İkinci dereceden bir polinom nasıl çarpanlara ayrılır? İkinci dereceden bir trinomial nasıl çarpanlara ayrılır

27.09.2019

İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını bulalım. Yukarıdaki denklemin kökleri için formül (59.8)'i kullanarak şunu elde ederiz:

(ilk eşitlik açıktır, ikincisi okuyucunun bağımsız olarak yapacağı basit bir hesaplamadan sonra elde edilir; iki sayının toplamını farklarıyla çarpmak için formülü kullanmak uygundur).

Aşağıdakiler kanıtlanmıştır

Vieta'nın teoremi. Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, ters işaretli ikinci katsayıya, çarpımı ise serbest terime eşittir.

İndirgenmemiş ikinci dereceden bir denklem durumunda, formül (60.1)'in ifadeleri formül (60.1)'de değiştirilmeli ve form alınmalıdır.

Örnek 1. Oluşturun ikinci dereceden denklem köklerine göre:

Çözüm, a) Aşağıdaki formdaki denklemi bulun:

Örnek 2. Denklemin kendisini çözmeden denklemin köklerinin karelerinin toplamını bulun.

Çözüm. Köklerin toplamı ve çarpımı bilinmektedir. Kareköklerin toplamını formda temsil edelim.

ve alıyoruz

Vieta'nın formüllerinden formülü elde etmek kolaydır

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma kuralını ifade etme.

Aslında formülleri (60.2) şeklinde yazalım.

Şimdi elimizde

almamız gereken şey buydu.

Vieta formüllerinin yukarıdaki türetilmesi okuyucuya bir cebir dersinden aşinadır. lise. Bezout teoremi ve polinomun çarpanlara ayrılması kullanılarak başka bir sonuç çıkarılabilir (paragraf 51, 52).

O halde denklemin kökleri şöyle olsun: genel kural(52.2) Denklemin sol tarafındaki üç terimli çarpanlara ayrılır:

Bu özdeş eşitliğin sağ tarafındaki parantezleri açarak şunu elde ederiz:

ve aynı güçlerdeki katsayıları karşılaştırmak bize Vieta formülünü (60.1) verecektir.

Bu türetmenin avantajı denklemlere de uygulanabilmesidir. daha yüksek dereceler Bir denklemin katsayıları için kökleri aracılığıyla ifadeler elde etmek için (kökleri bulmadan!). Örneğin, verilen kübik denklemin kökleri

işin özü, eşitliğe (52.2) göre bulmamızdır

(bizim durumumuzda eşitliğin sağ tarafındaki parantezleri açıp çeşitli derecelerdeki katsayıları toplayarak şunu elde ederiz:

Açık bu dersİkinci dereceden üç terimlileri doğrusal çarpanlara nasıl ayıracağımızı öğreneceğiz. Bunu yapmak için Vieta teoremini ve onun tersini hatırlamamız gerekiyor. Bu beceri, ikinci dereceden üç terimlileri hızlı ve kolay bir şekilde doğrusal faktörlere genişletmemize yardımcı olacak ve aynı zamanda ifadelerden oluşan kesirlerin azaltılmasını da basitleştirecektir.

O halde ikinci dereceden denkleme geri dönelim, burada .

Sol tarafta sahip olduğumuz şeye ikinci dereceden üç terimli denir.

Teorem doğrudur:İkinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise, o zaman kimlik geçerlidir

Baş katsayı nerede, denklemin kökleri.

Yani, ikinci dereceden bir denklemimiz var - ikinci dereceden bir üç terimli, burada ikinci dereceden denklemin köklerine ikinci dereceden üç terimlinin kökleri de denir. Bu nedenle, eğer bir kare trinomiyalin köklerine sahipsek, o zaman bu trinomial doğrusal faktörlere ayrıştırılır.

Kanıt:

Kanıt bu gerçekönceki derslerde tartıştığımız Vieta teoremi kullanılarak gerçekleştirilir.

Vieta teoreminin bize ne söylediğini hatırlayalım:

Eğer ikinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise , o zaman .

Bu teoremden aşağıdaki ifade çıkar:

Vieta teoremine göre yani bu değerleri yukarıdaki formülde yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ettiğimizi görüyoruz.

Q.E.D.

Bir kare trinomiyalin kökleri ise genişlemenin geçerli olduğu teoremini kanıtladığımızı hatırlayın.

Şimdi Vieta teoremini kullanarak köklerini seçtiğimiz ikinci dereceden denklem örneğini hatırlayalım. Bu gerçekten, kanıtlanmış teorem sayesinde aşağıdaki eşitliği elde edebiliriz:

Şimdi parantezleri açarak bu gerçeğin doğruluğunu kontrol edelim:

Doğru çarpanlara ayırdığımızı ve eğer kökleri varsa herhangi bir üç terimlinin bu teoreme göre aşağıdaki formüle göre doğrusal faktörlere bölünebileceğini görüyoruz:

Ancak herhangi bir denklem için böyle bir çarpanlara ayırmanın mümkün olup olmadığını kontrol edelim:

Örneğin denklemi ele alalım. Öncelikle diskriminant işaretini kontrol edelim

Öğrendiğimiz teoremi yerine getirmek için D'nin 0'dan büyük olması gerektiğini hatırlıyoruz. bu durumdaÇalışılan teoreme göre çarpanlara ayırma imkansızdır.

Bu nedenle yeni bir teorem formüle ediyoruz: Eğer kare bir trinomiyalin kökleri yoksa, o zaman doğrusal faktörlere ayrıştırılamaz.

Böylece, Vieta teoremine, ikinci dereceden bir üç terimliyi doğrusal faktörlere ayırma olasılığına baktık ve şimdi birkaç problemi çözeceğiz.

Görev No.1

Bu grupta aslında problemi sorulanın tersini çözeceğiz. Bir denklemimiz vardı ve onu çarpanlara ayırarak köklerini bulduk. Burada tam tersini yapacağız. Diyelim ki ikinci dereceden bir denklemin köklerine sahibiz

Ters problem şudur: köklerini kullanarak ikinci dereceden bir denklem yazın.

Bu sorunu çözmenin 2 yolu vardır.

Denklemin kökleri olduğuna göre, kökleri sayılar verilen ikinci dereceden bir denklemdir. Şimdi parantezleri açıp kontrol edelim:

Herhangi bir ikinci dereceden denklemin en fazla iki kökü olduğundan, bu, başka kökleri olmayan, belirli köklerle ikinci dereceden bir denklem oluşturmamızın ilk yoluydu.

Bu yöntem ters Vieta teoreminin kullanılmasını içerir.

Denklemin kökleri ise şu koşulu sağlarlar:

İndirgenmiş ikinci dereceden denklem için , , yani bu durumda ve .

Böylece kökleri verilen ikinci dereceden bir denklem oluşturduk.

Görev No.2

Fraksiyonu azaltmak gerekir.

Payda bir üç terimli ve paydada bir üç terimli var ve üç terimli sayılar çarpanlara ayrılabilir veya ayrılmayabilir. Hem pay hem de payda çarpanlara ayrılırsa, aralarında azaltılabilecek eşit faktörler olabilir.

Öncelikle payı çarpanlarına ayırmanız gerekir.

Öncelikle bu denklemin çarpanlarına ayrılıp ayrılamayacağını kontrol etmeniz gerekiyor, diskriminantı bulalım. Bu örnekte işaret çarpıma bağlı olduğundan (0'dan küçük olmalıdır), yani verilen denklemin kökleri vardır.

Çözmek için Vieta teoremini kullanıyoruz:

Bu durumda köklerle uğraştığımız için basitçe kökleri seçmek oldukça zor olacaktır. Ancak katsayıların dengeli olduğunu görüyoruz, yani bunu varsayarsak ve bu değeri denklemde yerine koyarsak, şunu elde ederiz: sonraki sistem: , yani 5-5=0. Böylece bu ikinci dereceden denklemin köklerinden birini seçtik.

Denklem sisteminde zaten bilinenleri değiştirerek ikinci kökü arayacağız, örneğin, , yani. .

Böylece, ikinci dereceden denklemin her iki kökünü de bulduk ve bunları çarpanlara ayırmak için değerlerini orijinal denklemin yerine koyabiliriz:

Asıl problemi hatırlayalım, kesri azaltmamız gerekiyordu.

yerine koyarak sorunu çözmeye çalışalım.

Bu durumda paydanın 0'a yani ,'ye eşit olamayacağını unutmamak gerekir.

Bu koşullar yerine getirilirse orijinal kesri forma indirgemiş oluruz.

Problem No. 3 (parametreli görev)

İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamı parametrenin hangi değerlerindedir?

Bu denklemin kökleri mevcutsa, o zaman , soru: ne zaman.

Kare trinomial ax^2 + bx + c biçiminde bir polinomdur; burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve a ≠ 0'dır.

Bir trinomialin çarpanlarına ayrılması için o trinomialin köklerini bilmeniz gerekir. (üç terimli 5x^2 + 3x- 2 ile ilgili daha fazla örnek)

Not: İkinci dereceden üç terimli 5x^2 + 3x - 2'nin değeri x'in değerine bağlıdır. Örneğin: Eğer x = 0 ise 5x^2 + 3x - 2 = -2

Eğer x = 2 ise, 5x^2 + 3x - 2 = 24

Eğer x = -1 ise, 5x^2 + 3x - 2 = 0

x = -1'de, kare trinomial 5x^2 + 3x - 2 kaybolur, bu durumda -1 sayısına denir kare bir trinomiyalin kökü.

Bir denklemin kökü nasıl alınır?

Bu denklemin kökünü nasıl elde ettiğimizi açıklayalım. Öncelikle çalışacağımız teoremi ve formülü açıkça bilmeniz gerekir:

"Eğer x1 ve x2 ikinci dereceden üç terimli ax^2 + bx + c'nin kökleriyse, o zaman ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)."

X = (-b±√(b^2-4ac))/2a\

Bir polinomun köklerini bulmak için kullanılan bu formül, asla kafanızın karışmayacağı en ilkel formüldür.

İfade 5x^2 + 3x – 2'dir.

1. Sıfıra eşitleyin: 5x^2 + 3x – 2 = 0

2. İkinci dereceden denklemin köklerini bulun, bunu yapmak için değerleri formüle koyarız (a, X^2'nin katsayısıdır, b, X'in katsayısıdır, serbest terimdir, yani X'siz rakamdır) ):

Karekökün önünde artı işareti bulunan ilk kökü buluyoruz:

Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

Karekökün önünde eksi işareti bulunan ikinci kök:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Böylece ikinci dereceden üç terimlinin köklerini bulduk. Doğru olduklarından emin olmak için kontrol edebilirsiniz: önce denklemin ilk köküne, sonra ikincisine koyarız:

1) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x – 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Tüm kökleri değiştirdikten sonra denklem sıfır olursa denklem doğru çözülmüş demektir.

3. Şimdi teoremdeki formülü kullanalım: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), X1 ve X2'nin ikinci dereceden denklemin kökleri olduğunu unutmayın. Yani: 5x^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Ayrışmanın doğru olduğundan emin olmak için parantezleri çarpmanız yeterlidir:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 + 3 – 2. Bu da doğruluğu teyit eder Kararın.

Kare üç terimlinin köklerini bulmak için ikinci seçenek

Kare bir üç terimlinin köklerini bulmanın bir başka seçeneği de Viette teoreminin tersi olan teoremdir. Burada ikinci dereceden denklemin kökleri aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Ancak bu teoremin yalnızca a = 1 katsayısı, yani x^2'nin önündeki sayı = 1 olması durumunda kullanılabileceğini anlamak önemlidir.

Örneğin: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Çözüyoruz: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Şimdi üründeki hangi sayıların bir verdiğini düşünmek önemlidir? Doğal olarak bu 1 * 1 Ve -1 * (-1) . Bu sayılardan x1 + x2 = 2 ifadesine karşılık gelenleri seçiyoruz, elbette - bu 1 + 1. Böylece denklemin köklerini bulduk: x1 = 1, x2 = 1. Bunu kontrol etmek kolaydır. x^2'yi - 2x + 1 = 0 ifadesinde değiştirin.

Bu derste ikinci dereceden üç terimlileri doğrusal çarpanlara nasıl ayıracağımızı öğreneceğiz. Bunu yapmak için Vieta teoremini ve onun tersini hatırlamamız gerekiyor. Bu beceri, ikinci dereceden üç terimlileri hızlı ve kolay bir şekilde doğrusal faktörlere genişletmemize yardımcı olacak ve aynı zamanda ifadelerden oluşan kesirlerin azaltılmasını da basitleştirecektir.

O halde ikinci dereceden denkleme geri dönelim, burada .

Sol tarafta sahip olduğumuz şeye ikinci dereceden üç terimli denir.

Teorem doğrudur:İkinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise, o zaman kimlik geçerlidir

Baş katsayı nerede, denklemin kökleri.

Kanıt:

Bu gerçeğin ispatı önceki derslerde tartıştığımız Vieta teoremi kullanılarak gerçekleştirilmektedir.

Vieta teoreminin bize ne söylediğini hatırlayalım:

Eğer ikinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise , o zaman .

Bu teoremden aşağıdaki ifade çıkar:

Vieta teoremine göre yani bu değerleri yukarıdaki formülde yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ettiğimizi görüyoruz.

Q.E.D.

Bir kare trinomiyalin kökleri ise genişlemenin geçerli olduğu teoremini kanıtladığımızı hatırlayın.

Şimdi Vieta teoremini kullanarak köklerini seçtiğimiz ikinci dereceden denklem örneğini hatırlayalım. Bu gerçekten, kanıtlanmış teorem sayesinde aşağıdaki eşitliği elde edebiliriz:

Şimdi parantezleri açarak bu gerçeğin doğruluğunu kontrol edelim:

Doğru çarpanlara ayırdığımızı ve eğer kökleri varsa herhangi bir üç terimlinin bu teoreme göre aşağıdaki formüle göre doğrusal faktörlere bölünebileceğini görüyoruz:

Ancak herhangi bir denklem için böyle bir çarpanlara ayırmanın mümkün olup olmadığını kontrol edelim:

Örneğin denklemi ele alalım. Öncelikle diskriminant işaretini kontrol edelim

Ve öğrendiğimiz teoremin gerçekleşmesi için D'nin 0'dan büyük olması gerektiğini hatırlıyoruz, dolayısıyla bu durumda öğrendiğimiz teoreme göre çarpanlara ayırmanın imkansız olduğu ortaya çıkıyor.

Bu nedenle yeni bir teorem formüle ediyoruz: Eğer kare bir trinomiyalin kökleri yoksa, o zaman doğrusal faktörlere ayrıştırılamaz.

Böylece, Vieta teoremine, ikinci dereceden bir üç terimliyi doğrusal faktörlere ayırma olasılığına baktık ve şimdi birkaç problemi çözeceğiz.

Görev No.1

Ters problem şudur: köklerini kullanarak ikinci dereceden bir denklem yazın.

Bu sorunu çözmenin 2 yolu vardır.

Denklemin kökleri olduğuna göre, kökleri sayılar verilen ikinci dereceden bir denklemdir. Şimdi parantezleri açıp kontrol edelim:

Herhangi bir ikinci dereceden denklemin en fazla iki kökü olduğundan, bu, başka kökleri olmayan, belirli köklerle ikinci dereceden bir denklem oluşturmamızın ilk yoluydu.

Bu yöntem ters Vieta teoreminin kullanılmasını içerir.

Denklemin kökleri ise şu koşulu sağlarlar:

İndirgenmiş ikinci dereceden denklem için , , yani bu durumda ve .

Böylece kökleri verilen ikinci dereceden bir denklem oluşturduk.

Görev No.2

Fraksiyonu azaltmak gerekir.

Öncelikle payı çarpanlarına ayırmanız gerekir.

Çözmek için Vieta teoremini kullanıyoruz:

Bu durumda köklerle uğraştığımız için basitçe kökleri seçmek oldukça zor olacaktır. Ancak katsayıların dengeli olduğunu görüyoruz, yani bunu varsayarsak ve bu değeri denklemde yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz: yani 5-5=0. Böylece bu ikinci dereceden denklemin köklerinden birini seçtik.

Denklem sisteminde zaten bilinenleri değiştirerek ikinci kökü arayacağız, örneğin, , yani. .

Böylece, ikinci dereceden denklemin her iki kökünü de bulduk ve bunları çarpanlara ayırmak için değerlerini orijinal denklemin yerine koyabiliriz:

Asıl problemi hatırlayalım, kesri azaltmamız gerekiyordu.

yerine koyarak sorunu çözmeye çalışalım.

Bu durumda paydanın 0'a yani ,'ye eşit olamayacağını unutmamak gerekir.

Bu koşullar yerine getirilirse orijinal kesri forma indirgemiş oluruz.

Problem No. 3 (parametreli görev)

İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamı parametrenin hangi değerlerindedir?

Bu denklemin kökleri mevcutsa, o zaman , soru: ne zaman.

İkinci dereceden üç terimli sayıları çarpanlara ayırmak, herkesin er ya da geç karşılaştığı okul ödevlerinden biridir. Nasıl yapılır? İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırmanın formülü nedir? Örnekleri kullanarak adım adım çözelim.

Genel formül

İkinci dereceden trinomialler ikinci dereceden bir denklem çözülerek çarpanlara ayrılır. Bu, birkaç yöntemle çözülebilecek basit bir problemdir; Vieta teoremini kullanarak diskriminantı bularak grafiksel bir çözüm de bulabilirsiniz. İlk iki yöntem lisede öğrenilir.

Genel formül şuna benzer:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Görevi tamamlamak için algoritma

İkinci dereceden üç terimlileri çarpanlara ayırmak için Vita teoremini bilmeniz, elinizde bir çözüm programının olması, grafiksel olarak bir çözüm bulabilmeniz veya diskriminant formülünü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin köklerini arayabilmeniz gerekir. İkinci dereceden bir üç terimli verilmişse ve çarpanlara ayrılması gerekiyorsa, algoritma aşağıdaki gibidir:

1) Bir denklem elde etmek için orijinal ifadeyi sıfıra eşitleyin.

2) Getir benzer terimler(böyle bir ihtiyaç varsa).

3) Bilinen herhangi bir yöntemi kullanarak kökleri bulun. Grafik yöntemi Köklerin tam sayılar ve küçük sayılar olduğu önceden biliniyorsa kullanılması daha iyidir. Kök sayısının denklemin maksimum derecesine eşit olduğu, yani ikinci dereceden denklemin iki kökü olduğu unutulmamalıdır.

4) Değeri değiştirin X ifadeye (1) dönüştürülür.

5) İkinci dereceden trinomiallerin çarpanlara ayrılmasını yazın.

Örnekler

Uygulama, nihayet bu görevin nasıl gerçekleştirildiğini anlamanıza olanak tanır. Örnekler, bir kare trinomiyalin çarpanlarına ayrılmasını göstermektedir:

ifadeyi genişletmek gerekir:

Algoritmamıza başvuralım:

1) x 2 -17x+32=0

2) benzer terimler azaltılır

3) Vieta formülünü kullanarak bu örneğin köklerini bulmak zordur, dolayısıyla diskriminant için şu ifadeyi kullanmak daha iyidir:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Bulduğumuz kökleri ayrıştırmanın temel formülünde yerine koyalım:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) O zaman cevap şu şekilde olacaktır:

x 2 -17x+32=(x-2,155)(x-14,845)

Diskriminantın bulduğu çözümlerin Vieta formüllerine uyup uymadığını kontrol edelim:

14,845 . 2,155=32

Bu kökler için Vieta teoremi uygulanırsa doğru bulunmuş yani elde ettiğimiz çarpanlara ayırma da doğrudur.

Benzer şekilde 12x2 + 7x-6'yı da genişletelim.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

Önceki durumda çözümler tamsayı değildi, fakat gerçek sayılarÖnünüzde bir hesap makinesi varsa bunları bulmak kolaydır. Şimdi daha fazlasına bakalım karmaşık örnek, burada kökler karmaşık olacaktır: faktör x 2 + 4x + 9. Vieta formülünü kullanarak kökler bulunamıyor ve diskriminant negatif. Kökler karmaşık düzlemde olacaktır.

D=-20

Buna dayanarak bizi ilgilendiren kökleri elde ederiz -4+2i*5 1/2 ve -4-2i * 5 1/2 (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Kökleri genel formülde değiştirerek istenen ayrışmayı elde ederiz.

Başka bir örnek: 23x 2 -14x+7 ifadesini çarpanlarına ayırmanız gerekir.

Denklemimiz var 23x2 -14x+7 =0

D=-448

Bu, köklerin 14+21.166i olduğu anlamına gelir ve 14-21.166i. Cevap şöyle olacaktır:

23x2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Diskriminant yardımı olmadan çözülebilecek bir örnek verelim.

Diyelim ki ikinci dereceden denklem x 2 -32x+255'i açmamız gerekiyor. Açıkçası, bir diskriminant kullanılarak da çözülebilir, ancak bu durumda kökleri bulmak daha hızlıdır.

x 1 =15

x 2 =17

Araç x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).