Egy véletlenszerű kísérletben két kockával dobunk. Kocka valószínűsége

Feladatok a valószínűség dobókocka nem kevésbé népszerű, mint az érmefeldobás. Egy ilyen probléma feltétele általában így hangzik: egy vagy több kocka (2 vagy 3) dobásakor mekkora a valószínűsége annak, hogy a pontok összege 10 lesz, vagy a pontok száma 4 lesz, ill. a pontok számának szorzata, vagy a pontok számának szorzata 2-vel stb.

Az ilyen típusú problémák megoldásának fő módszere a klasszikus valószínűségi képlet alkalmazása.

Egy halál, a valószínűség.

Elég egyszerű kezelni egyet dobókocka. a következő képlet határozza meg: P=m/n, ahol m az esemény szempontjából kedvező kimenetelek száma, n pedig a csont vagy kocka eldobásával végzett kísérlet összes elemi egyformán lehetséges kimenetelének száma.

1. feladat. A kockát egyszer dobjuk. Mennyi a valószínűsége, hogy páros számú pontot kapunk?

Mivel a kocka egy kocka (vagy más néven szabályos kocka, a kocka azonos valószínűséggel fog minden oldalon landolni, mivel kiegyensúlyozott), a kocka 6 oldala van (a pontok száma 1-től 6-ig, amelyek általában pontok jelzik), ez azt jelenti, hogy mi a probléma teljes szám eredmények: n=6. Az eseménynek csak az a végeredmény kedvez, ahol a páros 2, 4 és 6 ponttal rendelkező oldal jelenik meg, a kocka oldalai a következők: m=3. Most meg tudjuk határozni a kocka kívánt valószínűségét: P=3/6=1/2=0,5.

2. feladat. A kockát egyszer dobjuk. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább 5 pontot kap?

Ezt a problémát a fenti példával analóg módon oldjuk meg. Kockadobásnál az egyformán lehetséges kimenetelek száma összesen: n=6, és csak 2 kimenetel felel meg a probléma feltételének (legalább 5 pontot dobott fel, azaz 5 vagy 6 pontot dob), ami m =2. Ezután megtaláljuk a szükséges valószínűséget: P=2/6=1/3=0,333.

Két kocka, valószínűség.

2 dobókocka dobásával kapcsolatos problémák megoldásakor nagyon kényelmes egy speciális pontozótábla használata. Rajta az első kockára esett pontok száma vízszintesen, a második kockára esett pontok száma pedig függőlegesen jelenik meg. A munkadarab így néz ki:

De felmerül a kérdés, mi lesz a táblázat üres celláiban? Ez attól függ, hogy milyen problémát kell megoldani. Ha a problémában arról beszélünk pontösszegről, akkor oda írják az összeget, és ha a különbségről, akkor a különbséget írják le stb.

3. feladat. Egyszerre 2 kockát dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy 5 pontnál kevesebbet kapsz?

Először is ki kell találnia, hogy mennyi lesz a kísérlet eredménye. Minden nyilvánvaló volt egy kocka eldobásakor, a kocka 6 oldala - a kísérlet 6 eredménye. De ha már két kocka van, a lehetséges kimeneteleket az (x, y) alakú rendezett számpárok formájában ábrázolhatjuk, ahol x azt mutatja, hogy hány pontot dobtak az első kockán (1-től 6-ig), és y - hány pontot dobtak a második kockán (1-től 6-ig). Összesen ilyen számpárok lesznek: n=6*6=36 (az eredménytáblázatban ezek pontosan 36 cellának felelnek meg).

Most már kitöltheti a táblázatot, ehhez minden cellába be kell írni az első és a második kockára esett pontok számát. Az elkészült táblázat így néz ki:

A táblázat segítségével meghatározzuk azoknak a kimeneteknek a számát, amelyek kedveznek az eseménynek, „összesen 5 pontnál kevesebb jelenik meg”. Számoljuk meg a cellák számát, az összeg értéke, amelyben lesz kevesebb szám 5 (ezek a 2, 3 és 4). A kényelem kedvéért az ilyen cellákat átfestjük, m=6 lesz belőlük:

Figyelembe véve a táblázat adatait, kocka valószínűsége egyenlő: P=6/36=1/6.

4. feladat. Két kockát dobtak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a pontok számának szorzata osztható 3-mal!

A feladat megoldásához készítsünk táblázatot az első és a második kockára esett pontok szorzatairól. Ebben azonnal kiemeljük azokat a számokat, amelyek a 3 többszörösei:

Felírjuk a kísérlet összes kimenetelének számát n=36 (az indoklás ugyanaz, mint az előző feladatnál) és a kedvező kimenetelek számát (a táblázatban árnyékolt cellák száma) m=20. Az esemény valószínűsége: P=20/36=5/9.

5. feladat. A kockát kétszer dobjuk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első és a második dobókocka pontjai között 2-5 lesz a különbség?

Hogy meghatározza kocka valószínűségeÍrjuk fel a pontkülönbségek táblázatát, és jelöljük ki benne azokat a cellákat, amelyek különbségértéke 2 és 5 között lesz:

A kedvező kimenetelek száma (a táblázatban árnyékolt cellák száma) m=10, az ugyanilyen lehetséges elemi kimenetek száma összesen n=36 lesz. Meghatározza az esemény valószínűségét: P=10/36=5/18.

Egyszerű esemény esetén és 2 dobókocka dobásakor fel kell építeni egy táblázatot, majd ki kell választani benne a szükséges cellákat, és el kell osztani a számukat 36-tal, ez valószínűségnek számít.

1.4 - 1.6 feladatok

Probléma állapot 1.4

Jelölje meg a hibát a probléma „megoldásában”: két dobókockát dobunk; határozza meg annak valószínűségét, hogy a húzott pontok összege 3 (A esemény). "Megoldás". A tesztnek két kimenetele van: a húzott pontok összege 3, a húzott pontok összege nem egyenlő 3-mal. Az A eseménynek egy kimenetel kedvez, összesen kettő. Ezért a kívánt valószínűség egyenlő P(A) = 1/2.

Az 1.4. feladat megoldása

Ebben a „megoldásban” az a hiba, hogy a kérdéses eredmények nem egyformán lehetségesek. Korrekt megoldás: Az egyformán lehetséges kimenetelek száma egyenlő (az egyik kockán dobott pontok száma kombinálható egy másik kockán dobott pontok számával). Ezen eredmények közül csak két eredmény kedvez az eseménynek: (1; 2) és (2; 1). Ez azt jelenti, hogy a szükséges valószínűség

Válasz:

Probléma állapot 1.5

Két kockát dobnak. Határozza meg a következő események valószínűségét: a) a húzott pontok összege hét; b) a húzott pontok összege nyolc, a különbség négy; c) a húzott pontok összege nyolc, ha ismert, hogy különbségük négy; d) a hengerelt pontok összege öt, a szorzat pedig négy.

Az 1.5. feladat megoldása

a) Hat opció az első kockán, hat a másodikon. Összes opció: (termékszabály szerint). Opciók 7-tel egyenlő összegre: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - összesen hat lehetőség. Eszközök,

b) Csak kettő megfelelő lehetőségeket: (6.2) és (2.6). Eszközök,

c) Csak két megfelelő lehetőség van: (2,6), (6,2). De összességében lehetséges opciók 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Azt jelenti,.

d) 5-tel egyenlő összeg esetén a következő lehetőségek megfelelőek: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). A termék 4, csak két lehetőség esetén. Akkor

Válasz: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Probléma állapot 1.6

Egy kockát, amelynek minden széle színes, ezer azonos méretű kockára fűrészeljük, majd alaposan összekeverjük. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a szerencse által rajzolt kockának színes lapjai vannak: a) egy; b) kettő; három órakor.

Az 1.6. probléma megoldása

Összesen 1000 kocka alakult ki. Kocka három színes lappal: 8 (ezek sarokkockák). Két színes lappal: 96 (mivel egy kockának 12 éle van, mindegyik élén 8 kocka). Színes élű kocka: 384 (mivel 6 lap van, és mindegyik lapon 64 kocka van). Nincs más hátra, mint minden talált mennyiséget elosztani 1000-rel.

Válasz: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008

Hagyott egy választ Vendég

Egy kockával a helyzet éktelenül egyszerű. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a valószínűséget a P=m/n képlet határozza meg
P
=
m
n
, ahol n
n
egy kocka vagy kocka feldobásával járó kísérlet minden egyformán lehetséges elemi kimenetelének száma, és m
m
- az eseménynek kedvezõ kimenetelek száma.

1. példa: A kockát egyszer dobják. Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros számú pontot dobunk?

Mivel a kocka egy kocka (szokásos kocka is mondják, vagyis kiegyensúlyozott kocka, hogy minden oldalára azonos valószínűséggel kerüljön), a kockának 6 lapja van (1-től 6-ig a pontok száma, általában jelezve pontok szerint), akkor és a feladat összes kimenetelének száma n=6
n
=
6
. Csak azok az események kedveznek az eseménynek, ahol egy 2, 4 vagy 6 pontos oldal jelenik meg (csak páros számokkal), m=3 ilyen oldal van.
m
=
3
. Ekkor a szükséges valószínűség P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

2. példa: dobnak egy kockát. Határozza meg a valószínűségét, hogy legalább 5 pontot dobjon.

Ugyanúgy érvelünk, mint az előző példában. Az egyformán lehetséges kimenetelek száma kockadobás esetén n=6
n
=
6
, és a „legalább 5 pontot dobott”, azaz „5 vagy 6 pontot dobott” feltétel teljesül 2 eredmény esetén, m=2
m
=
2
. A szükséges valószínűség: P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Nem is látom értelmét több példát mondani, térjünk át két kockára, ahol minden egyre érdekesebb és bonyolultabb lesz.

Két kocka

Ha 2 dobókocka dobásával kapcsolatos problémákról van szó, nagyon kényelmes a pontozó táblázat használata. Vízszintesen ábrázoljuk az első kockára esett pontok számát, függőlegesen pedig a második kockára esett pontok számát. Vegyünk valami ilyesmit (én Excelben szoktam csinálni, az alábbi fájlt tudod letölteni):

2 kockadobás ponttáblázata
Mi van a táblázat celláiban, kérdezed? És ez attól függ, hogy milyen problémát fogunk megoldani. Lesz egy feladat a pontok összegéről - oda írjuk az összeget, a különbségről - írjuk a különbséget és így tovább. Kezdjük el?

3. példa: 2 kockát dobunk egyszerre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összeg kevesebb, mint 5 pont.

Először nézzük meg a kísérlet eredményeinek teljes számát. amikor dobtunk egy kockát, minden nyilvánvaló volt, 6 oldal - 6 eredmény. Itt már két kocka van, így az eredményeket (x,y) alakú rendezett számpárokként ábrázolhatjuk.
x
,
y
, ahol x
x
- hány pontot dobtak az első kockával (1-től 6-ig), y
y
- hány pontot dobtak a második kockán (1-től 6-ig). Nyilvánvalóan n=6⋅6=36 ilyen számpár lesz
n
=
6
⋅
6
=
36
(és az eredménytáblázatban pontosan 36 cella felel meg nekik).

Itt az ideje a táblázat kitöltésének. Minden cellába beírjuk az első és második kockán dobott pontok összegét, és a következő képet kapjuk:

táblázat a pontok összegéről 2 dobókocka dobásakor
Most ez a táblázat segít megtalálni az esemény szempontjából kedvező kimenetelek számát „összesen kevesebb mint 5 pont jelenik meg”. Ehhez megszámoljuk azon cellák számát, amelyekben az összeg értéke kisebb, mint 5 (azaz 2, 3 vagy 4). Az érthetőség kedvéért színezzük ki ezeket a cellákat, m=6 lesz
m
=
6
:

táblázat az 5-nél kevesebb összpontszámról 2 kocka dobásakor
Ekkor a valószínűség: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

4. példa: Két kockát dobunk. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a pontok számának szorzata osztható 3-mal!

Az első és a második kockára dobott pontok szorzataiból táblázatot készítünk. Azonnal kiemeljük azokat a számokat, amelyek 3 többszörösei:

A pontok szorzatának táblázata 2 dobókocka dobásakor
Nem kell mást tenni, mint felírni, hogy az összes kimenetel száma n=36
n
=
36
(cm. előző példa, az indoklás ugyanaz), és a kedvező kimenetelek száma (a fenti táblázat árnyékolt celláinak száma) m=20
m
=
20
. Ekkor az esemény valószínűsége P=20/36=5/9 lesz
P
=
20
36
=
5
9
.

Mint látható, az ilyen típusú problémák megfelelő előkészítéssel (nézzünk még néhány problémát) gyorsan és egyszerűen megoldhatók. A változatosság kedvéért csináljunk még egy feladatot egy másik táblázattal (az oldal alján az összes táblázat letölthető).

5. példa: Egy kockát kétszer dobnak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az első és a második kockán lévő pontok számának különbsége 2 és 5 között lesz.

Írjuk fel a pontkülönbségek táblázatát, jelöljük ki benne azokat a cellákat, amelyekben a különbség értéke 2 és 5 között lesz:

táblázat a pontkülönbségekről 2 dobókockával
Tehát az egyformán lehetséges elemi kimenetek száma összesen n=36
n
=
36
, és a kedvező kimenetelek száma (a fenti táblázat árnyékolt celláinak száma) m=10
m
=
10
. Ekkor az esemény valószínűsége P=10/36=5/18 lesz
P
=
10
36
=
5
18
.

Tehát abban az esetben, ha 2 kocka dobásáról és egy egyszerű eseményről beszélünk, fel kell építenie egy táblázatot, ki kell választania benne a szükséges cellákat, és el kell osztania a számukat 36-tal, ez lesz a valószínűség. A pontok összegével, szorzatával és különbségével kapcsolatos problémák mellett a különbség modulusával, a legkisebb és legnagyobb húzott pontszámmal is gondok vannak (megfelelő táblázatokat az Excel fájlban talál).