Orantısız miktarlar. Doğrudan ve ters orantısal ilişkiler – Bilgi Hipermarketi

Temel hedefler:

• miktarların doğrudan ve ters orantılı bağımlılığı kavramını tanıtmak;
• bu bağımlılıkları kullanarak problemlerin nasıl çözüleceğini öğretin;
• problem çözme becerilerinin gelişimini teşvik etmek;
• orantıları kullanarak denklem çözme becerisini pekiştirmek;
• adımları sıradan ile tekrarlayın ve ondalık sayılar;
• geliştirmek mantıksal düşünmeöğrenciler.

DERSLER SIRASINDA

BEN. Faaliyet için kendi kaderini tayin etme(Düzenleme zamanı)

- Çocuklar! Bugün derste oranlar kullanılarak çözülen problemlerle tanışacağız.

II. Bilgiyi güncelleme ve faaliyetlerdeki zorlukları kaydetme

2.1. Sözlü çalışma (3 dakika)

– İfadelerin anlamını bulun ve cevaplarda şifrelenmiş kelimeyi bulun.

14 – sn; 0,1 – ve; 7 – l; 0,2 – a; 17 – içinde; 25 – ila

– Ortaya çıkan kelime güçtür. Tebrikler!
– Bugünkü dersimizin mottosu: Güç bilgidedir! Arıyorum; bu öğrendiğim anlamına geliyor!
– Ortaya çıkan sayılardan bir oran oluşturun. (14:7 = 0,2:0,1 vb.)

2.2. Bildiğimiz nicelikler arasındaki ilişkiyi düşünelim. (7 dakika)

– arabanın sabit hızla kat ettiği mesafe ve hareket süresi: S = v t ( artan hız (zaman) ile mesafe artar;
– araç hızı ve yolculukta harcanan süre: v=S:t(yolu kat etme süresi arttıkça hız azalır);
– tek fiyattan satın alınan malların maliyeti ve miktarı: C = a · n (fiyattaki artış (azalış) ile satın alma maliyeti artar (azalır));
– ürünün fiyatı ve miktarı: a = C: n (miktar arttıkça fiyat düşer)
– dikdörtgenin alanı ve uzunluğu (genişlik): S = a · b (uzunluk (genişlik) arttıkça alan artar;
– dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği: a = S: b (uzunluk arttıkça genişlik azalır;
– aynı emek verimliliği ile bazı işleri yapan işçi sayısı ve bu işi tamamlamak için gereken süre: t = A: n (işçi sayısı arttıkça işin yapılması için harcanan süre azalır), vb. .

Bir nicelik birkaç kez arttığında diğerinin hemen aynı miktarda arttığı (örnekler oklarla gösterilmiştir) bağımlılıklar ve bir nicelik birkaç kez arttığında ikinci niceliğin aynı miktarda azaldığı bağımlılıklar elde ettik. aynı sayıda.
Bu tür bağımlılıklara doğrudan ve ters orantılılık denir.
Doğrudan orantılı bağımlılık– bir değer birkaç kez arttığında (azaldığında) ikinci değerin aynı miktarda arttığı (azaldığı) bir ilişki.
Ters orantılı ilişki– bir değer birkaç kez arttığında (azaldığında) ikinci değerin aynı miktarda azaldığı (arttığı) bir ilişki.

III. Bir öğrenme görevi ayarlama

– Karşı karşıya olduğumuz sorun nedir? (Doğrudan ve ters bağımlılıklar arasında ayrım yapmayı öğrenin)
- Bu - hedef bizim dersimiz. Şimdi formüle edin başlık ders. (Doğrudan ve ters orantılı ilişki).
- Tebrikler! Dersin konusunu not defterlerinize yazın. (Öğretmen konuyu tahtaya yazar.)

IV. Yeni bilginin "keşfi"(10 dk)

199 numaralı probleme bakalım.

1. Yazıcı 27 sayfayı 4,5 dakikada yazdırır. 300 sayfanın basılması ne kadar sürer?

27 sayfa – 4,5 dk.
300 sayfa - x?

2. Kutuda her biri 250 g olan 48 paket çay bulunmaktadır. Bu çaydan kaç tane 150 gramlık paket alacaksınız?

48 paket – 250 gr.
X? – 150 gr.

3. Araba 25 litre benzin kullanarak 310 km yol kat etti. Bir araba 40 litrelik dolu bir depoyla ne kadar uzağa gidebilir?

310 km – 25 lt
X? – 40 litre

4. Debriyaj dişlilerinden biri 32, diğeri 40 dişlidir. Birinci vites 215 devir yaparken ikinci vites kaç devir yapar?

32 diş – 315 devir.
40 diş – x?

Orantıyı derlemek için okların bir yönü gereklidir; bunun için ters orantılılıkta bir oranın tersi ile değiştirilir.

Öğrenciler tahtada niceliklerin anlamını bulurlar; öğrenciler seçtikleri bir problemi anında çözerler.

– Doğrudan ve ters orantılı bağımlılığı olan problemlerin çözümü için bir kural oluşturun.

Tahtada bir tablo belirir:

V. Dış konuşmada birincil konsolidasyon(10 dk)

Çalışma sayfası ödevleri:

1. 21 kg pamuk tohumundan 5,1 kg yağ elde edildi. 7 kg pamuk tohumundan ne kadar yağ elde edilir?
2. Stadyumun inşası için 5 buldozer 210 dakikada alanı temizledi. 7 buldozerin bu alanı temizlemesi ne kadar sürer?

VI. Bağımsız iş Standarda göre kendi kendine test ile(5 dakika)

İki öğrenci 225 numaralı görevi bağımsız olarak gizli tahtalarda ve geri kalanını not defterlerinde tamamlar. Daha sonra algoritmanın çalışmasını kontrol ederler ve bunu tahtadaki çözümle karşılaştırırlar. Hatalar düzeltilir ve nedenleri belirlenir. Görev doğru bir şekilde tamamlanırsa öğrenciler yanlarına “+” işareti koyarlar.
Bağımsız çalışmalarda hata yapan öğrenciler danışmanlardan yararlanabilirler.

VII. Bilgi sistemine dahil olma ve tekrarlama№ 271, № 270.

Yönetim kurulunda altı kişi çalışıyor. 3-4 dakika sonra tahtada çalışan öğrenciler çözümlerini sunarlar, geri kalanlar ise ödevleri kontrol ederek tartışmaya katılırlar.

VIII. Etkinlik üzerine düşünme (ders özeti)

– Derste yeni ne öğrendiniz?
-Neyi tekrarladılar?
– Orantı problemlerini çözme algoritması nedir?
– Hedefimize ulaştık mı?
– Çalışmalarınızı nasıl değerlendiriyorsunuz?

I. Doğru orantılı büyüklükler.

Değere izin ver sen boyutuna bağlıdır X. Eğer artarken X birkaç kat daha büyük en aynı miktarda artarsa ​​bu değerler X Ve en doğru orantılı denir.

Örnekler.

1 . Satın alınan malların miktarı ve satın alma fiyatı (bir birim mal için sabit fiyatla - 1 adet veya 1 kg vb.) Ne kadar çok mal alındıysa o kadar çok para ödendi.

2 . Kat edilen mesafe ve bu yolda harcanan süre (sabit hızda). Yol kaç kat daha uzun, kaç kat daha fazla zaman alacak.

3 . Bir cismin hacmi ve kütlesi. ( Bir karpuz diğerinden 2 kat daha büyükse kütlesi 2 kat daha büyük olacaktır)

II. Büyüklüklerin doğru orantılılık özelliği.

İki miktar doğrudan orantılı ise, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.

Görev 1. Ahududu reçeli için aldık 12 kg ahududu ve 8 kg Sahra. Eğer alırsan ne kadar şekere ihtiyacın olacak? 9 kg Ahududu?

Çözüm.

Şöyle mantık yürütüyoruz: gerekli olsun x kg için şeker 9 kg Ahududu Ahududu kütlesi ve şeker kütlesi doğru orantılı miktarlardır: ahududu kaç kat daha azsa, aynı sayıda daha az şekere ihtiyaç vardır. Bu nedenle alınan ahududu oranı (ağırlıkça) ( 12:9 ) alınan şeker oranına eşit olacaktır ( 8:x). Oranı elde ediyoruz:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Cevap: Açık 9 kg ahududu alınması gerekiyor 6 kg Sahra.

Sorunun çözümü Bu şu şekilde yapılabilir:

Sezdirmek 9 kg ahududu alınması gerekiyor x kg Sahra.

(Şekilde oklar tek yöne yönlendirilmiştir, yukarı aşağı fark etmez. Anlamı: sayının kaç katı 12 daha fazla sayı 9 , aynı sayıda 8 daha fazla sayı X yani burada doğrudan bir ilişki var).

Cevap: Açık 9 kg Biraz ahududu almam lazım 6 kg Sahra.

Görev 2. Araba için 3 saat mesafeyi katettik 264 km. Seyahat etmesi ne kadar sürer? 440 kilometre, aynı hızda sürerse?

Çözüm.

izin ver x saat otomobil mesafeye gidecek 440 km.

Cevap: araba geçecek 5 saatte 440 km.

Görev 3. Su borudan havuza akıyor. Arka 2 saat o doldurur 1/5 Yüzme havuzu Havuzun hangi kısmı suyla dolu saat 5?

Çözüm.

Görevin sorusuna cevap veriyoruz: için saat 5 doldurulacak 1/x havuzun bir kısmı. (Havuzun tamamı bir bütün olarak alınır).

§ 129. Ön açıklamalar.

Bir kişi sürekli olarak çok çeşitli miktarlarla ilgilenir. Bir çalışan ve bir işçi belirli bir saatte işe gitmeye çalışıyor, bir yaya ise acele ediyor ünlü mekan Kısacası buharlı ısıtıcı stokçusu, kazan içindeki sıcaklığın yavaş yavaş yükselmesinden endişe ediyor, işletme yöneticisi üretim maliyetini düşürmeye yönelik planlar yapıyor vs.

Bunun gibi sayısız örnek verilebilir. Zaman, mesafe, sıcaklık, maliyet; bunların hepsi çeşitli büyüklüklerdir. Bu kitabın birinci ve ikinci bölümlerinde özellikle yaygın olan bazı büyüklüklerle tanıştık: alan, hacim, ağırlık. Fizik ve diğer bilimleri incelerken birçok nicelikle karşılaşırız.

Bir trende seyahat ettiğinizi hayal edin. Arada sırada saatinize bakarsınız ve ne kadar süredir yolda olduğunuzu fark edersiniz. Mesela treninizin kalkmasından bu yana 2, 3, 5, 10, 15 saat geçti vs. diyorsunuz. Bu rakamlar farklı zaman dilimlerini temsil ediyor; bunlara bu miktarın (zaman) değerleri denir. Veya treninizin kat ettiği mesafeyi görmek için pencereden dışarı bakıp yol direklerini takip edersiniz. Önünüzde 110, 111, 112, 113, 114 km sayıları yanıp sönüyor. Bu sayılar trenin kalkış noktasından itibaren kat ettiği farklı mesafeleri temsil etmektedir. Bunlara, bu sefer farklı büyüklükteki değerler de denir (iki nokta arasındaki yol veya mesafe). Böylece zaman, mesafe, sıcaklık gibi tek bir nicelik, aynı sayıda niceliği üstlenebilir. Farklı anlamlar.

Bir kişinin neredeyse hiçbir zaman tek bir niceliği dikkate almadığını, onu her zaman başka niceliklerle ilişkilendirdiğini lütfen unutmayın. İki, üç ve Büyük bir sayı miktarları Saat 9'da okula gitmeniz gerektiğini düşünün. Saatinize bakıyorsunuz ve 20 dakikanız olduğunu görüyorsunuz. Daha sonra tramvaya mı bineceğinize yoksa okula yürüyerek mi gideceğinize hemen karar verirsiniz. Düşündükten sonra yürümeye karar verirsin. Düşünürken bir problemi çözdüğünüze dikkat edin. Bu tür sorunları her gün çözdüğünüz için bu görev basit ve tanıdık hale geldi. İçinde birkaç miktarı hızlı bir şekilde karşılaştırdınız. Saate bakan sizdiniz, yani zamanı hesaba kattınız, sonra evinizden okula olan mesafeyi zihinsel olarak hayal ettiniz; son olarak iki niceliği karşılaştırdınız: adımınızın hızı ve tramvayın hızı ve şu sonuca vardınız: verilen zaman(20 dk.) Yürümek için zamanınız olacak. Bundan basit örnek uygulamamızda bazı niceliklerin birbiriyle bağlantılı olduğunu, yani birbirlerine bağlı olduklarını görüyorsunuz.

On ikinci bölümde homojen niceliklerin ilişkisinden bahsedildi. Örneğin bir bölüm 12 m, diğeri 4 m ise bu bölümlerin oranı 12:4 olacaktır.

Bunun iki homojen miktarın oranı olduğunu söylemiştik. Bunu söylemenin başka bir yolu da iki sayının oranıdır bir isim.

Artık niceliklere daha aşina olduğumuza ve bir niceliğin değeri kavramını tanıttığımıza göre, oranın tanımını yeni bir şekilde ifade edebiliriz. Aslında 12 m ve 4 m'lik iki segmenti düşündüğümüzde tek bir değerden bahsediyorduk; uzunluk ve 12 m ve 4 m yalnızca iki değerdi. Farklı anlamlar Bu değer.

Bu nedenle gelecekte oranlar hakkında konuşmaya başladığımızda, bir miktarın iki değerini ele alacağız ve bir miktarın bir değerinin aynı miktardaki başka bir değere oranına, ilk değere bölünme bölümü adı verilecektir. ikinci olarak.

§ 130. Değerler doğrudan orantılıdır.

Durumu iki nicelik içeren bir problemi ele alalım: mesafe ve zaman.

Görev 1. Doğrusal ve düzgün bir şekilde hareket eden bir cisim saniyede 12 cm yol almaktadır.Cismin 2, 3, 4, ..., 10 saniyede kat ettiği mesafeyi belirleyiniz.

Zaman ve mesafedeki değişiklikleri takip etmek için kullanılabilecek bir tablo oluşturalım.

Tablo bize bu iki değer serisini karşılaştırma fırsatı veriyor. Buradan görüyoruz ki, birinci niceliğin (zaman) değerleri kademeli olarak 2, 3,..., 10 kat arttığında, ikinci niceliğin (mesafe) değerleri de 2, 3, ..., 10 kat artıyor, ..., 10 kere. Böylece bir büyüklüğün değeri birkaç kat arttığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda artar, bir büyüklüğün değeri birkaç kat azaldığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda azalır. aynı numara.

Şimdi bu tür iki niceliği içeren bir problemi ele alalım: Madde miktarı ve maliyeti.

Görev 2. 15 m kumaşın maliyeti 120 ruble. Tabloda belirtilen diğer birkaç metre miktarı için bu kumaşın maliyetini hesaplayın.

Bu tabloyu kullanarak bir ürünün miktarındaki artışa bağlı olarak maliyetinin kademeli olarak nasıl arttığını takip edebiliriz. Bu problemin tamamen farklı miktarlar içermesine rağmen (ilk problemde - zaman ve mesafe ve burada - malların miktarı ve değeri), yine de bu miktarların davranışlarında büyük benzerlikler bulunabilir.

Hatta tablonun en üst satırında kumaşın metre sayısını belirten rakamlar yer alıyor, her birinin altında ise ilgili mal miktarının maliyetini ifade eden rakamlar yer alıyor. Bu tabloya kısa bir bakış bile hem üst hem de alt sıralardaki sayıların arttığını gösteriyor; Tablonun daha yakından incelenmesi ve bireysel sütunların karşılaştırılması sırasında, her durumda ikinci miktarın değerlerinin, birincinin değerleriyle aynı sayıda arttığı, yani; birinci nicelik diyelim 10 kat arttı, sonra ikinci niceliğin değeri de 10 kat arttı.

Tabloyu sağdan sola incelersek şunu görürüz: belirtilen değerler değerler azalacak aynı numara bir kere. Bu anlamda birinci görev ile ikincisi arasında koşulsuz bir benzerlik vardır.

Birinci ve ikinci problemlerde karşılaştığımız büyüklük çiftlerine denir. doğrudan orantılı.

Dolayısıyla iki nicelik, birinin değeri birkaç kez arttığında (azaldığında) diğerinin değeri aynı miktarda artacak (azalacak) şekilde birbiriyle ilişkiliyse, bu tür niceliklere doğru orantılı nicelikler denir. .

Bu tür niceliklerin birbirleriyle doğrudan orantılı bir ilişkiyle ilişkili olduğu da söylenir.

Doğada ve çevremizdeki yaşamda buna benzer pek çok nicelik bulunur. İşte bazı örnekler:

1. Zaman iş (gün, iki gün, üç gün vb.) ve kazanç, bu süre zarfında yevmiyeyle birlikte alındı.

2. Hacim homojen bir malzemeden yapılmış herhangi bir nesne ve ağırlık bu ürün.

§ 131. Doğrudan orantılı büyüklüklerin özelliği.

Aşağıdaki iki niceliği içeren bir problemi ele alalım: çalışma zamanı ve kazanç. Günlük kazanç 20 ruble ise 2 günlük kazanç 40 ruble vb. olacaktır. Belirli sayıda günün belirli bir kazanca karşılık geleceği bir tablo oluşturmak en uygunudur.

Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de 10 farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci değerin her değeri, ikinci değerin belirli bir değerine karşılık gelir, örneğin 2 gün, 40 rubleye karşılık gelir; 5 gün 100 rubleye karşılık geliyor. Tabloda bu sayılar alt alta yazılmıştır.

İki miktarın doğru orantılı olması durumunda, değişim sürecinde her birinin diğerinin artması kadar arttığını zaten biliyoruz. Hemen bundan şu sonuç çıkıyor: Birinci miktarın herhangi iki değerinin oranını alırsak, bu, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşit olacaktır. Aslında:

Bu neden oluyor? Ancak bu değerler doğru orantılı olduğundan yani biri (zaman) 3 kat arttığında diğeri (kazanç) 3 kat arttı.

Bu nedenle şu sonuca vardık: Birinci miktarın iki değerini alıp bunları birbirine bölersek ve ardından ikinci miktarın karşılık gelen değerlerini bire bölersek, o zaman her iki durumda da şunu elde ederiz: aynı sayı, yani aynı ilişki. Bu, yukarıda yazdığımız iki ilişkinin eşittir işaretiyle bağlanabileceği anlamına gelir;

Hiç şüphe yok ki, eğer bu ilişkileri değil de diğerlerini, bu sırayla değil, tam tersi sırayla alırsak, ilişkilerde eşitliği de elde ederiz. Aslında miktarlarımızın değerlerini soldan sağa doğru ele alıp üçüncü ve dokuzuncu değerleri alacağız:

60:180 = 1 / 3 .

Yani şunu yazabiliriz:

Bu, şu sonuca varır: eğer iki miktar doğrudan orantılıysa, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.

§ 132. Doğru orantılılık formülü.

1 kg'ı 10,4 ruble ise, çeşitli miktarlarda tatlıların maliyetini gösteren bir tablo yapalım.

Şimdi bunu şu şekilde yapalım. İkinci satırdaki herhangi bir sayıyı alın ve bunu ilk satırdaki karşılık gelen sayıya bölün. Örneğin:

Bölümde her zaman aynı sayının elde edildiğini görüyorsunuz. Sonuç olarak, belirli bir doğrudan orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değerine bölünmesi oranı sabit bir sayıdır (yani değişmez). Örneğimizde bu bölüm 10,4'tür. Bu sabit sayıya orantı faktörü denir. İÇİNDE bu durumda bir ölçü biriminin, yani bir kilogram malın fiyatını ifade eder.

Orantılılık katsayısı nasıl bulunur veya hesaplanır? Bunu yapmak için, bir niceliğin herhangi bir değerini alıp diğerinin karşılık gelen değerine bölmeniz gerekir.

Bir miktarın bu keyfi değerini harfle gösterelim. en ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri - harf X , sonra orantılılık katsayısı (bunu belirtiyoruz) İLE) bölme işlemine göre buluruz:

Bu eşitlikte en - bölünebilir, X - bölen ve İLE- bölüm ve bölme özelliği gereği, temettü, bölenin bölümle çarpımına eşit olduğundan şunu yazabiliriz:

y = k X

Ortaya çıkan eşitliğe denir Doğru orantılılık formülü. Bu formülü kullanarak, diğer niceliğin karşılık gelen değerlerini ve orantı katsayısını biliyorsak, doğru orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıdaki değerini hesaplayabiliriz.

Örnek. Fizikten ağırlığı biliyoruz R herhangi bir cismin özgül ağırlığına eşittir D bu cismin hacmiyle çarpılır V yani R = D V.

Farklı hacimlerde beş demir çubuk alalım; bilmek spesifik yer çekimi demir (7.8), bu boşlukların ağırlıklarını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabiliriz:

R = 7,8 V.

Bu formülü formülle karşılaştırmak en = İLE X , bunu görüyoruz y = R, x = V ve orantılılık katsayısı İLE= 7,8. Formül aynı sadece harfler farklı.

Bu formülü kullanarak bir tablo yapalım: 1. boşluğun hacmi 8 metreküp olsun. cm ise ağırlığı 7,8 · 8 = 62,4 (g) olur. 2. boşluğun hacmi 27 metreküptür. cm Ağırlığı 7,8 × 27 = 210,6 (g). Tablo şöyle görünecek:

Formülü kullanarak bu tabloda eksik olan sayıları hesaplayın R= D V.

§ 133. Doğrudan orantılı büyüklüklerle problemleri çözmenin diğer yöntemleri.

Önceki paragrafta, durumu doğru orantılı büyüklükler içeren bir problemi çözdük. Bu amaçla öncelikle doğru orantı formülünü türettik ve daha sonra bu formülü uyguladık. Şimdi benzer sorunları çözmenin iki yolunu daha göstereceğiz.

Bir önceki paragrafta tabloda verilen sayısal verileri kullanarak bir problem oluşturalım.

Görev. 8 metreküp hacimli boş. cm ağırlığı 62,4 gr. 64 metreküp hacimli bir boşluğun ağırlığı ne kadar olacaktır? santimetre?

Çözüm. Bilindiği gibi demirin ağırlığı hacmiyle orantılıdır. 8 cu ise. cm ağırlığı 62,4 g, ardından 1 cu. cm 8 kat daha az ağırlığa sahip olacak, yani.

62,4:8 = 7,8 (g).

64 metreküp hacimli boş. cm, 1 metreküp boşluktan 64 kat daha ağır olacaktır. cm, yani

7,864 = 499,2(g).

Sorunumuzu birliğe indirgeyerek çözdük. Bu ismin anlamı, ilk soruda bunu çözmek için hacim biriminin ağırlığını bulmamız gerektiği gerçeğiyle doğrulanmaktadır.

2. Orantı yöntemi. Aynı problemi orantı yöntemini kullanarak çözelim.

Demirin ağırlığı ve hacmi doğru orantılı miktarlar olduğundan, bir miktarın (hacim) iki değerinin oranı, başka bir miktarın (ağırlık) karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir, yani.

(mektup R ham parçanın bilinmeyen ağırlığını belirledik). Buradan:

(G).

Problem orantı yöntemi kullanılarak çözüldü. Bu, sorunu çözmek için koşulda yer alan sayılardan bir oran derlendiği anlamına gelir.

§ 134. Değerler ters orantılıdır.

Şu problemi düşünün: “Beş mason toplayabilir. Tuğla duvar 168 gün içinde evde. 10, 8, 6 vb. duvar ustalarının aynı işi kaç günde tamamlayabileceklerini belirleyin.”

Bir evin duvarlarını 5 duvarcı 168 günde örerse, o zaman (aynı emek verimliliğiyle) 10 duvarcı bunu yarı sürede yapabilir, çünkü ortalama 10 kişi 5 kişiden iki kat daha fazla iş yapar.

İşçi sayısı ve çalışma saatlerindeki değişiklikleri takip edebileceğimiz bir tablo çizelim.

Örneğin 6 işçinin kaç gün sürdüğünü bulmak için önce bir işçinin kaç gün sürdüğünü (168 5 = 840), daha sonra 6 işçinin kaç gün sürdüğünü (840: 6 = 140) hesaplamanız gerekir. Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de altı farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci büyüklüğün her değeri belirli bir değere karşılık gelir; ikinci değerin değeri, örneğin 10, 84'e karşılık gelir, 8 sayısı, 105 sayısına karşılık gelir, vb.

Her iki büyüklüğün değerlerini soldan sağa doğru düşünürsek üst büyüklüğün değerlerinin arttığını, alt büyüklüğün değerlerinin ise azaldığını görürüz. Artış ve azalışlar şu kanuna tabidir: Harcanan çalışma süresinin değerleri azaldıkça, işçi sayısı değerleri de aynı oranda artar. Bu fikir daha da basit bir şekilde şu şekilde ifade edilebilir: İşçiler herhangi bir göreve ne kadar çok bağlanırsa, belirli bir işi tamamlamak için o kadar az zamana ihtiyaç duyarlar. Bu problemde karşılaştığımız iki niceliğe denir. ters orantı.

Böylece, iki nicelik birbiriyle, birinin değeri birkaç kez artarken (azalırken), diğerinin değeri aynı miktarda azalacak (artacak) şekilde ilişkiliyse, bu tür niceliklere ters orantılı nicelikler denir. .

Hayatta buna benzer pek çok nicelik vardır. Örnekler verelim.

1. 150 ruble için ise. Birkaç kilogram şeker almanız gerekiyorsa, şeker miktarı bir kilogramın fiyatına bağlı olacaktır. Fiyat ne kadar yüksek olursa, bu parayla o kadar az mal satın alabilirsiniz; bu tablodan görülebilir:

Şekerin fiyatı birkaç kat arttıkça 150 rubleye alınabilecek kilogram şeker sayısı da aynı oranda azalıyor. Bu durumda iki miktar (ürünün ağırlığı ve fiyatı) ters orantılıdır.

2. İki şehir arası mesafe 1.200 km ise hareket hızına bağlı olarak farklı sürelerde katedilebilir. Var olmak Farklı yollar ulaşım: yürüyerek, at sırtında, bisikletle, tekneyle, arabayla, trenle, uçakla. Hız ne kadar düşük olursa, hareket etmek o kadar fazla zaman alır. Bu tablodan görülebilir:

Hızın birkaç kez artmasıyla seyahat süresi aynı miktarda azalır. Bu, bu koşullar altında hız ve zamanın ters orantılı büyüklükler olduğu anlamına gelir.

§ 135. Ters orantılı büyüklüklerin özelliği.

Önceki paragrafta incelediğimiz ikinci örneği ele alalım. Orada iki nicelikle ilgilendik; hız ve zaman. Bu büyüklüklerin değer tablosuna soldan sağa bakarsak, birinci büyüklüğün (hız) değerlerinin arttığını, ikinci (zaman) değerlerinin azaldığını ve Zaman azaldıkça hız aynı oranda artar. Bir miktarın bazı değerlerinin oranını yazarsanız, bunun başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin oranına eşit olmayacağını anlamak zor değildir. Hatta üst değerin dördüncü değerinin yedinci değere oranını (40:80) alırsak, alt değerin dördüncü ve yedinci değerlerinin oranına (30:80) eşit olmayacaktır. 15). Bu şekilde yazılabilir:

40:80, 30:15'e veya 40:80 =/=30:15'e eşit değildir.

Ancak bu ilişkilerden biri yerine tam tersini alırsak eşitlik elde ederiz, yani bu ilişkilerden bir orantı oluşturmak mümkün olacaktır. Örneğin:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Yukarıdakilere dayanarak, şu sonuca varabiliriz: eğer iki miktar ters orantılıysa, o zaman bir miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin ters oranına eşittir.

§ 136. Ters orantılılık formülü.

Problemi düşünün: “Farklı boyutlarda 6 parça ipek kumaş var ve farklı çeşitler. Tüm parçaların maliyeti aynıdır. Tek parça 20 ruble fiyatında 100 m kumaş içerir. Metre başına Bu parçalardaki kumaşın bir metresi sırasıyla 25, 40, 50, 80, 100 rubleye mal oluyorsa diğer beş parçanın her birinde kaç metre vardır?” Bu sorunu çözmek için bir tablo oluşturalım:

Bu tablonun üst satırındaki boş hücreleri doldurmamız gerekiyor. Öncelikle ikinci parçada kaç metre olduğunu belirlemeye çalışalım. Bu şöyle yapılabilir. Sorunun koşullarından tüm parçaların maliyetinin aynı olduğu bilinmektedir. İlk parçanın maliyetini belirlemek kolaydır: 100 metre içerir ve her metrenin maliyeti 20 rubledir, bu da ilk ipek parçasının 2.000 ruble değerinde olduğu anlamına gelir. İkinci ipek parçası aynı miktarda ruble içerdiğinden, 2.000 rubleyi bölüyoruz. bir metre yani 25 fiyatına ikinci parçanın ölçüsünü buluyoruz: 2.000: 25 = 80 (m). Aynı şekilde diğer tüm parçaların boyutunu da bulacağız. Tablo şöyle görünecek:

Metre sayısı ile fiyat arasında ters orantılı bir ilişkinin olduğunu görmek kolaydır.

Gerekli hesaplamaları kendiniz yaparsanız, her seferinde 2.000 sayısını 1 m fiyatına bölmeniz gerektiğini fark edeceksiniz.Tam tersine, parçanın metre cinsinden boyutunu 1 m fiyatıyla çarpmaya başlarsanız, fark edeceksiniz. , her zaman 2.000 sayısını alacaksınız.Bu ve her parça 2.000 rubleye mal olduğu için beklemek gerekiyordu.

Buradan şu sonucu çıkarabiliriz: belirli bir ters orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değeriyle çarpımı sabit bir sayıdır (yani değişmez).

Bizim problemimizde bu çarpım 2.000'e eşit.Hareket hızından ve bir şehirden diğerine gitmek için gereken zamandan bahseden önceki problemde, o problem için de sabit bir sayının (1.200) olduğunu kontrol edin.

Her şeyi hesaba katarak ters orantı formülünü elde etmek kolaydır. Bir miktarın belirli bir değerini harfle gösterelim X ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri harfle temsil edilir en . Daha sonra yukarıdakilere dayanarak çalışma X Açık en harfiyle gösterdiğimiz sabit bir değere eşit olmalıdır İLE yani

xy = İLE.

Bu eşitlikte X - çarpma en - çarpan ve k- iş. Çarpma özelliğine göre çarpan, çarpımın çarpıma bölünmesine eşittir. Araç,

Bu ters orantı formülüdür. Bunu kullanarak, diğerinin değerlerini ve sabit sayıyı bilerek, ters orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıda değerini hesaplayabiliriz. İLE.

Başka bir sorunu ele alalım: “Bir makalenin yazarı, kitabı normal formatta ise 96 sayfa olacağını, cep formatı ise 300 sayfa olacağını hesapladı. Denedi farklı varyantlar 96 sayfayla başladı ve daha sonra sayfa başına 2.500 mektup yazdı. Daha sonra aşağıdaki tabloda gösterilen sayfa numaralarını aldı ve sayfada kaç harf olacağını tekrar hesapladı.”

Kitabın 100 sayfa olması durumunda sayfada kaç harf olacağını hesaplamaya çalışalım.

2.500 96 = 240.000 olduğundan kitabın tamamında 240.000 harf vardır.

Bunu dikkate alarak ters orantı formülünü kullanıyoruz ( en - sayfadaki harf sayısı, X - sayfa sayısı):

Örneğimizde İLE= 240.000 dolayısıyla

Yani sayfada 2.400 harf var.

Benzer şekilde, bir kitabın 120 sayfa olması durumunda sayfadaki harf sayısının şöyle olacağını öğreniyoruz:

Masamız şöyle görünecek:

Kalan hücreleri kendiniz doldurun.

§ 137. Ters orantılı büyüklüklerle ilgili problemleri çözmenin diğer yöntemleri.

Önceki paragrafta koşulları ters orantılı büyüklükler içeren problemleri çözdük. Önce ters orantı formülünü çıkardık, sonra bu formülü uyguladık. Şimdi bu tür problemler için iki çözüm daha göstereceğiz.

1. Birliğe indirgeme yöntemi.

Görev. 5 tornacı bir işi 16 günde yapabiliyor. Bu işi 8 işçi kaç günde tamamlayabilir?

Çözüm. Tornacı sayısı ile çalışma saatleri arasında ters bir ilişki vardır. Eğer 5 tornacı bir işi 16 günde yaparsa, bir kişinin bunun için 5 kat daha fazla zamana ihtiyacı olacaktır, yani.

5 tornacı işi 16 günde tamamlıyor,

1 tornacı bu işi 16 5 = 80 günde tamamlar.

Problemde 8 tornanın işi kaç günde tamamlayacağı sorulmaktadır. Açıkçası, 1 turner'dan 8 kat daha hızlı işle başa çıkacaklar, yani.

80: 8 = 10 (gün).

Sorunun birliğe indirgenerek çözümü budur. Burada öncelikle bir işçinin işi tamamlaması için gereken süreyi belirlemek gerekiyordu.

2. Orantı yöntemi. Aynı sorunu ikinci şekilde çözelim.

İşçi sayısı ile çalışma süresi arasında ters orantılı bir ilişki olduğundan şunu yazabiliriz: 5 tornacının çalışma süresi yeni tornacı sayısı (8) 8 tornacının çalışma süresi önceki tornacı sayısı (5) mektupla gerekli çalışma süresi X ve gerekli sayıları kelimelerle ifade edilen orana değiştirin:

Aynı problem oranlar yöntemiyle de çözülür. Bunu çözmek için problem tanımında yer alan sayılardan bir orantı oluşturmamız gerekiyordu.

Not.Önceki paragraflarda doğrudan ve ters orantı konusunu inceledik. Doğa ve yaşam bize niceliklerin doğrudan ve ters orantılı bağımlılığının birçok örneğini verir. Ancak bu iki bağımlılık türünün yalnızca en basiti olduğunu belirtmek gerekir. Bunların yanı sıra nicelikler arasında daha karmaşık başka bağımlılıklar da vardır. Ayrıca herhangi iki nicelik aynı anda artıyorsa aralarında mutlaka doğru bir orantı olduğu düşünülmemelidir. Doğrudan çok uzak. Örneğin geçiş ücretleri demiryolu mesafeye bağlı olarak artar: ne kadar uzağa gidersek o kadar fazla öderiz ancak bu, ödemenin mesafeyle orantılı olduğu anlamına gelmez.

Video derslerini kullanarak öğrenmenin avantajları hakkında durmadan konuşabiliriz. Öncelikle düşüncelerini açık ve anlaşılır, tutarlı ve yapılandırılmış bir şekilde sunarlar. İkincisi, belirli bir sabit zaman alırlar ve çoğu zaman uzun ve yorucu olmazlar. Üçüncüsü, öğrenciler için alıştıkları normal derslerden daha heyecan vericidirler. Sakin bir ortamda bunları izleyebilirsiniz.

6.sınıf öğrencileri matematik dersinde çıkan birçok problemde doğrudan ve ters orantısal ilişkilerle karşılaşacaklardır. Bu konuyu incelemeye başlamadan önce oranların ne olduğunu ve hangi temel özelliklere sahip olduklarını hatırlamakta fayda var.

Önceki video dersi “Oranlar” konusuna ayrılmıştır. Bu mantıksal devam. Konunun oldukça önemli olduğunu ve sıklıkla karşılaşılan bir konu olduğunu belirtmekte fayda var. Bir kez ve herkes için doğru bir şekilde anlamaya değer.

Konunun önemini göstermek için video dersi bir görevle başlar. Durum ekranda belirir ve spiker tarafından duyurulur. Veri kaydı, video kaydını izleyen öğrencinin mümkün olan en iyi şekilde anlayabilmesi için bir çeşit diyagram şeklinde verilmiştir. İlk başta bu kayıt biçimine bağlı kalması daha iyi olurdu.

Bilinmeyen, çoğu durumda olduğu gibi, belirlenir Latince harf X. Bunu bulmak için önce değerleri çapraz olarak çarpmanız gerekir. Böylece iki oranın eşitliği elde edilecektir. Bu, oranlarla ilgili olduğunu ve bunların ana özelliklerini hatırlamaya değer olduğunu gösteriyor. Lütfen tüm değerlerin aynı ölçü biriminde belirtildiğini unutmayın. Aksi halde bunları tek boyuta indirmek gerekiyordu.

Videodaki çözüm yöntemini izledikten sonra bu tür sorunlarda zorluk yaşamamanız gerekmektedir. Spiker her hareket hakkında yorum yapar, tüm eylemleri açıklar ve üzerinde çalışılan ve kullanılan materyali hatırlar.

“Doğru ve ters orantılı bağımlılıklar” video dersinin ilk bölümünü izledikten hemen sonra öğrenciden aynı problemi ipuçlarının yardımı olmadan çözmesini isteyebilirsiniz. Daha sonra alternatif bir görev önerebilirsiniz.

Bağlı olarak zihinsel yetenekleröğrenci, sonraki görevlerin karmaşıklığını kademeli olarak artırabilirsiniz.

Ele alınan ilk problemin ardından doğru orantılı büyüklüklerin tanımı verilmiştir. Tanım spiker tarafından okunur. Ana konsept kırmızı renkle vurgulanmıştır.

Daha sonra, ters orantı ilişkisinin açıklandığı başka bir problem gösterilmektedir. Öğrencinin bu kavramları bir deftere yazması en doğrusudur. Gerekirse daha önce testler, öğrenci tüm kuralları ve tanımları kolayca bulabilir ve tekrar okuyabilir.

Bu videoyu izledikten sonra 6. sınıf öğrencisi belirli görevlerde orantıların nasıl kullanılacağını anlayacak. Bu, hiçbir durumda kaçırılmaması gereken oldukça önemli bir konudur. Eğer bir öğrenci, ders sırasında öğretmenin sunduğu materyali diğer öğrenciler arasında algılayamıyorsa, o zaman bu tür eğitim kaynakları büyük bir kurtuluş olacaktır!

Örnek

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6/7 = 0,8 vb.

Orantılılık faktörü

Orantılı büyüklüklerin sabit ilişkisine denir orantılılık faktörü. Orantılılık katsayısı, bir niceliğin birimi başına diğer bir niceliğin kaç birim olduğunu gösterir.

Doğrudan orantılılık

Doğrudan orantılılık- Belirli bir miktarın, oranları sabit kalacak şekilde başka bir miktara bağlı olduğu fonksiyonel bağımlılık. Başka bir deyişle bu değişkenler değişir. orantılı olarak, eşit paylarda, yani argüman herhangi bir yönde iki kez değişirse, o zaman işlev de aynı yönde iki kez değişir.

Matematiksel olarak doğru orantı şu formülle yazılır:

F(X) = AX,A = CÖNST

Ters orantılılık

Ters orantılılık- bu, bağımsız değerdeki (argüman) bir artışın bağımlı değerde (fonksiyon) orantılı bir azalmaya neden olduğu fonksiyonel bir bağımlılıktır.

Matematiksel olarak ters orantı formül olarak yazılır:

Fonksiyon özellikleri:

Kaynaklar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Doğrudan orantısallığın” ne olduğuna bakın:

doğru orantılılık- - [A.S. Goldberg. İngilizce-Rusça enerji sözlüğü. 2006] Genel olarak enerji konuları EN doğrudan oran... Teknik Çevirmen Kılavuzu

doğru orantılılık-tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. doğrudan orantılılık vok. doğrudan Orantılılık, f rus. doğru orantılılık, f pranc. orantılı direkte, f … Fizikos terminų žodynas

- (Latince orantısal, orantılı, orantılı). Orantılılık. Sözlük yabancı kelimeler, Rus diline dahil. Chudinov A.N., 1910. ORANTILILIK lat. orantılı, orantılı. Orantılılık. Açıklama 25000... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

ORANTILILIK, orantılılık, çoğul. hayır, kadın (kitap). 1. özet isim orantılıdır. Parçaların orantılılığı. Vücut orantılılığı. 2. Orantılı olduklarında miktarlar arasında böyle bir ilişki (bkz. Orantılı ... Sözlük Uşakova

Değerlerinin oranı değişmeden kalırsa, karşılıklı olarak bağımlı iki miktara orantılı denir.İçindekiler 1 Örnek 2 Orantılılık katsayısı ... Wikipedia

ORANTILILIK ve kadın. 1. bkz. orantılı. 2. Matematikte: Birindeki artışın diğerinde aynı miktarda bir değişikliğe yol açtığı nicelikler arasındaki böyle bir ilişki. Düz çizgi (bir değerde artışla kesim ile... ... Ozhegov'un Açıklayıcı Sözlüğü

VE; Ve. 1. Orantılıya (1 değer); orantılılık. P. parçalar. P. fiziği. P. parlamentoda temsil. 2. Matematik. Orantılı olarak değişen büyüklükler arasındaki bağımlılık. Orantılılık faktörü. Doğrudan hat (içinde... ... ansiklopedik sözlük