Koordinat düzlemi: nedir bu? Koordinat düzleminde noktalar nasıl işaretlenir ve şekiller nasıl oluşturulur? Koordinat uçağı

27.09.2019

Eserin metni görseller ve formüller olmadan yayınlanmaktadır.
Tam versiyonÇalışmaya PDF formatında "Çalışma Dosyaları" sekmesinden ulaşılabilir

giriiş

Yetişkinlerin konuşmalarında şu cümleyi duymuş olabilirsiniz: “Koordinatlarınızı bana bırakın.” Bu ifade, muhatabın bulunabileceği yere adresini veya telefon numarasını bırakması gerektiği anlamına gelir. Oynayanlarınız" deniz savaşı"ve karşılık gelen koordinat sistemini kullandı. Satrançta da benzer bir koordinat sistemi kullanılır. Bir sinema salonundaki koltuklar iki sayıyla belirtilir: İlk sayı sıranın numarasını, ikinci sayı ise bu sıradaki koltuğun numarasını gösterir. Sayıları kullanarak bir noktanın düzlem üzerindeki konumunu belirleme fikri eski çağlardan beri ortaya çıkmıştır. Koordinat sistemi bir kişinin tüm pratik yaşamına nüfuz eder ve çok büyük bir öneme sahiptir. pratik kullanım. Bu nedenle “Koordinat Düzlemi” konusundaki bilgimizi genişletmek için bu projeyi oluşturmaya karar verdik.

Proje hedefleri:

düzlemde dikdörtgen bir koordinat sisteminin ortaya çıkış tarihi hakkında bilgi sahibi olmak;

bu konuyla ilgili öne çıkan isimler;

ilginç bul tarihsel gerçekler;

koordinatları kulakla iyi algılamak; inşaatları açık ve doğru bir şekilde yürütmek;

bir sunum hazırlayın.

Bölüm I. Koordinat uçağı

Sayıları kullanarak bir düzlem üzerindeki bir noktanın konumunu belirleme fikri, eski zamanlarda ortaya çıktı - öncelikle yıldız ve coğrafi haritaları ve takvimleri derlerken gökbilimciler ve coğrafyacılar arasında.

§1. Koordinatların kökeni. Coğrafyada koordinat sistemi

MÖ 200 yıllarında Yunan bilim adamı Hipparchus coğrafi koordinatları tanıttı. Çizim yapmayı önerdi coğrafi harita Paraleller ve meridyenler sayılarla enlem ve boylamı gösterir. Bu iki sayıyı kullanarak, bir adanın, köyün, dağın veya kuyunun çöldeki konumunu doğru bir şekilde belirleyebilir ve bunları bir harita veya küre üzerinde işaretleyebilirsiniz. dünyayı aç geminin bulunduğu yerin enlem ve boylamına göre denizciler ihtiyaç duydukları yönü seçebiliyorlardı.

Doğu boylamı ve kuzey enlemi artı işaretli sayılarla, batı boylamı ve güney enlemi ise eksi işaretli sayılarla gösterilir. Böylece, bir çift işaretli sayı, dünya üzerindeki bir noktayı benzersiz bir şekilde tanımlar.

Coğrafi enlem? - belirli bir noktadaki çekül çizgisi ile ekvator düzlemi arasındaki, ekvatorun her iki tarafında 0 ila 90 arasında ölçülen açı. Coğrafi boylam? - belirli bir noktadan geçen meridyenin düzlemi ile meridyenin orijin düzlemi arasındaki açı (bkz. Greenwich meridyeni). Meridyenin başlangıcının 0 ila 180 doğusundaki boylamlara doğu ve batı batı denir.

Bir şehirde belirli bir nesneyi bulmak için çoğu durumda adresini bilmek yeterlidir. Örneğin nerede olduğunu açıklamanız gerekirse zorluklar ortaya çıkar. Kır evi alanı, ormana yerleştirin. Coğrafi koordinatlar bir konumu belirtmenin evrensel bir yoludur.

Acil bir durumla karşı karşıya kalan kişinin yapması gereken ilk şey, o bölgede yön bulabilmektir. Bazen, örneğin kurtarma servisine iletmek veya başka amaçlarla konumunuzun coğrafi koordinatlarını belirlemek gerekebilir.

Modern navigasyon standart olarak WGS-84 dünya çapındaki koordinat sistemini kullanır. İnternetteki tüm GPS navigatörleri ve büyük kartografik projeler bu koordinat sisteminde çalışır. WGS-84 sistemindeki koordinatlar evrensel zaman kadar yaygın olarak kullanılmakta ve herkes tarafından anlaşılmaktadır. İle çalışırken genel olarak mevcut doğruluk coğrafi koordinatlar yerde 5 - 10 metredir.

Coğrafi koordinatlar işaretli sayılardır (enlem -90° ile +90° arası, boylam -180° ile +180° arası) ve şu şekilde yazılabilir: çeşitli formlar: derece cinsinden (ddd.ddddd°); derece ve dakika (ddd° mm.mmm"); derece, dakika ve saniye (ddd° mm" ss.s"). Kayıt formları kolayca birbirine dönüştürülebilir (1 derece = 60 dakika, 1 dakika = 60 saniye) ) Koordinatların işaretini belirtmek için, ana yönlerin adlarına göre harfler sıklıkla kullanılır: N ve E - kuzey enlemi ve doğu boylamı - pozitif sayılar, S ve W güney enlemi ve batı boylamı negatif sayılardır.

Koordinatların DERECE cinsinden kaydedilme biçimi, manuel giriş için en uygun olanıdır ve bir sayının matematiksel gösterimiyle örtüşür. Koordinatların DERECE VE DAKİKA cinsinden kaydedilme biçimi birçok durumda tercih edilir; bu biçim çoğu GPS navigatöründe varsayılan olarak ayarlanır ve standart olarak havacılıkta ve denizde kullanılır. Koordinatları DERECE, DAKİKA VE SANİYE cinsinden kaydetmenin klasik biçimi aslında pek pratik bir kullanım alanı bulmuyor.

§2. Astronomide koordinat sistemi. Takımyıldızlarla ilgili mitler

Yukarıda bahsedildiği gibi, bir düzlem üzerindeki bir noktanın konumunu sayıları kullanarak belirleme fikri, eski zamanlarda gökbilimciler arasında yıldız haritaları hazırlanırken ortaya çıktı. İnsanların zamanı sayması, tahmin etmesi gerekiyordu mevsimsel olaylar(yüksek gelgitler, alçak gelgitler, mevsimsel yağmurlar, su baskını), seyahat ederken arazide gezinmek gerekiyordu.

Astronomi, yıldızların, gezegenlerin, gök cisimlerinin, yapılarının ve gelişimlerinin bilimidir.

Binlerce yıl geçti, bilim çok ilerledi ama insanlar hâlâ gözlerini gece gökyüzünün güzelliğinden alamıyor.

Takımyıldızlar - alanlar yıldızlı gökyüzü parlak yıldızların oluşturduğu karakteristik figürler. Gökyüzünün tamamı 88 takımyıldıza bölünmüştür, bu da yıldızlar arasında gezinmeyi kolaylaştırır. Takımyıldızların isimlerinin çoğu antik çağlardan gelmektedir.

En ünlü takımyıldızı Büyük Ayı'dır. İÇİNDE Antik Mısır ona "Su Aygırı" adı verildi ve Kazaklar ona "Tasmalı At" adını verdiler, ancak takımyıldızı dışarıdan ne birine ne de diğerine benzemiyor. Neye benziyor?

Eski Yunanlıların Büyük ve Büyük takımyıldızları hakkında bir efsanesi vardı. Küçük Ayı. Her şeye gücü yeten tanrı Zeus Tanrıça Afrodit'in isteğine rağmen hizmetkarlarından güzel perisi Calisto'yu kendine eş olarak almaya karar verir. Zeus, Calisto'yu tanrıçanın zulmünden kurtarmak için Calisto'yu tanrıya dönüştürdü. Büyükayı, sevgili köpeği - Küçük Ayı'ya ve onları cennete götürdü. Büyük Ayı ve Küçük Ayı takımyıldızlarını yıldızlı gökyüzünden koordinat düzlemine aktarın. . “Kova”nın yıldızlarının her biri Büyükayı”kendi adı var.

URSA BÜYÜK

BUCKET'ten tanıdım!

Burada yedi yıldız parlıyor

İşte isimleri:

DUBHE karanlığı aydınlatır,

MERAK onun yanında yanıyor,

Yanında MEGRETZ ile FEKDA var,

Cesur bir adam.

MEGRETZ'den kalkış için

ALIOT'un bulunduğu yer

Ve arkasında - ALCOR ile MITZAR

(Bu ikisi uyum içinde parlıyor.)

Kepçemiz kapanıyor

Eşsiz BENETNASH.

Göze işaret ediyor

BOOTES takımyıldızına giden yol,

Güzel ARCTURUS'un parladığı yer,

Artık herkes onu fark edecek!

Hayırsız güzel efsane Cepheus, Cassiopeia ve Andromeda takımyıldızları hakkında.

Etiyopya bir zamanlar Kral Cepheus tarafından yönetiliyordu. Bir gün karısı Kraliçe Cassiopeia, güzelliğini deniz sakinlerine - Nereidlere - gösterme tedbirsizliğini yaşadı. Kırgın olan ikincisi, deniz tanrısı Poseidon'a şikayette bulundu ve Cassiopeia'nın küstahlığına öfkelenen denizlerin hükümdarı, Etiyopya kıyılarına bir deniz canavarı - Balina - salıverdi. Krallığını yıkımdan kurtarmak için, kehanetin tavsiyesi üzerine Cepheus, canavara kurban vermeye ve yutulması için sevgili kızı Andromeda'yı ona vermeye karar verdi. Andromeda'yı kıyıdaki bir kayaya zincirledi ve onu kaderinin kararını beklerken bıraktı.

Ve bu sırada, dünyanın diğer ucunda, efsanevi kahraman Perseus cesur bir başarıya imza attı. Gorgonların yaşadığı tenha bir adaya girdi - kafaları saç yerine yılanlarla dolu olan, kadın şeklindeki muhteşem canavarlar. Gorgonların bakışları o kadar korkunçtu ki baktıkları herkes anında taşa dönüştü.

Bu canavarların uykusundan yararlanan Perseus, onlardan biri olan Gorgon Medusa'nın kafasını kesti. O anda Medusa'nın kopmuş bedeninden Pegasus atı uçtu. Perseus denizanasının kafasını yakaladı, Pegasus'un üzerine atladı ve havada memleketine doğru koştu. Etiyopya üzerinden uçarken Andromeda'nın bir kayaya zincirlendiğini gördü. O anda balina çoktan denizin derinliklerinden çıkmış, kurbanını yutmaya hazırlanıyordu. Ancak Keith ile ölümcül bir savaşa giren Perseus, canavarı yendi. Keith'e henüz gücünü kaybetmemiş denizanasının kafasını ve taşlaşarak bir adaya dönüşen canavarı gösterdi. Perseus'a gelince, Andromeda'nın zincirlerini çözerek onu babasına geri verdi ve mutlulukla hareket eden Cepheus, Andromeda'yı Perseus'a eş olarak verdi. Antik Yunanlılar tarafından ana karakterleri cennete yerleştirilen bu hikaye böyle mutlu bir şekilde sona erdi.

Açık yıldız haritası Sadece babası, annesi ve kocasıyla Andromeda'yı değil, aynı zamanda büyülü at Pegasus'u ve tüm sorunların suçlusu canavar Keith'i de bulabilirsiniz.

Cetus takımyıldızı Pegasus ve Andromeda'nın altında yer almaktadır. Ne yazık ki herhangi bir özellik ile işaretlenmemiş parlak yıldızlar ve bu nedenle küçük takımyıldızların sayısına aittir.

§3. Resimde dikdörtgen koordinatlar fikrinin kullanılması.

Dikdörtgen koordinatlar fikrinin kare ızgara (palet) biçiminde uygulanmasının izleri, Eski Mısır'ın mezar odalarından birinin duvarında tasvir edilmiştir. Peder Ramesses piramidinin mezar odasında duvarda karelerden oluşan bir ağ bulunmaktadır. Onların yardımıyla görüntü büyütülmüş bir biçimde aktarılır. Rönesans sanatçıları da dikdörtgen bir ızgara kullandılar.

"Perspektif" kelimesi Latince "açıkça görmek" anlamına gelir. İÇİNDE güzel Sanatlar Doğrusal perspektif, nesnelerin boyutlarındaki belirgin değişikliklere göre bir düzlem üzerindeki görüntüsüdür. Esas, baz, temel modern teori perspektifler Rönesans'ın büyük sanatçıları - Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer ve diğerleri tarafından ortaya konuldu. Dürer'in gravürlerinden biri (Şekil 3), üzerine kare ızgara uygulanmış cam aracılığıyla hayattan çizim yapma yöntemini tasvir etmektedir. Bu süreç şu şekilde açıklanabilir: Bir pencerenin önünde durursanız ve bakış açınızı değiştirmeden, arkasında görünen her şeyi camın üzerinde daire içine alırsanız, ortaya çıkan çizim, uzayın perspektif bir görüntüsü olacaktır.

Kare ızgara desenlerine dayalı olduğu anlaşılan Mısır tasarım yöntemleri. Mısır sanatında, sanatçıların ve heykeltıraşların ilk önce duvara bir ızgara çizdiklerini ve belirlenen oranları korumak için bunun boyanması veya oyulması gerektiğini gösteren çok sayıda örnek vardır. Bu ızgaraların basit sayısal ilişkileri tüm büyük sistemlerin merkezinde yer alır. Sanat Eserleri Mısırlılar

Aynı yöntem, Leonardo da Vinci de dahil olmak üzere birçok Rönesans sanatçısı tarafından kullanıldı. Eski Mısır'da bu, Marlborough Down'daki desenle yakın bağlantısıyla güçlendirilen Büyük Piramit'te somutlaşmıştı.

Mısırlı sanatçı çalışmaya başlarken duvarı düz çizgilerden oluşan bir ızgarayla kapladı ve ardından figürleri dikkatlice üzerine aktardı. Ancak geometrik düzenlilik, doğayı ayrıntılı bir doğrulukla yeniden yaratmasına engel olmadı. Her balığın ve kuşun görünümü o kadar gerçekçi bir şekilde aktarılıyor ki, modern zoologlar bunların türünü kolaylıkla belirleyebiliyor. Şekil 4, resimdeki kompozisyonun bir detayını göstermektedir - Khnumhotep'in ağında kuşların yakalandığı bir ağaç. Sanatçının elinin hareketi yalnızca yeteneklerinin rezervleriyle değil, aynı zamanda doğanın ana hatlarına duyarlı gözüyle de yönlendiriliyordu.

Şekil 4 Akasya üzerindeki kuşlar

Bölüm II. Matematikte koordinat yöntemi

§1. Koordinatların matematikte uygulanması. Değerler

Fransız matematikçi Rene Descartes

Uzun bir süre bu harika buluşu yalnızca coğrafya "arazi tanımı" kullandı ve yalnızca 14. yüzyılda Fransız matematikçi Nicolas Oresme (1323-1382) bunu "arazi ölçümü" geometrisine uygulamaya çalıştı. Düzlemi dikdörtgen bir ızgarayla kaplamayı ve şimdi apsis ve ordinat dediğimiz enlem ve boylamı adlandırmayı önerdi.

Bu başarılı yeniliğe dayanarak, geometriyi cebire bağlayan koordinat yöntemi ortaya çıktı. Bu yöntemin yaratılmasındaki ana itibar, büyük Fransız matematikçi Rene Descartes'e (1596 - 1650) aittir. Onun şerefine, böyle bir koordinat sistemine Kartezyen denir ve düzlemdeki herhangi bir noktanın konumunu, bu noktadan "sıfır enlem" - apsis ekseni ve "sıfır meridyen" - ordinat eksenine kadar olan mesafelere göre gösterir.

Ancak 17. yüzyılın (1596 - 1650) bu parlak Fransız bilim adamı ve düşünürü, hayattaki yerini hemen bulamadı. Soylu bir ailede doğan Descartes, iyi bir eğitim. 1606'da babası onu La Flèche'deki Cizvit kolejine gönderdi. Descartes'ın sağlık durumunun pek iyi olmadığı göz önüne alındığında, buranın katı rejiminden kendisine bazı tavizler verilmişti. Eğitim kurumuörneğin diğerlerinden daha geç kalkmalarına izin veriliyordu. Üniversitede pek çok bilgi edinen Descartes, aynı zamanda hayatı boyunca koruduğu skolastik felsefeye karşı antipatiyle de doldu.

Descartes üniversiteden mezun olduktan sonra eğitimine devam etti. 1616'da Poitiers Üniversitesi'nde hukuk alanında lisans derecesi aldı. 1617'de Descartes orduya yazıldı ve Avrupa'yı dolaştı.

1619 yılı Descartes için bilimsel açıdan önemli bir yıl oldu.

İşte bu sırada, kendisinin de günlüğüne yazdığı gibi, yeni bir "en şaşırtıcı bilimin" temelleri kendisine açıklandı. Büyük ihtimalle Descartes'ın aklında evrenselin keşfi vardı. bilimsel yöntem Daha sonra bunu çeşitli disiplinlerde verimli bir şekilde uyguladı.

1620'lerde Descartes, matematikçi M. Mersenne ile tanıştı ve onun aracılığıyla tüm Avrupa bilim camiasıyla uzun yıllar "iletişimini sürdürdü".

1628'de Descartes, 15 yıldan fazla bir süre Hollanda'ya yerleşti, ancak hiçbir yere yerleşmedi, yaklaşık iki düzine kez ikamet yerini değiştirdi.

1633'te Galileo'nun kilise tarafından kınandığını öğrenen Descartes, maddenin mekanik yasalarına göre evrenin doğal kökenine ilişkin fikirlerin ana hatlarını çizen doğal felsefi çalışması "Dünya" yı yayınlamayı reddetti.

1637'de Fransızca Birçok kişinin inandığı gibi modern Avrupa felsefesinin başladığı Descartes'ın "Yöntem Üzerine Söylem" adlı çalışması yayınlandı.

Descartes'ın 1649'da yayınlanan son felsefi eseri Ruhun Tutkuları da Avrupa düşüncesi üzerinde büyük etki yarattı.Aynı yıl İsveç Kraliçesi Christina'nın daveti üzerine Descartes İsveç'e gitti. Sert iklim ve olağandışı rejim (kraliçe, Descartes'ı ders vermek ve diğer görevleri yerine getirmek için sabah 5'te kalkmaya zorladı) Descartes'ın sağlığını zayıflattı ve üşüttüğü için

zatürreden öldü.

Descartes'ın ortaya koyduğu geleneğe göre bir noktanın "enlemi" x harfiyle, "boylamı" ise y harfiyle gösterilir.

Bir yeri belirtmenin birçok yolu bu sisteme dayanmaktadır.

Örneğin, bir sinema biletinde iki sayı vardır: sıra ve koltuk - bunlar, tiyatrodaki koltuğun koordinatları olarak düşünülebilir.

Satrançta da benzer koordinatlar kabul edilir. Sayılardan biri yerine bir harf alınır: dikey hücre sıraları harflerle gösterilir Latin alfabesi ve yatay olanlar - sayılarla. Böylece her hücre satranç tahtası bir çift harf ve rakam eşleştirilir ve satranç oyuncuları oyunlarını kaydedebilir. Konstantin Simonov, "Topçu'nun Oğlu" adlı şiirinde koordinatların kullanımı hakkında yazıyor.

Bütün gece sarkaç gibi yürüyüp,

Binbaşı gözlerini kapatmadı.

Sabah radyoda güle güle

İlk sinyal geldi:

"Sorun değil, oraya vardım,

Almanlar solumda,

Koordinatlar (3;10),

Yakında ateş edelim!

Silahlar dolu

Binbaşı her şeyi kendisi hesapladı.

Ve bir kükreme ile ilk voleybollar

Dağlara çarptılar.

Ve yine radyodaki sinyal:

"Almanlar benden daha haklı,

Koordinatlar (5; 10),

Yakında daha fazla ateş!

Toprak ve kayalar uçtu,

Bir sütun halinde duman yükseldi.

Görünüşe göre şimdi oradan

Kimse canlı ayrılmayacak.

Üçüncü radyo sinyali:

"Almanlar etrafımda,

Koordinatlar (4; 10),

Ateşi esirgemeyin.

Binbaşı şunu duyduğunda rengi soldu:

(4;10) - sadece

Lyonka'nın olduğu yer

Şimdi oturmalı.

Konstantin Simonov "Bir Topçu Oğlu"

§2. Koordinat sisteminin icadıyla ilgili efsaneler

Descartes'ın adını taşıyan koordinat sisteminin icadıyla ilgili çeşitli efsaneler vardır.

Efsane 1

Bu hikaye zamanımıza kadar ulaştı.

Paris tiyatrolarını ziyaret eden Descartes, oditoryumdaki seyircilerin temel bir dağılım düzeninin olmayışından kaynaklanan kafa karışıklığı, kavgalar ve hatta bazen düelloya meydan okumalarla şaşırmaktan asla yorulmazdı. Her koltuğun bir sıra numarası aldığı ve önerdiği numaralandırma sistemi seri numarası kenardan, tüm çekişme nedenlerini anında ortadan kaldırdı ve Paris sosyetesinde gerçek bir sansasyon yarattı.

Efsane2. Bir gün, Rene Descartes bütün gün yatakta yattı, bir şeyler düşündü ve etrafta bir sinek vızıldadı ve konsantre olmasına izin vermedi. Bir sineği ıskalamadan vurabilmek için herhangi bir zamanda bir sineğin konumunu matematiksel olarak nasıl tanımlayacağını düşünmeye başladı. Ve... aklıma geldi Kartezyen koordinatları insanlık tarihinin en büyük icatlarından biri.

Markovtsev Yu.

Bir zamanlar yabancı bir şehirde

Genç Descartes geldi.

Açlıktan korkunç bir şekilde işkence gördü.

Soğuk bir mart ayıydı.

Yoldan geçen birine sormaya karar verdim

Descartes, titremeyi yatıştırmaya çalışarak:

Otel nerede, söyle bana?

Ve hanım anlatmaya başladı:

- Süt ürünleri dükkanına git

Sonra fırına, onun arkasına

Çingene kadın iğne satıyor

Ve fareler ve fareler için zehir,

Onları mutlaka bulacaksınız

Peynirler, bisküviler, meyveler

Ve rengarenk ipekler...

Bütün bu açıklamaları dinledim

Soğuktan titreyen Descartes.

Gerçekten yemek istiyordu

- Dükkanların arkasında bir eczane var

(Orada eczacı bıyıklı bir İsveçli var),

Ve yüzyılın başında kilise

Büyükbabam evlenmiş gibi görünüyor.

Kadın bir an sustuğunda,

Aniden hizmetçisi şöyle dedi:

- Üç blok boyunca düz yürüyün

Ve iki tanesi sağa. Giriş köşeden.

Bu, Descartes'a koordinatlar fikrini veren olayla ilgili üçüncü hikayedir.

Çözüm

Projemizi oluştururken uygulamayı öğrendik koordinat uçağı Bilimin çeşitli alanlarında ve Gündelik Yaşam Koordinat düzleminin kökeninin tarihçesinden bazı bilgiler ve bu buluşa büyük katkı sağlayan matematikçiler. Eserin yazılması sırasında topladığımız materyaller okul kulübü derslerinde şu şekilde kullanılabilir: ek malzeme derslere. Bütün bunlar okul çocuklarının ilgisini çekebilir ve öğrenme sürecini aydınlatabilir.

Ve şu sözlerle bitirmek istiyoruz:

“Hayatınızı bir koordinat düzlemi olarak hayal edin. Y ekseni toplumdaki konumunuzdur. X ekseni ileriye, hedefe, hayalinize doğru ilerliyor. Ve bildiğimiz gibi, bu sonsuzdur... Düşebiliriz, eksiye doğru daha da ileri gidebiliriz, sıfırda kalabiliriz ve hiçbir şey yapmayabiliriz, kesinlikle hiçbir şey. Yükselebiliriz, düşebiliriz, ileri gidebiliriz veya geri dönebiliriz, çünkü tüm hayatımız bir koordinat düzlemidir ve burada en önemli şey sizin koordinatınızın ne olduğudur...”

Kaynakça

Glazer G.I. Okulda matematiğin tarihi: - M.: Prosveshchenie, 1981. - 239 s., hasta.

Lyatker Ya.A. Descartes. M.: Mysl, 1975. - (Geçmişin Düşünürleri)

Matvievskaya G.P. Rene Descartes, 1596-1650. M.: Nauka, 1976.

A. Savin. Koordinatlar Kuantum. 1977. Sayı 9

Matematik - “Bir Eylül” gazetesinin eki, Sayı 7, Sayı 20, Sayı 17, 2003, Sayı 11, 2000.

Siegel F.Yu. Yıldız alfabesi: Öğrenciler için bir el kitabı. - M.: Eğitim, 1981. - 191 s., illus.

Steve Parker, Nicholas Harris. Çocuklar için resimli ansiklopedi. Evrenin sırları. Harkov Belgorod. 2008

Http://istina.rin.ru/ sitesinden malzemeler

Koordinat düzlemi nedir?

"Koordinatlar" terimi tercüme edildi Latin dili"emredilen" kelimesi anlamına gelir.

Diyelim ki düzlem üzerinde bir noktanın konumunu belirtmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için koordinat eksenleri adı verilen, X'in apsis ekseni, Y'nin ordinat ekseni ve koordinatların kökeni O noktası olacağı 2 dik düz çizgi alıyoruz. Koordinat eksenleri kullanılarak oluşturulan dik açılar koordinat açıları olarak adlandırılacaktır.

Tanıma bu şekilde geldik ve artık bir koordinat düzleminin belirli bir koordinat sistemine sahip bir düzlem olduğunu biliyoruz.

Şimdi koordinat açılarının numaralandırılmasına bakalım:

Şimdi dikdörtgen bir koordinat sistemi gösterelim ve bunun içinde M noktasını işaretleyelim.

Daha sonra M noktasından Y eksenine paralel olacak düz bir çizgi çizmemiz gerekiyor.Şimdi ne elde ettiğimize bakalım. Gördüğümüz gibi düz çizgi X eksenini koordinatın -2'ye eşit olacağı noktada kesiyor. Bu koordinat M noktasının apsisidir.

Şimdi M noktasından X eksenine paralel olacak düz bir çizgi çizmemiz gerekiyor.

Bu düz çizginin X eksenini koordinatı üçe eşit olan noktada kestiğini görüyoruz. Bu koordinat M noktasının koordinatı olacaktır.

Mevcut M'nin koordinatlarının kaydedilmesi şu şekilde görünecektir:

Böyle bir gösterimde apsis her zaman birinci sıraya, koordinat ise ikinci sıraya konur. M(-2;3) noktasının koordinatları örneğini düşünürsek, o zaman -2, M noktasının apsisi görevi görür ve bu noktanın ordinatı 3 sayısı olacaktır.

Bundan, koordinat düzleminde her M noktasının apsis ve ordinat gibi bir sayı çiftine karşılık geldiği sonucu çıkar. Tersi ifade de doğru olacaktır, yani bu tür sayı çiftlerinin her biri, bu sayıların koordinatları olduğu düzlemde bir noktaya karşılık gelir.

Egzersiz yapmak:

Hayattaki koordinat düzlemi

Sizce koordinat düzlemi hakkındaki bilgiler günlük yaşamda faydalı olabilir mi? Peki hiç “koordinatlarınızı bırakın” veya “hangi koordinatlarda bulunabilirsiniz” gibi bir ifade duydunuz mu? Peki bu ifadelerin ne anlama gelebileceğini hiç düşündünüz mü?

Her şeyin çok basit ve banal olduğu ortaya çıktı ve bu, bir kişiyi veya belirli bir yeri bulmanın kolay olduğu şu veya bu nesnenin konumu anlamına geliyor. Koordinat sistemlerinin gerekli olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. pratik Yaşam her yerde insanlar.

Böyle bir koordinat sistemi ev adresi, telefon numarası, iş yeri vb. olabilir.

Sonuçta, bir tren için bilet alırken bile, yalnızca trenin numarasını ve varış noktasını değil, aynı zamanda vagon ve koltuk sayısının da belirtilmesi gerektiğini de biliyorsunuz.

Bir sınıf arkadaşınızı ziyarete gitmek için sadece yaşadığı evi bilmek yeterli değildir, aynı zamanda daire numarasını da bilmeniz gerekir.

Egzersiz yapmak

1. Tiyatroda yer almak için hangi bilgileri bilmeniz gerekiyor?
2. Dünya yüzeyindeki noktaları belirlemek için hangi verilere ihtiyacınız var?
3. Sinemada mekan belirlemek için hangi koordinatlar kullanılabilir?
4. Bir taşın satranç tahtası üzerindeki konumunu belirlemek için bilmeniz gerekenler nelerdir?
5. Deniz savaşı oynarken hangi koordinatları kullanıyorsunuz?

Tarihsel referans

Koordinat kullanma fikri çok eskilere dayanmaktadır. Başlangıçta gökbilimciler bunları gök cisimlerini ve coğrafyacıları belirlemek için - Dünya yüzeyindeki konumu ve nesneleri belirlemek için kullanmaya başladılar.

Antik Yunan gökbilimci Claudius Plotomeus'un çalışmaları sayesinde, bilim adamları zaten ikinci yüzyılda boylam ve enlemi belirlemeyi öğrendiler.

Matematikte neden “Kartezyen koordinat sistemi” diye bir şeyin olduğunu biliyor musunuz? Genel matematiksel önemi olan koordinat yönteminin 17. yüzyılda Fransız matematikçiler Pierre Fermat ve Rene Descartes tarafından keşfedildiği ve 1637'de Rene Descartes'ın bunu ilk kez geometri üzerine bir kitapta tanımladığı ortaya çıktı.

Ancak "apsis", "koordinat" ve "koordinatlar" terimleri ilk kez on yedinci yüzyılda Wilhelm Leibniz tarafından tanıtıldı.

Ev ödevi:

Koordinat Düzlemini Anlamak

Her nesnenin (örneğin bir ev, oditoryumdaki bir yer, haritadaki bir nokta), sayısal veya harf işaretine sahip kendi sıralı adresi (koordinatları) vardır.

Matematikçiler bir nesnenin konumunu belirlemenizi sağlayan ve adı verilen bir model geliştirdiler. koordinat uçağı.

Bir koordinat düzlemi oluşturmak için, sonunda oklarla "sağ" ve "yukarı" yönleri gösterilen $2$ dik düz çizgiler çizmeniz gerekir. Çizgilere bölmeler uygulanır ve çizgilerin kesişme noktası her iki ölçek için de sıfır işaretidir.

Tanım 1

Yatay çizgiye denir x ekseni ve x ile gösterilir ve dikey çizgiye denir y ekseni ve y ile gösterilir.

Bölümleri oluşturan iki dik x ve y ekseni dikdörtgen, veya Kartezyen, koordinat sistemi Fransız filozof ve matematikçi Rene Descartes tarafından önerildi.

Koordinat uçağı

Nokta koordinatları

Koordinat düzlemindeki bir nokta iki koordinatla tanımlanır.

Koordinat düzlemindeki $A$ noktasının koordinatlarını belirlemek için, koordinat eksenlerine paralel olacak düz çizgiler çizmeniz gerekir (şekilde noktalı çizgiyle gösterilmiştir). Doğrunun x ekseniyle kesişmesi $A$ noktasının $x$ koordinatını verir ve y ekseniyle kesişmesi $A$ noktasının y koordinatını verir. Bir noktanın koordinatları yazılırken önce $x$ koordinatı, ardından $y$ koordinatı yazılır.

Şekildeki $A$ noktasının koordinatları $(3; 2)$ ve $B (–1; 4)$ noktasıdır.

Koordinat düzleminde bir nokta çizmek için şu şekilde hareket edin: Ters sipariş.

Belirtilen koordinatlarda bir nokta oluşturma

örnek 1

Koordinat düzleminde $A(2;5)$ ve $B(3; –1).$ noktalarını oluşturun.

Çözüm.

$A$ noktasının inşası:

$2$ sayısını $x$ eksenine yerleştirin ve dik bir çizgi çizin;
Y eksenine $5$ sayısını çiziyoruz ve $y$ eksenine dik bir düz çizgi çiziyoruz. Dik çizgilerin kesişiminde $(2; 5)$ koordinatlarına sahip $A$ noktasını elde ederiz.

$B$ noktasının inşası:

$3$ sayısını $x$ eksenine çizelim ve x eksenine dik bir düz çizgi çizelim;
$y$ eksenine $(–1)$ sayısını çizeriz ve $y$ eksenine dik bir düz çizgi çizeriz. Dik doğruların kesişiminde $(3; –1)$ koordinatlı $B$ noktasını elde ederiz.

Örnek 2

Koordinat düzleminde verilen $C (3; 0)$ ve $D(0; 2)$ koordinatlarına sahip noktalar oluşturun.

Çözüm.

$C$ noktasının inşası:

$3$ sayısını $x$ eksenine yerleştirin;
$y$ koordinatı sıfıra eşittir, bu da $C$ noktasının $x$ ekseni üzerinde yer alacağı anlamına gelir.

$D$ noktasının inşası:

$2$ sayısını $y$ eksenine yerleştirin;
$x$ koordinatı sıfıra eşittir, bu da $D$ noktasının $y$ ekseni üzerinde yer alacağı anlamına gelir.

Not 1

Bu nedenle, $x=0$ koordinatında nokta $y$ ekseninde yer alacak ve $y=0$ koordinatında nokta $x$ ekseninde yer alacaktır.

Örnek 3

A, B, C, D noktalarının koordinatlarını belirleyin.$

Çözüm.

$A$ noktasının koordinatlarını belirleyelim. Bunu yapmak için bu $2$ noktasından koordinat eksenlerine paralel düz çizgiler çiziyoruz. Doğrunun x ekseniyle kesişmesi $x$ koordinatını, doğrunun y ekseniyle kesişmesi $y$ koordinatını verir. Böylece $A (1; 3).$ noktasını elde ederiz.

$B$ noktasının koordinatlarını belirleyelim. Bunu yapmak için bu $2$ noktasından koordinat eksenlerine paralel düz çizgiler çiziyoruz. Doğrunun x ekseniyle kesişmesi $x$ koordinatını, doğrunun y ekseniyle kesişmesi $y$ koordinatını verir. Bu noktayı $B (–2; 4).$ olarak buluyoruz.

$C$ noktasının koordinatlarını belirleyelim. Çünkü $y$ ekseninde bulunuyorsa bu noktanın $x$ koordinatı sıfırdır. Y koordinatı $–2$'dır. Dolayısıyla $C (0; –2)$ noktası.

$D$ noktasının koordinatlarını belirleyelim. Çünkü $x$ eksenindeyse, $y$ koordinatı sıfırdır. Bu noktanın $x$ koordinatı $–5$’dır. Böylece, $D (5; 0).$ noktası

Örnek 4

$E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$ noktalarını oluşturun

Çözüm.

$E$ noktasının inşası:

$(–3)$ sayısını $x$ eksenine yerleştirin ve dik bir çizgi çizin;
$y$ eksenine $(–2)$ sayısını çizeriz ve $y$ eksenine dik bir çizgi çizeriz;
dik çizgilerin kesişme noktasında $E (–3; –2).$ noktasını elde ederiz.

$F$ noktasının inşası:

$y=0$ koordinatı; bu, noktanın $x$ ekseni üzerinde olduğu anlamına gelir;
$5$ sayısını $x$ eksenine çizelim ve $F(5; 0).$ noktasını elde edelim.

$G$ noktasının inşası:

$3$ sayısını $x$ eksenine yerleştirin ve $x$ eksenine dik bir çizgi çizin;
$y$ eksenine $4$ sayısını çizeriz ve $y$ eksenine dik bir çizgi çizeriz;
dik doğruların kesişme noktasında $G(3; 4).$ noktasını elde ederiz.

$H$ noktasının inşası:

$x=0$ koordinatı; bu, noktanın $y$ ekseni üzerinde olduğu anlamına gelir;
$(–4)$ sayısını $y$ eksenine çizelim ve $H(0;–4).$ noktasını elde edelim.

$O$ noktasının inşası:

noktanın her iki koordinatı da sıfıra eşittir; bu, noktanın aynı anda hem $y$ ekseninde hem de $x$ ekseninde yer aldığı anlamına gelir; dolayısıyla her iki eksenin kesişme noktasıdır (koordinatların kökeni).

Koordinat Düzlemini Anlamak

Her nesnenin (örneğin bir ev, oditoryumdaki bir yer, haritadaki bir nokta), sayısal veya harf işaretine sahip kendi sıralı adresi (koordinatları) vardır.

Matematikçiler bir nesnenin konumunu belirlemenizi sağlayan ve adı verilen bir model geliştirdiler. koordinat uçağı.

Tanım 1

Yatay çizgiye denir x ekseni ve x ile gösterilir ve dikey çizgiye denir y ekseni ve y ile gösterilir.

Bölümleri oluşturan iki dik x ve y ekseni dikdörtgen, veya Kartezyen, koordinat sistemi Fransız filozof ve matematikçi Rene Descartes tarafından önerildi.

Koordinat uçağı

Nokta koordinatları

Koordinat düzlemindeki bir nokta iki koordinatla tanımlanır.

Şekildeki $A$ noktasının koordinatları $(3; 2)$ ve $B (–1; 4)$ noktasıdır.

Koordinat düzleminde bir nokta çizmek için ters sırada ilerleyin.

Belirtilen koordinatlarda bir nokta oluşturma

örnek 1

Koordinat düzleminde $A(2;5)$ ve $B(3; –1).$ noktalarını oluşturun.

Çözüm.

$A$ noktasının inşası:

$2$ sayısını $x$ eksenine yerleştirin ve dik bir çizgi çizin;
Y eksenine $5$ sayısını çiziyoruz ve $y$ eksenine dik bir düz çizgi çiziyoruz. Dik çizgilerin kesişiminde $(2; 5)$ koordinatlarına sahip $A$ noktasını elde ederiz.

$B$ noktasının inşası:

$3$ sayısını $x$ eksenine çizelim ve x eksenine dik bir düz çizgi çizelim;
$y$ eksenine $(–1)$ sayısını çizeriz ve $y$ eksenine dik bir düz çizgi çizeriz. Dik doğruların kesişiminde $(3; –1)$ koordinatlı $B$ noktasını elde ederiz.

Örnek 2

Koordinat düzleminde verilen $C (3; 0)$ ve $D(0; 2)$ koordinatlarına sahip noktalar oluşturun.

Çözüm.

$C$ noktasının inşası:

$3$ sayısını $x$ eksenine yerleştirin;
$y$ koordinatı sıfıra eşittir, bu da $C$ noktasının $x$ ekseni üzerinde yer alacağı anlamına gelir.

$D$ noktasının inşası:

$2$ sayısını $y$ eksenine yerleştirin;
$x$ koordinatı sıfıra eşittir, bu da $D$ noktasının $y$ ekseni üzerinde yer alacağı anlamına gelir.

Not 1

Bu nedenle, $x=0$ koordinatında nokta $y$ ekseninde yer alacak ve $y=0$ koordinatında nokta $x$ ekseninde yer alacaktır.

Örnek 3

A, B, C, D noktalarının koordinatlarını belirleyin.$

Çözüm.

$C$ noktasının koordinatlarını belirleyelim. Çünkü $y$ ekseninde bulunuyorsa bu noktanın $x$ koordinatı sıfırdır. Y koordinatı $–2$'dır. Dolayısıyla $C (0; –2)$ noktası.

$D$ noktasının koordinatlarını belirleyelim. Çünkü $x$ eksenindeyse, $y$ koordinatı sıfırdır. Bu noktanın $x$ koordinatı $–5$’dır. Böylece, $D (5; 0).$ noktası

Örnek 4

$E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$ noktalarını oluşturun

Çözüm.

$E$ noktasının inşası:

$(–3)$ sayısını $x$ eksenine yerleştirin ve dik bir çizgi çizin;
$y$ eksenine $(–2)$ sayısını çizeriz ve $y$ eksenine dik bir çizgi çizeriz;
dik çizgilerin kesişme noktasında $E (–3; –2).$ noktasını elde ederiz.

$F$ noktasının inşası:

$y=0$ koordinatı; bu, noktanın $x$ ekseni üzerinde olduğu anlamına gelir;
$5$ sayısını $x$ eksenine çizelim ve $F(5; 0).$ noktasını elde edelim.

$G$ noktasının inşası:

$3$ sayısını $x$ eksenine yerleştirin ve $x$ eksenine dik bir çizgi çizin;
$y$ eksenine $4$ sayısını çizeriz ve $y$ eksenine dik bir çizgi çizeriz;
dik doğruların kesişme noktasında $G(3; 4).$ noktasını elde ederiz.

$H$ noktasının inşası:

$x=0$ koordinatı; bu, noktanın $y$ ekseni üzerinde olduğu anlamına gelir;
$(–4)$ sayısını $y$ eksenine çizelim ve $H(0;–4).$ noktasını elde edelim.

$O$ noktasının inşası:

noktanın her iki koordinatı da sıfıra eşittir; bu, noktanın aynı anda hem $y$ ekseninde hem de $x$ ekseninde yer aldığı anlamına gelir; dolayısıyla her iki eksenin kesişme noktasıdır (koordinatların kökeni).

Düzlemde dikdörtgen koordinat sistemi

Düzlemdeki dikdörtgen bir koordinat sistemi, karşılıklı olarak dik iki koordinat ekseni X'X ve Y'Y tarafından oluşturulur. Koordinat eksenleri orijin adı verilen O noktasında kesişir, her eksende pozitif bir yön seçilir.Eksenlerin pozitif yönü (sağ koordinat sisteminde) X'X ekseni döndürüldüğünde olacak şekilde seçilir. saat yönünün tersine 90° açıyla pozitif yönü Y'Y ekseninin pozitif yönüyle çakışır. X'X ve Y'Y koordinat eksenlerinin oluşturduğu dört açıya (I, II, III, IV) koordinat açıları denir (bkz. Şekil 1).

A noktasının düzlemdeki konumu x ve y koordinatları tarafından belirlenir. Seçilen ölçüm birimlerinde x koordinatı OB segmentinin uzunluğuna eşittir, y koordinatı ise OC segmentinin uzunluğuna eşittir. OB ve OC segmentleri, A noktasından sırasıyla Y'Y ve X'X eksenlerine paralel çizilen çizgilerle tanımlanır. X koordinatına A noktasının apsisi, y koordinatına da A noktasının ordinatı denir. Şu şekilde yazılır: A(x, y).

A noktası I koordinat açısında yer alıyorsa, A noktasının pozitif apsisi ve ordinatı vardır. A noktası II koordinat açısında yer alıyorsa, A noktasının negatif apsisi ve pozitif koordinatı vardır. A noktası III koordinat açısında yer alıyorsa, A noktasının negatif apsisi ve ordinatı vardır. A noktası IV koordinat açısında yer alıyorsa, A noktasının pozitif apsisi ve negatif ordinatı vardır.

Uzayda dikdörtgen koordinat sistemi karşılıklı olarak birbirine dik üç koordinat ekseni OX, OY ve OZ tarafından oluşturulur. Koordinat eksenleri orijin adı verilen O noktasında kesişir, her eksende oklarla gösterilen pozitif bir yön ve eksenlerdeki bölümler için bir ölçü birimi seçilir. Ölçü birimleri tüm eksenler için aynıdır. OX - abscissa ekseni, OY - koordinat ekseni, OZ - uygulama ekseni. Eksenlerin pozitif yönü, OX ekseni saat yönünün tersine 90° döndürüldüğünde, eğer bu dönme OZ ekseninin pozitif yönünden gözlemleniyorsa, pozitif yönü OY ekseninin pozitif yönü ile çakışacak şekilde seçilir. Böyle bir koordinat sistemine sağ el denir. Eğer baş parmak sağ el X yönünü X yönü, indeksini Y yönü, ortadakini de Z yönü alırsak sağ koordinat sistemi oluşur. Sol elin benzer parmakları sol koordinat sistemini oluşturur. Karşılık gelen eksenlerin çakışması için sağ ve sol koordinat sistemlerini birleştirmek imkansızdır (bkz. Şekil 2).

A noktasının uzaydaki konumu x, y ve z olmak üzere üç koordinatla belirlenir. X koordinatı OB segmentinin uzunluğuna eşittir, y koordinatı OC segmentinin uzunluğudur, z koordinatı seçilen ölçüm birimlerinde OD segmentinin uzunluğudur. OB, OC ve OD segmentleri A noktasından sırasıyla YOZ, XOZ ve XOY düzlemlerine paralel çizilen düzlemlerle tanımlanır. X koordinatına A noktasının apsisi, y koordinatına A noktasının ordinatı, z koordinatına A noktasının aplikasyonu denir. Şu şekilde yazılır: A(a, b, c).

Orty

Dikdörtgen bir koordinat sistemi (herhangi bir boyutta), koordinat eksenleriyle hizalanmış bir dizi birim vektörle de tanımlanır. Birim vektörlerin sayısı koordinat sisteminin boyutuna eşittir ve hepsi birbirine diktir.

Üç boyutlu durumda, bu tür birim vektörler genellikle şu şekilde gösterilir: Ben J k veya e X e sen e z. Bu durumda, sağ koordinat sistemi durumunda, vektörlerin vektör çarpımını içeren aşağıdaki formüller geçerlidir:

[Ben J]=k ;
[J k]=Ben ;
[k Ben]=J .

Hikaye

Dikdörtgen koordinat sistemi ilk kez 1637 yılında Rene Descartes'ın "Yöntem Üzerine Söylem" adlı eserinde ortaya atılmıştır. Bu nedenle dikdörtgen koordinat sistemine aynı zamanda - denir. Kartezyen koordinat sistemi. Geometrik nesneleri tanımlamaya yönelik koordinat yöntemi, analitik geometrinin başlangıcını işaret ediyordu. Pierre Fermat da koordinat yönteminin geliştirilmesine katkıda bulundu ancak eserleri ilk olarak ölümünden sonra yayınlandı. Descartes ve Fermat koordinat yöntemini yalnızca düzlemde kullandılar.

Üç boyutlu uzay için koordinat yöntemi ilk kez 18. yüzyılda Leonhard Euler tarafından kullanıldı.

Ayrıca bakınız

Bağlantılar

Wikimedia Vakfı. 2010.

Diğer sözlüklerde “Koordinat düzlemi”nin ne olduğunu görün:

kesme düzlemi- (Pn) Söz konusu noktada kesici kenara teğet ve ana düzleme dik olan koordinat düzlemi. [...

Topografyada, etrafı çevreleyen hayali çizgilerden oluşan bir ağ Toprak Dünya yüzeyindeki herhangi bir noktanın konumunu doğru bir şekilde belirleyebileceğiniz enlem ve meridyen yönlerinde. Enlemler ekvatordan, yani büyük daireden ölçülür... ... Coğrafi ansiklopedi

Topografyada, dünyanın yüzeyindeki herhangi bir noktanın konumunu doğru bir şekilde belirleyebileceğiniz, dünyayı enlem ve meridyen yönlerinde çevreleyen hayali çizgilerden oluşan bir ağ. Enlemler büyük dairenin ekvatorundan ölçülür... ... Collier Ansiklopedisi

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Faz diyagramı. Faz düzlemi, herhangi iki değişkenin (faz koordinatlarının) koordinat eksenleri boyunca çizildiği ve sistemin durumunu benzersiz bir şekilde belirleyen bir koordinat düzlemidir... ... Vikipedi

ana kesme düzlemi- (Pτ) Ana düzlem ile kesme düzleminin kesişimine dik olan koordinat düzlemi. [GOST 25762 83] Konular: kesme işlemi Genel terimler: koordinat düzlemi sistemleri ve koordinat düzlemleri... Teknik Çevirmen Kılavuzu

enstrümantal ana kesme düzlemi- (Pτi) Alet ana düzlemi ile kesme düzleminin kesişme çizgisine dik koordinat düzlemi. [GOST 25762 83] Konular: kesme işlemi Genel terimler: koordinat düzlemi sistemleri ve koordinat düzlemleri... Teknik Çevirmen Kılavuzu

takım kesme düzlemi- (Pni) Söz konusu noktada kesici kenara teğet olan ve alet ana düzlemine dik olan koordinat düzlemi. [GOST 25762 83] Kesme işleminin konuları Koordinat düzlemi sistemlerinin genel terimleri ve... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu