Sorokina Vika

Bizonyítjuk a háromszög felezőjének tulajdonságait, és megvizsgáljuk az elmélet alkalmazását a problémamegoldásra

Letöltés:

Előnézet:

Oktyabrsky Kerületi Önkormányzati Autonóm Szaratov Közigazgatásának Oktatási Bizottsága oktatási intézmény 3. számú líceum névadója. A. S. Puskin.

Önkormányzati tudományos-gyakorlati

konferencia

"Első lépések"

Tantárgy: Felező és tulajdonságai.

A munkát készítette: 8. osztályos tanuló

Sorokina ViktóriaTudományos témavezető: Legfelsőbb kategóriás matematikatanárPopova Nina Fedorovna.

Szaratov 2011

1. Címlap……………………………………………………………1
2. Tartalom…………………………………………………………2
3. Bevezetés és célkitűzések……………………………………………………………… ..3
4. A szögfelező tulajdonságainak figyelembevétele

• A pontok harmadik helye…………………………………….3
• 1. Tétel…………………………………………………………………………………………………………
• 2. tétel…………………………………………………………………
• A háromszög felezőjének fő tulajdonsága:

1. 3. tétel…………………………………………………………………………………………………
2. 1. feladat………………………………………………………………….7
3. 2. feladat……………………………………………………………….8
4. 3. feladat……………………………………………………………………………………….
5. 4. feladat………………………………………………………………….9-10.

• 4. Tétel………………………………………………………… 10-11
• Képletek a felezőszög meghatározásához:

1. 5. Tétel………………………………………………………………….11
2. 6. tétel……………………………………………………………….11
3. 7. Tétel……………………………………………………………….12
4. 5. feladat……………………………………………………………12-13.

• 8. tétel………………………………………………………………….13
• 6. feladat……………………………………………………………….14
• 7. feladat…………………………………………………………………14-15
• Bíborirányok meghatározása a felezőszög segítségével………………15

1. Következtetés és következtetés………………………………………………………..15
2. Irodalomjegyzék………………………………………..16

Felezővonal

Geometria órán a hasonló háromszögek témájának tanulmányozása során a felező és a szemközti oldalak viszonyáról szóló tétel problémájára bukkantam. Úgy tűnik, lehet valami érdekes a felező témában, de ez a téma érdekelt, és mélyebben akartam tanulmányozni. Hiszen a felező nagyon gazdag benne csodálatos tulajdonságok, segít megoldani a különböző problémákat.

Ennek a témának a mérlegelésekor észre fogod venni, hogy a geometriai tankönyvek nagyon keveset mondanak a felezők tulajdonságairól, de a vizsgákon ezek ismeretében sokkal könnyebben és gyorsabban lehet feladatokat megoldani. Ezenkívül a GIA és az egységes állami vizsgák letételéhez a modern hallgatóknak saját maguknak kell tanulniuk Kiegészítő anyagok Nak nek iskolai tananyag. Ezért úgy döntöttem, hogy részletesebben tanulmányozom a felező témát.

Felező (latin bi- „kettős” és sectio A szög „vágása”) olyan sugár, amelynek kezdete a szög csúcsánál van, és a szöget két egyenlő részre osztja. A szög felezője (kiterjesztésével együtt) a szög oldalaitól (vagy azok kiterjesztéseitől) egyenlő távolságra lévő pontok helye)

A pontok harmadik helye

F ábra a valamilyen tulajdonsággal rendelkező pontok (ponthalmaz) lokusza A, ha két feltétel teljesül:

1. attól, hogy a pont az ábrához tartozik F, ebből következik, hogy rendelkezik a tulajdonnal A;
2. attól, hogy a pont kielégíti a tulajdont A, ebből következik, hogy az ábrához tartozik F.

A geometriában figyelembe vett pontok első helye egy kör, i.e. egy fix ponttól egyenlő távolságra lévő pontok helye. A második a szakasz merőleges felezője, azaz. a szakasz végétől egyenlő távolságra lévő pontok helye. És végül a harmadik - felező - a szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontok geometriai helye

1. tétel:

A felezőpontok egyenlő távolságra vannak az oldalaktólő a sarok.

Bizonyíték:

Legyen R - felezőpont A. Hagyjuk a lényegetP merőlegesek RV és PC a sarok oldalán. Ekkor VAR = SAR hipotenúza és hegyesszög szerint. Ezért PB = PC

2. tétel:

Ha a P pont egyenlő távolságra van az A szög oldalaitól, akkor a felezőn fekszik.

Bizonyítás: PB = PC => VAR = CAP => BAP = CAP => AR egy felező.

Az alapvető geometriai tények közé tartozik az a tétel, hogy a felező osztja a szemközti oldalt a szemközti oldalakhoz képest. Ez a tény sokáig az árnyékban maradt, de mindenhol vannak olyan problémák, amelyeket sokkal könnyebb megoldani, ha ismeri ezt és más tényeket a felezőről. Érdeklődni kezdtem, és úgy döntöttem, hogy tovább vizsgálom a felező ág ezen tulajdonságát.

A háromszög szögfelezőjének fő tulajdonsága

3. tétel. A háromszög szemközti oldalát egy felező osztja a szomszédos oldalakhoz képest.

1. bizonyíték:

Adott: AL - az ABC háromszög felezőpontja

Bizonyít:

Bizonyítás: Legyen F az egyenes metszéspontja AL és a ponton áthaladó egyenes BAN BEN párhuzamos az AC oldallal.

Ekkor BFA = FAC = BAF. Ezért a B.A.F. egyenlő szárú és AB = BF. A háromszögek hasonlóságából Van ALC és FLB

hányados

ahol

Bizonyíték 2

Legyen F az a pont, amelyet az AL egyenes és a C ponton az AB alappal párhuzamosan átmenő egyenes metsz. Ezután megismételheti az érvelést.

Bizonyíték 3

Legyen K és M az egyenesre ejtett merőlegesek alapja AL a B és C pontból illetőleg. Az ABL és az ACL háromszögek két szögben hasonlóak. Ezért
. A BKL és a CML hasonlóságából pedig megvan

Innen

4. bizonyítás

Használjuk a terület módszert. Számítsuk ki a háromszögek területét! ABL és ACL két út.

Innen.

Bizonyíték 5

Legyen α= YOU,φ= BLA. A szinusztétel alapján az ABL háromszögben

És az ACL háromszögben.

Mert ,

Ekkor az egyenlőség mindkét oldalát a másik megfelelő részeire osztva kapjuk.

1. probléma

Adott: Az ABC háromszögben VC a felező, BC = 2, KS = 1,

Megoldás:

2. probléma

Adott:

Határozza meg a 24-es és 18-as szárú derékszögű háromszög hegyesszögeinek felezőit

Megoldás:

Legyen AC oldal = 18, BC oldal = 24,

A.M. - háromszög felezőpontja.

A Pitagorasz-tétel segítségével azt találjuk,

hogy AB = 30.

Azóta

Hasonlóképpen keressük meg a második felezőt.

Válasz:

3. probléma

BAN BEN derékszögű háromszög ABC B derékszöggel szögfelező A keresztezi az oldalt IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.

A D pontban. Ismeretes, hogy BD = 4, DC = 6.

Keresse meg a háromszög területét ADC

Megoldás:

Egy háromszög felezőjének tulajdonsága alapján

Jelöljük AB = 2 x, AC = 3 x. tétel szerint

Pythagoras BC 2 + AB 2 = AC 2 vagy 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Innentől azt találjuk x = Ekkor AB = , S ABC=

Ennélfogva,

4. probléma

Adott:

Egyenlőszárú háromszögben ABC oldal AB egyenlő 10, alap Az AC 12.

Szögfelezők A és C pontban metszik egymást D. Keresse meg a BD-t.

Megoldás:

Mivel a háromszög felezői pontban metszik egymást

Egy pont, akkor BD a B felezőszöge. Folytassuk a BD-t a kereszteződéshez AC az M pontban. Ekkor M az AC, BM AC felezőpontja. Ezért

Mivel a CD - háromszög felezőpontja Akkor BMC

Ennélfogva,.

Válasz:

4. tétel. A háromszög három felezőpontja egy pontban metszi egymást.

Valójában először nézzük meg két felezőszög metszéspontjának P pontját, például AK 1 és VK 2 . Ez a pont egyenlő távolságra van az AB és AC oldaltól, mivel a felezőn fekszikA, és egyenlő távolságra van az AB és BC oldalaktól, mivel a felezőszöghöz tartozikB. Ez azt jelenti, hogy egyenlő távolságra van az AC és BC oldalaktól, és így az SC harmadik felezőszöghöz tartozik 3 , vagyis a P pontban mindhárom felezőmetszés metszi egymást.

Képletek a felezőmező megtalálásához
5. tétel: (a felező első képlete): Ha az ABC háromszögben az AL szakasz felezőszög A, akkor AL² = AB·AC - LB·LC.

Bizonyíték: Legyen M az AL egyenes és az ABC háromszög körül körülírt kör metszéspontja (41. ábra). A BAM szög feltétel szerint egyenlő a MAC szöggel. A BMA és a BCA szögek egybevágóak, mint ugyanazon húrral bezárt beírt szögek. Ez azt jelenti, hogy a BAM és a LAC háromszögek két szögben hasonlóak. Ezért AL: AC = AB: AM. Ez azt jelenti, hogy AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

6. tétel: . (a felező második képlete): Az ABC háromszögben, amelynek oldalai AB=a, AC=b ésA egyenlő 2α és l felező, az egyenlőség teljesül:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Bizonyíték : Legyen ABC az adott háromszög, AL a felezője, a=AB, b=AC, l=AL. Aztán S ABC = S ALB + S ALC . Ezért ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. A tétel bizonyítást nyert.

7. tétel: Ha a, b a háromszög oldalai, Y a köztük lévő szög,ennek a szögnek a felezője. Akkor.

A geometria az egyik legösszetettebb és legzavarosabb tudomány. Ebben az első pillantásra kézenfekvőnek tűnő nagyon ritkán derül ki, hogy helyes. Felezők, magasságok, mediánok, vetületek, érintők - rengeteg nagyon nehéz kifejezés, amelyek nagyon könnyen összetéveszthetők.

Valójában a megfelelő vágy birtokában bármilyen bonyolult elméletet megérthet. Amikor a felezőkről, a mediánokról és a magasságokról van szó, meg kell értenie, hogy ezek nem egyediek a háromszögekre. Első pillantásra egyszerű vonalakról van szó, de mindegyiknek megvannak a maga tulajdonságai és funkciói, amelyek ismerete nagyban leegyszerűsíti a geometriai feladatok megoldását. Tehát mi a háromszög felezője?

Meghatározás

Maga a „felező” kifejezés a latin „kettő” és „vágás”, „vágni” szavak kombinációjából származik, ami közvetetten jelzi tulajdonságait. Általában, amikor a gyerekek megismerkednek ezzel a sugárral, egy rövid mondatot kapnak, amelyet meg kell jegyezniük: „A felező egy patkány, amely a sarkokon fut, és kettéosztja a sarkot.” Természetesen ez a magyarázat nem megfelelő az idősebb iskolásoknak, ráadásul általában nem egy szögről, hanem egy geometriai alakról kérdezik őket. Tehát a háromszög felezője az a sugár, amely a háromszög csúcsát összeköti ellenkező oldal, miközben a szöget két egyenlő részre osztja. Egy tetszőleges háromszögre véletlenszerűen választjuk ki azt a pontot az ellenkező oldalon, ahol a felezőpont jön.

Alapvető funkciók és tulajdonságok

Ennek a gerendának kevés alapvető tulajdonsága van. Először is, mivel a háromszög felezője felezi a szöget, minden rajta fekvő pont egyenlő távolságra lesz a csúcsot alkotó oldalaktól. Másodszor, minden háromszögben három felezőt rajzolhat a rendelkezésre álló szögek számának megfelelően (tehát ugyanabban a négyszögben már négy lesz, és így tovább). Az a pont, ahol mindhárom sugár metszi, a háromszögbe írt kör középpontja.

A tulajdonságok összetettebbé válnak

Bonyolítsuk egy kicsit az elméletet. Egy másik érdekes tulajdonság: egy háromszög szögfelezője szakaszokra osztja a szemközti oldalt, amelyek aránya megegyezik a csúcsot alkotó oldalak arányával. Első pillantásra ez bonyolult, de valójában minden egyszerű: a javasolt ábrán RL: LQ = PR: PK. Egyébként ezt a tulajdonságot „felező-tételnek” nevezték, és először az ókori görög matematikus, Eukleidész munkáiban jelent meg. Az egyik orosz tankönyvben csak a tizenhetedik század első negyedében emlékeztek rá.

Ez egy kicsit bonyolultabb. Egy négyszögben a felező egyenlő szárú háromszöget vág le. Ez az ábra a medián AF minden egyenlő szögét mutatja.

A négyszögekben és a trapézokban pedig az egyoldalú szögek felezőpontjai merőlegesek egymásra. A látható rajzon az APB szög 90 fok.

Egyenlőszárú háromszögben

Az egyenlő szárú háromszög felezője sokkal hasznosabb sugár. Ugyanakkor nemcsak egy szög osztója felével, hanem egy medián és egy magasság is.

A medián egy olyan szegmens, amely valamelyik sarokból jön, és az ellenkező oldal közepére esik, így azt egyenlő részekre osztja. A magasság egy csúcsból az ellenkező oldalra leereszkedő merőleges, segítségével minden probléma egyszerű és primitív Pitagorasz-tételre redukálható. Ebben a helyzetben a háromszög felezőpontja egyenlő a befogó és a másik láb négyzete közötti különbség gyökével. Ezzel a tulajdonsággal egyébként leggyakrabban geometriai feladatokban találkozhatunk.

Konszolidálásképpen: ebben a háromszögben az FB felező a medián (AB = BC) és a magasság (az FBC és FBA szögek 90 fokosak).

Körvonalban

Szóval mire kell emlékezned? A háromszög felezője az a sugár, amely felosztja a csúcsát. Három sugár metszéspontjában van egy adott háromszögbe írt kör középpontja (ennek a tulajdonságnak az egyetlen hátránya, hogy nincs benne gyakorlati értékés csak a rajz kompetens kivitelezésére szolgál). Az ellenkező oldalt is szegmensekre osztja, amelyek aránya megegyezik azon oldalak arányával, amelyek között ez a sugár áthaladt. Egy négyszögben a tulajdonságok kicsit bonyolultabbá válnak, de igaz, iskolai szintű feladatokban gyakorlatilag soha nem jelennek meg, így általában nem is érintik őket a program.

Az egyenlő szárú háromszög felezője minden iskolás gyermek végső álma. Egyszerre egy medián (azaz a szemközti oldalt kettéosztja) és egy magasság (merőleges arra az oldalra). A feladatok megoldása egy ilyen felezővel a Pitagorasz-tételre redukálódik.

A felező alapvető funkcióinak és alapvető tulajdonságainak ismerete szükséges mind az átlagos, mind a geometriai feladatok megoldásához. magas szint nehézségek. Valójában ez a sugár csak a planimetriában található meg, így nem mondható el, hogy a róla szóló információk memorizálása lehetővé teszi, hogy minden típusú feladattal megbirkózzon.

A háromszög felezője az a szakasz, amely a háromszög szögét két részre osztja egyenlő szögek. Például, ha egy háromszög szöge 120 0, akkor felező szöget rajzolva két, egyenként 60 0 szöget fogunk megszerkeszteni.

És mivel egy háromszögben három szög van, három felezőszög rajzolható. Mindegyiknek van egy határpontja. Ez a pont a háromszögbe írt kör középpontja. Más módon ezt a metszéspontot a háromszög középpontjának nevezzük.

Ha egy belső és egy külső szög két felezőszöge metszi egymást, 90 0 -os szöget kapunk. A háromszög külső szöge a háromszög belső szögével szomszédos szög.

Rizs. 1. 3 felezőt tartalmazó háromszög

A felező az ellenkező oldalt két szegmensre osztja, amelyek az oldalakhoz kapcsolódnak:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

A felezőpontok egyenlő távolságra vannak a szög oldalaitól, ami azt jelenti, hogy azonos távolságra vannak a szög oldalaitól. Vagyis ha a felező bármely pontjából merőlegeseket ejtünk a háromszög szögének minden oldalára, akkor ezek a merőlegesek egyenlőek lesznek.

Ha egy csúcsból rajzolunk egy mediánt, felezőt és magasságot, akkor a medián lesz a leghosszabb szakasz, a magasság pedig a legrövidebb.

A felező néhány tulajdonsága

Bizonyos típusú háromszögekben a felezőnek van speciális tulajdonságok. Ez elsősorban egyenlő szárú háromszögre vonatkozik. Ennek az ábrának két egyforma oldala van, a harmadikat alapnak nevezik.

Ha egy egyenlő szárú háromszög szögének csúcsából az alaphoz húzunk egy felezőmetszetet, akkor annak mind a magasság, mind a medián tulajdonsága lesz. Ennek megfelelően a felező hossza egybeesik a medián és a magasság hosszával.

Definíciók:

• Magasság- a háromszög csúcsából a szemközti oldalra húzott merőleges.
• Középső– a háromszög csúcsát és a szemközti oldal közepét összekötő szakasz.

Rizs. 2. Felező egyenlő szárú háromszögben

Ez vonatkozik egy egyenlő oldalú háromszögre is, vagyis olyan háromszögre, amelynek mindhárom oldala egyenlő.

Példafeladat

Az ABC háromszögben: BR a felező, ahol AB = 6 cm, BC = 4 cm és RC = 2 cm. Vonjuk ki a harmadik oldal hosszát.

Rizs. 3. Felező háromszögben

Megoldás:

A felező egy bizonyos arányban osztja a háromszög oldalát. Használjuk ezt az arányt, és fejezzük ki az AR-t. Ekkor a harmadik oldal hosszát azoknak a szakaszoknak az összegeként fogjuk megtalálni, amelyekre ezt az oldalt felosztottuk.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Ekkor a teljes szegmens AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Összes beérkezett értékelés: 107.

Mekkora egy háromszög szögfelezője? A kérdés megválaszolásakor néhány ember szájából kijön a sarkon rohanó és a sarkot kettéosztó híres patkány." Ha a válasz "humoros", akkor talán helyes. De tudományos szempont Perspektívából a kérdésre adandó válasz valahogy így hangzik: a szög csúcsától kezdve, és az utóbbit két egyenlő részre osztva." A geometriában ezt az ábrát a felező szelvénynek a metszéspontja előtti szakaszaként is felfogják. a háromszög szemközti oldala.Ez nem téves vélemény.De mi Mit tudunk még a szögfelezőről a definíción kívül?

Mint minden geometriai ponthelynek, ennek is megvannak a maga sajátosságai. Az első ezek közül inkább nem is előjel, hanem egy tétel, amely röviden így fejezhető ki: „Ha a vele szemközti oldalt egy felezőszöggel két részre osztjuk, akkor arányuk megfelel a egy nagy háromszög oldalai."

A második tulajdonsága: minden szög felezőjének metszéspontját középpontnak nevezzük.

Harmadik jel: egy belső és kettő felezőpontja külső sarkok háromszögek metszik egymást a három beírt kör egyikének középpontjában.

A háromszög szögfelezőjének negyedik tulajdonsága, hogy ha mindegyik egyenlő, akkor az utóbbi egyenlő szárú.

Az ötödik jel egy egyenlő szárú háromszögre is vonatkozik, és a fő irányvonala annak felező szögekkel történő felismerésének, nevezetesen: egy egyenlő szárú háromszögben egyszerre szolgál mediánként és magasságként.

A szögfelező megszerkeszthető egy iránytű és vonalzó segítségével:

A hatodik szabály kimondja, hogy ez utóbbi felhasználásával nem lehet háromszöget megszerkeszteni csak a meglévő felezőkkel, ahogyan lehetetlen így megszerkeszteni a kocka megkettőzését, a kör négyzetre emelését és a szög harmadrészét. Szigorúan véve ezek mind a háromszög szögfelezőjének tulajdonságai.

Ha figyelmesen elolvasta az előző bekezdést, akkor talán egy kifejezés érdekelte. "Mi az a szögtriszekció?" - valószínűleg megkérdezed. A háromszög egy kicsit hasonlít a felezőhöz, de ha ez utóbbit rajzoljuk, akkor a szög két egyenlő részre, a háromszög megalkotásakor pedig háromra. Természetesen a szögfelezőt könnyebb megjegyezni, mert a triszekciót nem tanítják az iskolában. De a teljesség kedvéért erről is mesélek.

Egy triszektort, ahogy már mondtam, nem csak körzővel és vonalzóval lehet megszerkeszteni, hanem Fujita szabályaival és néhány görbével: Pascal csigák, kvadratrixok, Nikomédész konchoidok, kúpszelvények,

A szög háromszakaszával kapcsolatos problémák egyszerűen megoldhatók a nevsis segítségével.

A geometriában van egy tétel a szögtriszektorokról. Ezt Morley-tételnek hívják. Azt állítja, hogy az egyes szögek középen elhelyezkedő háromszögeinek metszéspontjai a csúcsok lesznek

A nagyban lévő kis fekete háromszög mindig egyenlő oldalú. Ezt a tételt Frank Morley brit tudós fedezte fel 1904-ben.

Íme, mennyit tanulhat meg a szög felosztásáról: A szög három- és felezőszöge mindig részletes magyarázatot igényel. De itt sok olyan meghatározást adtak, amelyeket még nem hoztam nyilvánosságra: Pascal csiga, Nikomédész kagyló stb. Nyugodj meg, még sok mindent lehet róluk írni.

A háromszög olyan sokszög, amelynek három oldala van, vagy egy zárt szaggatott vonal három láncszemmel, vagy három olyan szegmensből álló alakzat, amelyek három olyan pontot kötnek össze, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el (lásd 1. ábra).

Alapvető elemek abc háromszög

Csúcsok – A, B és C pontok;

A felek – a csúcsokat összekötő a = BC, b = AC és c = AB szakaszok;

Szögek – α, β, γ három oldalpár alkotja. A szögeket gyakran ugyanúgy jelölik, mint a csúcsokat, A, B és C betűkkel.

A háromszög oldalai által alkotott szöget, amely a belső területén fekszik, belső szögnek nevezzük, a vele szomszédos szöget pedig a háromszög szomszédos szöge (2, 534. o.).

Egy háromszög magassága, mediánja, felezőpontja és felezővonala

A háromszög fő elemein kívül más érdekes tulajdonságokkal rendelkező szegmenseket is figyelembe veszünk: magasságokat, mediánokat, felezőket és középvonalakat.

Magasság

Háromszög magasságok- ezek a háromszög csúcsaiból szemközti oldalakra ejtett merőlegesek.

A magasság ábrázolásához a következő lépéseket kell végrehajtania:

1) rajzoljunk egy egyenest a háromszög egyik oldalával (ha a magasságot a csúcsból húzzuk hegyesszög tompa háromszögben);

2) a húzott egyenessel szemben fekvő csúcsból húzzon egy szakaszt a pontból erre az egyenesre, és 90 fokos szöget zár be vele.

Azt a pontot, ahol a magasság metszi a háromszög oldalát, nevezzük magasságú alap (lásd 2. ábra).

A háromszög magasság tulajdonságai

Derékszögű háromszögben a csúcsból húzott magasság derékszög, az eredeti háromszöghöz hasonló két háromszögre osztja.

Egy hegyesszögű háromszögben a két magassága hasonló háromszögeket vág le belőle.

Ha a háromszög hegyes, akkor a magasságok összes alapja a háromszög oldalaihoz tartozik, és egy tompa háromszögben két magasság esik az oldalak folytatására.

Egy hegyesszögű háromszögben három magasság metszi egymást egy pontban, és ezt a pontot nevezzük ortocentrum háromszög.

Középső

Mediánok(a latin mediana szóból – „közép”) – ezek a háromszög csúcsait a szemközti oldalak felezőpontjaival összekötő szakaszok (lásd 3. ábra).

A medián összeállításához a következő lépéseket kell végrehajtania:

1) keresse meg az oldal közepét;

2) kösd össze egy szegmenssel azt a pontot, amely a háromszög oldalának közepe a szemközti csúcsgal.

A háromszög mediánok tulajdonságai

A medián egy háromszöget két egyenlő területű háromszögre oszt.

A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, ami a csúcstól számítva mindegyiket 2:1 arányban osztja el. Ezt a pontot hívják gravitáció középpontja háromszög.

Az egész háromszöget a mediánjai hat egyenlő háromszögre osztják.

Felezővonal

Felezők(a latin bis - kétszer és seko - vágás szóból) egy háromszög belsejébe zárt egyenes szakaszok, amelyek felezik a szögeit (lásd 4. ábra).

Egy felezőszög megszerkesztéséhez a következő lépéseket kell végrehajtania:

1) a szög csúcsából kilépő és azt két egyenlő részre osztó sugarat (a szög felezője) készítsen;

2) keresse meg a háromszög és a szemközti szög felezőjének metszéspontját;

3) válasszon ki egy szakaszt, amely összeköti a háromszög csúcsát a szemközti oldal metszéspontjával.

A háromszögfelezők tulajdonságai

A háromszög szögfelezője a szemközti oldalt a két szomszédos oldal arányával egyenlő arányban osztja el.

Felezők belső sarkok a háromszögek egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot a beírt kör középpontjának nevezzük.

A belső és külső szögek felezőszögei merőlegesek.

Ha egy háromszög külső szögének felezője metszi a szemközti oldal kiterjesztését, akkor ADBD=ACBC.

A háromszög egy belső és két külső szögének felezőszögei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög három körének egyikének középpontja.

Egy háromszög két belső és egy külső szögének felezőpontja ugyanazon az egyenesen fekszik, ha a külső szög felezője nem párhuzamos a háromszög szemközti oldalával.

Ha egy háromszög külső szögeinek felezőpontjai nem párhuzamosak ellentétes oldalak, akkor alapjaik ugyanazon az egyenesen fekszenek.