İkinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için en uygun yöntemlerden biri grafik yöntemdir. Bu yazıda ikinci dereceden eşitsizliklerin grafiksel olarak nasıl çözüldüğüne bakacağız. Öncelikle bu yöntemin özünün ne olduğunu tartışalım. Daha sonra algoritmayı sunacağız ve ikinci dereceden eşitsizlikleri grafiksel olarak çözme örneklerini ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Grafik yönteminin özü

Hiç Eşitsizlikleri çözmek için grafiksel yöntem Tek değişkenli yöntem yalnızca ikinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için değil aynı zamanda diğer eşitsizlik türlerini çözmek için de kullanılır. Eşitsizlikleri çözmek için grafik yöntemin özü sonra: eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına karşılık gelen y=f(x) ve y=g(x) fonksiyonlarını göz önünde bulundurun, bunların grafiklerini tek bir dikdörtgen koordinat sisteminde oluşturun ve bunlardan birinin grafiğinin hangi aralıklarda olduğunu bulun. birbirlerinden daha düşük veya daha yüksektir. O aralıklar nerede

• g fonksiyonunun grafiğinin üzerindeki f fonksiyonunun grafiği, f(x)>g(x) eşitsizliğinin çözümleridir;
• f fonksiyonunun grafiği, g fonksiyonunun grafiğinden daha düşük değil, f(x)≥g(x) eşitsizliğinin çözümleridir;
• g grafiğinin altındaki f grafiği f(x) eşitsizliğinin çözümleridir
• f fonksiyonunun grafiği, g fonksiyonunun grafiğinden daha yüksek olmayan, f(x)≤g(x) eşitsizliğinin çözümleridir.

Ayrıca f ve g fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarının apsislerinin f(x)=g(x) denkleminin çözümleri olduğunu söyleyeceğiz.

Bu sonuçları kendi durumumuza aktaralım - ikinci dereceden a x 2 +b x+c eşitsizliğini çözmek için<0 (≤, >, ≥).

İki fonksiyon tanıtıyoruz: ikinci dereceden eşitsizliğin sol tarafına karşılık gelen ilk y=a x 2 +b x+c (f(x)=a x 2 +b x+c ile), ikinci y=0 (g ( ile) x)=0 ) eşitsizliğin sağ tarafına karşılık gelir. Takvim ikinci dereceden fonksiyon f bir paraboldür ve grafik sabit fonksiyon g – Ox apsis eksenine denk gelen düz çizgi.

Daha sonra, eşitsizlikleri çözmenin grafiksel yöntemine göre, bir fonksiyonun grafiğinin hangi aralıklarla diğerinin üstünde veya altında bulunduğunu analiz etmek gerekir, bu da ikinci dereceden eşitsizliğe istenen çözümü yazmamızı sağlayacaktır. Bizim durumumuzda parabolün Ox eksenine göre konumunu analiz etmemiz gerekiyor.

a, b ve c katsayılarının değerlerine bağlı olarak aşağıdaki altı seçenek mümkündür (ihtiyaçlarımız için şematik bir gösterim yeterlidir ve konumu, konumu etkilemediğinden Oy eksenini tasvir etmemize gerek yoktur). eşitsizliğin çözümleri):

Bu çizimde dalları yukarıya doğru uzanan, Ox eksenini iki noktada kesen, apsisi x 1 ve x 2 olan bir parabol görüyoruz. Bu çizim, a katsayısı pozitif olduğunda (parabol dallarının yukarı yönünden sorumludur) ve değer pozitif olduğunda seçeneğe karşılık gelir. ikinci dereceden bir trinomialin diskriminantı a x 2 +b x+c (bu durumda trinomiyalin iki kökü vardır; bunları x 1 ve x 2 olarak gösterdik ve x 1 olduğunu varsaydık) 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Açıklık sağlamak için, parabolün x ekseninin üzerinde bulunan kısımlarını kırmızıyla, x ekseninin altında bulunan kısımlarını ise maviyle gösterelim.


Şimdi bu parçalara hangi aralıkların karşılık geldiğini bulalım. Aşağıdaki çizim bunları tanımlamanıza yardımcı olacaktır (gelecekte zihinsel olarak dikdörtgen şeklinde benzer seçimler yapacağız):


Yani apsis ekseninde iki aralık (−∞, x 1) ve (x 2 , +∞) kırmızıyla vurgulanmıştır, bu aralıklarda parabol Ox ekseninin üzerindedir, bunlar ikinci dereceden a x 2 +b x eşitsizliğine bir çözüm oluştururlar +c>0 ve (x 1 , x 2) aralığı mavi renkle vurgulanmıştır, Ox ekseninin altında bir parabol vardır, a x 2 +b x+c eşitsizliğinin çözümünü temsil eder<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Ve şimdi kısaca: a>0 ve D=b 2 −4 için a c>0 (veya çift katsayı b için D"=D/4>0)

• ikinci dereceden a x 2 +b x+c>0 eşitsizliğinin çözümü (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) veya başka bir x gösterimidir x2;
• a x 2 +b x+c≥0 ikinci dereceden eşitsizliğinin çözümü (−∞, x 1 ]∪ veya başka bir gösterimde x 1 ≤x≤x 2'dir,

burada x 1 ve x 2 ikinci dereceden üç terimli a x 2 +b x+c ve x 1'in kökleridir


Burada dalları yukarıya doğru apsis eksenine değen yani tek ortak noktası olan bir parabol görüyoruz, bu noktanın apsisini x 0 olarak gösteriyoruz. Sunulan durum a>0 (yukarı doğru yönlendirilmiş dallar) ve D=0 ( ikinci dereceden üç terimli bir kök x 0'a sahiptir). Örneğin şunları alabilirsiniz: ikinci dereceden fonksiyon y=x 2 −4·x+4, burada a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 ve x 0 =2.

Çizim açıkça parabolün temas noktası hariç her yerde Ox ekseninin üzerinde, yani (−∞, x 0), (x 0, ∞) aralıklarında bulunduğunu göstermektedir. Açıklık sağlamak için, önceki paragrafa benzeterek çizimdeki alanları vurgulayalım.


Sonuç çıkarıyoruz: a>0 ve D=0 için

• ikinci dereceden a·x 2 +b·x+c>0 eşitsizliğinin çözümü (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) veya başka bir gösterimle x≠x 0'dır;
• ikinci dereceden a·x 2 +b·x+c≥0 eşitsizliğinin çözümü (−∞, +∞) veya başka bir gösterimle x∈R'dir;
• ikinci dereceden eşitsizlik a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• ikinci dereceden a x 2 +b x+c≤0 eşitsizliğinin benzersiz bir x=x 0 çözümü vardır (teğet noktasıyla verilir),

burada x 0, a x 2 + b x + c kare trinomialinin köküdür.


Bu durumda parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir ve apsis ekseni ile ortak noktaları yoktur. Burada a>0 (dallar yukarı doğru yönlendirilmiş) ve D koşulları var<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Açıkçası, parabol tüm uzunluğu boyunca Ox ekseninin üzerinde yer almaktadır (Ox ekseninin altında olduğu hiçbir aralık yoktur, teğet noktası yoktur).


Böylece a>0 ve D için<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 ve a x 2 +b x+c≥0 hepsinin kümesidir gerçek sayılar ve eşitsizlikler a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Ve Ox eksenine göre dalları yukarıya değil aşağıya doğru yönlendirilmiş parabolün konumu için geriye üç seçenek kalıyor. Prensip olarak bunların dikkate alınmasına gerek yoktur, çünkü eşitsizliğin her iki tarafını da -1 ile çarpmak x 2 için pozitif katsayılı eşdeğer bir eşitsizliğe gitmemize olanak tanır. Ancak yine de bu vakalar hakkında fikir edinmekten zarar gelmez. Buradaki mantık benzer olduğundan sadece ana sonuçları yazacağız.

Çözüm algoritması

Önceki tüm hesaplamaların sonucu İkinci dereceden eşitsizlikleri grafiksel olarak çözmek için algoritma:

Açık koordinat uçağı Ox eksenini (Oy eksenini göstermek gerekli değildir) ve ikinci dereceden y=a·x 2 +b·x+c fonksiyonuna karşılık gelen bir parabolün çizimini gösteren şematik bir çizim yapılır. Bir parabolün taslağını çizmek için iki noktayı açıklığa kavuşturmak yeterlidir:

• İlk olarak, a katsayısının değeri ile dallarının nereye yönlendirildiği belirlenir (a>0 için - yukarı doğru, a için)<0 – вниз).
• İkinci olarak, kare trinomial a x 2 + b x + c'nin diskriminantının değeri ile parabolün apsis eksenini iki noktada kesip kesmediği (D>0 için), ona bir noktada dokunup dokunmadığı (D=0 için) belirlenir. veya Ox ekseniyle ortak noktaları yoktur (D'de)<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Çizim hazır olduğunda algoritmanın ikinci adımında kullanın

  • ikinci dereceden a·x 2 +b·x+c>0 eşitsizliğini çözerken, parabolün apsisin üzerinde bulunduğu aralıklar belirlenir;
  • a·x 2 +b·x+c≥0 eşitsizliğini çözerken, parabolün apsis ekseninin üzerinde bulunduğu aralıklar belirlenir ve kesişme noktalarının apsisleri (veya teğet noktasının apsisi) eklenir. onlara;
  • a x 2 +b x+c eşitsizliğini çözerken<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • son olarak, a·x 2 +b·x+c≤0 formundaki ikinci dereceden bir eşitsizliği çözerken, parabolün Ox ekseninin ve kesişme noktalarının apsisinin (veya teğet noktasının apsisinin) altında olduğu aralıklar bulunur. ) bunlara eklenir;

  ikinci dereceden eşitsizliğe istenen çözümü oluştururlar ve eğer böyle aralıklar ve teğet noktalar yoksa, o zaman orijinal ikinci dereceden eşitsizliğin çözümü yoktur.

Geriye kalan tek şey bu algoritmayı kullanarak birkaç ikinci dereceden eşitsizliği çözmektir.

Çözümlü örnekler

Örnek.

Eşitsizliği çöz .

Çözüm.

İkinci dereceden bir eşitsizliği çözmemiz gerekiyor, hadi önceki paragraftaki algoritmayı kullanalım. İlk adımda ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini çizmemiz gerekiyor . X 2'nin katsayısı 2'ye eşittir, pozitiftir, dolayısıyla parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir. Ayrıca parabolün x ekseniyle ortak noktalarının olup olmadığını da öğrenelim; bunun için ikinci dereceden trinomiyalin diskriminantını hesaplayacağız. . Sahibiz . Diskriminantın sıfırdan büyük olduğu ortaya çıktı, bu nedenle trinomialin iki gerçek kökü var: Ve yani x 1 =−3 ve x 2 =1/3.

Bundan, parabolün Ox eksenini apsis −3 ve 1/3 ile iki noktada kestiği açıktır. Kesin olmayan bir eşitsizliği çözdüğümüz için çizimde bu noktaları sıradan noktalar olarak göstereceğiz. Açıklığa kavuşturulan verilere dayanarak, aşağıdaki çizimi elde ederiz (makalenin ilk paragrafındaki ilk şablona uyar):

Algoritmanın ikinci adımına geçelim. ≤ işaretli katı olmayan ikinci dereceden bir eşitsizliği çözdüğümüz için, parabolün apsisin altında bulunduğu aralıkları belirlememiz ve bunlara kesişme noktalarının apsislerini eklememiz gerekiyor.

Çizimden, parabolün (−3, 1/3) aralığında x ekseninin altında olduğu açıktır ve buna kesişme noktalarının apsislerini, yani −3 ve 1/3 sayılarını ekliyoruz. Sonuç olarak, [−3, 1/3] sayısal aralığına ulaşıyoruz. Aradığımız çözüm bu. Bu çifte eşitsizlik −3≤x≤1/3 olarak yazılabilir.

Cevap:

[−3, 1/3] veya −3≤x≤1/3 .

Örnek.

İkinci dereceden −x 2 +16 x−63 eşitsizliğinin çözümünü bulun<0 .

Çözüm.

Her zamanki gibi bir çizimle başlıyoruz. Değişkenin karesinin sayısal katsayısı negatiftir (−1), dolayısıyla parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir. Diskriminantı veya daha iyisi dördüncü kısmını hesaplayalım: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Değeri pozitif, hadi kare trinomialin köklerini hesaplayalım: Ve , x 1 =7 ve x 2 =9. Yani parabol Ox eksenini apsis 7 ve 9 ile iki noktada kesiyor (orijinal eşitsizlik katıdır, bu yüzden bu noktaları boş bir merkezle göstereceğiz).Şimdi şematik bir çizim yapabiliriz:

Bir işaretle tam ikinci dereceden bir eşitsizliği çözdüğümüz için<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Çizim, orijinal ikinci dereceden eşitsizliğin çözümlerinin iki aralık (−∞, 7) , (9, +∞) olduğunu göstermektedir.

Cevap:

(−∞, 7)∪(9, +∞) veya başka bir gösterimle x<7 , x>9 .

İkinci dereceden eşitsizlikleri çözerken, ikinci dereceden bir trinomiyalin sol tarafındaki diskriminantının sıfır olması durumunda, teğet noktasının apsisini cevaba dahil etme veya hariç tutma konusunda dikkatli olmanız gerekir. Bu eşitsizliğin işaretine bağlıdır: Eğer eşitsizlik katıysa, o zaman bu eşitsizliğin çözümü değildir, eğer katı değilse o zaman öyledir.

Örnek.

İkinci dereceden 10 x 2 −14 x+4,9≤0 eşitsizliğinin en az bir çözümü var mı?

Çözüm.

y=10 x 2 −14 x+4,9 fonksiyonunun grafiğini çizelim. Dalları yukarı doğru yönlendirilir, çünkü x 2 katsayısı pozitiftir ve apsis eksenine apsis 0,7 ile temas eder, çünkü D"=(−7) 2 −10 4,9=0, dolayısıyla or 0,7 formundadır. ondalık kesir Şematik olarak şöyle görünür:

İkinci dereceden bir eşitsizliği ≤ işaretiyle çözdüğümüz için, bunun çözümü parabolün Ox ekseninin altında olduğu aralıklar ve teğet noktasının apsisi olacaktır. Çizimden, parabolün Ox ekseninin altında olacağı tek bir boşluk olmadığı, dolayısıyla çözümünün yalnızca teğet noktasının apsisi, yani 0,7 olacağı açıktır.

Cevap:

bu eşitsizliğin tek çözümü 0,7'dir.

Örnek.

İkinci dereceden eşitsizliği çözün –x 2 +8 x−16<0 .

Çözüm.

İkinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için algoritmayı takip ediyoruz ve bir grafik oluşturarak başlıyoruz. X 2'nin katsayısı negatif, −1 olduğundan parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilir. Üç terimli karenin diskriminantını –x 2 +8 x−16 bulalım, şunu elde ederiz: D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 ve sonra x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Yani parabol Ox eksenine apsis noktası 4'te dokunuyor. Çizimi yapalım:

Orijinal eşitsizliğin işaretine bakıyoruz, orada<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Bizim durumumuzda bunlar açık ışınlardır (−∞, 4) , (4, +∞) . Ayrı olarak, temas noktasının apsisi olan 4'ün bir çözüm olmadığını, çünkü temas noktasında parabolün Ox ekseninden daha düşük olmadığını not ediyoruz.

Cevap:

(−∞, 4)∪(4, +∞) veya başka bir gösterimle x≠4 .

İkinci dereceden eşitsizliğin sol tarafındaki ikinci dereceden üç terimlinin diskriminantının sıfırdan küçük olduğu durumlara özellikle dikkat edin. Burada acele etmeye ve eşitsizliğin çözümü olmadığını söylemeye gerek yok (negatif diskriminantlı ikinci dereceden denklemler için böyle bir sonuca varmaya alışkınız). Mesele şu ki, D için ikinci dereceden eşitsizlik<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Örnek.

İkinci dereceden 3 x 2 +1>0 eşitsizliğinin çözümünü bulun.

Çözüm.

Her zamanki gibi bir çizimle başlıyoruz. A katsayısı 3'tür, pozitiftir, dolayısıyla parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir. Diskriminantı hesaplıyoruz: D=0 2 −4·3·1=−12 . Diskriminant negatif olduğundan parabolün Ox ekseni ile ortak noktası yoktur. Elde edilen bilgiler şematik bir grafik için yeterlidir:

Katı ikinci dereceden bir eşitsizliği > işaretiyle çözüyoruz. Çözümü, parabolün Ox ekseninin üzerinde olduğu tüm aralıklar olacaktır. Bizim durumumuzda parabol tüm uzunluğu boyunca x ekseninin üzerindedir, dolayısıyla istenen çözüm tüm gerçek sayılar kümesi olacaktır.

Ox ve ayrıca kesişme noktalarının apsisini veya bunlara teğetliğin apsisini de eklemeniz gerekir. Ancak çizimden açıkça görülüyor ki, böyle aralıklar yok (çünkü parabol her yerde apsis ekseninin altında), tıpkı kesişme noktaları olmadığı gibi, tıpkı teğet noktaları olmadığı gibi. Bu nedenle orijinal ikinci dereceden eşitsizliğin çözümü yoktur.

Cevap:

çözüm yok veya başka bir girişte ∅.

Kaynakça.

• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkoviç A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkoviç A.G. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. Derece 11. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı (profil düzeyi) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01027-2.

ayrıca bkz. Doğrusal programlama problemini grafiksel olarak çözme, Doğrusal programlama problemlerinin kanonik biçimi

Böyle bir problem için kısıtlama sistemi iki değişkendeki eşitsizliklerden oluşur:
ve amaç fonksiyonu şu şekildedir F = C 1 X + C 2 sen maksimize edilmesi gerekiyor.

Soruyu cevaplayalım: hangi sayı çiftleri ( X; sen) eşitsizlikler sisteminin çözümleri, yani eşitsizliklerin her birini aynı anda karşılıyor mu? Başka bir deyişle bir sistemi grafiksel olarak çözmek ne demektir?
Öncelikle iki bilinmeyenli bir doğrusal eşitsizliğin çözümünün ne olduğunu anlamalısınız.
İki bilinmeyenli doğrusal bir eşitsizliği çözmek, eşitsizliğin geçerli olduğu tüm bilinmeyen değer çiftlerini belirlemek anlamına gelir.
Örneğin eşitsizlik 3 X – 5sen≥ 42 tatmin edici çift ( X , sen) : (100, 2); (3, –10), vb. Görev, bu tür tüm çiftleri bulmaktır.
İki eşitsizliği ele alalım: balta + ile≤ C, balta + ile≥ C. Dümdüz balta + ile = C düzlemi iki yarım düzleme böler, böylece bunlardan birinin noktalarının koordinatları eşitsizliği karşılar balta + ile >C ve diğer eşitsizlik balta + +ile <C.
Aslında koordinatı olan bir noktayı alalım X = X 0; sonra bir doğru üzerinde uzanan ve apsisi olan bir nokta X 0, bir koordinatı var

Kesinlik için izin ver A< 0, B>0, C>0. Apsisli tüm noktalar X 0 yukarıda yatıyor P(örneğin nokta M), sahip olmak e M>sen 0 ve noktanın altındaki tüm noktalar P, apsisli X 0, var e N<sen 0. Çünkü X 0 keyfi bir nokta ise, o zaman çizginin bir tarafında her zaman için noktalar olacaktır. balta+ ile > C, yarım düzlem oluşturur ve diğer tarafta - bunun için noktalar balta + ile< C.

Resim 1

Yarım düzlemdeki eşitsizlik işareti sayılara bağlıdır A, B , C.
Bu, sistemleri grafiksel olarak çözmek için aşağıdaki yönteme yol açar doğrusal eşitsizlikler iki değişkenden. İhtiyacınız olan sistemi çözmek için:

1. Her eşitsizlik için bu eşitsizliğe karşılık gelen denklemi yazın.
2. Denklemlerle belirtilen fonksiyonların grafikleri olan düz çizgiler oluşturun.
3. Her doğru için eşitsizliğin verdiği yarım düzlemi belirleyin. Bunu yapmak için, bir çizgi üzerinde yer almayan rastgele bir nokta alın ve koordinatlarını eşitsizliğin yerine koyun. eşitsizlik doğruysa, seçilen noktayı içeren yarım düzlem orijinal eşitsizliğin çözümüdür. Eşitsizlik yanlışsa, doğrunun diğer tarafındaki yarım düzlem bu eşitsizliğin çözüm kümesidir.
4. Bir eşitsizlik sistemini çözmek için, sistemin her bir eşitsizliğinin çözümü olan tüm yarım düzlemlerin kesişim alanını bulmak gerekir.

Bu alan boş çıkabilir, o zaman eşitsizlik sisteminin çözümü yoktur ve tutarsızdır. Aksi takdirde sistemin tutarlı olduğu söylenir.
Sonlu sayıda veya sonsuz sayıda çözüm olabilir. Alan kapalı bir çokgen veya sınırsız olabilir.

İlgili üç örneğe bakalım.

Örnek 1. Sistemi grafiksel olarak çözün:
X + y – 1 ≤ 0;
–2X - 2sen + 5 ≤ 0.

• eşitsizliklere karşılık gelen x+y–1=0 ve –2x–2y+5=0 denklemlerini göz önünde bulundurun;
• Bu denklemlerin verdiği düz çizgileri çizelim.

şekil 2

Eşitsizliklerin tanımladığı yarım düzlemleri tanımlayalım. Keyfi bir nokta alalım, (0; 0) olsun. Hadi düşünelim X+ y– 1 0, (0; 0) noktasını değiştirin: 0 + 0 – 1 ≤ 0. Bunun anlamı, (0; 0) noktasının bulunduğu yarı düzlemde, X + sen – 1 ≤ 0, yani çizginin altındaki yarım düzlem birinci eşitsizliğin çözümüdür. Bu noktayı (0; 0) ikinciye koyarsak şunu elde ederiz: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, yani. (0; 0) noktasının bulunduğu yarım düzlemde, –2 X – 2sen+ 5≥ 0 ve bize –2'nin nerede olduğu soruldu X – 2sen+ 5 ≤ 0, dolayısıyla diğer yarı düzlemde, düz çizginin üzerindeki yarı düzlemde.
Bu iki yarım düzlemin kesişimini bulalım. Doğrular paraleldir, yani düzlemler hiçbir yerde kesişmez, bu da bu eşitsizlikler sisteminin çözümü olmadığı ve tutarsız olduğu anlamına gelir.

Örnek 2. Eşitsizlik sisteminin grafiksel çözümlerini bulun:

Figür 3
1. Eşitsizliklere karşılık gelen denklemleri yazalım ve düz çizgiler çizelim.
X + 2sen– 2 = 0

X	2	0
sen	0	1

sen – X – 1 = 0

X	0	2
sen	1	3

sen + 2 = 0;
sen = –2.
2. (0; 0) noktasını seçtikten sonra yarım düzlemlerdeki eşitsizliklerin işaretlerini belirleriz:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, yani. X + 2sen– 2 ≤ 0 düz çizginin altındaki yarım düzlemde;
0 – 0 – 1 ≤ 0, yani sen –X– 1 ≤ 0 düz çizginin altındaki yarım düzlemde;
0 + 2 =2 ≥ 0, yani sen+ 2 ≥ 0 düz çizginin üzerindeki yarım düzlemde.
3. Bu üç yarım düzlemin kesişimi üçgen olan bir alan olacaktır. Karşılık gelen doğruların kesişim noktaları olarak bölgenin köşelerini bulmak zor değil


Böylece, A(–3; –2), İÇİNDE(0; 1), İLE(6; –2).

Sistemin sonuçta ortaya çıkan çözüm alanının sınırlı olmadığı başka bir örneği ele alalım.

Doğrusal veya ikinci dereceden bir eşitsizliğin grafiği, herhangi bir fonksiyonun (denklem) grafiğiyle aynı şekilde oluşturulur. Aradaki fark, bir eşitsizliğin birden fazla çözüm olduğunu ima etmesidir; dolayısıyla bir eşitsizliğin grafiği yalnızca sayı doğrusundaki bir nokta veya koordinat düzlemindeki bir çizgi değildir. Matematiksel işlemleri ve eşitsizlik işaretini kullanarak eşitsizliğin birçok çözümünü belirleyebilirsiniz.

Adımlar

Doğrusal eşitsizliğin sayı doğrusunda grafiksel gösterimi

1. Eşitsizliği çözün. Bunu yapmak için, herhangi bir denklemi çözmek için kullandığınız aynı cebirsel teknikleri kullanarak değişkeni izole edin. Bir eşitsizliği çarparken veya bölerken şunu unutmayın: negatif bir sayı(veya terim), eşitsizlik işaretini ters çevirin.

   • Örneğin eşitsizlik göz önüne alındığında 3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Bir değişkeni yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafından da 9 çıkarın ve ardından her iki tarafı da 3'e bölün:
     3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Bir eşitsizliğin yalnızca bir değişkeni olmalıdır. Eşitsizliğin iki değişkeni varsa grafiği koordinat düzlemine çizmek daha iyidir.

2. Bir sayı doğrusu çizin. Bulduğunuz değeri sayı doğrusunda işaretleyin (değişken bu değerden küçük, büyük veya ona eşit olabilir). Uygun uzunlukta (uzun veya kısa) bir sayı doğrusu çizin.

   • Örneğin şunu hesaplarsanız y > 1 (\displaystyle y>1) sayı doğrusunda 1 değerini işaretleyiniz.

3. Bulunan değeri temsil edecek bir daire çizin. Değişken ('den küçükse) < {\displaystyle <} ) yada daha fazla ( > (\displaystyle >)) bu değerin altında ise çözüm kümesi bu değeri içermediğinden daire doldurulmaz. Değişken ('den küçük veya ona eşitse) ≤ (\displaystyle \leq)) veya büyük veya eşit ( ≥ (\displaystyle \geq)) bu değere ulaştığında çözüm kümesi bu değeri içerdiğinden daire doldurulur.

   • y > 1 (\displaystyle y>1) 1 çözüm kümesinde olmadığı için sayı doğrusunda 1 noktasına içi boş bir daire çizin.

4. Sayı doğrusunda çözüm kümesini tanımlayan bölgeyi gölgelendirin. Değişken bulunan değerden büyükse sağındaki alanı gölgeleyin çünkü çözüm kümesi bulunan değerden büyük olan tüm değerleri içerir. Değişken bulunan değerden küçükse solundaki alanı gölgeleyin çünkü çözüm kümesi bulunan değerden küçük olan tüm değerleri içerir.

   • Örneğin, eşitsizlik verilirse y > 1 (\displaystyle y>1)Çözüm kümesi 1'den büyük tüm değerleri içerdiğinden sayı doğrusunda 1'in sağındaki alanı gölgeleyin.

   Doğrusal eşitsizliğin koordinat düzleminde grafiksel gösterimi

   1. Eşitsizliği çözün (değeri bulun y (\displaystyle y)). Doğrusal bir denklem elde etmek için, bilinen cebirsel teknikleri kullanarak sol taraftaki değişkeni izole edin. Sağ tarafta bir değişken olmalı x (\displaystyle x) ve belki biraz sabit.

      • Örneğin eşitsizlik göz önüne alındığında 3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x). Bir değişkeni izole etmek için y (\displaystyle y) eşitsizliğin her iki tarafından da 9 çıkarın ve her iki tarafı da 3'e bölün:
        3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Koordinat düzleminde bir doğrusal denklem grafiği çizin. Herhangi bir doğrusal denklemin grafiğini çizer gibi bir grafik çizin. Y kesme noktasını çizin ve ardından diğer noktaları çizmek için eğimi kullanın.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) denklemin grafiğini çizmek y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Y ekseni ile kesişme noktasının koordinatları vardır ve eğim 3'e eşittir (veya 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). İlk önce noktayı koordinatlarla çizin (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); y ekseni kesişme noktasının üzerindeki noktanın koordinatları vardır (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); Y ekseni kesişme noktasının altındaki noktanın koordinatları vardır (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Düz bir çizgi çizin. Eşitsizlik katı ise (işareti içerir) < {\displaystyle <} veya > (\displaystyle >)), çözüm kümesi çizgideki değerleri içermediğinden noktalı çizgi çizin. Eşitsizlik katı değilse (işareti içerir) ≤ (\displaystyle \leq) veya ≥ (\displaystyle \geq)), düz bir çizgi çizin çünkü çözüm kümesi çizginin üzerinde yer alan değerleri içerir.

      • Örneğin eşitsizlik durumunda y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)çözüm kümesi çizgideki değerleri içermediğinden noktalı çizgi çizin.

   4. Uygun alanı gölgeleyin. Eşitsizlik şu şekilde ise y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), çizginin üzerindeki alanı gölgelendirin. Eşitsizlik şu şekilde ise sen< m x + b {\displaystyle y, çizginin altındaki alanı gölgelendirin.

      • Örneğin eşitsizlik durumunda y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)çizginin üzerindeki alanı gölgeleyin.

   Koordinat düzleminde ikinci dereceden eşitsizliğin grafiksel gösterimi

   1. Bu eşitsizliğin ikinci dereceden olduğunu belirleyin.İkinci dereceden eşitsizlik şu şekildedir: a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Bazen eşitsizlik birinci dereceden bir değişken içermez ( x (\displaystyle x)) ve/veya serbest bir terim (sabit), ancak zorunlu olarak ikinci dereceden bir değişken ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Değişkenler x (\displaystyle x) Ve y (\displaystyle y) izole edilmelidir farklı taraflar eşitsizlikler.

      • Örneğin, eşitsizliği çizmeniz gerekir sen< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Koordinat düzleminde bir grafik çizin. Bunu yapmak için eşitsizliği bir denkleme dönüştürün ve ikinci dereceden herhangi bir denklemin grafiğini çizdiğiniz gibi grafiğini çizin. İkinci dereceden bir denklemin grafiğinin bir parabol olduğunu unutmayın.

      • Örneğin eşitsizlik durumunda sen< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle yİkinci dereceden bir denklemin grafiğini çizin y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Parabolün tepe noktası şu noktadadır (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)) ve parabol X eksenini bazı noktalarda kesiyor (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) Ve (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

Eşitsizliklerin yaklaşık çözümü.

Grafik çözümü bir bilinmeyenli eşitsizlikler

İki bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin grafik çözümü.

Çözümlerin kesişimi.

Fonksiyonların grafiksel gösterimi şunları sağlar: yaklaşık olarak karar vermek eşitsizlikler bir bilinmeyen ve eşitsizlik sistemleri bir ve iki bilinmeyen Bir bilinmeyenli eşitsizliği grafiksel olarak çözmek için, tüm üyelerini tek bir parçaya aktarmak gerekir, yani. e . şunlara yol açar:

F ( X ) > 0 ,

ve fonksiyonun grafiğini çizin y = f(X ). Daha sonrasında, Oluşturulan grafiği kullanarak şunları bulabilirsiniz: fonksiyon sıfırları(bkz.), ekseni bölecekX birkaç aralık için. Şimdi buna dayanarak aralıkları belirliyoruz X, burada fonksiyon işareti eşitsizlik işaretine karşılık gelir. Örneğin,Fonksiyonumuzun sıfırları:A Ve B(Şek. 30). Daha sonra grafikten aralıkların belli olduğu açıktır. F (X ) > 0: X < A Ve X > B(kalın oklarla vurgulanırlar). İşaretin > olduğu açıktır. işte şartlı; onun yerine başka biri olabilir: < , .

İle Eşitsizlik sistemini grafiksel olarak çözünİle bir bilinmeyen, her birindeki tüm terimleri tek bir parçaya aktarmanız gerekir, yani. e . Eşitsizlikleri forma getirin:

ve fonksiyon grafikleri oluşturun y = f ( X ), sen = G (X ) , ... , sen = H (X). Her biri Bu eşitsizliklerin tümü yukarıda açıklanan grafiksel yöntemle çözülür. daha sonrasında gerek bulmak çözümlerin kesişimi tüm eşitsizlikler, yani e. onların ortak kısmı.

ÖRNEK Eşitsizlik sistemini grafiksel olarak çözün:

Çözüm: Öncelikle fonksiyonların grafiğini çizelim.sen = - 2 / 3 X+2 ve

sen = X 2 - 1 (Şek. 31):

İlk karareşitsizlik aralıktırX> 3, Şekil 31'de siyah bir okla gösterilmiştir; ikinci eşitsizliğin çözümü iki aralıktan oluşur:X < - 1 и X> 1, Şekil 31'de gri oklarla gösterilmiştir.

Grafikten açıkça görülüyor Ne bu iki çözümün kesişimi aralıktırX> 3. Verilen eşitsizlik sisteminin çözümü budur.

İki bilinmeyenli iki eşitsizlik sistemini grafiksel olarak çözmek için yapmanız gerekenler:

1) her birinde tüm terimleri tek bir parçaya taşıyın, yani. e. getirmek

formdaki eşitsizlikler:

2) örtülü olarak belirtilen işlevlerin grafiklerini oluşturun: F (x, y) = 0 ve G (x, y) = 0;

3) Bu grafiklerin her biri koordinat düzlemini iki parçaya böler:

bunlardan birinde eşitsizlik diğerinde adil - değil; çözmek için

Bu eşitsizliklerin her birini grafiksel olarak kontrol etmek yeterlidir.

herhangi bir içindeki keyfi bir noktada eşitsizliğin geçerliliği

uçağın parçaları; eğer bu noktada eşitsizlik ortaya çıkarsa, o zaman

koordinat düzleminin bu kısmı onun çözümüdür, değilse o zaman

çözüm düzlemin karşı kısmıdır ;

4) Belirli bir eşitsizlik sisteminin çözümü kesişimdir

Koordinat düzleminin (genel alan) kısımları.

ÖRNEK Eşitsizlik sistemini çözün:

Çözüm İlk önce doğrusal fonksiyonların grafiklerini oluşturuyoruz: 5X – 7 sen= - 11 ve

2 X + 3 sen= 10 (Şek. 32). Her biri için bir yarım düzlem buluyoruz,

karşılık gelenverilen eşitsizlik

adil. Adaleti kontrol etmenin yeterli olduğunu biliyoruz

Bölgenin keyfi bir noktasındaki eşitsizlikler; bunda

Bu durumda bunun için koordinatların kökenini kullanmak en kolay yoldur. Ö(0, 0 ).

Onu çerçevelemek bunun yerine eşitsizliklerimizin koordinatlarıX Ve sen,

Şunu elde ederiz: 5 0 – 7 0 = 0 > - 11 bu nedenle daha düşük

yarım düzlem (sarı) ilkinin çözümü

Eşitsizlikler; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе eşitsizlik

Çözümü aynı zamanda alt yarı düzleme de sahiptir ( mavi

renkler ). Bu yarım düzlemlerin kesişimi ( turkuaz renk alanı)

çözüm bu eşitsizlik sistemimiz.

İlk seviye

Fonksiyon grafiklerini kullanarak denklemleri, eşitsizlikleri ve sistemleri çözme. Görsel rehber (2019)

Tamamen cebirsel olarak hesaplamaya alışkın olduğumuz birçok görev çok daha kolay ve daha hızlı çözülebilir; fonksiyon grafiklerini kullanmak bu konuda bize yardımcı olacaktır. “Nasıl yani?” diyorsun. bir şey çiz ve ne çizmeli? İnanın bazen daha rahat ve daha kolaydır. Başlayalım? Denklemlerle başlayalım!

Denklemlerin grafik çözümü

Doğrusal denklemlerin grafiksel çözümü

Bildiğiniz gibi, doğrusal bir denklemin grafiği düz bir çizgidir, dolayısıyla bu türün adı da buradan gelir. Doğrusal denklemlerin cebirsel olarak çözülmesi oldukça kolaydır - tüm bilinmeyenleri denklemin bir tarafına, bildiğimiz her şeyi diğer tarafa aktarırız ve işte! Kökünü bulduk. Şimdi size nasıl yapılacağını göstereceğim grafiksel olarak.

Yani denkleminiz var:

Nasıl çözeceksin?
seçenek 1 ve en yaygın olanı bilinmeyenleri bir tarafa, bilinenleri ise diğer tarafa taşımaktır, şunu elde ederiz:

Şimdi inşa edelim. Ne aldın?

Sizce denklemimizin kökü nedir? Doğru, grafiklerin kesişme noktasının koordinatı:

Bizim cevabımız

Grafik çözümün tüm bilgeliği budur. Kolayca kontrol edebileceğiniz gibi denklemimizin kökü bir sayıdır!

Yukarıda da söylediğim gibi, bu en yaygın seçenektir. cebirsel çözüm, ancak bunu farklı şekilde çözebilirsiniz. Alternatif bir çözüm düşünmek için denklemimize dönelim:

Bu sefer hiçbir şeyi bir yandan diğer yana taşımayacağız, ancak grafikleri şu anda olduğu gibi doğrudan oluşturacağız:

İnşa edilmiş? Görelim!

Bu sefer çözüm ne? Bu doğru. Aynı şey grafiklerin kesişme noktasının koordinatı:

Ve yine cevabımız şu:

Gördüğünüz gibi ile doğrusal denklemler her şey son derece basittir. Daha karmaşık bir şeye bakmanın zamanı geldi... Örneğin, İkinci dereceden denklemlerin grafik çözümü.

İkinci dereceden denklemlerin grafik çözümü

Şimdi ikinci dereceden denklemi çözmeye başlayalım. Diyelim ki bu denklemin köklerini bulmanız gerekiyor:

Elbette artık diskriminant aracılığıyla veya Vieta teoremine göre saymaya başlayabilirsiniz, ancak sinirleri bozulan birçok kişi çarpma veya kare alma sırasında hata yapar, özellikle de örnek şu şekildeyse: büyük sayılar Ve bildiğiniz gibi sınavda hesap makineniz olmayacak... O yüzden bu denklemi çözerken biraz rahatlayıp çizim yapmaya çalışalım.

Bu denklemin çözümlerini grafiksel olarak bulabilirsiniz. Farklı yollar. Hadi düşünelim Çeşitli seçenekler ve hangisini en çok beğendiğinizi seçebilirsiniz.

Yöntem 1. Doğrudan

Bu denklemi kullanarak basitçe bir parabol oluşturuyoruz:

Bunu hızlı bir şekilde yapmak için size küçük bir ipucu vereceğim: Parabolün tepe noktasını belirleyerek inşaata başlamak uygundur. Aşağıdaki formüller bir parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirlemeye yardımcı olacaktır:

“Durun!” diyeceksiniz. Formülü diskriminant bulma formülüne çok benziyor” evet öyle ve bu, köklerini bulmak için “doğrudan” bir parabol oluşturmanın büyük bir dezavantajı. Ancak, sonuna kadar sayalım ve sonra size bunu nasıl çok (çok!) daha kolay yapabileceğinizi göstereceğim!

Saydın mı? Parabolün tepe noktası için hangi koordinatları aldınız? Hadi birlikte çözelim:

Tamamen aynı cevap mı? Tebrikler! Ve şimdi tepe noktasının koordinatlarını zaten biliyoruz, ancak bir parabol oluşturmak için daha fazla noktaya ihtiyacımız var. Sizce minimum kaç puana ihtiyacımız var? Sağ, .

Bir parabolün tepe noktasına göre simetrik olduğunu biliyorsunuz, örneğin:

Buna göre parabolün sol veya sağ dalında iki noktaya daha ihtiyacımız var ve gelecekte bu noktaları simetrik olarak karşı tarafa yansıtacağız:

Parabolümüze dönelim. Bizim durumumuzda nokta. İki puana daha ihtiyacımız var, pozitif puanları mı alalım, negatif puanları mı? Hangi noktalar sizin için daha uygun? Olumlu olanlarla çalışmak benim için daha uygun, bu yüzden ve'de hesaplayacağım.

Artık üç noktamız var ve iki noktayı yansıtarak parabolümüzü kolayca oluşturabiliriz. son noktalar tepesine göre:

Sizce denklemin çözümü nedir? Bu doğru, hangi noktalar, yani ve. Çünkü.

Ve eğer bunu söylersek, bunun da eşit olması gerektiği anlamına gelir veya.

Sadece? Denklemi karmaşık grafiksel bir şekilde çözmeyi sizinle birlikte bitirdik, yoksa daha fazlası olacak!

Elbette cevabımızı cebirsel olarak kontrol edebilirsiniz - kökleri Vieta teoremini veya Diskriminant'ı kullanarak hesaplayabilirsiniz. Ne aldın? Aynısı? İşte görüyorsunuz! Şimdi çok basit bir grafik çözümüne bakalım, gerçekten beğeneceğinize eminim!

Yöntem 2. Çeşitli işlevlere ayrılmıştır

Aynı denklemimizi alalım: , ancak biraz farklı yazacağız:

Bunu şu şekilde yazabilir miyiz? Dönüşüm eşdeğer olduğundan bunu yapabiliriz. Daha ileriye bakalım.

İki fonksiyonu ayrı ayrı oluşturalım:

1. - grafik, formülleri kullanarak tepe noktasını tanımlamadan ve diğer noktaları belirlemek için bir tablo çizmeden bile kolayca oluşturabileceğiniz basit bir paraboldür.
2. - Grafik, hesap makinesine bile başvurmadan kafanızdaki değerleri tahmin ederek kolayca oluşturabileceğiniz düz bir çizgidir.

İnşa edilmiş? Aldıklarımla karşılaştıralım:

Sizce öyle mi bu durumda denklemin kökleri nelerdir? Sağ! İki grafiğin kesişmesiyle elde edilen koordinatlar ve yani:

Buna göre bu denklemin çözümü:

Sen ne diyorsun? Katılıyorum, bu çözüm yöntemi öncekinden çok daha kolay ve hatta ayrımcı aracılığıyla kökleri aramaktan daha kolay! Eğer öyleyse, bu yöntemi kullanarak aşağıdaki denklemi çözmeyi deneyin:

Ne aldın? Grafiklerimizi karşılaştıralım:

Grafikler cevapların şöyle olduğunu gösteriyor:

Becerebildin mi? Tebrikler! Şimdi biraz daha karmaşık denklemlere, yani karışık denklemlerin yani farklı türde fonksiyonlar içeren denklemlerin çözümüne bakalım.

Karışık denklemlerin grafiksel çözümü

Şimdi aşağıdakileri çözmeye çalışalım:

Tabii ki her şeyi getirebiliriz ortak payda ODZ'yi hesaba katmayı unutmadan ortaya çıkan denklemin köklerini bulun, ancak önceki tüm durumlarda yaptığımız gibi yine grafiksel olarak çözmeye çalışacağız.

Bu sefer aşağıdaki 2 grafiği oluşturalım:

1. - grafik bir hiperboldür
2. - Grafik, hesap makinesine bile başvurmadan kafanızdaki değerleri tahmin ederek kolayca oluşturabileceğiniz düz bir çizgidir.

Anladın mı? Şimdi inşaata başlayın.

İşte elde ettiklerim:

Bu resme bakarak bana denklemimizin köklerinin neler olduğunu söyleyin?

Bu doğru ve. İşte onay:

Köklerimizi denklemin içine yerleştirmeyi deneyin. Olmuş?

Bu doğru! Katılıyorum, bu tür denklemleri grafiksel olarak çözmek bir zevk!

Denklemi grafiksel olarak kendiniz çözmeye çalışın:

Size bir ipucu vereceğim: Denklemin bir kısmını sağ tarafa taşıyın, böylece oluşturulabilecek en basit fonksiyonlar her iki tarafta da olur. İpucunu aldın mı? Harekete geç!

Şimdi ne elde ettiğinizi görelim:

Sırasıyla:

1. - kübik parabol.
2. - sıradan düz çizgi.

Peki, hadi inşa edelim:

Uzun zaman önce yazdığınız gibi, bu denklemin kökü - .

Buna karar verdikten sonra çok sayıdaÖrnekler verirken eminim ki denklemleri grafiksel olarak ne kadar kolay ve hızlı çözebileceğinizi fark etmişsinizdir. Sistemleri bu şekilde nasıl çözeceğimizi bulmanın zamanı geldi.

Sistemlerin grafik çözümü

Sistemlerin grafiksel olarak çözülmesi, denklemlerin grafiksel olarak çözülmesinden esasen farklı değildir. Ayrıca iki grafik oluşturacağız ve bunların kesişim noktaları bu sistemin kökleri olacak. Bir grafik bir denklemdir, ikinci grafik başka bir denklemdir. Her şey son derece basit!

En basit şeyle başlayalım - doğrusal denklem sistemlerini çözerek.

Doğrusal denklem sistemlerini çözme

Diyelim ki aşağıdaki sisteme sahibiz:

İlk önce, onu, solda bağlantılı olan her şey ve sağda bağlantılı olan her şey olacak şekilde dönüştürelim. Başka bir deyişle, bu denklemleri her zamanki formumuzda bir fonksiyon olarak yazalım:

Şimdi sadece iki düz çizgi oluşturuyoruz. Bizim durumumuzda çözüm nedir? Sağ! Bunların kesiştiği nokta! Ve burada çok ama çok dikkatli olmalısın! Bir düşünün, neden? Size bir ipucu vereyim: Bir sistemle karşı karşıyayız: Sistemde her ikisi de var ve... İpucunu anladınız mı?

Bu doğru! Bir sistemi çözerken sadece denklem çözerken değil, her iki koordinata da bakmalıyız! Bir diğer önemli nokta- Bunları doğru bir şekilde yazın ve anlamın nerede olduğunu ve anlamın nerede olduğunu karıştırmayın! Bunu yazdın mı? Şimdi her şeyi sırayla karşılaştıralım:

Ve cevaplar: ve. Bir kontrol yapın - bulunan kökleri sisteme yerleştirin ve bunu grafiksel olarak doğru çözüp çözmediğimizden emin olun?

Doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözme

Peki ya tek bir düz çizgi yerine ikinci dereceden denklem? Sorun değil! Düz bir çizgi yerine sadece bir parabol oluşturuyorsunuz! İnanma? Aşağıdaki sistemi çözmeyi deneyin:

Bir sonraki adımımız nedir? Doğru, grafik oluşturmamızı kolaylaştıracak şekilde yazın:

Artık her şey küçük meselelerden ibaret; hızlı bir şekilde oluşturun ve işte çözümünüz! Biz inşa ediyoruz:

Grafikler aynı mı çıktı? Şimdi sistemin çözümlerini şekilde işaretleyin ve belirlenen cevapları doğru bir şekilde yazın!

Her şeyi yaptım mı? Notlarımla karşılaştırın:

Her şey yolunda mı? Tebrikler! Zaten bu tür görevleri deli gibi başarıyorsunuz! Öyleyse size daha karmaşık bir sistem verelim:

Biz ne yapıyoruz? Sağ! Sistemi, inşa edilmesi uygun olacak şekilde yazıyoruz:

Sistem çok karmaşık göründüğü için size küçük bir ipucu vereceğim! Grafikler oluştururken onları "daha fazla" oluşturun ve en önemlisi kesişme noktalarının sayısına şaşırmayın.

O zaman hadi gidelim! Nefes aldın mı? Şimdi inşa etmeye başlayın!

Nasıl? Güzel? Kaç tane kesişim noktası elde ettiniz? Bende üç tane var! Grafiklerimizi karşılaştıralım:

Ayrıca? Şimdi sistemimizin tüm çözümlerini dikkatlice yazın:

Şimdi sisteme tekrar bakın:

Bunu sadece 15 dakikada çözdüğünüzü hayal edebiliyor musunuz? Katılıyorum, matematik hala basit, özellikle bir ifadeye baktığınızda hata yapmaktan korkmuyorsunuz, sadece onu alın ve çözün! Sen büyük bir delikanlısın!

Eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Doğrusal eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Son örnekten sonra her şeyi yapabilirsiniz! Şimdi nefes verin; önceki bölümlerle karşılaştırıldığında bu çok ama çok kolay olacak!

Her zamanki gibi doğrusal eşitsizliğin grafiksel çözümüyle başlayacağız. Örneğin, bu:

Öncelikle en basit dönüşümleri gerçekleştirelim - tam karelerin parantezlerini açalım ve benzer terimleri sunalım:

Eşitsizlik katı değildir, bu nedenle aralığa dahil edilmez ve çözüm, daha fazla, daha fazla vb. olduğundan sağdaki tüm noktalar olacaktır:

Cevap:

Bu kadar! Kolayca? İki değişkenli basit bir eşitsizliği çözelim:

Koordinat sisteminde bir fonksiyon çizelim.

Böyle bir program aldınız mı? Şimdi burada hangi eşitsizliğin olduğuna dikkatlice bakalım. Az? Bu, düz çizgimizin solundaki her şeyin üzerini boyayacağımız anlamına gelir. Ya daha fazlası olsaydı? Doğru, o zaman düz çizgimizin sağındaki her şeyin üzerini boyardık. Basit.

Bu eşitsizliğin tüm çözümleri “gölgelendirilmiştir” turuncu. İşte bu, iki değişkenli eşitsizlik çözüldü. Bu, taralı alandaki herhangi bir noktanın koordinatlarının çözüm olduğu anlamına gelir.

İkinci dereceden eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Şimdi ikinci dereceden eşitsizliklerin grafiksel olarak nasıl çözüleceğini anlayacağız.

Ancak işe başlamadan önce ikinci dereceden fonksiyonla ilgili bazı materyalleri gözden geçirelim.

Ayrımcı neyden sorumludur? Grafiğin eksene göre konumu için bu doğru (bunu hatırlamıyorsanız ikinci dereceden fonksiyonlar teorisini mutlaka okuyun).

Her durumda, işte size küçük bir hatırlatma:

Artık hafızamızdaki tüm materyali yenilediğimize göre, işe koyulalım; eşitsizliği grafiksel olarak çözelim.

Bunu çözmek için iki seçeneğin olduğunu hemen söyleyeceğim.

seçenek 1

Parabolümüzü fonksiyon olarak yazıyoruz:

Formülleri kullanarak parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirleriz (ikinci dereceden denklemleri çözerken olduğu gibi):

Saydın mı? Ne aldın?

Şimdi iki farklı noktayı daha alalım ve onlar için hesaplayalım:

Parabolün bir dalını oluşturmaya başlayalım:

Noktalarımızı simetrik olarak parabolün başka bir dalına yansıtıyoruz:

Şimdi eşitsizliğimize dönelim.

Sırasıyla sıfırdan küçük olmasına ihtiyacımız var:

Eşitsizliğimizde işaret kesinlikle küçük olduğundan, uç noktaları - "delinme" - hariç tutuyoruz.

Cevap:

Uzun yol, değil mi? Şimdi size aynı eşitsizlik örneğini kullanarak grafiksel çözümün daha basit bir versiyonunu göstereceğim:

seçenek 2

Eşitsizliğimize dönüyoruz ve ihtiyacımız olan aralıkları işaretliyoruz:

Katılıyorum, çok daha hızlı.

Şimdi cevabı yazalım:

Cebirsel kısmı basitleştiren başka bir çözümü düşünelim, ancak asıl önemli olan kafanızın karışmamasıdır.

Sol ve sağ tarafları şu şekilde çarpın:

Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliği istediğiniz şekilde kendiniz çözmeye çalışın: .

Becerebildin mi?

Grafiğimin nasıl ortaya çıktığına bakın:

Cevap: .

Karışık eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Şimdi daha karmaşık eşitsizliklere geçelim!

Bunu nasıl seversin:

Ürkütücü, değil mi? Dürüst olmak gerekirse, bunu cebirsel olarak nasıl çözeceğime dair hiçbir fikrim yok... Ama bu gerekli değil. Grafiksel olarak bunda karmaşık bir şey yok! Gözler korkuyor ama eller yapıyor!

Başlayacağımız ilk şey iki grafik oluşturmaktır:

Her biri için bir tablo yazmayacağım - eminim bunu kendi başınıza mükemmel bir şekilde yapabilirsiniz (vay be, çözülecek o kadar çok örnek var ki!).

Boyadın mı? Şimdi iki grafik oluşturun.

Çizimlerimizi karşılaştıralım mı?

Senin için de aynı şey geçerli mi? Harika! Şimdi kesişim noktalarını düzenleyelim ve teoride hangi grafiğin daha büyük olması gerektiğini belirlemek için renk kullanalım. Bakın sonunda ne oldu:

Şimdi seçtiğimiz grafiğin grafikten nerede daha yüksek olduğuna bakalım. Bir kalem alıp bu alanı boyamaktan çekinmeyin! Karmaşık eşitsizliğimize çözüm olacak!

Eksen boyunca hangi aralıklarda daha yüksekte bulunuyoruz? Sağ, . Cevap bu!

Artık her denklemi, her sistemi ve hatta her türlü eşitsizliği halledebilirsiniz!

ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Fonksiyon grafiklerini kullanarak denklem çözme algoritması:

1. aracılığıyla ifade edelim
2. Fonksiyon tipini tanımlayalım
3. Ortaya çıkan fonksiyonların grafiklerini oluşturalım
4. Grafiklerin kesişim noktalarını bulalım
5. Cevabı doğru yazalım (ODZ ve eşitsizlik işaretlerini dikkate alarak)
6. Cevabı kontrol edelim (kökleri denklemin veya sistemin yerine koyalım)

Fonksiyon grafikleri oluşturmaya ilişkin daha fazla bilgi için “” konusuna bakın.