Yıldız haberleri
Bir üçgenin kenarları için Pisagor formülleri. Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yolları: örnekler, açıklamalar ve incelemeler
Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yolları
9. "A" sınıfı öğrencisi
Belediye eğitim kurumu orta öğretim okulu No. 8
Bilim danışmanı:
matematik öğretmeni,
Belediye eğitim kurumu orta öğretim okulu No. 8
Sanat. Novorozhdestvenskaya
Krasnodar bölgesi.
Sanat. Novorozhdestvenskaya
DİPNOT.
Pisagor teoremi haklı olarak geometri dersinde en önemli teorem olarak kabul edilir ve yakından ilgiyi hak eder. Birçok geometrik problemin çözümünün temeli, gelecekte teorik ve pratik geometri derslerinin çalışılmasının temelidir. Teorem, görünümü ve ispat yöntemleriyle ilgili zengin tarihsel materyalle çevrilidir. Geometrinin gelişim tarihini incelemek geometriye olan sevgiyi aşılar. Bu konu, bilişsel ilginin, genel kültürün ve yaratıcılığın gelişimini teşvik eder ve ayrıca araştırma becerilerini geliştirir.
Arama faaliyeti sonucunda, Pisagor teoreminin ispatına ilişkin bilgiyi yenilemek ve genelleştirmek olan çalışmanın amacına ulaşıldı. Bulmayı ve incelemeyi başardı çeşitli yollar Okul ders kitabı sayfalarının ötesine geçerek konuyla ilgili kanıtları ve bilgileri derinleştirin.
Toplanan materyal bizi ayrıca Pisagor teoreminin büyük bir geometri teoremi olduğuna ve muazzam teorik ve pratik öneme sahip olduğuna ikna ediyor.
Giriiş. Tarihsel referans 5 Ana bölüm 8
3. Sonuç 19
4. Kullanılan literatür 20
1. GİRİŞ. TARİHSEL REFERANS.
Gerçeğin özü bizim için sonsuza kadar olmasıdır.
Onun içgörüsünde en azından bir kez ışığı gördüğümüzde,
Ve bunca yıl sonra Pisagor teoremi
Bizim için de onun için de inkar edilemez, kusursuzdur.
Pisagor sevinmek için tanrılara bir yemin etti:
Sonsuz bilgeliğe dokunduğun için,
Ebedî olanlar sayesinde yüz boğa kesti;
Kurbanın ardından dualar ve övgüler sundu.
O zamandan beri boğalar kokuyu alınca itiyorlar,
Yolun insanları yeniden yeni bir gerçeğe götürdüğünü,
Öfkeyle kükrüyorlar, o yüzden dinlemenin bir anlamı yok,
Bu tür Pisagorlar onlara sonsuza dek korku aşıladı.
Yeni gerçeğe karşı koyamayacak kadar güçsüz olan boğalar,
Ne anlamda? - Sadece gözlerini kapatıyorsun, kükreyorsun, titriyorsun.
Pisagor'un teoremini nasıl kanıtladığı bilinmiyor. Kesin olan şey onun bunu Mısır biliminin güçlü etkisi altında keşfettiğidir. Pisagor teoreminin özel bir durumu - kenarları 3, 4 ve 5 olan bir üçgenin özellikleri - Pisagor'un doğumundan çok önce piramitlerin inşaatçıları tarafından biliniyordu ve kendisi de 20 yıldan fazla bir süre Mısırlı rahiplerle çalıştı. Ünlü teoremini kanıtlayan Pisagor'un tanrılara bir boğa ve diğer kaynaklara göre 100 boğa bile kurban ettiğini söyleyen bir efsane korunmuştur. Ancak bu durum Pisagor'un ahlaki ve dini görüşleri hakkındaki bilgilerle çelişmektedir. Edebi kaynaklarda onun "hayvanları beslemeyi, öldürmeyi bile yasakladığını, çünkü hayvanların da tıpkı bizim gibi ruhları olduğunu" okuyabilirsiniz. Pisagor sadece bal, ekmek, sebze ve ara sıra balık yerdi. Bütün bunlarla bağlantılı olarak şu girişin daha makul olduğu düşünülebilir: "... ve dik üçgende hipotenüsün bacaklara karşılık geldiğini keşfettiğinde bile, buğday hamurundan yapılmış bir boğayı kurban etti."
Pisagor teoreminin popülaritesi o kadar büyük ki, kanıtları kurguda bile bulunuyor, örneğin ünlü İngiliz yazar Huxley'in "Genç Arşimet" hikayesinde. Aynı Kanıt, ancak ikizkenar dik üçgenin özel durumu için Platon'un "Menon" diyaloğunda verilmiştir.
Peri masalı "Ev".
“Uçakların bile uçmadığı çok çok uzaklarda Geometri ülkesi var. Bu sıradışı ülkede muhteşem bir şehir vardı - Teorem şehri. Bir gün bu şehre geldim güzel kız Hipotenüs denir. Bir oda kiralamaya çalıştı ama nereye başvurursa başvursun reddedildi. Sonunda köhne eve yaklaştı ve kapıyı çaldı. Kendisine Dik Açı adını veren bir adam ona kapıyı açtı ve Hipotenüs'ü kendisiyle birlikte yaşamaya davet etti. Hipotenüs, Dik Açı ve Katetes adındaki iki küçük oğlunun yaşadığı evde kaldı. O zamandan beri Right Angle evinde hayat yeni bir şekilde değişti. Hipotenüs pencereye çiçekler, ön bahçeye ise kırmızı güller dikti. Ev dik üçgen şeklini aldı. Her iki bacak da Hipotenüsü gerçekten beğendi ve ondan sonsuza kadar evlerinde kalmasını istedi. Akşamları bu dost canlısı aile, aile masasında toplanır. Right Angle bazen çocuklarıyla saklambaç oynuyor. Çoğu zaman bakmak zorunda kalır ve Hipotenüs o kadar ustaca gizlenir ki bulunması çok zor olabilir. Bir gün oynarken Dik Açı ilginç bir özelliği fark etti: eğer bacakları bulmayı başarırsa, Hipotenüsü bulmak zor olmaz. Yani Dik Açı'nın bu modeli çok başarılı bir şekilde kullandığını söylemeliyim. Pisagor teoremi bu dik üçgenin özelliğine dayanmaktadır.”
(A. Okunev'in “Ders için teşekkürler çocuklar” kitabından).
Teoremin mizahi bir formülasyonu:
Eğer bize bir üçgen verilirse
Üstelik dik açıyla,
Bu hipotenüsün karesi
Her zaman kolayca bulabiliriz:
Bacakları kare haline getiriyoruz,
Kuvvetlerin toplamını buluyoruz -
Ve bu kadar basit bir şekilde
Sonucuna geleceğiz.
10. sınıfta cebir, analiz ve geometrinin başlangıcını incelerken, 8. sınıfta tartışılan Pisagor teoremini ispatlama yönteminin yanı sıra başka ispat yöntemlerinin de olduğuna ikna oldum. Bunları değerlendirmenize sunuyorum.
2. ANA BÖLÜM.
Teorem. Dik üçgende bir kare vardır
hipotenüs toplamına eşit bacak kareleri.
1 YÖNTEM.
Çokgenlerin alanlarının özelliklerini kullanarak hipotenüs ile dik üçgenin kenarları arasında dikkate değer bir ilişki kuracağız.
Kanıt.
AC ve hipotenüs İle(Şekil 1, a).
Hadi bunu kanıtlayalım c²=a²+b².
Kanıt.
Üçgeni kenarları olan bir kareye tamamlayalım a + bŞekil 2'de gösterildiği gibi. 1, b. Bu karenin S alanı (a + b)²'dir. Öte yandan bu kare her birinin alanı ½ olan dört eşit dik açılı üçgenden oluşuyor. ah ve kenarı olan bir kare İle, bu nedenle S = 4 * ½ ah + c² = 2ah + c².
Böylece,
(a + b)² = 2 ah + c²,
c²=a²+b².
Teorem kanıtlandı.
2 YÖNTEM.
“Benzer üçgenler” konusunu inceledikten sonra üçgenlerin benzerliğini Pisagor teoreminin ispatına uygulayabileceğinizi öğrendim. Yani, bir dik üçgenin kenarının, hipotenüsle ve dik kenar ile tepe noktasından çizilen yükseklik arasındaki hipotenüs parçasıyla orantılı ortalama olduğu ifadesini kullandım. dik açı.
Dik açısı C, CD – yüksekliği olan bir dik üçgen düşünün (Şekil 2). Hadi bunu kanıtlayalım AC² +KD² = AB²
.
Kanıt.
Bir dik üçgenin bacağına ilişkin ifadeye dayanarak:
AC = , SV = .
Ortaya çıkan eşitliklerin karesini alıp toplayalım:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), burada AD+DB=AB, o zaman
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Kanıt tamamlandı.
3 YÖNTEM.
Pisagor teoremini kanıtlamak için bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü tanımını uygulayabilirsiniz. Şekil 2'ye bakalım. 3.
Kanıt:
ABC, C dik açısına sahip bir dik üçgen olsun. C dik açısının tepe noktasından CD yüksekliğini çizelim.
Bir açının kosinüsünün tanımı gereği:
çünkü A = AD/AC = AC/AB. Dolayısıyla AB * AD = AC²
Aynı şekilde,
çünkü B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Dolayısıyla AB * BD = BC².
Ortaya çıkan eşitlikleri terim terim topladığımızda ve AD + DB = AB olduğunu not ettiğimizde şunu elde ederiz:
AC² + güneş² = AB (AD + DB) = AB²
Kanıt tamamlandı.
4 YÖNTEM.
"Dik üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler" konusunu inceledikten sonra Pisagor teoreminin başka bir şekilde kanıtlanabileceğini düşünüyorum.
Bacakları olan bir dik üçgen düşünün AC ve hipotenüs İle. (Şekil 4).
Hadi bunu kanıtlayalım c²=a²+b².
Kanıt.
günah B= yüksek kalite ; çünkü B= AC , daha sonra elde edilen eşitliklerin karesini alırsak şunu elde ederiz:
günah² B= in²/s²; cos² İÇİNDE= a²/c².
Bunları topladığımızda şunu elde ederiz:
günah² İÇİNDE+cos² B=в²/с²+ а²/с², burada sin² İÇİNDE+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с² dolayısıyla,
c²= a² + b².
Kanıt tamamlandı.
5 YÖNTEM.
Bu ispat, bacaklar üzerinde oluşturulan karelerin kesilmesine (Şekil 5) ve elde edilen parçaların hipotenüs üzerine kurulan bir kareye yerleştirilmesine dayanmaktadır.
6 YÖNTEM.
Yan taraftaki kanıt için Güneş inşa ediyoruz BCD ABC(Şekil 6). Benzer şekillerin alanlarının benzer doğrusal boyutların kareleri ile ilişkili olduğunu biliyoruz:
Birinci eşitlikten ikinciyi çıkarırsak,
c2 = a2 + b2.
Kanıt tamamlandı.
7 YÖNTEM.
Verilen(Şekil 7):
ABC,= 90° , güneş= a, AC=b, AB = c.
Kanıtlamak:c2 = a2 +b2.
Kanıt.
Bacağını bırak B A. Bölüme devam edelim kuzeydoğu puan başına İÇİNDE ve bir üçgen oluştur BMD böylece noktalar M Ve A düz çizginin bir tarafında uzanmak CD ve ek olarak, BD =B, bdm= 90°, DM= a ise BMD= ABC iki tarafta ve aralarındaki açı. A noktaları ve M segmentlerle bağlantı kurun AM. Sahibiz MD CD Ve AC. CD, bu düz olduğu anlamına gelir ACçizgiye paralel MDÇünkü MD< АС, sonra düz CD Ve sabah paralel değil. Öyleyse, AMDC- dikdörtgen yamuk.
ABC dik üçgenlerinde ve BMD 1 + 2 = 90° ve 3 + 4 = 90°, ancak = = olduğundan 3 + 2 = 90°; Daha sonra AVM=180° - 90° = 90°. Yamuk olduğu ortaya çıktı AMDCörtüşmeyen üç dik üçgene, ardından alan aksiyomlarına bölünür
(a+b)(a+b)
Eşitsizliğin tüm terimlerini 'ye bölerek şunu elde ederiz:
Ab + c2 + ab = (bir +B) , 2 ab+ c2 = a2+ 2aB+ b2,
c2 = a2 + b2.
Kanıt tamamlandı.
8 YÖNTEM.
Bu yöntem bir dik üçgenin hipotenüsüne ve bacaklarına dayanmaktadır. ABC. Karşılık gelen kareleri oluşturur ve hipotenüs üzerine inşa edilen karenin, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin toplamına eşit olduğunu kanıtlar (Şekil 8).
Kanıt.
1) DBC= Amazon Lojistik= 90°;
DBC+ ABC= Amazon Lojistik+ ABC, Araç, FBC = DBA.
Böylece, FBC=ABD(iki tarafta ve aralarındaki açı).
2) 
,
burada AL DE, BD ortak bir baz olduğundan, DL- toplam yükseklik.
3) 
FB bir vakıf olduğundan, AB- toplam yükseklik.
4) 
5) Benzer şekilde kanıtlanabilir ki 
6) Dönem terimlerini topladığımızda şunu elde ederiz:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Kanıt tamamlandı.
9 YÖNTEM.
Kanıt.
1) izin ver ABDE- tarafı dik üçgenin hipotenüsüne eşit olan bir kare (Şekil 9) ABC= s, BC = a, AC =B).
2) izin ver Bilmiyorum M.Ö. Ve DK = güneş, 1 + 2 = 90° (dik üçgenin dar açıları gibi), 3 + 2 = 90° (karenin açısı gibi), AB= BD(meydanın kenarları).
Araç, ABC= BDK(hipotenüs ve dar açıya göre).
3) İzin ver EL D.K., A.M. E.L. ABC = BDK = DEL = EAM (ayaklı) olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. A Ve B). Daha sonra KS= SANTİMETRE= M.L.= L.K.= A -B.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),İle2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Kanıt tamamlandı.
10 YÖNTEM.
Kanıt, şaka amaçlı "Pisagor pantolonu" olarak adlandırılan bir figür üzerinde yapılabilir (Şekil 10). Buradaki fikir, yan taraflara inşa edilen kareleri, birlikte hipotenüsün karesini oluşturan eşit üçgenlere dönüştürmektir.
ABC okla gösterildiği gibi hareket ettirin ve pozisyon alır KDN.Şeklin geri kalanı AKDCB karenin eşit alanı AKDC bu bir paralelkenar AKNB.
Paralelkenar modeli yapıldı AKNB. Paralelkenarı çalışmanın içeriğinde çizildiği gibi yeniden düzenliyoruz. Paralelkenarın eşit alanlı üçgene dönüşümünü göstermek için öğrencilerin önünde model üzerinde bir üçgen kesip aşağı doğru hareket ettiriyoruz. Böylece karenin alanı AKDC dikdörtgenin alanına eşit olduğu ortaya çıktı. Benzer şekilde karenin alanını dikdörtgenin alanına dönüştürüyoruz.
Bir kenarda oluşturulan kare için dönüşüm yapalım A(Şekil 11, a):
a) kare eşit bir paralelkenara dönüştürülür (Şekil 11.6):
b) paralelkenar çeyrek tur döner (Şek. 12):
c) paralelkenar eşit bir dikdörtgene dönüştürülür (Şekil 13): 11 YÖNTEM.
Kanıt:
PCL- düz (Şekil 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Kanıt bitti .
12 YÖNTEM.
Pirinç. Şekil 15, Pisagor teoreminin başka bir orijinal kanıtını göstermektedir.
Burada: C dik açısına sahip ABC üçgeni; çizgi segmenti B.F. dik kuzeydoğu ve buna eşit olan segment OLMAK dik AB ve buna eşit olan segment reklam dik AC ve ona eşit; puan F, Ç,D aynı hatta ait; dörtgenler ADFB Ve ASVE boyut olarak eşit çünkü ABF = ECB;üçgenler ADF Ve as boyut olarak eşit; her iki eşit dörtgenden paylaştıkları üçgeni çıkarın ABC, aldık
, c2 = a2 +
b2.
Kanıt tamamlandı.
13 YÖNTEM.
Belirli bir dik üçgenin alanı bir tarafta eşittir ,
diğeriyle birlikte, ,
3. SONUÇ.
Arama faaliyeti sonucunda, Pisagor teoreminin ispatına ilişkin bilgiyi yenilemek ve genelleştirmek olan çalışmanın amacına ulaşıldı. Okul ders kitabı sayfalarının ötesine geçerek, bunu kanıtlamanın ve konuyla ilgili bilgiyi derinleştirmenin çeşitli yollarını bulmak ve düşünmek mümkündü.
Topladığım materyaller beni Pisagor teoreminin büyük bir geometri teoremi olduğuna ve muazzam teorik ve pratik öneme sahip olduğuna daha da ikna etti. Sonuç olarak şunu söylemek isterim: Pisagor üçlü teoreminin popülaritesinin nedeni güzelliği, basitliği ve önemidir!
4. KULLANILAN LİTERATÜR.
1. Eğlenceli cebir. . Moskova "Bilim", 1978.
2. “Bir Eylül” gazetesinin haftalık eğitimsel ve metodolojik eki, 24/2001.
3. Geometri 7-9. ve benzeri.
4. Geometri 7-9. ve benzeri.
Pisagor teoremi
Benzer şekilde CBH üçgeni ABC üçgenine benzer. Gösterimi tanıtarak 
1. Dört eşit dik üçgeni şekilde gösterildiği gibi yerleştirin. 
Öklid ispatının fikri şu şekildedir: Hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısının, bacaklar üzerine kurulan karelerin yarım alanlarının toplamına eşit olduğunu ve ardından hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanlarının toplamına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. büyük ve iki küçük kare eşittir. Soldaki çizime bakalım. Üzerine bir dik üçgenin kenarlarına kareler inşa ettik ve C dik açısının tepesinden AB hipotenüsüne dik bir s ışını çizdik, hipotenüs üzerine inşa edilen ABIK karesini iki dikdörtgene böldü - BHJI ve HAKJ, sırasıyla. Bu dikdörtgenlerin alanlarının, karşılık gelen ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarına tam olarak eşit olduğu ortaya çıktı. DECA karesinin alanının AHJK dikdörtgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım.Bunu yapmak için yardımcı bir gözlem kullanacağız: Aynı yüksekliğe ve tabana sahip bir üçgenin alanı verilen dikdörtgen verilen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu, bir üçgenin alanını taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlamanın bir sonucudur. Bu gözlemden, ACK üçgeninin alanının AHK üçgeninin alanına (şekilde gösterilmemiştir) eşit olduğu ve bunun da AHJK dikdörtgen alanının yarısına eşit olduğu anlaşılmaktadır. Şimdi ACK üçgeninin alanının DECA karesinin alanının yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunun için yapılması gereken tek şey ACK ve BDA üçgenlerinin eşitliğini ispatlamaktır (çünkü yukarıdaki özelliğe göre BDA üçgeninin alanı karenin alanının yarısına eşittir). Bu eşitlik açıktır, üçgenlerin her iki tarafı ve aralarındaki açı eşittir. Yani - AB=AK,AD=AC - CAK ve BAD açılarının eşitliğini hareket yöntemiyle kanıtlamak kolaydır: CAK üçgenini saat yönünün tersine 90° döndürürüz, o zaman iki üçgenin karşılık gelen kenarlarının soru çakışacaktır (karenin tepe noktasındaki açının 90° olması nedeniyle). BCFG karesi ile BHJI dikdörtgeninin alanlarının eşitliğinin mantığı tamamen benzerdir. Böylece hipotenüs üzerine kurulan bir karenin alanının, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarından oluştuğunu kanıtladık. 
Simetriden görülebileceği gibi çizimi ele alalım, CI parçası ABHJ karesini iki özdeş parçaya böler (çünkü ABC ve JHI üçgenleri yapı bakımından eşittir). Saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönüş kullanarak gölgeli CAJI ve GDAB figürlerinin eşitliğini görüyoruz. Artık gölgelendirdiğimiz şeklin alanının, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının yarısı ile orijinal üçgenin alanının toplamına eşit olduğu açıktır. Öte yandan hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısı artı orijinal üçgenin alanına eşittir. Pisagor teoremi- Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri olan ilişkiyi kuran
bir dik üçgenin kenarları arasında.
Adını aldığı Yunan matematikçi Pisagor tarafından kanıtlandığına inanılıyor.
Pisagor teoreminin geometrik formülasyonu.
Teorem başlangıçta şu şekilde formüle edildi:
Bir dik üçgende hipotenüs üzerine kurulan karenin alanı karelerin alanlarının toplamına eşittir,
bacaklar üzerine inşa edilmiştir.
Pisagor teoreminin cebirsel formülasyonu.
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.
Yani üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu ifade ederek C ve bacakların uzunlukları A Ve B:
Her iki formülasyon Pisagor teoremi eşdeğerdir, ancak ikinci formülasyon daha basittir;
alan kavramını gerektirir. Yani ikinci ifade, alan hakkında hiçbir şey bilmeden doğrulanabilir ve
Bir dik üçgenin yalnızca kenarlarının uzunluklarını ölçerek.
Converse Pisagor teoremi.
Bir üçgenin bir kenarının karesi diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşitse, o zaman
sağ üçgen.
Veya başka bir deyişle:
Pozitif sayıların her üçlüsü için A, B Ve C, öyle ki
bacakları olan bir dik üçgen var A Ve B ve hipotenüs C.
İkizkenar üçgen için Pisagor teoremi.
Eşkenar üçgen için Pisagor teoremi.
Pisagor teoreminin kanıtları.
Şu anda bilimsel literatürde bu teoremin 367 ispatı kayıtlıdır. Muhtemelen teorem
Pisagor bu kadar etkileyici sayıda kanıta sahip olan tek teoremdir. Böyle bir çeşitlilik
yalnızca teoremin geometri açısından temel önemi ile açıklanabilir.
Elbette kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunlardan en ünlüsü:
kanıt alan yöntemi, aksiyomatik Ve egzotik kanıtlar(Örneğin,
kullanarak diferansiyel denklemler).
1. Benzer üçgenler kullanılarak Pisagor teoreminin kanıtı.
Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı oluşturulan kanıtların en basitidir
doğrudan aksiyomlardan. Özellikle şeklin alanı kavramını kullanmaz.
İzin vermek ABC dik açılı bir dik üçgen var C. Yüksekliği buradan çizelim C ve belirtmek
onun temeli H.
Üçgen ACHüçgene benzer ABİki köşede C. Aynı şekilde üçgen CBH benzer ABC.
Gösterimi tanıtarak:
şunu elde ederiz:
,
hangisine karşılık gelir -
Katlanmış A 2 ve B 2, şunu elde ederiz:
veya kanıtlanması gereken şey buydu.
2. Pisagor teoreminin alan yöntemini kullanarak ispatı.
Aşağıdaki ispatlar, görünürdeki basitliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değil. Hepsi
Kanıtları Pisagor teoreminin kanıtından daha karmaşık olan alan özelliklerini kullanın.
- Eştamamlayıcılık yoluyla kanıt.
Dört eşit dikdörtgen düzenleyelim
şekilde gösterildiği gibi üçgen
sağda.
Kenarları olan dörtgen C- kare,
iki dar açının toplamı 90° olduğundan
açılmamış açı - 180°.
Bir yandan tüm şeklin alanı eşittir,
kenarlı bir karenin alanı ( a+b) ve diğer taraftan dört üçgenin alanlarının toplamı ve
Q.E.D.
3. Pisagor teoreminin sonsuz küçük yöntemle kanıtı.
Şekilde gösterilen çizime bakıldığında ve
yan değişimi izliyorumA, yapabiliriz
sonsuz için aşağıdaki ilişkiyi yazın
küçük yan artışlarİle Ve A(benzerlik kullanarak
üçgenler):
Değişken ayırma yöntemini kullanarak şunları buluruz:
Her iki tarafta da artış olması durumunda hipotenüsteki değişimin daha genel bir ifadesi:
Bu denklemin integrali alınarak ve başlangıç koşulları kullanılarak şunu elde ederiz:
Böylece istenilen cevaba ulaşıyoruz:
Görülmesi kolay olduğu gibi, son formüldeki ikinci dereceden bağımlılık doğrusallık nedeniyle ortaya çıkar.
Üçgenin kenarları ile artışlar arasındaki orantılılık, toplam ise bağımsız olarak ilişkilidir
farklı bacakların arttırılmasından elde edilen katkılar.
Bacaklardan birinde artış yaşanmadığını varsayarsak daha basit bir kanıt elde edilebilir.
(V bu durumda bacak B). Daha sonra entegrasyon sabiti için şunu elde ederiz:
Her okul çocuğu, hipotenüsün karesinin her zaman her birinin karesi olan bacakların toplamına eşit olduğunu bilir. Bu ifadeye Pisagor teoremi denir. Genel olarak trigonometri ve matematiğin en ünlü teoremlerinden biridir. Şimdi ona daha yakından bakalım.
Dik üçgen kavramı
Hipotenüsün karesinin dik kenarların karelerinin toplamına eşit olduğu Pisagor teoremini incelemeye geçmeden önce, teoremin doğru olduğu dik üçgen kavramını ve özelliklerini göz önünde bulundurmalıyız.
Üçgen, üç açısı ve üç kenarı olan düz bir şekildir. Adından da anlaşılacağı gibi dik üçgenin bir dik açısı vardır, yani bu açı 90 o'ya eşittir.
İtibaren Genel Özellikler tüm üçgenler için bu şeklin üç açısının toplamının 180 o olduğu bilinmektedir, bu da bir dik üçgen için dik açı olmayan iki açının toplamının 180 o - 90 o = 90 o olduğu anlamına gelir. Son gerçek Bu, bir dik üçgende dik olmayan herhangi bir açının her zaman 90 dereceden küçük olacağı anlamına gelir.
Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. Diğer iki kenar üçgenin bacaklarıdır, birbirine eşit olabileceği gibi farklı da olabilir. Trigonometriden biliyoruz ki, bir üçgenin bir kenarının karşısındaki açı ne kadar büyükse o kenarın uzunluğu da o kadar büyük olur. Bu, bir dik üçgende hipotenüsün (90 derecelik açının karşısında yer alır) her zaman herhangi bir dik kenardan (açıların karşısında yer alan) daha büyük olacağı anlamına gelir.< 90 o).
Pisagor teoreminin matematiksel gösterimi
Bu teorem, hipotenüsün karesinin, her biri önceden karesi alınmış olan bacakların toplamına eşit olduğunu belirtir. Bu formülasyonu matematiksel olarak yazmak için, a, b ve c kenarlarının sırasıyla iki bacak ve hipotenüs olduğu bir dik üçgeni düşünün. Bu durumda hipotenüsün karesi bacakların karelerinin toplamına eşit olacak şekilde formüle edilen teorem şu formülle temsil edilebilir: c 2 = a 2 + b 2. Buradan pratik için önemli olan diğer formüller elde edilebilir: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) ve c = √(a 2 + b 2).
Dik açılı bir eşkenar üçgen durumunda, yani a = b durumunda, hipotenüsün karesi, her birinin karesi olan bacakların toplamına eşit olan formülasyonun matematiksel olarak şu şekilde yazılacağını unutmayın: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, bu da şu eşitliği ifade eder: c = a√2.
Tarihsel referans
Hipotenüsün karesinin, her birinin karesi olan bacakların toplamına eşit olduğunu söyleyen Pisagor teoremi, ünlü teoriden çok önce biliniyordu. Yunan filozofu. Birçok papirüs Antik Mısır Babillilerin kil tabletlerinin yanı sıra, bu halkların dik üçgenin kenarlarının belirtilen özelliğini kullandıklarını doğrulamaktadır. Örneğin ilklerden biri Mısır piramitleri Yapımı M.Ö. 26. yüzyıla (Pisagor'un yaşamından 2000 yıl önce) kadar uzanan Kefren Piramidi, 3x4x5 dik üçgenin en boy oranı bilgisine dayanılarak inşa edilmiştir.
O halde neden teorem şimdi Yunanca adını taşıyor? Cevap basit: Pisagor bu teoremi matematiksel olarak kanıtlayan ilk kişidir. Hayatta kalan Babil ve Mısır yazılı kaynakları yalnızca kullanımından söz ediyor, ancak herhangi bir matematiksel kanıt sunmuyor.
Pisagor'un, bir dik üçgende hipotenüse 90 derecelik açıyla yüksekliği çizerek elde ettiği benzer üçgenlerin özelliklerini kullanarak söz konusu teoremi kanıtladığı düşünülmektedir.
Pisagor teoremini kullanmanın bir örneği
Hadi düşünelim Basit görev: L yüksekliğinin H = 3 metre olduğu ve merdivenin dayandığı duvardan ayağına kadar olan mesafenin P = 2,5 metre olduğu biliniyorsa, eğimli merdivenin uzunluğunun belirlenmesi gerekir.
Bu durumda H ve P bacaklardır ve L hipotenüstür. Hipotenüsün uzunluğu bacakların karelerinin toplamına eşit olduğundan şunu elde ederiz: L 2 = H 2 + P 2, dolayısıyla L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2) = 3,905 metre veya 3 m ve 90,5 cm
Pisagor teoremi: Bacaklara dayanan karelerin alanlarının toplamı ( A Ve B), hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanına eşit ( C).
Geometrik formülasyon:
Teorem başlangıçta şu şekilde formüle edildi:
Cebirsel formülasyon:
Yani üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu ifade ederek C ve bacakların uzunlukları A Ve B :
A 2 + B 2 = C 2Teoremin her iki formülasyonu da eşdeğerdir, ancak ikinci formülasyon daha basittir; alan kavramını gerektirmez. Yani ikinci ifade, alan hakkında hiçbir şey bilmeden ve bir dik üçgenin yalnızca kenar uzunlukları ölçülerek doğrulanabilir.
Converse Pisagor teoremi:
Kanıt
Şu anda bilimsel literatürde bu teoremin 367 ispatı kayıtlıdır. Muhtemelen Pisagor teoremi bu kadar etkileyici sayıda kanıta sahip olan tek teoremdir. Bu çeşitlilik ancak teoremin geometri açısından temel önemi ile açıklanabilir.
Elbette kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunlardan en ünlüsü: alan yöntemiyle ispatlar, aksiyomatik ve egzotik ispatlar (örneğin diferansiyel denklemler kullanılarak).
Benzer üçgenler sayesinde
Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı, doğrudan aksiyomlardan oluşturulan kanıtların en basitidir. Özellikle şeklin alanı kavramını kullanmaz.
İzin vermek ABC dik açılı bir dik üçgen var C. Yüksekliği buradan çizelim C ve tabanını şu şekilde belirtin: H. Üçgen ACHüçgene benzer ABC iki köşede. Aynı şekilde üçgen CBH benzer ABC. Gösterimi tanıtarak
aldık
Eşdeğer nedir
Bunu topladığımızda şunu elde ederiz
Alan yöntemini kullanan ispatlar
Aşağıdaki ispatlar, görünürdeki basitliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değil. Hepsi, ispatı Pisagor teoreminin ispatından daha karmaşık olan alan özelliklerini kullanır.
Eştamamlama yoluyla kanıt
- Şekil 1'de gösterildiği gibi dört eşit dik üçgeni düzenleyelim.
- Kenarları olan dörtgen Cİki dar açının toplamı 90° ve düz açının toplamı 180° olduğundan karedir.
- Tüm şeklin alanı, bir yandan kenarlı bir karenin alanına (a + b), diğer yandan dört üçgenin ve iki iç alanın toplamına eşittir. kareler.
Q.E.D.
Denklik yoluyla ispatlar
Permütasyon kullanarak zarif kanıt
Böyle bir kanıtın bir örneği sağdaki çizimde gösterilmektedir; burada hipotenüs üzerine inşa edilmiş bir kare, yanlarda inşa edilmiş iki kareye yeniden düzenlenmektedir.
Öklid'in kanıtı
Öklid'in kanıtı için çizim
Öklid'in kanıtı için örnek
Öklid ispatının fikri şu şekildedir: Hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısının, bacaklar üzerine kurulan karelerin yarım alanlarının toplamına eşit olduğunu ve ardından hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanlarının toplamına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. büyük ve iki küçük kare eşittir.
Soldaki çizime bakalım. Üzerine bir dik üçgenin kenarlarına kareler inşa ettik ve C dik açısının tepesinden AB hipotenüsüne dik bir s ışını çizdik, hipotenüs üzerine inşa edilen ABIK karesini iki dikdörtgene böldü - BHJI ve HAKJ, sırasıyla. Bu dikdörtgenlerin alanlarının, karşılık gelen ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarına tam olarak eşit olduğu ortaya çıktı.
DECA karesinin alanının AHJK dikdörtgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım.Bunu yapmak için yardımcı bir gözlem kullanacağız: Aynı yüksekliğe ve tabana sahip bir üçgenin alanı verilen dikdörtgen verilen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu, bir üçgenin alanını taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlamanın bir sonucudur. Bu gözlemden, ACK üçgeninin alanının AHK üçgeninin alanına (şekilde gösterilmemiştir) eşit olduğu ve bunun da AHJK dikdörtgen alanının yarısına eşit olduğu anlaşılmaktadır.
Şimdi ACK üçgeninin alanının DECA karesinin alanının yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunun için yapılması gereken tek şey ACK ve BDA üçgenlerinin eşitliğini ispatlamaktır (çünkü yukarıdaki özelliğe göre BDA üçgeninin alanı karenin alanının yarısına eşittir). Bu eşitlik açıktır, üçgenlerin her iki tarafı ve aralarındaki açı eşittir. Yani - AB=AK,AD=AC - CAK ve BAD açılarının eşitliğini hareket yöntemiyle kanıtlamak kolaydır: CAK üçgenini saat yönünün tersine 90° döndürürüz, o zaman iki üçgenin karşılık gelen kenarlarının soru çakışacaktır (karenin tepe noktasındaki açının 90° olması nedeniyle).
BCFG karesi ile BHJI dikdörtgeninin alanlarının eşitliğinin mantığı tamamen benzerdir.
Böylece hipotenüs üzerine kurulan bir karenin alanının, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarından oluştuğunu kanıtladık. Bu kanıtın arkasındaki fikir yukarıdaki animasyonla daha da açıklanmaktadır.
Leonardo da Vinci'nin Kanıtı
Leonardo da Vinci'nin Kanıtı
İspatın ana unsurları simetri ve harekettir.
Simetriden görülebileceği gibi çizimi bir parça olarak düşünelim. CBEN kareyi keser ABHJ iki özdeş parçaya bölünür (çünkü üçgenler ABC Ve JHBEN inşaatta eşittir). Saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönüş kullanarak gölgeli şekillerin eşitliğini görüyoruz CAJBEN Ve GDAB . Artık gölgelendirdiğimiz şeklin alanının, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının yarısı ile orijinal üçgenin alanının toplamına eşit olduğu açıktır. Öte yandan hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısı artı orijinal üçgenin alanına eşittir. İspatın son adımı okuyucuya bırakılmıştır.
Sonsuz küçük yöntemle kanıt
Diferansiyel denklemleri kullanan aşağıdaki ispat, genellikle 20. yüzyılın ilk yarısında yaşayan ünlü İngiliz matematikçi Hardy'ye atfedilir.
Şekilde gösterilen çizime bakıp taraftaki değişimi gözlemlemek A sonsuz küçük yan artışlar için aşağıdaki ilişkiyi yazabiliriz İle Ve A(üçgen benzerliğini kullanarak):
Sonsuz küçük yöntemle kanıt
Değişkenlerin ayrılması yöntemini kullanarak şunu buluruz:
Her iki tarafta da artış olması durumunda hipotenüsteki değişimin daha genel bir ifadesi
Bu denklemin integralini alarak ve başlangıç koşullarını kullanarak şunu elde ederiz:
C 2 = A 2 + B 2 + sabit.Böylece istenilen cevaba ulaşıyoruz
C 2 = A 2 + B 2 .Görülmesi kolay olduğu gibi, son formüldeki ikinci dereceden bağımlılık, üçgenin kenarları ve artışlar arasındaki doğrusal orantılılık nedeniyle ortaya çıkarken, toplam, farklı bacakların artışlarından gelen bağımsız katkılarla ilişkilendirilir.
Bacaklardan birinde bir artış yaşanmadığını varsayarsak (bu durumda bacakta) daha basit bir kanıt elde edilebilir. B). Daha sonra entegrasyon sabiti için şunu elde ederiz:
Varyasyonlar ve genellemeler
- Kenarlarda kareler yerine benzer şekiller oluşturursak, Pisagor teoreminin aşağıdaki genellemesi doğrudur: Bir dik üçgende, kenarlara inşa edilen benzer şekillerin alanlarının toplamı, hipotenüs üzerine inşa edilen şeklin alanına eşittir.Özellikle:
- Bacaklar üzerine kurulan düzgün üçgenlerin alanlarının toplamı, hipotenüs üzerine kurulan düzgün üçgenin alanına eşittir.
- Bacaklar üzerine inşa edilen yarım dairelerin alanlarının toplamı (çapta olduğu gibi), hipotenüs üzerine inşa edilen yarım dairenin alanına eşittir. Bu örnek, Hipokrat lunulası adı verilen, iki daire yayıyla sınırlanan şekillerin özelliklerini kanıtlamak için kullanılır.
Hikaye
Chu-pei MÖ 500–200. Solda şu yazı var: Yükseklik ve taban uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesidir.
Eski Çin kitabı Chu-pei, kenarları 3, 4 ve 5 olan bir Pisagor üçgeninden bahseder: Aynı kitap, Başara'nın Hindu geometrisinin çizimlerinden biriyle örtüşen bir çizim sunar.
Cantor (en büyük Alman matematik tarihçisi), 3² + 4² = 5² eşitliğinin Mısırlılar tarafından MÖ 2300 civarında zaten bilindiğine inanıyor. örneğin, Kral I. Amenemhat döneminde (Berlin Müzesi papirüsü 6619'a göre). Cantor'a göre harpedonapteler veya "halat çekiciler" kenarları 3, 4 ve 5 olan dik üçgenleri kullanarak dik açılar inşa ediyorlardı.
Yapım yöntemlerini çoğaltmak çok kolaydır. 12 m uzunluğunda bir ip alalım ve ona 3 m mesafede renkli bir şerit bağlayalım. bir uçtan ve diğer uçtan 4 metre. Dik açı, 3 ila 4 metre uzunluğundaki kenarlar arasında çevrelenecektir. Harpedonaptiyanlara, örneğin tüm marangozların kullandığı ahşap bir kare kullanıldığında, inşaat yöntemlerinin gereksiz hale geldiği yönünde itiraz edilebilir. Gerçekten de, böyle bir aletin bulunduğu Mısır çizimleri, örneğin bir marangoz atölyesini gösteren çizimler bilinmektedir.
Babilliler arasında Pisagor teoremi hakkında biraz daha fazla şey biliniyor. Hammurabi dönemine, yani M.Ö. 2000 yılına kadar uzanan bir metinde. örneğin, bir dik üçgenin hipotenüsünün yaklaşık bir hesaplaması verilmiştir. Bundan Mezopotamya'da hesaplamalar yapabildikleri sonucuna varabiliriz. dik üçgenler, İle en azından bazı durumlarda. Van der Waerden (Hollandalı matematikçi), bir yandan Mısır ve Babil matematiği hakkındaki mevcut bilgi düzeyine, diğer yandan da Yunan kaynaklarının eleştirel bir çalışmasına dayanarak şu sonuca vardı:
Edebiyat
Rusça
- Skopets Z.A. Geometrik minyatürler. M., 1990
- Elensky Shch. Pisagor'un izinde. M., 1961
- Van der Waerden B.L. Uyanış Bilimi. Eski Mısır, Babil ve Yunanistan'ın matematiği. M., 1959
- Glazer G.I. Okulda matematiğin tarihi. M., 1982
- W. Litzman, “Pisagor Teoremi” M., 1960.
- Pisagor teoremi hakkında çok sayıda kanıt içeren bir site, V. Litzmann'ın kitabından alınan materyal, çok sayıda çizim ayrı grafik dosyaları şeklinde sunulmaktadır.
- Pisagor teoremi ve Pisagor üçe katlamalar D. V. Anosov'un kitabından bölüm “Matematiğe bir bakış ve ondan bir şeyler”
- Pisagor teoremi ve bunu kanıtlama yöntemleri hakkında G. Glaser, Rusya Eğitim Akademisi akademisyeni, Moskova
İngilizce
- WolframMathWorld'de Pisagor Teoremi
- Cut-The-Knot, Pisagor teoremi bölümü, yaklaşık 70 kanıt ve kapsamlı ek bilgi (İngilizce)
Wikimedia Vakfı. 2010.
