Véletlenszerűen két kockát dobunk. Kocka valószínűsége

Hagyott egy választ Vendég

Eggyel dobókocka a helyzet illetlenül egyszerű. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a valószínűséget a P=m/n képlet határozza meg
P
=
m
n
, ahol n
n
egy kocka vagy kocka feldobásával járó kísérlet minden egyformán lehetséges elemi kimenetelének száma, és m
m
- az eseménynek kedvezõ kimenetelek száma.

1. példa: A kockát egyszer dobják. Mennyi annak a valószínűsége, hogy páros számú pontot dobunk?

Mivel a kocka egy kocka (szokásos kocka is mondják, vagyis kiegyensúlyozott kocka, hogy minden oldalára azonos valószínűséggel kerüljön), a kockának 6 lapja van (1-től 6-ig a pontok száma, általában jelezve pontok szerint), majd az És teljes szám eredmények a feladatban n=6
n
=
6
. Csak azok az események kedveznek az eseménynek, ahol egy 2, 4 vagy 6 pontos oldal jelenik meg (csak páros számokkal), m=3 ilyen oldal van.
m
=
3
. Ekkor a szükséges valószínűség P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

2. példa: dobnak egy kockát. Határozza meg a valószínűségét, hogy legalább 5 pontot dobjon.

Ugyanúgy érvelünk, mint az előző példában. Az egyformán lehetséges kimenetelek száma kockadobás esetén n=6
n
=
6
, és a „legalább 5 pontot dobott”, azaz „5 vagy 6 pontot dobott” feltétel teljesül 2 eredmény esetén, m=2
m
=
2
. A szükséges valószínűség: P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Nem is látom értelmét több példát mondani, térjünk át két kockára, ahol minden egyre érdekesebb és bonyolultabb lesz.

Két kocka

Amikor arról beszélünk 2 dobókocka dobásával kapcsolatos problémák esetén nagyon kényelmes a pontozótábla használata. Vízszintesen ábrázoljuk az első kockára esett pontok számát, függőlegesen pedig a második kockára esett pontok számát. Vegyünk valami ilyesmit (én Excelben szoktam csinálni, az alábbi fájlt tudod letölteni):

2 kockadobás ponttáblázata
Mi van a táblázat celláiban, kérdezed? És ez attól függ, hogy milyen problémát fogunk megoldani. Lesz egy feladat a pontok összegéről - oda írjuk az összeget, a különbségről - írjuk a különbséget és így tovább. Kezdjük el?

3. példa: 2 kockát dobunk egyszerre. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összeg kevesebb, mint 5 pont.

Először nézzük meg a kísérlet eredményeinek teljes számát. amikor dobtunk egy kockát, minden nyilvánvaló volt, 6 oldal - 6 eredmény. Itt már két kocka van, így az eredményeket (x,y) alakú rendezett számpárokként ábrázolhatjuk.
x
,
y
, ahol x
x
- hány pontot dobtak az első kockával (1-től 6-ig), y
y
- hány pontot dobtak a második kockán (1-től 6-ig). Nyilvánvalóan n=6⋅6=36 ilyen számpár lesz
n
=
6
⋅
6
=
36
(és az eredménytáblázatban pontosan 36 cella felel meg nekik).

Itt az ideje a táblázat kitöltésének. Minden cellába beírjuk az első és második kockán dobott pontok összegét, és a következő képet kapjuk:

táblázat a pontok összegéről 2 dobókocka dobásakor
Most ez a táblázat segít megtalálni az esemény szempontjából kedvező kimenetelek számát „összesen kevesebb mint 5 pont jelenik meg”. Ehhez megszámoljuk azon cellák számát, amelyekben az összeg értéke kisebb, mint 5 (azaz 2, 3 vagy 4). Az érthetőség kedvéért színezzük ki ezeket a cellákat, m=6 lesz
m
=
6
:

táblázat az 5-nél kevesebb összpontszámról 2 kocka dobásakor
Ekkor a valószínűség: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

4. példa: Két kockát dobunk. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a pontok számának szorzata osztható 3-mal!

Az első és a második kockára dobott pontok szorzataiból táblázatot készítünk. Azonnal kiemeljük azokat a számokat, amelyek 3 többszörösei:

A pontok szorzatának táblázata 2 dobókocka dobásakor
Nem kell mást tenni, mint felírni, hogy az összes kimenetel száma n=36
n
=
36
(cm. előző példa, az indoklás ugyanaz), és a kedvező kimenetelek száma (a fenti táblázat árnyékolt celláinak száma) m=20
m
=
20
. Ekkor az esemény valószínűsége P=20/36=5/9 lesz
P
=
20
36
=
5
9
.

Mint látható, az ilyen típusú problémák megfelelő előkészítéssel (nézzünk még néhány problémát) gyorsan és egyszerűen megoldhatók. A változatosság kedvéért csináljunk még egy feladatot egy másik táblázattal (az oldal alján az összes táblázat letölthető).

5. példa: Egy kockát kétszer dobnak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az első és a második kockán lévő pontok számának különbsége 2 és 5 között lesz.

Írjuk fel a pontkülönbségek táblázatát, jelöljük ki benne azokat a cellákat, amelyekben a különbség értéke 2 és 5 között lesz:

táblázat a pontkülönbségekről 2 dobókockával
Tehát az egyformán lehetséges elemi kimenetek száma összesen n=36
n
=
36
, és a kedvező kimenetelek száma (a fenti táblázat árnyékolt celláinak száma) m=10
m
=
10
. Ekkor az esemény valószínűsége P=10/36=5/18 lesz
P
=
10
36
=
5
18
.

Tehát abban az esetben, ha 2 kocka dobásáról és egy egyszerű eseményről beszélünk, fel kell építenie egy táblázatot, ki kell választania benne a szükséges cellákat, és el kell osztania a számukat 36-tal, ez lesz a valószínűség. A pontok összegével, szorzatával és különbségével kapcsolatos problémák mellett a különbség modulusával, a legkisebb és legnagyobb húzott pontszámmal is gondok vannak (megfelelő táblázatokat az Excel fájlban talál).

Minden feladatban B6 be Valószínűségi elmélet, amelyeket bemutatnak Feladatbank megnyitása ehhez, meg kell találnod valószínűség bármilyen eseményt.

Csak egyet kell tudnia képlet, amelyet a számításhoz használnak valószínűség:

Ebben a képletben p - az esemény valószínűsége,

k- nyelvben a bennünket „elégítő” események száma Valószínűségi elméletúgy hívják kedvező eredményeket.

n- az összes lehetséges esemény számát, ill az összes lehetséges eredmény száma.

Nyilvánvaló, hogy az összes lehetséges esemény száma nagyobb, mint a kedvező kimenetelek száma, tehát valószínűség olyan érték, amely kisebb vagy egyenlő, mint 1.

Ha valószínűség esemény értéke 1, ami azt jelenti, hogy ez az esemény biztosan megtörténik. Az ilyen eseményt ún megbízható. Például az, hogy vasárnap után hétfő lesz, sajnos megbízható esemény, és ennek a valószínűsége 1.

A legnagyobb nehézségek a feladatok megoldásában éppen a k és n számok megtalálásával adódnak.

Természetesen, mint minden probléma megoldásakor, a problémák megoldásakor Valószínűségi elmélet Gondosan el kell olvasnia a feltételt, hogy helyesen megértse, mit kap, és mit kell megtalálnia.

Nézzünk néhány példát a problémák megoldására tól től Nyissa meg a bankot feladatokat .

1. példa Egy véletlenszerű kísérletben két kockával dobunk. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az összeg 8 pont lesz. Az eredményt kerekítse századokra.

Hagyja, hogy az első kocka dobjon egy pontot, majd a második kocka dobhat egy 6-ot különféle lehetőségeket. Így, mivel az első kockának 6 különböző oldala van, a különböző opciók száma összesen 6x6=36.

De nem vagyunk megelégedve mindennel. A feladat feltételei szerint a húzott pontok összege 8 legyen. Készítsünk egy táblázatot a kedvező kimenetelekről!

Látjuk, hogy a számunkra megfelelő eredmények száma 5.

Így annak a valószínűsége, hogy összesen 8 pont jelenik meg, 5/36=0,13(8).

Még egyszer elolvassuk a feladat kérdését: az eredményt századokra kell kerekíteni.

Emlékezzünk kerekítési szabály.

A legközelebbi századra kell kerekíteni. Ha a századok után következő helyen (azaz az ezrelékben) 5-nél nagyobb vagy azzal egyenlő szám van, akkor a századik számhoz hozzáadunk 1-et; ha ez a szám kisebb, mint 5, akkor a századik helyen lévő szám változatlan marad.

Esetünkben az ezrelékes szám 8, így a százados 3-ast 1-gyel növeljük.

Tehát p=5/36 ≈0,14

Válasz: 0,14

2. példa A tornabajnokságon 20 sportoló vesz részt: 8 Oroszországból, 7 az USA-ból, a többiek Kínából. A tornászok teljesítményének sorrendjét sorsolással határozzák meg. Határozza meg annak valószínűségét, hogy az elsőként versenyző sportoló Kínából származik.

Ebben a feladatban a lehetséges kimenetelek száma 20 - ez az összes sportoló száma.

Határozzuk meg a kedvező kimenetelek számát. Ez megegyezik a kínai női sportolók számával.

És így,

Válasz: 0,25

3. példa: Átlagosan 1000 eladott kerti szivattyúból 5 szivárog. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott szivattyú nem szivárog.

Ebben a feladatban n=1000.

Nem szivárgó szivattyúk érdekelnek minket. Számuk 1000-5=995. Azok.

Feladatok a valószínűség dobókocka nem kevésbé népszerű, mint az érmefeldobás. Egy ilyen probléma állapota általában így hangzik: egy vagy több dobáskor dobókocka(2 vagy 3), mekkora a valószínűsége annak, hogy a pontok összege 10 lesz, vagy a pontok száma 4, vagy a pontok számának szorzata, vagy a pontok számának szorzata osztva 2, és így tovább.

Az ilyen típusú problémák megoldásának fő módszere a klasszikus valószínűségi képlet alkalmazása.

Egy halál, a valószínűség.

Egy kockával nagyon egyszerű a helyzet. a következő képlet határozza meg: P=m/n, ahol m az esemény szempontjából kedvező kimenetelek száma, n pedig a csont vagy kocka eldobásával végzett kísérlet összes elemi egyformán lehetséges kimenetelének száma.

1. feladat. A kockát egyszer dobjuk. Mennyi a valószínűsége, hogy páros számú pontot kapunk?

Mivel a kocka egy kocka (vagy más néven szabályos kocka, a kocka azonos valószínűséggel fog minden oldalon landolni, mivel kiegyensúlyozott), a kocka 6 oldala van (a pontok száma 1-től 6-ig, amelyek általában pontok jelzik), ez azt jelenti, hogy a problémának összesen végeredménye van: n=6. Az eseménynek csak az a végeredmény kedvez, ahol a páros 2, 4 és 6 ponttal rendelkező oldal jelenik meg, a kocka oldalai a következők: m=3. Most meg tudjuk határozni a kocka kívánt valószínűségét: P=3/6=1/2=0,5.

2. feladat. A kockát egyszer dobjuk. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább 5 pontot kap?

Ezt a problémát a fenti példával analóg módon oldjuk meg. Kockadobásnál az egyformán lehetséges kimenetelek száma összesen: n=6, és csak 2 kimenetel felel meg a probléma feltételének (legalább 5 pontot dobott fel, azaz 5 vagy 6 pontot dob), ami m =2. Ezután megtaláljuk a szükséges valószínűséget: P=2/6=1/3=0,333.

Két kocka, valószínűség.

2 dobókocka dobásával kapcsolatos problémák megoldásakor nagyon kényelmes egy speciális pontozótábla használata. Rajta az első kockára esett pontok száma vízszintesen, a második kockára esett pontok száma pedig függőlegesen jelenik meg. A munkadarab így néz ki:

De felmerül a kérdés, mi lesz a táblázat üres celláiban? Ez attól függ, hogy milyen problémát kell megoldani. Ha a feladat a pontok összegéről szól, akkor oda írjuk az összeget, ha pedig a különbségről, akkor a különbséget írjuk le, és így tovább.

3. feladat. Egyszerre 2 kockát dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy 5 pontnál kevesebbet kapsz?

Először is ki kell találnia, hogy mennyi lesz a kísérlet eredménye. Amikor minden nyilvánvaló volt dob egy kockát A kocka 6 lapja – a kísérlet 6 eredménye. De ha már két kocka van, a lehetséges kimeneteleket az (x, y) alakú rendezett számpárok formájában ábrázolhatjuk, ahol x azt mutatja, hogy hány pontot dobtak az első kockán (1-től 6-ig), és y - hány pontot dobtak a második kockán (1-től 6-ig). Összesen ilyen számpárok lesznek: n=6*6=36 (az eredménytáblázatban ezek pontosan 36 cellának felelnek meg).

Most már kitöltheti a táblázatot, ehhez minden cellába be kell írni az első és a második kockára esett pontok számát. Az elkészült táblázat így néz ki:

A táblázat segítségével meghatározzuk azoknak a kimeneteknek a számát, amelyek kedveznek az eseménynek, „összesen 5 pontnál kevesebb jelenik meg”. Számoljuk meg a cellák számát, az összeg értéke, amelyben lesz kevesebb szám 5 (ezek a 2, 3 és 4). A kényelem kedvéért az ilyen cellákat átfestjük, m=6 lesz belőlük:

Figyelembe véve a táblázat adatait, kocka valószínűsége egyenlő: P=6/36=1/6.

4. feladat. Két kockát dobtak. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a pontok számának szorzata osztható 3-mal!

A feladat megoldásához készítsünk táblázatot az első és a második kockára esett pontok szorzatairól. Ebben azonnal kiemeljük azokat a számokat, amelyek a 3 többszörösei:

Felírjuk a kísérlet összes kimenetelének számát n=36 (az indoklás ugyanaz, mint az előző feladatnál) és a kedvező kimenetelek számát (a táblázatban árnyékolt cellák száma) m=20. Az esemény valószínűsége: P=20/36=5/9.

5. feladat. A kockát kétszer dobjuk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első és a második dobókocka pontjai között 2-5 lesz a különbség?

Hogy meghatározza kocka valószínűségeÍrjuk fel a pontkülönbségek táblázatát, és jelöljük ki benne azokat a cellákat, amelyek különbségértéke 2 és 5 között lesz:

A kedvező kimenetelek száma (a táblázatban árnyékolt cellák száma) m=10, az ugyanilyen lehetséges elemi kimenetek száma összesen n=36 lesz. Meghatározza az esemény valószínűségét: P=10/36=5/18.

Egyszerű esemény esetén és 2 dobókocka dobásakor fel kell építeni egy táblázatot, majd ki kell választani benne a szükséges cellákat, és el kell osztani a számukat 36-tal, ez valószínűségnek számít.

1.4 - 1.6 feladatok

Probléma állapot 1.4

Jelölje meg a hibát a probléma „megoldásában”: két dobókockát dobunk; határozza meg annak valószínűségét, hogy a húzott pontok összege 3 (A esemény). "Megoldás". A tesztnek két kimenetele van: a húzott pontok összege 3, a húzott pontok összege nem egyenlő 3-mal. Az A eseménynek egy kimenetel kedvez, összesen kettő. Ezért a kívánt valószínűség egyenlő P(A) = 1/2.

Az 1.4. feladat megoldása

Ebben a „megoldásban” az a hiba, hogy a kérdéses eredmények nem egyformán lehetségesek. Korrekt megoldás: Az egyformán lehetséges kimenetelek száma egyenlő (az egyik kockán dobott pontok száma kombinálható egy másik kockán dobott pontok számával). Ezen eredmények közül csak két eredmény kedvez az eseménynek: (1; 2) és (2; 1). Ez azt jelenti, hogy a szükséges valószínűség

Válasz:

Probléma állapot 1.5

Két kockát dobnak. Határozza meg a következő események valószínűségét: a) a húzott pontok összege hét; b) a húzott pontok összege nyolc, a különbség négy; c) a húzott pontok összege nyolc, ha ismert, hogy különbségük négy; d) a hengerelt pontok összege öt, a szorzat pedig négy.

Az 1.5. feladat megoldása

a) Hat opció az első kockán, hat a másodikon. Összes opció: (termékszabály szerint). Opciók 7-tel egyenlő összegre: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - összesen hat lehetőség. Eszközök,

b) Csak kettő megfelelő lehetőségeket: (6.2) és (2.6). Eszközök,

c) Csak két megfelelő lehetőség van: (2,6), (6,2). De összességében lehetséges opciók 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Azt jelenti,.

d) 5-tel egyenlő összeg esetén a következő lehetőségek megfelelőek: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). A termék 4, csak két lehetőség esetén. Akkor

Válasz: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Probléma állapot 1.6

Egy kockát, amelynek minden széle színes, ezer azonos méretű kockára fűrészeljük, majd alaposan összekeverjük. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a szerencse által rajzolt kockának színes lapjai vannak: a) egy; b) kettő; három órakor.

Az 1.6. probléma megoldása

Összesen 1000 kocka alakult ki. Kocka három színes lappal: 8 (ezek sarokkockák). Két színes lappal: 96 (mivel egy kockának 12 éle van, mindegyik élén 8 kocka). Színes élű kocka: 384 (mivel 6 lap van, és mindegyik lapon 64 kocka van). Nincs más hátra, mint minden talált mennyiséget elosztani 1000-rel.

Válasz: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008