Aşağıdakiler arasındaki mesafenin belirlenmesi: 1 - nokta ve düzlem; 2 - düz ve düz; 3 - uçaklar; 4 - Düz çizgilerin kesişmesi birlikte ele alınır, çünkü tüm bu problemlerin çözüm algoritması esasen aynıdır ve belirli bir A noktası ile α düzlemi arasındaki mesafeyi belirlemek için yapılması gereken geometrik yapılardan oluşur. Herhangi bir fark varsa, bu yalnızca 2. ve 3. durumlarda, sorunu çözmeye başlamadan önce, m düz çizgisi (durum 2) veya β düzlemi (durum 3) üzerinde keyfi bir A noktasını işaretlemeniz gerektiği gerçeğinden oluşur. Kesişen düz çizgiler arasındaki mesafeleri belirlemek için önce bunları paralel α ve β düzlemlerine yerleştiririz ve sonra bu düzlemler arasındaki mesafeyi belirleriz.

Belirtilen problem çözme durumlarının her birini ele alalım.

1. Bir nokta ile düzlem arasındaki mesafenin belirlenmesi.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe, bir noktadan düzleme çizilen dik bir parçanın uzunluğu ile belirlenir.

Dolayısıyla bu sorunun çözümü aşağıdaki grafiksel işlemlerin sırayla gerçekleştirilmesinden ibarettir:

1) A noktasından dik olanı a düzlemine indiririz (Şekil 269);

2) bu dikmenin M = a ∩ α düzlemiyle kesiştiği M noktasını bulun;

3) segmentin uzunluğunu belirleyin.

Düzlem α ise genel konum o zaman bu düzleme bir dik indirmek için öncelikle bu düzlemin yatay ve önden çıkıntılarının yönünü belirlemek gerekir. Bu dikin düzlemle buluşma noktasını bulmak da ek geometrik yapılar gerektirir.

Eğer a düzlemi projeksiyon düzlemlerine göre belirli bir konumu işgal ederse problemin çözümü basitleşir. Bu durumda hem dikmenin izdüşümü hem de düzlemle buluştuğu noktanın bulunması herhangi bir ek yardımcı yapıya gerek kalmadan gerçekleştirilir.

ÖRNEK 1. A noktasından önden çıkıntı yapan α düzlemine olan mesafeyi belirleyin (Şekil 270).

ÇÖZÜM. A" aracılığıyla dikey l" ⊥ h 0α'nın yatay izdüşümünü ve A" aracılığıyla ön izdüşümü l" ⊥ f 0α'yı çizeriz. M" = l" ∩ f 0α noktasını işaretliyoruz. Sabah'tan beri || π 2, sonra [A" M"] == |AM| = d.

Ele alınan örnekten, uçak çıkıntılı bir pozisyon işgal ettiğinde sorunun ne kadar basit bir şekilde çözüldüğü açıktır. Bu nedenle kaynak verilerde genel bir konum düzlemi belirtilmişse çözüme geçmeden önce düzlemin herhangi bir projeksiyon düzlemine dik bir konuma taşınması gerekir.

ÖRNEK 2. K noktasından ΔАВС ile belirtilen düzleme olan mesafeyi belirleyin (Şekil 271).

1. ΔАВС düzlemini çıkıntı pozisyonuna * aktarıyoruz. Bunu yapmak için xπ 2 /π 1 sisteminden x 1 π 3 /π 1'e geçiyoruz: yeni x 1 ekseninin yönü, üçgenin yatay düzleminin yatay izdüşümüne dik olarak seçilir.

2. ΔABC'yi yeni bir π 3 düzlemine yansıtın (ΔABC düzlemi, [ C " 1 B " 1 ]'de π 3 üzerine yansıtılır).

3. K noktasını aynı düzleme yansıtın (K" → K" 1).

4. K" 1 noktası boyunca (K" 1 M" 1)⊥ parçasını [C" 1 B" 1 ] çiziyoruz. Gerekli mesafe d = |K" 1 M" 1 |

Düzlem izlerle tanımlanırsa sorunun çözümü basitleşir, çünkü seviye çizgilerinin izdüşümlerini çizmeye gerek yoktur.

ÖRNEK 3. K noktasından α düzlemine kadar olan mesafeyi izler tarafından belirlenen mesafeyi belirleyin (Şekil 272).

* Üçgen düzlemini çıkıntı konumuna aktarmanın en akılcı yolu çıkıntı düzlemlerini değiştirmektir, çünkü bu durumda yalnızca bir yardımcı çıkıntı oluşturmak yeterlidir.

ÇÖZÜM. π 1 düzlemini π 3 düzlemiyle değiştiriyoruz, bunun için yeni bir x 1 ⊥ f 0α ekseni çiziyoruz. h 0α üzerinde rastgele bir 1" noktasını işaretliyoruz ve bunun π 3 (1" 1) düzlemindeki yeni yatay izdüşümünü belirliyoruz. X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) ve 1" 1 noktaları aracılığıyla h 0α 1 çizeriz. K → K" 1 noktasının yeni yatay izdüşümünü belirleriz. K" 1 noktasından dik olanı h 0α 1'e indiriyoruz ve kesişme noktasını h 0α 1 - M" 1 ile işaretliyoruz. K" 1 M" 1 segmentinin uzunluğu gerekli mesafeyi gösterecektir.

2. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki mesafenin belirlenmesi.

Bir çizgi ile bir düzlem arasındaki mesafe, çizginin rastgele bir noktasından düzlem üzerine bırakılan dik bir parçanın uzunluğu ile belirlenir (bkz. Şekil 248).

Bu nedenle, m düz çizgisi ile a düzlemi arasındaki mesafeyi belirleme probleminin çözümü, bir nokta ile düzlem arasındaki mesafeyi belirlemek için paragraf 1'de tartışılan örneklerden farklı değildir (bkz. Şekil 270 ... 272). M doğrusuna ait herhangi bir noktayı nokta olarak alabilirsiniz.

3. Düzlemler arası mesafenin belirlenmesi.

Düzlemler arasındaki mesafe, bir düzlem üzerinde alınan bir noktadan diğer bir düzleme bırakılan dik parçanın boyutuyla belirlenir.

Bu tanımdan, α ve β düzlemleri arasındaki mesafeyi bulma problemini çözmeye yönelik algoritmanın, m çizgisi ile α düzlemi arasındaki mesafeyi belirleme problemini çözmeye yönelik benzer bir algoritmadan yalnızca m çizgisinin α düzlemine ait olması gerektiği açısından farklı olduğu sonucu çıkar. , yani α ve β düzlemleri arasındaki mesafeyi belirlemek için aşağıdakileri yapın:

1) α düzleminde düz bir m çizgisi alın;

2) m doğrusu üzerinde rastgele bir A noktası seçin;

3) A noktasından l dikeyini β düzlemine indirin;

4) M noktasını belirleyin - l dikinin β düzlemiyle buluşma noktası;

5) segmentin boyutunu belirleyin.

Uygulamada, verilenden farklı olan farklı bir çözüm algoritmasının kullanılması tavsiye edilir; bu, yalnızca ilk adıma geçmeden önce düzlemlerin projeksiyon konumuna aktarılması gerektiği anlamına gelir.

Bu ek işlemin algoritmaya dahil edilmesi, diğer tüm noktaların istisnasız yürütülmesini basitleştirir ve sonuçta daha basit bir çözüme yol açar.

ÖRNEK 1. α ve β düzlemleri arasındaki mesafeyi belirleyin (Şekil 273).

ÇÖZÜM. xπ 2 /π 1 sisteminden x 1 π 1 /π 3'e geçiyoruz. Yeni π 3 düzlemine göre, α ve β düzlemleri çıkıntılı bir pozisyon işgal eder, bu nedenle yeni ön izler f 0a 1 ve f 0β 1 arasındaki mesafe istenen mesafedir.

Mühendislik uygulamasında, belirli bir düzleme paralel ve belirli bir mesafeden kaldırılan bir düzlem inşa etme problemini çözmek genellikle gereklidir. Aşağıdaki Örnek 2 böyle bir sorunun çözümünü göstermektedir.

ÖRNEK 2. Aralarındaki mesafenin d olduğu biliniyorsa, belirli bir α (m || n) düzlemine paralel bir β düzleminin çıkıntılarını oluşturmak gerekir (Şekil 274).

1. α düzleminde rastgele yatay çizgiler h (1, 3) ve ön çizgiler f (1,2) çizin.

2. 1. noktadan itibaren α(l" ⊥ h", l" ⊥ f") düzlemine dik olan l'yi eski haline getiriyoruz.

3. Dikey l üzerinde rastgele bir A noktası işaretliyoruz.

4. Segmentin uzunluğunu belirleyin - (konum diyagramda l düz çizgisinin metrik olarak bozulmamış yönünü gösterir).

5. = d parçasını 1" noktasından itibaren düz bir çizgi (1"A 0) üzerine yerleştirin.

6. B 0 noktasına karşılık gelen l" ve l" B" ve B" noktalarını çıkıntılar üzerinde işaretleyin.

7. B noktasından β (h 1 ∩ f 1) düzlemini çiziyoruz. β'ya || α ise h 1 || koşuluna uymak gerekir. h ve f 1 || F.

4. Kesişen çizgiler arasındaki mesafenin belirlenmesi.

Kesişen çizgiler arasındaki mesafe, kesişen çizgilerin ait olduğu paralel düzlemler arasındaki dikmenin uzunluğu ile belirlenir.

Kesişen m ve f düz çizgileri boyunca karşılıklı paralel α ve β düzlemlerini çizmek için, A noktasından (A ∈ m) f düz çizgisine paralel ve B noktasından (B ∈ f) bir düz çizgi p çizmek yeterlidir. m düzlüğüne paralel bir k düz çizgisi. Kesişen çizgiler m ve p, f ve k, karşılıklı olarak paralel olan α ve β düzlemlerini tanımlar (bkz. Şekil 248, e). α ve β düzlemleri arasındaki mesafe, m ve f kesişme çizgileri arasındaki gerekli mesafeye eşittir.

Kesişen çizgiler arasındaki mesafeyi belirlemek için başka bir yol önerilebilir; bu yöntem, dik çıkıntıları dönüştürmeye yönelik bazı yöntemler kullanılarak, kesişen çizgilerden birinin çıkıntı konumuna aktarılmasından oluşur. Bu durumda çizginin bir izdüşümü bir noktaya dönüşür. Kesişen çizgilerin yeni çıkıntıları arasındaki mesafe (A" 2 noktası ve C" 2 D" 2 segmenti) gerekli mesafedir.

Şek. Şekil 275, [AB] ve [CD] bölümleri verildiğinde a ve b kesişen çizgiler arasındaki mesafeyi belirleme probleminin çözümünü göstermektedir. Çözüm aşağıdaki sırayla gerçekleştirilir:

1. Kesişen çizgilerden birini (a) π 3 ​​düzlemine paralel bir konuma aktarın; Bunu yapmak için, xπ 2 /π 1 projeksiyon düzlemleri sisteminden yeni x 1 π 1 /π 3'e hareket ederler, x 1 ekseni a düz çizgisinin yatay izdüşümüne paraleldir. a" 1 [A" 1 B" 1 ] ve b" 1'i belirleyin.

2. π 1 düzlemini π 4 düzlemiyle değiştirerek düz çizgiyi çeviririz

ve a" 2'yi π 4 düzlemine dik olarak konumlandırın (yeni x 2 ekseni a" 1'e dik olarak çizilir).

3. b" 2 - [ C" 2 D" 2 ] düz çizgisinin yeni bir yatay izdüşümünü oluşturun.

4. A" 2 noktasından C" 2 D" 2 düz çizgisine olan mesafe ((A" 2 M" 2 ] (gerekli olandır.

Kesişen çizgilerden birinin çıkıntı konumuna aktarılmasının, a ve b çizgilerinin içine alınabileceği paralellik düzlemlerinin de çıkıntı konumuna aktarılmasından başka bir şey olmadığı unutulmamalıdır.

Aslında, a çizgisini π 4 düzlemine dik bir konuma hareket ettirerek, a çizgisini içeren herhangi bir düzlemin π 4 düzlemine dik olmasını sağlarız, buna a ve m çizgileriyle tanımlanan α düzlemi de dahildir (a ∩ m, m | | b ). Şimdi a'ya paralel ve b çizgisiyle kesişen bir n çizgisi çizersek, o zaman kesişen a ve b çizgilerini içeren ikinci paralellik düzlemi olan bir β düzlemi elde ederiz. β ||'dan beri α ise β ⊥ π 4 .

Bu makale bir noktadan bir düzleme olan mesafenin belirlenmesinden bahsediyor. Üç boyutlu uzayda belirli bir noktaya olan mesafeyi bulmamızı sağlayacak koordinat yöntemini kullanarak bunu analiz edelim. Bunu güçlendirmek için çeşitli görev örneklerine bakalım.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe, bir noktadan bir noktaya bilinen mesafe aracılığıyla bulunur; bunlardan biri verilir, diğeri ise belirli bir düzleme izdüşümdür.

Uzayda χ düzlemli bir M1 noktası belirtildiğinde, bu noktadan düzleme dik bir düz çizgi çizilebilir. H 1 bunların ortak kesişme noktasıdır. Bundan, M 1 H 1 parçasının, M 1 noktasından χ düzlemine çizilen bir dik olduğunu, burada H 1 noktasının dikmenin tabanı olduğunu elde ederiz.

Tanım 1

Belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikmenin tabanına kadar olan uzaklığa denir.

Tanım farklı formülasyonlarla yazılabilir.

Tanım 2

Noktadan düzleme uzaklık belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikmenin uzunluğudur.

M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe şu şekilde belirlenir: M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe, belirli bir noktadan düzlemdeki herhangi bir noktaya kadar en küçük olacaktır. H 2 noktası χ düzleminde bulunuyorsa ve H 2 noktasına eşit değilse, o zaman şunu elde ederiz: dik üçgen M 2 H 1 H 2 yazın M 2 H 1, M 2 H 2 bacağının bulunduğu dikdörtgen olan – hipotenüs. Bu şu anlama gelir: M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 M1 noktasından χ düzlemine çizilen eğimli kabul edilir. Belirli bir noktadan düzleme çizilen dikmenin, o noktadan belirli düzleme çizilen eğik çizgiden küçük olduğunu biliyoruz. Aşağıdaki şekilde bu duruma bakalım.

Bir noktadan düzleme olan mesafe - teori, örnekler, çözümler

Çözümleri bir noktadan düzleme olan mesafeyi içermesi gereken bir takım geometrik problemler vardır. Bunu tanımlamanın farklı yolları olabilir. Çözüm için Pisagor teoremini veya üçgenlerin benzerliğini kullanın. Koşula göre, üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde verilen bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplamak gerektiğinde, koordinat yöntemi ile çözülür. Bu paragrafta bu yöntem anlatılmaktadır.

Sorunun koşullarına göre, üç boyutlu uzayda M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir χ düzlemine sahip bir nokta verilmiştir; M 1'den mesafeyi belirlemek gerekir; düzlem χ. Bu sorunun çözümü için çeşitli çözüm yöntemleri kullanılmaktadır.

İlk yol

Bu yöntem, M1 noktasından χ düzlemine dik olanın tabanı olan H1 noktasının koordinatlarını kullanarak bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmaya dayanmaktadır. Daha sonra M 1 ile H 1 arasındaki mesafeyi hesaplamanız gerekir.

Sorunu ikinci şekilde çözmek için belirli bir düzlemin normal denklemini kullanın.

İkinci yol

Koşul olarak, H1'in, M1 noktasından χ düzlemine indirilen dikin tabanı olduğunu biliyoruz. Daha sonra H 1 noktasının koordinatlarını (x 2, y 2, z 2) belirleriz. M 1'den χ düzlemine gerekli mesafe M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 formülü ile bulunur, burada M 1 (x 1, y 1, z 1) ve H 1 (x 2, y 2, z 2). Çözmek için H 1 noktasının koordinatlarını bilmeniz gerekir.

H1'in, χ düzleminin, χ düzlemine dik olarak yerleştirilmiş M1 noktasından geçen a çizgisi ile kesişme noktası olduğunu biliyoruz. Belirli bir düzleme dik olarak belirli bir noktadan geçen düz bir çizgi için bir denklem derlemenin gerekli olduğu sonucu çıkar. İşte o zaman H 1 noktasının koordinatlarını belirleyebileceğiz. Doğrunun ve düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını hesaplamak gerekir.

M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktadan χ düzlemine olan mesafeyi bulma algoritması:

Tanım 3

• M 1 noktasından geçen ve aynı zamanda bir düz çizgi a denklemi çizin
• χ düzlemine dik;
• H 1 noktasının nokta olan koordinatlarını (x 2 , y 2 , z 2) bulun ve hesaplayın
• a düz çizgisinin χ düzlemiyle kesişimi;
• M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 formülünü kullanarak M 1 ile χ arasındaki mesafeyi hesaplayın.

Üçüncü yol

Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde O x y z bir χ düzlemi vardır, o zaman cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 formundaki düzlemin normal bir denklemini elde ederiz. Buradan, M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos formülüyle hesaplanan, χ düzlemine çizilen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktasıyla M 1 H 1 mesafesinin elde edildiğini elde ederiz. γ z - p . Bu formül teorem sayesinde oluşturulduğu için geçerlidir.

Teorem

Üç boyutlu uzayda bir M 1 (x 1, y 1, z 1) noktası verilirse, cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 formundaki χ düzleminin normal denklemine sahip olan, daha sonra noktadan M 1 H 1 düzlemine olan mesafenin hesaplanması, M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p formülünden elde edilir, çünkü x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Kanıt

Teoremin kanıtı bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulmakla ilgilidir. Bundan, M1'den χ düzlemine olan mesafenin, M1 yarıçap vektörünün sayısal izdüşümü ile orijinden χ düzlemine olan mesafe arasındaki farkın modülü olduğunu elde ederiz. Daha sonra M 1 H 1 = n p n → O M → - p ifadesini elde ederiz. χ düzleminin normal vektörü n → = cos α, cos β, cos γ formuna sahiptir ve uzunluğu bire eşittir, n p n → Ö M → O M → = (x 1, y 1) vektörünün sayısal izdüşümüdür , z 1) n → vektörünün belirlediği yönde.

Skaler vektörleri hesaplamak için formülü uygulayalım. Daha sonra n → , O M → = n → · n p n → Ö M → = 1 · n p n → Ö M → = n p n → Ö M → biçiminde bir vektör bulmak için bir ifade elde ederiz, çünkü n → = cos α, cos β, cos γ · z ve Ö M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Yazmanın koordinat biçimi şu şekilde olacaktır: n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, sonra M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorem kanıtlandı.

Buradan M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından χ düzlemine olan mesafenin cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 yerine konulmasıyla hesaplandığını anlıyoruz. düzlemin normal denkleminin sol tarafında x, y, z koordinatları yerine x 1, y 1 ve z1, M 1 noktasına ilişkin olarak elde edilen değerin mutlak değerini alır.

Koordinatlı bir noktadan belirli bir düzleme olan mesafeyi bulma örneklerine bakalım.

Örnek 1

M 1 (5, - 3, 10) koordinatlı noktadan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 düzlemine olan mesafeyi hesaplayın.

Çözüm

Sorunu iki şekilde çözelim.

İlk yöntem a doğrusunun yön vektörünün hesaplanmasıyla başlar. Koşul olarak, verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denkleminin bir düzlem denklemi olduğunu biliyoruz. genel görünüm ve n → = (2, - 1, 5) verilen düzlemin normal vektörüdür. Belirli bir düzleme dik olan bir düz çizginin yön vektörü olarak kullanılır. M 1 (5, - 3, 10) 'den geçen uzaydaki bir çizginin kanonik denklemini 2, - 1, 5 koordinatlarına sahip bir yön vektörüyle yazmak gerekir.

Denklem x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 olacaktır.

Kesişme noktaları belirlenmelidir. Bunu yapmak için, kanonikten kesişen iki çizginin denklemlerine geçmek için denklemleri yavaşça bir sistemde birleştirin. Bu noktayı H 1 olarak alalım. Bunu anlıyoruz

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Bundan sonra sistemi etkinleştirmeniz gerekir

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Gauss sistemi çözüm kuralına dönelim:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Bunu H 1(1, - 1, 0) olarak elde ederiz.

Belirli bir noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. M 1 (5, - 3, 10) ve H 1 (1, - 1, 0) noktalarını alıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

İkinci çözüm ise öncelikle verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denklemini normal forma getirmektir. Normalleştirme faktörünü belirliyoruz ve 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 elde ediyoruz. Buradan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 düzleminin denklemini türetiyoruz. Denklemin sol tarafı x = 5, y = - 3, z = 10 değiştirilerek hesaplanır ve M 1 (5, - 3, 10) ile 2 x - y + 5 z - arasındaki mesafeyi almanız gerekir. 3 = 0 modülo. Şu ifadeyi elde ederiz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Cevap: 2 30.

χ düzlemi, bir düzlem belirleme yöntemleri bölümündeki yöntemlerden biri ile belirlendiğinde, öncelikle χ düzleminin denklemini elde etmeniz ve herhangi bir yöntemi kullanarak gerekli mesafeyi hesaplamanız gerekir.

Örnek 2

Üç boyutlu uzayda M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) koordinatlarına sahip noktalar belirtilir. M 1'den A B C düzlemine olan mesafeyi hesaplayın.

Çözüm

Öncelikle M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( koordinatlarına sahip verilen üç noktadan geçen düzlemin denklemini yazmanız gerekir. 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Sorunun öncekine benzer bir çözümü olduğu sonucu çıkıyor. Bu, M 1 noktasından A B C düzlemine olan mesafenin 2 30 değerine sahip olduğu anlamına gelir.

Cevap: 2 30.

Bir düzlemdeki belirli bir noktadan veya paralel oldukları bir düzleme olan mesafeyi bulmak, M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p formülünü uygulayarak daha uygundur. . Bundan, düzlemlerin normal denklemlerinin birkaç adımda elde edildiğini elde ederiz.

Örnek 3

M 1 (- 3 , 2 , - 7) koordinatlarına sahip belirli bir noktadan mesafeyi bulun koordinat düzlemi x y z ve 2 y - 5 = 0 denklemiyle tanımlanan düzlem hakkında.

Çözüm

O y z koordinat düzlemi x = 0 formundaki bir denkleme karşılık gelir. O y z düzlemi için bu normaldir. Bu nedenle ifadenin sol tarafına x = - 3 değerlerini koymak ve M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlı noktadan düzleme olan mesafenin mutlak değerini almak gerekir. - 3 = 3'e eşit bir değer elde ediyoruz.

Dönüşüm sonrasında 2 y - 5 = 0 düzleminin normal denklemi y - 5 2 = 0 formunu alacaktır. Daha sonra M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlı noktadan 2 y - 5 = 0 düzlemine kadar gerekli mesafeyi bulabilirsiniz. Yerine koyup hesapladığımızda 2 - 5 2 = 5 2 - 2 elde ederiz.

Cevap: M 1'den (- 3, 2, - 7) O y z'ye gerekli mesafe 3 değerine ve 2 y - 5 = 0'a 5 2 - 2 değerine sahiptir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Hedefler:

• öğrencilerin bilgi ve becerilerinin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi;
• analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma becerilerinin geliştirilmesi.

Teçhizat:

• multimedya projektörü;
• bilgisayar;
• sorunlu metinlerin bulunduğu sayfalar

SINIFIN İLERLEMESİ

I. Organizasyon anı

II. Bilgi güncelleme aşaması(slayt 2)

Bir noktadan düzleme olan mesafenin nasıl belirlendiğini tekrarlıyoruz

III. Ders(3-15 arası slaytlar)

Sınıfta bakacağız çeşitli yollar Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmak.

İlk yöntem: adım adım hesaplamalı

M noktasından α düzlemine olan mesafe:
- M noktasından geçen ve a düzlemine paralel olan, düz bir a çizgisi üzerinde bulunan keyfi bir P noktasından α düzlemine olan mesafeye eşit;
– M noktasından geçen ve α düzlemine paralel olan β düzlemi üzerinde bulunan keyfi bir P noktasından α düzlemine olan mesafeye eşittir.

Aşağıdaki sorunları çözeceğiz:

№1. A...D 1 küpünde, C 1 noktasından AB 1 C düzlemine olan mesafeyi bulun.

O 1 N segmentinin uzunluğunu hesaplamak için kalır.

№2. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli bir altıgen A...F 1 prizmasında, A noktasından DEA 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Sonraki yöntem: hacim yöntemi.

ABCM piramidinin hacmi V'ye eşitse, M noktasından ∆ABC'yi içeren α düzlemine olan mesafe ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = formülüyle hesaplanır.
Problemleri çözerken, bir rakamın iki farklı şekilde ifade edilen hacimlerinin eşitliğini kullanırız.

Aşağıdaki problemi çözelim:

№3. DABC piramidinin AD kenarı ABC taban düzlemine diktir. Eğer A'dan AB, AC ve AD kenarlarının orta noktalarından geçen düzleme olan mesafeyi bulun.

Sorunları çözerken koordinat yöntemi M noktasından α düzlemine olan mesafe, ρ(M; α) = formülü kullanılarak hesaplanabilir. , burada M(x 0; y 0; z 0) ve düzlem ax + by + cz + d = 0 denklemiyle verilir

Aşağıdaki problemi çözelim:

№4. Birim küp A...D 1'de, A 1 noktasından BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Başlangıç ​​noktası A noktası olan bir koordinat sistemi tanıtalım; y ekseni AB kenarı boyunca, x ekseni AD kenarı boyunca ve z ekseni AA 1 kenarı boyunca ilerleyecektir. Daha sonra B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) noktalarının koordinatları
B, D, C 1 noktalarından geçen bir düzlem için denklem oluşturalım.

O zaman – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Dolayısıyla ρ =

Bu tür problemleri çözmek için kullanılabilecek aşağıdaki yöntem: Destek problemlerinin yöntemi.

Başvuru bu yöntem Teoremler olarak formüle edilen bilinen referans problemlerinin uygulanmasından oluşur.

Aşağıdaki problemi çözelim:

№5. Birim küp A...D 1'de, D 1 noktasından AB 1 C düzlemine olan mesafeyi bulun.

Başvuruyu değerlendirelim vektör yöntemi.

№6. Birim küp A...D 1'de, A 1 noktasından BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

Bu tür sorunları çözmek için kullanılabilecek çeşitli yöntemlere baktık. Bir yöntemin veya diğerinin seçimi, belirli göreve ve tercihlerinize bağlıdır.

IV. Grup çalışması

Sorunu farklı şekillerde çözmeye çalışın.

№1. A...D 1 küpünün kenarı eşittir. C köşesinden BDC 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

№2. İÇİNDE düzenli tetrahedron Bir kenarı olan ABCD, A noktasından BDC düzlemine olan mesafeyi bulun

№3. Tüm kenarları 1'e eşit olan normal bir ABCA 1 B 1 C 1 üçgen prizmasında, A'dan BCA 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

№4. Tüm kenarları 1'e eşit olan düzenli bir dörtgen piramit SABCD'de, A'dan SCD düzlemine olan mesafeyi bulun.

V. Ders özeti, Ev ödevi, refleks

Çevrimiçi hesap makinesi.
Bir noktadan bir düzleme olan mesafenin hesaplanması

Bu çevrimiçi hesap makinesi, formda verilen bir noktadan düzleme olan mesafeleri hesaplar genel denklem uçak:
$$ Ax+By+Cz+D=0 $$

Bir noktadan uçağa olan mesafeyi hesaplamak için kullanılan çevrimiçi hesap makinesi yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda detaylı çözüm açıklamalarla, yani Matematik ve/veya cebirdeki bilgiyi test etmek için çözüm sürecini görüntüler.

Bu çevrimiçi hesap makinesi lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okullar hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için.

Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar. Bizimçevrimiçi hesap makinesi

sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm sürecini de adım adım gösteriyor. Sonuç olarak, bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmaya yönelik problem çözme sürecini anlayabileceksiniz.

Sayı girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

Sayı girme kuralları
Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir. Dahası, kesirli sayılar

yalnızca ondalık sayı olarak değil aynı zamanda sıradan bir kesir olarak da girilebilir.
Ondalık kesir girme kuralları.
Ondalık kesirlerde kesirli kısım bütün kısımdan nokta veya virgülle ayrılabilir. Örneğin, girebilirsiniz ondalık sayılar

bunun gibi: 2,5 veya bunun gibi 1,3
Sıradan kesirleri girme kuralları.

Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz. /
Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır:
Giriş: -2/3

Sonuç: \(-\frac(2)(3)\) Bütün kısım &
kesirden bir ve işaretiyle ayrılır:
Giriş: -1&5/7

Sonuç: \(-1\frac(5)(7)\)

x+

y+ =0

z+

;

;

)

M(

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Normal düzlem denklemi. Bir noktadan bir düzleme olan mesafe.

Dikdörtgen bir koordinat sistemi olan Oxyz ve keyfi bir düzlem \(\pi \) verilsin (şekle bakın).

Başlangıç ​​noktasından \(\pi\) düzlemine dik düz bir çizgi çizelim. Normal diyelim. Normalin \(\pi\) düzlemiyle kesiştiği noktayı P ile gösterelim. Normal üzerinde, O noktasından P noktasına doğru olan yönü tanıtıyoruz. Eğer O ve P noktaları çakışırsa, normal üzerindeki iki yönden herhangi birini alırız. Yönlendirilmiş normalin koordinat eksenleriyle yaptığı açılar \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) olsun; p, OP segmentinin uzunluğudur.

\(\cos\alpha, \; \cos\beta, \; \cos\gamma \) ve p sayılarının bilindiğini varsayarak, bu düzlemin \(\pi \) denklemini türetelim. Bunu yapmak için, normal üzerine, yönü normalin pozitif yönüyle çakışan bir n birim vektörü ekliyoruz. n bir birim vektör olduğundan, o zaman
\(\begin(array)(lr) \vec(n) = (\cos\alpha; \;\; \cos\beta; \;\; \cos\gamma) & \qquad\qquad (5) \end (sıralamak)\)

M(x; y; z) keyfi bir nokta olsun. Ancak ve ancak OM vektörünün normale izdüşümünün p'ye eşit olması durumunda \(\pi \) düzleminde yer alır.
$$ \begin(array)(lr) Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = p & (6) \end(array) $$

Şimdi \(Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = \vec(n) \cdot \overrightarrow(OM) \) ve \(\vec(OM) = (x;\; y; \) olduğunu unutmayın. ; z) \) O halde eşitliği dikkate alarak (5)

$$ \begin(array)(lr) Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = \vec(n) \cdot \overrightarrow(OM) = x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma & (7) \end(array) $$

Eşitlik (6) ve (7)'den, M(x; y; z) noktasının \(\pi \) düzleminde yer aldığını ancak ve ancak koordinatlarının denklemi sağlaması durumunda elde ederiz.

\(\begin(array)(lr) x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 & \qquad\qquad (8) \end(array) \) ki bu gerekli Belirli bir düzlemin denklemi. (8) formundaki düzlem denklemine normal düzlem denklemi denir..

Teorem
M* noktasının x*, y*, z* koordinatları varsa ve düzlem normal denklemle veriliyorsa

\(x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 \) daha sonra M* noktasından bu düzleme olan d mesafesi aşağıdaki formülle belirlenir:
\(d = |x^* \cos \alpha + y^* \cos\beta + z^* \cos\gamma - p | \)

Şimdi genel düzlem denklemini normal forma nasıl indirebileceğimizi gösterelim. İzin vermek
\(\begin(array)(lr) Ax+By+Cz+D=0 & \qquad\qquad (11) \end(array) \)
belirli bir düzlemin genel denklemidir ve
\(\begin(array)(lr) x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 & \qquad\qquad (12) \end(array) \)
normal denklemidir. Denklem (11) ve (12) aynı düzlemi tanımladığı için teoreme göre bu denklemlerin katsayıları orantılıdır. Bu, tüm terimleri (11) bir \(\mu\ faktörü) ile çarparak denklemi elde ettiğimiz anlamına gelir
\(\mu Ax + \mu By + \mu Cz + \mu D=0 \)
denklem (12) ile örtüşmektedir, yani sahibiz
\(\begin(array)(lr) \mu A = \cos \alpha, \;\; \mu B = \cos\beta, \;\; \mu C = \cos\gamma, \;\; \ mu D = -p & \qquad\qquad (13) \end(array) \)

\(\mu \) faktörünü bulmak için eşitliğin ilk üçünün (13) karesini alır ve bunları toplarız; o zaman alırız
\(\mu^2(A^2+B^2+C^2) = \cos ^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos ^2\gamma \)
Ancak son eşitliğin sağ tarafı bire eşittir. Buradan,
$$ \mu = \pm \frac(1)( \sqrt(A^2+B^2+C^2)) $$

Düzlemin genel denkleminin normale dönüştürüldüğü \(\mu\) sayısına bu denklemin normalleştirme faktörü denir.

\(\mu \)'nin işareti \(\mu D = -p \) eşitliği ile belirlenir, yani. \(\mu \) genel denklemin (11) serbest teriminin işaretinin karşısında bir işarete sahiptir.

Eğer denklem (11)'de D=0 ise, normalizasyon faktörünün işareti keyfi olarak seçilir.

Kitaplar (ders kitapları) Özetler Birleşik Devlet Sınavı ve OGE testleri çevrimiçi

Kartezyen koordinat sistemindeki herhangi bir düzlem, 'Ax + By + Cz + D = 0' denklemiyle belirtilebilir; burada 'A', 'B', 'C' sayılarından en az biri sıfır değildir. Bir 'M (x_0;y_0;z_0)' noktası verilse, bu noktadan 'Ax + By + Cz + D = 0' düzlemine olan uzaklığı bulalım. Doğrunun 'M' noktasından geçmesine izin verin 'alfa' düzlemine dik, onu 'K' noktasında kesiyor '(x; y; z)' koordinatlarıyla. Vektör 'vec(MK)' 'vecn' (A;B;C)' vektörü gibi 'alfa' düzlemine diktir, yani 'vec(MK)' ve 'vecn' vektörleri 'vec(MK)= λvecn'.

`(x-x_0;y-y_0;z-z-0)`'dan bu yana ve `vecn(A,B,C)`, ardından `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`.

'K' noktası 'alfa' düzleminde yer alır (Şekil 6), koordinatları düzlemin denklemini karşılar. `Ax+By+Cz+D=0` denkleminde `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` yerine koyarsak şunu elde ederiz:

`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,

dolayısıyla 'lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)'.

'vec(MK)' vektörünün uzunluğunu bulun, bu, 'M(x_0;y_0;z_0)' noktasından olan mesafeye eşittir `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)` düzlemine.

Yani, 'M(x_0;y_0;z_0)' noktasından 'Ax + By + Cz + D = 0' düzlemine kadar 'h' mesafesi aşağıdaki gibidir

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))'.

'A' noktasından 'alfa' düzlemine olan mesafeyi bulmanın geometrik yöntemini kullanarak, 'A' noktasından 'alfa' düzlemine indirilen 'A A^' dikmesinin tabanını bulun. Eğer 'A^' noktası ise "', problemde belirtilen 'alfa' düzleminin kesitinin dışında yer alıyorsa, 'A' noktasından geçerek 'c' düz bir çizgi çizin, düzleme paralel'alfa' ve üzerinde dik izdüşümü 'C^" olan daha uygun bir 'C' noktası seçin 'alfa' düzleminin bu bölümüne aittir. `C C^"` segmentinin uzunluğu'A' noktasından gerekli mesafeye eşit olacaktır'alfa' düzlemine.

Tüm kenarları "1"e eşit olan düzenli bir altıgen prizma "A...F_1"de, "B" noktasından "AF F_1" düzlemine olan mesafeyi bulun.

'O' prizmanın alt tabanının merkezi olsun (Şekil 7). 'BO' düz çizgisi 'AF' düz çizgisine paraleldir ve bu nedenle 'B' noktasından 'AF F_1' düzlemine olan mesafe 'O' noktasından 'OH' noktasına olan mesafeye eşittir. 'AF F_1' uçağı. 'AOF' üçgeninde 'AO=OF=AF=1' var. Bu üçgenin 'OH' yüksekliği '(sqrt3)/2'dir. Bu nedenle gerekli mesafe `(sqrt3)/2`dir.

Başka bir yol gösterelim (yardımcı hacim yöntemi) Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmak. Piramidin hacminin 'V' olduğu biliniyor , tabanının alanı 'S've yükseklik uzunluğu 'h''h=(3V)/S' formülüyle ilişkilidir. Ancak bir piramidin yüksekliğinin uzunluğu, tepesinden taban düzlemine kadar olan mesafeden başka bir şey değildir. Bu nedenle, bir noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplamak için, bazı piramidin tabanının hacmini ve alanını, bu noktada tepe noktası ve taban bu düzlemde olacak şekilde bulmak yeterlidir.

'AB=a', 'A A_1=2a' olan düzenli bir 'A...D_1' prizması verilmiştir. 'A_1B_1C_1D_1' tabanının köşegenlerinin kesişme noktasından 'BDC_1' düzlemine olan mesafeyi bulun.

'O_1DBC_1' tetrahedronunu düşünün (Şekil 8). Gerekli "h" mesafesi, bu tetrahedronun "O_1" noktasından "BDC_1" yüzünün düzlemine indirilen yüksekliğinin uzunluğudur. . Bunu bulmak için 'V' hacmini bilmek yeterlidörtyüzlü `O_1DBC_1` ve alan 'DBC_1' üçgeni. Bunları hesaplayalım. `O_1C_1` düz çizgisine dikkat edin 'O_1DB' düzlemine dik, çünkü "BD"ye diktir ve 'B B_1' . Bu, tetrahedronun hacminin "O_1DBC_1" olduğu anlamına gelir eşittir