İkinci dereceden fonksiyon y f x. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin çizilmesi. Görsel Kılavuz (2019)

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit etmemiz halinde, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bir parabol nasıl inşa edilir? İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizmenin birkaç yolu vardır. Her birinin artıları ve eksileri vardır. İki yolu ele alalım.

y=x²+bx+c ve y= -x²+bx+c formunda ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizerek başlayalım.

Örnek.

y=x²+2x-3 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y=x²+2x-3 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları yukarı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

(-1;-4) köşesinden y=x² parabolünün bir grafiğini oluşturuyoruz (koordinatların kökeninden itibaren. (0;0) - köşe noktası (-1;-4) yerine. (-1;'den; -4) 1 birim sağa ve 1 birim yukarıya, sonra 1 birim sola ve 1 birim yukarıya gidiyoruz; ayrıca: 2 - sağ, 4 - yukarı, 2 - sol, 4 - yukarı; 3 - sağ, 9 - yukarı, 3 - sol, 9 - yukarı. Bu 7 puan yeterli değilse, o zaman 4 sağa, 16 üste vb.).

İkinci dereceden y= -x²+bx+c fonksiyonunun grafiği, dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür. Bir grafik oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını ararız ve bundan bir y= -x² parabolünü oluştururuz.

Örnek.

y= -x²+2x+8 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y= -x²+2x+8 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları aşağı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

Yukarıdan bir y= -x² parabol oluşturuyoruz (1 - sağa, 1 - aşağı; 1 - sola, 1 - aşağı; 2 - sağa, 4 - aşağı; 2 - sola, 4 - aşağı, vb.):

Bu yöntem hızlı bir şekilde parabol oluşturmanıza olanak tanır ve y=x² ve y= -x² fonksiyonlarının grafiğini nasıl çizeceğinizi biliyorsanız zorluk yaratmaz. Dezavantaj: eğer köşe koordinatları kesirli sayılar, bir grafik oluşturmak pek uygun değil. Grafiğin Ox ekseni ile kesişme noktalarının kesin değerlerini bilmeniz gerekiyorsa, ek olarak x²+bx+c=0 (veya -x²+bx+c=0) denklemini çözmeniz gerekecektir, bu noktalar doğrudan çizimden belirlenebilse bile.

Bir parabol oluşturmanın başka bir yolu da noktalardır, yani grafikte birkaç nokta bulabilir ve bunların içinden bir parabol çizebilirsiniz (x=xₒ çizgisinin simetri ekseni olduğunu dikkate alarak). Genellikle bunun için parabolün tepe noktasını, grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını ve 1-2 ek noktayı alırlar.

y=x²+5x+4 fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y=x²+5x+4 ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları yukarı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

yani parabolün tepe noktası (-2,5; -2,25) noktasıdır.

Arıyoruz. Ox ekseni ile kesişme noktasında y=0: x²+5x+4=0. Kökler ikinci dereceden denklem x1=-1, x2=-4 yani grafikte (-1; 0) ve (-4; 0) olmak üzere iki noktamız var.

Grafiğin Oy ekseni x=0 ile kesiştiği noktada: y=0²+5∙0+4=4. (0; 4) noktasını aldık.

Grafiği netleştirmek için ek bir nokta bulabilirsiniz. X=1 alalım, sonra y=1²+5∙1+4=10 yani grafikteki bir diğer nokta (1; 10) olur. Bu noktaları işaretliyoruz koordinat uçağı. Parabolün tepe noktasından geçen düz çizgiye göre simetrisini hesaba katarak iki noktayı daha işaretliyoruz: (-5; 6) ve (-6; 10) ve bunların içinden bir parabol çiziyoruz:

y= -x²-3x fonksiyonunun grafiğini çizin.

Çözüm:

y= -x²-3x ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafik, dalları aşağı doğru olan bir paraboldür. Parabolün köşe koordinatları

Tepe noktası (-1,5; 2,25) parabolün ilk noktasıdır.

Grafiğin x ekseni y=0 ile kesiştiği noktalarda yani -x²-3x=0 denklemini çözüyoruz. Kökleri x=0 ve x=-3'tür, yani (0;0) ve (-3;0) - grafikte iki nokta daha. (o; 0) noktası aynı zamanda parabolün ordinat ekseniyle kesişme noktasıdır.

x=1 y=-1²-3∙1=-4'te, yani (1; -4) çizim için ek bir noktadır.

Noktalardan parabol oluşturmak ilkine göre daha emek yoğun bir yöntemdir. Parabol Ox eksenini kesmiyorsa daha fazla ek noktaya ihtiyaç duyulacaktır.

y=ax²+bx+c formundaki ikinci dereceden fonksiyonların grafiklerini oluşturmaya devam etmeden önce, geometrik dönüşümleri kullanarak fonksiyonların grafiklerinin oluşturulmasını ele alalım. Ayrıca bu dönüşümlerden birini (paralel çeviri) kullanarak y=x²+c formundaki fonksiyonların grafiklerini oluşturmak en uygunudur.

Kategori: |

Ders 15.
Oranların etkisia, b Veİle konuma
ikinci dereceden fonksiyonun grafiği

Hedefler:İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizme ve özelliklerini listeleme yeteneğini geliştirmeye devam etmek; katsayıların etkisini tanımlamak A, B Ve İleİkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin konumu hakkında.

Dersler sırasında

I. Organizasyon anı.

II. Sözlü çalışma.

Şekilde hangi fonksiyon grafiğinin gösterildiğini belirleyin:

en = X 2 – 2X – 1;

en = –2X 2 – 8X;

en = X 2 – 4X – 1;

en = 2X 2 + 8X + 7;

en = 2X 2 – 1.

B)

en = X 2 – 2X;

en = –X 2 + 4X + 1;

en = –X 2 – 4X + 1;

en = –X 2 + 4X – 1;

en = –X 2 + 2X – 1.

III. Beceri ve yeteneklerin oluşumu.

Egzersizler:

1. Sayı 127 (a).

Çözüm

Dümdüz en = 6X + B bir parabole dokunuyor en = X 2 + 8, yani 6 numaralı denklemde onunla tek bir ortak noktası vardır. X + B = X 2+8'in kendine özgü bir çözümü olacak.

Bu denklem ikinci derecedendir, diskriminantını bulalım:

X 2 – 6X + 8 + B = 0;

D 1 = 9 – (8 – B) = 1 + B;

D 1 = 0 ise 1 + B= 0, yani B= –1.

Cevap: B= –1.

3. Katsayıların etkisini tanımlayın A, B Ve İle fonksiyon grafiğinin konumu hakkında en = Ah 2 + bx + İle.

Öğrenciler bu görevi bağımsız olarak tamamlamak için yeterli bilgiye sahiptir. Katsayıların her birinin "ana" rolünü vurgulayarak tüm bulgularını bir not defterine yazmaya davet edilmelidirler.

1) Katsayı A parabol dallarının yönünü etkiler: ne zaman A> 0 – dallar yukarı doğru yönlendirilir; A < 0 – вниз.

2) Katsayı B parabolün tepe noktasının konumunu etkiler. Şu tarihte: B= 0 köşesi eksende yer alıyor kuruluş birimi.

3) Katsayı İle parabolün eksenle kesişme noktasını gösterir kuruluş birimi.

Bundan sonra katsayılar hakkında neler söylenebileceğini gösteren bir örnek verilebilir. A, B Ve İle Fonksiyonun grafiğine göre.

Anlam İle tam olarak çağrılabilir: grafik eksenle kesiştiği için kuruluş birimi(0; 1) noktasında, o zaman İle = 1.

Katsayı A sıfırla karşılaştırılabilir: parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirildiğinden, o zaman A < 0.

Katsayı işareti B Bir parabolün tepe noktasının apsisini belirleyen formülden bulunabilir: T= , beri A < 0 и T= 1 ise B> 0.

4. Katsayıların değerine göre şekilde hangi fonksiyon grafiğinin gösterildiğini belirleyin A, B Ve İle.

en = –X 2 + 2X;

en = X 2 + 2X + 2;

en = 2X 2 – 3X – 2;

en = X 2 – 2.

Çözüm

A, B Ve İle:

A> 0, parabolün dalları yukarı doğru yönlendirildiğinden;

B kuruluş birimi;

İle= –2, çünkü parabol ordinatı (0; –2) noktasında kesiyor.

en = 2X 2 – 3X – 2.

en = X 2 – 2X;

en = –2X 2 + X + 3;

en = –3X 2 – X – 1;

en = –2,7X 2 – 2X.

Çözüm

Gösterilen grafiğe dayanarak katsayılar hakkında aşağıdaki sonuçları çıkarıyoruz: A, B Ve İle:

A < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

B≠ 0, parabolün tepe noktası eksen üzerinde bulunmadığından kuruluş birimi;

İle= 0, parabol eksenle kesiştiği için kuruluş birimi(0; 0) noktasında.

Tüm bu koşullar yalnızca işlev tarafından karşılanır en = –2,7X 2 – 2X.

5. Fonksiyonun grafiğine göre en = Ah 2 + bx + İle A, B Ve İle:

A) B)

Çözüm

a) Parabolün dalları yukarıya doğru yönlendirildiğinden A > 0.

Parabol ordinat eksenini alt yarı düzlemde keser, bu nedenle İle < 0. Чтобы узнать знак коэффициента B Bir parabolün tepe noktasının apsisini bulmak için formülü kullanalım: T= . Grafikten görülebileceği gibi T < 0, и мы определим, что A> 0. Bu nedenle B> 0.

b) Benzer şekilde katsayıların işaretlerini de belirleriz A, B Ve İle:

A < 0, İle > 0, B< 0.

Akademik açıdan güçlü olan öğrencilere 247 numarayı tamamlamaları için ek bir seçenek sunulabilir.

Çözüm

en = X 2 + piksel + Q.

a) Vieta teoremine göre, eğer biliniyorsa X 1 ve X 2 – denklemin kökleri X 2 +
+ piksel + Q= 0 (yani bu fonksiyonun sıfırları), o zaman X 1 · X 2 = Q Ve X 1 + X 2 = –R. Bunu anlıyoruz Q= 3 4 = 12 ve R = –(3 + 4) = –7.

b) Parabolün eksenle kesişme noktası kuruluş birimi parametre değerini verecek Q, yani Q= 6. Bir fonksiyonun grafiği eksenle kesişiyorsa AH(2; 0) noktasında, o zaman 2 sayısı denklemin köküdür X 2 + piksel + Q= 0. Değeri değiştirme X= 2 bu denklemde şunu elde ederiz R = –5.

c) Sizin en düşük değer bu ikinci dereceden fonksiyon parabolün tepe noktasına ulaşır, dolayısıyla R= –12. Koşula göre fonksiyonun değeri en = X 2 – 12X + Q noktada X= 6 eşittir 24. Değiştirme X= 6 ve en= 24 bu fonksiyona girersek şunu buluruz Q= 60.

IV. Doğrulama çalışması.

seçenek 1

1. Fonksiyonun grafiğini çizin en = 2X 2 + 4X– 6 ve grafiği kullanarak bulun:

a) fonksiyonun sıfırları;

b) hangi aralıklarda en> 0 ve sen < 0;

d) fonksiyonun en küçük değeri;

e) fonksiyonun aralığı.

2. Fonksiyonun grafiğini çizmeden en = –X 2 + 4X, bulmak:

a) fonksiyonun sıfırları;

c) fonksiyonun aralığı.

3. Fonksiyonun grafiğine göre en = Ah 2 + bx + İle katsayıların işaretlerini belirleyin A, B Ve İle:

seçenek 2

1. Fonksiyonun grafiğini çizin en = –X 2 + 2X+ 3 ve grafiği kullanarak bulun:

a) fonksiyonun sıfırları;

b) hangi aralıklarda en> 0 ve sen < 0;

c) artan ve azalan fonksiyon aralıkları;

d) fonksiyonun en yüksek değeri;

e) fonksiyonun aralığı.

2. Fonksiyonun grafiğini çizmeden en = 2X 2 + 8X, bulmak:

a) fonksiyonun sıfırları;

b) artan ve azalan fonksiyonların aralıkları;

c) fonksiyonun aralığı.

3. Fonksiyonun grafiğine göre en = Ah 2 + bx + İle katsayıların işaretlerini belirleyin A, B Ve İle:

V. Ders özeti.

Sıkça Sorulan Sorular:

– İkinci dereceden bir fonksiyon oluşturmak için algoritmayı açıklayın.

– Fonksiyonun özelliklerini listeleyin en = Ah 2 + bx + İle en A> 0 ve A < 0.

– Oranlar nasıl etkiler? A, B Ve İle ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin konumunda?

Ev ödevi: Sayı 127 (b), Sayı 128, Sayı 248.

EK OLARAK: No. 130.

Okuldaki matematik derslerinde bir fonksiyonun en basit özellikleri ve grafiği hakkında zaten bilgi sahibi oldunuz. y = x 2. Bilgimizi genişletelim ikinci dereceden fonksiyon.

1. Egzersiz.

Fonksiyonun grafiğini çizin y = x 2. Ölçek: 1 = 2 cm Oy ekseninde bir nokta işaretleyin F(0; 1/4). Bir pusula veya bir kağıt şeridi kullanarak noktaya olan mesafeyi ölçün F bir noktaya kadar M paraboller. Daha sonra şeridi M noktasına sabitleyin ve dikey olana kadar bu noktanın etrafında döndürün. Şeridin sonu x ekseninin biraz altına düşecek (Şekil 1). Şerit üzerinde x ekseninin ötesine ne kadar uzandığını işaretleyin. Şimdi parabol üzerinde başka bir nokta alın ve ölçümü tekrar tekrarlayın. Şeridin kenarı x ekseninin ne kadar altına düştü?

Sonuç: y = x 2 parabolünün hangi noktasını alırsanız alın, bu noktadan F(0; 1/4) noktasına olan mesafe şu şekilde olacaktır: daha fazla mesafe aynı noktadan x eksenine her zaman aynı sayıyla - 1/4 oranında.

Farklı da söyleyebiliriz: Parabolün herhangi bir noktasından (0; 1/4) noktasına olan mesafe, parabolün aynı noktasından y = -1/4 düz çizgisine olan mesafeye eşittir. Bu harika noktaya F(0; 1/4) denir odak paraboller y = x 2 ve düz çizgi y = -1/4 – müdire bu parabol. Her parabolün bir doğrultmanı ve bir odağı vardır.

Bir parabolün ilginç özellikleri:

1. Parabolün herhangi bir noktası, parabolün odağı adı verilen bir noktadan ve onun doğrultmanı adı verilen düz bir çizgiden eşit uzaklıktadır.

2. Bir parabolü simetri ekseni etrafında döndürürseniz (örneğin, Oy ekseni etrafında y = x 2 parabolünü), dönüş paraboloidi adı verilen çok ilginç bir yüzey elde edersiniz.

Dönen bir kaptaki sıvının yüzeyi, dönme paraboloitinin şekline sahiptir. Tamamlanmamış bir bardak çayı bir kaşıkla kuvvetlice karıştırıp ardından kaşığı çıkarırsanız bu yüzeyi görebilirsiniz.

3. Ufuk çizgisine belli bir açıyla boşluğa bir taş atarsanız, taş bir parabol çizerek uçacaktır. (İncir. 2).

4. Bir koninin yüzeyini onun cinslerinden herhangi birine paralel bir düzlemle keserseniz, bu durumda kesit bir parabol ile sonuçlanacaktır. (Şek. 3).

5. Eğlence parklarında bazen Paraboloit of Wonders adı verilen eğlenceli bir gezi yapılır. Dönen paraboloidin içinde duran herkese kendisi yerde duruyormuş gibi görünürken, diğer insanlar bir şekilde mucizevi bir şekilde duvarlara tutunuyor.

6. Yansıtıcı teleskoplarda parabolik aynalar da kullanılır: Teleskop aynasına düşen, paralel bir ışınla gelen uzak bir yıldızın ışığı odakta toplanır.

7. Spot ışıklarda genellikle paraboloid şeklinde bir ayna bulunur. Bir paraboloitin odağına bir ışık kaynağı yerleştirirseniz, bu paraboloitten yansıyan ışınlar parabolik ayna paralel bir ışın oluşturun.

İkinci Dereceden Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi

Matematik derslerinde, y = x 2 fonksiyonunun grafiğinden formun fonksiyonlarının grafiklerinin nasıl elde edileceğini incelediniz:

1) y = eksen 2– y = x 2 grafiğini |a|'da Oy ekseni boyunca uzatmak kez ( |a| ile< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, pirinç. 4).

2) y = x 2 + n– Grafiğin Oy ekseni boyunca n birim kayması ve eğer n > 0 ise kayma yukarı doğru olur ve eğer n ise< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– grafiğin Ox ekseni boyunca m birim kayması: eğer m< 0, то вправо, а если m >0, sonra sola, (Şekil 5).

4) y = -x 2– y = x 2 grafiğinin Ox eksenine göre simetrik gösterimi.

Fonksiyonun grafiğini çizmeye daha yakından bakalım y = a(x – m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c formundaki ikinci dereceden bir fonksiyon her zaman şu forma indirgenebilir:

y = a(x – m) 2 + n, burada m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Hadi kanıtlayalım.

Gerçekten mi,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Yeni notasyonları tanıtalım.

İzin vermek m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

o zaman y = a(x – m) 2 + n veya y – n = a(x – m) 2 elde ederiz.

Biraz daha değişiklik yapalım: y – n = Y, x – m = X (*) olsun.

Daha sonra grafiği bir parabol olan Y = aX 2 fonksiyonunu elde ederiz.

Parabolün tepe noktası orijindedir. X = 0; Y = 0.

Tepe noktasının koordinatlarını (*) yerine koyarak, y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n grafiğinin tepe noktasının koordinatlarını elde ederiz.

Böylece, şu şekilde temsil edilen ikinci dereceden bir fonksiyonu çizmek için

y = a(x – m) 2 + n

dönüşümler aracılığıyla aşağıdaki şekilde ilerleyebilirsiniz:

A) y = x 2 fonksiyonunun grafiğini çizin;

B) Ox ekseni boyunca m birim ve Oy ekseni boyunca n birim paralel öteleme ile - parabolün tepe noktasını orijinden koordinatlarla (m; n) noktaya aktarın (Şekil 6).

Dönüşümlerin kaydedilmesi:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Örnek.

Dönüşümleri kullanarak, Kartezyen koordinat sisteminde y = 2(x – 3) 2 fonksiyonunun grafiğini oluşturun – 2.

Çözüm.

Dönüşüm zinciri:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Çizim şu şekilde gösterilmiştir: pirinç. 7.

Kendi başınıza ikinci dereceden fonksiyonların grafiğini çizme alıştırması yapabilirsiniz. Örneğin, dönüşümleri kullanarak tek koordinat sisteminde y = 2(x + 3) 2 + 2 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun.Herhangi bir sorunuz varsa veya bir öğretmenden tavsiye almak istiyorsanız, o zaman bunu yapma fırsatınız var. Çevrimiçi öğretmenle 25 dakikalık ücretsiz ders kayıt olduktan sonra. İçin daha fazla çalışmaÖğretmeninizle birlikte size uygun tarife planını seçebilirsiniz.

Hala sorularınız mı var? İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini nasıl çizeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.