mudah untuk membahagikan bulatan kepada bahagian yang sama. Sekarang tentukan nombor apa yang boleh dibahagi dengannya sepenuhnya 100, dan yang mana - 360? Dan dalam versi apa pembahagi ini sepenuhnya- lagi? Bahagian ini sangat mudah untuk orang ramai. Tetapi...

Ternyata lebih lewat daripada Babylon Purba, tidak semua orang menyukai ijazah. Matematik yang lebih tinggi tidak menyukai mereka... Matematik yang lebih tinggi adalah wanita yang serius, diatur mengikut undang-undang alam. Dan wanita ini mengisytiharkan: "Hari ini anda memecahkan bulatan kepada 360 bahagian, esok anda akan memecahkannya kepada 100, lusa menjadi 245... Dan apa yang harus saya lakukan, benar-benar ..." Saya terpaksa mendengar. Anda tidak boleh menipu alam ...

Kami terpaksa memperkenalkan ukuran sudut yang tidak bergantung pada ciptaan manusia. Bertemu - radian!

Ukuran sudut radian.

Apakah radian? Takrifan radian masih berdasarkan bulatan. Sudut 1 radian ialah sudut yang memotong lengkok daripada bulatan yang panjangnya ( L) adalah sama dengan panjang jejari ( R). Jom tengok gambar.

Sudut yang begitu kecil, ia hampir tidak wujud... Kami menggerakkan kursor ke atas gambar (atau menyentuh gambar pada tablet) dan kami melihat kira-kira satu radian. L = R

Adakah anda merasakan perbezaannya?

Satu radian adalah lebih daripada satu darjah. berapa kali?

Jom tengok gambar seterusnya. Di mana saya melukis separuh bulatan. Sudut terbentang adalah, secara semula jadi, 180°.

Sekarang saya akan memotong separuh bulatan ini kepada radian! Kami tuding kursor pada gambar dan melihat bahawa 180° muat 3 setengah radian.

Siapa boleh teka dengan apa ekor ini!?

Ya! Ekor ini ialah 0.1415926.... Hello, nombor "Pi", kami masih belum melupakan anda!

Memang 180° darjah mengandungi 3.1415926... radian. Seperti yang anda sendiri faham, menulis 3.1415926 sepanjang masa... menyusahkan. Oleh itu, bukannya nombor tak terhingga ini, mereka sentiasa menulis dengan ringkas:

Tetapi di Internet nombor

Menyusahkan untuk menulis... Itulah sebabnya saya menulis namanya dalam teks - "Pi". Jangan keliru, okay?...

Sekarang kita boleh menulis anggaran kesaksamaan dengan cara yang benar-benar bermakna:

Atau persamaan tepat:

Mari kita tentukan berapa darjah dalam satu radian. Bagaimana? Dengan mudah! Jika terdapat 180° darjah dalam 3.14 radian, maka terdapat 3.14 kali kurang dalam 1 radian! Iaitu, kita membahagikan persamaan pertama (rumusnya juga persamaan!) dengan 3.14:

Nisbah ini berguna untuk diingati. Satu radian adalah lebih kurang 60°. Dalam trigonometri, anda sering perlu menganggar dan menilai keadaan. Di sinilah ilmu ini banyak membantu.

Tetapi kemahiran utama topik ini ialah menukar darjah kepada radian dan sebaliknya.

Jika sudut diberikan dalam radian dengan nombor "Pi", semuanya sangat mudah. Kita tahu bahawa radian "Pi" = 180°. Jadi kita menggantikan radian untuk "Pi" - 180°. Kami mendapat sudut dalam darjah. Kita kurangkan apa yang dikurangkan, dan jawapannya sudah sedia. Sebagai contoh, kita perlu mengetahui berapa banyak darjah dalam sudut "Pi"/2 radian? Jadi kami menulis:

Atau, ungkapan yang lebih eksotik:

Mudah, kan?

Terjemahan terbalik adalah sedikit lebih rumit. Tetapi tidak banyak. Jika sudut diberikan dalam darjah, kita mesti memikirkan apakah satu darjah sama dengan dalam radian dan darabkan nombor itu dengan bilangan darjah. Apakah 1° sama dengan dalam radian?

Kami melihat formula dan menyedari bahawa jika 180° = "Pi" radian, maka 1° adalah 180 kali lebih kecil. Atau, dalam erti kata lain, kita membahagikan persamaan (rumus juga merupakan persamaan!) dengan 180. Tidak perlu untuk mewakili "Pi" sebagai 3.14 ia sentiasa ditulis dengan huruf; Kami mendapati bahawa satu darjah adalah sama dengan:

Itu sahaja. Kami mendarabkan bilangan darjah dengan nilai ini dan mendapatkan sudut dalam radian. Sebagai contoh:

Atau, serupa:

Seperti yang anda lihat, dalam perbualan santai dengan penyimpangan lirik, ternyata radian adalah sangat mudah. Dan terjemahan itu tiada masalah... Dan "Pi" adalah perkara yang boleh diterima sepenuhnya... Jadi dari mana datangnya kekeliruan itu!?

Saya akan dedahkan rahsianya. Hakikatnya ialah dalam fungsi trigonometri simbol darjah ditulis. Sentiasa. Contohnya, sin35°. Ini sinus 35 darjah . Dan ikon radian ( gembira) - tidak ditulis! Ia tersirat. Sama ada ahli matematik ditimpa kemalasan, atau sesuatu yang lain... Tetapi mereka memutuskan untuk tidak menulis. Jika tiada simbol di dalam kotangen sinus, maka sudutnya ialah dalam radian ! Sebagai contoh, cos3 ialah kosinus bagi tiga radian .

Ini membawa kepada kekeliruan... Seseorang melihat "Pi" dan percaya bahawa ia adalah 180°. Bila-bila masa dan di mana sahaja. By the way, ini berfungsi. Buat masa ini, contoh adalah standard. Tetapi "Pi" ialah nombor! Nombornya ialah 3.14, tetapi bukan darjah! Ini ialah radian "Pi" = 180°!

Sekali lagi: "Pi" ialah nombor! 3.14. Tidak rasional, tetapi nombor. Sama seperti 5 atau 8. Anda boleh, sebagai contoh, melakukan tentang langkah "Pi". Tiga langkah dan sedikit lagi. Atau beli "Pi" kilogram gula-gula. Jika penjual terpelajar terjumpa...

"Pi" ialah nombor! Apa, adakah saya mengganggu anda dengan frasa ini? Adakah anda sudah memahami segala-galanya sejak dahulu lagi? OKEY. Jom semak. Beritahu saya, nombor manakah yang lebih besar?

Atau apa yang kurang?

Ini adalah salah satu siri soalan yang sedikit tidak standard yang boleh menyebabkan anda menjadi buntu...

Jika anda juga telah tertidur, ingat mantra: "Pi" ialah nombor! 3.14. Dalam sinus pertama jelas dinyatakan bahawa sudut adalah dalam darjah! Oleh itu, adalah mustahil untuk menggantikan "Pi" sebanyak 180°! Darjah "Pi" adalah lebih kurang 3.14°. Oleh itu, kita boleh menulis:

Tiada notasi dalam sinus kedua. Jadi, di sana - radian! Di sinilah menggantikan "Pi" sebanyak 180° akan berfungsi dengan baik. Menukar radian kepada darjah, seperti yang ditulis di atas, kita dapat:

Ia kekal untuk membandingkan kedua-dua sinus ini. Apa. terlupa bagaimana? Menggunakan bulatan trigonometri, sudah tentu! Lukis bulatan, lukis sudut anggaran 60° dan 1.05°. Mari kita lihat apakah sinus sudut ini. Ringkasnya, semuanya diterangkan seperti di akhir topik tentang bulatan trigonometri. Pada bulatan (walaupun yang bengkok!) ia akan kelihatan dengan jelas dosa60° lebih ketara daripada dosa1.05°.

Kami akan melakukan perkara yang sama dengan kosinus. Pada bulatan kita akan melukis sudut kira-kira 4 darjah dan 4 radian(Adakah anda terlupa apa 1 radian lebih kurang sama dengan?). Bulatan akan mengatakan segala-galanya! Sudah tentu, cos4 adalah kurang daripada cos4°.

Mari berlatih menggunakan ukuran sudut.

Tukarkan sudut ini daripada darjah kepada radian:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Anda harus mendapatkan nilai ini dalam radian (dalam susunan yang berbeza!)

0

Dengan cara ini, saya secara khusus menyerlahkan jawapan dalam dua baris. Baiklah, mari kita fikirkan apakah sudut pada baris pertama? Sekurang-kurangnya dalam darjah, sekurang-kurangnya dalam radian?

Ya! Ini adalah paksi sistem koordinat! Jika anda melihat bulatan trigonometri, maka sisi bergerak sudut dengan nilai ini sesuai tepat pada kapak. Nilai-nilai ini perlu diketahui. Dan saya perhatikan sudut 0 darjah (0 radian) untuk alasan yang baik. Dan kemudian sesetengah orang tidak dapat mencari sudut ini pada bulatan... Dan, oleh itu, mereka keliru dalam fungsi trigonometri sifar... Perkara lain ialah kedudukan sisi bergerak pada sifar darjah bertepatan dengan kedudukan pada 360°, jadi terdapat benar-benar kebetulan pada bulatan berhampiran.

Dalam baris kedua terdapat juga sudut khas... Ini ialah 30°, 45° dan 60°. Dan apa yang istimewa tentang mereka? Tiada apa yang istimewa. Satu-satunya perbezaan antara sudut ini dan semua sudut lain ialah anda harus tahu tentang sudut ini Semua. Dan di mana ia berada, dan apakah fungsi trigonometri sudut ini. Katakan nilainya dosa100° anda tidak perlu tahu. A dosa45°- tolong jadi baik! Ini adalah pengetahuan wajib, tanpanya tiada apa yang perlu dilakukan dalam trigonometri... Tetapi lebih lanjut mengenai ini dalam pelajaran seterusnya.

Sementara itu, mari kita sambung latihan. Tukarkan sudut-sudut ini daripada radian kepada darjah:

Anda sepatutnya mendapat hasil seperti ini (dalam keadaan kucar-kacir):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Terjadi? Kemudian kita boleh menganggapnya menukar darjah kepada radian dan belakang- bukan lagi masalah anda.) Tetapi menterjemah sudut adalah langkah pertama untuk memahami trigonometri. Di sana anda juga perlu bekerja dengan sinus dan kosinus. Dan dengan tangen dan kotangen juga...

Langkah kedua yang berkuasa ialah keupayaan untuk menentukan kedudukan mana-mana sudut pada bulatan trigonometri. Baik dalam darjah dan radian. Saya akan memberi anda petunjuk yang membosankan tentang kemahiran ini sepanjang trigonometri, ya...) Jika anda tahu segala-galanya (atau rasa anda tahu segala-galanya) tentang bulatan trigonometri, dan ukuran sudut pada bulatan trigonometri, anda boleh menyemaknya. Selesaikan tugas mudah ini:

1. Suku manakah sudut jatuh ke dalam:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Dengan mudah? Jom sambung:

2. Suku manakah sudut jatuh ke dalam:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Tiada masalah juga? Nah, lihat...)

3. Anda boleh meletakkan sudut dalam suku:

Bolehkah awak? Nah, anda berikan..)

4. Paksi yang manakah akan jatuh pada sudut:

dan sudut:

Adakah ia mudah juga? Hm...)

5. Suku manakah sudut jatuh ke dalam:

Dan ia berjaya!? Nah, saya benar-benar tidak tahu ...)

6. Tentukan suku sudut mana yang jatuh ke dalam:

1, 2, 3 dan 20 radian.

Saya akan memberikan jawapan hanya kepada soalan terakhir (ia agak rumit) tugas terakhir. Sudut 20 radian akan jatuh pada suku pertama.

Saya tidak akan memberikan jawapan yang lain, bukan kerana tamak.) Mudah sahaja, jika anda belum membuat keputusan sesuatu anda meraguinya akibatnya, atau dibelanjakan untuk tugas No. 4 lebih daripada 10 saat, anda kurang berorientasikan dalam bulatan. Ini akan menjadi masalah anda dalam semua trigonometri. Adalah lebih baik untuk menyingkirkannya (masalahnya, bukan trigonometri!) dengan segera. Ini boleh dilakukan dalam topik: Kerja amali dengan bulatan trigonometri di bahagian 555.

Ia memberitahu anda cara menyelesaikan tugasan tersebut dengan mudah dan betul. Sudah tentu, tugas-tugas ini telah diselesaikan. Dan tugas keempat diselesaikan dalam masa 10 saat. Ya, telah diputuskan bahawa sesiapa sahaja boleh melakukannya!

Jika anda benar-benar yakin dengan jawapan anda dan anda tidak berminat dengan cara yang mudah dan bebas masalah untuk bekerja dengan radian, anda tidak perlu melawati 555. Saya tidak mendesak.)

Pemahaman yang baik adalah alasan yang cukup baik untuk meneruskan!)

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Terdapat beberapa pilihan untuk mengira nilai ungkapan cos (3 / 2 Pi).

Pilihan pertama. Penggunaan
Pilihan ini adalah yang paling mudah dan paling mudah dan terdiri daripada fakta bahawa anda perlu mencari nilai yang sepadan dalam jadual.

Terdapat banyak jenis jadual, sesetengah daripadanya mengemukakan hujah hanya dalam radian, yang lain dalam darjah, dan beberapa yang mengandungi kedua-dua radian dan darjah.
Kadangkala masih berguna untuk menukar nilai sudut kepada darjah untuk memudahkan anda melihat nilai kosinus. Tetapi tidak dilarang menggunakan jadual dengan darjah dan radian)).
Daripada jadual kita menentukan nilai kosinus dari 3 Pi / 2 - ini adalah 0.
tatatanda matematik:

Pilihan kedua. .
Pilihan yang mudah jika jadual fungsi trigonometri tidak tersedia. Di sini nilai fungsi trigonometri boleh ditentukan menggunakan bulatan trigonometri.


Pada bulatan trigonometri (atau bulatan), nilai fungsi kosinus terletak pada paksi absis.
Mengikut tugasan, hujah fungsi ialah 3 Pi / 2. Pada bulatan, nilai ini berada pada paksi ordinat di bahagian paling bawah. Untuk mengira nilai fungsi tertentu, anda perlu menurunkan serenjang dengan paksi Ox, selepas itu kita mendapat nilai 0. Oleh itu, kosinus 3 Pi / 2 adalah sama dengan 0.

Pilihan ketiga. Penggunaan .
Jika tiada jadual, dan sukar untuk menavigasi bulatan trigonometri, maka adalah berguna untuk menggunakan graf kosinus, dari mana anda juga boleh menentukan nilainya.

Ringkasnya, ini adalah sayur-sayuran yang dimasak dalam air mengikut resipi istimewa. Saya akan mempertimbangkan dua komponen awal (salad sayuran dan air) dan hasil siap - borscht. Secara geometri, ia boleh dianggap sebagai segi empat tepat, dengan satu sisi mewakili salad dan sebelah lagi mewakili air. Jumlah kedua-dua belah ini akan menunjukkan borscht. Diagonal dan luas segi empat tepat "borscht" sedemikian adalah konsep matematik semata-mata dan tidak pernah digunakan dalam resipi borscht.

Bagaimanakah salad dan air bertukar menjadi borscht dari sudut pandangan matematik? Bagaimanakah jumlah dua ruas garis boleh menjadi trigonometri? Untuk memahami ini, kita memerlukan fungsi sudut linear.

Anda tidak akan menemui apa-apa tentang fungsi sudut linear dalam buku teks matematik. Tetapi tanpa mereka tidak mungkin ada matematik. Undang-undang matematik, seperti undang-undang alam, berfungsi tanpa mengira sama ada kita tahu tentang kewujudannya atau tidak.

Fungsi sudut linear ialah hukum penambahan. Lihat bagaimana algebra bertukar kepada geometri dan geometri bertukar kepada trigonometri.

Adakah mungkin dilakukan tanpa fungsi sudut linear? Ia mungkin, kerana ahli matematik masih berjaya tanpa mereka. Helah ahli matematik ialah mereka selalu memberitahu kami tentang masalah yang mereka sendiri tahu bagaimana untuk menyelesaikannya, dan tidak pernah memberitahu kami tentang masalah yang tidak dapat mereka selesaikan. Tengok. Jika kita tahu hasil penambahan dan satu sebutan, kita gunakan penolakan untuk mencari sebutan yang lain. Semua. Kami tidak tahu masalah lain dan kami tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikannya. Apakah yang perlu kita lakukan jika kita hanya mengetahui hasil penambahan dan tidak mengetahui kedua-dua istilah? Dalam kes ini, hasil penambahan mesti diuraikan kepada dua sebutan menggunakan fungsi sudut linear. Seterusnya, kita sendiri memilih apa yang boleh menjadi satu istilah, dan fungsi sudut linear menunjukkan apa yang sepatutnya menjadi sebutan kedua supaya hasil penambahan adalah tepat seperti yang kita perlukan. Mungkin terdapat bilangan tak terhingga pasangan istilah sedemikian. Dalam kehidupan seharian, kita bergaul dengan baik tanpa mengurai jumlahnya; Tetapi dalam penyelidikan saintifik ke dalam undang-undang alam, menguraikan jumlah ke dalam komponennya boleh menjadi sangat berguna.

Satu lagi undang-undang penambahan yang ahli matematik tidak suka bercakap tentang (satu lagi helah mereka) memerlukan istilah mempunyai unit ukuran yang sama. Untuk salad, air dan borscht, ini boleh menjadi unit berat, isipadu, nilai atau unit ukuran.

Rajah menunjukkan dua aras perbezaan bagi matematik . Tahap pertama ialah perbezaan dalam bidang nombor, yang ditunjukkan a, b, c. Inilah yang dilakukan oleh ahli matematik. Tahap kedua ialah perbezaan dalam bidang unit ukuran, yang ditunjukkan dalam kurungan persegi dan ditunjukkan oleh huruf U. Inilah yang dilakukan oleh ahli fizik. Kita boleh memahami tahap ketiga - perbezaan dalam kawasan objek yang diterangkan. Objek yang berbeza boleh mempunyai bilangan unit ukuran yang sama. Betapa pentingnya ini, kita boleh lihat dalam contoh trigonometri borscht. Jika kita menambah subskrip pada penetapan unit yang sama untuk objek yang berbeza, kita boleh menyatakan dengan tepat kuantiti matematik yang menerangkan objek tertentu dan cara ia berubah dari semasa ke semasa atau disebabkan tindakan kita. surat W Saya akan menetapkan air dengan surat S Saya akan menetapkan salad dengan surat B- borsch. Inilah yang akan kelihatan seperti fungsi sudut linear untuk borscht.

Jika kita mengambil sebahagian daripada air dan sebahagian daripada salad, bersama-sama mereka akan bertukar menjadi satu bahagian borscht. Di sini saya cadangkan anda berehat sedikit dari borscht dan ingat zaman kanak-kanak anda yang jauh. Ingat bagaimana kita diajar untuk menyatukan arnab dan itik? Ia adalah perlu untuk mencari berapa banyak haiwan yang akan ada. Apa yang kita diajar untuk lakukan ketika itu? Kami diajar untuk mengasingkan unit ukuran daripada nombor dan menambah nombor. Ya, mana-mana satu nombor boleh ditambah kepada mana-mana nombor lain. Ini adalah laluan langsung kepada autisme matematik moden - kami melakukannya dengan tidak dapat difahami apa, tidak dapat difahami mengapa, dan sangat kurang memahami bagaimana ini berkaitan dengan realiti, kerana tiga tahap perbezaan, ahli matematik beroperasi dengan hanya satu. Adalah lebih tepat untuk mempelajari cara bergerak dari satu unit ukuran ke unit pengukuran yang lain.

Arnab, itik dan haiwan kecil boleh dikira dalam kepingan. Satu unit ukuran biasa untuk objek yang berbeza membolehkan kami menambahnya bersama-sama. Ini adalah versi masalah kanak-kanak. Mari kita lihat masalah yang sama untuk orang dewasa. Apa yang anda dapat apabila anda menambah arnab dan wang? Di sini kami boleh menawarkan dua penyelesaian.

Pilihan pertama. Kami menentukan nilai pasaran arnab dan menambahkannya pada jumlah wang yang ada. Kami telah menerima jumlah nilai kekayaan kami dari segi kewangan.

Pilihan kedua. Anda boleh menambah bilangan arnab kepada bilangan wang kertas yang kami ada. Kami akan menerima jumlah harta alih secara berkeping-keping.

Seperti yang anda lihat, undang-undang penambahan yang sama membolehkan anda mendapatkan hasil yang berbeza. Semuanya bergantung pada apa sebenarnya yang kita ingin tahu.

Tetapi mari kita kembali kepada borscht kami. Sekarang kita boleh melihat apa yang akan berlaku untuk nilai sudut yang berbeza bagi fungsi sudut linear.

Sudut adalah sifar. Kami mempunyai salad, tetapi tiada air. Kami tidak boleh memasak borscht. Jumlah borscht juga sifar. Ini tidak bermakna sama sekali bahawa sifar borscht adalah sama dengan sifar air. Boleh ada borscht sifar dengan salad sifar (sudut kanan).

Bagi saya secara peribadi, ini adalah bukti matematik utama fakta bahawa . Sifar tidak menukar nombor apabila ditambah. Ini berlaku kerana penambahan itu sendiri adalah mustahil jika hanya terdapat satu istilah dan istilah kedua hilang. Anda boleh merasakan perkara ini sesuka hati, tetapi ingat - semua operasi matematik dengan sifar dicipta oleh ahli matematik sendiri, jadi buang logik anda dan secara bodoh menjejalkan definisi yang dicipta oleh ahli matematik: "pembahagian dengan sifar adalah mustahil", "sebarang nombor didarab dengan sifar sama dengan sifar” , “di luar titik sifar” dan perkara karut lain. Cukuplah untuk mengingati sekali bahawa sifar bukan nombor, dan anda tidak akan mempunyai soalan lagi sama ada sifar adalah nombor asli atau tidak, kerana soalan sedemikian kehilangan semua makna: bagaimana sesuatu yang bukan nombor boleh dianggap sebagai nombor ? Ia seperti bertanya apakah warna yang tidak kelihatan harus dikelaskan. Menambah sifar pada nombor adalah sama seperti melukis dengan cat yang tiada. Kami melambai berus kering dan memberitahu semua orang bahawa "kami melukis." Tetapi saya menyimpang sedikit.

Sudut lebih besar daripada sifar tetapi kurang daripada empat puluh lima darjah. Kami mempunyai banyak salad, tetapi tidak cukup air. Akibatnya, kita akan mendapat borscht tebal.

Sudutnya ialah empat puluh lima darjah. Kami mempunyai kuantiti air dan salad yang sama. Ini adalah borscht yang sempurna (maafkan saya, chef, ini hanya matematik).

Sudutnya lebih besar daripada empat puluh lima darjah, tetapi kurang daripada sembilan puluh darjah. Kami mempunyai banyak air dan sedikit salad. Anda akan mendapat borscht cecair.

Sudut tepat. Kami ada air. Semua yang tinggal pada salad adalah kenangan, sambil kami terus mengukur sudut dari garisan yang pernah menandakan salad. Kami tidak boleh memasak borscht. Jumlah borscht adalah sifar. Dalam kes ini, tahan dan minum air semasa anda mempunyainya)))

Di sini. Sesuatu seperti ini. Saya boleh menceritakan kisah lain di sini yang lebih sesuai di sini.

Dua orang rakan mempunyai saham mereka dalam perniagaan bersama. Selepas membunuh salah seorang daripada mereka, semuanya pergi ke yang lain.

Kemunculan matematik di planet kita.

Semua cerita ini diceritakan dalam bahasa matematik menggunakan fungsi sudut linear. Pada masa lain saya akan menunjukkan kepada anda tempat sebenar fungsi ini dalam struktur matematik. Sementara itu, mari kita kembali ke trigonometri borscht dan pertimbangkan unjuran.

Sabtu, 26 Oktober 2019

Saya menonton video yang menarik tentang Siri Grundy Satu tolak satu tambah satu tolak satu - Numberphile. Ahli matematik berbohong. Mereka tidak melakukan pemeriksaan kesaksamaan semasa penaakulan mereka.

Ini bergema pemikiran saya tentang .

Mari kita lihat lebih dekat tanda-tanda bahawa ahli matematik menipu kita. Pada permulaan hujah, ahli matematik mengatakan bahawa jumlah jujukan BERGANTUNG sama ada ia mempunyai bilangan unsur genap atau tidak. Ini adalah FAKTA YANG DITETAPKAN SECARA OBJEKTIF. Apa yang berlaku seterusnya?

Seterusnya, ahli matematik menolak jujukan daripada perpaduan. Ini membawa kepada apa? Ini membawa kepada perubahan dalam bilangan unsur jujukan - nombor genap bertukar kepada nombor ganjil, nombor ganjil bertukar kepada nombor genap. Lagipun, kami menambah satu elemen yang sama dengan satu pada urutan. Walaupun semua persamaan luaran, urutan sebelum penjelmaan tidak sama dengan urutan selepas penjelmaan. Walaupun kita bercakap tentang jujukan tak terhingga, kita mesti ingat bahawa jujukan tak terhingga dengan bilangan unsur ganjil tidak sama dengan jujukan tak terhingga dengan bilangan unsur genap.

Dengan meletakkan tanda sama antara dua jujukan dengan bilangan unsur yang berbeza, ahli matematik mendakwa bahawa jumlah jujukan itu TIDAK BERGANTUNG pada bilangan unsur dalam jujukan, yang bercanggah dengan FAKTA YANG DITETAPKAN SECARA OBJEKTIF. Penalaran lanjut tentang jumlah jujukan tak terhingga adalah palsu, kerana ia berdasarkan kesamaan palsu.

Jika anda melihat bahawa ahli matematik, semasa membuat pembuktian, meletakkan kurungan, menyusun semula elemen ungkapan matematik, menambah atau mengalih keluar sesuatu, berhati-hati, kemungkinan besar mereka cuba menipu anda. Seperti ahli silap mata kad, ahli matematik menggunakan pelbagai manipulasi ekspresi untuk mengalih perhatian perhatian anda agar akhirnya memberi anda keputusan palsu. Sekiranya anda tidak dapat mengulangi helah kad tanpa mengetahui rahsia penipuan, maka dalam matematik semuanya lebih mudah: anda tidak mengesyaki apa-apa tentang penipuan, tetapi mengulangi semua manipulasi dengan ungkapan matematik membolehkan anda meyakinkan orang lain tentang ketepatan keputusan yang diperolehi, sama seperti apabila -mereka meyakinkan anda.

Soalan daripada penonton: Adakah infiniti (sebagai bilangan unsur dalam urutan S) genap atau ganjil? Bagaimanakah anda boleh menukar pariti sesuatu yang tidak mempunyai pariti?

Infiniti adalah untuk ahli matematik kerana Kerajaan Syurga adalah untuk imam - tiada siapa yang pernah ke sana, tetapi semua orang tahu dengan tepat bagaimana semuanya berfungsi di sana))) Saya bersetuju, selepas kematian anda akan benar-benar tidak peduli sama ada anda hidup dalam bilangan genap atau ganjil. hari, tetapi... Menambah hanya satu hari ke dalam permulaan hidup anda, kita akan mendapat orang yang sama sekali berbeza: nama keluarga, nama pertama dan patronimiknya betul-betul sama, hanya tarikh lahir yang berbeza sama sekali - dia dilahirkan satu hari sebelum anda.

Sekarang mari kita ke intinya))) Katakan urutan terhingga yang mempunyai pariti kehilangan pariti ini apabila pergi ke infiniti. Kemudian mana-mana segmen terhingga bagi jujukan tak terhingga mesti kehilangan pariti. Kami tidak nampak ini. Hakikat bahawa kita tidak boleh mengatakan dengan pasti sama ada urutan tak terhingga mempunyai bilangan elemen genap atau ganjil tidak bermakna pariti telah hilang. Pariti, jika wujud, tidak boleh hilang tanpa jejak ke infiniti, seperti dalam lengan sharpie. Terdapat analogi yang sangat baik untuk kes ini.

Pernahkah anda bertanya pada cuckoo yang duduk dalam jam ke arah mana jarum jam berputar? Baginya, anak panah berputar ke arah yang bertentangan dengan apa yang kita panggil "mengikut arah jam". Walaupun kedengaran paradoks, arah putaran bergantung semata-mata pada bahagian mana kita memerhatikan putaran itu. Jadi, kita mempunyai satu roda yang berputar. Kita tidak boleh mengatakan ke arah mana putaran berlaku, kerana kita boleh memerhatikannya dari satu sisi satah putaran dan dari yang lain. Kami hanya boleh memberi keterangan bahawa terdapat putaran. Analogi lengkap dengan pariti urutan tak terhingga S.

Sekarang mari kita tambahkan roda berputar kedua, satah putarannya selari dengan satah putaran roda berputar pertama. Kami masih tidak dapat mengatakan dengan pasti ke arah mana roda ini berputar, tetapi kami benar-benar boleh mengetahui sama ada kedua-dua roda berputar ke arah yang sama atau ke arah yang bertentangan. Membandingkan dua jujukan tak terhingga S Dan 1-S, saya menunjukkan dengan bantuan matematik bahawa jujukan ini mempunyai pariti yang berbeza dan meletakkan tanda sama di antara mereka adalah satu kesilapan. Secara peribadi, saya mempercayai matematik, saya tidak mempercayai ahli matematik))) Dengan cara ini, untuk memahami sepenuhnya geometri transformasi urutan tak terhingga, perlu memperkenalkan konsep "keserentakan". Ini perlu dilukis.

Rabu, 7 Ogos 2019

Mengakhiri perbualan tentang, kita perlu mempertimbangkan set tak terhingga. Maksudnya ialah konsep "infiniti" memberi kesan kepada ahli matematik seperti boa constrictor mempengaruhi arnab. Kengerian infiniti yang menggeletar menyebabkan ahli matematik hilang akal. Berikut ialah contoh:

Sumber asal terletak. Alpha bermaksud nombor nyata. Tanda sama dalam ungkapan di atas menunjukkan bahawa jika anda menambah nombor atau infiniti kepada infiniti, tiada apa yang akan berubah, hasilnya akan menjadi infiniti yang sama. Jika kita mengambil set nombor asli tak terhingga sebagai contoh, maka contoh yang dipertimbangkan boleh diwakili dalam bentuk berikut:

Untuk membuktikan dengan jelas bahawa mereka betul, ahli matematik datang dengan banyak kaedah yang berbeza. Secara peribadi, saya melihat semua kaedah ini sebagai bomoh yang menari dengan rebana. Pada asasnya, mereka semua menerima hakikat bahawa sama ada beberapa bilik tidak berpenghuni dan tetamu baru berpindah masuk, atau sesetengah pelawat dibuang ke koridor untuk memberi ruang kepada tetamu (sangat manusiawi). Saya membentangkan pandangan saya tentang keputusan sedemikian dalam bentuk cerita fantasi tentang Blonde. Apakah alasan saya berdasarkan? Menempatkan semula bilangan pelawat yang tidak terhingga mengambil masa yang tidak terhingga. Selepas kami mengosongkan bilik pertama untuk tetamu, salah seorang pelawat akan sentiasa berjalan di sepanjang koridor dari biliknya ke bilik seterusnya sehingga akhir masa. Sudah tentu, faktor masa boleh diabaikan secara bodoh, tetapi ini akan berada dalam kategori "tiada undang-undang ditulis untuk orang bodoh." Semuanya bergantung pada apa yang kita lakukan: menyesuaikan realiti kepada teori matematik atau sebaliknya.

Apakah itu "hotel tanpa penghujung"? Hotel infinite ialah hotel yang sentiasa mempunyai sebarang bilangan katil kosong, tidak kira berapa banyak bilik yang diduduki. Jika semua bilik di koridor "pelawat" yang tidak berkesudahan diduduki, terdapat satu lagi koridor yang tidak berkesudahan dengan bilik "tetamu". Akan ada bilangan koridor sedemikian yang tidak terhingga. Selain itu, "hotel yang tidak terhingga" mempunyai bilangan tingkat yang tidak terhingga dalam bilangan bangunan yang tidak terhingga pada bilangan planet yang tidak terhingga dalam bilangan alam semesta yang tidak terhingga yang dicipta oleh bilangan Dewa yang tidak terhingga. Ahli matematik tidak dapat menjauhkan diri mereka daripada masalah harian yang cetek: sentiasa ada hanya satu Tuhan-Allah-Buddha, hanya ada satu hotel, hanya ada satu koridor. Oleh itu, ahli matematik cuba menyesuaikan nombor bersiri bilik hotel, meyakinkan kami bahawa adalah mungkin untuk "mendorong ke dalam perkara yang mustahil."

Saya akan menunjukkan logik penaakulan saya kepada anda menggunakan contoh set nombor asli tak terhingga. Mula-mula anda perlu menjawab soalan yang sangat mudah: berapa banyak set nombor asli yang ada - satu atau banyak? Tiada jawapan yang betul untuk soalan ini, kerana kami mencipta nombor sendiri; nombor tidak wujud dalam Alam. Ya, Nature hebat dalam mengira, tetapi untuk ini dia menggunakan alat matematik lain yang tidak biasa kepada kita. Saya akan memberitahu anda apa yang Alam fikirkan lain kali. Oleh kerana kita mencipta nombor, kita sendiri yang akan memutuskan berapa banyak set nombor asli yang ada. Mari kita pertimbangkan kedua-dua pilihan, seperti yang sesuai dengan saintis sebenar.

Pilihan satu. "Mari kita diberi" satu set nombor asli, yang terletak dengan tenang di atas rak. Kami mengambil set ini dari rak. Itu sahaja, tiada nombor asli lain yang tinggal di rak dan tiada tempat untuk membawanya. Kami tidak boleh menambah satu pada set ini, kerana kami sudah memilikinya. Bagaimana jika anda benar-benar mahu? Tiada masalah. Kita boleh mengambil satu daripada set yang telah kita ambil dan mengembalikannya ke rak. Selepas itu, kita boleh mengambil satu daripada rak dan menambahnya pada apa yang kita tinggalkan. Akibatnya, kita sekali lagi akan mendapat set nombor asli yang tidak terhingga. Anda boleh menulis semua manipulasi kami seperti ini:

Saya menulis tindakan dalam tatatanda algebra dan dalam tatatanda teori set, dengan penyenaraian terperinci elemen set. Subskrip menunjukkan bahawa kita mempunyai satu dan hanya set nombor asli. Ternyata set nombor asli akan kekal tidak berubah hanya jika satu ditolak daripadanya dan unit yang sama ditambah.

Pilihan dua. Kami mempunyai banyak set nombor asli tak terhingga berbeza di rak kami. Saya tekankan - BERBEZA, walaupun pada hakikatnya ia tidak dapat dibezakan. Jom ambil salah satu set ini. Kemudian kita mengambil satu daripada set nombor asli yang lain dan menambahnya pada set yang telah kita ambil. Kita juga boleh menambah dua set nombor asli. Inilah yang kami dapat:

Subskrip "satu" dan "dua" menunjukkan bahawa elemen ini tergolong dalam set yang berbeza. Ya, jika anda menambah satu pada set tak terhingga, hasilnya juga akan menjadi set tak terhingga, tetapi ia tidak akan sama dengan set asal. Jika anda menambah satu lagi set tak terhingga kepada satu set tak terhingga, hasilnya ialah set tak terhingga baharu yang terdiri daripada elemen dua set pertama.

Set nombor asli digunakan untuk mengira dengan cara yang sama seperti pembaris untuk mengukur. Sekarang bayangkan anda menambah satu sentimeter pada pembaris. Ini akan menjadi baris yang berbeza, tidak sama dengan yang asal.

Anda boleh terima atau tidak terima alasan saya - ini urusan anda sendiri. Tetapi jika anda pernah menghadapi masalah matematik, pertimbangkan sama ada anda mengikuti jalan penaakulan palsu yang dipijak oleh generasi ahli matematik. Lagipun, mempelajari matematik, pertama sekali, membentuk stereotaip pemikiran yang stabil dalam diri kita, dan hanya kemudian menambah kebolehan mental kita (atau, sebaliknya, menghalang kita daripada berfikir bebas).

pozg.ru

Ahad, 4 Ogos 2019

Saya sedang menyelesaikan postskrip untuk artikel tentang dan melihat teks yang indah ini di Wikipedia:

Kita membaca: "... asas teori matematik Babylon yang kaya tidak mempunyai ciri holistik dan dikurangkan kepada satu set teknik yang berbeza, tanpa sistem dan asas bukti yang sama."

Wah! Betapa bijaknya kita dan sejauh mana kita dapat melihat kekurangan orang lain. Adakah sukar untuk kita melihat matematik moden dari perspektif yang sama? Menghuraikan sedikit teks di atas, saya secara peribadi mendapat perkara berikut:

Asas teori matematik moden yang kaya tidak mempunyai ciri holistik dan dikurangkan kepada satu set bahagian yang berbeza, tanpa sistem dan asas bukti yang sama.

Saya tidak akan pergi jauh untuk mengesahkan kata-kata saya - ia mempunyai bahasa dan konvensyen yang berbeza daripada bahasa dan konvensyen banyak cabang matematik lain. Nama yang sama dalam cabang matematik yang berbeza boleh mempunyai makna yang berbeza. Saya ingin menumpukan seluruh siri penerbitan kepada kesilapan yang paling jelas dalam matematik moden. Jumpa lagi.

Sabtu, 3 Ogos 2019

Bagaimana untuk membahagikan set kepada subset? Untuk melakukan ini, anda perlu memasukkan unit ukuran baharu yang terdapat dalam beberapa elemen set yang dipilih. Mari kita lihat contoh.

Semoga kita banyak A terdiri daripada empat orang. Set ini dibentuk berdasarkan "orang." Mari kita nyatakan unsur-unsur set ini dengan huruf A, subskrip dengan nombor akan menunjukkan nombor siri setiap orang dalam set ini. Mari perkenalkan unit ukuran baharu "jantina" dan tandakannya dengan huruf b. Oleh kerana ciri-ciri seksual adalah wujud dalam semua orang, kami mendarabkan setiap elemen set A berdasarkan jantina b. Perhatikan bahawa kumpulan "orang" kami kini telah menjadi satu set "orang yang mempunyai ciri jantina." Selepas ini kita boleh membahagikan ciri-ciri seksual kepada lelaki bm dan wanita bw ciri-ciri seksual. Kini kita boleh menggunakan penapis matematik: kita memilih salah satu ciri seksual ini, tidak kira yang mana satu - lelaki atau perempuan. Jika seseorang mempunyainya, maka kita darabkannya dengan satu, jika tidak ada tanda sedemikian, kita darabkan dengan sifar. Dan kemudian kami menggunakan matematik sekolah biasa. Lihat apa yang berlaku.

Selepas pendaraban, pengurangan dan penyusunan semula, kami berakhir dengan dua subset: subset lelaki Bm dan subset wanita Bw. Ahli matematik membuat alasan dengan cara yang lebih kurang sama apabila mereka menggunakan teori set dalam amalan. Tetapi mereka tidak memberitahu kami butirannya, tetapi memberi kami hasil siap - "ramai orang terdiri daripada subset lelaki dan subset wanita." Sememangnya, anda mungkin mempunyai soalan: sejauh manakah matematik telah digunakan dengan betul dalam transformasi yang digariskan di atas? Saya berani memberi jaminan kepada anda bahawa pada asasnya segala-galanya telah dilakukan dengan betul; cukup untuk mengetahui asas matematik aritmetik, algebra Boolean dan cabang matematik yang lain. Apa ini? Lain kali saya akan memberitahu anda tentang perkara ini.

Bagi superset, anda boleh menggabungkan dua set menjadi satu superset dengan memilih unit ukuran yang terdapat dalam elemen kedua-dua set ini.

Seperti yang anda boleh lihat, unit ukuran dan matematik biasa menjadikan teori set sebagai peninggalan masa lalu. Satu tanda bahawa semuanya tidak baik dengan teori set ialah ahli matematik telah menghasilkan bahasa dan notasi mereka sendiri untuk teori set. Ahli matematik bertindak sebagai bomoh suatu ketika dahulu. Hanya bomoh yang tahu cara "betul" menggunakan "pengetahuan" mereka. Mereka mengajar kita "pengetahuan" ini.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menunjukkan kepada anda bagaimana ahli matematik memanipulasi
Katakan Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat daripada kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Sepanjang masa yang diperlukan Achilles untuk berlari jarak ini, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Apabila Achilles berlari seratus langkah, kura-kura merangkak lagi sepuluh langkah, dan seterusnya. Proses ini akan diteruskan secara infinitum, Achilles tidak akan dapat mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logik untuk semua generasi berikutnya. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Mereka semua menganggap aporia Zeno dalam satu cara atau yang lain. Kejutan itu sangat kuat sehingga" ... perbincangan berterusan hingga ke hari ini; komuniti saintifik masih belum dapat mencapai pendapat umum mengenai intipati paradoks ... analisis matematik, teori set, pendekatan fizikal dan falsafah baru terlibat dalam kajian isu tersebut ; tiada satu pun daripada mereka menjadi penyelesaian yang diterima umum untuk masalah itu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Semua orang faham bahawa mereka sedang diperbodohkan, tetapi tiada siapa yang memahami apa yang terkandung dalam penipuan itu.

Dari sudut pandangan matematik, Zeno dalam aporianya jelas menunjukkan peralihan daripada kuantiti kepada . Peralihan ini membayangkan aplikasi dan bukannya yang kekal. Setakat yang saya faham, radas matematik untuk menggunakan unit ukuran boleh ubah sama ada belum dibangunkan, atau ia belum digunakan pada aporia Zeno. Menggunakan logik biasa kita membawa kita ke dalam perangkap. Kami, disebabkan oleh inersia pemikiran, menggunakan unit masa yang tetap kepada nilai timbal balik. Dari sudut fizikal, ini kelihatan seperti masa semakin perlahan sehingga ia berhenti sepenuhnya pada saat Achilles mengejar penyu. Jika masa berhenti, Achilles tidak lagi boleh berlari lebih cepat daripada kura-kura.

Jika kita membalikkan logik biasa kita, semuanya akan menjadi tempatnya. Achilles berlari pada kelajuan tetap. Setiap segmen seterusnya dari laluannya adalah sepuluh kali lebih pendek daripada yang sebelumnya. Sehubungan itu, masa yang dihabiskan untuk mengatasinya adalah sepuluh kali ganda kurang daripada yang sebelumnya. Jika kita menggunakan konsep "infiniti" dalam situasi ini, maka adalah betul untuk mengatakan "Achilles akan mengejar penyu dengan cepat tanpa had."

Bagaimana untuk mengelakkan perangkap logik ini? Kekal dalam unit masa yang tetap dan jangan bertukar kepada unit timbal balik. Dalam bahasa Zeno ia kelihatan seperti ini:

Dalam masa yang diperlukan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura akan merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Semasa selang masa berikutnya sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Kini Achilles berada lapan ratus langkah di hadapan kura-kura.

Pendekatan ini menggambarkan realiti dengan secukupnya tanpa sebarang paradoks logik. Tetapi ini bukan penyelesaian lengkap untuk masalah itu. Kenyataan Einstein tentang ketaktahan kelajuan cahaya sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan Kura-kura". Kita masih perlu mengkaji, memikirkan semula dan menyelesaikan masalah ini. Dan penyelesaian mesti dicari bukan dalam jumlah yang tidak terhingga, tetapi dalam unit ukuran.

Satu lagi aporia menarik Zeno menceritakan tentang anak panah terbang:

Anak panah terbang tidak bergerak, kerana pada setiap saat ia dalam keadaan rehat, dan kerana ia dalam keadaan rehat pada setiap saat, ia sentiasa dalam keadaan rehat.

Dalam aporia ini, paradoks logik diatasi dengan sangat mudah - sudah cukup untuk menjelaskan bahawa pada setiap saat anak panah terbang berada di tempat yang berbeza di angkasa, yang, sebenarnya, adalah gerakan. Satu lagi perkara perlu diperhatikan di sini. Dari satu gambar kereta di jalan raya adalah mustahil untuk menentukan sama ada fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan sama ada kereta sedang bergerak, anda memerlukan dua gambar yang diambil dari titik yang sama pada titik masa yang berbeza, tetapi anda tidak boleh menentukan jarak darinya. Untuk menentukan jarak ke kereta, anda memerlukan dua gambar yang diambil dari titik yang berbeza di angkasa pada satu masa, tetapi daripada mereka anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan (sudah tentu, anda masih memerlukan data tambahan untuk pengiraan, trigonometri akan membantu anda ). Apa yang saya ingin menarik perhatian khusus ialah dua titik dalam masa dan dua titik dalam ruang adalah perkara yang berbeza yang tidak boleh dikelirukan, kerana ia menyediakan peluang yang berbeza untuk penyelidikan.
Saya akan menunjukkan kepada anda proses dengan contoh. Kami memilih "pepejal merah dalam jerawat" - ini adalah "keseluruhan" kami. Pada masa yang sama, kita melihat bahawa perkara-perkara ini adalah dengan busur, dan ada yang tanpa busur. Selepas itu, kami memilih sebahagian daripada "keseluruhan" dan membentuk satu set "dengan busur". Inilah cara bomoh mendapatkan makanan mereka dengan mengikat teori set mereka dengan realiti.

Sekarang mari kita lakukan sedikit helah. Mari kita ambil "pepejal dengan jerawat dengan busur" dan gabungkan "keseluruhan" ini mengikut warna, memilih unsur merah. Kami mendapat banyak "merah". Sekarang soalan terakhir: adakah set yang terhasil "dengan busur" dan "merah" set yang sama atau dua set berbeza? Hanya bomoh sahaja yang tahu jawapannya. Lebih tepat lagi, mereka sendiri tidak tahu apa-apa, tetapi seperti yang mereka katakan, ia akan menjadi.

Contoh mudah ini menunjukkan bahawa teori set sama sekali tidak berguna apabila ia datang kepada realiti. Apa rahsianya? Kami membentuk satu set "pepejal merah dengan jerawat dan busur." Pembentukan berlaku dalam empat unit ukuran yang berbeza: warna (merah), kekuatan (pepejal), kekasaran (berjerawat), hiasan (dengan busur). Hanya satu set unit ukuran membolehkan kita menerangkan objek sebenar dengan secukupnya dalam bahasa matematik. Beginilah rupanya.

Huruf "a" dengan indeks yang berbeza menunjukkan unit ukuran yang berbeza. Unit ukuran yang mana "keseluruhan" dibezakan pada peringkat awal diserlahkan dalam kurungan. Unit ukuran yang membentuk set dikeluarkan daripada kurungan. Baris terakhir menunjukkan hasil akhir - elemen set. Seperti yang anda lihat, jika kita menggunakan unit ukuran untuk membentuk set, maka hasilnya tidak bergantung pada susunan tindakan kita. Dan ini adalah matematik, dan bukan tarian bomoh dengan rebana. Bomoh boleh "secara intuitif" mencapai hasil yang sama, dengan alasan bahawa ia "jelas", kerana unit ukuran bukan sebahagian daripada senjata "saintifik" mereka.

Menggunakan unit ukuran, sangat mudah untuk membahagi satu set atau menggabungkan beberapa set menjadi satu superset. Mari kita lihat dengan lebih dekat algebra proses ini.

(pi / 3) boleh dilakukan dalam beberapa cara.

Kaedah 1.
Kaedah ini paling kerap digunakan oleh pelajar sekolah dan pelajar dan merupakan salah satu yang paling mudah.
Fungsi dan hujahnya ditemui dalam hujah biasa dan pada persilangannya, nilai fungsi ini diperoleh daripada hujah yang diberikan.

Menggunakan jadual, kita akan mencari nilai sinus pi / 3 - ini adalah punca 3 dibahagikan dengan 2.
Mari kita tuliskannya secara matematik:

Kaedah 2.
Cara lain ialah (atau bulatan).


Di sini nilai sinus terletak pada paksi ordinat (paksi Oy). Mari cuba kira nilai sinus pi / 3.
Hujah sinus adalah sama dengan pi / 3 - mari cari nilai ini pada bulatan. Seterusnya, kami menurunkan serenjang dengan paksi yang mengandungi nilai sinus - paksi Oy. Di hujung serenjang kita mendapat punca nilai 3/2 Oleh itu, sinus pi/3 adalah sama dengan punca 3/2.

Kaedah 3.
Cara lain untuk mengira nilai sinus adalah dengan menggunakannya.
Sebagai contoh, pada graf sinus (sinusoid), kita dapati nilai pi / 3 pada paksi Lembu, kemudian lukis garis lurus berserenjang dengan paksi ini sehingga ia bersilang dengan graf. Kami mendapat titik yang kami unjurkan pada paksi Oy dan dapatkan punca nilai 3/2.