Böyle bir matematiksel analiz nesnesinin fonksiyon olarak incelenmesi büyük önem taşımaktadır. Anlam ve diğer bilim alanlarında. Örneğin, ekonomik analizde davranışların değerlendirilmesine sürekli bir ihtiyaç vardır. işlevler kârı, yani onun en büyük değerini belirlemek Anlam ve bunu başarmak için bir strateji geliştirin.

Talimatlar

Herhangi bir davranışın incelenmesi her zaman tanım alanının araştırılmasıyla başlamalıdır. Genellikle belirli bir problemin koşullarına göre en büyük sorunun belirlenmesi gerekir. Anlam işlevler ya bu alanın tamamı boyunca ya da belli bir aralığında sınırları açık veya kapalı olarak.

Buna göre en büyüğü Anlam işlevler y(x0), burada tanım alanındaki herhangi bir nokta için y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) eşitsizliği geçerlidir. Grafiksel olarak, argüman değerleri apsis ekseni boyunca ve fonksiyonun kendisi de ordinat ekseni boyunca yerleştirilirse bu nokta en yüksek olacaktır.

En büyüğünü belirlemek için Anlam işlevler, üç adımlı algoritmayı izleyin. Türevi hesaplamanın yanı sıra tek taraflı ve ile çalışabilmeniz gerektiğini lütfen unutmayın. O halde, bir y(x) fonksiyonu verilsin ve onun en büyüğünü bulmanız gerekir. Anlam A ve B sınır değerleri ile belirli bir aralıkta.

Bu aralığın tanımın kapsamında olup olmadığını öğrenin işlevler. Bunu yapmak için, olası tüm kısıtlamaları göz önünde bulundurarak bulmanız gerekir: ifadede bir kesirin varlığı, kare kök vesaire. Tanım alanı, fonksiyonun anlamlı olduğu argüman değerleri kümesidir. Verilen aralığın onun bir alt kümesi olup olmadığını belirleyin. Cevabınız evet ise bir sonraki adıma geçin.

Türevi bulun işlevler ve türevi sıfıra eşitleyerek elde edilen denklemi çözün. Bu şekilde sözde değerleri elde edeceksiniz. sabit noktalar. Bunlardan en az birinin A, B aralığına ait olup olmadığını değerlendirin.

Üçüncü aşamada bu noktaları göz önünde bulundurun ve değerlerini fonksiyonda yerine koyun. Aralık türüne bağlı olarak aşağıdaki ek adımları uygulayın. [A, B] şeklinde bir bölüm varsa, sınır noktaları aralığa dahil edilir; bu parantezlerle gösterilir. Değerleri Hesapla işlevler x = A ve x = B için. Aralık açıksa (A, B), sınır değerleri delinir, yani. buna dahil değildir. x→A ve x→B için tek taraflı limitleri çözün. Sınırlarından biri kendisine ait olan, diğeri olmayan, [A, B) veya (A, B) formundaki birleştirilmiş aralık. x'in delinen değere yönelmesi nedeniyle tek taraflı limiti bulun ve diğerini yerine koyun. Sonsuz iki taraflı aralık (-∞, +∞) veya tek taraflı sonsuz aralıklar şu formdadır: , (-∞, B).Gerçek limitler A ve B için, daha önce açıklanan ilkelere göre ilerleyin ve sonsuz olanlar için sırasıyla x→-∞ ve x→+∞ limitlerini arayın.

Bu aşamada görev

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Bir fonksiyonun en büyük değeri, değerlerinin en büyüğü, en küçük değeri ise en küçüğüdür.

Bir fonksiyonun yalnızca bir en büyük ve yalnızca bir en küçük değeri olabilir ya da hiç değeri olmayabilir. Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerinin bulunması, bu fonksiyonların aşağıdaki özelliklerine dayanmaktadır:

1) Belirli bir aralıkta (sonlu veya sonsuz) y=f(x) fonksiyonu sürekli ise ve yalnızca bir ekstremuma sahipse ve bu bir maksimum (minimum) ise, fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri olacaktır. bu aralıkta.

2) Eğer f(x) fonksiyonu belirli bir aralıkta sürekli ise, o zaman zorunlu olarak en büyük ve en büyük değere sahiptir. en küçük değer. Bu değerlere ya segmentin içindeki uç noktalarda ya da bu segmentin sınırlarında ulaşılır.

Bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri bulmak için aşağıdaki şemanın kullanılması önerilir:

1. Türevi bulun.

2. Fonksiyonun =0 veya bulunmayan kritik noktalarını bulun.

3. Fonksiyonun kritik noktalardaki ve segmentin uçlarındaki değerlerini bulun ve bunlardan en büyük f max ve en küçük f max'ı seçin.

Uygulamalı problemleri, özellikle de optimizasyon problemlerini çözerken, önemli X aralığında bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini (global maksimum ve global minimum) bulma görevleri vardır. Bu tür problemleri çözmek için, duruma bağlı olarak bağımsız bir değişken seçilmeli ve incelenen değer şu şekilde ifade edilmelidir: bu değişken. Daha sonra elde edilen fonksiyonun istenen en büyük veya en küçük değerini bulun. Bu durumda sonlu veya sonsuz olabilen bağımsız değişkenin değişim aralığı da problemin koşullarından belirlenir.

Örnek.Üstü açık dikdörtgen paralel yüzlü, tabanı kare şeklinde olan tankın içi kalaylanmalıdır. Kapasitesi 108 litre ise tankın boyutları ne olmalıdır? kalaylama maliyeti minimum olacak şekilde su?

Çözüm. Belirli bir kapasite için yüzey alanı minimum düzeydeyse, bir tankı kalayla kaplamanın maliyeti minimum düzeyde olacaktır. Tabanın kenarını a dm ile, tankın yüksekliğini b dm ile gösterelim. O zaman yüzeyinin alanı S eşittir

VE

Ortaya çıkan ilişki, rezervuar S'nin yüzey alanı (fonksiyon) ile taban a tarafı (argüman) arasındaki ilişkiyi kurar. Bir ekstremum için S fonksiyonunu inceleyelim. Birinci türevi bulalım, sıfıra eşitleyelim ve elde edilen denklemi çözelim:

Dolayısıyla a = 6. a > 6 için (a) > 0, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma aralıkta.

Çözüm: Verilen fonksiyon sayı doğrusu boyunca süreklidir. Bir fonksiyonun türevi

için ve için türev. Bu noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayalım:

.

Verilen aralığın uçlarındaki fonksiyonun değerleri eşittir. Buradan, en yüksek değer fonksiyon at'a eşittir, fonksiyonun en küçük değeri at'ye eşittir.

Kendi kendine test soruları

1. Formdaki belirsizlikleri ortaya çıkarmak için L'Hopital kuralını formüle edin. Liste Çeşitli türler L'Hopital kuralının kullanılabileceği belirsizlikler.

2. Artan ve azalan fonksiyonların işaretlerini formüle edin.

3. Bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu tanımlayın.

4. Formüle edin gerekli kondisyon bir ekstremumun varlığı.

5. Argümanın hangi değerlerine (hangi noktalara) kritik denir? Bu noktalar nasıl bulunur?

6. Bir fonksiyonun ekstremumunun varlığının yeterli işaretleri nelerdir? Birinci türevi kullanarak bir ekstremumdaki bir fonksiyonu incelemek için bir şemanın ana hatlarını çizin.

7. İkinci türevi kullanarak ekstremumdaki bir fonksiyonu incelemek için bir şemanın ana hatlarını çizin.

8. Bir eğrinin dışbükeyliğini ve içbükeyliğini tanımlayın.

9. Bir fonksiyonun grafiğinin dönüm noktasına ne denir? Bu noktaları bulmak için bir yöntem belirtin.

10. Gerekli olanı formüle edin ve yeterli işaretler Belirli bir segmentteki bir eğrinin dışbükeyliği ve içbükeyliği.

11. Bir eğrinin asimptotunu tanımlayın. Bir fonksiyonun grafiğinin dikey, yatay ve eğik asimptotları nasıl bulunur?

12. Bir fonksiyonu incelemek ve grafiğini oluşturmak için genel şemayı ana hatlarıyla belirtin.

13. Belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için bir kural oluşturun.

Bu yazımda bunlardan bahsedeceğim en büyük ve en küçük değeri bulma algoritması fonksiyonlar, minimum ve maksimum noktalar.

Teorik olarak kesinlikle bizim için faydalı olacaktır türev tablosu Ve farklılaşma kuralları. Hepsi bu tabakta:

En büyük ve en küçük değeri bulma algoritması.

Açıklamak benim için daha uygun spesifik örnek. Dikkate almak:

Örnek:[–4;0] segmentinde y=x^5+20x^3–65x fonksiyonunun en büyük değerini bulun.

Aşama 1. Türevini alıyoruz.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Adım 2. Ekstrem noktaları bulma.

Ekstrem nokta fonksiyonun en büyük veya minimum değerine ulaştığı noktalara denir.

Ekstrem noktaları bulmak için fonksiyonun türevini sıfıra eşitlemeniz gerekir (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Şimdi bu iki ikinci dereceden denklemi çözüyoruz ve bulunan kökler ekstrem noktalarımız oluyor.

Bu tür denklemleri t = x^2'yi, ardından 5t^2 + 60t - 65 = 0'ı değiştirerek çözüyorum.

Denklemi 5 azaltalım, şunu elde ederiz: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Ters değişimi x^2 = t olarak yaparız:

X_(1 ve 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ve 4) = ±sqrt(-13) (hariç tutuyoruz, olamaz negatif sayılar, tabii ki karmaşık sayılardan bahsetmiyorsak)

Toplam: x_(1) = 1 ve x_(2) = -1 - bunlar bizim uç noktalarımızdır.

Aşama 3. En büyük ve en küçük değeri belirleyin.

İkame yöntemi.

Bu koşulda bize [b][–4;0] segmenti verildi. x=1 noktası bu parçaya dahil değildir. Bu yüzden bunu dikkate almıyoruz. Ancak x=-1 noktasına ek olarak parçamızın sol ve sağ sınırlarını, yani -4 ve 0 noktalarını da dikkate almamız gerekir. Bunu yapmak için bu üç noktanın tamamını orijinal fonksiyonda yerine koyarız. Orijinal olanın (y=x^5+20x^3–65x) koşulunda verilen olduğuna dikkat edin, bazı insanlar onu türevin yerine koymaya başlar...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Bu, fonksiyonun en büyük değerinin [b]44 olduğu ve fonksiyonun [-4 parçası üzerindeki maksimum noktası olarak adlandırılan [b]-1 noktasında elde edildiği anlamına gelir; 0].

Karar verdik ve bir cevap aldık, harikayız, rahatlayabilirsiniz. Ama dur! Y(-4)'ü hesaplamanın bir şekilde çok zor olduğunu düşünmüyor musunuz? Sınırlı süre koşullarında başka bir yöntem kullanmak daha iyidir, ben buna şöyle derim:

İşaret tutarlılığı aralıkları boyunca.

Bu aralıklar fonksiyonun türevi için yani iki ikinci dereceden denklemimiz için bulunur.

Ben böyle yapıyorum. Yönlendirilmiş bir bölüm çiziyorum. Noktaları koyuyorum: -4, -1, 0, 1. Her ne kadar verilen parçaya 1 dahil olmasa da işaretin değişmezlik aralıklarını doğru bir şekilde belirlemek için yine de not edilmelidir. 1'den kat kat büyük bir sayı alalım, örneğin 100 ve bunu zihinsel olarak iki ikinci dereceden denklemimiz olan 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65'e koyalım. Hiçbir şeyi saymasak bile, 100 noktasında açıkça ortaya çıkıyor: fonksiyonun artı işareti vardır. Bu, 1'den 100'e kadar olan aralıklar için artı işaretine sahip olduğu anlamına gelir. 1'den geçerken (sağdan sola gidiyoruz) fonksiyon işareti eksiye çevirecektir. 0 noktasından geçerken fonksiyon işaretini koruyacaktır çünkü bu sadece parçanın sınırıdır ve denklemin kökü değildir. -1'den geçerken fonksiyon işareti tekrar artıya çevirecektir.

Teoriden fonksiyonun türevinin nerede olduğunu biliyoruz (ve bunu tam olarak bunun için çizdik) işareti artıdan eksiye değiştirir (bizim durumumuzda -1 noktası) fonksiyon ulaşır yerel maksimum (y(-1)=44, daha önce hesaplandığı gibi) bu segmentte (bu mantıksal olarak çok anlaşılır, fonksiyon maksimuma ulaştığı için artmayı bıraktı ve azalmaya başladı).

Buna göre fonksiyonun türevi işareti eksiden artıya değiştirir, elde edilir bir fonksiyonun yerel minimumu. Evet, evet, ayrıca yerel minimum noktanın 1 olduğunu ve y(1)'in segment üzerindeki fonksiyonun minimum değeri olduğunu, örneğin -1'den +∞'a kadar olduğunu bulduk. Lütfen bunun yalnızca YEREL MİNİMUM, yani belirli bir segmentteki minimum olduğunu unutmayın. Çünkü fonksiyonun gerçek (global) minimumu orada bir yere, -∞'a ulaşacaktır.

Bana göre ilk yöntem teorik olarak daha basit, ikincisi ise bakış açısından daha basittir. Aritmetik işlemler ancak teorik açıdan çok daha karmaşıktır. Sonuçta, bazen fonksiyonun denklemin kökünden geçerken işareti değiştirmediği durumlar vardır ve genel olarak bu yerel, global maksimumlar ve minimumlarla kafanız karışabilir, ancak yine de bu konuda iyi ustalaşmanız gerekecektir. teknik bir üniversiteye girmeyi planlıyoruz (ve başka neden için Birleşik Devlet Sınavı profiline girip bu görevi çözelim). Ancak pratik ve sadece pratik size bu tür sorunları kesin olarak çözmeyi öğretecektir. Ve web sitemizde eğitim alabilirsiniz. Burada .

Herhangi bir sorunuz varsa veya net olmayan bir şey varsa sormayı unutmayın. Size cevap vermekten ve makalede değişiklik ve eklemeler yapmaktan mutluluk duyacağım. Bu siteyi birlikte oluşturduğumuzu unutmayın!

Fonksiyona izin ver y =F(X) aralıkta süreklidir [ a, b] Bilindiği üzere böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu segmentte ulaşmaktadır. Fonksiyon bu değerleri ya parçanın iç noktasında alabilir [ a, b] veya segmentin sınırında.

Bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ a, b] gerekli:

1) fonksiyonun kritik noktalarını ( a, b);

2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;

3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani X=A ve x = B;

4) fonksiyonun hesaplanan tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma

segmentte.

Kritik noktaları bulma:

Bu noktalar segmentin içinde yer alır; sen(1) = ‒ 3; sen(2) = ‒ 4; sen(0) = ‒ 8; sen(3) = 1;

noktada X= 3 ve bu noktada X= 0.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.

İşlev sen = F (X) isminde dışbükey arasında (A, B) grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen teğetin altında bulunuyorsa ve denirse aşağı dışbükey (içbükey) Grafiği teğetin üzerinde yer alıyorsa.

Dışbükeyliğin yerini içbükeyliğin aldığı veya bunun tersinin gerçekleştiği noktaya ne ad verilir? dönüm noktası.

Dışbükeylik ve bükülme noktasını incelemek için algoritma:

1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.

2. Sayı doğrusu üzerinde kritik noktaları aralıklara bölerek çizin. Her aralığın ikinci türevinin işaretini bulun; eğer ise fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir, eğer ise fonksiyon aşağıya doğru dışbükeydir.

3. İkinci türden bir kritik noktadan geçerken işaret değişirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta bükülme noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlar için bir fonksiyonun incelenmesi.

Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotuna denir dümdüz, grafikteki herhangi bir noktadan bu çizgiye olan mesafenin, grafikteki nokta başlangıç ​​noktasından süresiz olarak hareket ettikçe sıfıra doğru gitmesi özelliğine sahiptir.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.

Tanım. Düz çizgiye denir dikey asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani

fonksiyonun süreksizlik noktası nerede yani tanım alanına ait değil.

Örnek.

D ( sen) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – kırılma noktası.

Tanım. Dümdüz y =A isminde Yatay asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) eğer

Örnek.

Tanım. Dümdüz y =kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) nerede

Fonksiyonları incelemek ve grafik oluşturmak için genel şema.

Fonksiyon Araştırma Algoritmasıy = f(x) :

1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun D (sen).

2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun (eğer mümkünse) X= 0 ve sen = 0).

3. Fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini inceleyin ( sen (‒ X) = sen (X) ‒ parite; sen(‒ X) = ‒ sen (X) ‒ garip).

4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.

6. Fonksiyonun ekstremumlarını bulun.

7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.

8. Yapılan araştırmaya dayanarak fonksiyonun grafiğini oluşturunuz.

Örnek. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun.

1) D (sen) =

X= 4 – kırılma noktası.

2) Ne zaman X = 0,

(0; ‒ 5) – ile kesişme noktası ah.

Şu tarihte: sen = 0,

3) sen(‒ X)= işlev Genel görünüm(ne çift ne de tek).

4) Asimptotları inceliyoruz.

a) dikey

yatay

c) eğik asimptotları bulun;

‒eğik asimptot denklemi

5) Bu denklemde fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmak gerekli değildir.

6)

Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm tanım alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığına böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmak uygundur.

Bir fonksiyonun bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri nasıl bulunur?

Bunun için iyi bilinen bir algoritmayı takip ediyoruz:

1 . ODZ fonksiyonlarını bulma.

2 . Fonksiyonun türevini bulma

3 . Türevi sıfıra eşitlemek

4 . Türevin işaretini koruduğu aralıkları buluruz ve bunlardan fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirleriz:

I aralığında fonksiyonun türevi 0 ise" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} bu aralıkta artar.

I aralığında fonksiyonun türevi varsa, o zaman fonksiyon bu aralıkta azalır.

5 . Bulduk fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları.

İÇİNDE Fonksiyonun maksimum noktasında türevin işareti “+”dan “-”ye değişir..

İÇİNDE fonksiyonun minimum noktasıtürevin işareti "-"den "+"ya değişir.

6 . Fonksiyonun değerini parçanın uçlarında buluyoruz,

• daha sonra fonksiyonun değerini parçanın uçlarında ve maksimum noktalarda karşılaştırırız ve Fonksiyonun en büyük değerini bulmanız gerekiyorsa en büyüğünü seçin
• veya fonksiyonun değerini parçanın uçlarında ve minimum noktalarda karşılaştırın ve Fonksiyonun en küçük değerini bulmanız gerekiyorsa bunlardan en küçüğünü seçin

Ancak fonksiyonun segment üzerinde nasıl davrandığına bağlı olarak bu algoritma önemli ölçüde azaltılabilir.

İşlevi düşünün . Bu fonksiyonun grafiği şuna benzer:

Sorunları çözmek için çeşitli örneklere bakalım Açık Banka için görevler

1. Görev B15 (No. 26695)

Segmentte.

1. Fonksiyon x'in tüm gerçek değerleri için tanımlanmıştır

Açıkçası, bu denklemin hiçbir çözümü yoktur ve türevi, x'in tüm değerleri için pozitiftir. Sonuç olarak fonksiyon artar ve aralığın sağ ucunda yani x=0 noktasında en büyük değeri alır.

Cevap: 5.

2 . Görev B15 (No. 26702)

Fonksiyonun en büyük değerini bulun segmentte.

1. ODZ fonksiyonları title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Türev sıfıra eşittir ancak bu noktalarda işareti değişmez:

Bu nedenle, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} artar ve aralığın sağ ucunda en büyük değeri alır.

Türevin neden işaret değiştirmediğini açıklığa kavuşturmak için türev ifadesini aşağıdaki gibi dönüştürürüz:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Cevap: 5.

3. Görev B15 (No. 26708)

Fonksiyonun segmentteki en küçük değerini bulun.

1. ODZ işlevleri: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Bu denklemin köklerini trigonometrik çemberin üzerine yerleştirelim.

Aralık iki sayı içerir: ve

Tabelalar asalım. Bunu yapmak için x=0 noktasındaki türevin işaretini belirleriz: . Noktalardan geçerken türev işaret değiştirir.

Bir fonksiyonun türevinin işaretlerinin koordinat doğrusu üzerindeki değişimini gösterelim:

Açıkçası, bu nokta minimum bir noktadır (türevin işaretini “-” den “+” ya değiştirdiği nokta) ve segmentteki fonksiyonun en küçük değerini bulmak için fonksiyonun değerlerini şu noktada karşılaştırmanız gerekir: minimum nokta ve segmentin sol ucunda, .