Aritmetik ilerlemenin ilk 19 sayısının toplamını bulun. Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı

Veya aritmetik, özellikleri bir okul cebir dersinde incelenen bir tür sıralı sayısal dizidir. Bu makalede, bir aritmetik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusu ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

Bu nasıl bir ilerleme?

Soruna geçmeden önce (bir aritmetik ilerlemenin toplamı nasıl bulunur), neden bahsettiğimizi anlamakta fayda var.

Herhangi bir dizi gerçek sayılarÖnceki her sayıya bir miktar değer eklenerek (çıkarılarak) elde edilen sayıya cebirsel (aritmetik) ilerleme denir. Bu tanım matematik diline çevrildiğinde şu şekli alır:

Burada i, a i satırının elemanının seri numarasıdır. Böylece, yalnızca bir başlangıç ​​​​numarasını bilerek tüm seriyi kolayca geri yükleyebilirsiniz. Formüldeki d parametresine ilerleme farkı denir.

Söz konusu sayı serisi için aşağıdaki eşitliğin geçerli olduğu kolaylıkla gösterilebilir:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Yani n'inci elemanın değerini sırasıyla bulmak için d farkını ilk eleman a'ya 1 n-1 kez eklemelisiniz.

Aritmetik ilerlemenin toplamı nedir: formül

Belirtilen miktarın formülünü vermeden önce basit bir özel durumu dikkate almakta fayda var. Doğal sayıların 1'den 10'a kadar ilerlemesi verildiğinde, bunların toplamını bulmanız gerekir. Progresyonda (10) az sayıda terim olduğundan, problemi doğrudan çözmek, yani tüm unsurları sırayla toplamak mümkündür.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Göz önünde bulundurmaya değer bir şey İlginç bir şey: her terim bir sonrakinden aynı d = 1 değeri kadar farklı olduğundan, birincinin onuncuyla, ikincinin dokuzuncuyla vb. ikili toplamı aynı sonucu verecektir. Gerçekten mi:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Gördüğünüz gibi bu toplamlardan sadece 5 adet var, yani serinin eleman sayısından tam iki kat daha az. Daha sonra toplam sayısını (5) her toplamın sonucuyla (11) çarparak ilk örnekte elde edilen sonuca ulaşacaksınız.

Bu argümanları genelleştirirsek aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:

S n = n * (bir 1 + bir n) / 2.

Bu ifade, bir satırdaki tüm öğelerin toplanmasının hiç de gerekli olmadığını; ilk a 1 ve sonuncusu a n'nin değerini bilmenin yeterli olduğunu gösterir. toplam sayısı n terim.

Belirli bir soruna çözüm ararken bu eşitliği ilk düşünenin Gauss olduğuna inanılıyor. okul öğretmeni görev: ilk 100 tam sayıyı topla.

m'den n'ye kadar elemanların toplamı: formül

Önceki paragrafta verilen formül, bir aritmetik ilerlemenin (ilk öğeler) toplamının nasıl bulunacağı sorusuna yanıt verir, ancak çoğu zaman problemlerde ilerlemenin ortasında bir sayı dizisinin toplanması gerekir. Nasıl yapılır?

Bu soruyu cevaplamanın en kolay yolu şu örneği ele almaktır: m'inciden n'inciye kadar olan terimlerin toplamını bulmamız gereksin. Sorunu çözmek için, ilerlemenin m'den n'ye kadar olan kısmını yeni bir sayı serisi biçiminde sunmalısınız. böyle m'inci temsil a m terimi ilk olacak ve bir n, n-(m-1) olarak numaralandırılacaktır. Bu durumda, toplam için standart formülün uygulanmasıyla aşağıdaki ifade elde edilecektir:

S m n = (n - m + 1) * (bir m + bir n) / 2.

Formül kullanma örneği

Aritmetik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağını bilmek, yukarıdaki formülleri kullanmanın basit bir örneğini düşünmeye değer.

Aşağıda sayısal bir dizi verilmiştir, 5'inciden başlayıp 12'nci ile biten terimlerinin toplamını bulmalısınız:

Verilen sayılar d farkının 3'e eşit olduğunu göstermektedir. n'inci eleman ifadesini kullanarak ilerlemenin 5. ve 12. terimlerinin değerlerini bulabilirsiniz. Görünüşe göre:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Verilen sayıların uçlarındaki sayıların değerlerini bilmek cebirsel ilerleme ve ayrıca satırda hangi sayıları işgal ettiklerini bilerek, önceki paragrafta elde edilen tutarın formülünü kullanabilirsiniz. Ortaya çıkacak:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Bu değerin farklı şekilde elde edilebileceğini belirtmekte fayda var: önce standart formülü kullanarak ilk 12 öğenin toplamını bulun, ardından aynı formülü kullanarak ilk 4 öğenin toplamını hesaplayın, ardından ikinciyi ilk toplamdan çıkarın.

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Dersin Hedefleri:

• öğrencilerin aritmetik ilerleme kullanılarak çözülen problemlere ilişkin anlayışlarını genişletmek ve derinleştirmek; bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamına ilişkin formülü türetirken öğrencilerin arama etkinliklerini organize etmek;
• bağımsız olarak yeni bilgi edinme ve belirli bir görevi gerçekleştirmek için önceden edinilmiş bilgileri kullanma becerisini geliştirmek;
• elde edilen gerçekleri genelleştirme arzusunu ve ihtiyacını geliştirmek, bağımsızlığı geliştirmek.

Görevler:

• “Aritmetik ilerleme” konusundaki mevcut bilgileri özetlemek ve sistematikleştirmek;
• bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamını hesaplamak için formüller türetmek;
• Elde edilen formüllerin çözerken nasıl uygulanacağını öğretmek çeşitli görevler;
• Öğrencilerin dikkatini sayısal bir ifadenin değerini bulma prosedürüne çekin.

Teçhizat:

• gruplar ve çiftler halinde çalışmaya yönelik görevleri içeren kartlar;
• değerlendirme belgesi;
• sunum “Aritmetik ilerleme”.

I. Temel bilgilerin güncellenmesi.

1. Bağımsız işçift ​​halde.

1. seçenek:

Aritmetik ilerlemeyi tanımlayın. Aritmetik ilerlemeyi tanımlayan bir yineleme formülü yazın. Lütfen aritmetik ilerlemeye bir örnek verin ve farkını belirtin.

2. seçenek:

Aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yazın. Aritmetik ilerlemenin 100. terimini bulun ( BİR}: 2, 5, 8 …
Bu sırada iki öğrenci arka taraf kurullar da aynı soruların yanıtlarını hazırlıyor.
Öğrenciler arkadaşlarının çalışmalarını tahtada kontrol ederek değerlendirirler. (Cevapların bulunduğu kağıtlar teslim edilir.)

2. Oyun anı.

1. Egzersiz.

Öğretmen. Bazı aritmetik ilerlemeler düşündüm. Bana sadece iki soru sor ki cevaplardan sonra bu ilerlemenin 7. dönemini hızlı bir şekilde adlandırabilesin. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Öğrencilerden gelen sorular.

1. İlerlemenin altıncı dönemi nedir ve fark nedir?
2. İlerlemenin sekizinci terimi nedir ve fark nedir?

Başka soru yoksa, öğretmen onları teşvik edebilir - d'ye (fark) "yasak", yani farkın neye eşit olduğunu sormaya izin verilmez. Soru sorabilirsiniz: ilerlemenin 6. terimi neye eşittir ve ilerlemenin 8. terimi neye eşittir?

Görev 2.

Tahtada yazılı 20 sayı vardır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Öğretmen sırtı tahtaya dönük olarak durur. Öğrenciler numarayı söyler ve öğretmen anında numaranın kendisini söyler. Bunu nasıl yapabileceğimi açıkla?

Öğretmen n'inci dönemin formülünü hatırlıyor bir n = 3n – 2 ve belirtilen n değerlerini değiştirerek karşılık gelen değerleri bulur BİR.

II. Bir öğrenme görevi ayarlama.

Mısır papirüslerinde bulunan, MÖ 2. binyıla kadar uzanan eski bir sorunu çözmeyi öneriyorum.

Görev:“Size şunu söyleyelim: 10 ölçek arpayı 10 kişiye bölüştürün, her kişiyle komşusu arasındaki fark 1/8 kadardır.”

• Bu problemin aritmetik ilerleme konusuyla nasıl bir bağlantısı var? (Sonraki her kişi ölçünün 1/8'ini fazla alır yani fark d=1/8, 10 kişi yani n=10 olur.)
• Sizce 10 numaralı tedbir ne anlama geliyor? (İlerlemenin tüm terimlerinin toplamı.)
• Arpanın problemin koşullarına göre bölünmesini kolay ve basit hale getirmek için bilmeniz gereken başka ne var? (İlerlemenin ilk dönemi.)

Dersin Amacı– ilerlemenin terimlerinin toplamının sayılarına, ilk terime ve farka bağımlılığını elde etmek ve eski zamanlarda problemin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol etmek.

Formülü çıkarmadan önce eski Mısırlıların sorunu nasıl çözdüklerine bakalım.

Ve bunu şu şekilde çözdüler:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü – ortalama pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü – iki katına çıkar ortalama paylaşmak.
İki katına çıktı ortalama hisse 5. ve 6. şahısların hisselerinin toplamıdır.
3) 2 ölçü – 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü – beşinci kişinin payının iki katı.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – beşte bir kesri; vb. her bir önceki ve sonraki kişinin payını bulabilirsiniz.

Sırayı alıyoruz:

III. Sorunu çözmek.

1. Grup halinde çalışın

Grup I: Ardışık 20 doğal sayının toplamını bulun: S 20 =(20+1)∙10 =210.

İÇİNDE Genel görünüm

II grubu: 1'den 100'e kadar doğal sayıların toplamını bulun (Küçük Gauss Efsanesi).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Çözüm:

III grubu: 1'den 21'e kadar doğal sayıların toplamını bulun.

Çözüm: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Çözüm:

IV grubu: 1'den 101'e kadar doğal sayıların toplamını bulun.

Çözüm:

Ele alınan problemleri çözmenin bu yöntemine “Gauss Yöntemi” denir.

2. Her grup problemin çözümünü tahtada sunar.

3. Keyfi bir aritmetik ilerleme için önerilen çözümlerin genelleştirilmesi:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , an n .
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Benzer akıl yürütmeyi kullanarak bu toplamı bulalım:

4. Sorunu çözdük mü?(Evet.)

IV. Elde edilen formüllerin problem çözümünde temel olarak anlaşılması ve uygulanması.

1. Formülü kullanarak eski bir problemin çözümünü kontrol etmek.

2. Formülün çeşitli problemlerin çözümünde uygulanması.

3. Problemleri çözerken formülleri uygulama yeteneğini geliştirmeye yönelik alıştırmalar.

A) 613 Sayılı

Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;

(bir n): 1, 2, 3,…, 1500

Bulmak: S 1500

Çözüm: , a 1 = 1 ve 1500 = 1500,

B) Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;
(bir n): 1, 2, 3, …
Sn = 210

Bulmak: N
Çözüm:

V. Karşılıklı doğrulama ile bağımsız çalışma.

Denis kurye olarak çalışmaya başladı. İlk ayda maaşı 200 rubleydi, sonraki her ayda ise 30 ruble arttı. Bir yılda toplam ne kadar kazandı?

Verilen: ( BİR) - aritmetik ilerleme;
a 1 = 200, d=30, n=12
Bulmak: S12
Çözüm:

Cevap: Denis yıl için 4380 ruble aldı.

VI. Ev ödevi talimatı.

1. Bölüm 4.3 – formülün türetilmesini öğrenin.
2. №№ 585, 623 .
3. Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamına ilişkin formül kullanılarak çözülebilecek bir problem oluşturun.

VII. Dersi özetlemek.

1. Puan Tablosu

2. Cümlelere devam edin

• Bugün sınıfta öğrendim...
• Öğrenilen formüller...
• İnanıyorum ki …

3. 1'den 500'e kadar sayıların toplamını bulabilir misiniz? Bu sorunu çözmek için hangi yöntemi kullanacaksınız?

Kaynakça.

1. Cebir, 9. sınıf. için öğretici Eğitim Kurumları. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: “Aydınlanma”, 2009.

Aritmetik ve geometrik ilerlemeler

Teorik bilgiler

Teorik bilgiler

	Aritmetik ilerleme	Geometrik ilerleme
Tanım	Aritmetik ilerleme BİR ikinciden başlayarak her üyenin aynı numaraya eklenen önceki üyeye eşit olduğu bir dizidir D (D- ilerleme farkı)	Geometrik ilerleme bn her terimi ikinciden başlayarak önceki terimin aynı sayıyla çarpımına eşit olan sıfırdan farklı sayılar dizisidir Q (Q- ilerlemenin paydası)
Tekrarlama formülü	Herhangi bir doğal için N bir n + 1 = bir n + d	Herhangi bir doğal için N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formül n'inci terim	bir n = bir 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Karakteristik özellik
İlk n terimin toplamı

Yorum içeren görev örnekleri

1. Egzersiz

Aritmetik ilerlemede ( BİR) 1 = -6, bir 2

N'inci terimin formülüne göre:

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 gün

Koşula göre:

1= -6 ise 22= -6 + 21d .

İlerlemelerin farkını bulmak gerekir:

d = bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Cevap : 22 = -48.

Görev 2

Geometrik ilerlemenin beşinci terimini bulun: -3; 6;....

1. yöntem (n-terim formülünü kullanarak)

Geometrik ilerlemenin n'inci terimi formülüne göre:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Çünkü b 1 = -3,

2. yöntem (tekrarlayan formülü kullanarak)

İlerlemenin paydası -2 (q = -2) olduğuna göre:

b3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Cevap : b5 = -48.

Görev 3

Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir 74 = 34; 76= 156. Bu ilerlemenin yetmiş beşinci terimini bulun.

Aritmetik bir ilerleme için karakteristik özellik şu şekildedir: .

Öyleyse:

.

Verileri formülde yerine koyalım:

Cevap: 95.

Görev 4

Aritmetik ilerlemede ( bir n) bir n= 3n - 4. İlk on yedi terimin toplamını bulun.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamını bulmak için iki formül kullanılır:

.

Bu durumda hangisinin kullanılması daha uygundur?

Koşullu olarak, orijinal ilerlemenin n'inci teriminin formülü bilinmektedir ( BİR) BİR= 3n - 4. Hemen bulabilir ve 1, Ve 16 bulmadan d. Bu nedenle ilk formülü kullanacağız.

Cevap: 368.

Görev 5

Aritmetik ilerlemede ( BİR) 1 = -6; bir 2= -8. İlerlemenin yirmi ikinci terimini bulun.

N'inci terimin formülüne göre:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21g.

Koşullara göre ise 1= -6 ise 22= -6 + 21d . İlerlemelerin farkını bulmak gerekir:

d = bir 2 – bir 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Cevap : 22 = -48.

Görev 6

Geometrik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:

İlerlemenin x ile gösterilen terimini bulun.

Çözerken n'inci terimin formülünü kullanacağız b n = b 1 ∙ q n - 1İçin geometrik ilerlemeler. İlerlemenin ilk dönemi. Q ilerlemesinin paydasını bulmak için, ilerlemenin verilen terimlerinden herhangi birini alıp bir öncekine bölmeniz gerekir. Örneğimizde alıp bölebiliriz. q = 3 elde ederiz. Belirli bir geometrik ilerlemenin üçüncü terimini bulmak gerektiğinden formülde n yerine 3 koyarız.

Bulunan değerleri formülde değiştirerek şunu elde ederiz:

.

Cevap : .

Görev 7

N'inci terimin formülüyle verilen aritmetik ilerlemelerden, koşulun sağlandığı terimi seçin 27 > 9:

İlerlemenin 27. terimi için verilen koşulun sağlanması gerektiğinden, dört ilerlemenin her birinde n yerine 27 koyarız. 4. ilerlemede şunu elde ederiz:

.

Cevap: 4.

Görev 8

Aritmetik ilerlemede 1= 3, d = -1,5. Belirt en yüksek değer n eşitsizliğin geçerli olduğu yer BİR > -6.

Talimatlar

Aritmetik ilerleme a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d biçimindeki bir dizidir. D adımı ilerleme Aritmetiğin keyfi bir n'inci teriminin genelinin ilerlemeşu formdadır: An = A1+(n-1)d. O zaman üyelerden birini tanıyorum ilerleme, üye ilerleme ve adım ilerleme, yani ilerleme üyesinin sayısını yapabilirsiniz. Açıkçası, n = (An-A1+d)/d formülüyle belirlenecektir.

Şimdi m'inci terim bilinsin ilerleme ve başka bir üye ilerleme- n'inci, ancak n , önceki durumda olduğu gibi, ancak n ve m'nin çakışmadığı bilinmektedir. ilerlemeşu formül kullanılarak hesaplanabilir: d = (An-Am)/(n-m). O halde n = (An-Am+md)/d.

Bir aritmetik denklemin birkaç elemanının toplamı biliniyorsa ilerleme, ilk ve sonuncusunun yanı sıra, bu elemanların sayısı da aritmetiğin toplamı belirlenebilir. ilerlemeşuna eşit olacaktır: S = ((A1+An)/2)n. O zaman n = 2S/(A1+An) - chdenov ilerleme. An = A1+(n-1)d gerçeğini kullanarak bu formül şu şekilde yeniden yazılabilir: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Buradan n'yi çözerek ifade edebiliriz. ikinci dereceden denklem.

Aritmetik dizi, birincisi dışında her bir üyesi bir öncekinden aynı miktarda farklı olan sıralı bir sayı kümesidir. Bu sabit değere ilerlemenin farkı veya adımı denir ve aritmetik ilerlemenin bilinen terimlerinden hesaplanabilir.

Talimatlar

Birinci ve ikinci veya başka herhangi bir bitişik terim çiftinin değerleri problemin koşullarından biliniyorsa, farkı hesaplamak için (d) basitçe önceki terimi sonraki terimden çıkarın. Ortaya çıkan değer pozitif veya negatif sayı- ilerlemenin artıp artmadığına bağlıdır. Genel formda, ilerlemenin komşu terimlerinin keyfi bir çifti (aᵢ ve aᵢ₊₁) için çözümü şu şekilde yazın: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Biri ilk (a₁) ve diğeri keyfi olarak seçilen herhangi bir terim olan böyle bir ilerlemenin bir çift terimi için, farkı (d) bulmak için bir formül oluşturmak da mümkündür. Ancak bu durumda diziden rastgele seçilen bir üyenin seri numarasının (i) bilinmesi gerekir. Farkı hesaplamak için her iki sayıyı da toplayın ve elde edilen sonucu, rastgele bir terimin sıra numarasının bir eksiltilmesiyle bölün. Genel olarak bu formülü şu şekilde yazın: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Sıra numarası i olan bir aritmetik ilerlemenin rastgele bir üyesine ek olarak sıra numarası u olan başka bir üye biliniyorsa, önceki adımdaki formülü buna göre değiştirin. Bu durumda ilerlemenin farkı (d), bu iki terimin toplamının aralarındaki farka bölünmesiyle elde edilecektir. seri numaraları: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Farkı (d) hesaplama formülü, problem koşulları ilk teriminin (a₁) değerini ve aritmetik dizinin ilk terimlerinin belirli bir sayısının (i) toplamını (Sᵢ) verirse biraz daha karmaşık hale gelir. İstenilen değeri elde etmek için, toplamı onu oluşturan terim sayısına bölün, dizideki ilk sayının değerini çıkarın ve sonucu ikiye katlayın. Ortaya çıkan değeri, toplamı bir azaltılmış terimi oluşturan terim sayısına bölün. Genel olarak diskriminant hesaplama formülünü şu şekilde yazın: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Evet evet: aritmetik ilerleme sizin için bir oyuncak değil :)

Pekala arkadaşlar, eğer bu metni okuyorsanız, o zaman iç kanıt bana aritmetik ilerlemenin ne olduğunu henüz bilmediğinizi, ancak gerçekten (hayır, böyle: Çooook!) bilmek istediğinizi söylüyor. Bu nedenle uzun tanıtımlarla sizi sıkmayacağım ve doğrudan konuya gireceğim.

Öncelikle birkaç örnek. Birkaç sayı kümesine bakalım:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Tüm bu setlerin ortak noktası nedir? İlk bakışta hiçbir şey yok. Ama aslında bir şey var. Yani: Her sonraki öğeöncekinden aynı sayıda farklı.

Kendiniz karar verin. İlk küme, her biri bir öncekinden bir fazla olan ardışık sayılardan oluşur. İkinci durumda, bitişik sayılar arasındaki fark zaten beştir, ancak bu fark hala sabittir. Üçüncü durumda ise hiç kök yoktur. Bununla birlikte, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ve $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, yani. ve bu durumda, sonraki her öğe $\sqrt(2)$ kadar artar (ve bu sayının irrasyonel olduğundan korkmayın).

Yani: bu tür dizilerin tümüne aritmetik ilerlemeler denir. Kesin bir tanım verelim:

Tanım. Her birinin bir öncekinden tam olarak aynı miktarda farklı olduğu sayı dizisine aritmetik ilerleme denir. Sayıların farklı olduğu miktara ilerleme farkı denir ve çoğunlukla $d$ harfiyle gösterilir.

Gösterim: $\left(((a)_(n)) \right)$ ilerlemenin kendisidir, $d$ onun farkıdır.

Ve sadece birkaç önemli not. İlk olarak, ilerleme yalnızca dikkate alınır sipariş edildi sayıların sırası: kesinlikle yazıldıkları sıraya göre okunmalarına izin verilir - başka hiçbir şeye izin verilmez. Sayılar yeniden düzenlenemez veya değiştirilemez.

İkincisi, dizinin kendisi sonlu veya sonsuz olabilir. Örneğin, (1; 2; 3) kümesi açıkça sonlu bir aritmetik ilerlemedir. Ancak (1; 2; 3; 4; ...) ruhuyla bir şey yazarsanız, bu zaten sonsuz bir ilerlemedir. Dörtten sonraki üç nokta, daha pek çok sayının geleceğini ima ediyor gibi görünüyor. Mesela sonsuz sayıda :)

İlerlemelerin artabileceğini veya azalabileceğini de belirtmek isterim. Artanları zaten gördük - aynı küme (1; 2; 3; 4; ...). İşte azalan ilerlemelerin örnekleri:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Tamam tamam: son örnek aşırı karmaşık görünebilir. Ama gerisini sanırım anlıyorsunuz. Bu nedenle yeni tanımlar sunuyoruz:

Tanım. Aritmetik ilerlemeye denir:

1. her bir sonraki öğe bir öncekinden büyükse artar;
2. aksine, sonraki her öğe bir öncekinden daha azsa azalır.

Ek olarak, "durağan" diziler de vardır - bunlar aynı tekrar eden sayıdan oluşur. Örneğin, (3; 3; 3; ...).

Geriye tek bir soru kalıyor: Artan ilerlemeyi azalan ilerlemeden nasıl ayırt edebiliriz? Neyse ki, buradaki her şey yalnızca $d$ sayısının işaretine bağlıdır, yani. ilerleme farklılıkları:

1. $d \gt 0$ ise ilerleme artar;
2. $d \lt 0$ ise ilerleme açıkça azalıyor demektir;
3. Son olarak, $d=0$ durumu vardır - bu durumda tüm ilerleme durağan bir diziye indirgenir aynı sayılar: (1; 1; 1; 1; ...), vb.

Yukarıda verilen üç azalan ilerleme için $d$ farkını hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için herhangi iki bitişik öğeyi (örneğin birinci ve ikinci) alıp soldaki sayıyı sağdaki sayıdan çıkarmak yeterlidir. Bunun gibi görünecek:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Gördüğümüz gibi her konuda üç vaka fark aslında negatif çıktı. Artık tanımları az çok anladığımıza göre, ilerlemelerin nasıl tanımlandığını ve hangi özelliklere sahip olduğunu anlamanın zamanı geldi.

İlerleme terimleri ve yineleme formülü

Dizilerimizin elemanları değiştirilemediği için numaralandırılabilirler:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \Sağ\)\]

Bu kümenin bireysel elemanlarına bir ilerlemenin üyeleri denir. Bir sayıyla belirtilirler: birinci üye, ikinci üye vb.

Ek olarak, zaten bildiğimiz gibi, ilerlemenin komşu terimleri aşağıdaki formülle ilişkilidir:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kısacası, bir ilerlemenin $n$th terimini bulmak için $n-1$th terimini ve $d$ farkını bilmeniz gerekir. Bu formüle yinelenen denir, çünkü onun yardımıyla herhangi bir sayıyı yalnızca bir öncekini (ve aslında tüm öncekileri) bilerek bulabilirsiniz. Bu çok sakıncalıdır, bu nedenle hesaplamaları ilk terime ve farka indirgeyen daha kurnaz bir formül vardır:

\[(((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Muhtemelen bu formülle zaten karşılaşmışsınızdır. Her türlü referans kitaplarında ve çözüm kitaplarında bunu vermekten hoşlanıyorlar. Ve herhangi bir mantıklı matematik ders kitabında ilklerden biridir.

Ancak biraz pratik yapmanızı öneririm.

Görev No.1. Aritmetik ilerlemenin ilk üç terimini $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$ yazın.

Çözüm. Yani, ilk terimi $((a)_(1))=8$ ve $d=-5$ ilerlemesinin farkını biliyoruz. Az önce verilen formülü kullanalım ve $n=1$, $n=2$ ve $n=3$ yerine koyalım:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(hizala)\]

Cevap: (8; 3; −2)

Bu kadar! Lütfen dikkat: ilerlememiz azalıyor.

Elbette $n=1$ yerine başka bir şey konulamaz; ilk terim bizim tarafımızdan zaten bilinmektedir. Ancak birliği yerine koyarak formülümüzün ilk terim için bile işe yaradığına ikna olduk. Diğer durumlarda her şey banal aritmetiğe indirgendi.

Görev No.2. Bir aritmetik dizinin yedinci terimi -40'a ve on yedinci terimi -50'ye eşitse ilk üç terimini yazın.

Çözüm. Sorunun durumunu tanıdık terimlerle yazalım:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Sağ.\]

Sistem işaretini koydum çünkü bu gereksinimlerin aynı anda karşılanması gerekiyor. Şimdi şunu belirtelim ki ikinci denklemden birinciyi çıkarırsak (sistemimiz olduğu için bunu yapmaya hakkımız var) şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(hizala)\]

İlerleme farkını bulmak işte bu kadar kolay! Geriye kalan tek şey, bulunan sayıyı sistemdeki denklemlerden herhangi birine koymaktır. Örneğin, ilkinde:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matris)\]

Şimdi, ilk terimi ve farkı bildiğimize göre, ikinci ve üçüncü terimleri bulmaya devam ediyoruz:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(hizala)\]

Hazır! Problem çözüldü.

Cevap: (−34; −35; −36)

İlerlemeyle ilgili keşfettiğimiz ilginç özelliğe dikkat edin: $n$th ve $m$th terimlerini alıp bunları birbirinden çıkarırsak, ilerlemenin farkını $n-m$ sayısıyla çarparak elde ederiz:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Basit ama çok kullanışlı özellik Kesinlikle bilmeniz gereken - onun yardımıyla birçok ilerleme sorununun çözümünü önemli ölçüde hızlandırabilirsiniz. İşte bunun açık bir örneği:

Görev No.3. Bir aritmetik ilerlemenin beşinci terimi 8,4, onuncu terimi ise 14,4'tür. Bu ilerlemenin on beşinci terimini bulun.

Çözüm. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ve $((a)_(15))$'ı bulmamız gerektiğinden, şunu not ediyoruz:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(hizala)\]

Ancak $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ koşuluna göre, dolayısıyla $5d=6$, bundan şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(hizala)\]

Cevap: 20.4

Bu kadar! Herhangi bir denklem sistemi oluşturmamıza ve ilk terimi ve farkı hesaplamamıza gerek yoktu; her şey sadece birkaç satırda çözüldü.

Şimdi başka bir problem türüne bakalım: ilerlemenin negatif ve pozitif terimlerini bulmaya. İlerleme artarsa ​​ve ilk terimi negatifse, er ya da geç olumlu terimlerin içinde görüneceği bir sır değildir. Ve bunun tersi de geçerlidir: azalan ilerlemenin koşulları er ya da geç olumsuz hale gelecektir.

Aynı zamanda unsurları sırayla geçerek bu anı “kafa kafaya” bulmak her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman problemler öyle bir şekilde yazılır ki formülleri bilmeden hesaplamalar birkaç sayfa kağıt alır; biz cevabı bulurken uykuya dalarız. Bu nedenle bu sorunları daha hızlı çözmeye çalışalım.

Görev No.4. Aritmetik ilerlemede kaç tane negatif terim var −38,5; −35,8; ...?

Çözüm. Yani, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, buradan farkı hemen buluruz:

Farkın pozitif olduğunu, dolayısıyla ilerlemenin arttığını unutmayın. İlk terim negatiftir, dolayısıyla bir noktada pozitif sayılara rastlayacağız. Tek soru bunun ne zaman olacağıdır.

Hadi şunu bulmaya çalışalım: ne zamana kadar (yani ne zamana kadar) doğal sayı$n$) terimlerin olumsuzluğu korunur:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \sağ. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(hizala)\]

Son satır biraz açıklama gerektiriyor. Yani $n \lt 15\frac(7)(27)$ olduğunu biliyoruz. Öte yandan, sayının yalnızca tamsayı değerleriyle yetiniyoruz (ayrıca: $n\in \mathbb(N)$), dolayısıyla izin verilen en büyük sayı tam olarak $n=15$'dır ve hiçbir durumda 16 değildir. .

Görev No.5. Aritmetik ilerlemede $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu ilerlemenin ilk pozitif teriminin sayısını bulun.

Bu, bir öncekiyle tamamen aynı problem olacaktır, ancak $((a)_(1))$'ı bilmiyoruz. Ancak komşu terimler biliniyor: $((a)_(5))$ ve $((a)_(6))$, böylece ilerlemenin farkını kolayca bulabiliriz:

Ayrıca standart formülü kullanarak beşinci terimi birinci ve fark üzerinden ifade etmeye çalışalım:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(hizala)\]

Şimdi önceki göreve benzeterek ilerliyoruz. Pozitif sayıların dizimizin hangi noktasında görüneceğini öğrenelim:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(hizala)\]

Bu eşitsizliğin minimum tamsayı çözümü 56 sayısıdır.

Lütfen unutmayın: son görevde her şey katı eşitsizliğe indi, bu nedenle $n=55$ seçeneği bize uymayacaktır.

Artık basit problemleri nasıl çözeceğimizi öğrendiğimize göre, daha karmaşık problemlere geçelim. Ama önce, aritmetik ilerlemelerin bize çok fazla zaman kazandıracak ve gelecekte eşit olmayan hücrelere sahip olmamızı sağlayacak çok yararlı başka bir özelliğini inceleyelim.

Aritmetik ortalama ve eşit girintiler

Artan aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimini ele alalım $\left(((a)_(n)) \right)$. Bunları sayı doğrusunda işaretlemeye çalışalım:

Sayı doğrusunda aritmetik ilerlemenin terimleri

Özellikle $((a)_(n-3))),...,((a)_(n+3))$ gibi rastgele terimleri işaretledim, $((a)_(1)) ,\'yi değil. ((a)_(2))),\ ((a)_(3))$, vb. Çünkü şimdi anlatacağım kural her “segment” için aynı şekilde işliyor.

Ve kural çok basit. Tekrarlanan formülü hatırlayalım ve işaretli tüm terimler için yazalım:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(hizala)\]

Ancak bu eşitlikler farklı şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(hizala)\]

Peki ne olmuş? Ve $((a)_(n-1))$ ve $((a)_(n+1))$ terimlerinin $((a)_(n)) $'dan aynı uzaklıkta olması . Ve bu mesafe $d$'a eşittir. Aynı şey $((a)_(n-2))$ ve $((a)_(n+2))$ terimleri için de söylenebilir - bunlar aynı zamanda $((a)_(n) öğesinden de kaldırılmıştır. )$ aynı mesafede $2d$'a eşittir. Sonsuza kadar devam edebiliriz, ancak anlam resimde çok iyi gösterilmiştir.

İlerleme koşulları merkezden aynı uzaklıkta yer alır

Bu bizim için ne anlama geliyor? Bu, eğer komşu sayılar biliniyorsa $((a)_(n))$ öğesinin bulunabileceği anlamına gelir:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1))))(2)\]

Mükemmel bir ifade elde ettik: Bir aritmetik ilerlemenin her terimi, komşu terimlerin aritmetik ortalamasına eşittir! Üstelik: $((a)_(n))$'dan sola ve sağa bir adım değil, $k$ adımlarla geri adım atabiliriz - ve formül yine de doğru olacaktır:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k))))(2)\]

Onlar. $((a)_(100))$ ve $((a)_(200))$$'ı biliyorsak kolayca $((a)_(150))$ bulabiliriz, çünkü $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200))))(2)$. İlk bakışta bu gerçeğin bize hiçbir faydası olmadığı düşünülebilir. Ancak pratikte birçok problem aritmetik ortalamayı kullanacak şekilde özel olarak uyarlanmıştır. Bir göz at:

Görev No. 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ve $14+4((x)^(2))$ sayılarının ardışık terimler olduğu tüm $x$ değerlerini bulun. aritmetik ilerleme (belirtilen sıraya göre).

Çözüm. Bu sayılar bir ilerlemenin üyeleri olduğundan, aritmetik ortalama koşulu onlar için karşılanmıştır: merkezi öğe $x+1$ komşu öğeler cinsinden ifade edilebilir:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2))))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(hizala)\]

Sonuç klasik ikinci dereceden bir denklemdir. Kökleri: $x=2$ ve $x=-3$ yanıtlardır.

Cevap: −3; 2.

Görev No.7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ sayılarının aritmetik bir ilerleme oluşturduğu (bu sırayla) $$ değerlerini bulun.

Çözüm. Ortadaki terimi yine komşu terimlerin aritmetik ortalaması üzerinden ifade edelim:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \sağ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(hizala)\]

Tekrar ikinci dereceden denklem. Ve yine iki kök var: $x=6$ ve $x=1$.

Cevap 1; 6.

Bir sorunu çözme sürecinde bazı acımasız rakamlarla karşılaşırsanız veya bulunan cevapların doğruluğundan tam olarak emin değilseniz, o zaman kontrol etmenizi sağlayan harika bir teknik var: sorunu doğru çözdük mü?

Diyelim ki 6 numaralı problemde -3 ve 2 cevaplarını aldık. Bu cevapların doğru olup olmadığı nasıl kontrol edilir? Bunları orijinal durumuna takalım ve ne olacağını görelim. Bir aritmetik ilerleme oluşturması gereken üç sayımız ($-6(()^(2))$, $+1$ ve $14+4(()^(2))$) olduğunu hatırlatmama izin verin. $x=-3$ yerine koyalım:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(hizala)\]

−54 sayısını aldık; −2; Farkı 52 olan 50 sayısı şüphesiz bir aritmetik ilerlemedir. Aynı şey $x=2$ için de olur:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(hizala)\]

Yine ilerleme oldu ama 27'lik bir farkla. Böylece sorun doğru bir şekilde çözüldü. İsteyen ikinci sorunu kendi başına kontrol edebilir ama hemen söyleyeyim: orada da her şey doğru.

Genel olarak son problemleri çözerken başka bir şeyle karşılaştık ilginç gerçekşunu da unutmamak lazım:

Eğer üç sayı ikincisi ortada olacak şekilde ise önce aritmetik ve son olarak bu sayılar aritmetik bir ilerleme oluşturur.

Gelecekte bu ifadeyi anlamak, sorunun koşullarına dayalı olarak gerekli ilerlemeleri kelimenin tam anlamıyla "inşa etmemize" olanak tanıyacaktır. Ancak böyle bir "inşaa" girişmeden önce, daha önce tartışılanlardan doğrudan çıkan bir gerçeğe daha dikkat etmeliyiz.

Öğeleri gruplama ve toplama

Tekrar sayı eksenine dönelim. Burada ilerlemenin birkaç üyesini not edelim, belki bunlar arasında. diğer birçok üyeye değer:

Sayı doğrusunda 6 eleman işaretlenmiştir

“Sol kuyruğu” $((a)_(n))$ ve $d$ aracılığıyla, “sağ kuyruğu” ise $((a)_(k))$ ve $d$ aracılığıyla ifade etmeye çalışalım. Çok basit:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(hizala)\]

Şimdi aşağıdaki miktarların eşit olduğunu unutmayın:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(hizala)\]

Basitçe söylemek gerekirse, ilerlemenin toplamda $S$ sayısına eşit olan iki öğesini başlangıç ​​olarak düşünürsek ve sonra bu öğelerden şu sayıya doğru adım atmaya başlarsak: zıt taraflar(birbirinize doğru veya tam tersi uzaklaşmak için), sonra rastlayacağımız elementlerin toplamları da eşit olacak$S$. Bu en açık şekilde grafiksel olarak gösterilebilir:

Eşit girintiler eşit miktarlar verir

Anlamak bu gerçek sorunları daha temelde çözmemizi sağlayacak yüksek seviye Yukarıda ele aldığımız zorluklardan daha fazla zorluk. Örneğin bunlar:

Görev No.8. İlk terimi 66 olan ve ikinci ve onikinci terimlerin çarpımının mümkün olan en küçük olduğu bir aritmetik ilerlemenin farkını belirleyin.

Çözüm. Bildiğimiz her şeyi yazalım:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(hizala)\]

Yani $d$ ilerleme farkını bilmiyoruz. Aslında, $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ çarpımı aşağıdaki gibi yeniden yazılabileceğinden, çözümün tamamı fark etrafında inşa edilecektir:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(hizala)\]

Tanktakiler için: İkinci gruptan toplam 11 çarpanını çıkardım. Dolayısıyla istenen çarpım $d$ değişkenine göre ikinci dereceden bir fonksiyondur. Bu nedenle, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ fonksiyonunu düşünün - grafiği, yukarı dalları olan bir parabol olacaktır, çünkü parantezleri genişletirsek şunu elde ederiz:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Gördüğünüz gibi en yüksek terimin katsayısı 11'dir - bu pozitif sayı yani aslında dalları yukarı doğru olan bir parabolle karşı karşıyayız:

takvim ikinci dereceden fonksiyon- parabol

Lütfen unutmayın: Bu parabol minimum değerini tepe noktasında $((d)_(0))$ $((d)_(0))$ ile alır. Elbette, bu apsisi standart şemayı kullanarak hesaplayabiliriz ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formülü vardır), ancak bunu not etmek çok daha mantıklı olacaktır. istenen tepe noktası parabolün eksen simetrisi üzerinde yer alır, bu nedenle $((d)_(0))$ noktası $f\left(d \right)=0$ denkleminin köklerinden eşit uzaklıktadır:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(hizala)\]

Bu yüzden parantezleri açmak için özel bir acelem yoktu: orijinal hallerinde kökleri bulmak çok çok kolaydı. Bu nedenle apsis ortalamaya eşittir aritmetik sayılar−66 ve −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Keşfedilen sayı bize ne veriyor? Bununla birlikte gerekli ürün alınır en küçük değer(bu arada $((y)_(\min ))$'ı asla hesaplamadık - bu bizim için gerekli değil). Aynı zamanda bu sayı orijinal ilerlemenin farkıdır, yani. Cevabı bulduk :)

Cevap: −36

Görev No.9. $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac(1)(6)$ sayıları arasına üç sayı ekleyin, böylece bu sayılarla birlikte bir aritmetik ilerleme oluştursunlar.

Çözüm. Temel olarak, ilk ve son sayı zaten bilinen beş sayıdan oluşan bir dizi oluşturmamız gerekiyor. Eksik sayıları $x$, $y$ ve $z$ değişkenleriyle gösterelim:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

$y$ sayısının dizimizin "ortası" olduğuna dikkat edin - $x$ ve $z$ sayılarından ve $-\frac(1)(2)$ ve $-\frac sayılarından eşit uzaklıkta (1)(6)$. Ve eğer $x$ ve $z$ sayılarından içindeysek şu an$y$ alamıyoruz, o zaman ilerlemenin sonlarında durum farklıdır. Aritmetik ortalamayı hatırlayalım:

Şimdi $y$'ı bildiğimize göre kalan sayıları bulacağız. $x$'ın az önce bulduğumuz $-\frac(1)(2)$ ve $y=-\frac(1)(3)$ sayıları arasında yer aldığını unutmayın. Bu yüzden

Benzer akıl yürütmeyi kullanarak kalan sayıyı buluruz:

Hazır! Üç sayıyı da bulduk. Bunları orijinal sayıların arasına yerleştirilmesi gereken sırayla cevapta yazalım.

Cevap: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Görev No. 10. Girilen sayıların birinci, ikinci ve sonuncusunun toplamının 56 olduğunu biliyorsanız, 2 ile 42 sayıları arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik bir ilerleme oluşturan birkaç sayı ekleyin.

Çözüm. Hatta daha fazla zor görev ancak bu, öncekilerle aynı şemaya göre aritmetik ortalama yoluyla çözülür. Sorun şu ki, kaç sayının eklenmesi gerektiğini tam olarak bilmiyoruz. Bu nedenle, kesin olarak, her şeyi yerleştirdikten sonra tam olarak $n$ sayıların olacağını ve bunların ilkinin 2 ve sonuncusunun 42 olduğunu varsayalım. Bu durumda gerekli aritmetik ilerleme şu şekilde gösterilebilir:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \sağ\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Ancak $((a)_(2))$ ve $((a)_(n-1))$ sayılarının kenarlardaki 2 ve 42 sayılarından birbirine bir adım yaklaşarak elde edildiğini unutmayın, yani. dizinin merkezine. Ve bu şu anlama geliyor

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ancak yukarıda yazılan ifade şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(hizala)\]

$((a)_(3))$ ve $((a)_(1))$'ı bilerek ilerleme farkını kolayca bulabiliriz:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Sağ ok d=5. \\ \end(hizala)\]

Geriye kalan tek şey kalan terimleri bulmak:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(hizala)\]

Böylece, 9. adımda dizinin sol ucuna ulaşacağız - 42 sayısı. Toplamda yalnızca 7 sayının eklenmesi gerekiyordu: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Cevap: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

İlerlemelerle ilgili kelime problemleri

Sonuç olarak, nispeten basit birkaç sorunu ele almak istiyorum. Bu kadar basit: Okulda matematik eğitimi alan ve yukarıda yazılanları okumayan çoğu öğrenci için bu problemler zor görünebilir. Yine de bunlar matematikte OGE ve Birleşik Devlet Sınavında ortaya çıkan problem türleridir, bu yüzden bunlara aşina olmanızı öneririm.

Görev No.11. Ekip Ocak ayında 62 parça üretti ve her birinde gelecek ayöncekinden 14 parça daha fazla üretti. Ekip Kasım ayında kaç parça üretti?

Çözüm. Açıkçası, aya göre listelenen parça sayısı artan bir aritmetik ilerlemeyi temsil edecektir. Dahası:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Kasım yılın 11. ayı olduğundan $((a)_(11))$ bulmamız gerekiyor:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Dolayısıyla kasım ayında 202 parça üretilecek.

Görev No. 12. Ciltleme atölyesinde Ocak ayında 216 kitap ciltlendi ve sonraki her ayda bir önceki aya göre 4 kitap daha ciltlendi. Atölye Aralık ayında kaç kitap ciltledi?

Çözüm. Hepsi aynı:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Aralık yılın son 12. ayı olduğundan $((a)_(12))$ ifadesini arıyoruz:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Cevap bu: Aralık ayında 260 kitap ciltlenecek.

Buraya kadar okuduysanız sizi tebrik etmek için acele ediyorum: aritmetik ilerlemelerde "genç dövüşçü kursunu" başarıyla tamamladınız. İlerlemenin toplamı formülünü ve bunun önemli ve çok faydalı sonuçlarını inceleyeceğimiz bir sonraki derse güvenle geçebilirsiniz.