Keresse meg a trigonometrikus egyenlet legkisebb gyökét! Trigonometrikus egyenletek

Gyakran fokozottan összetett problémákkal találkozunk modulust tartalmazó trigonometrikus egyenletek. Legtöbbjük heurisztikus megközelítést igényel a megoldáshoz, ami a legtöbb iskolás számára teljesen ismeretlen.

Az alábbiakban javasolt problémák célja, hogy bemutassák a modulust tartalmazó trigonometrikus egyenletek megoldásának legjellemzőbb technikáit.

1. feladat Határozza meg az 1 + 2sin x |cos x| egyenlet legkisebb pozitív és legnagyobb negatív gyökének különbségét (fokban) = 0.

Megoldás.

Bővítsük ki a modult:

1) Ha cos x ≥ 0, akkor az eredeti egyenlet a következő formában lesz: 1 + 2sin x cos x = 0.

A kettős szögű szinusz képlet segítségével a következőket kapjuk:

1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Mivel cos x ≥ 0, akkor x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Ha cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:

1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Mivel cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Az egyenlet legnagyobb negatív gyöke: -π/4; az egyenlet legkisebb pozitív gyöke: 5π/4.

A szükséges különbség: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.

Válasz: 270°.

2. feladat Keresse meg (fokban) a |tg x| egyenlet legkisebb pozitív gyökét + 1/cos x = barna x.

Megoldás.

Bővítsük ki a modult:

1) Ha tan x ≥ 0, akkor

tan x + 1/cos x = barna x;

A kapott egyenletnek nincs gyöke.

2) Ha tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 és cos x ≠ 0.

Az 1. ábra és a tg x feltétel felhasználásával< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Az egyenlet legkisebb pozitív gyöke 5π/6. Váltsuk át ezt az értéket fokokra:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.

Válasz: 150°.

3. feladat Határozza meg a sin |2x| egyenlet különböző gyökeinek számát = cos 2x a [-π/2 intervallumon; π/2].

Megoldás.

Írjuk fel az egyenletet sin|2x| alakban – cos 2x = 0 és vegyük az y = sin |2x| függvényt - mivel 2x. Mivel a függvény páros, akkor x ≥ 0 esetén megtaláljuk a nulláit.

sin 2x – cos 2x = 0; Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát cos 2x ≠ 0-val, így kapjuk:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Z.

A függvény paritását felhasználva azt találjuk, hogy az eredeti egyenlet gyökei az alak számai

± (π/8 + πn/2), ahol n € Z.

Intervallum [-π/2; π/2] a következő számokhoz tartoznak: -π/8; π/8.

Tehát az egyenlet két gyöke tartozik az adott intervallumhoz.

Válasz: 2.

Ez az egyenlet a modul megnyitásával is megoldható.

4. feladat Határozza meg a sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x egyenlet gyökeinek számát a [-π intervallumon; 2π].

Megoldás.

1) Tekintsük azt az esetet, amikor 2cos x – 1 > 0, azaz. cos x > 1/2, akkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:

sin x – sin 2 x = sin 2 x;

sin x – 2sin 2 x = 0;

sin x(1 – 2sin x) = 0;

sin x = 0 vagy 1 – 2sin x = 0;

sin x = 0 vagy sin x = 1/2.

A 2. ábra és a cos x > 1/2 feltétel segítségével megtaláljuk az egyenlet gyökereit:

x = π/6 + 2πn vagy x = 2πn, n € Z.

2) Tekintsük azt az esetet, amikor 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

sin x + sin 2 x = sin 2 x;

x = 2πn, n € Z.

A 2. ábra és a cos x feltétel felhasználásával< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

A két esetet kombinálva a következőket kapjuk:

x = π/6 + 2πn vagy x = πn.

3) Intervallum [-π; 2π] a gyökökhöz tartoznak: π/6; -π; 0; π; 2π.

Így az adott intervallum az egyenlet öt gyökét tartalmazza.

Válasz: 5.

5. feladat Határozza meg az (x – 0,7) egyenlet gyökeinek számát 2 |sin x| + sin x = 0 a [-π intervallumon; 2π].

Megoldás.

1) Ha sin x ≥ 0, akkor az eredeti egyenlet (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0 alakot ölti. A sin x közös tényező zárójelből való kiemelése után a következőt kapjuk:

sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; mivel (x – 0,7) 2 + 1 > 0 minden valós x-re, akkor sinx = 0, azaz. x = πn, n € Z.

2) Ha sin x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;

sinx = 0 vagy (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Mivel sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем Négyzetgyök az utolsó egyenlet bal és jobb oldaláról a következőket kapjuk:

x – 0,7 = 1 vagy x – 0,7 = -1, ami azt jelenti, hogy x = 1,7 vagy x = -0,3.

Figyelembe véve a sinx feltételt< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, ami azt jelenti, hogy csak a -0,3 szám az eredeti egyenlet gyöke.

3) Intervallum [-π; 2π] a következő számokhoz tartoznak: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Így az egyenletnek öt gyöke van egy adott intervallumon.

Válasz: 5.

Az órákra vagy vizsgákra az interneten elérhető különféle oktatási források segítségével készülhet fel. Jelenleg bárki az embernek egyszerűen új információs technológiákat kell használnia, mert helyes, és ami a legfontosabb, megfelelő használatuk növeli a motivációt a téma tanulmányozásában, növeli az érdeklődést és segít jobban megérteni. szükséges anyag. De ne felejtsük el, hogy a számítógép nem tanít meg gondolkodni, a kapott információkat fel kell dolgozni, meg kell érteni és emlékezni kell. Ezért online tutorainkhoz fordulhat segítségért, akik segítenek az Önt érdeklő problémák kezelésében.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani a trigonometrikus egyenleteket?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Trigonometrikus egyenletek. A matematika vizsga részeként az első részben egy egyenlet megoldásához kapcsolódó feladat - ez egyszerű egyenletek, melyek percek alatt megoldódnak, szóban is sok fajta megoldható. Tartalmazza: lineáris, másodfokú, racionális, irracionális, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenleteket.

Ebben a cikkben a trigonometrikus egyenletekkel fogunk foglalkozni. Megoldásuk mind a számítások terjedelmében, mind összetettségében eltér az ebben a részben szereplő többi feladattól. Ne ijedjen meg, a „nehézség” szó a többi feladathoz képest relatív nehézségükre utal.

Amellett, hogy meg kell találni maguknak az egyenletnek a gyökereit, meg kell határozni a legnagyobb negatív vagy legkisebb pozitív gyöket. Annak a valószínűsége, hogy a vizsgán trigonometrikus egyenletet kap, természetesen kicsi.

Az egységes államvizsga ezen részében kevesebb mint 7%-uk van. De ez nem jelenti azt, hogy figyelmen kívül kell hagyni őket. A C részben egy trigonometrikus egyenletet is meg kell oldania, így a megoldási technika és az elmélet megértése egyszerűen szükséges.

A matematika trigonometriai szakaszának megértése nagymértékben meghatározza számos probléma megoldásában elért sikerét. Emlékeztetlek arra, hogy a válasz egész vagy véges szám decimális. Miután megkapta az egyenlet gyökereit, BIZTOSAN ellenőrizze. Nem fog sok időt igénybe venni, és megóvja Önt a hibáktól.

A jövőben más egyenleteket is megvizsgálunk, ne hagyd ki! Emlékezzünk vissza a trigonometrikus egyenletek gyökereinek képleteire, ismernie kell őket:

Ezeknek az értékeknek az ismerete szükséges, ez az „ABC”, amely nélkül sok feladattal nem lehet megbirkózni. Remek, ha jó a memóriád, könnyen megtanultad és megjegyezted ezeket az értékeket. Mi a teendő, ha ezt nem tudja megtenni, zűrzavar van a fejében, de csak összezavarodott a vizsgán. Kár lenne pontot veszíteni, mert rossz értéket írtál le a számításaidban.

Ezek az értékek egyszerűek, a hírlevélre való feliratkozás utáni második levélben kapott elméletben is szerepel. Ha még nem iratkoztál fel, tedd meg! A jövőben azt is megvizsgáljuk, hogyan határozhatók meg ezek az értékek egy trigonometrikus körből. Nem véletlenül hívják „a trigonometria aranyszívének”.

Hadd magyarázzam el azonnal a félreértések elkerülése végett, hogy az alábbi egyenletekben az arcszinusz, arkoszinusz, arktangens definíciói adottak a szög használatával. x a megfelelő egyenletekhez: cosx=a, sinx=a, tgx=a, ahol x kifejezés is lehet. Az alábbi példákban argumentumunkat pontosan egy kifejezés határozza meg.

Tehát nézzük a következő feladatokat:

Keresse meg az egyenlet gyökerét:

Írd le válaszodban a legnagyobb negatív gyökeret!

A cos x = a egyenlet megoldása két gyök:

Definíció: Legyen az a szám modulusa, amely nem haladja meg az egyet. Egy szám ív koszinusza a 0 és Pi közötti tartományban lévő x szög, amelynek koszinusza egyenlő a-val.

Eszközök

Kifejezzük x:

Keressük meg a legnagyobb negatív gyökeret. Hogyan kell csinálni? Cseréljük különböző jelentések n a kapott gyökökbe, számolja ki és válassza ki a legnagyobb negatívot.

Kiszámoljuk:

n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

Ha n = 0 x 1 = 3,0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3,0 – 5,5 = – 5,5

Ha n = 1 x 1 = 3,1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3,1 – 5,5 = – 2,5

Ha n = 2 x 1 = 3,2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3,2 – 5,5 = 0,5

Azt találtuk, hogy a legnagyobb negatív gyök –1,5

Válasz: –1.5

Döntsd el magad:

Oldja meg az egyenletet:

A sin x = a egyenlet megoldása két gyök:

Bármelyik (a fentieket ötvözi):

Definíció: Legyen az a szám modulusa, amely nem haladja meg az egyet. Egy szám arcszinusza a – 90° és 90° közötti tartományban lévő x szög, amelynek szinusza egyenlő a-val.

Eszközök

Fejezzük ki x-et (szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 4-gyel, és osszuk el Pi-vel):

Keressük meg a legkisebb pozitív gyökeret. Itt azonnal egyértelmű, hogy helyettesítéskor negatív értékeket n fogjuk kapni negatív gyökerek. Ezért behelyettesítjük n = 0,1,2...

Ha n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Ha n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

Ha n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Ellenőrizzük: n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Tehát a legkisebb pozitív gyök 4.

Válasz: 4

Döntsd el magad:

Oldja meg az egyenletet:

Írd válaszodban a legkisebb pozitív gyökeret!

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor kérelmet nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt azokról egyedi ajánlatok, promóciók és egyéb események és közelgő események.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresés vagy kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.