Paralel düzlemler arasındaki açı eşittir. Düzlemler arasındaki açı. Düzlemlerin dikliği

Makale düzlemler arasındaki açının bulunmasından bahsediyor. Tanımı verdikten sonra grafiksel bir örnek verelim ve düşünelim. ayrıntılı yöntem Koordinat yöntemiyle bulma. Kesişen düzlemler için normal vektörlerin koordinatlarını içeren bir formül elde ederiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materyalde daha önce uzaydaki düzlem ve çizgiyle ilgili makalelerde incelenen veri ve kavramlar kullanılacak. Öncelikle kesişen iki düzlem arasındaki açının belirlenmesinde belirli bir yaklaşıma sahip olmamızı sağlayan akıl yürütmeye geçmek gerekir.

Kesişen iki düzlem γ 1 ve γ 2 verilmiştir. Bunların kesişimi c adını alacaktır. χ düzleminin yapısı bu düzlemlerin kesişimiyle ilişkilidir. χ düzlemi M noktasından c düz bir çizgisi olarak geçiyor. γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin kesişimi χ düzlemi kullanılarak yapılacaktır. γ 1 ve χ'yi kesen çizgiyi a doğrusu, γ 2 ve χ'yi kesen çizgiyi b doğrusu olarak alıyoruz. A ve b doğrularının kesişiminin M noktasını verdiğini görüyoruz.

M noktasının konumu, kesişen a ve b çizgileri arasındaki açıyı etkilemez ve M noktası, içinden χ düzleminin geçtiği c doğrusu üzerinde bulunur.

c doğrusuna dik ve χ düzleminden farklı bir χ 1 düzleminin inşa edilmesi gerekmektedir. γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin χ 1 yardımıyla kesişmesi, a 1 ve b 1 çizgilerinin gösterimini alacaktır.

χ ve χ 1'i oluştururken, a ve b çizgilerinin c çizgisine dik olduğu, ardından a 1, b 1'in c çizgisine dik olduğu görülebilir. γ 1 düzleminde c düz çizgisine dik olan a ve a 1 düz çizgilerini bulduğumuzda, bunların paralel olduğu düşünülebilir. Aynı şekilde b ve b 1'in γ 2 düzlemindeki c düz çizgisine dik konumu da paralelliklerini gösterir. Bu, χ 1 düzlemini χ'ye paralel olarak aktarmanın gerekli olduğu anlamına gelir; burada çakışan iki düz çizgi a ve a 1, b ve b 1 elde ederiz. Kesişen a ve b 1 çizgileri arasındaki açının, kesişen a ve b çizgilerinin açısına eşit olduğunu buluyoruz.

Aşağıdaki şekle bakalım.

Bu önerme, kesişen a ve b doğruları arasında M noktasının yani kesişme noktasının konumuna bağlı olmayan bir açının bulunmasıyla kanıtlanmaktadır. Bu çizgiler γ 1 ve γ 2 düzlemlerinde bulunur. Aslında ortaya çıkan açı, kesişen iki düzlem arasındaki açı olarak düşünülebilir.

Mevcut kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2 arasındaki açıyı belirlemeye geçelim.

Tanım 1

Kesişen iki düzlem arasındaki açı γ 1 ve γ 2γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin c çizgisine dik χ düzlemiyle kesiştiği a ve b çizgilerinin kesişmesiyle oluşan açı denir.

Aşağıdaki şekli düşünün.

Karar başka bir biçimde de sunulabilir. γ 1 ve γ 2 düzlemleri kesiştiğinde, burada c, kesiştikleri çizgidir, içinden c çizgisine dik olan ve γ 1 ve γ 2 düzlemlerinde yer alan a ve b çizgilerini çizen bir M noktası işaretleyin, ardından aralarındaki açı a ve b çizgileri düzlemler arasındaki açı olacaktır. Pratikte bu, düzlemler arasındaki açının oluşturulması için geçerlidir.

Geçiş sırasında 90 dereceden daha az bir açı oluşur, yani derece ölçüsü açı bu tip bir aralıkta geçerlidir (0, 90).Aynı zamanda kesişme noktasında dik açı oluşuyorsa bu düzlemlere dik denir.Paralel düzlemler arasındaki açı sıfıra eşit kabul edilir.

Kesişen düzlemler arasındaki açıyı bulmanın genel yolu ek yapılar yapmaktır. Bu, onu doğru bir şekilde belirlemeye yardımcı olur ve bu, bir üçgenin, sinüslerin ve bir açının kosinüslerinin eşitlik veya benzerlik işaretleri kullanılarak yapılabilir.

C 2 bloğundaki Birleşik Devlet Sınavı problemlerinden bir örnek kullanarak problemleri çözmeyi düşünelim.

örnek 1

Dikdörtgen paralel yüzlü bir A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 verildiğinde, burada A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, E noktası A A 1 kenarını 4: 3 oranında böler. A B C ve B E D 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

Netlik sağlamak için bir çizim yapmak gerekir. Bunu anlıyoruz

Düzlemler arasındaki açıyla çalışmayı daha uygun hale getirmek için görsel bir temsil gereklidir.

A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesişme noktasının oluştuğu düz çizgiyi belirleriz. B noktası ortak noktadır. Başka bir ortak kesişme noktası bulunmalıdır. Aynı A D D 1 düzleminde bulunan D A ve D 1 E düz çizgilerini ele alalım. Konumları paralellik göstermez; ortak bir kesişme noktasına sahip oldukları anlamına gelir.

Bununla birlikte, D A düz çizgisi A B C düzleminde ve D 1 E B E D 1 düzleminde bulunur. Bundan düz çizgilerin olduğunu anlıyoruz D bir Ve D 1 E A B C ve B E D 1 düzlemleri için ortak olan ortak bir kesişme noktasına sahiptir. Çizgilerin kesişme noktasını belirtir D bir ve D 1 E F harfi Bundan B F'nin A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesiştiği düz çizgi olduğunu elde ederiz.

Aşağıdaki şekle bakalım.

Cevabı elde etmek için, A B C ve B E D 1 düzlemlerinde bulunan ve B F çizgisi üzerinde bulunan ve ona dik olan bir noktadan geçen düz çizgiler çizmek gerekir. Daha sonra bu düz çizgiler arasında ortaya çıkan açı, A B C ve B E D 1 düzlemleri arasında istenen açı olarak kabul edilir.

Buradan A noktasının, E noktasının A B C düzlemine izdüşümü olduğunu görebiliriz. M noktasında dik açıyla B F çizgisiyle kesişen düz bir çizgi çizmek gerekir. A M düz çizgisinin izdüşümü olduğu görülebilir. A M ⊥ B F dik açıları hakkındaki teoreme dayalı olarak, E M düz çizgisinin A B C düzlemi üzerine. Aşağıdaki resmi düşünün.

∠ A M E, A B C ve B E D 1 düzlemlerinin oluşturduğu istenen açıdır. Ortaya çıkan A E M üçgeninden açının sinüsünü, kosinüsünü veya tanjantını ve ardından yalnızca iki kenarı biliniyorsa açının kendisini bulabiliriz. Koşullu olarak, A E uzunluğunun şu şekilde bulunmasını sağlarız: A A 1 düz çizgisi E noktasına 4: 3 oranında bölünür, bu da düz çizginin toplam uzunluğunun 7 parça olduğu anlamına gelir, bu durumda A E = 4 parça olur. A M'yi buluyoruz.

Göz önünde bulundurulması gerekiyor dik üçgen A B F. A M yüksekliğinde bir dik açımız var. A B = 2 koşulundan, D D 1 F ve A E F üçgenlerinin benzerliğinden A F uzunluğunu bulabiliriz. Şunu elde ederiz: A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Pisagor teoremini kullanarak A B F üçgeninin B F kenarının uzunluğunu bulmak gerekir. B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 olduğunu anlıyoruz. A M tarafının uzunluğu A B F üçgeninin alanı boyunca bulunur. Alanın hem S A B C = 1 2 · A B · A F hem de S A B C = 1 2 · B F · A M'ye eşit olabileceğini biliyoruz.

Şunu elde ederiz: A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Daha sonra A E M üçgeninin açısının tanjantının değerini bulabiliriz. Şunu elde ederiz:

t g ∠ Bir M E = Bir E Bir M = 4 4 5 5 = 5

A B C ve B E D 1 düzlemlerinin kesişmesiyle elde edilen istenen açı a r c t g 5'e eşittir, daha sonra basitleştirmeyle a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 elde ederiz.

Cevap: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulmanın bazı durumları kullanılarak belirtilir. koordinat uçağı O x y z ve koordinat yöntemi. Hadi daha yakından bakalım.

Kesişen düzlemler γ1 ve γ2 arasındaki açıyı bulmanın gerekli olduğu bir problem verilirse, istenen açıyı α olarak belirtiriz.

O zaman verilen koordinat sistemi, kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2'nin normal vektörlerinin koordinatlarına sahip olduğumuzu gösterir. Daha sonra n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z'nin γ 1 düzleminin normal vektörü olduğunu ve n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - olduğunu belirtiriz. düzlem γ 2. Bu düzlemler arasında bulunan açının vektörlerin koordinatlarına göre ayrıntılı olarak belirlenmesini ele alalım.

γ 1 ve γ 2 düzlemlerinin c harfiyle kesiştiği düz çizgiyi belirtmek gerekir. c doğrusu üzerinde c'ye dik bir χ düzlemi çizdiğimiz bir M noktası var. a ve b çizgileri boyunca uzanan χ düzlemi, M noktasında γ 1 ve γ 2 düzlemleriyle kesişir. tanımdan, kesişen düzlemler γ 1 ve γ 2 arasındaki açının, sırasıyla bu düzlemlere ait kesişen a ve b çizgilerinin açısına eşit olduğu anlaşılmaktadır.

χ düzleminde M noktasından itibaren normal vektörleri çizeriz ve bunları n 1 → ve n 2 → olarak gösteririz. Vektör n 1 → a çizgisine dik bir çizgi üzerinde bulunur ve vektör n 2 → b çizgisine dik bir çizgi üzerinde bulunur. Buradan, verilen χ düzleminin a doğrusu için n 1 →'ye eşit ve b doğrusu için n 2 →'ye eşit normal bir vektöre sahip olduğunu elde ederiz. Aşağıdaki şekli düşünün.

Buradan vektörlerin koordinatlarını kullanarak kesişen doğruların açısının sinüsünü hesaplayabileceğimiz bir formül elde ederiz. A ve b düz çizgileri arasındaki açının kosinüsünün, kesişen γ 1 ve γ 2 düzlemleri arasındaki kosinüsle aynı olduğunu bulduk; cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 formülünden türetildi x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, burada n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) ve n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) temsil edilen düzlemlerin vektörlerinin koordinatlarıdır.

Kesişen çizgiler arasındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

α = a r c çünkü n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Örnek 2

Koşula göre paralel yüzlü A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 verilmiştir. , burada A B = 2, AD = 3, A A 1 = 7 ve E noktası A A 1 4:3 kenarını böler. A B C ve B E D 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm

Durumdan, kenarlarının ikili olarak dik olduğu açıktır. Bu, köşesi C noktasında ve koordinat eksenleri O x, O y, O z olan bir O x y z koordinat sisteminin tanıtılmasının gerekli olduğu anlamına gelir. Yönü uygun taraflara ayarlamak gerekir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Kesişen düzlemler ABC Ve YATAK 1α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n formülüyle bulunabilecek bir açı oluşturur 2 y 2 + n 2 z 2, burada n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) ve n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) normal vektörlerdir. bu uçaklar. Koordinatları belirlemek gerekiyor. Şekilden O x y koordinat ekseninin A B C düzlemiyle çakıştığını görüyoruz, bu, normal vektör k → koordinatlarının n 1 → = k → = (0, 0, 1) değerine eşit olduğu anlamına gelir.

B E D 1 düzleminin normal vektörü, B E → ve B D 1 → vektör ürünü olarak alınır; burada koordinatları, B, E, D 1 uç noktalarının koordinatları tarafından belirlenir. sorun.

Bunu B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7) olarak elde ederiz. A E E A 1 = 4 3 olduğundan, A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 noktalarının koordinatlarından E 2, 3, 4'ü buluruz. B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · ben → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Ark kosinüs boyunca açıyı hesaplamak için bulunan koordinatları formülde değiştirmek gerekir. Aldık

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Koordinat yöntemi de benzer bir sonuç verir.

Cevap: a r c cos 6 6 .

Son problem, düzlemlerin bilinen mevcut denklemleri ile kesişen düzlemler arasındaki açının bulunması amacıyla ele alınmıştır.

Örnek 3

O x y z koordinat sisteminde tanımlanan ve 2 x - 4 y + z + 1 = 0 ve 3 y - z denklemleriyle verilen, açının sinüsünü, kosinüsünü ve kesişen iki çizginin oluşturduğu açının değerini hesaplayın. -1 = 0.

Çözüm

Bir konuyu incelerken genel denklem A x + B y + C z + D = 0 formundaki düz çizgi, A, B, C'nin normal vektörün koordinatlarına eşit katsayılar olduğunu ortaya çıkardı. Bu, n 1 → = 2, - 4, 1 ve n 2 → = 0, 3, - 1'in verilen doğruların normal vektörleri olduğu anlamına gelir.

Kesişen düzlemlerin istenen açısını hesaplamak için düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatlarını formülde değiştirmek gerekir. O zaman bunu anlıyoruz

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Buradan açının kosinüsünün cos α = 13 210 formunu aldığını görüyoruz. O halde kesişen çizgilerin açısı geniş değildir. Değiştirme trigonometrik özdeşlik, açının sinüs değerinin ifadeye eşit olduğunu buluyoruz. Bunu hesaplayıp bulalım

günah α = 1 - çünkü 2 α = 1 - 13,210 = 41,210

Cevap: sin α = 41,210, çünkü α = 13,210, α = a r c cos 13,210 = a r c sin 41,210.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

İki uçağı düşünün R 1 ve R 2 normal vektörlerle N 1 ve N 2. Düzlemler arasındaki açı φ R 1 ve R 2, ψ = \(\widehat((n_1; n_2))\) açısıyla şu şekilde ifade edilir: if ψ < 90°, bu durumda φ = ψ (Şekil 202, a); ψ > 90° ise ψ = 180° - ψ (Şekil 202.6).

Her durumda eşitliğin doğru olduğu açıktır

çünkü φ = |cos ψ|

Sıfır olmayan vektörler arasındaki açının kosinüsü, bu vektörlerin skaler çarpımının uzunluklarının çarpımına bölünmesine eşit olduğundan, şunu elde ederiz:

$$ cos\psi=cos\widehat((n_1; n_2))=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) $$

ve dolayısıyla düzlemler arasındaki φ açısının kosinüsü R 1 ve R 2 formülü kullanılarak hesaplanabilir

$$ cos\phi=\frac(n_1\cdot n_2)(|n_1|\cdot |n_2|) (1)$$

Düzlemler genel denklemlerle verilirse

1 X+ B1 sen+ C1 z+ D 1 = 0 ve A 2 X+ B2 sen+ C2 z+ D 2 = 0,

o zaman normal vektörleri için vektörleri alabiliriz N 1 = (A 1; B 1; C 1) ve N 2 = (A2; B2; C2).

Formül (1)'in sağ tarafını koordinat cinsinden yazarak şunu elde ederiz:

$$ cos\phi=\frac(|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|)(\sqrt((A_1)^2+(B_1)^2+(C_1)^2)\sqrt((A_2) ^2+(B_2)^2+(C_2)^2)) $$

Görev 1. Düzlemler arasındaki açıyı hesaplayın

X - √2 sen + z- 2 = 0 ve x+ √2 sen - z + 13 = 0.

İÇİNDE bu durumda A 1 .=1, B 1 = - √2, C 1 = 1, A 2 =1, B 2 = √2, C 2 = - 1.

Formül (2)'den şunu elde ederiz:

$$ cos\phi=\frac(|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|)(\sqrt(1^2+(-\sqrt2)^2+1^2)\sqrt (1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2))=\frac(1)(2) $$

Dolayısıyla bu düzlemler arasındaki açı 60°'dir.

Normal vektörlere sahip düzlemler N 1 ve N 2:

a) ancak ve ancak vektörler paralel ise N 1 ve N 2'si eşdoğrusaldır;

b) dik ancak ve ancak vektörler N 1 ve N 2 diktir, yani. N 1 N 2 = 0.

Buradan gerekli olanı elde ederiz ve yeterli koşullar Genel denklemlerle verilen iki düzlemin paralelliği ve dikliği.

Uçağa

1 X+ B1 sen+ C1 z+ D 1 = 0 ve A 2 X+ B2 sen+ C2 z+ D 2 = 0

paralel olsaydı, eşitliğin sağlanması gerekli ve yeterliydi

$$ \frac(A_1)(A_2)=\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2) \;\; (3)$$

A 2 , B 2 , C 2 katsayılarından herhangi biri sıfıra eşitse, karşılık gelen A 1 , B 1 , C 1 katsayısının da sıfıra eşit olduğu varsayılır.

Bu iki eşitlikten en az birinin olmaması, düzlemlerin paralel olmadığı, yani kesiştiği anlamına gelir.

Düzlemlerin dikliği için

1 X+ B1 sen+ C1 z+ D 1 = 0 ve A 2 X+ B2 sen+ C2 z+ D 2 = 0

eşitliğin sağlanması gerekli ve yeterlidir

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)

Görev 2. Aşağıdaki uçak çiftleri arasında:

2X + 5en + 7z- 1 = 0 ve 3 X - 4en + 2z = 0,

en - 3z+ 1 = 0 ve 2 en - 6z + 5 = 0,

4X + 2en - 4z+ 1 = 0 ve 2 X + en + 2z + 3 = 0

paralel veya dik olduğunu gösterir. İlk uçak çifti için

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

yani diklik koşulu sağlanır. Düzlemler diktir.

İkinci uçak çifti için

\(\frac(B_1)(B_2)=\frac(C_1)(C_2)\), çünkü \(\frac(1)(2)=\frac(-3)(-6)\)

ve A 1 ve A 2 katsayıları sıfıra eşittir. Bu nedenle ikinci çiftin düzlemleri paraleldir. Üçüncü çift için

\(\frac(B_1)(B_2)\neq\frac(C_1)(C_2)\), çünkü \(\frac(2)(1)\neq\frac(-4)(2)\)

ve A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, yani üçüncü çiftin düzlemleri ne paralel ne de diktir.

İki farklı düzlem arasındaki açının büyüklüğü, düzlemlerin herhangi bir göreceli konumu için belirlenebilir.

Düzlemlerin paralel olması önemsiz bir durum. Daha sonra aralarındaki açının sıfıra eşit olduğu kabul edilir.

Düzlemlerin kesişmesi önemsiz olmayan bir durum. Bu dava daha fazla tartışmanın konusudur. İlk önce konsepte ihtiyacımız var Dihedral açı.

9.1 Dihedral açı

Dihedral açı, ortak bir düz çizgiye sahip iki yarım düzlemdir (buna dihedral açının kenarı denir). İncirde. Şekil 50, yarım düzlemlerin oluşturduğu bir dihedral açıyı göstermektedir ve; bu dihedral açının kenarı, bu yarım düzlemlerde ortak olan düz çizgi a'dır.

Pirinç. 50. Dihedral açı

Dihedral açı tek kelimeyle derece veya radyan cinsinden ölçülebilir; dihedral açının açısal değerini girin. Bu şu şekilde yapılır.

Yarım düzlemlerin oluşturduğu dihedral açının kenarında keyfi bir M noktası alıyoruz. Bu yarım düzlemlerde bulunan ve kenara dik olan sırasıyla MA ve MB ışınlarını çizelim (Şekil 51).

Pirinç. 51. Doğrusal dihedral açı

Ortaya çıkan AMB açısı dihedral açının doğrusal açısıdır. " = \AMB açısı tam olarak dihedral açımızın açısal değeridir.

Tanım. Bir dihedral açının açısal büyüklüğü, belirli bir dihedral açının doğrusal açısının büyüklüğüdür.

Dihedral açının tüm doğrusal açıları birbirine eşittir (sonuçta birbirlerinden paralel kayma ile elde edilirler). Bu yüzden bu tanım doğru: "değeri şunlara bağlı değildir: özel seçim dihedral açının kenarındaki M noktaları.

9.2 Düzlemler arasındaki açının belirlenmesi

İki düzlem kesiştiğinde dört dihedral açı elde edilir. Hepsi aynı boyuta sahipse (her biri 90), o zaman düzlemlere dik denir; Bu durumda düzlemler arasındaki açı 90 olur.

Tüm dihedral açılar aynı değilse (yani, iki dar ve iki geniş açı varsa), o zaman düzlemler arasındaki açı, dar dihedral açının değeridir (Şekil 52).

Pirinç. 52. Düzlemler arasındaki açı

9.3 Problem çözme örnekleri

Şimdi üç soruna bakalım. Birincisi basit, ikincisi ve üçüncüsü matematikte Birleşik Devlet Sınavında yaklaşık olarak C2 düzeyindedir.

Problem 1. Düzgün bir tetrahedronun iki yüzü arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. ABCD olsun düzenli tetrahedron. Karşılık gelen yüzlerin ortancalarını AM ve DM'yi ve ayrıca tetrahedronun DH yüksekliğini çizelim (Şekil 53).

Pirinç. 53. Görev 1'e

Ortancalar olan AM ve DM aynı zamanda eşkenar yüksekliklerdir ABC üçgenleri ve DBC. Dolayısıyla " = \AMD açısı, ABC ve DBC yüzlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bunu DHM üçgeninden buluruz:

Cevap: arccos 1 3 .

Problem 2. Düzenli dörtgen piramit SABCD'de (köşe noktası S olan), yan kenar tabanın kenarına eşittir. K noktası SA kenarının ortasıdır. Düzlemler arasındaki açıyı bulun

Çözüm. BC çizgisi AD'ye paraleldir ve dolayısıyla ADS düzlemine paraleldir. Bu nedenle, KBC düzlemi ADS düzlemini BC'ye paralel KL düz çizgisi boyunca keser (Şekil 54).

Pirinç. 54. Görev 2'ye

Bu durumda KL aynı zamanda AD doğrusuna da paralel olacaktır; bu nedenle KL orta hat ADS üçgeni ve L noktası DS'nin orta noktasıdır.

Piramidin yüksekliğini SO bulalım. N, DO'nun ortası olsun. O halde LN, DOS üçgeninin orta çizgisidir ve dolayısıyla LN k SO'dur. Bu, LN'nin ABC düzlemine dik olduğu anlamına gelir.

N noktasından dik NM'yi BC düz çizgisine indiriyoruz. Düz çizgi NM, eğimli LM'nin ABC düzlemine izdüşümü olacaktır. Üç dik teoremden LM'nin aynı zamanda BC'ye de dik olduğu sonucu çıkar.

Dolayısıyla " = \LMN açısı, KBC ve ABC yarım düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bu açıyı LMN dik üçgeninde arayacağız.

Piramidin kenarı a'ya eşit olsun. İlk önce piramidin yüksekliğini buluyoruz:

Çözüm. A1 K ve AB doğrularının kesişme noktası L olsun. Daha sonra A1 KC düzlemi ABC düzlemini CL düz çizgisi boyunca keser (Şekil 55).

A C

Pirinç. 55. Sorun 3'e

A1 B1 K ve KBL üçgenlerinin kenar ve dar açıları eşittir. Dolayısıyla diğer bacaklar eşittir: A1 B1 = BL.

ACL üçgenini düşünün. İçinde BA = BC = BL. CBL açısı 120'dir; dolayısıyla \BCL = 30 . Ayrıca \BCA = 60 . Bu nedenle \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Peki LC? AC. Ancak AC çizgisi, A1 C çizgisinin ABC düzlemine izdüşümü olarak hizmet eder. Üç dik teoreminden şu sonuca varırız: LC ? A1 C.

Dolayısıyla A1 CA açısı, A1 KC ve ABC yarım düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısıdır. Bu istenilen açıdır. A1 AC ikizkenar dik üçgeninden bunun 45'e eşit olduğunu görüyoruz.

Açı hesaplanırken koordinat yöntemini kullanma

uçaklar arasında

En genel yöntem açıyı bulmadüzlemler arasında - koordinat yöntemi (bazen vektörler kullanılarak). Diğerleri denendiğinde kullanılabilir. Ancak koordinat yönteminin hemen uygulanmasının anlamlı olduğu durumlar vardır; yani koordinat sistemi doğal olarak problem ifadesinde belirtilen çokyüzlüyle ilişkili olduğunda; Koordinat eksenlerinin belirlenebildiği üç çift dikey çizgi açıkça görülmektedir. Bu tür çokyüzlüler dikdörtgen bir paralel uçlu ve düzenli bir dörtgen piramittir. İlk durumda, koordinat sistemi bir tepe noktasından uzanan kenarlarla (Şekil 1), ikincisinde - tabanın yüksekliği ve köşegenleriyle (Şekil 2) belirlenebilir.

Koordinat yönteminin uygulaması aşağıdaki gibidir.

Uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemi tanıtıldı. Onu "doğal" bir şekilde tanıtmanız - onu ortak bir noktaya sahip üçlü dik çizgilere "bağlamanız" tavsiye edilir.

Aralarında açı aranan düzlemlerin her biri için bir denklem hazırlanır. Böyle bir denklem oluşturmanın en kolay yolu, düzlemdeki aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktanın koordinatlarını bilmektir.

Düzlemin denklemi Genel görünüm benziyor Ax + By + Cz + D = 0.

Katsayılar A, B, Bu denklemdeki C'ler düzlemin normal vektörünün (düzleme dik vektör) koordinatlarıdır. Daha sonra aralarında açı aranan düzlemlere normal vektörlerin uzunluklarını ve skaler çarpımını belirleriz. Bu vektörlerin koordinatları ise(A 1, B 1; C 1) ve (A 2; B 2; C 2 ), ardından istenilen açıformülle hesaplanır

Yorum. Vektörler arasındaki açının (düzlemler arasındaki açının aksine) geniş olabileceği ve olası belirsizliği önlemek için formülün sağ tarafındaki payın bir modül içerdiği unutulmamalıdır.

Bu problemi koordinat yöntemini kullanarak çözün.

Problem 1. Verilen ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 küpü. K noktası AD kenarının ortası, L noktası CD kenarının ortasıdır. Neden açıya eşit A düzlemleri arasında 1 KL ve A 1 AD?

Çözüm . Koordinat sisteminin orijini bu noktada olsun A, ve koordinat eksenleri ışınlar boyunca gider AD, AB, AA 1 (Şek. 3). Küpün kenarını 2'ye eşit alalım (ikiye bölmek uygundur). Daha sonra noktaların koordinatları A 1 , K, L şu şekildedir: A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

Pirinç. 3

Düzlemin denklemini yazalım 1K L Genel olarak. Daha sonra bu düzlemin seçilen noktalarının koordinatlarını onun yerine koyarız. Dört bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem elde ediyoruz:

Katsayıları ifade edelim A, B, C'den D'ye ve denkleme ulaşıyoruz

Her iki parçayı da bölmek D (neden D = 0?) ve -2 ile çarparak düzlemin denklemini elde ederiz A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. O zaman bu düzlemin normal vektörünün koordinatları vardır (2: -2; 1). Düzlem denklemi A 1 AD: y=0, ve buna normal vektörün koordinatları, örneğin (0; 2: 0). Düzlemler arasındaki açının kosinüsü için yukarıdaki formüle göre şunu elde ederiz:

\(\blacktriangleright\) Dihedral açı, iki yarım düzlem ve bunların ortak sınırı olan bir düz çizgi \(a\) tarafından oluşturulan bir açıdır.

\(\blacktriangleright\) \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemleri arasındaki açıyı bulmak için doğrusal açıyı bulmanız gerekir (ve baharatlı veya dümdüz) \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açı :

Adım 1: Let \(\xi\cap\pi=a\) (düzlemlerin kesişme çizgisi). \(\xi\) düzleminde rastgele bir \(F\) noktası işaretliyoruz ve \(FA\perp a\) çiziyoruz;

Adım 2: \(FG\perp \pi\) komutunu uygulayın;

Adım 3: TTP'ye göre (\(FG\) – dikey, \(FA\) – eğik, \(AG\) – projeksiyon) elimizde: \(AG\perp a\) ;

Adım 4: \(\angle FAG\) açısına \(\xi\) ve \(\pi\) düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının doğrusal açısı denir.

\(AG\) üçgeninin dik açılı olduğuna dikkat edin.
Ayrıca bu şekilde oluşturulan \(AFG\) düzleminin hem \(\xi\) hem de \(\pi\) düzlemlerine dik olduğuna dikkat edin. Bu nedenle farklı söyleyebiliriz: düzlemler arasındaki açı\(\xi\) ve \(\pi\), ve \(\xi\'ye dik bir düzlem oluşturan \(c\in \xi\) ve \(b\in\pi\) ile kesişen iki çizgi arasındaki açıdır. ) ve \(\pi\) .

Görev 1 #2875

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Tüm kenarları eşit olan ve tabanı kare olan dörtgen bir piramit verilmiştir. \(6\cos \alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), bitişik yan yüzleri arasındaki açıdır.

\(SABCD\) kenarları \(a\)'ya eşit olan belirli bir piramit (\(S\) bir tepe noktasıdır) olsun. Sonuç olarak, tüm yan yüzler eşit eşkenar üçgenlerdir. \(SAD\) ve \(SCD\) yüzleri arasındaki açıyı bulalım.

Hadi \(CH\perp SD\) yapalım. Çünkü \(\üçgen SAD=\üçgen SCD\) ise \(AH\) aynı zamanda \(\triangle SAD\)'nin yüksekliği olacaktır. Bu nedenle, tanım gereği, \(\angle AHC=\alpha\), \(SAD\) ve \(SCD\) yüzleri arasındaki dihedral açının doğrusal açısıdır.
Taban kare olduğundan \(AC=a\sqrt2\) olur. Ayrıca \(CH=AH\)'ın kenar tarafı \(a\) olan bir eşkenar üçgenin yüksekliği olduğuna ve dolayısıyla \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) olduğuna dikkat edin.
Daha sonra \(\triangle AHC\)'den kosinüs teoremine göre: \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Cevap: -2

Görev 2 #2876

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri, kosinüsü \(0,2\)'ye eşit olan bir açıda kesişir. \(\pi_2\) ve \(\pi_3\) düzlemleri dik açılarda kesişir ve \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemlerinin kesişme çizgisi, düzlemler \(\pi_2\) ve \(\ pi_3\) . \(\pi_1\) ve \(\pi_3\) düzlemleri arasındaki açının sinüsünü bulun.

\(\pi_1\) ve \(\pi_2\)'nin kesişme çizgisi düz bir çizgi \(a\), \(\pi_2\) ve \(\pi_3\)'in kesişme çizgisi bir düz çizgi olsun \(b\) çizgisi ve \(\pi_3\) ile \(\pi_1\) kesişim çizgisi – \(c\) düz çizgisi. \(a\parallel b\) olduğundan, \(c\parallel a\parallel b\) (teorik referans “Uzayda Geometri” \(\rightarrow\) “Sterometriye giriş bölümündeki teoreme göre, paralellik”).

\(A\in a, B\in b\) noktalarını \(AB\perp a, AB\perp b\) olacak şekilde işaretleyelim (bu, \(a\parallel b\) olduğundan mümkündür). \(C\in c\)'yi \(BC\perp c\) olacak şekilde işaretleyelim, dolayısıyla \(BC\perp b\) . Sonra \(AC\perp c\) ve \(AC\perp a\) .
Aslında, \(AB\perp b, BC\perp b\) olduğundan, \(b\), \(ABC\) düzlemine diktir. \(c\paralel a\paralel b\) olduğundan, \(a\) ve \(c\) çizgileri de \(ABC\) düzlemine ve dolayısıyla bu düzlemden herhangi bir çizgiye diktir, özellikle , \ (AC\) satırı.

Şunu takip ediyor \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\açı BCA=\açı (\pi_3, \pi_1)\). \(\ABC üçgeni\)'nin dikdörtgen olduğu ortaya çıkıyor, bu da şu anlama geliyor: \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

Cevap: 0,2

Görev 3 #2877

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir noktada kesişen \(a, b, c\) düz çizgileri verildiğinde ve bunlardan herhangi ikisi arasındaki açı \(60^\circ\) değerine eşittir. \(\cos^(-1)\alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(a\) ve \(c\) doğrularının oluşturduğu düzlem ile \( doğrularının oluşturduğu düzlem arasındaki açıdır. b\ ) ve \(c\) . Cevabınızı derece cinsinden verin.

Doğruların \(O\) noktasında kesişmesine izin verin. Bunlardan herhangi ikisi arasındaki açı \(60^\circ\)'a eşit olduğundan, bu durumda üç düz çizginin tümü aynı düzlemde olamaz. \(a\) doğrusu üzerinde \(A\) noktasını işaretleyelim ve \(AB\perp b\) ve \(AC\perp c\) çizelim. Daha sonra \(\üçgen AOB=\üçgen AOC\) hipotenüs ve dar açı boyunca dikdörtgen şeklindedir. Bu nedenle, \(OB=OC\) ve \(AB=AC\) .
Hadi \(AH\perp (BOC)\) yapalım. Daha sonra teoreme göre yaklaşık üç dik \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . \(AB=AC\) olduğundan, o zaman \(\üçgen AHB=\üçgen AHC\) hipotenüs ve kenar boyunca dikdörtgen şeklindedir. Bu nedenle \(HB=HC\) . Bu, \(OH\)'nin \(BOC\) açısının açıortayı olduğu anlamına gelir (çünkü \(H\) noktası açının kenarlarından eşit uzaklıktadır).

Bu şekilde aynı zamanda \(a\) ve \(c\) doğrularının oluşturduğu düzlemin oluşturduğu dihedral açının ve \(b\) ve \(c\) doğrularının oluşturduğu düzlemin doğrusal açısını da oluşturduğumuza dikkat edin. \). Bu \(ACH\) açısıdır.

Bu açıyı bulalım. \(A\) noktasını keyfi olarak seçtiğimize göre \(OA=2\) olacak şekilde seçelim. Daha sonra dikdörtgen şeklinde \(\triangle AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]\(OH\) ​​​​bir açıortay olduğundan, \(\angle HOC=30^\circ\) , dolayısıyla dikdörtgen bir \(\triangle HOC\) içinde: \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Sonra dikdörtgen \(\üçgen ACH\)'den: \[\cos\açı \alpha=\cos\açı ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Cevap: 3

Görev 4 #2910

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri, üzerinde \(M\) ve \(N\) noktalarının bulunduğu \(l\) düz çizgisi boyunca kesişir. \(MA\) ve \(MB\) parçaları \(l\) düz çizgisine diktir ve sırasıyla \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemlerinde yer alır ve \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . \(3\cos\alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(\pi_1\) ve \(\pi_2\) düzlemleri arasındaki açıdır.

\(AMN\) üçgeni dik açılıdır, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), dolayısıyla \ \(BMN\) üçgeni dik açılıdır, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), bundan \(AMB\) üçgeni için kosinüs teoremini yazıyoruz: \ Daha sonra \ Düzlemler arasındaki \(\alpha\) açısı olduğundan keskin köşe ve \(\angle AMB\) geniş çıktı, ardından \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Daha sonra \

Cevap: 1.25

Görev 5 #2911

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) bir paralelyüzdür, \(ABCD\) kenarı \(a\) olan bir karedir, \(M\) noktası \(A_1\) noktasından \ düzlemine bırakılan dikmenin tabanıdır ((ABCD)\) ayrıca \(M\), \(ABCD\) karesinin köşegenlerinin kesişme noktasıdır. biliniyor ki \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). \((ABCD)\) ve \((AA_1B_1B)\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Şekilde gösterildiği gibi \(MN\)'yi \(AB\)'ye dik olarak oluşturalım.

\(ABCD\) kenarı \(a\) ve \(MN\perp AB\) ve \(BC\perp AB\) olan bir kare olduğundan, \(MN\parallel BC\) . \(M\) karenin köşegenlerinin kesişme noktası olduğundan, \(M\) \(AC\'nin ortasıdır), dolayısıyla \(MN\) orta çizgidir ve \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\), \(A_1N\)'nin \((ABCD)\) düzlemine izdüşümüdür ve \(MN\) \(AB\'ye diktir), o halde üç dik teoremine göre, \ (A_1N\), \(AB \)'ye diktir ve \((ABCD)\) ve \((AA_1B_1B)\) düzlemleri arasındaki açı \(\angle A_1NM\)'dir.
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

Cevap: 60

Görev 6 #1854

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir karede \(ABCD\) : \(O\) – köşegenlerin kesişme noktası; \(S\) – karenin düzleminde yer almıyor, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ve \(AB = 10\) ise \(ASD\) ve \(ABC\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Dik üçgenler \(\triangle SAO\) ve \(\triangle SDO\) iki tarafta eşittir ve aralarındaki açı (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , çünkü \(O\) – karenin köşegenlerinin kesişme noktası, \(SO\) – ortak kenar) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\ ) – ikizkenar. \(K\) noktası \(AD\'nin ortasıdır), bu durumda \(SK\) üçgendeki yüksekliktir \(\triangle ASD\) ve \(OK\) üçgendeki yüksekliktir \( AOD\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOK\) \(ASD\) ve \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) düzlemlerine diktir – istenene eşit doğrusal açı Dihedral açı.

\(\triangle SKO\) içinde: \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) – ikizkenar dik üçgen \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Cevap: 45

Görev 7 #1855

Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor

Bir karede \(ABCD\) : \(O\) – köşegenlerin kesişme noktası; \(S\) – karenin düzleminde yer almıyor, \(SO \perp ABC\) . \(SO = 5\) ve \(AB = 10\) ise \(ASD\) ve \(BSC\) düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

\(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) ve \(\triangle SOC\) dik üçgenlerinin iki tarafı eşittir ve aralarındaki açı (\(SO \perp ABC) \) \(\Sağ ok\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), çünkü \(O\) – karenin köşegenlerinin kesişme noktası, \(SO\) – ortak kenar) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \triangle ASD\) ve \(\triangle BSC\) ikizkenardır. \(K\) noktası \(AD\'nin ortasıdır), bu durumda \(SK\) üçgendeki yüksekliktir \(\triangle ASD\) ve \(OK\) üçgendeki yüksekliktir \( AOD\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOK\), \(ASD\) düzlemine diktir. \(L\) noktası \(BC\'nin ortasıdır), o zaman \(SL\) \(\üçgen BSC\) üçgenindeki yüksekliktir ve \(OL\) üçgendeki yüksekliktir \( BOC\) \(\ Rightarrow\) düzlemi \(SOL\) (aka \(SOK\)) düzlemi \(BSC\) düzlemine diktir. Böylece, \(\angle KSL\)'nin istenilen dihedral açıya eşit bir doğrusal açı olduğunu elde ederiz.

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Rightarrow\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilen eşit ikizkenar üçgenlerdeki yükseklikler: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Şu fark edilebilir ki \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) bir üçgen için \(\üçgen KSL\) ters Pisagor teoremi şunu tutar: \(\Rightarrow\) \(\üçgen KSL\) – dik üçgen \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90 ^\ circ\) .

Cevap: 90

Öğrencileri matematikte Birleşik Devlet Sınavına girmeye hazırlamak, kural olarak, düzlemler arasındaki açıyı belirlemenize izin verenler de dahil olmak üzere temel formüllerin tekrarlanmasıyla başlar. Geometrinin bu bölümünün yeterince ayrıntılı olarak kapsanmasına rağmen Okul müfredatı, birçok mezunun temel materyalleri tekrarlaması gerekir. Düzlemler arasındaki açının nasıl bulunacağını anlayan lise öğrencileri, bir sorunu çözerken doğru cevabı hızlı bir şekilde hesaplayabilecek ve birleşik devlet sınavını geçme sonuçlarında iyi puanlar alacaklarına güvenebilecekler.

Ana nüanslar

Dihedral açının nasıl bulunacağı sorusunun zorluğa neden olmamasını sağlamak için, Birleşik Durum Sınavı görevleriyle başa çıkmanıza yardımcı olacak bir çözüm algoritması izlemenizi öneririz.

Öncelikle düzlemlerin kesiştiği düz çizgiyi belirlemeniz gerekir.

Daha sonra bu doğru üzerinde bir nokta seçip ona iki dik çizgi çizmeniz gerekiyor.

Bir sonraki adım bulmaktır trigonometrik fonksiyon dik açıların oluşturduğu dihedral açı. Bunu yapmanın en uygun yolu, açının da bir parçası olduğu ortaya çıkan üçgenin yardımıyladır.

Cevap açının değeri veya trigonometrik fonksiyonu olacaktır.

Shkolkovo ile sınav testine hazırlanmak başarınızın anahtarıdır

Bir gün önce dersler sırasında Birleşik Devlet Sınavını geçmek Pek çok okul çocuğu, 2 düzlem arasındaki açıyı hesaplamalarına olanak tanıyan tanım ve formül bulma sorunuyla karşı karşıyadır. Bir okul ders kitabı her zaman tam olarak ihtiyaç duyulduğunda elinizin altında olmayabilir. Ve gerekli formülleri ve bunların örneklerini bulmak için doğru uygulamaİnternetten uçaklar arasındaki açıyı bulmak da dahil olmak üzere bazen çok fazla zaman harcamanız gerekebilir.

Shkolkovo matematik portalı devlet sınavına hazırlanmak için yeni bir yaklaşım sunuyor. Web sitemizdeki dersler, öğrencilerin kendileri için en zor bölümleri belirlemelerine ve bilgi boşluklarını doldurmalarına yardımcı olacaktır.

Her şeyi hazırladık ve açıkça sunduk gerekli malzeme. Temel tanımlar ve formüller “Teorik Bilgiler” bölümünde sunulmaktadır.

Materyali daha iyi anlamak için uygun alıştırmaları yapmanızı da öneririz. Geniş seçimÖrneğin, değişen derecelerde karmaşıklığa sahip görevler “Katalog” bölümünde sunulmaktadır. Tüm görevler, doğru cevabı bulmak için ayrıntılı bir algoritma içerir. Web sitesindeki egzersizlerin listesi sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.

Öğrenciler, iki düzlem arasındaki açıyı bulmayı gerektiren problemleri çözme alıştırmaları yaparken, istedikleri görevi çevrimiçi olarak "Favoriler" olarak kaydetme olanağına sahip oluyorlar. Bu sayede ona geri dönebilecekler Gerekli miktar zaman ayırın ve kararının ilerleyişini onlarla tartışın okul öğretmeni veya bir öğretmen.