Sztárhírek
Hogyan határozható meg az egyenes vagy fordított arányosság. Közvetlen arányosság
g) a személy életkora és cipőjének mérete;
h) a kocka térfogata és élének hossza;
i) a négyzet kerülete és oldalának hossza;
j) tört és nevezője, ha a számláló nem változik;
k) tört és számlálója, ha a nevező nem változik.
Oldja meg a 767-778. számú feladatokat komponálással.
767. Egy 6 cm 3 térfogatú acélgolyó tömege 46,8 g Mekkora az azonos acélból készült golyó tömege, ha a térfogata 2,5 cm 3?
768. 21 kg gyapotmagból 5,1 kg olajat kaptunk. Mennyi olajat nyerünk 7 kg gyapotmagból?
769. A stadion építéséhez 5 buldózer 210 perc alatt szabadította meg a helyszínt. Mennyi ideig tart 7 buldózerrel megtisztítani ezt az oldalt?
770. A rakomány elszállításához 24 db 7,5 tonna teherbírású járműre volt szükség.
771. A magok csírázásának meghatározására borsót vetettek. A 200 elvetett borsóból 170 kelt ki a borsó hány százaléka (csírázási százalék)?
772. A város zöldítésének vasárnapján hársfákat ültettek az utcára. Az összes telepített hársfa 95%-át elfogadták. Hány hársfát ültettek el, ha 57 hársfát ültettek?
773. A sí tagozaton 80 tanuló van. Köztük 32 lány. Melyik szekció tagjai lányok és kik fiúk?
774. A terv szerint a kolhoz 980 hektárt vet be kukoricával. De a tervet 115%-ban teljesítették. Hány hektár kukoricát vetett el a kolhoz?
775. 8 hónap alatt a dolgozó az éves terv 96%-át teljesítette. Az éves terv hány százalékát teljesíti a dolgozó 12 hónap alatt, ha ugyanolyan termelékenységgel dolgozik?
776. Három nap alatt az összes répa 16,5%-át betakarították. Hány napig tart az összes cékla 60,5%-ának betakarítása azonos termelékenység mellett?
777. A vasércben minden 7 rész vasra 3 rész szennyeződés jut. Hány tonna szennyeződés van abban az ércben, amely 73,5 tonna vasat tartalmaz?
778. Borscht elkészítéséhez minden 100 g húshoz 60 g céklát kell venni. Hány céklát kell venni 650 g húshoz?
P 779. Számíts szóban:
780. Mutassa be mindegyiket két 1-es számlálójú tört összegeként következő törtek:
.
781. A 3, 7, 9 és 21 számokból alkoss két helyes arányt!
782. Az arány középső tagja a 6 és 10. Mik lehetnek a szélső tagok? Mondjon példákat.
783. Melyik x értéknél helyes az arány:
784. Keresse meg az összefüggést:
a) 2 perctől 10 másodpercig; c) 0,1-0,1 g; e) 3 dm 3 - 0,6 m 3.
b) 0,3 m 2 - 0,1 dm 2; d) 4 órától 1 napig;
1) 6,0008:2,6 + 4,23 0,4;
2) 2,91 1,2 + 12,6288:3,6.
D 795. 20 kg almából 16 kg almaszósz jön ki. ^^ Mennyi almaszószt kapsz 45 kg almából?
796. Három festő 5 nap alatt végezheti el a munkát. A munka felgyorsítása érdekében további két festővel bővült. Mennyi ideig tart a munka befejezése, feltételezve, hogy minden festő ugyanolyan termelékenységgel dolgozik?
797. 2,5 kg bárányhúsért 4,75 rubelt fizettek. Mennyi bárányt lehet vásárolni ugyanazon az áron 6,65 RUR-ért?
798. A cukorrépa 18,5% cukrot tartalmaz. Mennyi cukrot tartalmaz 38,5 tonna cukorrépa? Válaszát kerekítse tized tonnára.
799. Az újfajta napraforgómag 49,5% olajat tartalmaz. Hány kilogramm ilyen magot kell venni ahhoz, hogy 29,7 kg olaj legyen?
800. 80 kg burgonya 14 kg keményítőt tartalmaz. Keresse meg a keményítő százalékos arányát az ilyen burgonyában.
801. A lenmag 47% olajat tartalmaz. Mennyi olajat tartalmaz 80 kg lenmag?
802. A rizs 75%-ban keményítőt, az árpa 60%-ot tartalmaz. Mennyi árpát kell bevenni, hogy ugyanannyi keményítőt tartalmazzon, mint 5 kg rizsben?
803. Keresse meg a kifejezés jelentését:
a) 203,81:(141 -136,42) + 38,4:0,7 5;
b) 96:7,5 + 288,51:(80-76,74).
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Zhokhov, Matematika 6. osztálynak, Tankönyv a számára középiskola
Az arányosság két mennyiség kapcsolata, amelyben az egyik változása a másik azonos mértékű változását vonja maga után.
Az arányosság lehet közvetlen vagy inverz. IN ezt a leckét mindegyiket megnézzük.
Az óra tartalmaKözvetlen arányosság
Tegyük fel, hogy az autó 50 km/h sebességgel halad. Emlékezzünk rá, hogy a sebesség az időegységben (1 óra, 1 perc vagy 1 másodperc) megtett távolság. Példánkban az autó 50 km/h sebességgel halad, azaz egy óra alatt ötven kilométeres távolságot tesz meg.
Az ábrán ábrázoljuk az autó által 1 óra alatt megtett távolságot.
Hagyja, hogy az autó még egy órát vezessen ugyanazzal az ötven kilométeres óránkénti sebességgel. Aztán kiderül, hogy az autó 100 km-t fog megtenni
Amint a példából látható, az idő megkétszerezése a megtett távolság azonos mértékű, azaz kétszeres növekedéséhez vezetett.
Az olyan mennyiségeket, mint az idő és a távolság egyenesen arányosnak nevezzük. Az ilyen mennyiségek közötti kapcsolatot pedig ún egyenes arányosság.
Az egyenes arányosság két mennyiség közötti kapcsolat, amelyben az egyik növekedése a másik azonos mértékű növekedését vonja maga után.
és fordítva, ha az egyik mennyiség bizonyos számú alkalommal csökken, akkor a másik ugyanannyiszor csökken.
Tegyük fel, hogy az eredeti terv az volt, hogy 100 km-t autóval 2 óra alatt hajtanak meg, de 50 km megtétele után a sofőr a pihenés mellett döntött. Aztán kiderül, hogy a távolság felére csökkentésével az idő ugyanannyival csökken. Más szóval, a megtett távolság csökkentése az idő ugyanilyen mértékű csökkenéséhez vezet.
A közvetlenül arányos mennyiségek érdekessége, hogy arányuk mindig állandó. Vagyis ha a közvetlenül arányos mennyiségek értékei megváltoznak, arányuk változatlan marad.
A vizsgált példában a távolság kezdetben 50 km volt, az idő pedig egy óra volt. A távolság és az idő aránya az 50.
De az utazási időt kétszeresére növeltük, így két órával egyenlő. Ennek eredményeként a megtett távolság ugyanennyivel nőtt, azaz 100 km-re vált. A száz kilométer és a két óra aránya ismét az 50-es szám
Az 50-es számot hívják egyenes arányossági együttható. Megmutatja, mekkora távolság van egy óránkénti mozgás. IN ebben az esetben az együttható a mozgási sebesség szerepét tölti be, mivel a sebesség a megtett távolság és az idő aránya.
Az arányokat egyenesen arányos mennyiségekből lehet kialakítani. Például az arányok alkotják az arányt:
Ötven kilométer egy óra, mint száz kilométer két óra.
2. példa. A megvásárolt áruk költsége és mennyisége egyenesen arányos. Ha 1 kg édesség 30 rubelbe kerül, akkor 2 kg azonos édesség 60 rubel, 3 kg 90 rubel. A megvásárolt termék költségének növekedésével a mennyisége is ugyanannyival nő.
Mivel egy termék költsége és mennyisége egyenesen arányos mennyiségek, arányuk mindig állandó.
Írjuk fel, mi az arány harminc rubelnek egy kilogrammhoz
Most írjuk le, mi a hatvan rubel és a két kilogramm aránya. Ez az arány ismét harminc lesz:
Itt az egyenes arányossági együttható a 30. Ez az együttható azt mutatja meg, hogy hány rubel jut egy kilogramm édességre. Ebben a példában az együttható egy kilogramm áru árának szerepét játssza, mivel az ár az áru költségének és mennyiségének aránya.
Fordított arányosság
Tekintsük a következő példát. A két város távolsága 80 km. A motoros elhagyta az első várost, és 20 km/h-s sebességgel 4 óra alatt elérte a második várost.
Ha egy motoros sebessége 20 km/h volt, az azt jelenti, hogy óránként húsz kilométert tett meg. Ábrázoljuk az ábrán a motoros által megtett távolságot és mozgásának idejét:
Visszafelé a motoros sebessége 40 km/h volt, és 2 órát töltött ugyanazon az úton.
Könnyen észrevehető, hogy a sebesség változásával a mozgás ideje is ugyanannyival változik. Ráadásul megváltozott hátoldal- vagyis a sebesség nőtt, de az idő éppen ellenkezőleg, csökkent.
Az olyan mennyiségeket, mint a sebesség és az idő fordítottan arányosnak nevezzük. Az ilyen mennyiségek közötti kapcsolatot pedig ún fordított arányosság.
A fordított arányosság két mennyiség közötti összefüggés, amelyben az egyik növekedése a másik azonos mértékű csökkenését vonja maga után.
és fordítva, ha az egyik mennyiség bizonyos számú alkalommal csökken, akkor a másik ugyanannyiszor nő.
Például, ha a visszaúton a motoros sebessége 10 km/h volt, akkor ugyanazt a 80 km-t 8 óra alatt tenné meg:
Amint a példából látható, a sebesség csökkenése a mozgási idő azonos mértékű növekedését eredményezte.
A fordítottan arányos mennyiségek sajátossága, hogy szorzatuk mindig állandó. Azaz, amikor a fordítottan arányos mennyiségek értékei megváltoznak, a szorzatuk változatlan marad.
A vizsgált példában a városok közötti távolság 80 km volt. Amikor a motoros sebessége és mozgási ideje változott, ez a távolság mindig változatlan maradt
Ezt a távot egy motoros 20 km/órás sebességgel 4 óra alatt, 40 km/órás sebességgel 2 óra alatt, 10 km/órás sebességgel 8 óra alatt tudta megtenni. A sebesség és az idő szorzata minden esetben 80 km volt
Tetszett a lecke?
Csatlakozz hozzánk új csoport VKontakte, és kaphat értesítéseket az új leckékről
A két mennyiséget ún egyenesen arányos, ha az egyik többszörösére növekszik, a másik ugyanannyival. Ennek megfelelően, ha az egyik többször csökken, a másik ugyanannyival csökken.
Az ilyen mennyiségek közötti kapcsolat egyenes arányos kapcsolat. Példák egyenesre arányos függőség:
1) állandó sebesség mellett a megtett távolság egyenesen arányos az idővel;
2) a négyzet kerülete és oldala egyenesen arányos mennyiségek;
3) az egy áron megvásárolt termék költsége egyenesen arányos a mennyiségével.
A közvetlen arányosság és az inverz kapcsolat megkülönböztetéséhez használhatja a közmondást: "Minél beljebb az erdőbe, annál több tűzifa."
A közvetlenül arányos mennyiségekkel kapcsolatos problémákat célszerű arányok segítségével megoldani.
1) 10 alkatrész elkészítéséhez 3,5 kg fémre van szükség. Mennyi fémből készül 12 ilyen alkatrész?
(Így érvelünk:
1. A kitöltött oszlopban helyezzen el egy nyilat a legnagyobb számtól a legkisebbig.
2. Minél több alkatrész, annál több fémre van szükség az elkészítéséhez. Ez azt jelenti, hogy ez egy egyenesen arányos kapcsolat.
Legyen x kg fém szükséges 12 alkatrész elkészítéséhez. Összeállítjuk az arányt (a nyíl elejétől a végéig):
12:10=x:3,5
A megtalálásához el kell osztani a szélső tagok szorzatát az ismert középső taggal:
Ez azt jelenti, hogy 4,2 kg fémre lesz szükség.
Válasz: 4,2 kg.
2) 15 méter szövetért 1680 rubelt fizettek. Mennyibe kerül 12 méter ilyen szövet?
(1. A kitöltött oszlopban helyezzen el egy nyilat a legnagyobb számtól a legkisebbig.
2. Minél kevesebb anyagot veszel, annál kevesebbet kell érte fizetni. Ez azt jelenti, hogy ez egy egyenesen arányos kapcsolat.
3. Ezért a második nyíl az elsővel azonos irányú).
Legyen x rubel ára 12 méter szövet. Arányt készítünk (a nyíl elejétől a végéig):
15:12=1680:x
Az arány ismeretlen szélső tagjának meghatározásához osszuk el a középtagok szorzatát az arány ismert szélső tagjával:
Ez azt jelenti, hogy 12 méter ára 1344 rubel.
Válasz: 1344 rubel.
129. § Előzetes pontosítások.
Az ember folyamatosan sokféle mennyiséggel foglalkozik. Egy alkalmazott és egy dolgozó egy meghatározott időpontra próbál munkába érkezni, egy gyalogos siet a híres hely Röviden: a gőzfűtéses tűzhely aggódik amiatt, hogy a kazán hőmérséklete lassan emelkedik, a cégvezető terveket készít a termelési költségek csökkentésére stb.
Számtalan ilyen példát lehetne felhozni. Idő, távolság, hőmérséklet, költség – mindezek különböző mennyiségek. A könyv első és második részében megismerkedtünk néhány különösen gyakori mennyiséggel: terület, térfogat, tömeg. A fizika és más tudományok tanulmányozása során sok mennyiséggel találkozunk.
Képzelje el, hogy vonaton utazik. Időnként ránéz az órájára, és észreveszi, mennyi ideje van úton. Például azt mondja, hogy 2, 3, 5, 10, 15 óra telt el a vonat indulása óta stb. Ezek a számok különböző időszakokat jelentenek; ezeket ennek a mennyiségnek (időnek) nevezzük. Vagy kinéz az ablakon, és követi az útoszlopokat, hogy lássa, mekkora távolságot tesz meg a vonat. Felvillannak előtted a 110, 111, 112, 113, 114 km számok. Ezek a számok azt a távolságot jelzik, amelyet a vonat az indulási helyétől megtett. Ezeket értékeknek is nevezik, ezúttal más nagyságrendűek (útvonal vagy távolság két pont között). Így egy mennyiség, például idő, távolság, hőmérséklet, ugyanannyit is felvehet különböző jelentések.
Felhívjuk figyelmét, hogy az ember szinte soha nem csak egy mennyiséget vesz figyelembe, hanem mindig más mennyiségekkel kapcsolja össze. Két, három ill nagy számban mennyiségeket Képzeld el, hogy 9 órára kell iskolába érned. Ránézel az órádra, és látod, hogy van 20 perced. Aztán gyorsan kitalálod, hogy villamosra szállj, vagy gyalog mehetsz az iskolába. Gondolkodás után úgy döntesz, hogy sétálsz. Vedd észre, hogy miközben gondolkodtál, valamilyen problémát megoldottál. Ez a feladat egyszerűvé és ismerőssé vált, mivel minden nap ilyen problémákat old meg. Ebben gyorsan összehasonlított több mennyiséget. Te nézted az órát, ami azt jelenti, hogy figyelembe vetted az időt, majd gondolatban elképzelted az otthonod és az iskola közötti távolságot; végül két mennyiséget hasonlított össze: a lépés sebességét és a villamos sebességét, és arra a következtetésre jutott adott idő(20 perc) Lesz ideje sétálni. Ebből egyszerű példa látod, hogy gyakorlatunkban egyes mennyiségek összefüggenek egymással, vagyis függnek egymástól
A tizenkettedik fejezet a homogén mennyiségek kapcsolatáról beszélt. Például, ha az egyik szegmens 12 m, a másik pedig 4 m, akkor ezeknek a szakaszoknak az aránya 12:4 lesz.
Azt mondtuk, hogy ez két homogén mennyiség aránya. Ennek másik módja az, hogy ez két szám aránya egy név.
Most, hogy jobban ismerjük a mennyiségeket, és bevezettük a mennyiség értékének fogalmát, új módon fejezhetjük ki az arány meghatározását. Valójában amikor két 12 m-es és 4 m-es szegmenst vettünk figyelembe, egy értékről beszéltünk - a hosszról, a 12 m és 4 m pedig csak kettő. különböző jelentések ezt az értéket.
Ezért a jövőben, amikor az arányokról kezdünk beszélni, egy mennyiség két értékét fogjuk figyelembe venni, és egy mennyiség egyik értékének és ugyanazon mennyiség másik értékének arányát az első érték elosztásának hányadosának nevezzük. a másodikra.
130. § Az értékek egyenesen arányosak.
Tekintsünk egy problémát, amelynek feltétele két mennyiséget tartalmaz: a távolságot és az időt.
1. feladat. Egy egyenesen és egyenletesen mozgó test másodpercenként 12 cm-t tesz meg. Határozza meg a test által 2, 3, 4, ..., 10 másodperc alatt megtett távolságot!
Készítsünk egy táblázatot, amivel nyomon követhetjük az idő és a távolság változásait.
A táblázat lehetőséget ad e két értéksor összehasonlítására. Látjuk belőle, hogy amikor az első mennyiség (idő) értéke fokozatosan 2, 3,..., 10-szeresére nő, akkor a második mennyiség (távolság) értéke is 2, 3-mal nő, ..., 10 alkalommal. Így amikor egy mennyiség értéke többszörösére nő, egy másik mennyiség értéke ugyanannyival nő, és ha egy mennyiség értéke többszörösére csökken, egy másik mennyiség értéke csökken ugyanaz a szám.
Tekintsünk most egy problémát, amely két ilyen mennyiséget foglal magában: az anyag mennyiségét és annak költségét.
2. feladat. 15 m szövet ára 120 rubel. Számítsa ki ennek a szövetnek a költségét a táblázatban feltüntetett számos egyéb mérőóra esetén.
Ennek a táblázatnak a segítségével nyomon követhetjük, hogy a mennyiség növekedésétől függően hogyan növekszik fokozatosan egy termék költsége. Annak ellenére, hogy ez a probléma teljesen különböző mennyiségeket érint (az első feladatban az idő és a távolság, itt pedig az áru mennyisége és értéke), ennek ellenére nagy hasonlóságokat találhatunk e mennyiségek viselkedésében.
Valójában a táblázat felső sorában a szövetméterek számát jelző számok találhatók mindegyik alatt egy szám, amely a megfelelő árumennyiség költségét fejezi ki. Már egy gyors pillantás erre a táblázatra azt mutatja, hogy a számok a felső és az alsó sorban egyaránt növekednek; a táblázat alapos vizsgálata és az egyes oszlopok összehasonlítása során kiderül, hogy a második mennyiség értékei minden esetben ugyanannyiszor nőnek, mint az első növekedés értékei, azaz ha a az első mennyiség mondjuk 10-szeresére nő, majd a második mennyiség értéke is 10-szeresére nő.
Ha végignézzük a táblázatot jobbról balra, azt találjuk meghatározott értékeketértékkel csökkenni fognak ugyanaz a szám egyszer. Ebben az értelemben feltétlen hasonlóság van az első és a második feladat között.
Azokat a mennyiségpárokat, amelyekkel az első és a második feladatban találkoztunk, ún egyenesen arányos.
Ha tehát két mennyiség úgy kapcsolódik egymáshoz, hogy az egyik értékének többszörösére nőve (csökkenve), a másiké ugyanannyival nő (csökken), akkor az ilyen mennyiségeket egyenesen arányosnak nevezzük. .
Az ilyen mennyiségekről azt is mondják, hogy egyenesen arányos összefüggésben állnak egymással.
Sok hasonló mennyiség található a természetben és a minket körülvevő életben. Íme néhány példa:
1. Idő munka (nap, két nap, három nap stb.) ill kereset, ez idő alatt kapott napibérrel.
2. Kötet bármely homogén anyagból készült tárgy, és súly ezt a tételt.
131. § Az egyenesen arányos mennyiségek tulajdonsága.
Vegyünk egy olyan problémát, amely a következő két mennyiséget tartalmazza: munkaidőés a bevételek. Ha a napi kereset 20 rubel, akkor a 2 napos bevétel 40 rubel stb. A legkényelmesebb olyan táblázatot létrehozni, amelyben egy bizonyos számú nap egy bizonyos bevételnek felel meg.
Ha ezt a táblázatot nézzük, azt látjuk, hogy mindkét mennyiség 10 különböző értéket vett fel. Az első érték minden értéke a második érték egy bizonyos értékének felel meg, például 2 nap 40 rubelnek felel meg; 5 nap 100 rubelnek felel meg. A táblázatban ezek a számok egymás alá vannak írva.
Azt már tudjuk, hogy ha két mennyiség egyenesen arányos, akkor mindegyik a változása során annyiszor növekszik, ahányszor a másik nő. Ebből azonnal következik: ha az első mennyiség bármely két értékének arányát vesszük, akkor az egyenlő lesz a második mennyiség két megfelelő értékének arányával. Valójában:
Miért történik ez? De mivel ezek az értékek egyenesen arányosak, vagyis amikor az egyik (idő) háromszorosára nőtt, akkor a másik (a bevétel) háromszorosára nőtt.
Ezért a következő következtetésre jutottunk: ha az első mennyiség két értékét elosztjuk egymással, majd elosztjuk eggyel a második mennyiség megfelelő értékeit, akkor mindkét esetben megkapjuk a ugyanaz a szám, azaz ugyanaz a kapcsolat. Ez azt jelenti, hogy a két összefüggés, amit fentebb írtunk, egyenlőségjellel köthető össze, pl.
Kétségtelen, hogy ha nem ezeket a viszonyokat, hanem másokat vennénk, és nem ebben, hanem ellenkező sorrendben, akkor a viszonyok egyenlőségét is megkapnánk. Valójában a mennyiségeink értékeit balról jobbra fogjuk figyelembe venni, és felvesszük a harmadik és kilencedik értéket:
60:180 = 1 / 3 .
Tehát írhatjuk:
Ez a következő következtetéshez vezet: ha két mennyiség egyenesen arányos, akkor az első mennyiség két önkényesen vett értékének aránya megegyezik a második mennyiség két megfelelő értékének arányával.
132. § Az egyenes arányosság képlete.
Készítsünk egy táblázatot a különféle mennyiségű édességek költségéről, ha 1 kg-juk 10,4 rubelbe kerül.
Most csináljuk így. Vegyünk egy tetszőleges számot a második sorban, és osszuk el az első sorban lévő megfelelő számmal. Például:
Látod, hogy a hányadosban mindig ugyanaz a szám adódik. Következésképpen egy adott, közvetlenül arányos mennyiségpár esetén az egyik mennyiség tetszőleges értékének egy másik mennyiség megfelelő értékével való osztásának hányadosa egy állandó szám (azaz nem változik). Példánkban ez a hányados 10,4. Ezt az állandó számot arányossági tényezőnek nevezzük. Ebben az esetben egy mértékegység, azaz egy kilogramm áru árát fejezi ki.
Hogyan lehet megtalálni vagy kiszámítani az arányossági együtthatót? Ehhez ki kell venni az egyik mennyiség tetszőleges értékét, és el kell osztani a másik megfelelő értékével.
Jelöljük betűvel egy mennyiség tetszőleges értékét at , és egy másik mennyiség megfelelő értéke - a betű X , akkor az arányossági együtthatót (jelöljük TO) osztás szerint találjuk:
Ebben az egyenlőségben at - osztható, X - osztó és TO- hányados, és mivel az osztás tulajdonsága alapján az osztó egyenlő az osztóval, szorozva a hányadossal, felírhatjuk:
y = K x
A kapott egyenlőséget ún egyenes arányosság képlete. Ezzel a képlettel kiszámolhatjuk az egyik egyenesen arányos mennyiség tetszőleges számú értékét, ha ismerjük a másik mennyiség megfelelő értékét és az arányossági együtthatót.
Példa. A fizikából ismerjük ezt a súlyt R bármely test fajsúlya megegyezik d , megszorozva ennek a testnek a térfogatával V, azaz R = d V.
Vegyünk öt különböző térfogatú vasrudat; tudván fajsúly vas (7.8), a nyersdarabok tömegét a következő képlettel számíthatjuk ki:
R = 7,8 V.
Összehasonlítva ezt a képletet a képlettel at = TO X , ezt látjuk y = R, x = V, és az arányossági együttható TO= 7,8. A képlet ugyanaz, csak a betűk különböznek.
Ezzel a képlettel készítsünk egy táblázatot: legyen az 1. üres térfogata 8 köbméter. cm, akkor a súlya 7,8 8 = 62,4 (g). A 2. üres térfogata 27 köbméter. cm Súlya 7,8 27 = 210,6 (g). A táblázat így fog kinézni:
Számítsa ki a táblázatból hiányzó számokat a képlet segítségével! R= d V.
133. § Az egyenesen arányos mennyiségekkel történő feladatmegoldás egyéb módjai.
Az előző bekezdésben olyan feladatot oldottunk meg, amelynek feltétele egyenesen arányos mennyiségeket tartalmazott. Ebből a célból először levezettük az egyenes arányosság képletét, majd ezt a képletet alkalmaztuk. Most két másik módszert mutatunk be hasonló problémák megoldására.
Hozzunk létre egy feladatot az előző bekezdés táblázatában megadott számadatok felhasználásával.
Feladat. 8 köbméter térfogatú üres. cm súlya 62,4 g Mennyi lesz egy 64 köbméter térfogatú nyersdarab? cm?
Megoldás. A vas tömege, mint ismeretes, arányos a térfogatával. Ha 8 cu. cm súlyú 62,4 g, majd 1 köb. cm 8-szor kisebb lesz, pl.
62,4:8 = 7,8 (g).
64 köbméter térfogatú üres. cm 64-szer nagyobb lesz, mint egy 1 köbméteres üres. cm, azaz
7,8 64 = 499,2 (g).
A problémánkat úgy oldottuk meg, hogy egységre redukáltuk. E név jelentését az indokolja, hogy a megoldáshoz az első kérdésben meg kellett találnunk egy térfogategység súlyát.
2. Az arányosítás módja. Oldjuk meg ugyanezt a feladatot arányos módszerrel.
Mivel a vas tömege és térfogata közvetlenül arányos mennyiségek, egy mennyiség (térfogat) két értékének aránya megegyezik egy másik mennyiség (tömeg) két megfelelő értékének arányával, pl.
(levél R a nyersdarab ismeretlen tömegét jelöltük ki). Innen:
(G).
A feladatot az arányosítás módszerével oldottuk meg. Ez azt jelenti, hogy megoldására a feltételben szereplő számokból arányt állítottak össze.
134. § Az értékek fordítottan arányosak.
Fontolja meg a következő problémát: „Öt kőműves tud hozzátenni téglafalak otthon 168 nap alatt. Határozza meg, hogy 10, 8, 6 stb. kőművesek hány nap alatt tudják elvégezni ugyanazt a munkát!
Ha 5 kőműves 168 nap alatt rakná le egy ház falát, akkor (ugyanolyan munkatermelékenység mellett) 10 kőműves feleannyi idő alatt végezné el, hiszen átlagosan 10 ember kétszer annyi munkát végez, mint 5 ember.
Készítsünk egy táblázatot, amellyel nyomon követhetjük a létszám és a munkaórák alakulását.
Például, hogy megtudja, hány napig tart 6 munkás, először ki kell számítania, hogy egy munkásnak hány napig tart (168 5 = 840), majd hány napig tart hat munkás (840: 6 = 140). Ha ezt a táblázatot nézzük, azt látjuk, hogy mindkét mennyiség hat különböző értéket vett fel. Az első mennyiség minden értéke egy adott mennyiségnek felel meg; a második érték értéke például a 10 84-nek, a 8-as a 105-nek stb.
Ha mindkét mennyiség értékét balról jobbra vesszük, akkor azt látjuk, hogy a felső mennyiség értéke nő, az alsó mennyiség értéke csökken. A növekedésre és a csökkenésre a következő törvény vonatkozik: a dolgozók számának értékei annyiszor nőnek, ahogy az eltöltött munkaidő értéke csökken. Ez a gondolat még egyszerűbben a következőképpen fejezhető ki: minél több munkavállalót foglalkoztatnak bármilyen feladatban, annál kevesebb időre van szükségük egy bizonyos munka elvégzéséhez. A két mennyiséget, amellyel ebben a feladatban találkoztunk, ún fordítottan arányos.
Ha tehát két mennyiség úgy kapcsolódik egymáshoz, hogy az egyik értékének többszörösére nőve (csökkenve), a másiké ugyanannyival csökken (növekszik), akkor az ilyen mennyiségeket fordítottan arányosnak nevezzük. .
Sok hasonló mennyiség van az életben. Mondjunk példákat.
1. Ha 150 rubelért. Ha több kilogramm édességet kell vásárolnia, akkor az édességek száma egy kilogramm árától függ. Minél magasabb az ár, annál kevesebb árut vásárolhat ebből a pénzből; ez látható a táblázatból:
Mivel a cukorka ára többszörösére emelkedik, a 150 rubelért megvásárolható édességek kilogrammjainak száma ugyanennyivel csökken. Ebben az esetben két mennyiség (a termék súlya és ára) fordítottan arányos.
2. Ha két város távolsága 1200 km, akkor a mozgás sebességétől függően különböző időpontokban tehető meg. Vannak különböző módokon szállítás: gyalog, lóháton, kerékpárral, hajóval, autóval, vonattal, repülővel. Minél kisebb a sebesség, annál több időbe telik a mozgás. Ez látható a táblázatból:
A sebesség többszöri növelésével az utazási idő ugyanannyival csökken. Ez azt jelenti, hogy ilyen körülmények között a sebesség és az idő fordítottan arányos mennyiségek.
135. § A fordítottan arányos mennyiségek tulajdonsága.
Vegyük a második példát, amelyet az előző bekezdésben néztünk meg. Ott két mennyiséggel foglalkoztunk - sebességgel és idővel. Ha ezeknek a mennyiségeknek az értékeit balról jobbra nézzük a táblázatban, látni fogjuk, hogy az első mennyiség (sebesség) értéke nő, a második (idő) értéke csökken, és a sebesség ugyanannyival nő, ahogy az idő csökken. Nem nehéz megérteni, hogy ha egy mennyiség egyes értékeinek arányát írja le, akkor az nem lesz egyenlő egy másik mennyiség megfelelő értékeinek arányával. Valójában, ha a felső érték negyedik és a hetedik értékének arányát vesszük (40:80), akkor ez nem lesz egyenlő az alsó érték negyedik és hetedik értékének arányával (30: 15). Ezt így lehet írni:
A 40:80 nem egyenlő a 30:15-tel, vagy a 40:80 =/=30:15.
De ha ezen összefüggések egyike helyett az ellenkezőjét vesszük, akkor egyenlőséget kapunk, vagyis ezekből az összefüggésekből lehet majd arányt alkotni. Például:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
A fentiek alapján a következő következtetést vonhatjuk le: ha két mennyiség fordítottan arányos, akkor egy mennyiség két tetszőleges értékének aránya megegyezik egy másik mennyiség megfelelő értékeinek fordított arányával.
136. § Fordított arányossági képlet.
Fontolja meg a problémát: „6 darab különböző méretű selyemszövet van és különböző fajták. Minden darab ugyanannyiba kerül. Egy darab 100 m szövetet tartalmaz, ára 20 rubel. méterenként Hány méter van a másik öt darabban, ha ezekben a darabokban egy méter szövet 25, 40, 50, 80, 100 rubelbe kerül? A probléma megoldásához hozzunk létre egy táblázatot:
A táblázat felső sorában ki kell töltenünk az üres cellákat. Először próbáljuk meg meghatározni, hány méter van a második darabban. Ez a következőképpen tehető meg. A probléma körülményeiből ismert, hogy az összes darab költsége azonos. Az első darab költségét könnyű meghatározni: 100 métert tartalmaz, és minden méter ára 20 rubel, ami azt jelenti, hogy az első selyemdarab 2000 rubelt ér. Mivel a második selyemdarab ugyanannyi rubelt tartalmaz, akkor 2000 rubelt osztva. egy méter áránál, azaz 25-nél megtaláljuk a második darab méretét: 2000: 25 = 80 (m). Ugyanígy megtaláljuk az összes többi darab méretét is. A táblázat így fog kinézni:
Könnyen belátható, hogy a méterszám és az ár között fordítottan arányos összefüggés van.
Ha saját maga végzi el a szükséges számításokat, észre fogja venni, hogy minden alkalommal el kell osztania a 2000-et 1 m árával , mindig megkapja a 2000-es számot.
Ebből a következő következtetést vonhatjuk le: egy adott fordítottan arányos mennyiségpár esetén egy mennyiség tetszőleges értékének egy másik mennyiség megfelelő értékével való szorzata állandó szám (azaz nem változik).
A mi feladatunkban ez a szorzat egyenlő 2000-rel. Ellenőrizze, hogy az előző feladatban, amely a mozgás sebességéről és az egyik városból a másikba való átköltözéshez szükséges időről szólt, az adott probléma esetében is volt egy állandó szám (1200).
Mindent figyelembe véve könnyen levezethető a fordított arányosság képlete. Jelöljük betűvel egy mennyiség bizonyos értékét X , és egy másik mennyiség megfelelő értékét a betű jelöli at . Majd a fentiek alapján a munka X -on at egyenlőnek kell lennie valamilyen állandó értékkel, amelyet betűvel jelölünk TO, azaz
x y = TO.
Ebben az egyenlőségben X - szorzó at - szorzó és K- munka. A szorzás tulajdonsága szerint a szorzó egyenlő a szorzóval osztva. Eszközök,
Ez a fordított arányossági képlet. Segítségével az egyik fordítottan arányos mennyiség tetszőleges számú értékét kiszámíthatjuk, ismerve a másik értékét és az állandó számot. TO.
Nézzünk meg egy másik problémát: „Az egyik esszé szerzője úgy számolta, hogy ha a könyve normál formátumú, akkor 96 oldalas lesz, de ha zsebformátumú, akkor 300 oldalas. Megpróbálta különböző lehetőségeket, 96 oldallal indult, majd oldalanként 2500 levele volt. Aztán vette az alábbi táblázatban látható oldalszámokat, és újra kiszámította, hány betű lesz az oldalon.
Próbáljuk meg kiszámolni, hány betű lesz egy oldalon, ha a könyv 100 oldalas.
Az egész könyvben 240 000 betű van, mivel 2500 96 = 240 000.
Ezt figyelembe véve a fordított arányossági képletet használjuk ( at - betűk száma az oldalon, X - oldalak száma):
Példánkban TO= 240 000 tehát
Tehát 2400 betű van az oldalon.
Hasonlóképpen megtanuljuk, hogy ha egy könyvnek 120 oldala van, akkor az oldalon lévő betűk száma:
A táblázatunk így fog kinézni:
Ön töltse ki a fennmaradó cellákat.
137. § A fordítottan arányos mennyiségekkel kapcsolatos feladatok egyéb megoldási módjai.
Az előző bekezdésben olyan feladatokat oldottunk meg, amelyek feltételei fordítottan arányos mennyiségeket tartalmaztak. Először levezettük a fordított arányosság képletét, majd ezt a képletet alkalmaztuk. Most két másik megoldást mutatunk be az ilyen problémákra.
1. Az egységre redukálás módja.
Feladat. 5 esztergályos 16 nap alatt tud valamilyen munkát elvégezni. Hány nap alatt tudja 8 esztergályos elvégezni ezt a munkát?
Megoldás. Az esztergályosok száma és a munkaórák között fordított összefüggés van. Ha 5 esztergályos végzi el a munkát 16 nap alatt, akkor ehhez egy embernek 5-ször több időre lesz szüksége, pl.
5 esztergályos végzi el a munkát 16 nap alatt,
1 esztergályos 16 5 = 80 nap alatt teljesíti.
A probléma azt kérdezi, hogy hány napig tart 8 esztergályos a munka elvégzéséhez. Nyilvánvalóan 8-szor gyorsabban megbirkóznak a munkával, mint 1 esztergályos, azaz be
80:8 = 10 (nap).
Ez a probléma megoldása az egységgé redukálással. Itt mindenekelőtt meg kellett határozni, hogy egy dolgozó mennyi időt igényel a munka elvégzéséhez.
2. Az arányosítás módja. Oldjuk meg ugyanazt a problémát a második módon.
Mivel a dolgozók száma és a munkaidő között fordítottan arányos összefüggés áll fenn, ezért felírhatjuk: 5 esztergályos munkaidő új esztergályok száma (8) 8 esztergályos munkaidő előző esztergályosok száma (5) Jelöljük a szükséges időtartamot a munka levélben X és helyettesítse be a szükséges számokat a szavakkal kifejezett arányba:
Ugyanezt a problémát az arányok módszere oldja meg. Megoldásához arányt kellett alkotnunk a problémafelvetésben szereplő számokból.
Jegyzet. Az előző bekezdésekben a közvetlen és fordított arányosság kérdését vizsgáltuk. A természet és az élet számos példát ad a mennyiségek egyenes és fordított arányos függésére. Meg kell azonban jegyezni, hogy ez a két típusú függőség csak a legegyszerűbb. Mellettük más, összetettebb függőségek is léteznek a mennyiségek között. Ráadásul nem szabad azt gondolni, hogy ha bármely két mennyiség egyszerre növekszik, akkor szükségszerűen egyenes arányosság van közöttük. Ez messze nem igaz. Például az útdíjakat vasúti távolságtól függően nő: minél tovább utazunk, annál többet fizetünk, de ez nem jelenti azt, hogy a fizetés arányos a távolsággal.
