Apakah model yang menggunakan sistem persamaan. Model matematik dalam amalan. Mari kita pertimbangkan ciri pendekatan deterministik berterusan menggunakan contoh, menggunakan persamaan pembezaan sebagai model matematik

Model matematik dibezakan terutamanya oleh sifat sifat sistem yang dipaparkan, tahap perinciannya, kaedah mendapatkan dan perwakilan formal.

Model struktur dan berfungsi. Jika MM memaparkan elemen dan sambungannya dalam sistem, maka ia dipanggil model matematik struktur. Jika MM mencerminkan sebarang proses yang berlaku dalam sistem, maka ia dikelaskan sebagai model matematik berfungsi. Jelas bahawa MM campuran juga boleh wujud , yang menerangkan kedua-dua sifat fungsian dan struktur sistem. MM struktur dibahagikan kepada topologi dan geometri, yang membentuk dua peringkat hierarki MM jenis ini. Yang pertama mencerminkan komposisi sistem dan hubungan antara unsur-unsurnya. MM topologi Adalah dinasihatkan untuk menggunakannya pada peringkat awal mengkaji sistem yang kompleks. MM sedemikian mempunyai bentuk graf , jadual, matriks, senarai, dsb., dan pembinaannya biasanya didahului dengan pembangunan gambar rajah struktur sistem.

MM Geometrik sebagai tambahan kepada maklumat yang dibentangkan dalam MM topologi, ia mengandungi maklumat tentang bentuk dan saiz sistem dan elemennya, dan kedudukan relatifnya. MM geometri biasanya merangkumi satu set persamaan garis dan permukaan dan hubungan algebra yang menentukan kepunyaan kawasan ruang kepada sistem atau elemennya. MM geometri digunakan dalam reka bentuk elemen sistem teknikal, pembangunan dokumentasi teknikal dan proses teknologi untuk produk pembuatan.

MM Berfungsi terdiri daripada hubungan yang menghubungkan pembolehubah fasa , mereka. parameter dalaman, luaran dan keluaran sistem. Fungsi sistem kompleks selalunya boleh diterangkan hanya dengan bantuan satu set tindak balasnya terhadap beberapa pengaruh input yang diketahui (atau diberikan). Jenis MM berfungsi ini dikelaskan sebagai kotak hitam dan biasanya dipanggil peniruan model matematik, bermakna ia hanya meniru manifestasi luaran berfungsi, tanpa mendedahkan atau menerangkan intipati proses yang berlaku dalam sistem. Simulasi MM digunakan secara meluas dalam kajian sistem kompleks.

Dari segi bentuk persembahan, MM simulasi adalah contohnya MM algoritma, kerana sambungan antara parameter input dan output sistem hanya boleh diterangkan dalam bentuk algoritma yang sesuai untuk pelaksanaan sebagai program. Jenis MM algoritma termasuk kelas luas kedua-dua MM berfungsi dan struktur. Jika sambungan antara parameter sistem boleh dinyatakan dalam bentuk analisis, maka kita bercakap tentang analitikal model matematik . Apabila mencipta hierarki MM untuk sistem yang sama, seseorang biasanya berusaha untuk memastikan versi ringkas MM dibentangkan dalam bentuk analisis yang membolehkan penyelesaian tepat yang boleh digunakan untuk perbandingan apabila menguji keputusan yang diperoleh menggunakan lebih lengkap dan oleh itu versi MM yang lebih kompleks.

Adalah jelas bahawa MM sistem tertentu, dari segi bentuk persembahannya, boleh merangkumi ciri-ciri kedua-dua MM analitikal dan algoritma. Selain itu, semasa proses pemodelan, MM analitikal ditukar kepada satu algoritma.

Mengikut kaedah mendapatkan model matematik boleh jadi secara teori atau empirikal. Yang pertama diperolehi hasil daripada mengkaji sifat sistem, proses yang berlaku di dalamnya berdasarkan penggunaan undang-undang pemuliharaan asas yang diketahui, serta persamaan keseimbangan, dan yang terakhir adalah hasil pemprosesan hasil pemerhatian luaran manifestasi sifat dan proses ini. Salah satu cara untuk membina MM empirikal adalah dengan menjalankan kajian eksperimen yang berkaitan dengan pengukuran pembolehubah fasa sistem, dan seterusnya menyamaratakan keputusan pengukuran ini dalam bentuk algoritma atau dalam bentuk kebergantungan analitikal. Oleh itu, dari segi bentuk persembahan, MM empirikal mungkin mengandungi ciri-ciri kedua-dua MM algoritma dan analitik . Oleh itu, pembinaan MM empirikal datang kepada penyelesaian masalah pengenalan.

Ciri-ciri model berfungsi. Salah satu ciri ciri berfungsi MM ialah kehadiran atau ketiadaan pembolehubah rawak di antara parameternya. Dengan kehadiran kuantiti sedemikian, MM dipanggil stokastik(atau kebarangkalian), dan dalam ketiadaan mereka - deterministik.

Tidak semua parameter sistem sebenar boleh dicirikan oleh nilai yang jelas. Oleh itu, MM sistem sedemikian, secara tegasnya, harus diklasifikasikan sebagai stokastik, kerana parameter output sistem akan menjadi pembolehubah rawak. Nilai parameter luaran juga boleh rawak .

Untuk menganalisis MM stokastik, adalah perlu untuk menggunakan kesimpulan teori kebarangkalian, proses rawak dan statistik matematik. Walau bagaimanapun, kesukaran utama dalam aplikasi mereka biasanya dikaitkan dengan fakta bahawa ciri-ciri kebarangkalian pembolehubah rawak (jangkaan matematik, varians, undang-undang pengedaran) sering tidak diketahui atau diketahui dengan ketepatan yang rendah, i.e. MM tidak memenuhi keperluan produktiviti . Dalam kes sedemikian, adalah lebih berkesan untuk menggunakan MM, yang lebih kasar daripada stokastik, tetapi juga lebih tahan terhadap ketidakbolehpercayaan data awal.

Ciri penting klasifikasi MM ialah keupayaan mereka untuk menerangkan perubahan dalam parameter sistem dari semasa ke semasa. Jika MM mencerminkan pengaruh sifat inersia sistem, maka ia biasanya dipanggil dinamik. Sebaliknya, MM yang tidak mengambil kira perubahan dalam parameter sistem dari semasa ke semasa dipanggil statik.

Pegun Mereka menerangkan sistem di mana proses yang dipanggil keadaan mantap berlaku , mereka. proses di mana parameter output yang kami minati adalah malar dari semasa ke semasa. Proses berkala juga dianggap sebagai keadaan mantap. , di mana beberapa parameter keluaran kekal tidak berubah, manakala yang lain mengalami turun naik.

Jika parameter output sistem berubah dengan perlahan dan pada titik tetap masa yang dianggap perubahan ini boleh diabaikan, maka MM dianggap tidak pegun.

Sifat penting MM dari sudut pandangan analisis seterusnya ialah kelinearannya, dalam erti kata menghubungkan parameter sistem dengan hubungan linear. Ini bermakna apabila mana-mana parameter luaran (atau dalaman) sistem berubah, MM linear meramalkan perubahan linear dalam parameter output yang bergantung padanya, dan apabila dua atau lebih parameter berubah, penambahan pengaruhnya, i.e. MM seperti itu mempunyai harta superposisi. Jika MM tidak mempunyai sifat superposisi, maka ia dipanggil tak linear .

Sebilangan besar kaedah matematik telah dibangunkan untuk analisis kuantitatif MM linear, manakala keupayaan menganalisis MM bukan linear terutamanya dikaitkan dengan kaedah matematik pengiraan. Untuk menggunakan kaedah analisis untuk mengkaji sistem MM bukan linear, ia biasanya linear, i.e. hubungan tak linear antara parameter digantikan dengan anggaran linear dan yang dipanggil secara linear Sistem MM. Memandangkan linearisasi dikaitkan dengan pengenalan ralat tambahan, hasil analisis model linear harus dilayan dengan berhati-hati. Hakikatnya ialah linearisasi MM boleh menyebabkan kehilangan kecukupannya. Mengambil kira kesan tak linear dalam MM amat penting, contohnya, apabila menerangkan perubahan dalam bentuk gerakan atau kedudukan keseimbangan, apabila perubahan kecil dalam parameter input boleh menyebabkan perubahan kualitatif dalam keadaan sistem.

Setiap parameter sistem boleh terdiri daripada dua jenis - sentiasa berubah dalam julat tertentu nilainya atau mengambil hanya beberapa nilai diskret. Situasi perantaraan juga mungkin, apabila di satu kawasan parameter mengambil semua nilai yang mungkin, dan di tempat lain - hanya yang diskret. Dalam hal ini, mereka menyerlahkan diskret berterusan Dan bercampur-campur model matematik . Dalam proses analisis, MM jenis ini boleh ditukar dari satu kepada yang lain, tetapi semasa penukaran sedemikian, pemenuhan keperluan harus dipantau kecukupan MM sistem yang sedang dipertimbangkan.

Bentuk perwakilan model matematik. Apabila memodelkan secara matematik sistem yang kompleks, biasanya tidak mungkin untuk menerangkan kelakuannya dengan satu MM, dan walaupun MM sedemikian telah dibina, ia akan menjadi terlalu kompleks untuk analisis kuantitatif. Oleh itu, sistem sedemikian biasanya digunakan prinsip penguraian. Ia terdiri daripada membahagikan sistem secara bersyarat kepada subsistem yang membenarkan kajian bebas mereka dengan pertimbangan seterusnya mengenai pengaruh bersama antara satu sama lain. Sebaliknya, prinsip penguraian boleh digunakan pada setiap subsistem yang dipilih hingga ke tahap elemen yang agak mudah. Dalam kes ini timbul hierarki Subsistem MM yang saling berkaitan. Tahap hierarki juga dibezakan untuk jenis MM individu. Sebagai contoh, antara sistem MM struktur, MM topologi dikelaskan pada tahap hierarki yang lebih tinggi , dan ke tahap yang lebih rendah, dicirikan oleh perincian yang lebih besar, - MM geometri . Di antara peringkat fungsian, tahap hierarki mencerminkan tahap perincian dalam perihalan proses yang berlaku dalam sistem dan elemennya. Dari sudut pandangan ini, tiga peringkat utama biasanya dibezakan: mikro - makro - dan tahap meta.

Model matematik peringkat mikro menerangkan proses dalam sistem dengan parameter teragih, dan model matematik peringkat makro- dalam sistem dengan parameter terkumpul. Dalam yang pertama, pembolehubah fasa boleh bergantung pada kedua-dua koordinat masa dan spatial, dan dalam yang kedua, hanya pada masa.

Jika dalam MM peringkat makro bilangan pembolehubah fasa adalah dari susunan 10 4 -10 5 , maka analisis kuantitatif MM sedemikian menjadi rumit dan memerlukan sumber pengiraan yang ketara. Di samping itu, dengan bilangan pembolehubah fasa yang begitu besar, adalah sukar untuk mengenal pasti ciri-ciri penting sistem dan ciri-ciri kelakuannya. Dalam kes ini, dengan menggabungkan dan membesarkan unsur-unsur sistem yang kompleks, mereka berusaha untuk mengurangkan bilangan pembolehubah fasa dengan mengecualikan parameter dalaman unsur-unsur daripada pertimbangan, mengehadkan diri mereka hanya untuk menerangkan hubungan bersama antara unsur-unsur yang diperbesarkan. Pendekatan ini adalah tipikal untuk MM peringkat meta.

Bentuk persembahan yang paling biasa dinamik(evolusi) MM peringkat mikro ialah rumusan masalah nilai sempadan bagi persamaan pembezaan fizik matematik. Rumusan ini termasuk persamaan pembezaan separa dan keadaan sempadan. Sebaliknya, syarat sempadan mengandungi syarat awal dan sempadan. Syarat awal termasuk pengagihan pembolehubah fasa yang dikehendaki pada satu ketika. Sempadan kawasan spatial, konfigurasi yang sepadan dengan elemen yang sedang dipertimbangkan atau sistem secara keseluruhan, adalah syarat sempadan. Apabila mewakili MM, adalah dinasihatkan untuk menggunakan pembolehubah tidak berdimensi dan pekali persamaan.

MM peringkat mikro dipanggil satu dimensi, dua dimensi atau tiga dimensi , jika pembolehubah fasa yang diperlukan bergantung pada satu, dua atau tiga koordinat spatial, masing-masing. Dua jenis MM terakhir digabungkan ke dalam model matematik multidimensi peringkat mikro .

Pemodelan, konsep umum

Tugas pemodelan ialah kajian objek atau proses kompleks menggunakan model fizikal atau matematiknya. Tujuan pemodelan adalah untuk mencari penyelesaian teknikal yang optimum (terbaik mengikut mana-mana kriteria). Jenis pemodelan:

Ø fizikal;

Ø matematik;

Ø grafik (geometrik).

Apabila pemodelan, sifat terpenting sistem yang sedang dikaji digantikan dengan ketat, tetapi dipermudahkan berhubung dengan fenomena semula jadi asal, formulasi saintifik - model. Model ini menyediakan keupayaan untuk menerangkan dan meramalkan tingkah laku sistem dengan tepat, tetapi hanya dalam kawasan aplikasi yang terhad - selagi pemudahan awal yang berdasarkan model itu dibina adalah sah.

Sebagai contoh, apabila mensimulasikan penerbangan satelit mengelilingi Bumi, dindingnya boleh dianggap benar-benar pepejal, dan apabila mensimulasikan perlanggaran satelit yang sama dengan mikrometeorit, malah besi superhard boleh digambarkan dengan ketepatan yang sangat tinggi sebagai cecair tak boleh mampat yang ideal. . Ini adalah ciri pemodelan paradoks - ketepatannya, dihidupkan oleh model sistem sebenar yang tidak tepat secara asasnya, yang pada dasarnya adalah anggaran, hanya sesuai dalam bidang fenomena tertentu.

Proses dan struktur berfungsi sistem boleh diterangkan melalui pemodelan matematik. Pemodelan matematik ialah proses mencipta model matematik dan bertindak ke atasnya untuk mendapatkan maklumat tentang sistem sebenar. Model matematik ialah satu set objek matematik dan hubungan di antara mereka, yang mencerminkan sifat terpenting sistem dengan secukupnya. Objek matematik - nombor, pembolehubah, matriks, dsb. Hubungan antara objek matematik - persamaan, ketaksamaan, dsb. Sebarang pengiraan saintifik dan teknikal adalah jenis khusus pemodelan matematik.

Sistem ialah satu set elemen yang secara semula jadi berhubung antara satu sama lain, membentuk integriti tunggal, menunjukkan hubungan antara mereka dan tujuan operasi. Sifat-sifat sistem berbeza daripada jumlah sifat unsur-unsurnya. Contoh: Mesin ¹ å(bahagian + komponen); Manusia ¹ å(otak + hati + tulang belakang).

Klasifikasi model matematik

Berdasarkan kaedah analisis, model matematik dibahagikan kepada analitikal, algoritma dan simulasi.

Model analisis boleh:

1) kualitatif, apabila sifat pergantungan parameter output pada parameter input, kewujudan penyelesaian, dll. ditentukan. Sebagai contoh, adakah daya pemotongan akan bertambah atau berkurang dengan peningkatan kelajuan, adakah mungkin untuk bergerak pada kelajuan yang lebih besar daripada kelajuan cahaya, dsb. Membina model sedemikian adalah langkah yang perlu apabila mengkaji sistem yang kompleks.

2) model pengiraan (analitik) mewakili kebergantungan matematik yang jelas antara ciri input, dalaman dan output sistem. Model sedemikian sentiasa diutamakan, kerana ia paling berkesan dalam menganalisis undang-undang fungsi sistem, pengoptimuman, dsb. Malangnya, tidak selalu mungkin untuk mendapatkannya dan hanya dengan penyederhanaan sistem yang sedang dikaji. Sebagai tambahan kepada model pengiraan (analitik) yang dibina berdasarkan pemahaman tentang proses yang berlaku dalam sistem, ini juga boleh menjadi model yang dibina berdasarkan analisis hasil eksperimen dengan "kotak hitam". Contohnya ialah pergantungan daya pemotongan pada kelajuan, suapan dan kedalaman potong.

3) berangka, apabila mereka memperoleh nilai berangka parameter output untuk nilai input yang diberikan. Contohnya ialah pengiraan unsur terhingga. Model berangka adalah universal, tetapi mereka hanya memberikan hasil separa, yang mana sukar untuk membuat kesimpulan umum.

Model algoritma dipersembahkan dalam bentuk algoritma pengiraan. Tidak seperti model analisis, kemajuan pengiraan bergantung pada keputusan pertengahan.

Pemodelan simulasi adalah berdasarkan penerangan langsung objek yang dimodelkan. Apabila membina model simulasi, undang-undang fungsi setiap elemen secara berasingan dan hubungan antara mereka diterangkan. Tidak seperti analisis, ia dicirikan oleh persamaan struktur antara objek dan model. Pemodelan simulasi paling kerap digunakan dalam kajian proses rawak kompleks. Sebagai contoh, kosong yang saiznya mempunyai serakan rawak dibekalkan kepada input model talian automatik (AL). Selain itu, model pemprosesan pada setiap mesin AL adalah sensitif kepada dimensi sebenar bahan kerja. Selepas "memproses" maya ratusan ribu bahan kerja, adalah mungkin untuk mencari set keadaan di mana AL akan berhenti dan mengelakkannya semasa reka bentuk.

Berdasarkan sifat berfungsi dan jenis parameter sistem, model matematik juga dibahagikan kepada

berterusan dan diskret;

statik dan dinamik;

deterministik dan stokastik (kebarangkalian).

Dalam sistem berterusan parameter berubah secara beransur-ansur, dalam sistem diskret ia berubah secara mendadak dan impulsif. Sebagai contoh, dalam model pemotong membelok, haus sentiasa meningkat, dan kegagalan (cipratan plat) berlaku serta-merta - secara diskret.

Dalam model statik, semua parameter yang disertakan dalam model mempunyai nilai malar dan parameter yang dikira pada output sistem berubah serentak dengan perubahan dalam parameter pada input. Model sedemikian menggambarkan sistem dengan proses sementara yang cepat mereput.

Model dinamik mengambil kira inersia sistem. Akibatnya, perubahan dalam parameter output ketinggalan daripada perubahan dalam parameter input. Model sedemikian lebih tepat menggambarkan sistem sebenar, tetapi lebih sukar untuk dilaksanakan.

Keluaran sistem deterministik ditentukan secara unik oleh input dan keadaan semasanya. Kemungkinan perubahan rawak dalam parameter sistem atau parameter input diabaikan. Dalam sistem stokastik, sebaliknya, sifat kebarangkalian perubahan dalam parameter sistem diambil kira, dengan mengambil nilai rawak mengikut beberapa undang-undang pengedaran.

Ciri klasifikasi utama dan jenis MM yang digunakan dalam CAD diberikan dalam Jadual 1.

Jadual 1.

Tanda klasifikasi	Model matematik
Sifat sifat objek yang dipaparkan	Struktural; berfungsi
Kepunyaan peringkat hierarki	Tahap mikro; peringkat makro; peringkat meta
Tahap perincian huraian dalam satu tahap	Penuh; makromodel
Kaedah untuk mewakili sifat objek	Analitikal, algoritma, simulasi
Kaedah untuk mendapatkan model	Teori, empirikal

Dengan sifat sifat objek yang dipaparkan MM terbahagi kepada struktur Dan berfungsi.

berstruktur MM bertujuan untuk memaparkan sifat struktur sesuatu objek. Terdapat MM struktur topologi Dan geometri.

DALAM topologi MM memaparkan komposisi dan hubungan unsur-unsur objek. Model topologi boleh berbentuk graf, jadual (matriks), senarai, dsb.

DALAM geometri MM memaparkan sifat geometri objek sebagai tambahan kepada maklumat tentang kedudukan relatif unsur, ia mengandungi maklumat tentang bentuk bahagian. MM geometri boleh dinyatakan dengan satu set persamaan garis dan permukaan; hubungan algebrologi yang menerangkan kawasan yang membentuk badan objek; graf dan senarai yang memaparkan struktur daripada elemen struktur standard, dsb.

MM Berfungsi bertujuan untuk memaparkan proses fizikal atau maklumat yang berlaku dalam objek semasa operasi atau pembuatannya. MM berfungsi ialah sistem persamaan yang menghubungkan pembolehubah fasa, parameter dalaman, luaran dan keluaran, i.e. algoritma untuk mengira vektor parameter output Y untuk vektor parameter elemen yang diberikan X dan parameter luaran Q.

Bilangan tahap hierarki dalam pemodelan ditentukan oleh kerumitan objek yang direka bentuk dan keupayaan alat reka bentuk. Walau bagaimanapun, bagi kebanyakan bidang mata pelajaran, tahap hierarki sedia ada boleh diklasifikasikan kepada satu daripada tiga tahap umum, dirujuk di bawah sebagai mikro-, makro- Dan peringkat meta.

Bergantung pada tempat dalam hierarki penerangan model matematik dibahagikan kepada MM berkaitan dengan mikro-, makro- Dan peringkat meta.

Ciri MM di peringkat mikro adalah pantulan proses fizikal yang berlaku dalam ruang dan masa yang berterusan. MM biasa pada peringkat mikro ialah persamaan pembezaan separa (PDE).

Pada peringkat makro mereka menggunakan pendiskretan ruang yang diperbesarkan mengikut kriteria berfungsi, yang membawa kepada perwakilan MM pada tahap ini dalam bentuk sistem persamaan pembezaan biasa (ODE). Sistem ODE ialah model universal pada peringkat makro, sesuai untuk menganalisis kedua-dua keadaan objek dinamik dan mantap. Model untuk keadaan keadaan mantap juga boleh diwakili dalam bentuk sistem persamaan algebra. Susunan sistem persamaan bergantung kepada bilangan elemen terpilih bagi objek tersebut. Jika susunan sistem menghampiri 10 3, maka operasi dengan model menjadi sukar dan oleh itu adalah perlu untuk beralih kepada perwakilan dalam tahap meta.

Pada peringkat meta Set bahagian yang agak kompleks diambil sebagai elemen. Tahap meta dicirikan oleh pelbagai jenis MM yang digunakan. Untuk kebanyakan objek, MM pada tahap meta masih diwakili oleh sistem ODE. Walau bagaimanapun, memandangkan model tidak menerangkan pembolehubah fasa dalaman kepada elemen, tetapi hanya pembolehubah fasa yang berkaitan dengan sambungan bersama elemen muncul, pembesaran elemen pada tahap meta bermakna memperoleh MM dimensi yang boleh diterima untuk objek yang jauh lebih kompleks daripada pada tahap makro. .

Dalam beberapa bidang subjek, adalah mungkin untuk menggunakan ciri khusus bagi fungsi objek untuk memudahkan MM. Contohnya ialah peranti automasi digital elektronik, di mana ia adalah mungkin untuk menggunakan perwakilan diskret pembolehubah fasa seperti voltan dan arus. Akibatnya, MM menjadi sistem persamaan logik yang menerangkan proses penukaran isyarat. Model logik sedemikian jauh lebih menjimatkan daripada model elektrik yang menggambarkan perubahan dalam voltan dan arus sebagai fungsi masa yang berterusan. Kelas penting MM pada tahap meta mekap model beratur, digunakan untuk menerangkan proses berfungsi sistem maklumat dan pengkomputeran, kawasan pengeluaran, talian dan bengkel.

Model struktur juga dibahagikan kepada model tahap hierarki yang berbeza. Pada masa yang sama, penggunaan model geometri mendominasi tahap hierarki yang lebih rendah, manakala model topologi digunakan pada tahap hierarki yang lebih tinggi.

Mengikut tahap perincian penerangan dalam setiap tahap hierarki memperuntukkan penuh MM dan makromodel.

penuh MM ialah model di mana pembolehubah fasa muncul yang mencirikan keadaan semua sambungan antara elemen sedia ada (iaitu, keadaan semua elemen objek yang direka), menerangkan bukan sahaja proses di terminal luaran objek yang dimodelkan, tetapi juga proses dalaman objek.

Makromodel- MM, yang memaparkan keadaan bilangan sambungan antara unsur yang jauh lebih kecil, yang sepadan dengan perihalan objek dengan pemilihan elemen yang diperbesarkan.

Catatan. Konsep "MM penuh" dan "makromodel" adalah relatif dan biasanya digunakan untuk membezakan antara dua model yang memaparkan darjah perincian yang berbeza dalam menerangkan sifat sesuatu objek.

Dengan cara mewakili sifat objek MM berfungsi terbahagi kepada analitikal Dan algoritma.

Analitikal MM ialah ungkapan eksplisit parameter output sebagai fungsi input dan parameter dalaman. MM sedemikian dicirikan oleh kecekapan tinggi, tetapi mendapatkan ungkapan eksplisit hanya mungkin dalam kes khas tertentu, sebagai peraturan, apabila membuat andaian dan sekatan penting yang mengurangkan ketepatan dan menyempitkan julat kecukupan model.

Algoritma MM menyatakan sambungan antara parameter output dan parameter dalaman dan luaran dalam bentuk algoritma.

Peniruan MM ialah model algoritma yang mencerminkan kelakuan objek yang dikaji sepanjang masa apabila pengaruh luaran pada objek ditentukan. Contoh MM simulasi termasuk model objek dinamik dalam bentuk sistem ODE dan model sistem baris gilir yang dinyatakan dalam bentuk algoritma.

Biasanya dalam model simulasi pembolehubah fasa muncul. Oleh itu, pada peringkat makro, model simulasi ialah sistem persamaan algebra-pembezaan:

di mana V- vektor pembolehubah fasa; t- masa; V o- vektor keadaan awal. Contoh pembolehubah fasa termasuk arus dan voltan dalam sistem elektrik, daya dan kelajuan dalam sistem mekanikal, tekanan dan kadar aliran dalam sistem hidraulik.

Parameter keluaran sistem boleh terdiri daripada dua jenis. Pertama, ini adalah parameter berfungsi, iaitu fungsi kebergantungan V( t) sekiranya menggunakan (1). Contoh parameter sedemikian: amplitud isyarat, kelewatan masa, kuasa pelesapan, dsb. Kedua, ini adalah parameter yang mencirikan keupayaan objek yang direka untuk beroperasi dalam keadaan luaran tertentu. Parameter keluaran ini ialah nilai sempadan julat pembolehubah luaran di mana kefungsian objek dikekalkan.

Apabila mereka bentuk objek teknikal, dua kumpulan utama prosedur boleh dibezakan: analisis dan sintesis. Sintesis dicirikan oleh penggunaan model struktur, dan analisis dicirikan oleh penggunaan model berfungsi. Sokongan matematik untuk analisis termasuk model matematik, kaedah berangka dan algoritma untuk melaksanakan prosedur reka bentuk. Komponen MO ditentukan oleh radas matematik asas khusus untuk setiap peringkat reka bentuk hierarki.

Dalam CAD, analisis dilakukan dengan pemodelan matematik.

pemodelan matematik- proses mencipta model dan mengendalikannya untuk mendapatkan maklumat tentang objek sebenar.

Pemodelan kebanyakan objek teknikal boleh dilakukan pada tahap mikro, makro dan meta, berbeza dalam tahap perincian dalam mempertimbangkan proses dalam objek.

tahap mikro, dipanggil diedarkan, ialah sistem persamaan pembezaan separa (PDDE), menerangkan proses dalam medium berterusan dengan keadaan sempadan yang diberikan. Pembolehubah bebas ialah koordinat ruang dan masa. Kepada model pada tahap mikro Banyak perbandingan fizik matematik digunakan. Objek penyelidikan ialah bidang kuantiti fizik, yang diperlukan apabila menganalisis kekuatan struktur bangunan atau bahagian kejuruteraan, mengkaji proses dalam media cecair, memodelkan kepekatan dan aliran zarah dalam peranti elektronik, dsb. Menggunakan persamaan ini, bidang tegasan mekanikal dan ubah bentuk, dan potensi elektrik dikira , tekanan, suhu, dsb. Kemungkinan menggunakan MM dalam bentuk PDE adalah terhad kepada bahagian individu percubaan untuk menganalisis proses dalam persekitaran berbilang komponen, unit pemasangan, dan litar elektronik dengan bantuan mereka tidak boleh berjaya disebabkan oleh peningkatan yang berlebihan dalam kos masa dan memori komputer.

Sistem persamaan pembezaan, sebagai peraturan, diketahui (Persamaan pincang untuk mekanik media elastik; persamaan Navier-Stokes untuk hidraulik; persamaan haba untuk termodinamik, dsb.), tetapi penyelesaian tepatnya hanya boleh didapati untuk kes-kes khas, jadi masalah pertama yang timbul semasa pemodelan, terdiri daripada membina model diskret anggaran. Untuk tujuan ini, kaedah perbezaan terhingga dan persamaan sempadan kamiran digunakan, salah satu varian yang terakhir ialah kaedah unsur sempadan.

Bilangan persekitaran berbeza yang dikaji bersama (bilangan bahagian, lapisan bahan, fasa keadaan pengagregatan) dalam model peringkat mikro yang digunakan secara praktikal tidak boleh besar disebabkan oleh kesukaran pengiraan. Satu-satunya cara untuk mengurangkan kos pengiraan secara mendadak dalam persekitaran berbilang komponen adalah dengan mengambil pendekatan pemodelan yang berbeza berdasarkan andaian tertentu.

Andaian yang dinyatakan oleh pendiskretan ruang membolehkan kita beralih kepada model peringkat makro, dipanggil Denganfokus. Model matematik objek teknikal pada peringkat makro ialah sistem algebra dan persamaan pembezaan biasa (ODE) dengan keadaan awal yang diberikan.

Dalam persamaan ini pembolehubah bebas ialah masa t, dan vektor pembolehubah bersandar V membentuk pembolehubah fasa yang mencirikan keadaan elemen yang diperbesarkan ruang diskret. Pembolehubah tersebut termasuk daya dan kelajuan sistem mekanikal, voltan dan arus sistem elektrik, tekanan dan kadar aliran sistem hidraulik dan pneumatik, dsb.

MM adalah berdasarkan persamaan komponen unsur-unsur individu dan persamaan topologi, yang bentuknya ditentukan oleh sambungan antara unsur-unsur. Prasyarat untuk penciptaan analisis matematik dan perisian bersatu pada peringkat makro ialah analogi komponen dan persamaan topologi subsistem homogen secara fizikal yang membentuk objek teknikal. Kaedah formal digunakan untuk mendapatkan persamaan topologi.

Kaedah utama untuk mendapatkan objek MM pada peringkat makro ialah:

Kaedah umum

Kaedah jadual

Kaedah nodal

Kaedah pembolehubah keadaan.

Kaedah berbeza antara satu sama lain dalam jenis dan dimensi sistem persamaan yang terhasil, kaedah mendiskrisikan persamaan komponen cabang reaktif, dan jenis cawangan bergantung yang dibenarkan. Penyederhanaan perihalan komponen individu (bahagian) memungkinkan untuk mengkaji model proses dalam peranti, peranti, unit mekanikal, bilangan komponen yang boleh mencapai beberapa ribu. Untuk objek teknikal yang kompleks, dimensi MM menjadi terlalu tinggi, dan untuk pemodelan adalah perlu untuk bergerak ke tahap meta.

hidup tahap meta terutamanya memodelkan dua kategori objek teknikal: objek yang menjadi subjek penyelidikan dalam teori kawalan automatik, dan objek yang menjadi subjek teori beratur. Untuk kategori objek pertama, adalah mungkin untuk menggunakan radas matematik peringkat makro untuk kategori objek kedua, kaedah pemodelan acara digunakan.

Apabila bilangan komponen dalam sistem yang dikaji melebihi ambang tertentu, kerumitan model sistem pada peringkat makro sekali lagi menjadi berlebihan. Setelah menerima andaian yang sesuai, kita teruskan ke fungsional-logik tahap di mana radas fungsi pemindahan digunakan untuk mengkaji proses analog (berterusan) atau radas logik matematik dan mesin keadaan terhingga, jika objek kajian ialah proses diskret.

Untuk mengkaji objek yang lebih kompleks (perusahaan perkilangan dan persatuan mereka, sistem komputer dan rangkaian, sistem sosial, dll.), radas teori beratur digunakan juga beberapa pendekatan lain, contohnya jaring Petri. Model-model ini kepunyaan sistemik peringkat pemodelan.

Pengelasan model matematik juga boleh didekati dari sudut pandangan yang berbeza, berdasarkan klasifikasi pada prinsip yang berbeza (lihat Jadual 20.1).

oleh cabang sains : model matematik dalam fizik, biologi, sosiologi, dsb. Pengelasan sedemikian adalah semula jadi untuk pakar dalam satu bidang sains atau subjek.

Model boleh dikelaskan mengikut alat matematik yang digunakan : model berdasarkan penggunaan persamaan pembezaan biasa, persamaan pembezaan separa, kaedah probabilistik-statistik, penjelmaan algebra diskret, dsb. Klasifikasi sedemikian sesuai untuk pakar dalam bidang pemodelan matematik.

Bergantung daripada tujuan pemodelan Klasifikasi berikut boleh diberikan:

· model deskriptif (deskriptif);

· model pengoptimuman kriteria tunggal;

· model multikriteria pengoptimuman;

· model permainan;

· model simulasi.

Sebagai contoh, apabila memodelkan pergerakan komet dalam sistem suria, trajektori penerbangannya diterangkan (diramalkan), jarak di mana ia akan berlalu dari Bumi, dsb., iaitu matlamat deskriptif semata-mata ditetapkan. Pengkaji tidak mempunyai peluang untuk mempengaruhi pergerakan komet atau mengubah apa-apa.

Dalam kes lain, anda boleh mempengaruhi proses dalam usaha untuk mencapai beberapa matlamat.

Sebagai contoh, Dengan menukar julat produk yang dihasilkan oleh perusahaan dan jumlah keluaran setiap jenis produk, seseorang boleh mencari nilai di mana keuntungan maksimum dicapai, i.e. rancangan pengeluaran yang optimum ditentukan mengikut kriteria pemaksimuman keuntungan.

Selalunya anda perlu mencari penyelesaian optimum untuk masalah berdasarkan beberapa kriteria sekaligus, dan matlamat boleh menjadi sangat bercanggah.

Sebagai contoh, mengetahui harga makanan dan keperluan manusia untuk makanan, tentukan diet kumpulan besar orang (dalam tentera, kem musim panas, dll.) yang paling murah dan paling berkhasiat. Adalah jelas bahawa matlamat ini mungkin bercanggah antara satu sama lain dan adalah perlu untuk mencari penyelesaian kompromi yang memenuhi semua kriteria pada tahap tertentu.

Model permainan boleh dikaitkan bukan sahaja dengan permainan kanak-kanak (termasuk permainan komputer), tetapi juga dengan perkara yang sangat serius.

Sebagai contoh, Sebelum pertempuran, dengan adanya maklumat yang tidak lengkap tentang tentera lawan, komander mesti membuat rancangan: dalam urutan bagaimana untuk memperkenalkan unit tertentu ke dalam pertempuran, dll., dengan mengambil kira kemungkinan reaksi musuh.

Akhirnya, ia berlaku bahawa model sebahagian besarnya meniru proses sebenar, i.e. meniru dia.

Sebagai contoh, Dengan memodelkan perubahan (dinamik) dalam bilangan mikroorganisma dalam koloni, anda boleh mempertimbangkan banyak objek individu dan memantau nasib setiap daripada mereka, menetapkan syarat tertentu untuk kelangsungan hidup, pembiakan, dll. Dalam kes ini, penerangan matematik yang jelas tentang proses itu tidak boleh digunakan, digantikan dengan syarat tertentu (contohnya, selepas tempoh masa tertentu, mikroorganisma dibahagikan kepada dua bahagian, dan dalam tempoh lain ia mati).

Pada masa ini, pemodelan digunakan secara meluas dalam pengurusan pelbagai sistem, di mana proses utama adalah membuat keputusan berdasarkan maklumat yang diterima. Pemodelan digunakan dalam penyelidikan, reka bentuk dan pelaksanaan sistem komputer (CS) dan sistem kawalan automatik (ACS).

Pemilihan model matematik bergantung kepada peringkat pembangunan sistem. Pada peringkat memeriksa objek kawalan (contohnya, perusahaan perindustrian) dan membangunkan spesifikasi teknikal untuk reka bentuk pesawat, sistem kawalan automatik, model deskriptif dibina dan matlamatnya adalah untuk membentangkan maklumat sepenuhnya dalam bentuk padat. tentang objek yang diperlukan untuk pembangun sistem.

Pada peringkat pembangunan reka bentuk teknikal pesawat, sistem kawalan automatik, pemodelan berfungsi untuk menyelesaikan masalah reka bentuk, i.e. memilih pilihan optimum mengikut kriteria tertentu atau satu set kriteria di bawah sekatan yang diberikan daripada set yang boleh diterima (pembinaan model pengoptimuman kriteria tunggal dan berbilang kriteria).

Pada peringkat pelaksanaan dan pengendalian pesawat dan sistem kawalan automatik, model simulasi dibina untuk menghasilkan semula situasi yang mungkin untuk membuat keputusan termaklum dan menjanjikan tentang pengurusan kemudahan. Model permainan dan simulasi juga digunakan secara meluas dalam pengajaran dan latihan kakitangan.

Bergantung tentang sifat proses yang dikaji , berlaku dalam sistem (objek), semua jenis model boleh dibahagikan kepada deterministik dan stokastik, statik dan dinamik, diskret, berterusan dan diskret-berterusan.

Model deterministik memaparkan proses deterministik, i.e. proses di mana ketiadaan sebarang pengaruh rawak diandaikan. Dalam model deterministik, parameter input boleh diukur dengan jelas dan dengan sebarang tahap ketepatan, i.e. adalah kuantiti penentu. Sehubungan itu, proses evolusi sistem sedemikian ditentukan.

Sebagai contoh, model deterministik digunakan dalam fizik (model pergerakan kereta semasa gerakan dipercepatkan secara seragam: dengan menetapkan kelajuan dan pecutan awal, anda boleh mengira dengan tepat laluan yang dilalui oleh kereta dari saat ia mula bergerak dalam keadaan yang ideal); model juga digunakan untuk menerangkan pergerakan benda angkasa dalam astronomi.

Model stokastik (kebarangkalian-teoretik). digunakan untuk memaparkan proses dan peristiwa kebarangkalian. Dalam kes ini, beberapa realisasi proses rawak dianalisis dan ciri purata dianggarkan. Dalam model stokastik, nilai parameter input (pembolehubah) diketahui hanya dengan tahap kebarangkalian tertentu, i.e. parameter ini adalah stokastik; Sehubungan itu, proses evolusi sistem akan menjadi rawak.

Sebagai contoh, model yang menerangkan perubahan suhu udara sepanjang tahun. Adalah mustahil untuk meramalkan suhu udara dengan tepat untuk tempoh masa hadapan; hanya julat perubahan suhu dan kebarangkalian bahawa suhu udara sebenar akan jatuh dalam julat ini ditentukan.

Model stokastik digunakan untuk mengkaji sistem yang keadaannya bergantung bukan sahaja pada pengaruh terkawal tetapi juga pada pengaruh tidak terkawal, atau di mana terdapat sumber rawak di dalamnya. Sistem stokastik merangkumi semua sistem yang merangkumi manusia, contohnya, kilang, lapangan terbang, sistem dan rangkaian komputer, kedai, perkhidmatan pengguna, dsb.

Model statik berfungsi untuk menerangkan tingkah laku objek pada bila-bila masa, dan model dinamik mencerminkan tingkah laku objek dari semasa ke semasa.

Sebagai contoh, model probabilistik-statistik yang menerangkan hubungan antara penunjuk prestasi tahunan (keuntungan, volum pengeluaran, dana upah, dll.) Perusahaan perdagangan Novosibirsk sepanjang tahun lalu - statik. Penunjuk tahunan untuk satu tahun, contohnya, untuk 100 perusahaan perdagangan, digunakan sebagai data awal untuk pemodelan.

Jika masalah yang sama sedang diselesaikan, tetapi penunjuk dikaji selama beberapa tahun, maka model dinamik mesti digunakan untuk menerangkan hubungan. Dalam huraian matematik model dinamik, pembolehubah masa sentiasa ada; dalam huraian matematik model statik, masa sama ada tidak diperkenalkan atau ditetapkan pada tahap tertentu.

Model Diskret berfungsi untuk menerangkan proses yang diandaikan sebagai diskret, masing-masing model berterusan membolehkan anda mencerminkan proses berterusan dalam sistem, dan simulasi diskret-berterusan digunakan untuk kes di mana mereka ingin menyerlahkan kehadiran kedua-dua proses diskret dan berterusan.

Sebagai contoh, Operasi penapis pembezaan dimodelkan: setiap langkah masa, isyarat input X(t) dibekalkan pada selang waktu yang sama pada output, nilai terbitan X"(t) diambil. Dalam kes ini, input dan isyarat keluaran adalah diskret dalam masa dan, oleh itu, model adalah diskret.

Contoh model masa berterusan - model simulasi yang menerangkan proses pemprosesan bahagian di kawasan pengeluaran bengkel semasa syif kerja. Input model menerima permintaan (bahagian) pada selang masa rawak, dan selang pemprosesan bahagian juga ditetapkan secara rawak. Output model ialah anggaran purata masa pemprosesan bagi sesuatu bahagian, anggaran purata masa menunggu dalam baris gilir untuk pemprosesan, kebarangkalian masa henti peralatan, dsb. Operasi sistem disimulasikan secara berterusan untuk tempoh masa tertentu (syif kerja), i.e. Pada bila-bila masa, bahagian mungkin tiba untuk diproses atau pemprosesan bahagian mungkin selesai.

Model matematik ialah penyederhanaan situasi sebenar dan merupakan objek abstrak yang diterangkan secara formal, kajian yang mungkin menggunakan pelbagai kaedah matematik.

Mari kita pertimbangkan klasifikasi model matematik.

Model matematik dibahagikan kepada:

1. Bergantung pada sifat sifat objek yang dipaparkan:

· berfungsi;

· struktur.

Model matematik berfungsi direka bentuk untuk memaparkan maklumat, fizikal, proses masa yang berlaku dalam peralatan pengendalian, semasa proses teknologi, dsb.

Oleh itu, model berfungsi- memaparkan proses fungsi objek. Mereka paling kerap mengambil bentuk sistem persamaan.

Model struktur- boleh dalam bentuk matriks, graf, senarai vektor dan menyatakan kedudukan relatif unsur dalam ruang. Model ini biasanya digunakan dalam kes di mana masalah sintesis struktur boleh dirumus dan diselesaikan, mengabstrakkan daripada proses fizikal dalam objek. Mereka mencerminkan sifat struktur objek yang direka.

Untuk mendapatkan perwakilan statik objek yang dimodelkan, sekumpulan kaedah dipanggil model skematik - ini adalah kaedah analisis yang merangkumi perwakilan grafik operasi sistem. Contohnya, carta alir, rajah, rajah operasi pelbagai fungsi dan carta alir.

2. Dengan kaedah mendapatkan model matematik berfungsi:

· teori;

· rasmi;

· empirikal.

Teori diperoleh berdasarkan kajian undang-undang fizik. Struktur persamaan dan parameter model mempunyai tafsiran fizikal tertentu.

Rasmi diperoleh berdasarkan manifestasi sifat objek yang dimodelkan dalam persekitaran luaran, i.e. menganggap objek sebagai "kotak hitam" sibernetik.

Pendekatan teori membolehkan kami memperoleh lebih banyak model universal yang sah untuk julat perubahan yang lebih luas dalam parameter luaran.

Rasmi - lebih tepat pada titik dalam ruang parameter di mana pengukuran dibuat.

Model matematik empirikal dicipta sebagai hasil daripada menjalankan eksperimen (mengkaji manifestasi luaran sifat sesuatu objek dengan mengukur parameternya pada input dan output) dan memproses keputusannya menggunakan kaedah statistik matematik.

3. Bergantung kepada kelinearan dan ketaklinieran persamaan:

· linear;

· tak linear.

4. Bergantung pada set domain dan nilai pembolehubah model, terdapat:

· berterusan

· diskret (domain definisi dan nilai adalah berterusan);

· berterusan-diskrit (domain definisi adalah berterusan, dan julat nilai adalah diskret). Model ini kadangkala dipanggil terkuantisasi;

· diskret-berterusan (domain definisi adalah diskret, dan julat nilai adalah berterusan). Model ini dipanggil diskret;

· digital (domain definisi dan nilai adalah diskret)

5. Mengikut bentuk sambungan antara output, parameter dalaman dan luaran:

· algoritma;

· analitikal;

· berangka.

Algoritma dipanggil model yang dibentangkan dalam bentuk algoritma yang menerangkan urutan operasi yang ditafsirkan secara unik yang dilakukan untuk mendapatkan hasil yang diingini.

Model matematik algoritma menyatakan sambungan antara parameter output dan parameter input dan dalaman dalam bentuk algoritma.

Model matematik analitikal ialah penerangan rasmi bagi objek (fenomena, proses) yang mewakili ungkapan matematik eksplisit parameter output sebagai fungsi input dan parameter dalaman.

Pemodelan analitikal adalah berdasarkan penerangan tidak langsung objek yang dimodelkan menggunakan set formula matematik. Bahasa penerangan analitik mengandungi kumpulan utama elemen semantik berikut: kriteria (kriteria), tidak diketahui, data, operasi matematik, sekatan. Ciri yang paling ketara bagi model analitik ialah model itu tidak serupa secara struktur dengan objek yang dimodelkan. Persamaan struktur di sini merujuk kepada korespondensi jelas unsur-unsur dan sambungan model dengan elemen dan sambungan objek yang dimodelkan. Model analisis termasuk model yang dibina berdasarkan pengaturcaraan matematik, korelasi dan analisis regresi. Model analisis sentiasa merupakan konstruk yang boleh dianalisis dan diselesaikan secara matematik. Jadi, jika radas pengaturcaraan matematik digunakan, maka model itu pada asasnya terdiri daripada fungsi objektif dan sistem sekatan ke atas pembolehubah. Fungsi objektif, sebagai peraturan, menyatakan ciri objek (sistem) yang perlu dikira atau dioptimumkan. Khususnya, ini mungkin prestasi sistem teknologi. Pembolehubah menyatakan ciri teknikal objek (sistem), termasuk pembolehubah, sekatan - nilai had yang dibenarkan.

Model analisis ialah alat yang berkesan untuk menyelesaikan masalah mengoptimumkan proses yang berlaku dalam sistem teknologi, serta mengoptimumkan dan mengira ciri-ciri sistem teknologi itu sendiri.

Perkara penting ialah dimensi model analisis tertentu. Selalunya untuk sistem teknologi sebenar (talian automatik, sistem pengeluaran fleksibel), dimensi model analisis mereka adalah sangat besar sehingga mendapatkan penyelesaian optimum ternyata sangat sukar dari sudut pengiraan. Untuk meningkatkan kecekapan pengiraan dalam kes ini, pelbagai teknik digunakan. Salah satu daripadanya dikaitkan dengan membahagikan masalah berdimensi besar kepada subtugasan berdimensi lebih kecil supaya penyelesaian autonomi submasalah dalam urutan tertentu memberikan penyelesaian kepada masalah utama. Dalam kes ini, masalah timbul dalam mengatur interaksi subtugas, yang tidak selalunya mudah. Teknik lain melibatkan mengurangkan ketepatan pengiraan, dengan itu mengurangkan masa yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.

Model analisis boleh dikaji dengan kaedah berikut:

· analitikal, apabila mereka berusaha untuk mendapatkan secara umum kebergantungan untuk ciri yang diingini;

· berangka, apabila mereka berusaha untuk mendapatkan hasil berangka dengan data awal tertentu;

· kualitatif, apabila, mempunyai penyelesaian dalam bentuk eksplisit, seseorang boleh mencari beberapa sifat penyelesaian (menilai kestabilan penyelesaian).

Walau bagaimanapun, pemodelan analisis memberikan hasil yang baik dalam kes sistem yang agak mudah. Dalam kes sistem yang kompleks, sama ada penyederhanaan yang ketara bagi model awal diperlukan untuk mengkaji sekurang-kurangnya sifat umum sistem. Ini membolehkan anda memperoleh hasil anggaran, dan untuk menentukan anggaran yang lebih tepat, gunakan kaedah lain, contohnya, pemodelan simulasi.

Model berangka dicirikan oleh pergantungan jenis ini, yang membenarkan hanya penyelesaian yang diperoleh melalui kaedah berangka untuk keadaan awal tertentu dan parameter kuantitatif model.

6. Bergantung kepada sama ada persamaan model mengambil kira inersia proses dalam objek atau tidak mengambil kira:

· dinamik atau model inersia(ditulis dalam bentuk persamaan pembezaan atau integro-pembezaan atau sistem persamaan) ;

· statik atau model bukan inersia(ditulis dalam bentuk persamaan algebra atau sistem persamaan algebra).

7. Bergantung pada kehadiran atau ketiadaan ketidakpastian dan jenis ketidakpastian, model ialah:

· deterministik e (tiada ketidakpastian);

· stokastik (terdapat ketidakpastian dalam bentuk pembolehubah rawak atau proses yang diterangkan oleh kaedah statistik dalam bentuk undang-undang atau fungsi taburan, serta ciri berangka);

· kabur (untuk menerangkan ketidakpastian, radas teori set kabur digunakan);

· digabungkan (kedua-dua jenis ketidakpastian ada).

Secara umum, jenis model matematik bergantung bukan sahaja pada sifat objek sebenar, tetapi juga pada masalah yang mana ia dicipta, dan ketepatan penyelesaian yang diperlukan.

Jenis model utama dibentangkan dalam Rajah 2.5.

Mari kita pertimbangkan satu lagi klasifikasi model matematik. Pengelasan ini adalah berdasarkan konsep kebolehkawalan objek kawalan. Kami akan membahagikan semua MM secara bersyarat kepada empat kumpulan.1. Model ramalan (model pengiraan tanpa kawalan). Mereka boleh dibahagikan kepada statik Dan dinamik.Tujuan utama model ini ialah: mengetahui keadaan awal dan maklumat tentang kelakuan di sempadan, untuk memberi ramalan tentang kelakuan sistem dalam masa dan ruang. Model sedemikian juga boleh menjadi stokastik Sebagai peraturan, model ramalan diterangkan oleh persamaan algebra, transendental, pembezaan, kamiran, integro-pembezaan dan ketaksamaan. Contohnya termasuk model pengagihan haba, medan elektrik, kinetik kimia, hidrodinamik, aerodinamik, dsb. 2. Model pengoptimuman. Model-model ini juga boleh dibahagikan kepada statik Dan dinamik. Model statik digunakan pada peringkat reka bentuk pelbagai sistem teknologi. Dinamik - kedua-duanya pada peringkat reka bentuk dan, terutamanya, untuk kawalan optimum pelbagai proses - teknologi, ekonomi, dll. Terdapat dua arah dalam masalah pengoptimuman. Yang pertama termasuk tugas deterministik. Semua maklumat input di dalamnya boleh ditentukan sepenuhnya Arah kedua berkaitan proses stokastik. Dalam masalah ini, beberapa parameter adalah rawak atau mengandungi unsur ketidakpastian. Banyak masalah pengoptimuman untuk peranti automatik, sebagai contoh, mengandungi parameter dalam bentuk hingar rawak dengan beberapa ciri kebarangkalian Kaedah untuk mencari ekstrem fungsi banyak pembolehubah dengan pelbagai sekatan sering dipanggil kaedah pengaturcaraan matematik. Masalah pengaturcaraan matematik adalah salah satu masalah pengoptimuman yang penting. Bahagian utama berikut dibezakan dalam pengaturcaraan matematik.· Pengaturcaraan linear . Fungsi objektif adalah linear, dan set di mana ekstrem fungsi objektif dicari ditentukan oleh sistem kesamaan linear dan ketaksamaan.· Pengaturcaraan bukan linear . Fungsi objektif tak linear dan kekangan tak linear.· Pengaturcaraan cembung . Fungsi objektif ialah cembung dan set di mana masalah ekstrem diselesaikan.· Pengaturcaraan kuadratik . Fungsi objektif adalah kuadratik, dan kekangan adalah linear.· Masalah multiextremal. Masalah di mana fungsi objektif mempunyai beberapa ekstrem tempatan. Tugas sebegini nampaknya sangat bermasalah.· Pengaturcaraan integer. Dalam masalah sedemikian, keadaan integer dikenakan ke atas pembolehubah.

nasi. 4.8. Klasifikasi model matematik

Sebagai peraturan, kaedah analisis klasik untuk mencari ekstrem fungsi beberapa pembolehubah tidak boleh digunakan untuk masalah pengaturcaraan matematik Model teori kawalan optimum adalah salah satu yang paling penting dalam model pengoptimuman. Teori matematik kawalan optimum adalah salah satu teori yang mempunyai aplikasi praktikal yang penting, terutamanya untuk kawalan optimum proses. Terdapat tiga jenis model matematik bagi teori kawalan optimum.· Model kawalan optimum diskret. Secara tradisinya, model sedemikian dipanggil model pengaturcaraan dinamik, kerana kaedah utama untuk menyelesaikan masalah tersebut ialah kaedah pengaturcaraan dinamik Bellman.· Model berterusan kawalan optimum sistem dengan parameter terkumpul (diterangkan oleh persamaan derivatif biasa).· Model berterusan kawalan optimum sistem dengan parameter teragih (diterangkan oleh persamaan pembezaan separa).3. Model sibernetik (permainan). Model sibernetik digunakan untuk menganalisis situasi konflik. Diandaikan bahawa proses dinamik ditentukan oleh beberapa subjek yang mempunyai beberapa parameter kawalan yang boleh digunakan. Seluruh kumpulan subjek dengan minat mereka sendiri dikaitkan dengan sistem sibernetik. 4. Pemodelan simulasi . Jenis model yang diterangkan di atas tidak meliputi sejumlah besar situasi yang berbeza, seperti yang boleh diformalkan sepenuhnya. Untuk mengkaji proses sedemikian, adalah perlu untuk memasukkan elemen "biologi" yang berfungsi - seseorang - dalam model matematik. Dalam situasi sedemikian, pemodelan simulasi digunakan, serta kaedah pemeriksaan dan prosedur maklumat.