A szinuszos koszinusz érintő kotangens képlete. Trigonometrikus függvények

Fontos megjegyzések!
1. Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt megtenni a böngészőben:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen leginkább navigátorunkra hasznos forrás Mert

Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

A szinusz (), koszinusz (), érintő (), kotangens () fogalma elválaszthatatlanul összefügg a szög fogalmával. Hogy ezeket első pillantásra jól megértsük, összetett fogalmak(amelyek sok iskolásban rémületet okoznak), és hogy megbizonyosodjunk arról, hogy „az ördög nem olyan ijesztő, mint ahogy le van festve”, kezdjük a legelejétől, és értsük meg a szög fogalmát.

Szögfogalom: radián, fok

Nézzük a képet. A vektor egy bizonyos mértékben „elfordult” a ponthoz képest. Tehát ennek a forgásnak a kiindulási helyzethez viszonyított mértéke lesz sarok.

Mit kell még tudni a szög fogalmáról? Hát persze, szögegységek!

A szög geometriában és trigonometriában egyaránt mérhető fokban és radiánban.

Egy (egy fokos) szöget nevezünk központi szög körben, a kör egy részével egyenlő körív alapján. Így az egész kör körívek „darabjaiból” áll, vagy a kör által leírt szög egyenlő.

Ez azt jelenti, hogy a fenti ábra egy szöget mutat, amely egyenlő, vagyis ez a szög egy kerület nagyságú köríven nyugszik.

A radiánban kifejezett szög a kör középponti szöge, amelyet egy körív zár be, amelynek hossza megegyezik a kör sugarával. Nos, rájöttél? Ha nem, akkor derítsük ki a rajzból.

Tehát az ábra egy radiánnal egyenlő szöget mutat, vagyis ez a szög egy köríven nyugszik, amelynek hossza megegyezik a kör sugarával (a hossza egyenlő a hosszával vagy a sugár egyenlő a körívvel). az ív hossza). Így az ív hosszát a következő képlettel számítjuk ki:

Hol van a középponti szög radiánban.

Nos, ennek ismeretében meg tudnád válaszolni, hogy a kör által leírt szög hány radiánt tartalmaz? Igen, ehhez emlékeznie kell a kerület képletére. Itt van:

Nos, most korreláljuk ezt a két képletet, és állapítsuk meg, hogy a kör által leírt szög egyenlő. Vagyis a fokban és radiánban megadott értékeket korrelálva azt kapjuk. Illetve,. Mint látható, a "fokkal" ellentétben a "radián" szó kimarad, mivel a mértékegység általában egyértelmű a szövegkörnyezetből.

Hány radián van? így van!

Megvan? Akkor folytassa és javítsa ki:

Nehézségei vannak? Akkor nézd válaszol:

Derékszögű háromszög: szinusz, koszinusz, érintő, szög kotangens

Tehát kitaláltuk a szög fogalmát. De mi egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense? Találjuk ki. Ebben segítségünkre lesz derékszögű háromszög.

Hogy hívják egy derékszögű háromszög oldalait? Így van, hipotenusz és lábak: a hipotenusz az az oldal, amely a derékszöggel szemben fekszik (példánkban ez az oldal); lábak a két fennmaradó oldal és (a szomszédos derékszög), és ha a lábakat a szöghez viszonyítva tekintjük, akkor a láb a szomszédos láb, a láb pedig az ellenkezője. Tehát most válaszoljunk a kérdésre: mi a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens egy szögben?

Szög szinusza- ez az ellentétes (távoli) láb és a hypotenus aránya.

A mi háromszögünkben.

A szög koszinusza- ez a szomszédos (közeli) láb és a hypotenus aránya.

A mi háromszögünkben.

A szög érintője- ez az ellenkező (távoli) oldal és a szomszédos (közeli) oldal aránya.

A mi háromszögünkben.

Szög kotangense- ez a szomszédos (közeli) láb és az ellenkező (távoli) láb aránya.

A mi háromszögünkben.

Ezek a meghatározások szükségesek ne feledje! Ahhoz, hogy könnyebben megjegyezze, melyik lábat mire kell felosztani, ezt egyértelműen meg kell értenie tangensÉs kotangens csak a lábak ülnek, és a hypotenusa csak a belsejében jelenik meg sinusÉs koszinusz. És akkor jöhet az asszociációk láncolata. Például ez:

koszinusz→érintés→érintés→szomszédos;

Kotangens→érintés→érintés→szomszédos.

Először is emlékeznie kell arra, hogy a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens, mivel a háromszög oldalainak aránya nem függ ezen oldalak hosszától (ugyanabban a szögben). Ne higgy nekem? Akkor győződj meg a képről:

Vegyük például egy szög koszinuszát. Definíció szerint háromszögből: , de kiszámolhatjuk egy szög koszinuszát egy háromszögből: . Látod, az oldalak hossza különböző, de egy szög koszinuszának értéke ugyanaz. Így a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke kizárólag a szög nagyságától függ.

Ha érti a definíciókat, akkor folytassa és konszolidálja azokat!

Az alábbi ábrán látható háromszögnél azt találjuk.

Nos, megkaptad? Aztán próbáld ki magad: számítsd ki ugyanezt a szögre is.

Egység (trigonometrikus) kör

A fok és a radián fogalmát megértve olyan kört tekintettünk, amelynek sugara egyenlő. Egy ilyen kört neveznek egyetlen. Nagyon hasznos lesz a trigonometria tanulmányozása során. Ezért nézzük meg kicsit részletesebben.

Mint látható, ez a kör a derékszögű koordinátarendszerben van megszerkesztve. A kör sugara eggyel egyenlő, míg a kör középpontja a koordináták origójában van, a sugárvektor kezdeti helyzete a tengely pozitív iránya mentén rögzített (példánkban ez a sugár).

A kör minden pontja két számnak felel meg: a tengely koordinátájának és a tengely koordinátájának. Mik ezek a koordinátaszámok? És egyáltalán, mi közük van a szóban forgó témához? Ehhez emlékeznünk kell a figyelembe vett derékszögű háromszögre. A fenti ábrán két teljes derékszögű háromszög látható. Tekintsünk egy háromszöget. Téglalap alakú, mert merőleges a tengelyre.

Mivel egyenlő a háromszög? így van. Ezenkívül tudjuk, hogy az egységkör sugara, ami azt jelenti. Helyettesítsük be ezt az értéket a koszinusz képletébe. Íme, mi történik:

Mivel egyenlő a háromszög? Hát persze! Helyettesítse be a sugár értékét ebbe a képletbe, és kapja meg:

Tehát meg tudod mondani, hogy egy körhöz tartozó pontnak milyen koordinátái vannak? Nos, dehogy? Mi van, ha ezt felismeri, és csak számok vagyunk? Melyik koordinátának felel meg? Hát persze, a koordináták! És milyen koordinátának felel meg? Így van, koordináták! Így pont.

Akkor mik azok és mik azok? Így van, használjuk az érintő és a kotangens megfelelő definícióit, és kapjuk meg, hogy a.

Mi van, ha a szög nagyobb? Például, mint ezen a képen:

Mi változott ebben a példában? Találjuk ki. Ehhez forduljunk ismét egy derékszögű háromszöghöz. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget: szög (mint szög szomszédságában). Mi a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értéke egy szögre? Így van, ragaszkodunk a trigonometrikus függvények megfelelő definícióihoz:

Nos, amint látja, a szög szinuszának értéke még mindig megfelel a koordinátának; a szög koszinuszának értéke - a koordináta; valamint az érintő és a kotangens értékei a megfelelő arányokhoz. Így ezek az összefüggések a sugárvektor bármely elforgatására vonatkoznak.

Már említettük, hogy a sugárvektor kezdeti helyzete a tengely pozitív iránya mentén van. Eddig ezt a vektort az óramutató járásával ellentétes irányba forgattuk, de mi történik, ha az óramutató járásával megegyező irányba forgatjuk? Semmi rendkívüli, egy bizonyos értékű szöget is kapsz, de csak az lesz negatív. Így a sugárvektort az óramutató járásával ellentétes irányba forgatva azt kapjuk pozitív szögek, és az óramutató járásával megegyező irányba forgatva - negatív.

Tehát tudjuk, hogy a sugárvektor egy kör körüli teljes fordulata a vagy. Elforgatható-e a sugárvektor oda vagy felé? Hát persze, hogy lehet! Az első esetben tehát a sugárvektor egy teljes fordulatot tesz, és megáll a vagy pozícióban.

A második esetben, vagyis a sugárvektor három teljes fordulatot tesz, és megáll a vagy pozícióban.

A fenti példákból tehát azt a következtetést vonhatjuk le, hogy azok a szögek, amelyek vagy (ahol bármely egész szám) különböznek, a sugárvektor azonos helyzetének felelnek meg.

Az alábbi ábra egy szöget mutat. Ugyanez a kép megfelel a sarok stb. Ez a lista a végtelenségig folytatható. Mindezek a szögek felírhatók az általános képlettel vagy (ahol bármely egész szám)

Most az alapvető trigonometrikus függvények definícióinak ismeretében és az egységkör használatával próbálja meg megválaszolni, hogy mik az értékek:

Íme egy egységkör, amely segít Önnek:

Nehézségei vannak? Akkor találjuk ki. Tehát tudjuk, hogy:

Innen határozzuk meg az egyes szögmértékeknek megfelelő pontok koordinátáit. Nos, kezdjük sorrendben: a szög egy koordinátákkal rendelkező pontnak felel meg, ezért:

Nem létezik;

Továbbá, ugyanazt a logikát követve, azt találjuk, hogy a sarkok koordinátájú pontoknak felelnek meg. Ennek ismeretében könnyű meghatározni a trigonometrikus függvények értékeit a megfelelő pontokban. Először próbálja ki saját maga, majd ellenőrizze a válaszokat.

Válaszok:

Így elkészíthetjük a következő táblázatot:

Nem szükséges mindezekre az értékekre emlékezni. Elég megjegyezni az egységkör pontjainak koordinátái és a trigonometrikus függvények értékei közötti megfelelést:

De a és a szögek trigonometrikus függvényeinek értékei, az alábbi táblázatban, emlékezni kell:

Ne ijedjen meg, most mutatunk egy példát meglehetősen egyszerű megjegyezni a megfelelő értékeket:

A módszer használatához létfontosságú, hogy emlékezzen a szinusz értékére mindhárom szögmértékre (), valamint a szög érintőjének értékére. Ezen értékek ismeretében meglehetősen egyszerű a teljes táblázat visszaállítása - a koszinusz értékek a nyilaknak megfelelően kerülnek átvitelre, azaz:

Ennek ismeretében visszaállíthatja az értékeket. A " " számláló és a " " nevező egyezik. A kotangens értékek átvitele az ábrán látható nyilak szerint történik. Ha megérti ezt, és emlékszik a nyilakkal ellátott diagramra, akkor elég lesz emlékezni a táblázat összes értékére.

Egy kör pontjának koordinátái

Meg lehet-e találni egy pontot (koordinátáit) a körön, a kör középpontjának koordinátáinak, sugarának és forgásszögének ismeretében?

Hát persze, hogy lehet! Szedjük ki általános képlet hogy megtaláljuk egy pont koordinátáit.

Például itt van előttünk egy kör:

Azt kaptuk, hogy a pont a kör középpontja. A kör sugara egyenlő. Meg kell találni a pont fokos elforgatásával kapott pont koordinátáit.

Amint az ábrán látható, a pont koordinátája megfelel a szakasz hosszának. A szakasz hossza megfelel a kör középpontjának koordinátájának, azaz egyenlő. Egy szakasz hossza a koszinusz definíciójával fejezhető ki:

Akkor ez a pont koordinátája.

Ugyanezt a logikát alkalmazva megtaláljuk a pont y koordináta értékét. Így,

Szóval, be általános nézet A pontok koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

A kör középpontjának koordinátái,

A kör sugara,

A vektor sugarának elforgatási szöge.

Mint látható, az általunk vizsgált egységkör esetében ezek a képletek jelentősen lecsökkennek, mivel a középpont koordinátái egyenlőek nullával, a sugár pedig eggyel:

Nos, próbáljuk ki ezeket a képleteket úgy, hogy gyakoroljuk a pontok keresését a körön?

1. Keresse meg egy pont koordinátáit az egységkörön, amelyet a pont elforgatásával kapunk.

2. Keresse meg az egységkör egy pontjának koordinátáit, amelyet a pont elforgatásával kapunk.

3. Keresse meg egy pont koordinátáit az egységkörön, amelyet a pont elforgatásával kapunk.

4. A pont a kör középpontja. A kör sugara egyenlő. Meg kell találni annak a pontnak a koordinátáit, amelyet a kezdeti sugárvektor -kal elforgatva kapunk.

5. A pont a kör középpontja. A kör sugara egyenlő. Meg kell találni annak a pontnak a koordinátáit, amelyet a kezdeti sugárvektor -kal elforgatva kapunk.

Gondjai vannak egy kör pontjának koordinátáinak megtalálásával?

Oldd meg ezt az öt példát (vagy tanulj jól a megoldásban), és megtanulod megtalálni őket!

ÖSSZEFOGLALÁS ÉS ALAPKÉPLETEK

A szög szinusza a szemközti (távolabbi) láb és a hipotenusz aránya.

A szög koszinusza a szomszédos (közeli) láb és a hypotenus aránya.

A szög érintője a szemközti (távoli) oldal és a szomszédos (közeli) oldal aránya.

Egy szög kotangense a szomszédos (közeli) oldal és a szemközti (távoli) oldal aránya.

Nos, a témának vége. Ha ezeket a sorokat olvasod, az azt jelenti, hogy nagyon menő vagy.

Mert az embereknek mindössze 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvasod, akkor ebben az 5%-ban benne vagy!

Most a legfontosabb.

Megértetted az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... ez egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Minek?

A sikerességért az egységes államvizsga letétele, költségvetési keretből való felvételhez és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások az egységes államvizsgán, és végül... boldogabb legyen?

NYERJ MEG A KEZET AZ EBBEN A TÉMÁBAN VONATKOZÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁVAL.

A vizsga során nem kérnek elméletet.

Szükséged lesz megoldani a problémákat az idővel.

És ha nem oldotta meg őket (SOKAT!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem lesz ideje.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keresse a kollekciót, ahol csak akarja, szükségszerűen megoldásokkal, részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (opcionális) használhatja, és természetesen ajánljuk.

Ahhoz, hogy jobban tudja használni feladatainkat, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

1. Oldja fel az összes rejtett feladatot ebben a cikkben -
2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz a tankönyv mind a 99 cikkében - Vásároljon tankönyvet - 499 RUR

Igen, a tankönyvünkben 99 ilyen cikk található, és azonnal megnyitható az összes feladat és a benne lévő rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely TELJES élettartama alatt.

És befejezésül...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne állj meg az elméletnél.

Az „értettem” és a „meg tudom oldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg őket!

Lehetővé teszi számos jellemző eredmény megállapítását - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságai. Ebben a cikkben három fő tulajdonságot fogunk megvizsgálni. Az első az α szög szinuszának, koszinuszának, tangensének és kotangensének előjelét jelzi a szögtől függően koordinátanegyedértéke α. Ezután megvizsgáljuk a periodicitás tulajdonságát, amely megállapítja az α szög szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékeinek invarianciáját, amikor ez a szög egész számú fordulattal változik. A harmadik tulajdonság az α és −α ellentétes szögek szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékei közötti kapcsolatot fejezi ki.

Ha érdekli a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens függvények tulajdonságai, tanulmányozhatja őket a cikk megfelelő részében.

Oldalnavigáció.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens jelei negyedenként

Ebben a bekezdésben az „I, II, III és IV koordinátanegyed szöge” kifejezés jelenik meg. Magyarázzuk el, melyek ezek a szögek.

Vegyünk egy egységkört, jelöljük meg rajta az A(1, 0) kezdőpontot, és forgassuk el az O pont körül α szöggel, és feltesszük, hogy az A 1 (x, y) pontba jutunk.

Azt mondják α szög az I, II, III, IV koordinátanegyed szöge, ha az A 1 pont az I, II, III, IV negyedben van; ha az α szög olyan, hogy az A 1 pont az Ox vagy Oy koordinátaegyenesek bármelyikén fekszik, akkor ez a szög nem tartozik a négy negyed egyikéhez sem.

Az érthetőség kedvéért itt egy grafikus illusztráció. Az alábbi rajzokon 30, -210, 585 és -45 fokos elforgatási szögek láthatók, amelyek az I, II, III és IV koordinátanegyedek szögei.

Szögek 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … fokok nem tartoznak egyik koordinátanegyedhez sem.

Most nézzük meg, hogy milyen jeleknek van az α forgásszög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense értéke attól függően, hogy melyik negyedszög az α.

Szinusz és koszinusz esetén ez könnyen megtehető.

Az α szög szinusza definíció szerint az A 1 pont ordinátája. Nyilvánvalóan az I. és II. koordinátanegyedben pozitív, a III. és IV. negyedévben pedig negatív. Így az α szög szinuszának az 1. és 2. negyedben plusz, a 3. és 6. negyedben mínusz jele van.

Az α szög koszinusza viszont az A 1 pont abszcissza. Az I. és IV. negyedévben pozitív, a II. és III. negyedévben negatív. Következésképpen az α szög koszinuszának értékei az I. és IV. negyedben pozitívak, a II. és III. negyedben pedig negatívak.

Az előjelek tangens és kotangens negyedével történő meghatározásához emlékeznie kell a definíciókra: az érintő az A 1 pont ordinátájának az abszcisszahoz viszonyított aránya, a kotangens pedig az A 1 pont abszcisszának az ordinátához viszonyított aránya. Aztán től számosztás szabályai azonos és eltérő előjellel ebből az következik, hogy az érintőnek és a kotangensnek pluszjele van, ha az A 1 pont abszcissza és ordináta előjele megegyezik, és mínuszjele van, ha az A 1 pont abszcissza és ordináta előjele eltérő. Következésképpen a szög érintőjének és kotangensének az I. és III. koordinátanegyedben +, a II. és IV. negyedben pedig mínuszjel van.

Valóban, például az első negyedben az A 1 pont x abszcissza és y ordinátája is pozitív, akkor az x/y hányados és az y/x hányados is pozitív, ezért az érintőnek és a kotangensnek + előjele van. A második negyedben pedig az x abszcissza negatív, az y ordináta pedig pozitív, ezért mind az x/y, mind az y/x negatív, ezért az érintőnek és a kotangensnek mínusz előjele van.

Térjünk át a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens következő tulajdonságára.

Periodikus tulajdonság

Most megvizsgáljuk a szög szinuszának, koszinuszának, tangensének és kotangensének talán legnyilvánvalóbb tulajdonságát. Ez a következő: ha a szög egész számú teljes fordulattal változik, akkor ennek a szögnek a szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének értéke nem változik.

Ez érthető: ha a szög egész számú fordulattal változik, az egységkörön mindig az A kezdőpontból az A 1 pontba jutunk, ezért a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke változatlan marad, mivel az A 1 pont koordinátái változatlanok.

Képletekkel a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens figyelembe vett tulajdonsága a következőképpen írható fel: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, ahol α a forgásszög radiánban, z tetszőleges, amelynek abszolút értéke azt a teljes fordulatszámot jelzi, amellyel a α szög változik, a z szám előjele pedig a fordulás irányát jelzi.

Ha az α elforgatási szöget fokban adjuk meg, akkor a jelzett képletek a következőre íródnak át: sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα.

Nézzünk példákat ennek a tulajdonságnak a használatára. Például, , mert , A . Íme egy másik példa: vagy .

Ezt a tulajdonságot a redukciós képletekkel együtt nagyon gyakran használják a „nagy” szögek szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékének kiszámításakor.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens figyelembe vett tulajdonságát néha periodicitás tulajdonságnak is nevezik.

Ellentétes szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek tulajdonságai

Legyen A 1 az A(1, 0) kezdőpont O pont körüli α szöggel történő elforgatásával kapott pont, A 2 pont pedig az A pont −α szöggel, α szöggel ellentétes elforgatásának eredménye.

Az ellentétes szögű szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek tulajdonsága egy meglehetősen nyilvánvaló tényen alapul: a fent említett A 1 és A 2 pontok vagy egybeesnek (at), vagy szimmetrikusan helyezkednek el az Ox tengelyhez képest. Azaz, ha az A 1 pontnak vannak (x, y) koordinátái, akkor az A 2 pontnak (x, −y) koordinátái lesznek. Innentől kezdve a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit használva felírjuk a és az egyenlőségeket.
Összehasonlítva az alak α és −α ellentétes szögeinek szinuszai, koszinuszai, érintői és kotangensei közötti összefüggésekre jutunk.
Ez a vizsgált tulajdonság képletek formájában.

Nézzünk példákat ennek a tulajdonságnak a használatára. Például az egyenlőségek ill .

Csak meg kell jegyezni, hogy az ellentétes szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek tulajdonságát az előző tulajdonsághoz hasonlóan gyakran használják a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékének kiszámításakor, és lehetővé teszi a negatívak teljes elkerülését. szögek.

Hivatkozások.

• Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
• Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. általános műveltség intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
• Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Ez a cikk a trigonometrikus függvények három alapvető tulajdonságát vizsgálja meg: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens.

Az első tulajdonság a függvény előjele attól függően, hogy az egységkör melyik negyedéhez tartozik az α szög. A második tulajdonság a periodicitás. E tulajdonság szerint a tigonometrikus függvény nem változtatja meg értékét, ha a szög egész számú fordulattal változik. A harmadik tulajdonság határozza meg, hogy a sin, cos, tg, ctg függvények értéke hogyan változik α és - α ellentétes szögekben.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gyakran egy matematikai szövegben vagy egy probléma kontextusában megtalálható a következő kifejezés: „az első, második, harmadik vagy negyedik koordinátanegyed szöge”. Mi az?

Térjünk rá az egységkörre. Négy negyedre van osztva. Jelöljük a körön az A 0 (1, 0) kezdőpontot, és az O pont körül α szöggel elforgatva eljutunk az A 1 (x, y) ponthoz. Attól függően, hogy az A 1 (x, y) pont melyik negyedben van, az α szöget az első, második, harmadik és negyedik negyed szögének nevezzük.

Az érthetőség kedvéért itt egy illusztráció.

Az α = 30° szög az első negyedben van. Szög - 210° a második negyed szög. Az 585°-os szög a harmadik negyed szög. A -45°-os szög a negyedik negyed szög.

Ebben az esetben a ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° szögek nem tartoznak egyetlen negyedhez sem, mivel a koordinátatengelyeken fekszenek.

Most vegyük figyelembe a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens jeleit attól függően, hogy a szög melyik kvadránsban van.

A szinusz jeleinek negyedenkénti meghatározásához idézzük fel a definíciót. A szinusz az A 1 (x, y) pont ordinátája. Az ábrán látható, hogy az első és a második negyedévben pozitív, a harmadikban és a négyszeresben pedig negatív.

A koszinusz az A 1 (x, y) pont abszcissza. Ennek megfelelően meghatározzuk a körön a koszinusz jeleit. A koszinusz az első és a negyedik negyedévben pozitív, a második és harmadik negyedévben negatív.

Az érintő és kotangens negyedek szerinti meghatározásához felidézzük ezen trigonometrikus függvények definícióit is. Az érintő egy pont ordinátájának az abszcisszahoz viszonyított aránya. Ez azt jelenti, hogy a különböző előjelű számok felosztásának szabálya szerint, ha az ordináta és az abszcissza azonos előjelű, akkor a kör érintőjele pozitív lesz, ha pedig az ordináta és az abszcissza különböző jelek- negatív. Hasonló módon határozzuk meg a negyedek kotangens jeleit.

Fontos emlékezni!

1. Az α szög szinuszának az 1. és 2. negyedben plusz, a 3. és 4. negyedben mínusz jel van.
2. Az α szög koszinuszának az 1. és 4. negyedben plusz, a 2. és 3. negyedben mínusz jel van.
3. Az α szög érintője az 1. és 3. negyedben plusz, a 2. és 4. negyedben mínusz jelű.
4. Az α szög kotangensének az 1. és 3. negyedben plusz, a 2. és 4. negyedben mínusz jel van.

Periodikus tulajdonság

A periodicitás tulajdonsága a trigonometrikus függvények egyik legnyilvánvalóbb tulajdonsága.

Periodikus tulajdonság

Ha a szög egész számú teljes fordulattal változik, a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékei adott szög változatlanok maradnak.

Valójában, ha a szög egész számú fordulattal változik, akkor az egységkörön lévő A kezdőpontból mindig azonos koordinátákkal jutunk el az A 1 pontba. Ennek megfelelően a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke nem változik.

Matematikailag ezt a tulajdonságot a következőképpen írjuk le:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

Hogyan használják ezt az ingatlant a gyakorlatban? A periodicitás tulajdonságot a redukciós képletekhez hasonlóan gyakran használják nagy szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek kiszámítására.

Mondjunk példákat.

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

Nézzük újra az egységkört.

Az A 1 (x, y) pont az A 0 (1, 0) kezdőpontnak a kör középpontja körüli α szöggel történő elforgatásának eredménye. Az A 2 (x, - y) pont a kezdőpont - α szöggel történő elforgatásának eredménye.

Az A 1 és A 2 pontok szimmetrikusak az abszcissza tengelyre. Abban az esetben, ha α = 0 °, ± 180 °, ± 360 °, az A 1 és A 2 pontok egybeesnek. Legyen az egyik pont koordinátái (x, y), a másodiké pedig - (x, - y). Idézzük fel a szinusz, koszinusz, érintő, kotangens definícióit, és írjuk fel:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

Ez magában foglalja az ellentétes szögű szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek tulajdonságát.

Ellentétes szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek tulajdonsága

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

E tulajdonság szerint az egyenlőségek igazak

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Ezt a tulajdonságot gyakran használják gyakorlati problémák megoldására olyan esetekben, amikor meg kell szabadulni a negatív szögjelektől a trigonometrikus függvények argumentumában.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Nem próbállak meggyőzni, hogy ne írj csalólapot. Írj! Beleértve a trigonometria csalólapjait. Később azt tervezem, hogy elmagyarázom, miért van szükség a csalólapokra, és miért hasznosak a csalólapok. És itt van információ arról, hogyan ne tanuljunk, de emlékezzünk néhányra trigonometrikus képletek. Tehát - trigonometria csalólap nélkül A memorizáláshoz asszociációkat használunk!

1. Összeadási képletek:

A koszinusz mindig „párban jön”: koszinusz-koszinusz, szinusz-szinusz. És még valami: a koszinusz „nem megfelelő”. „Nincs minden rendben” számukra, ezért a „-” jeleket „+”-ra cserélik, és fordítva.

Szinuszok – „keverék”: szinusz-koszinusz, koszinusz-szinusz.

2. Összeg és különbség képletek:

a koszinuszok mindig „párban jönnek”. Két koszinusz - „kolobok” hozzáadásával egy koszinuszpárt kapunk - „koloboks”. És kivonva biztosan nem kapunk kolobokot. Kapunk pár szinust. Szintén mínuszos előrébb.

Szinuszok – „keverék” :

3. Képletek egy szorzat összeggé és különbözetté alakításához.

Mikor kapunk koszinusz párt? Amikor koszinuszokat adunk hozzá. azért

Mikor kapunk pár szinust? A koszinusz kivonásánál. Innen:

A „keverést” a szinuszok összeadásakor és kivonásakor is megkapjuk. Mi a szórakoztatóbb: összeadás vagy kivonás? Így van, hajtsd össze. És a képlethez hozzáadják:

Az első és a harmadik képletben az összeg zárójelben van. A kifejezések helyeinek átrendezése az összegen nem változtat. A sorrend csak a második képletnél fontos. De hogy ne tévedjünk össze, az emlékezés megkönnyítése érdekében mindhárom képletben az első zárójelben a különbséget vesszük

és másodszor - az összeget

A zsebedben lévő csalólapok nyugalmat adnak: ha elfelejted a képletet, lemásolhatod. És önbizalmat adnak: ha nem használja a csalólapot, könnyen megjegyezheti a képleteket.

Ez a cikk tartalmazza szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek táblázatai. Először megadjuk a trigonometrikus függvények alapértékeinek táblázatát, azaz a 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 fokos szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek táblázatát ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radián). Ezt követően adunk egy táblázatot a szinuszokról és koszinuszokról, valamint V. M. Bradis érintők és kotangensek táblázatáról, és bemutatjuk, hogyan kell ezeket a táblázatokat használni a trigonometrikus függvények értékeinek megtalálásához.

Oldalnavigáció.

Szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek táblázata 0, 30, 45, 60, 90, ... fokos szögekhez

Hivatkozások.

• Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
• Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. általános műveltség intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.
• Bradis V. M. Négyjegyű matematikai táblázatok: Általános oktatáshoz. tankönyv létesítmények. - 2. kiadás - M.: Túzok, 1999.- 96 p.: ill. ISBN 5-7107-2667-2