Noktalardan geçen bir düzlemin genel denklemini yazınız. Bir düzlemin denklemi: nasıl oluşturulur? Düzlem denklem türleri

Uzaydaki herhangi üç noktadan tek bir düzlemin çizilebilmesi için bu noktaların aynı doğru üzerinde bulunmaması gerekir.

Genel Kartezyen koordinat sisteminde M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) noktalarını düşünün.

Rastgele bir M(x, y, z) noktasının M 1, M 2, M 3 noktalarıyla aynı düzlemde yer alması için, vektörlerin eş düzlemli olması gerekir.

(
) = 0

Böylece,

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi:

İki noktası ve düzleme eşdoğrusal bir vektörü verilen bir düzlemin denklemi.

M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) noktaları ve vektör verilsin
.

Verilen M 1 ve M 2 noktalarından ve vektöre paralel rastgele bir M (x, y, z) noktasından geçen bir düzlem için bir denklem oluşturalım .

Vektörler
ve vektör
eş düzlemli olmalıdır, yani

(
) = 0

Düzlem denklemi:

Bir nokta ve iki vektör kullanılarak bir düzlemin denklemi,

düzlemle eşdoğrusaldır.

İki vektör verilsin
Ve
, eşdoğrusal düzlemler. Daha sonra düzleme ait rastgele bir M(x, y, z) noktası için vektörler
eş düzlemli olmalıdır.

Düzlem denklemi:

Bir düzlemin noktaya ve normal vektöre göre denklemi .

Teorem. Uzayda bir M noktası verilirse 0 (X 0 , sen 0 , z 0 ), daha sonra M noktasından geçen düzlemin denklemi 0 normal vektöre dik (A, B, C) şu forma sahiptir:

A(X – X 0 ) + B(sen – sen 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Kanıt. Düzleme ait rastgele bir M(x, y, z) noktası için bir vektör oluştururuz. Çünkü vektör normal vektör ise düzleme diktir ve dolayısıyla vektöre diktir
. Daha sonra skaler çarpım

= 0

Böylece düzlemin denklemini elde ederiz

Teorem kanıtlandı.

Bir düzlemin segmentlerdeki denklemi.

Genel denklemde Ax + Bi + Cz + D = 0 ise her iki tarafı da (-D)'ye böleriz

,

değiştirme
, düzlemin denklemini segmentler halinde elde ederiz:

a, b, c sayıları sırasıyla düzlemin x, y, z eksenleriyle kesişme noktalarıdır.

Vektör formunda bir düzlemin denklemi.

Nerede

- geçerli noktanın yarıçap vektörü M(x, y, z),

Orijinden bir düzleme dik doğrultuda düşen bir birim vektör.

,  ve  bu vektörün x, y, z eksenleriyle oluşturduğu açılardır.

p bu dikin uzunluğudur.

Koordinatlarda bu denklem şöyle görünür:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe.

Rastgele bir M 0 (x 0, y 0, z 0) noktasından Ax+By+Cz+D=0 düzlemine olan mesafe:

Örnek. P(4; -3; 12) noktasının orijinden bu düzleme bırakılan dikmenin tabanı olduğunu bilerek düzlemin denklemini bulun.

Yani A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, formülü kullanıyoruz:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Örnek.İki P(2; 0; -1) noktasından geçen bir düzlemin denklemini bulun ve

Q(1; -1; 3) 3x + 2y – z + 5 = 0 düzlemine dik.

3x + 2y – z + 5 = 0 düzlemine normal vektör
İstenilen düzleme paralel.

Şunu elde ederiz:

Örnek. A(2, -1, 4) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulun ve

B(3, 2, -1) düzleme dik X + en + 2z – 3 = 0.

Düzlemin gerekli denklemi şu şekildedir: A X+B sen+C z+ D = 0, bu düzleme normal vektör (A, B, C). Vektör
(1, 3, -5) düzlemine aittir. Bize verilen istenilen düzleme dik olan düzlem normal bir vektöre sahiptir (1, 1, 2). Çünkü A ve B noktaları her iki düzleme de aittir ve düzlemler karşılıklı olarak diktir, bu durumda

Yani normal vektör (11, -7, -2). Çünkü A noktası istenen düzleme aitse, koordinatları bu düzlemin denklemini karşılamalıdır, yani. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Toplamda uçağın denklemini elde ederiz: 11 X - 7sen – 2z – 21 = 0.

Örnek. P(4, -3, 12) noktasının orijinden bu düzleme bırakılan dikmenin tabanı olduğunu bilerek düzlemin denklemini bulun.

Normal vektörün koordinatlarını bulma
= (4, -3, 12). Düzlemin gerekli denklemi şu şekildedir: 4 X – 3sen + 12z+ D = 0. D katsayısını bulmak için P noktasının koordinatlarını denklemde yerine koyarız:

16 + 9 + 144 + Ç = 0

Toplamda gerekli denklemi elde ederiz: 4 X – 3sen + 12z – 169 = 0

Örnek. Verilenler piramidin köşelerinin koordinatları A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

A 1 A 2 kenarının uzunluğunu bulun.

A 1 A 2 ve A 1 A 4 kenarları arasındaki açıyı bulun.

A 1 A 4 kenarı ile A 1 A 2 A 3 yüzü arasındaki açıyı bulun.

İlk önce A 1 A 2 A 3 yüzüne normal vektörü buluyoruz vektörlerin çapraz çarpımı olarak
Ve
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Normal vektör ile vektör arasındaki açıyı bulalım
.

-4 – 4 = -8.

Vektör ile düzlem arasında istenilen açı   = 90 0 - 'ye eşit olacaktır.

A 1 A 2 A 3 yüzünün alanını bulun.

Piramidin hacmini bulun.

A 1 A 2 A 3 düzleminin denklemini bulun.

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi için formülü kullanalım.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Bilgisayar sürümünü kullanırken “ Yüksek matematik kursu Yukarıdaki örneği piramidin köşelerinin herhangi bir koordinatı için çözecek bir program çalıştırabilirsiniz.

Programı başlatmak için simgeye çift tıklayın:

Açılan program penceresinde piramidin köşelerinin koordinatlarını girin ve Enter tuşuna basın. Bu sayede tüm karar noktaları tek tek elde edilebilmektedir.

Not: Programı çalıştırmak için, MapleV Sürüm 4'ten başlayarak herhangi bir sürümdeki Maple programının ( Waterloo Maple Inc.) bilgisayarınıza kurulu olması gerekir.

Uzaydaki herhangi üç noktadan tek bir düzlemin çizilebilmesi için bu noktaların aynı doğru üzerinde bulunmaması gerekir.

Genel Kartezyen koordinat sisteminde M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) noktalarını düşünün.

Rastgele bir M(x, y, z) noktasının M 1, M 2, M 3 noktalarıyla aynı düzlemde yer alması için, vektörlerin eş düzlemli olması gerekir.

Tanım 2.1.

Uzaydaki iki doğru aynı düzlemde bulunuyorsa ve ortak noktaları yoksa paralel olarak adlandırılır.

Eğer a ve b doğruları paralelse, planimetride olduğu gibi bir || yazın. B. Uzayda çizgiler kesişmeyecek veya paralel olacak şekilde yerleştirilebilir. Bu durum stereometriye özeldir.

Tanım 2.2.

Ortak noktaları olmayan ve paralel olmayan doğrulara kesişen doğrular denir.

Teorem 2.1.

Belirli bir çizginin dışındaki bir noktadan, verilen çizgiye paralel ve yalnızca bir doğru çizilebilir.

25.Bir doğru ile bir düzlem arasındaki paralellik işareti

Teorem

Bir düzleme ait olmayan bir doğru, bu düzlemdeki bir doğruya paralelse, o zaman düzlemin kendisine de paraleldir.

Kanıt

α bir düzlem, a onun içinde olmayan bir doğru ve a1 α düzleminde a doğrusuna paralel bir doğru olsun. a ve a1 doğruları boyunca α1 düzlemini çizelim. α ve α1 düzlemleri a1 düz çizgisi boyunca kesişiyor. Eğer doğru bir α düzlemiyle kesişiyorsa, kesişme noktası a1 doğrusuna ait olacaktır. Ancak a ve a1 doğruları paralel olduğundan bu imkansızdır. Sonuç olarak, a doğrusu α düzlemiyle kesişmez ve dolayısıyla α düzlemine paraleldir. Teorem kanıtlandı.

27.Belirli bir düzleme paralel bir düzlemin varlığı

Teorem

Belirli bir düzlemin dışındaki bir noktadan, verilen düzleme paralel ve yalnızca bir düzlem çizmek mümkündür.

Kanıt

Bu α düzleminde kesişen herhangi iki a ve b doğrusu çizelim. Belirli bir A noktasından onlara paralel a1 ve b1 çizgilerini çiziyoruz. Düzlemlerin paralelliği teoremine göre a1 ve b1 doğrularından geçen β düzlemi α düzlemine paraleldir.

Başka bir β1 düzleminin de A noktasından geçtiğini varsayalım. düzleme paralelα. β1 düzleminde β düzleminde yer almayan bir C noktasını işaretleyelim. γ düzlemini A, C noktalarından ve α düzleminin bir B noktasından geçirerek çizelim. Bu düzlem α, β ve β1 düzlemlerini b, a ve c düz çizgileri boyunca kesecektir. a ve c doğruları α düzlemini kesmediklerinden b doğrusuyla kesişmezler. Bu nedenle b doğrusuna paraleldirler. Ancak γ düzleminde A noktasından yalnızca b doğrusuna paralel bir doğru geçebilir. bu da varsayımla çelişiyor. Teorem kanıtlandı.

28.Paralel düzlemlerin özellikleri bu

29.

Uzayda dik çizgiler. Uzaydaki iki çizgi, aralarındaki açı 90 derece ise dik olarak adlandırılır. C. M. k. k. M. C. k. Kesişen. Melezleme.

Teorem 2 DİK DOĞRULARIN VE DÜZLEMLERİN 1. ÖZELLİĞİ. Bir düzlem iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir.
İspat: a 1 ve a 2 - 2 paralel doğrular ve a 1 doğrusuna dik bir düzlem olsun. Bu düzlemin a 2 doğrusuna dik olduğunu kanıtlayalım. Düzlemde, a 2 düz çizgisinin düzlemle kesiştiği noktada A 2 noktasından geçen keyfi bir x 2 düz çizgisi çizelim. A 1 noktasından geçen düzlemde a 1 doğrusu ile x 2 doğrusuna paralel x 1 doğrusu ile kesişimini çizelim. a 1 doğrusu düzleme dik olduğundan, a 1 ve x 1 doğruları da diktir. Ve Teorem 1'e göre, bunlara paralel kesişen doğrular (a 2 ve x 2) de diktir. Dolayısıyla a 2 doğrusu düzlemdeki herhangi bir x 2 doğrusuna diktir. Ve bu (tanım gereği), a 2 düz çizgisinin düzleme dik olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı. Ayrıca 2 numaralı destek görevine bakın.
Teorem 3 DİK DOĞRULARIN VE DÜZLEMLERİN 2. ÖZELLİĞİ. Aynı düzleme dik olan iki doğru paraleldir.
İspat: a ve b düzleme dik 2 doğru olsun. a ve b doğrularının paralel olmadığını varsayalım. B doğrusu üzerinde düzlemde yer almayan bir C noktası seçelim. C noktasından a çizgisine paralel bir b 1 çizgisi çizelim. Teorem 2'ye göre b 1 doğrusu düzleme diktir. B ve B 1, b ve b 1 doğrularının düzlemle kesişme noktaları olsun. O halde BB 1 düz çizgisi, b ve b 1 ile kesişen çizgilere diktir. Ve bu imkansızdır. Bir çelişkiye ulaştık. Teorem kanıtlandı.

33.Dik belirli bir düzlemde belirli bir noktadan indirilen, belirli bir noktayı düzlemdeki bir noktaya bağlayan ve düzleme dik bir düz çizgi üzerinde uzanan bir bölümdür. Bu parçanın düzlemde yer alan ucuna denir. dikey tabanı.
Eğimli Belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen, belirli bir noktayı düzlem üzerinde düzleme dik olmayan bir noktaya bağlayan herhangi bir parçadır. Düzlemde bulunan bir doğru parçasının sonuna denir eğimli taban. Aynı noktadan çizilen bir dikmenin tabanlarını eğik bir doğruya birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? eğik projeksiyon.

AB, α düzlemine diktir.
AC – eğik, CB – projeksiyon.

Teoremin ifadesi

Eğimli bir çizginin tabanından bir düzlem üzerinde çizilen düz bir çizgi izdüşümüne dik ise, o zaman eğimli olana diktir.

Kanıt

İzin vermek AB- α düzlemine dik, AC.- eğimli ve C- α düzleminde noktadan geçen düz bir çizgi C ve projeksiyona dik M.Ö.. Direkt yapalım CKçizgiye paralel AB. Dümdüz CKα düzlemine diktir (paralel olduğundan AB) ve dolayısıyla bu düzlemin herhangi bir düz çizgisi, dolayısıyla, CK düz bir çizgiye dik C. Paralel çizgiler üzerinden çizelim AB Ve CKβ düzlemi (paralel çizgiler bir düzlemi tanımlar ve yalnızca bir tane). Dümdüz Cβ düzleminde bulunan kesişen iki çizgiye dik olan bu M.Ö. duruma göre ve CK yapım gereği bu düzleme ait herhangi bir çizgiye dik olduğu anlamına gelir, yani çizgiye dik olduğu anlamına gelir AC..

Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulmamız gerektiğini varsayalım. Yarıçap vektörlerini ve mevcut yarıçap vektörünü ile belirterek, gerekli denklemi vektör biçiminde kolayca elde edebiliriz. Aslında vektörlerin aynı düzlemde olması gerekir (hepsi istenilen düzlemde yer alır). Bu nedenle, bu vektörlerin vektör-skaler çarpımı sıfıra eşit olmalıdır:

Bu, verilen üç noktadan geçen bir düzlemin vektör formundaki denklemidir.

Koordinatlara geçerek denklemi koordinat cinsinden elde ederiz:

Verilen üç nokta aynı doğru üzerinde yer alıyorsa, vektörler eşdoğrusal olacaktır. Dolayısıyla denklem (18)'deki determinantın son iki satırının karşılık gelen elemanları orantılı olacak ve determinant aynı şekilde sıfıra eşit olacaktır. Sonuç olarak denklem (18), x, y ve z'nin herhangi bir değeri için aynı olacaktır. Geometrik olarak bu, uzaydaki her noktadan, verilen üç noktanın bulunduğu bir düzlemin geçtiği anlamına gelir.

Açıklama 1. Aynı problem vektörler kullanılmadan da çözülebilir.

Verilen üç noktanın koordinatlarını sırasıyla belirterek, ilk noktadan geçen herhangi bir düzlemin denklemini yazacağız:

İstenilen düzlemin denklemini elde etmek için denklemin (17) diğer iki noktanın koordinatları tarafından karşılanması gerekir:

Denklemlerden (19), iki katsayıların üçüncüye oranını belirlemek ve bulunan değerleri denklem (17)'ye girmek gerekir.

Örnek 1. Noktalardan geçen bir düzlem için bir denklem yazın.

Bu noktalardan ilkinden geçen düzlemin denklemi şöyle olacaktır:

Uçağın (17) diğer iki noktadan ve birinci noktadan geçmesi için gereken koşullar şunlardır:

İkinci denklemi birinciye eklersek şunu buluruz:

İkinci denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

Denklem (17)'de A, B, C yerine sırasıyla 1, 5, -4 (bunlarla orantılı sayılar) yerine koyarak şunu elde ederiz:

Örnek 2. (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) noktalarından geçen bir düzlem için bir denklem yazın.

(0, 0, 0) noktasından geçen herhangi bir düzlemin denklemi şöyle olacaktır:

Bu düzlemin (1, 1, 1) ve (2, 2, 2) noktalarından geçmesinin koşulları şunlardır:

İkinci denklemi 2'ye indirdiğimizde, iki bilinmeyeni belirlemek için bir denklemin olduğunu görüyoruz.

Buradan anlıyoruz. Şimdi düzlemin değerini denklemde yerine koyarsak şunu buluruz:

Bu istenilen düzlemin denklemidir; keyfiye bağlıdır

B, C miktarları (yani ilişkiden, yani verilen üç noktadan geçen sonsuz sayıda düzlem vardır (belirli üç nokta aynı düz çizgi üzerinde yer alır).

Açıklama 2. Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan geçen bir düzlem çizme problemi şu şekilde kolaylıkla çözülebilir: Genel görünüm determinantları kullanırsak. Nitekim (17) ve (19) denklemlerinde A, B, C katsayıları aynı anda sıfıra eşit olamayacağından, bu denklemleri A, B, C üç bilinmeyenli homojen bir sistem olarak düşünürsek gerekli ve yeterli koşul bu sistemin sıfır dışında bir çözümünün varlığı (Bölüm 1, Bölüm VI, § 6):

Bu determinantı ilk satırın elemanlarına genişleterek, mevcut koordinatlara göre, özellikle verilen üç noktanın koordinatları tarafından karşılanacak birinci dereceden bir denklem elde ederiz.

Ayrıca bu noktalardan herhangi birinin koordinatlarını yerine koyarak da doğrudan doğrulayabilirsiniz. Sol tarafta, ya ilk satırın elemanlarının sıfır olduğu ya da iki özdeş satırın olduğu bir determinant elde ederiz. Böylece kurulan denklem verilen üç noktadan geçen bir düzlemi temsil eder.

Bu materyalde, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç farklı noktanın koordinatlarını bildiğimiz takdirde bir düzlemin denklemini nasıl bulacağımıza bakacağız. Bunu yapmak için üç boyutlu uzayda dikdörtgen koordinat sisteminin ne olduğunu hatırlamamız gerekir. Başlamak için bu denklemin temel prensibini tanıtacağız ve belirli problemleri çözmek için onu tam olarak nasıl kullanacağımızı göstereceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Öncelikle şuna benzeyen bir aksiyomu hatırlamamız gerekiyor:

Tanım 1

Üç nokta birbiriyle çakışmıyorsa ve aynı çizgide yer almıyorsa, üç boyutlu uzayda bunlardan yalnızca bir düzlem geçer.

Yani koordinatları çakışmayan ve bir doğru ile birbirine bağlanamayan üç farklı noktamız varsa o zaman bu noktadan geçen düzlemi belirleyebiliriz.

Diyelim ki dikdörtgen bir koordinat sistemimiz var. Bunu O x y z olarak gösterelim. Bağlanamayan M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) koordinatlarına sahip üç M noktası içerir düz. Bu koşullara dayanarak ihtiyacımız olan düzlemin denklemini yazabiliriz. Bu sorunu çözmek için iki yaklaşım vardır.

1. İlk yaklaşım genel düzlem denklemini kullanır. Harf formunda A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 şeklinde yazılır. Onun yardımıyla, dikdörtgen bir koordinat sisteminde, verilen ilk M 1 noktasından (x 1, y 1, z 1) geçen belirli bir alfa düzlemini tanımlayabilirsiniz. α düzleminin normal vektörünün A, B, C koordinatlarına sahip olacağı ortaya çıktı.

N'un tanımı

Normal vektörün koordinatlarını ve düzlemin geçtiği noktanın koordinatlarını bildiğimizde bu düzlemin genel denklemini yazabiliriz.

Gelecekte de buna göre ilerleyeceğiz.

Böylece problemin koşullarına göre uçağın geçmesi istenen (hatta üç) noktanın koordinatlarına sahip oluyoruz. Denklemi bulmak için normal vektörünün koordinatlarını hesaplamanız gerekir. Bunu n → olarak gösterelim.

Kuralı hatırlayalım: Belirli bir düzlemin sıfırdan farklı herhangi bir vektörü, aynı düzlemin normal vektörüne diktir. O zaman n →'nin, M 1 M 2 → ve M 1 M 3 → orijinal noktalarından oluşan vektörlere dik olacağını elde ederiz. O halde n →'yi M 1 M 2 → · M 1 M 3 → formunun bir vektör çarpımı olarak gösterebiliriz.

M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ve M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 olduğundan (Bu eşitliklerin kanıtları, bir vektörün koordinatlarının noktaların koordinatlarından hesaplanmasına yönelik makalede verilmiştir), o zaman şu ortaya çıkıyor:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = ben → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

Determinantını hesaplarsak, ihtiyacımız olan n → normal vektörün koordinatlarını elde ederiz. Artık verilen üç noktadan geçen bir düzlem için ihtiyacımız olan denklemi yazabiliriz.

2. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), 'den geçen denklemi bulmanın ikinci yaklaşımı, vektörlerin eş düzlemliliği gibi bir kavrama dayanmaktadır.

Bir dizi M (x, y, z) noktamız varsa, dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2) noktaları için bir düzlem tanımlarlar. , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) yalnızca M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 vektörleri durumunda → = ( ​​x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) ve M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1) eş düzlemli olacaktır .

Diyagramda şöyle görünecek:

Bu, M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → vektörlerinin karışık çarpımının sıfıra eşit olacağı anlamına gelir: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , eş düzlemliliğin ana koşulu bu olduğundan: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ve M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

Ortaya çıkan denklemi koordinat biçiminde yazalım:

Determinantı hesapladıktan sonra aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta için ihtiyacımız olan düzlem denklemini elde edebiliriz: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) ), M3 (x3, y3, z3) .

Ortaya çıkan denklemden, eğer problemin koşulları gerektiriyorsa, parçalar halindeki düzlemin denklemine veya düzlemin normal denklemine gidebilirsiniz.

Bir sonraki paragrafta belirttiğimiz yaklaşımların pratikte nasıl uygulandığına dair örnekler vereceğiz.

3 noktadan geçen bir düzlemin denklemini oluşturmaya yönelik problem örnekleri

Daha önce istenen denklemi bulmak için kullanılabilecek iki yaklaşım tanımlamıştık. Sorunları çözmek için bunların nasıl kullanıldığına ve her birini ne zaman seçmeniz gerektiğine bakalım.

örnek 1

M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1) koordinatlarına sahip, aynı doğru üzerinde olmayan üç nokta vardır. İçlerinden geçen düzlemin denklemini yazınız.

Çözüm

Her iki yöntemi de dönüşümlü olarak kullanıyoruz.

1. M 1 M 2 →, M 1 M 3 → ihtiyacımız olan iki vektörün koordinatlarını bulun:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Şimdi bunların vektör çarpımını hesaplayalım. Determinantın hesaplamalarını açıklamayacağız:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = ben → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Gerekli üç noktadan geçen düzlemin normal bir vektörümüz var: n → = (- 5, 30, 2) . Daha sonra, noktalardan birini, örneğin M 1 (- 3, 2, - 1) almamız ve n → = (- 5, 30, 2) vektörlü düzlemin denklemini yazmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Üç noktadan geçen bir düzlem için ihtiyacımız olan denklem budur.

2. Farklı bir yaklaşım izleyelim. Üç noktası M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) olan bir düzlemin denklemini şöyle yazalım: aşağıdaki form:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Burada sorun bildirimindeki verileri değiştirebilirsiniz. x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1 olduğundan, sonuç olarak şunu elde ederiz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

İhtiyacımız olan denklemi bulduk.

Cevap:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

Peki ya verilen noktalar hala aynı doğru üzerindeyse ve onlar için bir düzlem denklemi oluşturmamız gerekiyorsa? Burada bu durumun tamamen doğru olmayacağını hemen söylemek gerekir. Bu noktalardan sonsuz sayıda uçak geçebildiğinden tek bir cevap hesaplamak mümkün değildir. Sorunun böyle bir formülasyonunun yanlışlığını kanıtlamak için böyle bir problemi ele alalım.

Örnek 2

Üç boyutlu uzayda M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1) koordinatlarına sahip üç noktanın yerleştirildiği dikdörtgen bir koordinat sistemimiz var. , 1) . İçinden geçen düzlem için denklem yazmak gerekir.

Çözüm

İlk yöntemi kullanalım ve iki M 1 M 2 → ve M 1 M 3 → vektörünün koordinatlarını hesaplayarak başlayalım. Koordinatlarını hesaplayalım: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

Çapraz çarpım şuna eşit olacaktır:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = ben → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ben ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → olduğundan, vektörlerimiz eşdoğrusal olacaktır (bu kavramın tanımını unuttuysanız onlar hakkındaki makaleyi tekrar okuyun). Böylece M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) başlangıç ​​noktaları aynı doğru üzerindedir ve problemimizin sonsuz sayıda sayısı vardır. seçenekler cevap.

İkinci yöntemi kullanırsak şunu elde ederiz:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Ortaya çıkan eşitlikten ayrıca verilen M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) noktalarının aynı doğru üzerinde olduğu sonucu çıkar.

Bu soruna sonsuz sayıda seçenek arasından en az bir cevap bulmak istiyorsanız şu adımları izlemeniz gerekir:

1. M 1 M 2, M 1 M 3 veya M 2 M 3 çizgisinin denklemini yazın (gerekirse bu eylemle ilgili materyale bakın).

2. M 1 M 2 düz çizgisi üzerinde olmayan bir M 4 (x 4, y 4, z 4) noktasını alın.

3. Aynı doğru üzerinde yer almayan üç farklı M 1, M 2 ve M 4 noktasından geçen bir düzlemin denklemini yazınız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.