Aritmetik ilerleme örneklerinin nasıl çözüleceği. Aritmetik ilerleme

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Sayı dizileri. Aritmetik ilerleme"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

9. sınıf ders kitapları için "Integral" çevrimiçi mağazasındaki eğitim yardımları
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.

Peki aritmetik ilerleme nedir?

İkinciden başlayarak her üyenin yer aldığı sayısal bir dizi. toplamına eşitönceki ve sabit bir sayıya aritmetik ilerleme denir.

Aritmetik ilerleme, tekrar tekrar tanımlanan sayısal ilerlemedir.

Tekrarlayan formu yazalım: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, sayı d – ilerleme farkı. a ve d verilen belirli sayılardır.

Örnek. 1,4,7,10,13,16... $a=1, d=3$ olan bir aritmetik ilerleme.

Örnek. 3,0,-3,-6,-9... $a=3, d=-3$ olan bir aritmetik ilerleme.

Örnek. 5,5,5,5,5... $a=5, d=0$ olan bir aritmetik ilerleme.

Bir aritmetik ilerleme monotonluk özelliklerine sahiptir: ilerlemenin farkı sıfırdan büyükse dizi artıyordur, ilerlemenin farkı sıfırdan küçükse dizi azalıyor demektir.

Eğer içindeyse aritmetik ilerleme eleman sayısı sonlu ise ilerlemeye sonlu aritmetik ilerleme denir.

Eğer $a_(n)$ dizisi verilmişse ve bu bir aritmetik ilerlemeyse, o zaman şunu belirtmek gelenekseldir: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formül

Aritmetik bir ilerleme analitik biçimde de belirtilebilir. Bunu nasıl yapacağımızı görelim:
$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Şu modeli kolayca fark ediyoruz: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Formülümüze aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülü denir.

Örneklerimize geri dönelim ve her örnek için formülümüzü yazalım.

Örnek. 1,4,7,10,13,16... a=1, d=3 olan aritmetik ilerleme. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Örnek. 3,0,-3,-6,-9... A=3, d=-3 olan aritmetik ilerleme. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Örnek. Aritmetik bir ilerleme verildiğinde: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) $a_(1)=5$, $d=3$ olduğu bilinmektedir. $a_(23)$'ı bulun.
b) $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$ olduğu bilinmektedir. N'yi bulun.
c) $d=-1$, $a_(22)=15$ olduğu bilinmektedir. $a_(1)$'ı bulun.
d) $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$ olduğu bilinmektedir. D'yi bulun.
Çözüm.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Örnek. Bir aritmetik ilerlemenin dokuzuncu terimini ikinci terime böldüğümüzde bölüm 7 kalır, dokuzuncu terimi beşinciye böldüğümüzde bölüm 2, kalan 5 olur. Dizinin otuzuncu terimini bulun.
Çözüm.
İlerlememizin formül 2,5 ve 9 terimlerini sırasıyla yazalım.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Ayrıca durumdan şunu da biliyoruz:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Veya:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Bir denklem sistemi oluşturalım:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
Sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: $d=6, a_(1)=1$.
$a_(30)$'ı bulalım.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Sonlu aritmetik ilerlemenin toplamı

Sonlu bir aritmetik ilerlememiz olsun. Şu soru ortaya çıkıyor: Tüm üyelerinin toplamını hesaplamak mümkün mü?
Bu konuyu anlamaya çalışalım.
Sonlu bir aritmetik ilerleme verilsin: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
Terimlerinin toplamına ilişkin gösterimi tanıtalım: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Hadi bir göz atalım spesifik örnek, toplamı nedir?

Bize 1,2,3,4,5...100 aritmetik ilerlemesi verilsin.
O halde üyelerinin toplamını şu şekilde sunalım:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Ancak benzer bir formül herhangi bir aritmetik ilerleme için geçerlidir:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Formülümüzü genel haliyle yazalım: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, burada $k<1$.
Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamını hesaplamak için bir formül türetelim, formülü farklı sıralarda iki kez yazalım:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Bu formülleri toplayalım:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Eşitliğimizin sağ tarafında n tane terim var ve bunların her birinin $a_(1)+a_(n)$'a eşit olduğunu biliyoruz.
Daha sonra:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n))))(2)$.
Formülümüz şu şekilde de yeniden yazılabilir: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$ olduğundan,
sonra $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Çoğu zaman bu özel formülü kullanmak daha uygundur, bu yüzden onu hatırlamakta fayda var!

Örnek. Sonlu bir aritmetik ilerleme verilmiştir.
Bulmak:
a) $s_(22), eğer a_(1)=7 ise, d=2$.
b) d,eğer $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Çözüm.
a) İkinci toplam formülünü kullanalım $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616$.
b) Bu örnekte ilk formülü kullanacağız: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Örnek. İki basamaklı tüm tek sayıların toplamını bulun.
Çözüm.
İlerlememizin şartları şunlardır: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
İlerlemenin son teriminin sayısını bulalım:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
99$=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Şimdi toplamı bulalım: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$.

Örnek. Adamlar yürüyüşe çıktılar. İlk saatte 500 m yürüdükleri, sonrasında ilk saate göre 25 metre daha az yürümeye başladıkları biliniyor. 2975 metreyi kaç saatte kat ederler?
Çözüm.
Her saatte kat edilen yol aritmetik ilerleme olarak temsil edilebilir:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Aritmetik ilerlemenin farkı $d=-25$'dır.
2975 metrede kat edilen mesafe, bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamıdır.
$S_(n)=2975$, burada n yolculukta harcanan saattir.
Daha sonra:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
1000$n-25(n-1)n=5950$.
Her iki tarafı da 25'e bölün.
40$n-(n-1)n=238$.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Açıkçası $n=7$ seçmek daha mantıklı.
Cevap. Adamlar 7 saat boyunca yoldaydılar.

Aritmetik ilerlemenin karakteristik özelliği

Arkadaşlar, bir aritmetik ilerleme verildiğinde, ilerlemenin rastgele üç ardışık terimini ele alalım: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.
Şunu biliyoruz:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
İfadelerimizi bir araya getirelim:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.

İlerleme sonlu ise bu eşitlik ilk ve sonuncu hariç tüm terimler için geçerlidir.
Dizinin hangi forma sahip olduğu önceden bilinmiyorsa ancak şu şekilde bilinmektedir: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
O zaman bunun aritmetik bir ilerleme olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Sayısal bir dizi, bu ilerlemenin her bir üyesinin ilerlememizin iki komşu üyesinin aritmetik ortalamasına eşit olduğu bir aritmetik ilerlemedir (sonlu bir ilerleme için bu koşulun ilerlemenin ilk ve son üyesi için karşılanmadığını unutmayın) .

Örnek. $3x+2$ olacak şekilde x'i bulun; $x-1$; $4x+3$ – bir aritmetik ilerlemenin ardışık üç terimi.
Çözüm. Formülümüzü kullanalım:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Kontrol edelim, ifadelerimiz şu şekilde olacaktır: -2,2; -2.4; -2.6.
Açıkçası, bunlar aritmetik ilerlemenin terimleridir ve $d=-0.2$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

1. Aritmetik ilerlemenin yirmi birinci terimini bulun 38;30;22…
2. Aritmetik ilerlemenin on beşinci terimini bulun: 10,21,32...
3. $a_(1)=7$, $d=8$ olduğu biliniyor. $a_(31)$'ı bulun.
4. $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$ olduğu biliniyor. N'yi bulun.
5. 3;12;21… aritmetik dizisinin ilk on yedi teriminin toplamını bulun.
6. $2x-1$ olacak şekilde x'i bulun; $3x+1$; $5x-7$ – bir aritmetik ilerlemenin ardışık üç terimi.

Aritmetik ilerlemenin toplamı.

Aritmetik ilerlemenin toplamı basit bir şeydir. Hem anlam hem de formül olarak. Ancak bu konuyla ilgili her türlü görev var. Temelden oldukça sağlama.

Öncelikle miktarın anlamını ve formülünü anlayalım. Ve sonra karar vereceğiz. Kendi zevkiniz için.) Miktarın anlamı möö kadar basittir. Aritmetik ilerlemenin toplamını bulmak için tüm terimlerini dikkatlice eklemeniz yeterlidir. Bu terimler azsa formül kullanmadan ekleyebilirsiniz. Ama çok ya da çok varsa... ekleme can sıkıcıdır.) Bu durumda formül imdadımıza yetişir.

Miktarın formülü basittir:

Formülde ne tür harflerin yer aldığını bulalım. Bu, işleri büyük ölçüde açıklığa kavuşturacaktır.

Sn - aritmetik ilerlemenin toplamı. Toplama sonucu herkesüyeleri ile Birinciİle son. Bu önemli. Tam olarak topluyorlar Tümüyeleri atlamadan veya atlamadan arka arkaya. Ve tam olarak şundan başlayarak Birinci.Üçüncü ve sekizinci terimlerin toplamını veya beşinci ila yirminci terimlerin toplamını bulma gibi problemlerde formülün doğrudan uygulanması hayal kırıklığı yaratacaktır.)

1 - Birinci ilerlemenin üyesi. Burada her şey açık, çok basit Birinci satır numarası.

BİR- son ilerlemenin üyesi. Serinin son sayısı. Çok tanıdık bir isim değil ama miktara uygulandığında çok uygun. O zaman kendin göreceksin.

N - son üyenin numarası. Formülde bu sayının olduğunu anlamak önemlidir. eklenen terimlerin sayısıyla örtüşür.

Konsepti tanımlayalım sonüye BİR. Zor soru: hangi üye sonuncusu eğer verilirse sonsuz aritmetik ilerleme?)

Kendinize güvenerek cevap verebilmek için aritmetik ilerlemenin temel anlamını anlamanız ve... görevi dikkatlice okumanız gerekir!)

Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulma görevinde her zaman son terim görünür (doğrudan veya dolaylı olarak), ki bu sınırlı olmalıdır. Aksi takdirde nihai, belirli bir miktar basitçe mevcut değil.Çözüm için ilerlemenin verilip verilmediği önemli değildir: sonlu veya sonsuz. Nasıl verildiği önemli değil: bir dizi sayı ya da n'inci terim için bir formül.

En önemli şey, formülün ilerlemenin ilk döneminden sayı içeren döneme kadar çalıştığını anlamaktır. N. Aslında formülün tam adı şuna benzer: bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı. Bu ilk üyelerin sayısı, yani. N, yalnızca göreve göre belirlenir. Bir görevde, tüm bu değerli bilgiler genellikle şifrelenir, evet... Ama boş verin, aşağıdaki örneklerde bu sırları açığa çıkarıyoruz.)

Aritmetik ilerlemenin toplamı ile ilgili görev örnekleri.

Öncelikle faydalı bilgiler:

Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren görevlerdeki temel zorluk, formülün öğelerinin doğru belirlenmesinde yatmaktadır.

Görev yazarları bu unsurları sınırsız hayal gücüyle şifreler.) Burada asıl önemli olan korkmamaktır. Elementlerin özünü anlamak, onları basitçe deşifre etmek yeterlidir. Birkaç örneğe ayrıntılı olarak bakalım. Gerçek bir GIA'ya dayalı bir görevle başlayalım.

1. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a n = 2n-3,5. İlk 10 teriminin toplamını bulun.

Aferin. Kolay.) Formülü kullanarak miktarı belirlemek için neyi bilmemiz gerekiyor? İlk üye 1, geçen dönem BİR, evet son üyenin numarası N.

Son üyenin numarasını nereden alabilirim? N? Evet, şartla orada! Diyor ki: toplamı bul ilk 10 üye. Peki hangi numarayla olacak? son, onuncu üye?) İnanmayacaksınız, numarası onuncu!) Bu nedenle, yerine BİR Formülde yerine koyacağız 10 ve bunun yerine N- on. Tekrar ediyorum, son üye sayısı üye sayısıyla örtüşüyor.

Belirlemek için kalır 1 Ve 10. Bu, problem tanımında verilen n'inci terim formülü kullanılarak kolayca hesaplanır. Bunu nasıl yapacağınızı bilmiyor musunuz? Önceki derse katılın, bu olmadan hiçbir yolu yoktur.

1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10=2·10 - 3,5 =16,5

Sn = S10.

Aritmetik ilerlemenin toplamı formülünün tüm öğelerinin anlamını bulduk. Geriye kalan tek şey bunları değiştirmek ve saymaktır:

İşte bu. Cevap: 75.

GIA'ya dayanan başka bir görev. Biraz daha karmaşık:

2. Farkı 3,7 olan aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde; a 1 =2,3. İlk 15 teriminin toplamını bulun.

Hemen toplam formülünü yazıyoruz:

Bu formül herhangi bir terimin değerini numarasına göre bulmamızı sağlar. Basit bir ikame arıyoruz:

15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Aritmetik ilerlemenin toplamı için formüldeki tüm unsurları yerine koymak ve cevabı hesaplamak kalır:

Cevap: 423.

Bu arada, eğer toplam formülünde yerine BİR Formülü n'inci terimin yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

Benzerlerini sunalım ve bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı için yeni bir formül elde edelim:

Gördüğünüz gibi burada gerekli değil n'inci terim BİR. Bazı problemlerde bu formül çok işe yarıyor evet... Bu formülü hatırlarsınız. Veya buradaki gibi doğru zamanda görüntüleyebilirsiniz. Sonuçta, toplamın formülünü ve n'inci terimin formülünü her zaman hatırlamanız gerekir.)

Şimdi görev kısa bir şifreleme şeklinde):

3. Üçün katı olan iki basamaklı tüm pozitif sayıların toplamını bulun.

Vay! Ne ilk üyeniz, ne son üyeniz, ne de ilerlemeniz... Nasıl yaşanır!?

Kafanızla düşünmeniz ve durumdan aritmetik ilerlemenin toplamının tüm unsurlarını çıkarmanız gerekecek. İki basamaklı sayıların ne olduğunu biliyoruz. İki sayıdan oluşurlar.) İki basamaklı sayı ne olacak? Birinci? 10, muhtemelen.) A sonçift ​​haneli sayı mı? 99 elbette! Üç haneli olanlar onu takip edecek...

Üçün katları... Hımm... Bunlar üçe bölünebilen sayılar, işte! On üçe bölünmez, 11 bölünmez... 12... bölünür! Yani bir şeyler ortaya çıkıyor. Sorunun koşullarına göre zaten bir dizi yazabilirsiniz:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu seri aritmetik bir ilerleme mi olacak? Kesinlikle! Her terim bir öncekinden kesinlikle üç farklılık gösterir. Bir terime 2 veya 4 eklerseniz sonuç; yeni sayı artık 3'e bölünemez. Aritmetik ilerlemenin farkını hemen belirleyebilirsiniz: d = 3.İşinize yarayacaktır!)

Böylece bazı ilerleme parametrelerini güvenle yazabiliriz:

Sayı ne olacak? N son üye? 99'un ölümcül bir yanılgı olduğunu düşünenler... Rakamlar hep arka arkaya gidiyor ama üyelerimiz üçün üzerine atlıyor. Eşleşmiyorlar.

Burada iki çözüm var. Bunun bir yolu süper çalışkanlar içindir. İlerlemeyi, tüm sayı dizisini yazabilir ve üye sayısını parmağınızla sayabilirsiniz.) İkinci yol düşünceli olanlar içindir. N'inci dönemin formülünü hatırlamanız gerekiyor. Formülü problemimize uygularsak 99'un ilerlemenin otuzuncu terimi olduğunu buluruz. Onlar. n = 30.

Aritmetik ilerlemenin toplamının formülüne bakalım:

Bakıyoruz ve seviniyoruz.) Sorun ifadesinden tutarı hesaplamak için gereken her şeyi çıkardık:

1= 12.

30= 99.

Sn = S 30.

Geriye kalan tek şey temel aritmetiktir. Sayıları formülde yerine koyarız ve hesaplarız:

Cevap: 1665

Başka bir popüler bulmaca türü:

4. Aritmetik ilerleme verildiğinde:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yirmiden otuz dörde kadar terimlerin toplamını bulun.

Miktarın formülüne bakıyoruz ve... üzülüyoruz.) Formül, hatırlatayım, tutarı hesaplıyor. ilkindenüye. Ve problemde toplamı hesaplamanız gerekiyor yirminci yüzyıldan beri... Formül işe yaramayacak.

Elbette tüm ilerlemeyi bir seri halinde yazabilir ve 20'den 34'e kadar terimler ekleyebilirsiniz. Ama... bu bir şekilde aptalca ve uzun zaman alıyor, değil mi?)

Daha şık bir çözüm var. Serimizi iki parçaya ayıralım. İlk bölüm olacak ilk dönemden on dokuzuncu döneme kadar.İkinci bölüm - yirmiden otuz dörde kadar.İlk bölümün terimlerinin toplamını hesaplarsak açıktır ki S 1-19, ikinci bölümün terimlerinin toplamını ekleyelim S 20-34, birinci dönemden otuz dördüncü döneme kadar olan ilerlemenin toplamını elde ederiz S1-34. Bunun gibi:

S 1-19 + S 20-34 = S1-34

Bundan toplamı bulduğumuzu görebiliriz. S 20-34 basit çıkarma işlemiyle yapılabilir

S 20-34 = S1-34 - S 1-19

Sağ taraftaki her iki miktar da dikkate alınır ilkindenüye, yani standart toplam formülü onlar için oldukça geçerlidir. Haydi başlayalım mı?

İlerleme parametrelerini problem ifadesinden çıkarıyoruz:

d = 1,5.

1= -21,5.

İlk 19 ve ilk 34 terimin toplamını hesaplamak için 19. ve 34. terimlere ihtiyacımız olacak. Bunları problem 2'deki gibi n'inci terim formülünü kullanarak hesaplıyoruz:

19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Hiçbir şey kalmadı. 34 terimin toplamından 19 terimin toplamını çıkarın:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Cevap: 262.5

Önemli bir not! Bu sorunu çözmenin çok faydalı bir hilesi var. Doğrudan hesaplama yerine neye ihtiyacınız var (S 20-34), saydık ihtiyaç duyulmayan bir şey - S 1-19. Ve sonra karar verdiler S 20-34 gereksiz olanı sonuçtan çıkararak. Bu tür bir "kulak yanıltması" çoğu zaman sizi kötü sorunlardan kurtarır.)

Bu dersimizde aritmetik ilerlemenin toplamının anlamını anlamanın yeterli olduğu problemlere baktık. Birkaç formül bilmeniz gerekiyor.)

Pratik tavsiye:

Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren herhangi bir problemi çözerken, bu konudaki iki ana formülü hemen yazmanızı öneririm.

N'inci terimin formülü:

Bu formüller size sorunu çözmek için neye bakmanız ve hangi yönde düşünmeniz gerektiğini anında söyleyecektir. Yardımcı olur.

Ve şimdi bağımsız çözüm için görevler.

5. Üçe bölünemeyen iki basamaklı tüm sayıların toplamını bulun.

Harika mı?) İpucu 4. problemin notunda gizli. Peki, 3. problem yardımcı olacaktır.

6. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. İlk 24 teriminin toplamını bulun.

Olağandışı mı?) Bu yinelenen bir formüldür. Bunu önceki derste okuyabilirsiniz. Bağlantıyı göz ardı etmeyin, bu tür sorunlara Devlet Bilimler Akademisi'nde sıklıkla rastlanır.

7. Vasya tatil için para biriktirdi. 4550 ruble kadar! Ve en sevdiğim kişiye (kendime) birkaç günlük mutluluk vermeye karar verdim). Kendinize hiçbir şeyi inkar etmeden güzel yaşayın. İlk gün 500 ruble harcayın ve sonraki her gün bir öncekinden 50 ruble daha fazla harcayın! Ta ki para bitene kadar. Vasya'nın kaç günü mutluluk vardı?

Zor mu?) Problem 2'deki ek formül yardımcı olacaktır.

Cevaplar (karışıklık içinde): 7, 3240, 6.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Sayı dizisi kavramı, her doğal sayının bir gerçek değere karşılık geldiğini ima eder. Böyle bir sayı dizisi keyfi olabilir veya belirli özelliklere sahip olabilir - bir ilerleme. İkinci durumda, dizinin her bir sonraki elemanı (üyesi), bir önceki kullanılarak hesaplanabilir.

Aritmetik ilerleme, komşu üyelerinin birbirinden aynı sayıda farklılık gösterdiği bir sayısal değerler dizisidir (2'den başlayarak serinin tüm öğeleri benzer bir özelliğe sahiptir). Bu sayı (önceki ve sonraki terimler arasındaki fark) sabittir ve ilerleme farkı olarak adlandırılır.

İlerleme farkı: tanım

A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j'nin N doğal sayılar kümesine ait j değerlerinden oluşan bir dizi düşünün. ilerleme, tanımına göre bir dizidir ve burada a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. d değeri bu ilerlemenin istenen farkıdır.

d = a(j) – a(j-1).

Vurgulayın:

• Artan bir ilerleme, bu durumda d > 0. Örnek: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• İlerleme azalıyor, sonra d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Fark ilerlemesi ve keyfi unsurları

İlerlemenin 2 rastgele terimi biliniyorsa (i-th, k-th), o zaman belirli bir dizi için fark, ilişkiye dayalı olarak belirlenebilir:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, bunun anlamı d = (a(i) – a(k))/(i-k).

İlerleme farkı ve ilk dönemi

Bu ifade, yalnızca dizi öğesinin sayısının bilindiği durumlarda bilinmeyen bir değerin belirlenmesine yardımcı olacaktır.

İlerleme farkı ve toplamı

Bir ilerlemenin toplamı, terimlerinin toplamıdır. İlk j elemanlarının toplam değerini hesaplamak için uygun formülü kullanın:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, fakat beri a(j) = a(1) + d(j – 1), sonra S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Cebir okurken ortaokul(9. sınıf) biri önemli konular geometrik ve aritmetik ilerlemeleri içeren sayı dizilerinin incelenmesidir. Bu yazıda aritmetik ilerlemeye ve çözümlü örneklere bakacağız.

Aritmetik ilerleme nedir?

Bunu anlamak için hem söz konusu ilerlemeyi tanımlamak hem de daha sonra problemlerin çözümünde kullanılacak temel formülleri sağlamak gerekir.

Bazı cebirsel ilerlemelerde 1. terimin 6'ya, 7. terimin ise 18'e eşit olduğu bilinmektedir. Farkı bulup bu diziyi 7. terime geri döndürmek gerekir.

Bilinmeyen terimi belirlemek için şu formülü kullanalım: a n = (n - 1) * d + a 1 . Koşuldan bilinen verileri, yani a 1 ve a 7 sayılarını yerine koyalım: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifadeden farkı kolayca hesaplayabilirsiniz: d = (18 - 6) /6 = 2. Böylece problemin ilk kısmını cevaplamış olduk.

Diziyi 7. terime geri döndürmek için tanımı kullanmalısınız. cebirsel ilerleme yani a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d vb. Sonuç olarak tüm diziyi geri yükleriz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Örnek No. 3: bir ilerlemenin hazırlanması

Hadi bunu daha da karmaşık hale getirelim daha güçlü durum görevler. Şimdi aritmetik ilerlemenin nasıl bulunacağı sorusunu cevaplamamız gerekiyor. Şu örneği verebiliriz: İki sayı veriliyor örneğin - 4 ve 5. Bunların arasına üç terim daha yerleştirilecek şekilde cebirsel bir ilerleme oluşturmak gerekiyor.

Bu sorunu çözmeye başlamadan önce, verilen sayıların gelecekteki ilerlemede nasıl bir yer tutacağını anlamalısınız. Aralarında üç terim daha olacağı için a 1 = -4 ve a 5 = 5 olur. Bunu belirledikten sonra bir öncekine benzer probleme geçiyoruz. Yine formülü kullandığımız n'inci terim için şunu elde ederiz: a 5 = a 1 + 4 * d. Başlangıç: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Burada elde ettiğimiz şey farkın tam sayı değeri değil, rasyonel bir sayıdır, dolayısıyla cebirsel ilerlemenin formülleri aynı kalır.

Şimdi bulunan farkı 1'e ekleyelim ve ilerlemenin eksik terimlerini geri yükleyelim. Şunu elde ederiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, bunlar çakışıyor Sorunun koşulları ile.

Örnek No. 4: ilerlemenin ilk dönemi

Çözümlü aritmetik ilerleme örnekleri vermeye devam edelim. Önceki problemlerin hepsinde cebirsel ilerlemenin ilk sayısı biliniyordu. Şimdi farklı türde bir problem düşünelim: a 15 = 50 ve a 43 = 37 olmak üzere iki sayı verilsin. Bu dizinin hangi sayıyla başladığını bulmak gerekiyor.

Şu ana kadar kullanılan formüller a 1 ve d'nin bilgisini varsaymaktadır. Problem ifadesinde bu sayılar hakkında hiçbir şey bilinmemektedir. Bununla birlikte, hakkında bilgi bulunan her terim için ifadeleri yazacağız: a 15 = a 1 + 14 * d ve a 43 = a 1 + 42 * d. 2 bilinmeyen miktarın (a 1 ve d) olduğu iki denklem aldık. Bu, problemin bir doğrusal denklem sisteminin çözümüne indirgendiği anlamına gelir.

Bu sistemi çözmenin en kolay yolu, her denklemde 1'i ifade etmek ve ardından elde edilen ifadeleri karşılaştırmaktır. Birinci denklem: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci denklem: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Bu ifadeleri eşitleyerek şunu elde ederiz: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, dolayısıyla fark d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (yalnızca 3 ondalık basamak verilmiştir).

D'yi bildiğinize göre, 1 için yukarıdaki 2 ifadeden herhangi birini kullanabilirsiniz. Örneğin ilk olarak: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Elde edilen sonuçtan şüpheniz varsa kontrol edebilirsiniz, örneğin durumda belirtilen ilerlemenin 43. dönemini belirleyebilirsiniz. Şunu elde ederiz: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Küçük hata, hesaplamalarda binde birine yuvarlamanın kullanılmasından kaynaklanmaktadır.

Örnek No. 5: tutar

Şimdi bir aritmetik ilerlemenin toplamının çözümlerini içeren birkaç örneğe bakalım.

Aşağıdaki formun sayısal ilerlemesi verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu sayıların 100'ünün toplamı nasıl hesaplanır?

Bilgisayar teknolojisinin gelişmesi sayesinde bu sorunu çözmek, yani tüm sayıları sırayla eklemek mümkündür; kişi Enter tuşuna bastığı anda bilgisayarın yapacağı bunu yapar. Ancak sunulan sayı serisinin cebirsel bir ilerleme olduğuna ve farkının 1'e eşit olduğuna dikkat ederseniz sorun zihinsel olarak çözülebilir. Toplam formülünü uygulayarak şunu elde ederiz: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Bu problemin “Gaussian” olarak adlandırılması ilginçtir çünkü 18. yüzyılın başında, henüz 10 yaşında olan ünlü Alman, bu problemi birkaç saniye içinde kafasında çözebilmiştir. Çocuk cebirsel ilerlemenin toplamının formülünü bilmiyordu ama dizinin sonundaki sayıları çiftler halinde toplarsanız her zaman aynı sonucu elde ettiğinizi fark etti: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ve bu toplamlar tam olarak 50 (100/2) olacağından doğru cevabı almak için 50'yi 101 ile çarpmak yeterlidir.

Örnek No. 6: n'den m'ye kadar terimlerin toplamı

Bir tane daha tipik örnek aritmetik ilerlemenin toplamı şu şekildedir: 3, 7, 11, 15, ... gibi bir sayı dizisi verildiğinde, bunun 8'den 14'e kadar olan terimlerinin toplamının neye eşit olacağını bulmanız gerekir.

Sorun iki şekilde çözülür. Bunlardan ilki, 8'den 14'e kadar bilinmeyen terimleri bulmayı ve ardından bunları sırayla toplamayı içerir. Terim sayısı az olduğundan bu yöntem pek emek yoğun değildir. Bununla birlikte, bu sorunun daha evrensel olan ikinci bir yöntemle çözülmesi önerilmektedir.

Buradaki fikir, n > m'nin tamsayı olduğu m ve n terimleri arasındaki cebirsel ilerlemenin toplamı için bir formül elde etmektir. Her iki durumda da toplam için iki ifade yazıyoruz:

1. S m = m * (bir m + bir 1) / 2.
2. S n = n * (bir n + bir 1) / 2.

n > m olduğundan 2. toplamın birinciyi içerdiği açıktır. Son sonuç, bu toplamlar arasındaki farkı alıp buna a m terimini eklersek (farkın alınması durumunda S n toplamından çıkarılırsa) probleme gerekli cevabı elde edeceğimiz anlamına gelir. Elimizde: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifadede a n ve a m formüllerini yerine koymak gerekir. O zaman şunu elde ederiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ortaya çıkan formül biraz hantaldır, ancak S mn toplamı yalnızca n, m, a 1 ve d'ye bağlıdır. Bizim durumumuzda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu sayıları yerine koyarsak şunu elde ederiz: S mn = 301.

Yukarıdaki çözümlerden de görülebileceği gibi, tüm problemler n'inci terimin ifadesi ve ilk terimler kümesinin toplamı formülü bilgisine dayanmaktadır. Bu sorunlardan herhangi birini çözmeye başlamadan önce, durumu dikkatlice okumanız, neyi bulmanız gerektiğini net bir şekilde anlamanız ve ancak o zaman çözüme devam etmeniz önerilir.

Başka bir ipucu da basitlik için çabalamaktır, yani bir soruyu karmaşık matematiksel hesaplamalar kullanmadan cevaplayabiliyorsanız, o zaman tam da bunu yapmanız gerekir, çünkü bu durumda hata yapma olasılığı daha azdır. Örneğin, 6 numaralı çözümle aritmetik ilerleme örneğinde, S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formülünde durabiliriz ve genel sorunu ayrı alt görevlere bölün (V bu durumdaönce a n ve a m) terimlerini bulun.

Elde edilen sonuç hakkında şüpheleriniz varsa, verilen bazı örneklerde yapıldığı gibi kontrol etmeniz önerilir. Aritmetik ilerlemeyi nasıl bulacağımızı öğrendik. Bunu anlarsanız, o kadar da zor değil.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Aritmetik ilerleme, her sayının bir öncekinden aynı miktarda daha büyük (veya daha az) olduğu bir sayı dizisidir.

Bu konu çoğu zaman karmaşık ve anlaşılmaz görünmektedir. Harflerin indeksleri, ilerlemenin n'inci terimi, ilerlemenin farkı - bunların hepsi bir şekilde kafa karıştırıcı, evet... Aritmetik ilerlemenin anlamını çözelim ve her şey hemen daha iyi hale gelecektir.)

Aritmetik ilerleme kavramı.

Aritmetik ilerleme çok basit ve açık bir kavramdır. Herhangi bir şüpheniz var mı? Boşuna.) Kendiniz görün.

Bitmemiş bir sayı dizisi yazacağım:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu seriyi uzatabilir misiniz? Beşten sonra hangi sayılar gelecek? Herkes... uh... kısacası herkes bundan sonra 6, 7, 8, 9 vb. sayıların geleceğini anlayacak.

Görevi karmaşıklaştıralım. Size bitmemiş bir sayı dizisi veriyorum:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Deseni yakalayabilecek, seriyi genişletebilecek ve isim verebileceksiniz. yedinci satır numarası?

Bu sayının 20 olduğunu fark ettiyseniz tebrikler! Sadece hissetmedin aritmetik ilerlemenin kilit noktaları, ama aynı zamanda bunları iş hayatında da başarıyla kullandı! Eğer çözemediyseniz okumaya devam edin.

Şimdi duyumlardaki önemli noktaları matematiğe çevirelim.)

İlk önemli nokta.

Aritmetik ilerleme sayı dizileriyle ilgilidir. Bu ilk başta kafa karıştırıcıdır. Denklem çözmeye, grafik çizmeye falan alışığız... Ama burada seriyi genişletiyoruz, serinin numarasını buluyoruz...

Önemli değil. Sadece ilerlemeler matematiğin yeni bir dalıyla ilk tanışmadır. Bu bölüme "Seriler" adı verilir ve özellikle sayı ve ifade dizileriyle çalışır. Buna alışın.)

İkinci önemli nokta.

Aritmetik ilerlemede her sayı bir öncekinden farklıdır aynı miktarda.

İlk örnekte bu fark birdir. Hangi sayıyı alırsanız alın, bir öncekinin bir fazlasıdır. İkincisinde - üç. Herhangi bir sayı bir öncekinden üç fazladır. Aslında bize kalıbı kavrama ve sonraki sayıları hesaplama fırsatını veren de bu andır.

Üçüncü önemli nokta.

Bu an çok çarpıcı değil evet... Ama çok ama çok önemli. İşte: her biri ilerleme numarası yerinde duruyor. Birinci sayı var, yedinci var, kırk beşinci var vs. Bunları rastgele karıştırırsanız desen kaybolur. Aritmetik ilerleme de ortadan kalkacaktır. Geriye sadece bir dizi sayı kaldı.

Bütün mesele bu.

Elbette yeni bir konuda yeni terimler ve tanımlar ortaya çıkıyor. Onları bilmeniz gerekiyor. Aksi halde görevi anlayamazsınız. Örneğin, şöyle bir şeye karar vermeniz gerekecek:

a 2 = 5, d = -2,5 ise, aritmetik ilerlemenin ilk altı terimini (a n) yazın.

İlham verici mi?) Mektuplar, bazı dizinler... Ve bu arada, görev daha kolay olamazdı. Sadece terimlerin ve tanımların anlamını anlamanız gerekir. Şimdi bu konuya hakim olacağız ve göreve döneceğiz.

Terimler ve tanımlar.

Aritmetik ilerleme her sayının bir öncekinden farklı olduğu bir sayı dizisidir aynı miktarda.

Bu miktara denir . Bu konsepte daha detaylı bakalım.

Aritmetik ilerleme farkı.

Aritmetik ilerleme farkı herhangi bir ilerleme sayısının ne kadar olduğu Dahaönceki.

Önemli bir nokta. Lütfen söze dikkat edin "Daha". Matematiksel olarak bu, her ilerleme sayısının ekleyerekönceki sayıya aritmetik ilerleme farkı.

Hesaplamak için diyelim ki ikinci serinin numaraları, yapmanız gereken Birinci sayı eklemek aritmetik ilerlemedeki bu fark. Hesaplama için beşinci- fark gerekli eklemekİle dördüncü, peki vb.

Aritmetik ilerleme farkı Belki pozitif, o zaman serideki her sayının gerçek olduğu ortaya çıkacak öncekinden daha fazla. Bu ilerlemeye denir artan.Örneğin:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Burada her sayı elde edilir ekleyerek pozitif sayı, +5 öncekine.

Fark olabilir negatif, o zaman serideki her sayı öncekinden daha az. Bu ilerlemeye denir (buna inanmayacaksınız!) azalıyor.

Örneğin:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Burada her sayı da elde edilir ekleyerek bir öncekine, ama zaten negatif sayı, -5.

Bu arada, ilerlemeyle çalışırken, ister artıyor ister azalıyor olsun, doğasını hemen belirlemek çok faydalıdır. Bu, karar vermenize, hatalarınızı tespit etmenize ve çok geç olmadan bunları düzeltmenize çok yardımcı olur.

Aritmetik ilerleme farkı genellikle harfle gösterilir D.

Nasıl bulunur? D? Çok basit. Serideki herhangi bir sayıdan çıkarma yapmak gerekir öncesi sayı. Çıkar. Bu arada çıkarma sonucuna "fark" denir.)

Örneğin şunu tanımlayalım: D aritmetik ilerlemeyi artırmak için:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Dizide istediğimiz herhangi bir sayıyı alıyoruz örneğin 11. Ondan çıkarıyoruz önceki numara onlar. 8:

Bu doğru cevaptır. Bu aritmetik ilerleme için fark üçtür.

Alabilirsin herhangi bir ilerleme numarası,Çünkü belirli bir ilerleme için D-hep aynı. En azından sıranın başında bir yerde, en azından ortada, en azından herhangi bir yerde. Yalnızca ilk sayıyı alamazsınız. Basitçe çünkü ilk sayı önceki yok.)

Bu arada bunu bilerek d=3 Bu ilerlemenin yedinci sayısını bulmak çok basittir. Beşinci sayıya 3 ekleyelim - altıncıyı elde ederiz, 17 olur. Altıncı sayıya üç ekleyelim, yedinci sayıyı - yirmiyi elde ederiz.

Hadi tanımlayalım D azalan aritmetik ilerleme için:

8; 3; -2; -7; -12; .....

İşaretler ne olursa olsun, belirlemeniz gerektiğini size hatırlatırım. D herhangi bir numaradan ihtiyaç var öncekini götür. Herhangi bir ilerleme numarasını seçin, örneğin -7. Önceki numarası -2'dir. Daha sonra:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmetik ilerlemenin farkı herhangi bir sayı olabilir: tam sayı, kesirli, irrasyonel, herhangi bir sayı.

Diğer terimler ve tanımlar.

Dizideki her sayıya denir aritmetik ilerlemenin üyesi.

İlerlemenin her üyesi kendi numarası vardır. Rakamlar hiçbir hile olmaksızın kesinlikle sıralıdır. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü vb. Örneğin, 2, 5, 8, 11, 14, ... diziliminde ilk terim iki, ikinci terim beş, dördüncü terim onbir, yani anlıyor musunuz...) Lütfen açıkça anlayın - sayıların kendileri kesinlikle herhangi bir şey olabilir, bütün, kesirli, negatif, her ne olursa olsun, ama sayıların numaralandırılması- kesinlikle sırayla!

bir ilerleme nasıl yazılır genel görünüm? Soru yok! Bir dizideki her sayı bir harf olarak yazılır. Aritmetik ilerlemeyi belirtmek için genellikle harf kullanılır A. Üye numarası sağ altta bir indeksle gösterilir. Terimleri virgülle (veya noktalı virgülle) ayırarak şu şekilde yazarız:

bir 1, bir 2, bir 3, bir 4, bir 5, .....

1- bu ilk sayı, 3- üçüncü vb. Süslü bir şey yok. Bu seriyi kısaca şu şekilde yazabiliriz: (BİR).

İlerlemeler oluyor sonlu ve sonsuz.

Nihai ilerlemenin sınırlı sayıda üyesi vardır. Beş, otuz sekiz, her neyse. Ama bu sonlu bir sayı.

Sonsuz ilerleme - tahmin edebileceğiniz gibi sonsuz sayıda üyeye sahiptir.)

Son ilerlemeyi bunun gibi bir seri aracılığıyla, tüm terimleri ve sonunda bir noktayı yazabilirsiniz:

1, 2, 3, 4, 5.

Veya çok sayıda üye varsa şöyle:

bir 1, bir 2, ... bir 14, bir 15.

Kısa girişte ayrıca üye sayısını da belirtmeniz gerekecektir. Örneğin (yirmi üye için), şöyle:

(bir n), n = 20

Bu dersteki örneklerde olduğu gibi, satırın sonundaki üç nokta ile sonsuz bir ilerleme fark edilebilir.

Artık görevleri çözebilirsiniz. Görevler basit, yalnızca aritmetik ilerlemenin anlamını anlamaya yönelik.

Aritmetik ilerlemeyle ilgili görev örnekleri.

Yukarıda verilen göreve ayrıntılı olarak bakalım:

1. a 2 = 5, d = -2,5 ise, aritmetik ilerlemenin ilk altı terimini (a n) yazın.

Görevi anlaşılır bir dile çeviriyoruz. Sonsuz bir aritmetik ilerleme verilmiştir. Bu ilerlemenin ikinci sayısı biliniyor: 2 = 5.İlerleme farkı bilinmektedir: d = -2,5. Bu ilerlemenin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci ve altıncı terimlerini bulmamız gerekiyor.

Netlik sağlamak için sorunun koşullarına göre bir dizi yazacağım. İkinci terimin beş olduğu ilk altı terim:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

3 = bir 2 + D

İfadeye ikame bir 2 = 5 Ve d = -2,5. Eksileri unutma!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Üçüncü terimin ikinciden daha küçük olduğu ortaya çıktı. Her şey mantıklı. Sayı öncekinden büyükse negatif değer, bu da sayının kendisinin öncekinden daha az olacağı anlamına gelir. İlerleme azalıyor. Tamam, dikkate alalım.) Serimizin dördüncü dönemini sayıyoruz:

4 = 3 + D

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + D

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + D

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Böylece üçüncüden altıncıya kadar olan terimler hesaplandı. Sonuç aşağıdaki seridir:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Geriye ilk terimi bulmak kalıyor 1 iyi bilinen ikinciye göre. Bu, diğer yönde, sola doğru bir adımdır.) Yani, aritmetik ilerlemenin farkı D eklenmemelidir bir 2, A götürmek:

1 = bir 2 - D

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

İşte bu. Ödev cevabı:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Bu arada, bu görevi çözdüğümüzü belirtmek isterim. tekrarlayan yol. Bu korkunç kelime yalnızca ilerlemenin bir üyesinin aranması anlamına gelir önceki (bitişik) numaraya göre. Aşağıda ilerlemeyle çalışmanın diğer yollarına bakacağız.

Bu basit görevden önemli bir sonuç çıkarılabilir.

Hatırlamak:

Bir aritmetik ilerlemenin en az bir terimini ve farkını biliyorsak, bu ilerlemenin herhangi bir terimini bulabiliriz.

Hatırlıyor musun? Bu basit sonuç, okul kursunun bu konudaki sorunlarının çoğunu çözmenize olanak sağlar. Tüm görevler etrafında döner üç ana parametreler: Bir aritmetik ilerlemenin üyesi, bir ilerlemenin farkı, ilerlemenin bir üyesinin sayısı. Tüm.

Elbette önceki cebirlerin tümü iptal edilmez.) Eşitsizlikler, denklemler ve diğer şeyler ilerlemeye bağlıdır. Ancak ilerlemenin kendisine göre- her şey üç parametre etrafında dönüyor.

Örnek olarak bu konuyla ilgili bazı popüler görevlere bakalım.

2. n=5, d = 0,4 ve a 1 = 3,6 ise sonlu aritmetik ilerlemeyi bir seri olarak yazın.

Burada her şey basit. Her şey zaten verildi. Bir aritmetik dizinin üyelerinin nasıl sayıldığını hatırlamanız, saymanız ve yazmanız gerekir. Görev koşullarındaki kelimeleri kaçırmamanız tavsiye edilir: “final” ve “ n=5". Yüzün tamamen morarıncaya kadar saymamak için.) Bu ilerlemede yalnızca 5 (beş) üye var:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

bir 3 = bir 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Cevabı yazmaya devam ediyor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Başka bir görev:

3. 7 sayısının aritmetik ilerlemenin (a n) bir üyesi olup olmayacağını belirleyin: a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hımm... Kim bilir? Bir şey nasıl belirlenir?

Nasıl-nasıl... İlerlemeyi bir seri halinde yazın ve orada yedi olup olmayacağını görün! Biz sayıyoruz:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Şimdi sadece yedi kişi olduğumuz açıkça görülüyor içinden geçti 6,5 ile 7,7 arasında! Yedi, sayı dizimize girmedi ve bu nedenle yedi, verilen ilerlemenin bir üyesi olmayacak.

Cevap: hayır.

İşte buna dayalı bir sorun gerçek seçenek- GIA:

4. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılır:

...; 15; X; 9; 6; ...

İşte sonu ve başlangıcı olmayan yazılmış bir seri. Üye sayısı yok, fark yok D. Önemli değil. Sorunu çözmek için aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak yeterlidir. Hadi bakalım ve neyin mümkün olduğunu görelim bilmek bu seriden mi? Üç ana parametre nedir?

Üye numaraları? Burada tek bir numara yok.

Ama üç sayı var ve - dikkat! - kelime "tutarlı" durumda. Bu, sayıların boşluksuz, kesinlikle sıralı olduğu anlamına gelir. Bu sırada iki tane mi var? komşu bilinen numaralar? Evet, yaptım! Bunlar 9 ve 6'dır. Dolayısıyla aritmetik ilerlemenin farkını hesaplayabiliriz! Altıdan çıkar öncesi sayı, yani dokuz:

Geriye sadece önemsiz şeyler kaldı. X'in bir önceki sayısı hangi sayı olacak? On beş. Bu, X'in basit toplama işlemiyle kolayca bulunabileceği anlamına gelir. Aritmetik ilerlemenin farkını 15'e ekleyin:

İşte bu. Cevap: x=12

Aşağıdaki sorunları kendimiz çözüyoruz. Not: Bu problemler formüllere dayalı değildir. Tamamen aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak için.) Sadece bir dizi rakam ve harf yazıyoruz, bakıp anlıyoruz.

5. a 5 = -3 ise aritmetik ilerlemenin ilk pozitif terimini bulun; d = 1.1.

6. 5,5 sayısının aritmetik ilerlemenin (an n) bir üyesi olduğu bilinmektedir; burada a 1 = 1,6; d = 1,3. Bu üyenin n sayısını belirleyin.

7. Aritmetik ilerlemede a 2 = 4 olduğu bilinmektedir; 5 = 15,1. 3'ü bulun.

8. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:

...; 15.6; X; 3.4; ...

İlerlemenin x harfiyle gösterilen terimini bulun.

9. Tren, hızını dakikada 30 metre artırarak istasyondan hareket etmeye başladı. Beş dakika sonra trenin hızı ne olacak? Cevabınızı km/saat olarak verin.

10. Aritmetik ilerlemede a 2 = 5 olduğu bilinmektedir; a 6 = -5. 1'i bul.

Cevaplar (karışıklık içinde): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.

Her şey yolunda gitti mi? İnanılmaz! Daha fazlası için aritmetik ilerlemede ustalaşabilirsiniz yüksek seviye, aşağıdaki derslerde.

Her şey yolunda gitmedi mi? Sorun değil. Özel Bölüm 555'te tüm bu sorunlar parça parça sıralanmıştır.) Ve elbette, bu tür görevlerin çözümünü bir bakışta net, net bir şekilde hemen vurgulayan basit pratik bir teknik anlatılmaktadır!

Bu arada, tren bulmacasında insanların sıklıkla karşılaştığı iki sorun var. Biri tamamen ilerleme açısından, ikincisi ise matematik ve fizikteki herhangi bir problem için geneldir. Bu, boyutların birinden diğerine çevrilmesidir. Bu sorunların nasıl çözülmesi gerektiğini gösteriyor.

Bu derste aritmetik ilerlemenin temel anlamına ve ana parametrelerine baktık. Bu, bu konudaki hemen hemen tüm sorunları çözmek için yeterlidir. Eklemek D sayılara seri yaz her şey çözülecek.

Parmak çözümü, bu dersteki örneklerde olduğu gibi, sıranın çok kısa parçaları için işe yarar. Seri uzunsa hesaplamalar daha karmaşık hale gelir. Örneğin, eğer sorudaki 9. problemde yerine koyarsak "beş dakika" Açık "otuz beş dakika" sorun önemli ölçüde daha da kötüleşecektir.)

Ayrıca özünde basit ancak hesaplamalar açısından saçma olan görevler de vardır, örneğin:

Aritmetik ilerleme (a n) verilmiştir. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.

Peki 1/6'yı defalarca mı toplayacağız? Kendini öldürebilirsin!?

Yapabilirsiniz.) Bu tür görevleri bir dakika içinde çözebileceğiniz basit bir formül bilmiyorsanız. Bu formül bir sonraki derste olacak. Ve bu sorun orada çözüldü. Bir dakika içinde.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.