Két kockát dobnak. Kocka valószínűsége

Feladatok a kocka valószínűsége nem kevésbé népszerű, mint az érmefeldobás. Egy ilyen probléma feltétele általában így hangzik: egy vagy több kocka (2 vagy 3) dobásakor mekkora a valószínűsége annak, hogy a pontok összege 10 lesz, vagy a pontok száma 4 lesz, ill. a pontok számának szorzata, vagy a pontok számának 2-vel való szorzata stb.

Az ilyen típusú problémák megoldásának fő módszere a klasszikus valószínűségi képlet alkalmazása.

Egy halál, a valószínűség.

Elég egyszerű kezelni egyet dobókocka.

a következő képlet határozza meg: P=m/n, ahol m az esemény szempontjából kedvező kimenetelek száma, n pedig a csont vagy kocka eldobásával végzett kísérlet összes elemi egyformán lehetséges kimenetelének száma.

1. feladat. A kockát egyszer dobjuk. Mennyi a valószínűsége, hogy páros számú pontot kapunk? Mivel a kocka egy kocka (vagy más néven szabályos kocka, a kocka azonos valószínűséggel fog minden oldalon landolni, mivel kiegyensúlyozott), a kocka 6 oldala van (a pontok száma 1-től 6-ig, amelyek általában pontok jelzik), ez azt jelenti, hogy mi a probléma teljes szám

eredmények: n=6. Az eseménynek csak azok az eredmények kedveznek, amelyekben a páros 2, 4 és 6 ponttal rendelkező oldal a kocka következő oldalaival rendelkezik: m=3; Most meg tudjuk határozni a kocka kívánt valószínűségét: P=3/6=1/2=0,5.

Ezt a problémát a fenti példával analóg módon oldjuk meg. Kockadobásnál az egyformán lehetséges kimenetelek száma összesen: n=6, és csak 2 kimenetel felel meg a probléma feltételének (legalább 5 pontot dobott fel, azaz 5 vagy 6 pontot dob), ami m =2. Ezután megtaláljuk a szükséges valószínűséget: P=2/6=1/3=0,333.

Két kocka, valószínűség.

2 kocka dobásával kapcsolatos problémák megoldásakor nagyon kényelmes egy speciális pontozótábla használata. Rajta az első kockára esett pontok száma vízszintesen, a második kockára esett pontok száma pedig függőlegesen jelenik meg. A munkadarab így néz ki:

De felmerül a kérdés, mi lesz a táblázat üres celláiban? Ez attól függ, hogy milyen problémát kell megoldani. Ha a problémában arról beszélünk pontösszegről, akkor oda írják az összeget, és ha a különbségről, akkor a különbséget írják le stb.

3. feladat. Egyszerre 2 kockát dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy 5 pontnál kevesebbet kapsz?

Először is ki kell találnia, hogy mennyi lesz a kísérlet eredménye. Minden nyilvánvaló volt egy kocka eldobásakor, a kocka 6 oldala - a kísérlet 6 eredménye. De ha már két kocka van, a lehetséges kimeneteleket az (x, y) alakú rendezett számpárok formájában ábrázolhatjuk, ahol x azt mutatja, hogy hány pontot dobtak az első kockán (1-től 6-ig), és y - hány pontot dobtak a második kockával (1-től 6-ig). Összesen ilyen számpárok lesznek: n=6*6=36 (az eredménytáblázatban ezek pontosan 36 cellának felelnek meg).

Most kitöltheti a táblázatot, és minden cellába beírja az első és a második kockára esett pontok számát. Az elkészült táblázat így néz ki:

A táblázat segítségével meghatározzuk azoknak a kimeneteleknek a számát, amelyek kedveznek az eseménynek „összesen 5 pontnál kevesebb jelenik meg”. Számoljuk meg a cellák számát, az összeg értéke, amelyben lesz kevesebb szám 5 (ezek a 2, 3 és 4). A kényelem kedvéért az ilyen cellákat átfestjük, m=6 lesz belőlük:

Figyelembe véve a táblázat adatait, kocka valószínűsége egyenlő: P=6/36=1/6.

4. feladat. Két kockát dobtak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a pontok számának szorzata osztható 3-mal!

A feladat megoldásához készítsünk táblázatot az első és a második kockára esett pontok szorzatairól. Ebben azonnal kiemeljük azokat a számokat, amelyek 3 többszörösei:

Felírjuk a kísérlet összes kimenetelének számát n=36 (az indoklás ugyanaz, mint az előző feladatnál) és a kedvező kimenetelek számát (a táblázatban árnyékolt cellák száma) m=20. Az esemény valószínűsége: P=20/36=5/9.

5. feladat. A kockát kétszer dobjuk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első és a második dobókocka pontjai között 2-5 lesz a különbség?

Meghatározni kocka valószínűségeÍrjuk fel a pontkülönbségek táblázatát, és jelöljük ki benne azokat a cellákat, amelyek különbségértéke 2 és 5 között lesz:

A kedvező kimenetelek száma (a táblázatban árnyékolt cellák száma) m=10, az ugyanilyen lehetséges elemi kimenetek száma összesen n=36 lesz. Meghatározza az esemény valószínűségét: P=10/36=5/18.

Egyszerű esemény esetén és 2 dobókocka dobásakor fel kell építeni egy táblázatot, majd ki kell választani benne a szükséges cellákat, és el kell osztani a számukat 36-tal, ez valószínűségnek számít.

Hagyott egy választ Vendég

Egy kockával a helyzet éktelenül egyszerű. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a valószínűséget a P=m/n képlet határozza meg
P
=
m
n
, ahol n
n
egy kocka vagy kocka feldobásával járó kísérlet minden egyformán lehetséges elemi kimenetelének száma, és m
m
- az eseménynek kedvezõ kimenetelek száma.

1. példa: A kockát egyszer dobják. Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros számú pontot dobunk?

Mivel a kocka egy kocka (szokásos kocka is mondják, vagyis kiegyensúlyozott kocka, hogy minden oldalára azonos valószínűséggel kerüljön), a kockának 6 lapja van (1-től 6-ig a pontok száma, általában jelezve pontok szerint), akkor és a feladat összes kimenetelének száma n=6
n
=
6
. Csak azok az eredmények kedveznek az eseménynek, ahol egy 2, 4 vagy 6 ponttal rendelkező oldal jelenik meg (csak páros számokkal), m=3 ilyen oldal van
m
=
3
. Ekkor a szükséges valószínűség P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

2. példa: dobnak egy kockát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább 5 pontot dobjon.

Ugyanúgy érvelünk, mint az előző példában. Az egyformán lehetséges kimenetelek száma kockadobás esetén n=6
n
=
6
, és a „legalább 5 pontot dobott”, azaz „5 vagy 6 pontot dobott” feltétel teljesül 2 eredmény esetén, m=2
m
=
2
. A szükséges valószínűség: P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Nem is látom értelmét több példát mondani, térjünk át két kockára, ahol minden egyre érdekesebb és bonyolultabb lesz.

Két kocka

Amikor 2 dobókocka dobásával kapcsolatos problémákról van szó, nagyon kényelmes a pontozó táblázat használata. Ábrázoljuk vízszintesen az első kockára, függőlegesen pedig a második kockára eső pontok számát. Vegyünk valami ilyesmit (én Excelben szoktam csinálni, az alábbi fájlt tudod letölteni):

2 kockadobás ponttáblázata
Mi van a táblázat celláiban, kérdezed? És ez attól függ, hogy milyen problémát fogunk megoldani. Lesz egy feladat a pontok összegéről - oda írjuk az összeget, a különbségről - írjuk a különbséget és így tovább. Kezdjük?

3. példa: 2 kockát dobunk egyszerre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összeg kevesebb, mint 5 pont.

Először nézzük meg a kísérlet eredményeinek teljes számát. amikor dobtunk egy kockát, minden nyilvánvaló volt, 6 oldal - 6 eredmény. Itt már két kocka van, így az eredményeket (x,y) alakú rendezett számpárokként ábrázolhatjuk.
x
,
y
, ahol x
x
- hány pontot dobtak az első kockával (1-től 6-ig), y
y
- hány pontot dobtak a második kockán (1-től 6-ig). Nyilvánvalóan n=6⋅6=36 ilyen számpár lesz
n
=
6
⋅
6
=
36
(és az eredménytáblázatban pontosan 36 cella felel meg nekik).

Itt az ideje a táblázat kitöltésének. Minden cellába beírjuk az első és második kockán dobott pontok összegét, és a következő képet kapjuk:

táblázat a pontok összegéről 2 dobókocka dobásakor
Most ez a táblázat segít megtalálni az esemény szempontjából kedvező kimenetelek számát „összesen kevesebb mint 5 pont jelenik meg”. Ehhez megszámoljuk azon cellák számát, amelyekben az összeg értéke kisebb, mint 5 (azaz 2, 3 vagy 4). Az érthetőség kedvéért színezzük ki ezeket a cellákat, m=6 lesz
m
=
6
:

táblázat az 5-nél kevesebb összpontszámról 2 kocka dobásakor
Ekkor a valószínűség: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

4. példa: Két kockát dobunk. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a pontok számának szorzata osztható 3-mal!

Az első és a második kockára dobott pontok szorzataiból táblázatot készítünk. Azonnal kiemeljük azokat a számokat, amelyek 3 többszörösei:

A pontok szorzatának táblázata 2 dobókocka dobásakor
Nem kell mást tenni, mint felírni, hogy az eredmények összessége n=36
n
=
36
(cm. előző példa, az indoklás ugyanaz), és a kedvező kimenetelek száma (a fenti táblázat árnyékolt celláinak száma) m=20
m
=
20
. Ekkor az esemény valószínűsége P=20/36=5/9 lesz
P
=
20
36
=
5
9
.

Mint látható, az ilyen típusú problémák megfelelő előkészítéssel (nézzünk még néhány problémát) gyorsan és egyszerűen megoldhatók. A változatosság kedvéért csináljunk még egy feladatot egy másik táblázattal (az oldal alján az összes táblázat letölthető).

5. példa: Egy kockát kétszer dobnak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az első és a második kockán lévő pontok számának különbsége 2 és 5 között lesz.

Írjuk fel a pontszámkülönbségek táblázatát, jelöljük ki benne azokat a cellákat, amelyekben a különbség értéke 2 és 5 között lesz:

Táblázat a pontkülönbségekről 2 dobókockával
Tehát az egyformán lehetséges elemi kimenetek száma összesen n=36
n
=
36
, és a kedvező kimenetelek száma (a fenti táblázat árnyékolt celláinak száma) m=10
m
=
10
. Ekkor az esemény valószínűsége P=10/36=5/18 lesz
P
=
10
36
=
5
18
.

Tehát abban az esetben, ha 2 kocka dobásáról és egy egyszerű eseményről beszélünk, fel kell építenie egy táblázatot, ki kell választania benne a szükséges cellákat, és el kell osztania a számukat 36-tal, ez lesz a valószínűség. A pontok összegével, szorzatával és különbségével kapcsolatos problémák mellett a különbség modulusával, a legkisebb és legnagyobb húzott pontszámmal is gondok vannak (megfelelő táblázatokat az Excel fájlban talál).

Minden feladatban B6 be valószínűségelmélet, amelyeket bemutatnak Feladatbank megnyitása ehhez, meg kell találnod valószínűség bármilyen eseményt.

Csak egyet kell tudnia képlet, amelyet a számításhoz használnak valószínűség:

Ebben a képletben p - az esemény valószínűsége,

k- nyelvben a bennünket „elégítő” események száma valószínűségelméletúgy hívják kedvező eredményeket.

n- az összes lehetséges esemény számát, ill az összes lehetséges eredmény száma.

Nyilvánvaló, hogy az összes lehetséges esemény száma nagyobb, mint a kedvező kimenetelek száma, tehát valószínűség olyan érték, amely kisebb vagy egyenlő, mint 1.

Ha valószínűség esemény értéke 1, ami azt jelenti, hogy ez az esemény biztosan megtörténik. Az ilyen eseményt ún megbízható. Például az, hogy vasárnap után hétfő lesz, sajnos megbízható esemény, és ennek a valószínűsége 1.

A legnagyobb nehézségek a feladatok megoldásában éppen a k és n számok megtalálásával adódnak.

Természetesen, mint minden probléma megoldásakor, a problémák megoldásakor valószínűségelmélet Gondosan el kell olvasnia a feltételt, hogy helyesen megértse, mit kap, és mit kell megtalálnia.

Nézzünk néhány példát a problémák megoldására -tól Nyissa meg a bankot feladatokat .

1. példa IN véletlenszerű kísérlet két kockát dobnak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összeg 8 pont lesz. Az eredményt kerekítse századokra.

Hagyja, hogy az első kocka dobjon egy pontot, majd a második kocka dobhat egy 6-ot különféle lehetőségeket. Így, mivel az első kocka 6 különböző lappal rendelkezik, a különböző opciók száma összesen 6x6=36.

De nem vagyunk megelégedve mindennel. A feladat feltételei szerint a húzott pontok összege 8 legyen. Készítsünk egy táblázatot a kedvező kimenetelekről!

Látjuk, hogy a számunkra megfelelő eredmények száma 5.

Így annak a valószínűsége, hogy összesen 8 pont jelenik meg, 5/36=0,13(8).

Még egyszer elolvassuk a probléma kérdését: századokra kell kerekíteni az eredményt.

Emlékezzünk kerekítési szabály.

A legközelebbi századra kell kerekíteni. Ha a századok után következő helyen (azaz az ezrelékben) van egy szám, amely nagyobb vagy egyenlő, mint 5, akkor a százados számhoz hozzáadunk 1-et, ha ez a szám kisebb, mint 5, akkor a századik helyen lévő számot változatlanul hagyjuk.

Esetünkben az ezrelékes szám 8, így a százados 3-ast 1-gyel növeljük.

Tehát p=5/36 ≈0,14

Válasz: 0,14

2. példa A tornabajnokságon 20 sportoló vesz részt: 8 Oroszországból, 7 az USA-ból, a többiek Kínából. A tornászok teljesítményének sorrendjét sorsolással határozzák meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az elsőként versenyző sportoló Kínából származik.

Ebben a feladatban a lehetséges kimenetelek száma 20 - ez az összes sportoló száma.

Határozzuk meg a kedvező kimenetelek számát. Ez megegyezik a kínai női sportolók számával.

Így,

Válasz: 0,25

3. példa: Átlagosan 1000 eladott kerti szivattyúból 5 szivárog. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog.

Ebben a feladatban n=1000.

Nem szivárgó szivattyúk érdekelnek minket. Számuk 1000-5=995. Azok.

Egy másik népszerű probléma a valószínűségszámításban (az érmefeldobás problémájával együtt) az kockadobás probléma.

Általában a feladat így hangzik: egy vagy több kockát dobnak (általában 2, ritkábban 3). Meg kell találni annak valószínűségét, hogy a pontok száma 4, vagy a pontok összege 10, vagy a pontok számának szorzata osztható 2-vel, vagy a pontok száma 3-mal különbözik, és így tovább.

Az ilyen problémák megoldásának fő módszere a klasszikus valószínűségi képlet használata, amelyet az alábbi példák segítségével elemezünk.

Miután megismerkedtél a megoldási módokkal, letölthetsz egy szuperhasznos megoldást 2 dobókocka dobására (táblázatokkal és példákkal).

Egy kocka

Egy kockával a helyzet éktelenül egyszerű. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a valószínűséget a $P=m/n$ képlet határozza meg, ahol $n$ a kocka vagy kocka feldobásával végzett kísérlet minden egyformán lehetséges elemi kimenetelének száma, és $m$ a szám azon eredmények közül, amelyek kedveznek az eseménynek.

1. példa A kockát egyszer eldobják. Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros számú pontot dobunk?

Mivel a kocka egy kocka (azt is mondják tisztességes kocka, azaz a kocka kiegyensúlyozott, tehát minden oldalra azonos valószínűséggel landol), a kockának 6 oldala van (1-től 6-ig terjedő pontok számával, általában kijelölt pontokkal), majd a kimenetek teljes száma a a probléma $n=6$. Az egyetlen eredmény, amely kedvez az eseménynek, az, ha egy 2, 4 vagy 6 ponttal rendelkező oldal (csak páros) kiesik, ahol $m=3$ van. Ekkor a szükséges valószínűség $P=3/6=1/2=0,5$.

2. példa A kocka el van dobva. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább 5 pontot dobjon.

Ugyanúgy érvelünk, mint az előző példában. Kockadobás esetén az egyenlően lehetséges kimenetelek száma $n=6$, és a „legalább 5 pontot dobott”, azaz „5 vagy 6 pontot dobott” feltétel teljesül 2 kimenetel, $m =2$. A szükséges valószínűség: $P=2/6=1/3=0,333 $.

Nem is látom értelmét több példát mondani, térjünk át két kockára, ahol minden egyre érdekesebb és bonyolultabb lesz.

Két kocka

Ha 2 dobókocka dobásával kapcsolatos problémákról van szó, nagyon kényelmes a használata ponttáblázat. Ábrázoljuk vízszintesen az első kockára, függőlegesen pedig a második kockára eső pontok számát. Vegyünk valami ilyesmit (én Excelben szoktam csinálni, le tudod tölteni a fájlt):

Mi van a táblázat celláiban, kérdezed? És ez attól függ, hogy milyen problémát fogunk megoldani. Lesz egy feladat a pontok összegéről - oda írjuk az összeget, a különbségről - írjuk a különbséget és így tovább. Kezdjük?

3. példa 2 kockát dobunk egyszerre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összeg kevesebb, mint 5 pont.

Először nézzük meg a kísérlet eredményeinek teljes számát. amikor dobtunk egy kockát, minden nyilvánvaló volt, 6 oldal - 6 eredmény. Itt már két kocka van, így az eredményeket $(x,y)$ alakú rendezett számpárokként ábrázolhatjuk, ahol $x$ az, hogy hány pont esett az első kockára (1-től 6-ig), $ y$ az, hogy hány pont esett a második kockára (1-ről 6-ra). Nyilvánvalóan az ilyen számpárok teljes száma $n=6\cdot 6=36$ lesz (és pontosan 36 cellának felelnek meg az eredménytáblázatban).

Itt az ideje a táblázat kitöltésének. Minden cellába beírjuk az első és második kockán dobott pontok összegét, és a következő képet kapjuk:

Most ez a táblázat segít megtalálni az esemény szempontjából kedvező kimenetelek számát „összesen kevesebb mint 5 pont jelenik meg”. Ehhez megszámoljuk azon cellák számát, amelyekben az összeg értéke kisebb, mint 5 (azaz 2, 3 vagy 4). Az érthetőség kedvéért színezzük ki ezeket a cellákat, $m=6$ lesz:

Ekkor a valószínűség egyenlő: $P=6/36=1/6$.

4. példa Két kockát dobnak. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a pontok számának szorzata osztható 3-mal!

Az első és a második kockára dobott pontok szorzataiból táblázatot készítünk. Azonnal kiemeljük azokat a számokat, amelyek 3 többszörösei:

Már csak annyit kell leírni, hogy az összes kimenetel száma $n=36$ (lásd az előző példát, az indoklás ugyanaz), és a kedvező kimenetelek száma (a fenti táblázatban az árnyékolt cellák száma) $m=20$. Ekkor az esemény valószínűsége $P=20/36=5/9$ lesz.

Mint látható, az ilyen típusú problémák megfelelő előkészítéssel (nézzünk még néhány problémát) gyorsan és egyszerűen megoldhatók. A változatosság kedvéért csináljunk még egy feladatot egy másik táblázattal (az oldal alján az összes táblázat letölthető).

5. példa A kockát kétszer dobják. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az első és a második kockán lévő pontok számának különbsége 2 és 5 között lesz.

Írjuk fel a pontszámkülönbségek táblázatát, jelöljük ki benne azokat a cellákat, amelyekben a különbség értéke 2 és 5 között lesz:

Tehát az egyformán lehetséges elemi kimenetek száma $n=36$, a kedvező kimenetelek száma (a fenti táblázatban az árnyékolt cellák száma) pedig $m=10$. Ekkor az esemény valószínűsége $P=10/36=5/18$ lesz.

Tehát abban az esetben, ha 2 kocka dobásáról és egy egyszerű eseményről beszélünk, fel kell építenie egy táblázatot, ki kell választania benne a szükséges cellákat, és el kell osztania a számukat 36-tal, ez lesz a valószínűség. A pontok összegével, szorzatával és különbözetével kapcsolatos problémák mellett a különbség modulusával, a legkisebb és legnagyobb húzott pontok számával is gondok vannak (megfelelő táblázatokat találsz itt).

Egyéb problémák a kockákkal és a kockákkal kapcsolatban

Természetesen a kérdés nem korlátozódik a fentebb tárgyalt, a kockadobással kapcsolatos két problémaosztályra (egyszerűen ezekkel találkozunk a leggyakrabban a problémafüzetekben és a képzési kézikönyvekben), vannak mások is. A közelítő megoldási módszer változatossága és megértése érdekében három jellemzőbb példát elemezünk: 3 dobókocka dobására, feltételes valószínűségre és Bernoulli képletére.

6. példa. 3 dobókockát dobunk. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összeg 15 pont.

3 dobókocka esetén ritkábban készülnek táblázatok, mivel akár 6 darabra is szükség lesz (és nem egyre, mint fent), ezek a kívánt kombinációk egyszerű átkutatásával beérik.

Nézzük meg a kísérlet összes kimenetelének számát. Az eredményeket a $(x,y,z)$ alakú számok rendezett hármasaiként ábrázolhatjuk, ahol $x$ az, hogy hány pont esett az első kockára (1-től 6-ig), $y$ pedig az, hogy hány pont esett. a második kockán (1-től 6-ig), $z$ - hány pontot dobtak a harmadik kockán (1-től 6-ig). Nyilvánvalóan az ilyen számhármasok száma összesen $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ lesz.

Most válasszunk olyan eredményeket, amelyek összesen 15 pontot adnak.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

$m=3+6+1=10$ eredményt kaptunk. A szükséges valószínűség $P=10/216=0,046$.

7. példa. 2 dobókockát dobunk. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az első kocka legfeljebb 4 pontot dob, feltéve, hogy a pontok száma páros.

A probléma megoldásának legegyszerűbb módja a táblázat újbóli használata (minden világos lesz), mint korábban. Írunk egy táblázatot a pontösszegekről, és csak páros értékű cellákat jelölünk ki:

Azt tapasztaljuk, hogy a kísérleti feltételek szerint nem 36, hanem $n=18$ eredmény van (ha a pontok összege páros).

Jelenleg ezekből a sejtekből Csak azokat válasszuk ki, amelyek megfelelnek a „legfeljebb 4 pont dobott az első kockán” eseménynek – vagyis valójában a táblázat első 4 sorában lévő cellák (narancssárgával kiemelve), ott $m= 12 dollár.

A szükséges valószínűség $P=12/18=2/3.$

Ugyanez a feladat lehet döntsön másként a feltételes valószínűségi képlet segítségével. Lássuk az eseményeket:
A = A pontok számának összege páros
B = Legfeljebb 4 pont dobott az első kockával
AB = A pontok összege páros, és legfeljebb 4 pontot dobtak az első kockával
Ekkor a kívánt valószínűség képlete a következő: $$ P(B|A)=\frac(P(AB))(P(A)). $$ Valószínűségek keresése. Az összes kimenetel száma $n=36$, az A eseménynél a kedvező kimenetelek száma (lásd a fenti táblázatokat) $m(A)=18$, az AB eseménynél pedig $m(AB)=12$. A következőt kapjuk: $$ P(A)=\frac(m(A))(n)=\frac(18)(36)=\frac(1)(2); \quad P(AB)=\frac(m(AB))(n)=\frac(12)(36)=\frac(1)(3);\\ P(B|A)=\frac(P (AB))(P(A))=\frac(1/3)(1/2)=\frac(2)(3). $$ A válaszok ugyanazok voltak.

8. példa. A kockát 4-szer dobják. Határozza meg annak valószínűségét, hogy páros számú pont pontosan háromszor jelenik meg.

Abban az esetben, ha a kocka többször dob, és az esemény nem az összegről, termékről stb. integrál jellemzők, de csak kb cseppek száma egy bizonyos típusú, akkor ennek segítségével kiszámíthatja a valószínűséget

1.4 - 1.6 feladatok

Probléma állapot 1.4

Jelölje meg a hibát a probléma „megoldásában”: két dobókockát dobunk; határozza meg annak valószínűségét, hogy a húzott pontok összege 3 (A esemény). "Megoldás". A tesztnek két kimenetele van: a húzott pontok összege 3, a húzott pontok összege nem egyenlő 3-mal. Az A eseménynek egy kimenetel kedvez, összesen kettő. Ezért a kívánt valószínűség egyenlő P(A) = 1/2.

Az 1.4. feladat megoldása

Ebben a „megoldásban” az a hiba, hogy a kérdéses kimenetelek nem egyformán lehetségesek. A helyes döntés: Az egyformán lehetséges kimenetelek száma egyenlő (az egyik kockán dobott pontok száma kombinálható a másik kockán dobott összes számmal). Ezen eredmények közül csak két eredmény kedvez az eseménynek: (1; 2) és (2; 1). Ez azt jelenti, hogy a szükséges valószínűség

Válasz:

Probléma állapot 1.5

Két kockát dobnak. Határozza meg a következő események valószínűségét: a) a húzott pontok összege hét; b) a húzott pontok összege nyolc, a különbség négy; c) a húzott pontok összege nyolc, ha ismert, hogy különbségük négy; d) a hengerelt pontok összege öt, a szorzat négy.

Az 1.5. feladat megoldása

a) Hat opció az első kockán, hat a másodikon. Összes opció: (termékszabály szerint). Opciók 7-tel egyenlő összegre: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - összesen hat lehetőség. Eszközök,

b) Csak kettő megfelelő lehetőségeket: (6.2) és (2.6). Eszközök,

c) Csak két megfelelő lehetőség van: (2,6), (6,2). De összességében lehetséges opciók 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Azt jelenti,.

d) 5-tel egyenlő összeg esetén a következő lehetőségek megfelelőek: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). A termék 4, csak két lehetőség esetén. Majd

Válasz: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Probléma állapot 1.6

Egy kockát, amelynek minden széle színes, ezer azonos méretű kockára fűrészeljük, majd alaposan összekeverjük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a szerencse által rajzolt kockának a következő színű lapjai vannak: a) egy; b) kettő; c) három.

Probléma megoldása 1.6

Összesen 1000 kocka alakult ki. Kocka három színes lappal: 8 (ezek sarokkockák). Két színes lappal: 96 (mivel egy kockának 12 éle van, mindegyik élén 8 kocka). Színes élű kocka: 384 (mivel 6 lap van, és mindegyik lapon 64 kocka van). Nincs más hátra, mint minden talált mennyiséget elosztani 1000-rel.

Válasz: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008