Ortalama seviye

Bir üçgenin ortaortayı. Ayrıntılı teoriörneklerle (2019)

Bir üçgenin açıortay ve özellikleri

Bir segmentin orta noktasının ne olduğunu biliyor musunuz? Tabii ki. Çemberin merkezi ne olacak? Aynı. Bir açının orta noktası nedir? Bunun gerçekleşmediğini söyleyebilirsiniz. Peki neden bir parça ikiye bölünebiliyor da bir açı bölünemiyor? Oldukça mümkün - sadece bir nokta değil, ama…. astar.

Şakayı hatırlıyor musunuz: Açıortay köşelerden koşan ve köşeyi ikiye bölen bir faredir. Yani açıortayın gerçek tanımı şu şakaya çok benziyor:

Bir üçgenin açıortayı- bu, bu açının tepe noktasını karşı taraftaki bir noktaya bağlayan bir üçgenin açıortay segmentidir.

Bir zamanlar eski gökbilimciler ve matematikçiler açıortayın birçok ilginç özelliğini keşfettiler. Bu bilgi insanların hayatlarını büyük ölçüde kolaylaştırdı. Topların inşa edilmesi, mesafelerin sayılması ve hatta ateşlenmesinin ayarlanması daha kolay hale geldi... Bu özelliklerin bilgisi, bazı GIA ve Birleşik Devlet Sınavı görevlerini çözmemize yardımcı olacaktır!

Bu konuda yardımcı olacak ilk bilgi ikizkenar üçgenin ortaortayı.

Bu arada, tüm bu terimleri hatırlıyor musun? Birbirlerinden nasıl farklı olduklarını hatırlıyor musunuz? HAYIR? Korkutucu değil. Şimdi çözelim.

Bu yüzden, ikizkenar üçgenin tabanı- bu, diğerine eşit olmayan taraftır. Resme bakın, sizce hangi taraf? Bu doğru - bu taraf.

Medyan, bir üçgenin köşesinden çizilen ve bölen bir çizgidir karşı taraf(yine bu) yarı yarıya.

"İkizkenar üçgenin medyanı" demediğimize dikkat edin. Neden biliyor musun? Çünkü bir üçgenin köşesinden çizilen kenarortay HERHANGİ bir üçgende karşı kenarı ikiye böler.

Yani yükseklik, üstten çizilen ve tabana dik olan bir çizgidir. Fark ettin? Yine sadece ikizkenar üçgenden değil, herhangi bir üçgenden bahsediyoruz. HERHANGİ bir üçgende yükseklik her zaman tabana diktir.

Peki anladın mı? Neredeyse. Açıortay, medyan ve yüksekliğin ne olduğunu daha iyi anlamak ve sonsuza dek hatırlamak için, bunları birbirleriyle karşılaştırmanız ve bunların nasıl benzer olduklarını ve birbirlerinden nasıl farklı olduklarını anlamanız gerekir. Aynı zamanda daha iyi hatırlamak için her şeyi “insan diliyle” anlatmak daha iyidir. O zaman matematik dilinde rahatlıkla işlem yapacaksınız ama ilk başta bu dili anlamıyorsunuz ve her şeyi kendi dilinizde kavramanız gerekiyor.

Peki nasıl benzerler? Açıortay, medyan ve yükseklik - hepsi üçgenin tepe noktasından "dışarı çıkar" ve karşı tarafta durur ve çıktıkları açıyla veya "bir şeyler yaparlar" ters taraf. Bence çok basit, değil mi?

Nasıl farklılar?

• Açıortay çıktığı açıyı ikiye böler.
• Medyan karşı tarafı ikiye böler.
• Yükseklik her zaman karşı tarafa diktir.

Bu kadar. Anlaşılması kolaydır. Ve bir kez anladığınızda hatırlayabilirsiniz.

Şimdi bir sonraki soru. İkizkenar üçgen durumunda neden orta açı hem kenarortay hem de yüksekliktir?

Sadece şekle bakabilir ve medyanın tamamen eşit iki üçgene bölündüğünden emin olabilirsiniz. Bu kadar! Ancak matematikçiler gözlerine inanmaktan hoşlanmazlar. Her şeyi kanıtlamaları gerekiyor. Korkunç bir kelime mi? Böyle bir şey yok - çok basit! Bakın: her ikisinin de kenarları eşit ve genellikle ortak bir kenarları var ve. (- açıortay!) Ve böylece iki üçgenin iki eşit kenarı ve aralarında bir açı olduğu ortaya çıktı. Üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretini hatırlıyoruz (hatırlamıyorsanız konuya bakın) ve bu nedenle = ve olduğu sonucuna varıyoruz.

Bu zaten iyi - medyan olduğu ortaya çıktı.

Ama bu ne?

Resme bakalım - . Ve aldık. O halde! Sonunda yaşasın! Ve.

Bu kanıtı biraz ağır mı buldunuz? Resme bakın; iki özdeş üçgen kendi adına konuşuyor.

Her durumda, şunu kesinlikle unutmayın:

Şimdi daha zor: sayacağız herhangi bir üçgende açıortaylar arasındaki açı! Korkmayın, o kadar da zor değil. Resme bak:

Hadi sayalım. Bunu hatırlıyor musun bir üçgenin açılarının toplamı?

Bu şaşırtıcı gerçeği uygulayalım.

Bir yandan:

Yani.

Şimdi şuna bakalım:

Ama açıortaylar, açıortaylar!

Şunu hatırlayalım:

Şimdi mektuplar arasında

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

Şaşırtıcı değil mi? Görünüşe göre iki açının açıortayları arasındaki açı yalnızca üçüncü açıya bağlıdır!

İki açıortay'a baktık. Peki ya üç tane varsa??!! Hepsi bir noktada kesişecek mi?

Yoksa bu şekilde mi olacak?

Nasıl düşünüyorsun? Böylece matematikçiler düşündüler, düşündüler ve kanıtladılar:

Harika değil mi?

Bunun neden olduğunu bilmek ister misiniz?

Yani...iki dik üçgen: ve. Onlar sahip:

• Genel hipotenüs.
• (çünkü bu bir açıortaydır!)

Bu, açı ve hipotenüs anlamına gelir. Dolayısıyla bu üçgenlerin karşılık gelen bacakları eşittir! Yani.

Noktanın açının kenarlarından eşit (veya eşit) uzaklıkta olduğunu kanıtladık. 1. nokta ele alınır. Şimdi 2. noktaya geçelim.

2 neden doğrudur?

Ve noktaları birleştirelim ve.

Bu, açıortay üzerinde olduğu anlamına gelir!

Bu kadar!

Sorunları çözerken tüm bunlar nasıl uygulanabilir? Örneğin problemlerde sıklıkla şu ifade bulunur: "Bir daire, bir açının kenarlarına dokunuyor...". Pekâlâ, bir şeyler bulmalısın.

O zaman bunu hemen anlarsın

Ve eşitliği kullanabilirsiniz.

3. Bir üçgende üç açıortay bir noktada kesişir

Açıortayın özelliğinden, bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeri olması nedeniyle aşağıdaki ifade gelir:

Tam olarak nasıl çıkıyor? Ama bakın: iki açıortay kesinlikle kesişecek, değil mi?

Ve üçüncü açıortay şu şekilde olabilir:

Ama gerçekte her şey çok daha iyi!

İki açıortayın kesişme noktasına bakalım. Hadi arayalım.

Her iki seferde de burada ne kullandık? Evet paragraf 1, Elbette! Bir nokta açıortay üzerinde bulunuyorsa, açının kenarlarından eşit derecede uzaktadır.

Ve böylece oldu.

Ama şu iki eşitliğe dikkatle bakın! Sonuçta, onlardan şu sonuç çıkıyor ve bu nedenle .

Ve şimdi devreye girecek 2. nokta: Bir açının kenarlarına olan mesafeler eşitse bu nokta açıortay üzerindedir...hangi açı? Resme tekrar bakın:

ve açının kenarlarına olan mesafelerdir ve eşittirler, bu da noktanın açının ortay üzerinde olduğu anlamına gelir. Üçüncü açıortay da aynı noktadan geçti! Üç açıortay da bir noktada kesişiyor! Ve ek bir hediye olarak -

Yarıçaplar yazılı daireler.

(Emin olmak için başka bir konuya bakın).

Artık asla unutmayacaksın:

Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, içine yazılan dairenin merkezidir.

Hadi bir sonraki özelliğe geçelim... Vay be, açıortayın pek çok özelliği var değil mi? Bu harika, çünkü ne kadar çok özellik olursa o kadar iyi olur. daha fazla araç açıortay problemlerini çözmek için.

4. Açıortay ve paralellik, komşu açıların açıortayları

Açıortayın bazı durumlarda açıyı ikiye bölmesi, tamamen beklenmedik sonuçlara yol açmaktadır. Örneğin,

Dava 1

Harika, değil mi? Bunun neden böyle olduğunu anlayalım.

Bir yandan bir açıortay çiziyoruz!

Ancak öte yandan çapraz uzanan açılar da var (temayı hatırlayın).

Ve şimdi ortaya çıktı ki; ortasını atın: ! - ikizkenar!

Durum 2

Bir üçgen hayal edin (veya resme bakın)

Konunun ötesindeki tarafa devam edelim. Şimdi iki açımız var:

• - iç köşe
• - dış köşe dışarıda, değil mi?

Yani, şimdi birisi aynı anda bir değil iki açıortay çizmek istiyordu: hem için hem de için. Ne olacak?

İşe yarayacak mı? dikdörtgen!

Şaşırtıcı bir şekilde durum tam da bu.

Hadi çözelim.

Sizce miktar nedir?

Tabii ki - sonuçta hepsi birlikte öyle bir açı oluşturuyor ki düz bir çizgi ortaya çıkıyor.

Şimdi şunu hatırlayın ve bunlar açıortaydır ve açının içinde tam olarak var olduğunu görün. yarım dört açının toplamından: ve - - yani tam olarak. Bunu bir denklem olarak da yazabilirsiniz:

Yani inanılmaz ama gerçek:

İç ve orta açıortaylar arasındaki açı dış köşeüçgen eşittir.

Durum 3

Burada her şeyin iç ve dış köşelerde olduğu gibi aynı olduğunu görüyor musunuz?

Veya bunun neden olduğunu tekrar düşünelim mi?

Yine bitişik köşelere gelince,

(paralel bazlara karşılık geldiği gibi).

Ve yine barışıyorlar tam olarak yarısı toplamdan

Çözüm: Sorun açıortaylar içeriyorsa bitişik açılar veya açıortaylar ilgili bir paralelkenarın veya yamuğun açıları, o zaman bu problemde kesinlikle katılır dik üçgen ve hatta belki tam bir dikdörtgen.

5. Açıortay ve karşı taraf

Bir üçgenin açıortayının karşı kenarı sadece bir şekilde değil, aynı zamanda özel ve çok ilginç bir şekilde böldüğü ortaya çıktı:

Yani:

İnanılmaz bir gerçek, değil mi?

Şimdi bu gerçeği kanıtlayacağız ama hazırlanın: eskisinden biraz daha zor olacak.

Tekrar - “uzaya” çıkış - ek oluşum!

Düz gidelim.

Ne için? Şimdi göreceğiz.

Açıortay çizgiyle kesişene kadar devam edelim.

Bu tanıdık bir resim mi? Evet, evet, evet, 4. maddedekiyle tamamen aynı, durum 1 - öyle görünüyor ki (- açıortay)

Çapraz yatma

Yani bu da.

Şimdi üçgenlere bakalım ve.

Onlar hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Onlar benzer. Evet, açıları dikey açılara eşittir. Yani iki köşede.

Artık ilgili tarafların ilişkilerini yazma hakkına sahibiz.

Ve şimdi kısa gösterimle:

Ah! Bana bir şeyi hatırlatıyor, değil mi? Kanıtlamak istediğimiz şey bu değil miydi? Evet, evet, tam olarak bu!

"Uzay yürüyüşünün" ne kadar harika olduğunu görüyorsunuz - ek bir düz çizginin inşası - o olmasaydı hiçbir şey olmazdı! Ve böylece bunu kanıtladık

Artık güvenle kullanabilirsiniz! Bir üçgenin açılarının açıortaylarının bir özelliğine daha bakalım - paniğe kapılmayın, şimdi en zor kısım bitti - daha kolay olacak.

Bunu anlıyoruz

Teorem 1:

Teorem 2:

Teorem 3:

Teorem 4:

Teorem 5:

Teorem 6:

Ortaokulun sayısız dersi arasında “geometri” gibi bir konu vardır. Geleneksel olarak bu sistematik bilimin kurucularının Yunanlılar olduğuna inanılmaktadır. Bugün, Yunan geometrisine temel denir, çünkü en basit formları incelemeye başlayan kişi oydu: düzlemler, düz çizgiler ve üçgenler. Dikkatimizi ikincisine, daha doğrusu bu şeklin açıortayına odaklayacağız. Zaten unutmuş olanlar için, bir üçgenin açıortayı, üçgenin köşelerinden birinin açıortayının, onu ikiye bölen ve tepe noktasını karşı tarafta bulunan bir noktaya bağlayan bir parçasıdır.

Bir üçgenin açıortayının, belirli problemleri çözerken bilmeniz gereken bir takım özellikleri vardır:

• Bir açının açıortayı, açıya bitişik kenarlardan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.
• Bir üçgende açıortay, açının karşısındaki kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler. Örneğin, bir MKB üçgeni verildiğinde, K açısından bir açıortay çıkar ve bu açının tepe noktasını MB'nin karşı tarafındaki A noktasına bağlar. Bu özelliği ve üçgenimizi analiz ettiğimizde MA/AB=MK/KB elde ederiz.
• Bir üçgenin üç açısının açıortaylarının kesiştiği nokta, aynı üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir.
• Bir dış ve iki iç açının açıortaylarının tabanları, dış açının açıortayının üçgenin karşı kenarına paralel olmaması koşuluyla aynı düz çizgi üzerindedir.
• Eğer birin iki ortası varsa o zaman bu

Üç açıortay verilirse, pusula yardımıyla bile onlardan bir üçgen oluşturmanın imkansız olduğu unutulmamalıdır.

Çoğu zaman, problemleri çözerken bir üçgenin açıortayı bilinmez, ancak uzunluğunu belirlemek gerekir. Bu sorunu çözmek için açıortay tarafından ikiye bölünen açıyı ve bu açıya komşu kenarları bilmeniz gerekir. Bu durumda gerekli uzunluk, köşeye bitişik kenarların çarpımının iki katı ile açının kosinüsünün ikiye bölünmesinin köşeye bitişik kenarların toplamına oranı olarak tanımlanır. Örneğin aynı MKB üçgeni verildiğinde. Açıortay K açısından çıkar ve MV'nin karşı tarafıyla A noktasında kesişir. Ortayörün çıktığı açı y ile gösterilir. Şimdi kelimelerle söylenen her şeyi bir formül halinde yazalım: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Bir üçgenin açıortayının çıktığı açının değeri bilinmiyorsa ancak tüm kenarları biliniyorsa, o zaman açıortayın uzunluğunu hesaplamak için yarı çevre adını vereceğimiz ve ile ifade edeceğimiz ek bir değişken kullanacağız. P harfi: P=1/2*(MK+KB+MB). Bundan sonra, açıortay uzunluğunun belirlendiği önceki formülde bazı değişiklikler yapacağız, yani kesir payına, köşeye bitişik kenarların uzunluklarının çarpımının yarı çevre ile iki katını koyacağız. ve üçüncü kenarın uzunluğunun yarı çevreden çıkarıldığı bölüm. Paydayı değiştirmeden bırakacağız. Formül formunda şu şekilde görünecektir: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Bir ikizkenar üçgenin açıortayı ile birlikte Genel Özellikler kendine ait birkaç tane var. Bunun nasıl bir üçgen olduğunu hatırlayalım. Böyle bir üçgenin iki eşit kenarı ve tabana bitişik eşit açıları vardır. Bundan, bir ikizkenar üçgenin yan taraflarına düşen açıortayların birbirine eşit olduğu sonucu çıkar. Ayrıca tabana indirilen açıortay hem yükseklik hem de ortancadır.

Üçgenin açıortayı, öğrenmede fazla zorluk yaratmayan yaygın bir geometrik kavramdır. Özellikleri hakkında bilgi sahibi olduğunuzda birçok sorunu fazla zorlanmadan çözebilirsiniz. Bisektör nedir? Okuyucuyu bu matematiksel çizginin tüm sırlarıyla tanıştırmaya çalışacağız.

Temas halinde

Konseptin özü

Kavramın adı Latince anlamı “bi” – iki, “sectio” – kesmek olan kelimelerin kullanımından gelmektedir. Özellikle işaret ediyorlar geometrik anlamı kavramlar - ışınlar arasındaki boşluğu bölmek iki eşit parçaya.

Bir üçgenin açıortayı, şeklin tepe noktasından çıkan bir parçadır ve diğer ucu, alanı iki özdeş parçaya bölerek karşı taraftaki tarafa yerleştirilir.

Matematiksel kavramları hızlı bir şekilde çağrışımsal olarak ezberlemek için birçok öğretmen şiirlere veya çağrışımlara yansıyan farklı terminoloji kullanır. Elbette daha büyük çocuklar için bu tanımın kullanılması tavsiye edilir.

Bu hat nasıl belirlenir? Burada segmentleri veya ışınları belirlemek için kurallara güveniyoruz. Eğer Hakkında konuşuyoruz bir üçgen şeklin açıortayının belirlenmesi hakkında, genellikle uçları olan bir parça olarak yazılır. tepe noktası ve tepe noktasının karşısındaki kenarla kesişme noktası. Üstelik notasyonun başlangıcı tam olarak tepe noktasından yazılır.

Dikkat! Bir üçgenin kaç tane bisektörü vardır? Cevap açık: köşe sayısı kadar - üç.

Özellikler

Tanım dışında bunun pek fazla özelliğini bir okul ders kitabında bulamazsınız. geometrik kavram. Okul çocuklarına tanıtılan bir üçgenin açıortayının ilk özelliği yazılı merkezdir ve onunla doğrudan ilgili olan ikincisi ise parçaların orantılılığıdır. İşin özü şudur:

1. Bölme çizgisi ne olursa olsun, üzerinde bazı noktalar vardır. yanlardan aynı mesafede Işınlar arasındaki boşluğu oluşturanlar.
2. Bir daireyi üçgen şekline sığdırmak için bu parçaların kesişeceği noktanın belirlenmesi gerekir. Burası dairenin merkez noktasıdır.
3. Üçgenin bir tarafının parçaları geometrik şekil bölme çizgisinin ayrıldığı yer, V orantılı bağımlılık açıyı oluşturan kenarlardan.

Geri kalan özellikleri sisteme dahil etmeye çalışacağız ve bu geometrik konseptin avantajlarını daha iyi anlamaya yardımcı olacak ek gerçekleri sunmaya çalışacağız.

Uzunluk

Okul çocukları için zorluk yaratan problem türlerinden biri de bir üçgenin açıortay uzunluğunu bulmaktır. Uzunluğunu içeren ilk seçenek aşağıdaki verileri içerir:

• belirli bir bölümün ortaya çıktığı tepe noktasından gelen ışınlar arasındaki boşluk miktarı;
• bu açıyı oluşturan kenarların uzunlukları.

Sorunu çözmek kullanılan formül Bunun anlamı, açıyı oluşturan kenarların değerlerinin çarpımının, yarısının kosinüsü ile kenarların toplamına 2 kat artması oranını bulmaktır.

Belirli bir örneğe bakalım. Diyelim ki bize, A açısından çizilen ve BC kenarını K noktasında kesen bir ABC şekli verildiğini varsayalım. A'nın değerini Y olarak gösteririz. Buna göre AK = (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

Bir üçgenin açıortay uzunluğunun belirlendiği problemin ikinci versiyonu aşağıdaki verileri içerir:

• şeklin her tarafının anlamları bilinmektedir.

Bu tür bir problemi çözerken öncelikle yarı çevreyi belirle. Bunu yapmak için tüm tarafların değerlerini toplayıp ikiye bölmeniz gerekir: p=(AB+BC+AC)/2. Daha sonra, önceki problemde bu parçanın uzunluğunu belirlemek için kullanılan hesaplama formülünü uyguluyoruz. Yeni parametrelere uygun olarak formülün özünde sadece bazı değişiklikler yapılması gerekiyor. Bu nedenle, tepe noktasına bitişik olan kenarların uzunluklarının yarı çevre ile çarpımının ikinci kuvvetinin çift kökünün oranını ve yarı çevre ile kenar uzunluğu arasındaki farkı bulmak gerekir. karşısındaki kenar, açıyı oluşturan kenarların toplamına eşittir. Yani AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Dikkat! Malzemeye hakim olmayı kolaylaştırmak için, internette bulunan ve bu çizginin "maceralarını" anlatan komik masallara dönebilirsiniz.

Bir üçgenin bir açısının ortayağı nedir? Bu soruya cevap verirken bazılarının ağzından köşelerde koşan ve köşeyi ikiye bölen meşhur fare çıkıyor." Eğer cevap "mizah" olacaksa belki de doğrudur. Ama ile bilimsel nokta Bir perspektiften bakıldığında, bu sorunun cevabı şöyle bir şey gibi görünmelidir: açının tepe noktasından başlamak ve ikincisini iki eşit parçaya bölmek." Geometride bu şekil aynı zamanda açıortay ile kesişmeden önce bir parça olarak algılanır. üçgenin karşı tarafı.Bu yanlış bir görüş değil.Ama bir açının ortayağı hakkında tanımı dışında başka neler biliniyor?

Noktaların herhangi bir geometrik yeri gibi, kendine has özellikleri vardır. Bunlardan ilki daha ziyade bir işaret bile değil, kısaca şu şekilde ifade edilebilecek bir teoremdir: “Karşısındaki taraf bir açıortay ile iki parçaya bölünürse, bunların oranı orantıya tekabül edecektir. büyük bir üçgenin kenarları.”

Sahip olduğu ikinci özellik: tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasına iç merkez denir.

Üçüncü işaret: Bir üçgenin bir iç ve iki dış açısının açıortayları, üç yazılı daireden birinin merkezinde kesişir.

Bir üçgenin açıortayının dördüncü özelliği, eğer her biri eşitse ikincisinin ikizkenar olmasıdır.

Beşinci işaret aynı zamanda bir ikizkenar üçgenle ilgilidir ve açıortay çiziminde tanınması için ana kılavuzdur, yani: bir ikizkenar üçgende aynı anda medyan ve yükseklik görevi görür.

Açıortay bir pergel ve cetvel kullanılarak oluşturulabilir:

Altıncı kural, ikincisini yalnızca mevcut açıortaylarla kullanarak bir üçgen oluşturmanın imkansız olduğunu belirtir; tıpkı bir küpün ikiye katlanmasının, bir dairenin karesinin alınmasının ve bir açının üçe bölünmesinin bu şekilde inşa edilmesinin imkansız olduğu gibi. Kesin olarak konuşursak, bunların hepsi bir üçgenin açıortayının özellikleridir.

Önceki paragrafı dikkatlice okuduysanız, belki bir cümle ilginizi çekmiştir. "Bir açının üçe bölünmesi nedir?" - muhtemelen soracaksınız. Trisektör açıortay'a biraz benzer, ancak ikincisini çizerseniz açı iki eşit parçaya bölünecek ve bir üç bölüm oluştururken üçe bölünecektir. Doğal olarak bir açının açıortayını hatırlamak daha kolaydır çünkü üçe bölme okulda öğretilmemektedir. Ama tamlık adına, size de anlatacağım.

Daha önce de söylediğim gibi, bir trisektör yalnızca pergel ve cetvelle oluşturulamaz, Fujita kuralları ve bazı eğriler kullanılarak oluşturulabilir: Pascal salyangozları, dörtgenler, Nicomedes konkoidleri, konik kesitler,

Bir açının üçe bölünmesiyle ilgili problemler nevsis kullanılarak oldukça basit bir şekilde çözülür.

Geometride açı üçektörleriyle ilgili bir teorem vardır. Buna Morley teoremi denir. Ortada yer alan her açının üç sektörlerinin kesişme noktalarının köşeler olacağını belirtmektedir.

Büyük bir üçgenin içindeki küçük siyah üçgen her zaman eşkenar olacaktır. Bu teorem 1904 yılında İngiliz bilim adamı Frank Morley tarafından keşfedildi.

Bir açıyı bölmeyle ilgili öğrenebileceğiniz şeyler şunlardır: Bir açının üçe bölücüsü ve ortayı her zaman ayrıntılı açıklamalar gerektirir. Ancak burada henüz açıklamadığım birçok tanım verildi: Pascal salyangozu, Nicomedes konkoidi vb. Emin olun onlar hakkında yazılacak daha çok şey var.

Üçgenin iç açılarına üçgenin açıortayı denir.
Bir üçgenin açısının açıortayı aynı zamanda köşe noktası ile açıortayın üçgenin karşı tarafıyla kesişme noktası arasındaki bölüm olarak da anlaşılır.
Teorem 8. Bir üçgenin üç açıortayı bir noktada kesişir.
Aslında, önce iki açıortayın, örneğin AK 1 ve VK 2'nin kesişim noktası P'yi ele alalım. Bu nokta, A açısının ortaortasında yer aldığı için AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıkta, B açısının ortaortasına ait olduğundan AB ve BC kenarlarından da eşit uzaklıkta. AC ve BC kenarlarıdır ve dolayısıyla üçüncü açıortay CK 3'e aittir, yani P noktasında üç açıortay da kesişir.
Bir üçgenin iç ve dış açılarının açıortaylarının özellikleri
Teorem 9. Açıortay iç köşe Bir üçgenin karşı tarafı bitişik kenarlarla orantılı parçalara bölünür.
Kanıt. ABC üçgenini ve onun B açısının açıortayını ele alalım. C köşesinden, BC açıortayına paralel, AB kenarının devamı ile M noktasında kesişene kadar bir CM düz çizgisi çizelim. VC, ABC açısının açıortayı olduğundan ∠ ABC = ∠ KBC olur. Ayrıca, paralel çizgiler için karşılık gelen açılar olarak ∠ АВК=∠ ВСМ ve paralel çizgiler için çapraz açılar olarak ∠ КВС=∠ ВСМ. Dolayısıyla ∠ ВСМ=∠ ВМС ve dolayısıyla ВСМ üçgeni ikizkenardır, dolayısıyla ВС=ВМ. Bir açının kenarlarını kesen paralel çizgilerle ilgili teoreme göre elimizde AK:K C=AB:VM=AB:BC var, bunun da kanıtlanması gerekiyor.
Teorem 10 ABC üçgeninin B dış açısının açıortayı benzer bir özelliğe sahiptir: A ve C köşelerinden, açıortayın AC tarafının devamı ile kesiştiği L noktasına kadar olan AL ve CL bölümleri üçgenin kenarlarıyla orantılıdır: Al: C.L.=AB:BC.
Bu özellik öncekiyle aynı şekilde kanıtlanmıştır: şekilde bir yardımcı çizgi SM, açıortay BL'ye paralel olarak çizilmiştir. BMC ve BC açıları eşittir, yani BMC üçgeninin BM ve BC kenarları eşittir. Buradan AL:CL=AB:BC sonucuna varıyoruz.

Teorem d4. (ortayortanın ilk formülü): Eğer ABC üçgeni AL doğru parçası A açısının açıortayıdır, o halde AL? = AB·AC - LB·LC.

Kanıt: AL doğrusu ile ABC üçgeninin çevrelediği çemberin kesişme noktası M olsun (Şekil 41). BAM açısı geleneksel olarak MAC açısına eşittir. BMA ve BCA açıları, aynı kirişin oluşturduğu yazılı açılar olarak uyumludur. Bu, BAM ve LAC üçgenlerinin iki açıda benzer olduğu anlamına gelir. Bu nedenle AL: AC = AB: AM. Yani AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL mı? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Kanıtlanması gereken şey buydu. Not: Bir daire içinde kesişen kirişlerin parçaları ve yazılı açılar hakkındaki teorem için daire ve daire konusuna bakın.

Teorem d5. (ortaortay için ikinci formül): Kenarları AB=a, AC=b ve A açısı 2'ye eşit olan bir ABC üçgeninde? ve açıortay l, eşitlik geçerlidir:
l = (2ab / (a+b)) çünkü?

Kanıt: ABC verilen üçgen olsun, AL onun açıortayı olsun (Şekil 42), a=AB, b=AC, l=AL. O halde S ABC = S ALB + S ALC. Bu nedenle absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin?·çünkü? = (a + b) lsın?<=>l = 2·(ab / (a+b))· çünkü?. Teorem kanıtlandı.