Açıortayların özellikleri üzerine üçgenortay teoremi. Bir üçgenin ortaortayı. Örneklerle ayrıntılı teori (2019)

29.09.2019

Bir üçgenin bir açısının ortayağı nedir? Bu soruya cevap verirken bazılarının ağzından köşelerde koşan ve köşeyi ikiye bölen meşhur fare çıkıyor." Eğer cevap "mizah" olacaksa belki de doğrudur. Ama ile bilimsel nokta Bir perspektiften bakıldığında, bu sorunun cevabı şöyle bir şey gibi görünmelidir: açının tepe noktasından başlamak ve ikincisini iki eşit parçaya bölmek." Geometride bu şekil aynı zamanda açıortay ile kesişmeden önce bir parça olarak algılanır. üçgenin karşı tarafı.Bu yanlış bir görüş değil.Ama bir açının ortayağı hakkında tanımı dışında başka neler biliniyor?

Noktaların herhangi bir geometrik yeri gibi, kendine has özellikleri vardır. Bunlardan ilki daha ziyade bir işaret bile değil, kısaca şu şekilde ifade edilebilecek bir teoremdir: “Karşısındaki taraf bir açıortay ile iki parçaya bölünürse, bunların oranı orantıya tekabül edecektir. büyük bir üçgenin kenarları.”

Sahip olduğu ikinci özellik: tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasına iç merkez denir.

Üçüncü işaret: Bir üçgenin bir iç ve iki dış açısının açıortayları, üç yazılı daireden birinin merkezinde kesişir.

Bir üçgenin açıortayının dördüncü özelliği, eğer her biri eşitse ikincisinin ikizkenar olmasıdır.

Beşinci işaret aynı zamanda bir ikizkenar üçgenle ilgilidir ve açıortay çiziminde tanınması için ana kılavuzdur, yani: bir ikizkenar üçgende aynı anda medyan ve yükseklik görevi görür.

Açıortay bir pergel ve cetvel kullanılarak oluşturulabilir:

Altıncı kural, ikincisini yalnızca mevcut açıortaylarla kullanarak bir üçgen oluşturmanın imkansız olduğunu belirtir; tıpkı bir küpün ikiye katlanmasının, bir dairenin karesinin alınmasının ve bir açının üçe bölünmesinin bu şekilde inşa edilmesinin imkansız olduğu gibi. Kesin olarak konuşursak, bunların hepsi bir üçgenin açıortayının özellikleridir.

Önceki paragrafı dikkatlice okuduysanız, belki bir cümle ilginizi çekmiştir. "Bir açının üçe bölünmesi nedir?" - muhtemelen soracaksınız. Trisektör açıortay'a biraz benzer, ancak ikincisini çizerseniz açı iki eşit parçaya bölünecek ve bir üç bölüm oluştururken üçe bölünecektir. Doğal olarak bir açının açıortayını hatırlamak daha kolaydır çünkü üçe bölme okulda öğretilmemektedir. Ama tamlık adına, size de anlatacağım.

Daha önce de söylediğim gibi, bir trisektör yalnızca pergel ve cetvelle oluşturulamaz, Fujita kuralları ve bazı eğriler kullanılarak oluşturulabilir: Pascal salyangozları, dörtgenler, Nicomedes konkoidleri, konik kesitler,

Bir açının üçe bölünmesiyle ilgili problemler nevsis kullanılarak oldukça basit bir şekilde çözülür.

Geometride açı üçektörleriyle ilgili bir teorem vardır. Buna Morley teoremi denir. Ortada yer alan her açının üç sektörlerinin kesişme noktalarının köşeler olacağını belirtmektedir.

Büyük bir üçgenin içindeki küçük siyah üçgen her zaman eşkenar olacaktır. Bu teorem 1904 yılında İngiliz bilim adamı Frank Morley tarafından keşfedildi.

Bir açıyı bölmeyle ilgili öğrenebileceğiniz şeyler şunlardır: Bir açının üçe bölücüsü ve ortayı her zaman ayrıntılı açıklamalar gerektirir. Ancak burada henüz açıklamadığım birçok tanım verildi: Pascal salyangozu, Nicomedes konkoidi vb. Emin olun onlar hakkında yazılacak daha çok şey var.

Üçgenin iç açılarına üçgenin açıortayı denir.
Bir üçgenin açısının açıortayı aynı zamanda köşe noktası ile açıortayın üçgenin karşı tarafıyla kesişme noktası arasındaki bölüm olarak da anlaşılır.
Teorem 8. Bir üçgenin üç açıortayı bir noktada kesişir.
Aslında, önce iki açıortayın, örneğin AK 1 ve VK 2'nin kesişim noktası P'yi ele alalım. Bu nokta, A açısının ortaortasında yer aldığı için AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıkta, B açısının ortaortasına ait olduğundan AB ve BC kenarlarından da eşit uzaklıkta. AC ve BC kenarlarıdır ve dolayısıyla üçüncü açıortay CK 3'e aittir, yani P noktasında üç açıortay da kesişir.
Bir üçgenin iç ve dış açılarının açıortaylarının özellikleri
Teorem 9. Bir üçgenin bir iç açısının açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.
Kanıt. ABC üçgenini ve onun B açısının açıortayını ele alalım. C köşesinden, BC açıortayına paralel, AB kenarının devamı ile M noktasında kesişene kadar bir CM düz çizgisi çizelim. VC, ABC açısının açıortayı olduğundan ∠ ABC = ∠ KBC olur. Ayrıca, paralel çizgiler için karşılık gelen açılar olarak ∠ АВК=∠ ВСМ ve paralel çizgiler için çapraz açılar olarak ∠ КВС=∠ ВСМ. Dolayısıyla ∠ ВСМ=∠ ВМС ve dolayısıyla ВСМ üçgeni ikizkenardır, dolayısıyla ВС=ВМ. Bir açının kenarlarını kesen paralel çizgilerle ilgili teoreme göre elimizde AK:K C=AB:VM=AB:BC var, bunun da kanıtlanması gerekiyor.
Teorem 10 ABC üçgeninin B dış açısının açıortayı benzer bir özelliğe sahiptir: A ve C köşelerinden, açıortayın AC tarafının devamı ile kesiştiği L noktasına kadar olan AL ve CL bölümleri üçgenin kenarlarıyla orantılıdır: Al: C.L.=AB:BC.
Bu özellik öncekiyle aynı şekilde kanıtlanmıştır: şekilde bir yardımcı çizgi SM, açıortay BL'ye paralel olarak çizilmiştir. BMC ve BC açıları eşittir, yani BMC üçgeninin BM ve BC kenarları eşittir. Buradan AL:CL=AB:BC sonucuna varıyoruz.

Teorem d4. (ortayortanın ilk formülü): Eğer ABC üçgeni AL doğru parçası A açısının açıortayıdır, o halde AL? = AB·AC - LB·LC.

Kanıt: AL doğrusu ile ABC üçgeninin çevrelediği çemberin kesişme noktası M olsun (Şekil 41). BAM açısı geleneksel olarak MAC açısına eşittir. BMA ve BCA açıları, aynı kirişin oluşturduğu yazılı açılar olarak uyumludur. Bu, BAM ve LAC üçgenlerinin iki açıda benzer olduğu anlamına gelir. Bu nedenle AL: AC = AB: AM. Yani AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL mı? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Kanıtlanması gereken şey buydu. Not: Bir daire içinde kesişen kirişlerin parçaları ve yazılı açılar hakkındaki teorem için daire ve daire konusuna bakın.

Teorem d5. (ortaortay için ikinci formül): Kenarları AB=a, AC=b ve A açısı 2'ye eşit olan bir ABC üçgeninde? ve açıortay l, eşitlik geçerlidir:
l = (2ab / (a+b)) çünkü?

Kanıt: ABC verilen üçgen olsun, AL onun açıortayı olsun (Şekil 42), a=AB, b=AC, l=AL. O halde S ABC = S ALB + S ALC. Bu nedenle absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin?·çünkü? = (a + b) lsın?<=>l = 2·(ab / (a+b))· çünkü?. Teorem kanıtlandı.

Bugün çok kolay bir ders olacak. Sadece tek bir nesneyi (açıortayı) ele alacağız ve onun gelecekte bizim için çok yararlı olacak en önemli özelliğini kanıtlayacağız.

Rahatlamayın: Bazen aynı Birleşik Devlet Sınavında veya Birleşik Devlet Sınavında yüksek puan almak isteyen öğrenciler, ilk derste açıortay tanımını bile doğru bir şekilde formüle edemezler.

Ve gerçekten ilginç işler yapmak yerine, bu kadar basit şeylerle zaman harcıyoruz. O halde okuyun, izleyin ve benimseyin. :)

Başlangıç olarak biraz tuhaf bir soruyla başlayalım: Açı nedir? Bu doğru: bir açı, aynı noktadan çıkan iki ışındır. Örneğin:

Açı örnekleri: dar, geniş ve sağ

Resimden de görebileceğiniz gibi açılar dar, geniş veya düz olabilir; artık bunun bir önemi yok. Çoğu zaman, kolaylık sağlamak için, her ışın üzerinde ek bir nokta işaretlenir ve önümüzde $AOB$ açısının ($\angle AOB$ olarak yazılır) olduğu söylenir.

Kaptan Açıklık, $OA$ ve $OB$ ışınlarına ek olarak, $O$ noktasından daha fazla ışın çekmenin her zaman mümkün olduğunu ima ediyor gibi görünüyor. Ancak aralarında özel bir tane olacak - ona açıortay deniyor.

Tanım. Bir açının açıortayı, o açının köşesinden çıkan ve açıyı ikiye bölen ışındır.

Yukarıdaki açılar için açıortaylar şöyle görünecektir:

Dar, geniş ve dik açılar için açıortay örnekleri

Gerçek çizimlerde belirli bir ışının (bizim durumumuzda bu $OM$ ışınıdır) orijinal açıyı iki eşit parçaya böldüğü her zaman açık olmadığından, geometride eşit açıları aynı sayıda yay ile işaretlemek gelenekseldir ( çizimimizde bu, dar açı için 1 yay, geniş açı için iki, düz için üç yaydır).

Tamam, tanımı çözdük. Şimdi açıortayın hangi özelliklere sahip olduğunu anlamalısınız.

Açıortay'ın temel özelliği

Aslında açıortayın birçok özelliği vardır. Ve bir sonraki derste kesinlikle onlara bakacağız. Ancak şu anda anlamanız gereken bir püf noktası var:

Teorem. Bir açının açıortayı, kenarlardan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir verilen açı.

Matematikten Rusçaya çevrildiğinde bu aynı anda iki gerçek anlamına gelir:

Belirli bir açının açıortayı üzerinde bulunan herhangi bir nokta, bu açının kenarlarından aynı mesafededir.
Ve bunun tersi de geçerlidir: Eğer bir nokta belirli bir açının kenarlarından aynı mesafede bulunuyorsa, o zaman bu açının açıortayında yer alması garanti edilir.

Bu ifadeleri kanıtlamadan önce bir noktayı açıklığa kavuşturalım: Bir noktadan bir açının kenarına olan mesafeye tam olarak ne denir? Burada bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin eski güzel tespiti bize yardımcı olacaktır:

Tanım. Bir noktadan bir doğruya olan mesafe, belirli bir noktadan bu doğruya çizilen dikmenin uzunluğudur.

Örneğin, bir $l$ doğrusunu ve bu doğrunun üzerinde olmayan bir $A$ noktasını düşünün. $AH$'a bir dik çizelim, burada $H\in l$. O zaman bu dikmenin uzunluğu $A$ noktasından $l$ düz çizgisine kadar olan mesafe olacaktır.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin grafiksel gösterimi

Açı sadece iki ışın olduğundan ve her ışın düz bir çizginin parçası olduğundan, bir noktadan açının kenarlarına olan mesafeyi belirlemek kolaydır. Bunlar sadece iki diktir:

Noktadan açının kenarlarına olan mesafeyi belirleyin

Bu kadar! Artık mesafenin ne olduğunu ve açıortayın ne olduğunu biliyoruz. Bu nedenle ana özelliği kanıtlayabiliriz.

Söz verdiğimiz gibi kanıtı iki kısma ayıracağız:

1. Açıortay üzerindeki noktadan açının kenarlarına olan mesafeler aynıdır

$O$ köşe noktası ve $OM$ açıortayıyla rastgele bir açı düşünün:

Bu $M$ noktasının açının kenarlarından aynı uzaklıkta olduğunu kanıtlayalım.

Kanıt. $M$ noktasından açının kenarlarına dikler çizelim. Onlara $M((H)_(1))$ ve $M((H)_(2))$ diyelim:
Açının kenarlarına dik çizin
İki tane var dik üçgen: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ve $\vartriangle OM((H)_(2))$. Ortak bir hipotenüse ($OM$) ve eşit açılara sahiptirler:

$\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ koşula göre ($OM$ bir açıortay olduğundan);

$\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ yapıya göre;

$\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, çünkü toplam keskin köşeler Bir dik üçgenin açısı her zaman 90 derecedir.

Sonuç olarak, üçgenler yan taraflarda ve iki bitişik açıda eşittir (üçgenlerin eşitlik işaretlerine bakın). Bu nedenle, özellikle $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, yani. $O$ noktasından açının kenarlarına olan mesafeler aslında eşittir. Q.E.D. :)

2. Uzaklıklar eşitse nokta açıortay üzerindedir

Şimdi durum tersine döndü. Bir $O$ açısı ve bu açının kenarlarından eşit uzaklıkta bir $M$ noktası verilsin:

$OM$ ışınının bir açıortay olduğunu kanıtlayalım; $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Kanıt. Öncelikle bu $OM$ ışınını çizelim, aksi takdirde kanıtlanacak hiçbir şey kalmayacak:
Köşenin içine $OM$ ışınını iletti
Yine iki dik üçgen elde ederiz: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ve $\vartriangle OM((H)_(2))$. Açıkçası eşittirler çünkü:

Hipotenüs $OM$ - genel;

Bacaklar $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ koşula göre (sonuçta, $M$ noktası açının kenarlarından eşit uzaklıktadır);

Geriye kalan bacaklar da eşittir çünkü Pisagor teoremine göre $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Bu nedenle, üç tarafta $\vartriangle OM((H)_(1))$ ve $\vartriangle OM((H)_(2))$ üçgenleri vardır. Özellikle açıları eşittir: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Ve bu sadece $OM$'ın bir açıortay olduğu anlamına gelir.

İspatı sonuçlandırmak için ortaya çıkan eşit açıları kırmızı yaylarla işaretliyoruz:
Açıortay $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ açısını iki eşit parçaya böler

Gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok. Bir açının açıortayının, bu açının kenarlarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri olduğunu kanıtladık. :)

Artık terminolojiye az çok karar verdiğimize göre, şimdi konuya geçme zamanı. yeni seviye. Bir sonraki derste açıortayın daha karmaşık özelliklerine bakacağız ve bunları gerçek problemleri çözmek için nasıl uygulayacağımızı öğreneceğiz.

Teorem. Bir üçgenin bir iç açısının açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

Kanıt. ABC üçgenini (Şekil 259) ve B açısının açıortayını düşünün. C tepe noktasından, BC açıortayına paralel, AB tarafının devamı ile M noktasında kesişene kadar düz bir CM çizgisi çizin. BK ABC açısının açıortayı olduğuna göre . Ayrıca paralel çizgiler için karşılık gelen açılar ve paralel çizgiler için çapraz açılar olarak. Dolayısıyla ve bu nedenle - ikizkenar, nereden . Bir açının kenarlarıyla kesişen paralel çizgilerle ilgili teoreme göre, elde ederiz ve elde ederiz ki bunu kanıtlamamız gerekiyordu.

ABC üçgeninin B dış açısının açıortayı (Şekil 260) benzer bir özelliğe sahiptir: A ve C köşelerinden, açıortayın AC tarafının devamı ile kesiştiği L noktasına kadar olan AL ve CL bölümleri, orantılıdır. üçgenin kenarları:

Bu özellik öncekiyle aynı şekilde kanıtlanmıştır: Şekil 2'de. Şekil 260'da BL açıortayına paralel bir yardımcı düz çizgi SM çizilmiştir. Okuyucunun kendisi, VMS ve VSM açılarının ve dolayısıyla VMS üçgeninin VM ve BC kenarlarının eşitliğine ikna olacak ve ardından gerekli oran hemen elde edilecektir.

Bir dış açının açıortayının karşı tarafı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böldüğünü söyleyebiliriz; segmentin "dış bölünmesine" izin vermeyi kabul etmeniz yeterlidir.

AC doğru parçasının dışında kalan L noktası (devamında) onu böler dışarıdan Buna göre eğer öyleyse, bir üçgenin açısının ortaortayları (iç ve dış), karşı tarafı (iç ve dış) bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

Problem 1. Yamuğun kenarları 12 ve 15'e, tabanları ise 24 ve 16'ya eşittir. Yamuğun büyük tabanı ve onun uzatılmış kenarlarının oluşturduğu üçgenin kenarlarını bulun.

Çözüm. Şekil 2'deki notasyonda. 261'de yan kenarın devamı niteliğindeki doğru parçası için kolaylıkla bulabileceğimiz bir orantımız var.Benzer şekilde üçgenin ikinci yan kenarını da belirliyoruz.Üçüncü kenar büyük tabanla çakışıyor: .

Problem 2. Yamuğun tabanları 6 ve 15'tir. Tabanlara paralel olan ve kenarlarını 1:2 oranında bölen doğru parçasının küçük tabanın köşelerinden sayılan uzunluğu nedir?

Çözüm. Şekil 2'ye dönelim. 262, bir yamuğu tasvir ediyor. Küçük tabanın C köşesinden AB kenarına paralel bir çizgi çizerek paralelkenarı yamuktan kesiyoruz. O zamandan beri buradan buluyoruz. Bu nedenle, bilinmeyen KL doğru parçasının tamamı eşittir. Bu sorunu çözmek için yamuğun yan kenarlarını bilmemize gerek olmadığını unutmayın.

Problem 3. ABC üçgeninin B iç açısının açıortayı AC kenarını A ve C köşelerinden ne kadar uzakta parçalara ayırıyor? B dış açısının açıortayı AC uzantısıyla kesişecek mi?

Çözüm. B açısının açıortaylarının her biri AC'yi aynı oranda böler, ancak biri içten, diğeri dıştan. AC devamı ile B dış açısının açıortayının kesişme noktasını L ile gösterelim. AK'den beri Bilinmeyen AL uzaklığını gösterelim ve o zaman bir orantı elde etmiş oluruz. Bunun çözümü bize gerekli uzaklığı verir.

Çizimi kendiniz tamamlayın.

Egzersizler

1. Tabanları 8 ve 18 olan bir yamuk, tabanlara paralel düz çizgilerle eşit genişlikte altı şeride bölünmüştür. Yamuğu şeritlere bölen düz parçaların uzunluklarını bulun.

2. Üçgenin çevresi 32'dir. A açısının açıortayı BC kenarını 5 ve 3'e eşit parçalara böler. Üçgenin kenar uzunluklarını bulun.

3. İkizkenar üçgenin tabanı a, kenarı b'dir. Tabanın köşelerinin açıortaylarının kenarlarla kesişme noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğunu bulun.

Üçgenin açıortayı, üçgenin bir açısını iki eşit açıya bölen bir parçadır. Örneğin bir üçgenin açısı 120 0 ise, bir açıortay çizerek her biri 60 0 olan iki açı oluşturacağız.

Ve bir üçgende üç açı olduğundan üç açıortay çizilebilir. Hepsinin tek bir kesme noktası var. Bu nokta üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir. Başka bir deyişle bu kesişme noktasına üçgenin iç merkezi denir.

Bir iç ve dış açının iki açıortayı kesiştiğinde 90 0'lik bir açı elde edilir. Dış köşe bir üçgende komşu açı iç köşeüçgen.

Pirinç. 1. 3 açıortay içeren bir üçgen

Ortay böler karşı taraf yanlara bağlanan iki bölüme:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Açıortay noktaları açının kenarlarından eşit uzaklıktadır, bu da açının kenarlarından aynı uzaklıkta oldukları anlamına gelir. Yani, açıortayın herhangi bir noktasından üçgenin açısının her bir kenarına dik açılar bırakırsak, bu dikmeler eşit olacaktır.

Bir tepe noktasından ortanca, açıortay ve yükseklik çizerseniz, ortanca en uzun bölüm, yükseklik ise en kısa bölüm olacaktır.

Bisektörün bazı özellikleri

Bazı üçgen türlerinde açıortay vardır. özel özellikler. Bu öncelikle ikizkenar üçgen için geçerlidir. Bu şeklin iki özdeş tarafı vardır ve üçüncüsüne taban denir.

Bir ikizkenar üçgenin açısının tepe noktasından tabana bir açıortay çizerseniz, hem yükseklik hem de medyan özelliklerine sahip olacaktır. Buna göre, açıortayın uzunluğu ortancanın uzunluğu ve yüksekliği ile çakışmaktadır.

Tanımlar:

Yükseklik- Bir üçgenin köşesinden karşı kenara çizilen dikme.
Medyan– Bir üçgenin tepe noktası ile karşı kenarın ortasını birleştiren doğru parçası.

Pirinç. 2. İkizkenar üçgendeki açıortay

Bu aynı zamanda eşkenar üçgen, yani üç kenarın eşit olduğu üçgen için de geçerlidir.

Örnek ödev

ABC üçgeninde: BR orta açıdır, AB = 6 cm, BC = 4 cm ve RC = 2 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğunu çıkarın.

Pirinç. 3. Üçgende açıortay

Çözüm:

Açıortay üçgenin kenarını belirli bir oranda böler. Bu oranı kullanıp AR'yi ifade edelim. Daha sonra üçüncü kenarın uzunluğunu, bu kenarın açıortay tarafından bölündüğü parçaların toplamı olarak bulacağız.