Ha bármilyen témát tanulmányoz egy iskolai kurzuson, kiválaszthat egy bizonyos minimális problémát, és miután elsajátította a megoldási módszereket, a hallgatók képesek lesznek bármilyen problémát megoldani a tanulmányozott témában a programkövetelmények szintjén. Azt javaslom, hogy fontolja meg azokat a problémákat, amelyek lehetővé teszik az egyes témakörök egymáshoz való viszonyát az iskolai matematika kurzusban. Ezért az összeállított feladatrendszer az hatékony eszközök oktatási anyagok ismétlése, általánosítása, rendszerezése a vizsgára való felkészítés során.

A vizsga sikeres teljesítéséhez hasznos lesz további információ a háromszög egyes elemeiről. Tekintsük egy háromszög mediánjának tulajdonságait és azokat a problémákat, amelyek megoldásában ezek a tulajdonságok felhasználhatók. A javasolt feladatok a szintdifferenciálás elvét valósítják meg. Minden feladat feltételesen szintekre van osztva (a szint minden feladat után zárójelben van feltüntetve).

Emlékezzünk vissza a háromszög mediánjának néhány tulajdonságára

1. tulajdonság. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög mediánja ABC, a csúcsból húzva A, kevesebb, mint az oldalak összegének a fele ABÉs A.C..

Bizonyíték

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

2. tulajdonság. A medián a háromszöget két egyenlő részre vágja.

Bizonyíték

Rajzoljuk le az ABC háromszög B csúcsából a BD mediánt és a BE magasságot..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Mivel a BD szegmens a medián, akkor

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Medián" align="left" width="196" height="75 src=">!} 4. tulajdonság. Egy háromszög mediánja a háromszöget 6 egyenlő háromszögre osztja.

Bizonyíték

Bizonyítsuk be, hogy mind a hat háromszög területe, amelyekre a mediánok felosztják az ABC háromszöget, megegyezik az ABC háromszög területével. Ehhez vegyük például az AOF háromszöget, és dobjunk egy AK merőlegest az A csúcsból a BF egyenesbe.

A 2. ingatlan miatt

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Medián" align="left" width="105" height="132 src=">!}

6. ingatlan. Egy csúcsból rajzolt derékszögű háromszög mediánja derékszög, egyenlő a hypotenus felével.

Bizonyíték

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Medián" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Következmények:1. A derékszögű háromszög körül körülírt kör középpontja a befogó közepén található.

2. Ha egy háromszögben a medián hossza egyenlő annak az oldalnak a hosszának felével, amelyhez húzzuk, akkor ez a háromszög derékszögű.

FELADATOK

Minden további probléma megoldása során a bevált tulajdonságokat használják.

№1 Témák: A medián megduplázása. Nehézségi fok: 2+

A paralelogramma jelei és tulajdonságai Osztályzatok: 8,9

Feltétel

A medián folytatásán A.M. háromszög ABC pontonként M szakasz elhalasztva M.D., egyenlő A.M.. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög ABDC- paralelogramma.

Megoldás

Használjuk a paralelogramma egyik előjelét. Négyszög átlói ABDC pontban metszik egymást Més oszd ketté, tehát a négyszög ABDC- paralelogramma.

A medián a háromszög csúcsától a szemközti oldal közepéig húzott szakasz, azaz a metszéspontban kettéosztja. Alapnak nevezzük azt a pontot, ahol a medián metszi a csúcsponttal ellentétes oldalt, ahonnan kilép. A háromszög minden mediánja egy ponton halad át, amelyet metszéspontnak neveznek. A hosszának képlete többféleképpen is kifejezhető.

Képletek a medián hosszának kifejezésére

• A geometriai feladatok során a tanulóknak gyakran olyan szegmenssel kell megküzdeniük, mint egy háromszög mediánja. A hosszának képlete oldalakkal van kifejezve:

ahol a, b és c az oldalak. Ezenkívül c az az oldal, amelyre a medián esik. Így néz ki a legegyszerűbb képlet. Néha szükség van egy háromszög mediánjára a segédszámításokhoz. Vannak más képletek is.

• Ha a számítás során egy háromszög két oldala és a közöttük elhelyezkedő α szög ismeretes, akkor a háromszög mediánjának hosszát a harmadik oldalra csökkentve a következőképpen fejezzük ki.

Alaptulajdonságok

• Minden mediánnak van egy közös O metszéspontja, és kettõ az egyhez arányban osztjuk el vele, ha a csúcsból számoljuk. Ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük.
• A medián a háromszöget két másik részre osztja, amelyek területe egyenlő. Az ilyen háromszögeket egyenlő területűeknek nevezzük.
• Ha az összes mediánt megrajzoljuk, a háromszög 6 egyenlő figurára oszlik, amelyek szintén háromszögek lesznek.
• Ha egy háromszög mindhárom oldala egyenlő, akkor a mediánok mindegyike egy magasság és egy felező, azaz merőleges arra az oldalra, amelyre rajzolják, és felezi azt a szöget, amelyből kilép.
• Egy egyenlő szárú háromszögben a másikkal nem egyenlő oldallal szemközti csúcsból húzott medián lesz a magasság és a felező is. A többi csúcsból kiesett mediánok egyenlőek. Ez is szükséges és elégséges állapot egyenlő szárú.
• Ha egy háromszög egy szabályos piramis alapja, akkor az erre az alapra csökkentett magasságot az összes medián metszéspontjára vetítjük.

• Egy derékszögű háromszögben a leghosszabb oldalra húzott medián egyenlő a hosszának felével.
• Legyen O a háromszög mediánjainak metszéspontja. Az alábbi képlet bármelyik M pontra igaz.

• A háromszög mediánjának van egy másik tulajdonsága. Az alábbiakban bemutatjuk az oldalak négyzetén keresztüli hosszának négyzetének képletét.

Azon oldalak tulajdonságai, amelyekhez a mediánt húzzák

• Ha a mediánok bármely két metszéspontját összekapcsolja azokkal az oldalakkal, amelyekre kiesik, akkor az eredményül kapott szakasz a háromszög középvonala lesz, és annak a háromszögnek az egyik fele, amellyel nincs közös pontja.
• Egy háromszögben a magasságok és mediánok alapjai, valamint a háromszög csúcsait a magasságok metszéspontjával összekötő szakaszok felezőpontjai ugyanazon a körön helyezkednek el.

Befejezésül logikus azt mondani, hogy az egyik legfontosabb szegmens a háromszög mediánja. Képletével megkereshetjük a többi oldalának hosszát is.

Első szint

Középső. Vizuális útmutató (2019)

1. Mi a medián?

Ez nagyon egyszerű!

Vegyünk egy háromszöget:

Jelölje meg a közepét az egyik oldalán.

És csatlakozz az ellenkező csúcshoz!

Az eredményül kapott vonal és van egy medián.

2. A medián tulajdonságai.

Mit jó tulajdonságok a mediánnak van?

1) Képzeljük el, hogy a háromszög az négyszögletes. Vannak ilyen dolgok, nem?

Miért??? Mi köze ehhez a derékszögnek?

Figyeljünk alaposan. Csak nem háromszög, hanem... téglalap. Miért kérdezed?

De te jársz a Földön – látod, hogy kerek? Természetesen nem, ehhez az űrből kell nézni a Földet. Tehát megnézzük a derékszögű háromszögünket „az űrből”.

Rajzoljunk egy átlót:

Emlékszel, hogy egy téglalap átlói egyenlőÉs Ossza meg metszéspont félbe? (Ha nem emlékszel, nézd meg a témát)

Ez azt jelenti, hogy a második átló fele a miénk középső. Az átlók egyenlőek, és természetesen a felük is. Ezt fogjuk kapni

Ezt az állítást nem fogjuk bizonyítani, de hogy elhiggye, gondolja át saját maga: van-e más, egyenlő átlójú paralelogramma a téglalapon kívül? Természetesen nem! Nos, ez azt jelenti, hogy a medián csak egy derékszögű háromszögben lehet egyenlő az oldal felével.

Nézzük meg, hogyan segít ez a tulajdonság a problémák megoldásában.

Itt, feladat:
Az oldalakra; . Felülről rajzolva középső. Keresse meg, ha.

Hurrá! Alkalmazhatod a Pitagorasz-tételt! Látod, milyen nagyszerű? Ha ezt nem tudnánk középső egyenlő a fél oldalával

Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt:

2) És most ne egy legyen, hanem egész három medián! Hogyan viselkednek?

Emlékezz nagyon fontos tény:

Nehéz? Nézz a képre:

Mediánok és egy pontban metszik egymást.

És….(ezt bebizonyítjuk, de egyelőre Emlékezik!):

• - kétszer annyi;
• - kétszer annyi;
• - kétszer annyi.

Fáradt vagy már? Elég erős leszel a következő példához? Most alkalmazzuk mindazt, amiről beszéltünk!

Feladat: Egy háromszögben megrajzolódnak a és a mediánok, amelyek egy pontban metszik egymást. Keresse meg, ha

Keressük meg a Pitagorasz-tétel segítségével:

Most alkalmazzuk a mediánok metszéspontjával kapcsolatos ismereteket.

Határozzuk meg. szegmens, a. Ha minden nem tiszta, nézze meg a képet.

Ezt már megtaláltuk.

Eszközök, ; .

A feladatban egy szegmensre kérdezünk rá.

A mi jelölésünkben.

Válasz: .

Tetszett? Most próbálja meg saját maga is alkalmazni a mediánnal kapcsolatos tudását!

KÖZÉPSŐ. ÁTLAGOS SZINT

1. A medián az oldalt kettéosztja.

Ez minden? Vagy talán valami mást oszt ketté? Képzeld el!

2. Tétel: A medián a területet felére osztja.

Miért? Emlékezzünk leginkább egyszerű alak a háromszög területe.

És ezt a képletet kétszer alkalmazzuk!

Nézd, a medián két háromszögre oszlik: és. De! Egyforma magasságúak - ! Csak ezen a magasságon esik oldalra, és - a folytatás oldalán. Meglepő módon ez is megtörténik: a háromszögek különbözőek, de a magasság ugyanaz. És most kétszer alkalmazzuk a képletet.

Mit jelentene ez? Nézz a képre. Valójában két állítás van ebben a tételben. Észrevetted ezt?

Első kijelentés: a mediánok egy pontban metszik egymást.

Második kijelentés: A medián metszéspontját a csúcstól számítva arányosan osztjuk.

Próbáljuk megfejteni ennek a tételnek a titkát:

Kössük össze a pontokat és. Mi történt?

Most húzzunk egy másik középső vonalat: jelöljük meg a közepét - tegyünk egy pontot, jelöljük meg a közepét - tegyünk egy pontot.

Most - középső vonal. Azaz

1. párhuzamos;

Észrevett egybeesést? Mindkettő és párhuzamos. Ésés.

Mi következik ebből?

1. párhuzamos;

Persze csak paralelogrammára!

Ez azt jelenti, hogy paralelogramma. És akkor mi van? Emlékezzünk a paralelogramma tulajdonságaira. Mit tudsz például egy paralelogramma átlóiról? Így van, kettéosztják a metszéspontot.

Nézzük újra a rajzot.

Vagyis a mediánt pontok osztják három egyenlő részre. És pontosan ugyanaz.

Ez azt jelenti, hogy mindkét mediánt pontosan az arányban választotta el egy pont, azaz és.

Mi lesz a harmadik mediánnal? Térjünk vissza az elejére. Ó Istenem?! Nem, most minden sokkal rövidebb lesz. Dobjuk ki a mediánt és csináljuk meg a mediánt és.

Most képzeljük el, hogy pontosan ugyanazt az érvelést hajtottuk végre, mint a mediánok és a. Akkor mit?

Kiderül, hogy a medián pontosan ugyanúgy osztja majd a mediánt: arányban, a ponttól számítva.

De hány pont lehet egy szakaszon, amely arányban osztja el, a ponttól számítva?

Természetesen csak egy! És már láttuk – ez a lényeg.

Mi történt a végén?

A medián határozottan átment! Mindhárom medián átment rajta. És mindenki megosztott volt a hozzáállásban, felülről számolva.

Tehát megoldottuk (bizonyítottuk) a tételt. A megoldás egy háromszögben ülő paralelogramma lett.

4. A medián hossz képlete

Hogyan találjuk meg a medián hosszát, ha ismertek az oldalak? Biztos, hogy szükséged van erre? Nyissunk szörnyű titok: Ez a képlet nem túl hasznos. De mégis, megírjuk, de nem bizonyítjuk (ha érdekel a bizonyítás, lásd a következő szintet).

Hogyan érthetjük meg, miért történik ez?

Figyeljünk alaposan. Csak nem háromszög, hanem téglalap.

Tehát vegyünk egy téglalapot.

Észrevetted, hogy a háromszögünk pontosan a fele ennek a téglalapnak?

Rajzoljunk egy átlót

Emlékszel arra, hogy egy téglalap átlói egyenlőek, és felezik a metszéspontot? (Ha nem emlékszel, nézd meg a témát)
De az egyik átló a mi hipotenuszunk! Ez azt jelenti, hogy az átlók metszéspontja a hipotenusz közepe. A miénknek hívták.

Ez azt jelenti, hogy a második átló fele a mi mediánunk. Az átlók egyenlőek, és természetesen a felük is. Ezt fogjuk kapni

Ráadásul ez csak derékszögű háromszögben történik!

Ezt az állítást nem fogjuk bizonyítani, de hogy elhiggye, gondolja át saját maga: van-e más, egyenlő átlójú paralelogramma a téglalapon kívül? Természetesen nem! Nos, ez azt jelenti, hogy a medián csak egy derékszögű háromszögben lehet egyenlő az oldal felével. Nézzük meg, hogyan segít ez a tulajdonság a problémák megoldásában.

Íme a feladat:

Az oldalakra; . A mediánt a csúcsból húzzuk. Keresse meg, ha.

Hurrá! Alkalmazhatod a Pitagorasz-tételt! Látod, milyen nagyszerű? Ha nem tudnánk, hogy a medián az oldal fele csak derékszögű háromszögben, nem tudjuk megoldani ezt a problémát. És most megtehetjük!

Alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt:

KÖZÉPSŐ. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

1. A medián az oldalt kettéosztja.

2. Tétel: a medián a területet felére osztja

4. A medián hossz képlete

Fordított tétel: ha a medián egyenlő az oldal felével, akkor a háromszög derékszögű, és ezt a mediánt a befogóhoz húzzuk.

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban benne vagy!

Most a legfontosabb.

Érted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

Mert sikeres teljesítés Egységes államvizsga, költségvetési keretből való felvételhez, és ami a LEGFONTOSABB, élethosszig tartó felvételhez.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET A TÉMÁBAN A PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz időben oldja meg a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben - 299 dörzsölje.
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - 999 dörzsölje.

Igen, 99 ilyen cikk található a tankönyvünkben, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

A második esetben adunk neked szimulátor "6000 probléma megoldásokkal és válaszokkal, minden témához, minden bonyolultsági szinten." Ez minden bizonnyal elég lesz bármilyen témában a problémák megoldására.

Valójában ez sokkal több, mint egy szimulátor - egy egész képzési program. Szükség esetén INGYENESEN is használhatod.

Az oldal fennállásának TELJES időszakára minden szöveghez és programhoz hozzáférés biztosított.

Következtetésképpen...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

A háromszög olyan sokszög, amelynek három oldala van, vagy egy zárt szaggatott vonal három láncszemmel, vagy egy olyan alakzat, amelyet három olyan szakasz köt össze, amelyek nem ugyanazon az egyenesen helyezkednek el (lásd 1. ábra).

Alapvető elemek háromszög abc

Csúcsok – A, B és C pont;

A felek – a csúcsokat összekötő a = BC, b = AC és c = AB szakaszok;

Szögek – α, β, γ három oldalpár alkotja. A szögeket gyakran ugyanúgy jelölik, mint a csúcsokat, A, B és C betűkkel.

A háromszög oldalai által alkotott szöget, amely a belső területén fekszik, belső szögnek nevezzük, a vele szomszédos szöget pedig a háromszög szomszédos szöge (2, 534. o.).

A háromszög magasságai, mediánjai, felezői és középvonalai

A háromszög fő elemein kívül más érdekes tulajdonságokkal rendelkező szegmenseket is figyelembe vesznek: magasságok, mediánok, felezők és középvonalak.

Magasság

Háromszög magasságok- ezek a háromszög csúcsaiból szemközti oldalakra ejtett merőlegesek.

A magasság ábrázolásához a következő lépéseket kell végrehajtania:

1) húzz egy egyenest a háromszög egyik oldalával (ha a magasságot a csúcsból húzzuk hegyesszög tompa háromszögben);

2) a húzott egyenessel szemben fekvő csúcsból húzzon egy szakaszt a pontból erre az egyenesre, és 90 fokos szöget zár be vele.

Azt a pontot, ahol a magasság metszi a háromszög oldalát, nevezzük magasságú alap (lásd 2. ábra).

A háromszög magasságok tulajdonságai

Egy derékszögű háromszögben a derékszög csúcsából húzott magasság két, az eredeti háromszöghöz hasonló háromszögre hasítja.

Egy hegyesszögű háromszögben a két magassága hasonló háromszögeket vág le belőle.

Ha a háromszög hegyes, akkor a magasságok összes alapja a háromszög oldalaihoz tartozik, és egy tompa háromszögben két magasság esik az oldalak folytatására.

Egy hegyesszögű háromszögben három magasság metszi egymást egy pontban, és ezt a pontot nevezzük ortocentrum háromszög.

Középső

Mediánok(a latin mediana - "közép") - ezek a szakaszok, amelyek összekötik a háromszög csúcsait a szemközti oldalak felezőpontjaival (lásd 3. ábra).

A medián összeállításához a következő lépéseket kell végrehajtania:

1) keresse meg az oldal közepét;

2) kösd össze egy szegmenssel azt a pontot, amely a háromszög oldalának közepe a szemközti csúcsgal.

A háromszög mediánok tulajdonságai

A medián egy háromszöget két egyenlő területű háromszögre oszt.

A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, ami a csúcstól számítva mindegyiket 2:1 arányban osztja el. Ezt a pontot hívják gravitáció középpontja háromszög.

Az egész háromszöget a mediánjai hat egyenlő háromszögre osztják.

Felezővonal

Felezők(a latin bis - kétszer és seko - vágás szóból) egy háromszögbe zárt egyenes szakaszok, amelyek felezik a szögeit (lásd 4. ábra).

Egy felezőszög megszerkesztéséhez a következő lépéseket kell végrehajtania:

1) a szög csúcsából kilépő és azt két egyenlő részre osztó sugarat (a szög felezője) készítsen;

2) keresse meg a háromszög és a szemközti szög felezőjének metszéspontját;

3) válasszon egy szakaszt, amely összeköti a háromszög csúcsát a szemközti oldal metszéspontjával.

A háromszögfelezők tulajdonságai

Egy háromszög szögfelezője osztja a szemközti oldalt a két szomszédos oldal arányával egyenlő arányban.

A háromszög belső szögeinek felezőpontjai egy pontban metszik egymást. Ezt a pontot a beírt kör középpontjának nevezzük.

A belső és külső szögek felezőszögei merőlegesek.

Ha egy háromszög külső szögének felezője metszi a szemközti oldal kiterjesztését, akkor ADBD=ACBC.

Egy belső és kettő felezőpontja külső sarkok a háromszögek egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög három körének egyikének középpontja.

Egy háromszög két belső és egy külső szögének felezőpontja ugyanazon az egyenesen fekszik, ha a külső szög felezője nem párhuzamos a háromszög szemközti oldalával.

Ha egy háromszög külső szögeinek felezőpontjai nem párhuzamosak a szemközti oldalakkal, akkor alapjaik ugyanazon az egyenesen vannak.

1. A medián egy háromszöget két egyenlő területű háromszögre oszt.

2. A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, ami a csúcstól számítva mindegyiket 2:1 arányban osztja el. Ezt a pontot hívják gravitáció középpontja háromszög.

3. Az egész háromszöget a mediánjai hat egyenlő háromszögre osztják.

A háromszögfelezők tulajdonságai

1. Egy szög felezője a szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontok helye.

2. Felező belső sarok egy háromszög szemközti oldalát a szomszédos oldalakkal arányos szakaszokra osztja: .

3. A háromszög felezőinek metszéspontja az ebbe a háromszögbe írt kör középpontja.

A háromszög magasságok tulajdonságai

1. Egy derékszögű háromszögben a derékszög csúcsából húzott magasság két, az eredetihez hasonló háromszögre osztja.

2. Egy hegyesszögű háromszögben két magassága hasonlókat vág le belőle háromszögek.

A háromszög merőleges felezőinek tulajdonságai

1. Egy szakaszra merőleges felezőpont minden pontja egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől. Ennek fordítva is igaz: minden pont, amely egy szakasz végétől egyenlő távolságra van, a rá merőleges felezőn fekszik.

2. A háromszög oldalaira húzott merőleges felezők metszéspontja a háromszögre körülírt kör középpontja.

A háromszög középvonalának tulajdonsága

A háromszög középvonala párhuzamos az egyik oldalával, és egyenlő az oldal felével.

A háromszögek hasonlósága

Két háromszög hasonló ha az alábbi feltételek valamelyike, ún a hasonlóság jelei:

· egy háromszög két szöge egyenlő egy másik háromszög két szögével;

· az egyik háromszög két oldala arányos egy másik háromszög két oldalával, és az ezen oldalak által alkotott szögek egyenlőek;

· egy háromszög három oldala arányos egy másik háromszög három oldalával.

Hasonló háromszögekben a megfelelő egyenesek (magasságok, mediánok, felezők stb.) arányosak.

Szinusztétel

Koszinusz tétel

a 2= b 2+ c 2- 2időszámításunk előtt kötözősaláta

Háromszög terület képletek

1. Ingyenes háromszög

a, b, c - oldalak; - az oldalak közötti szög aÉs b; - fél kerület; R- körülírt kör sugara; r- a beírt kör sugara; S- négyzet; h a - magasságba húzva oldal a.

S = ah a

S = ab sin

S = pr

2. Derékszögű háromszög

a, b - lábak; c-átfogó; h c - oldalra húzott magasság c.

S = ch c S = ab

3. Egyenlő oldalú háromszög

Négyszögek

A paralelogramma tulajdonságai

· a szemközti oldalak egyenlőek;

· a szemközti szögek egyenlőek;

· az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal;

· az egyik oldallal szomszédos szögek összege 180°;

Az átlók négyzeteinek összege egyenlő az összes oldal négyzeteinek összegével:

d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2).

A négyszög paralelogramma, ha:

1. Két szemközti oldala egyenlő és párhuzamos.

2. Ellentétes oldalak páronként egyenlő.

3. Az ellentétes szögek páronként egyenlőek.

4. Az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal.

A trapéz tulajdonságai

· középvonala párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével;

· ha a trapéz egyenlő szárú, akkor az átlói egyenlőek és az alapnál lévő szögek egyenlőek;

· ha a trapéz egyenlő szárú, akkor kör írható le körülötte;

· ha az alapok összege egyenlő az oldalak összegével, akkor kör írható bele.

Téglalap tulajdonságai

Az átlók egyenlőek.

A paralelogramma téglalap, ha:

1. Egyik szöge egyenes.

2. Átlói egyenlők.

A rombusz tulajdonságai

· a paralelogramma összes tulajdonsága;

Az átlók merőlegesek;

Az átlók a szögfelezők.

1. A paralelogramma rombusz, ha:

2. Két szomszédos oldala egyenlő.

3. Átlói merőlegesek.

4. Az egyik átló a szögfelezője.

A négyzet tulajdonságai

· a négyzet minden sarka helyes;

· egy négyzet átlói egyenlőek, egymásra merőlegesek, a metszéspont felezi és felezi a négyzet sarkait.

A téglalap négyzet, ha rendelkezik rombuszjellemzőkkel.

Alapképletek

1. Bármely konvex négyszög
d 1,d 2 - Diagonal vonalok; - a köztük lévő szöget; S- négyzet.

S = d 1 d 2 bűn