Példák egyszerű logaritmikus egyenletekre. Logaritmikus egyenletek

Mindannyian ismerjük az egyenleteket általános osztályok. Ott megtanultuk a legegyszerűbb példákat is megoldani, és el kell ismernünk, hogy még benn is megtalálják alkalmazásukat felsőbb matematika. Az egyenletekkel minden egyszerű, beleértve a másodfokú egyenleteket is. Ha problémái vannak ezzel a témával kapcsolatban, javasoljuk, hogy tekintse át.

Valószínűleg te is átmentél már a logaritmusokon. Fontosnak tartjuk azonban, hogy elmondjuk, mi az, akik még nem tudják. A logaritmus annak a hatványnak felel meg, amelyre az alapot fel kell emelni, hogy megkapjuk a logaritmus előjelétől jobbra lévő számot. Mondjunk egy példát, ami alapján minden világossá válik számodra.

Ha 3-at emel a negyedik hatványra, 81-et kap. Most helyettesítse be a számokat analógiával, és végre megérti, hogyan oldják meg a logaritmusokat. Most már csak a két tárgyalt fogalom kombinálása van hátra. Kezdetben a helyzet rendkívül bonyolultnak tűnik, de közelebbről megvizsgálva a súly a helyére kerül. Biztosak vagyunk benne, hogy e rövid cikk után nem lesz problémája az egységes államvizsga ezen részében.

Manapság számos módja van az ilyen struktúrák megoldásának. Az egységes államvizsga-feladatok esetében elmondjuk a legegyszerűbb, leghatékonyabb és legmegfelelőbbet. A logaritmikus egyenletek megoldását a legelejétől kell kezdeni. egyszerű példa. Protozoa logaritmikus egyenletek függvényből és egy változóból áll.

Fontos megjegyezni, hogy x benne van az argumentumban. A-nak és b-nek számoknak kell lennie. Ebben az esetben egyszerűen kifejezheti a függvényt egy számmal egy hatványra. Így néz ki.

Természetesen egy logaritmikus egyenlet megoldása ezzel a módszerrel elvezeti a helyes válaszhoz. A tanulók túlnyomó többségének ebben az esetben az a baja, hogy nem érti, mi honnan jön. Ennek eredményeként el kell viselnie a hibákat, és nem kell megszereznie a kívánt pontokat. A legbotrányosabb hiba az lesz, ha összekevered a betűket. Az egyenlet ily módon történő megoldásához meg kell jegyezni ezt a standard iskolai képletet, mert nehéz megérteni.

Ennek megkönnyítése érdekében egy másik módszert is igénybe vehet - a kanonikus formát. Az ötlet rendkívül egyszerű. Fordítsa vissza a figyelmét a problémára. Ne feledje, hogy az a betű szám, nem függvény vagy változó. A nem egyenlő eggyel, és nagyobb nullánál. Nincs korlátozás b. Most, az összes képlet közül, emlékezzünk meg egyet. B a következőképpen fejezhető ki.

Ebből következik, hogy minden eredeti logaritmusú egyenlet a következő formában ábrázolható:

Most eldobhatjuk a logaritmusokat. Meg fog menni egyszerű kialakítás, amit már korábban láthattunk.

Ennek a formulának a kényelme abban rejlik, hogy legtöbbször használható különböző esetek, és nem csak a legegyszerűbb kiviteleknél.

Ne aggódj az OOF miatt!

Sok tapasztalt matematikus észre fogja venni, hogy nem figyeltünk a definíció területére. A szabály arra a tényre vezet, hogy F(x) szükségszerűen nagyobb, mint 0. Nem, ezt a pontot nem hagytuk ki. Most a kanonikus forma másik komoly előnyéről beszélünk.

Itt nem lesznek extra gyökerek. Ha egy változó csak egy helyen jelenik meg, akkor nincs szükség hatókörre. Ez automatikusan történik. Az ítélet ellenőrzéséhez próbáljon meg néhány egyszerű példát megoldani.

Hogyan lehet logaritmikus egyenleteket megoldani különböző alapokon

Ezek már összetett logaritmikus egyenletek, és megoldásuk megközelítésének speciálisnak kell lennie. Itt ritkán lehet a hírhedt kanonikus formára korlátozni magunkat. Kezdjük részletes történetünkkel. A következő konstrukcióval rendelkezünk.

Ügyeljen a törtre. Tartalmazza a logaritmust. Ha ezt látja egy feladatban, érdemes megjegyezni egy érdekes trükköt.

Mit jelent ez? Mindegyik logaritmus két logaritmus hányadosaként ábrázolható egy kényelmes bázissal. És ennek a képletnek van egy speciális esete, amely alkalmazható ebben a példában (azt értjük, ha c=b).

Pontosan ezt a törtrészt látjuk a példánkban. Így.

Lényegében megfordítottuk a törtet, és kényelmesebb kifejezést kaptunk. Emlékezzen erre az algoritmusra!

Most arra van szükségünk, hogy a logaritmikus egyenlet nem tartalmazta különböző okok miatt. Az alapot ábrázoljuk törtként.

A matematikában van egy szabály, ami alapján egy bázisból lehet diplomát származtatni. A következő építési eredmények.

Úgy tűnik, mi akadályoz bennünket abban, hogy kifejezésmódunkat kanonikus formává változtassuk, és egyszerűen megoldjuk? Ez nem ilyen egyszerű. A logaritmus előtt nem lehet tört. Javítsuk ezt a helyzetet! A törtek használhatók fokszámként.

Illetőleg.

Ha az alapok azonosak, akkor eltávolíthatjuk a logaritmusokat, és magukat a kifejezéseket egyenlővé tehetjük. Így a helyzet sokkal egyszerűbb lesz, mint volt. Marad egy elemi egyenlet, amelyet mindannyian tudtunk megoldani 8. vagy akár 7. osztályban. A számításokat saját maga is elvégezheti.

Megkaptuk ennek a logaritmikus egyenletnek az egyetlen igaz gyökét. A logaritmikus egyenlet megoldásának példái meglehetősen egyszerűek, nem? Most már a legnehezebb problémákat is képes leszel egyedül megbirkózni. összetett feladatok az egységes államvizsga felkészítéséért és letételéért.

mi az eredmény?

Bármely logaritmikus egyenlet esetén egy nagyon-ből indulunk ki fontos szabály. Úgy kell eljárni, hogy a kifejezést a maximumra hozzuk egyszerű nézet. Ebben az esetben nagyobb eséllyel nem csak helyesen oldja meg a feladatot, hanem a lehető legegyszerűbb és leglogikusabb módon is elvégzi. A matematikusok mindig pontosan így dolgoznak.

Erősen nem javasoljuk, hogy nehéz utakat keressen, különösen ebben az esetben. Emlékezz néhányra egyszerű szabályok, amely lehetővé teszi bármilyen kifejezés átalakítását. Például csökkentsünk két vagy három logaritmust ugyanarra az alapra, vagy származtassunk hatványt az alapból, és nyerjünk ezen.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy a logaritmikus egyenletek megoldása folyamatos gyakorlást igényel. Fokozatosan egyre többre fog költözni összetett szerkezetek, és ez elvezeti Önt ahhoz, hogy magabiztosan oldja meg a probléma összes változatát az egységes államvizsgán. Készülj fel jó előre a vizsgáidra és sok sikert!

Utasítás

Írja fel a megadott logaritmikus kifejezést! Ha a kifejezés a 10-es logaritmust használja, akkor a jelölése lerövidül, és így néz ki: lg b decimális logaritmus. Ha a logaritmus alapja az e szám, akkor írja be a következő kifejezést: ln b – természetes logaritmus. Nyilvánvaló, hogy bármelyik eredménye az a hatvány, amelyre az alapszámot emelni kell, hogy megkapjuk a b számot.

Két függvény összegének megtalálásakor egyszerűen meg kell különböztetni őket egyenként, és össze kell adni az eredményeket: (u+v)" = u"+v";

Amikor két függvény szorzatának deriváltját megtaláljuk, meg kell szorozni az első függvény deriváltját a másodikkal, és össze kell adni a második függvény deriváltját az első függvény szorzatával: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Ahhoz, hogy megtaláljuk két függvény hányadosának deriváltját, ki kell vonni az osztófüggvény szorzatának szorzatából az osztó deriváltjának az osztófüggvény szorzatának szorzatát, és el kell osztani mindezt az osztófüggvény négyzetével. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ha adott összetett funkció, akkor meg kell szorozni a belső függvény deriváltját és a külső függvény deriváltját. Legyen y=u(v(x)), majd y"(x)=y"(u)*v"(x).

A fent kapott eredmények segítségével szinte bármilyen funkciót megkülönböztethet. Lássunk tehát néhány példát:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Problémák merülnek fel a derivált egy ponton történő kiszámításával is. Legyen adott az y=e^(x^2+6x+5) függvény, meg kell találni a függvény értékét az x=1 pontban.
1) Keresse meg a függvény deriváltját: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Számítsa ki a függvény értékét egy adott y pontban"(1)=8*e^0=8

Videó a témáról

Hasznos tanácsok

Ismerje meg az elemi származékok táblázatát. Ezzel jelentősen időt takaríthat meg.

Források:

• egy állandó deriváltja

Szóval, mi a különbség? ir racionális egyenlet a racionálistól? Ha az ismeretlen változó a jel alatt van négyzetgyök, akkor az egyenlet irracionálisnak tekinthető.

Utasítás

Az ilyen egyenletek megoldásának fő módszere a két oldal felépítésének módszere egyenletek egy négyzetbe. Viszont. ez természetes, az első dolog, amit meg kell tennie, hogy megszabaduljon a jeltől. Ez a módszer technikailag nem nehéz, de néha bajhoz vezethet. Például az egyenlet v(2x-5)=v(4x-7). Mindkét oldal négyzetre emelésével 2x-5=4x-7 kapsz. Egy ilyen egyenlet megoldása nem nehéz; x=1. De az 1-es számot nem adják meg egyenletek. Miért? Helyettesíts be egyet az egyenletbe az x értéke helyett, és a jobb és a bal oldal olyan kifejezéseket tartalmaz, amelyeknek nincs értelme, azaz. Ez az érték nem érvényes négyzetgyökre. Ezért az 1 egy idegen gyök, ezért ennek az egyenletnek nincs gyöke.

Tehát egy irracionális egyenletet úgy oldunk meg, hogy mindkét oldalát négyzetre emeljük. És miután megoldotta az egyenletet, le kell vágni az idegen gyökereket. Ehhez cserélje be a talált gyököket az eredeti egyenletbe.

Gondolj egy másikra.
2х+vх-3=0
Természetesen ez az egyenlet megoldható ugyanazzal az egyenlettel, mint az előző. Move Compounds egyenletek, amelyeknek nincs négyzetgyökük, jobb oldalra, majd használjuk a négyzetesítés módszerét. oldja meg a kapott racionális egyenletet és a gyököket. De egy másik, elegánsabb is. Írjon be egy új változót; vх=y. Ennek megfelelően egy 2y2+y-3=0 alakú egyenletet kapunk. Vagyis a szokásos másodfokú egyenlet. Keresse meg a gyökereit; y1=1 és y2=-3/2. Ezután oldjon meg kettőt egyenletek vх=1; vх=-3/2. A második egyenletnek nincs gyöke az elsőből azt találjuk, hogy x=1. Ne felejtse el ellenőrizni a gyökereket.

Az identitások megoldása meglehetősen egyszerű. Ehhez azonos átalakításokat kell végrehajtani a kitűzött cél eléréséig. Így a legegyszerűbb segítségével aritmetikai műveletek az adott feladat megoldódik.

Szükséged lesz

• - papír;
• - toll.

Utasítás

Az ilyen transzformációk közül a legegyszerűbbek az algebrai rövidített szorzások (például az összeg négyzete (különbség), a négyzetek különbsége, az összeg (különbség), az összeg kockája (különbség)). Ezen kívül sok van trigonometrikus képletek, amelyek lényegében ugyanazok az azonosságok.

Valóban, két tag összegének négyzete egyenlő a négyzettel az első plusz duplája az első szorzatának a másodikkal és plusz a második négyzete, azaz (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.

Egyszerűsítse mindkettőt

A megoldás általános elvei

Ismételje meg a matematikai elemzés vagy a magasabb matematika tankönyvéből, hogy mi a határozott integrál. Mint ismeretes, a határozott integrál megoldása olyan függvény, amelynek deriváltja egy integrandust ad. Ezt a függvényt antiderivatívnak nevezzük. Ezen elv alapján a főintegrálokat megszerkesztjük.
Határozza meg az integrandus alakjával, hogy melyik táblázatintegrál illeszkedik bele ebben az esetben. Ezt nem mindig lehet azonnal megállapítani. A táblázatos forma gyakran csak az integrandus egyszerűsítése érdekében történő többszöri átalakítás után válik észrevehetővé.

Változócsere módszere

Ha az integrand függvény az trigonometrikus függvény, amelynek argumentuma valamilyen polinomot tartalmaz, majd próbálja meg a változócsere módszert használni. Ennek érdekében cserélje ki az integrandus argumentumában a polinomot valamilyen új változóra. Az új és a régi változók kapcsolata alapján határozza meg az integráció új határait. Ennek a kifejezésnek a megkülönböztetésével keresse meg az új differenciált a -ban. Szóval kapsz új megjelenés az előző integrál, közel vagy akár megfelel is bármely táblázatosnak.

Második típusú integrálok megoldása

Ha az integrál egy második típusú integrál, az integrandus vektoralakja, akkor ezekről az integrálokról a skalárisokra való átmenet szabályait kell használnia. Az egyik ilyen szabály az Ostrogradsky-Gauss reláció. Ez a törvény lehetővé teszi, hogy egy adott vektorfüggvény rotorfluxusától a hármas integrálig térjünk át egy adott vektormező divergenciáján.

Az integrációs korlátok helyettesítése

Az antiderivált megtalálása után pótolni kell az integráció határait. Először cserélje be a felső határ értékét az antiderivált kifejezésbe. Kapsz egy számot. Ezután a kapott számból vonjunk ki egy másik számot, amelyet az alsó határból kapunk az antideriváltba. Ha az integráció egyik határa a végtelen, akkor a behelyettesítéskor antiderivatív funkció el kell menni a határig, és meg kell találni, mire törekszik a kifejezés.
Ha az integrál kétdimenziós vagy háromdimenziós, akkor geometriailag kell ábrázolnia az integráció határait, hogy megértse, hogyan kell kiértékelni az integrált. Valóban, mondjuk egy háromdimenziós integrál esetében az integráció határai lehetnek egész síkok, amelyek korlátozzák az integrálandó térfogatot.

Példák:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Hogyan oldjunk meg logaritmikus egyenleteket:

A logaritmikus egyenlet megoldása során törekedni kell arra, hogy \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\ alakra alakítsa át, majd \(f(x) )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Példa:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Megoldás: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Vizsgálat:\(10>2\) - alkalmas DL-hez Válasz:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Nagyon fontos! Ez az átállás csak akkor lehetséges, ha:

Az eredeti egyenlethez írtál, és a végén megnézed, hogy a találtak benne vannak-e a DL-ben. Ha ez nem történik meg, extra gyökerek jelenhetnek meg, ami rossz döntést jelent.

A bal és jobb oldali szám (vagy kifejezés) ugyanaz;

A bal és jobb oldali logaritmus „tiszta”, vagyis nem szabad szorzást, osztást stb. – csak egyetlen logaritmus az egyenlőségjel mindkét oldalán.

Például:

Vegye figyelembe, hogy a 3. és 4. egyenlet könnyen megoldható a logaritmusok szükséges tulajdonságainak alkalmazásával.

Példa . Oldja meg a \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) egyenletet.

Megoldás :

		Írjuk fel az ODZ-t: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		A logaritmus előtt bal oldalon az együttható, a jobb oldalon a logaritmusok összege található. Ez zavar minket. Helyezzük át a kettőt a \(x\) kitevőbe a tulajdonságnak megfelelően: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). A logaritmusok összegét egy logaritmusként ábrázoljuk a tulajdonságnak megfelelően: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Az egyenletet a \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) alakra redukáltuk, és felírtuk az ODZ-t, ami azt jelenti, hogy áttérhetünk a \(f(x) alakra =g(x)\ ).
		Sikerült. Megoldjuk és megkapjuk a gyökereket.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Ellenőrizzük, hogy a gyökerek alkalmasak-e az ODZ-re. Ehhez a \(x>0\)-ban \(x\) helyett \(5\) és \(-5\) helyettesítjük. Ez a művelet szóban is elvégezhető.
\(5>0\), \(-5>0\)		Az első egyenlőtlenség igaz, a második nem. Ez azt jelenti, hogy \(5\) az egyenlet gyöke, de \(-5\) nem. Leírjuk a választ.

Válasz : \(5\)

Példa : Oldja meg a \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) egyenletet

Megoldás :

		Írjuk fel az ODZ-t: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Egy tipikus egyenlet, amelyet a segítségével oldottak meg. A \(\log_2⁡x\) helyére \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		A szokásosat kaptuk. Keressük a gyökereit.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Fordított csere végrehajtása
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Átalakítjuk a jobb oldalakat logaritmusként ábrázolva: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) és \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Most az egyenleteink a következők: \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), és áttérhetünk \(f(x)=g(x)\-re).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Ellenőrizzük az ODZ gyökereinek megfelelőségét. Ehhez cserélje be a \(4\) és \(2\) karaktereket a \(x>0\) egyenlőtlenségbe \(x\) helyett.
\(4>0\) \(2>0\)		Mindkét egyenlőtlenség igaz. Ez azt jelenti, hogy \(4\) és \(2\) is az egyenlet gyöke.

Válasz : \(4\); \(2\).

Logaritmikus egyenletek. Továbbra is megvizsgáljuk a matematika egységes államvizsga B. részében szereplő problémákat. Néhány egyenlet megoldását már megvizsgáltuk a „”, „”” cikkekben. Ebben a cikkben megvizsgáljuk a logaritmikus egyenleteket. Azonnal mondom, hogy nincsenek összetett átalakulások ilyen egyenletek megoldása során az egységes államvizsgán nem lesznek ilyen egyenletek. Egyszerűek.

Elég ismerni és megérteni az alapvető logaritmikus azonosságot, ismerni a logaritmus tulajdonságait. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a megoldás után egy ellenőrzést KELL elvégeznie - a kapott értéket be kell cserélnie az eredeti egyenletbe, és ki kell számolnia, a végén megkapja a helyes egyenlőséget.

Meghatározás:

Egy szám logaritmusa b bázishoz a kitevő,amelyre b-t kell emelni, hogy megkapjuk a.

Például:

Napló 3 9 = 2, mivel 3 2 = 9

A logaritmus tulajdonságai:

A logaritmusok speciális esetei:

Oldjuk meg a problémákat. Az első példában ellenőrzést végzünk. A jövőben ellenőrizze saját maga.

Keresse meg az egyenlet gyökerét: log 3 (4–x) = 4

Mivel log b a = x b x = a, akkor

3 4 = 4 – x

x = 4-81

x = – 77

Vizsgálat:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Helyes.

Válasz: 77

Döntsd el magad:

Keresse meg az egyenlet gyökerét: log 2 (4 – x) = 7

Keresse meg a log 5 egyenlet gyökerét(4 + x) = 2

Az alapvető logaritmikus azonosságot használjuk.

Mivel log a b = x b x = a, akkor

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Vizsgálat:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Helyes.

Válasz: 21

Keresse meg a log 3 (14 – x) = log 3 5 egyenlet gyökerét.

A következő tulajdonság játszódik le, jelentése a következő: ha az egyenlet bal és jobb oldalán azonos bázisú logaritmusok vannak, akkor a logaritmusok előjelei alá sorolhatjuk a kifejezéseket.

14 – x = 5

x=9

Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 9

Döntsd el magad:

Keresse meg a log 5 (5 – x) = log 5 3 egyenlet gyökerét.

Keresse meg az egyenlet gyökerét: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Ha log c a = log c b, akkor a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 6

Keresse meg a log 1/8 (13 – x) = – 2 egyenlet gyökerét.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13-64

x = – 51

Csinálj egy ellenőrzést.

Egy kis kiegészítés - az ingatlan itt használatos

fok ().

Válasz: 51

Döntsd el magad:

Keresse meg az egyenlet gyökerét: log 1/7 (7 – x) = – 2

Keresse meg a log 2 (4 – x) = 2 log 2 5 egyenlet gyökerét.

Alakítsuk át a jobb oldalt. Használjuk az ingatlant:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Ha log c a = log c b, akkor a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 21

Döntsd el magad:

Keresse meg az egyenlet gyökerét: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Oldja meg a log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11) egyenletet

Ha log c a = log c b, akkor a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 2,75

Döntsd el magad:

Keresse meg a log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) egyenlet gyökerét!

Oldja meg a log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1 egyenletet.

Meg kell szerezni az egyenlet jobb oldalán lévő forma kifejezését:

napló 2 (......)

Az 1-et 2-es bázis logaritmusként ábrázoljuk:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Kapunk:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Ha log c a = log c b, akkor a = b, akkor

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 0.4

Döntsd el magad: Ezután meg kell oldania a másodfokú egyenletet. Mellesleg

a gyökerek 6 és – 4.

Gyökér "-A 4" nem megoldás, mivel a logaritmus alapjának nagyobbnak kell lennie nullánál, és a "– 4" egyenlő a " – 5" A megoldás a gyökér 6.Csinálj egy ellenőrzést.

Válasz: 6.

R egyél egyedül:

Oldja meg a log x –5 49 = 2 egyenletet. Ha az egyenletnek több gyöke van, válaszoljon a kisebbel.

Mint láthatta, nincs bonyolult transzformáció logaritmikus egyenletekkelNem. Elég, ha ismeri a logaritmus tulajdonságait, és tudja alkalmazni azokat. A logaritmikus kifejezések transzformációjával kapcsolatos USE problémáknál komolyabb transzformációkat hajtanak végre, és elmélyültebb megoldási készségekre van szükség. Megnézünk ilyen példákat, ne hagyd ki!Sok sikert neked!!!

Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh.

P.S.: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.

Tudniillik a kifejezések hatványokkal való szorzásakor a kitevőik mindig összeadódnak (a b *a c = a b+c). Ezt a matematikai törvényt Arkhimédész vezette le, majd később, a 8. században Virasen matematikus elkészítette az egész kitevők táblázatát. Ők voltak azok, akik a logaritmusok további felfedezését szolgálták. Szinte mindenhol találunk példákat ennek a függvénynek a használatára, ahol egyszerű összeadással kell leegyszerűsíteni a nehézkes szorzást. Ha 10 percet tölt ennek a cikknek a elolvasásával, elmagyarázzuk Önnek, mik azok a logaritmusok, és hogyan kell velük dolgozni. Egyszerű és érthető nyelven.

Definíció a matematikában

A logaritmus a következő formájú kifejezés: log a b=c, azaz bármely nem negatív szám (vagyis bármely pozitív) „b” logaritmusa az „a” bázisához a „c” hatvány. ”, amelyre fel kell emelni az „a” alapot, hogy végül megkapjuk a „b” értéket. Elemezzük a logaritmust példákon keresztül, mondjuk van egy log 2 kifejezés 8. Hogyan találjuk meg a választ? Nagyon egyszerű, olyan hatványt kell találnod, hogy 2-től a szükséges teljesítményig 8-at kapj. Néhány fejben végzett számítás után megkapjuk a 3-as számot! És ez igaz, mert a 2 a 3 hatványára 8-nak adja a választ.

A logaritmusok fajtái

Sok diák és diák számára ez a téma bonyolultnak és érthetetlennek tűnik, de valójában a logaritmusok nem olyan ijesztőek, a lényeg az, hogy megértsük általános jelentésüket, és emlékezzünk tulajdonságaikra és néhány szabályra. A logaritmikus kifejezéseknek három különböző típusa van:

1. Természetes logaritmus ln a, ahol az alap az Euler-szám (e = 2,7).
2. Tizedes a, ahol az alap 10.
3. Bármely b szám logaritmusa a>1 bázishoz.

Mindegyik el van döntve szabványos módon, amely magában foglalja az egyszerűsítést, a redukciót és az azt követő redukciót egy logaritmusra logaritmikus tételek segítségével. A logaritmusok helyes értékeinek megszerzéséhez emlékeznie kell tulajdonságaikra és a műveletek sorrendjére a megoldásuk során.

Szabályok és néhány korlátozás

A matematikában több olyan szabály-megkötés létezik, amelyeket axiómaként fogadnak el, vagyis nem vita tárgya, és ez az igazság. Például lehetetlen a számokat nullával osztani, és nem lehet páros gyöket kivonni belőle negatív számok. A logaritmusoknak is megvannak a saját szabályai, amelyek betartásával könnyedén megtanulhatod, hogyan kell dolgozni még hosszú és terjedelmes logaritmikus kifejezésekkel is:

• Az „a” alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál, és nem egyenlő 1-gyel, különben a kifejezés értelmét veszti, mert az „1” és a „0” bármilyen mértékben mindig megegyezik az értékükkel;
• ha a > 0, akkor a b >0, akkor kiderül, hogy „c”-nek is nagyobbnak kell lennie nullánál.

Hogyan lehet logaritmusokat megoldani?

Például az a feladat, hogy megtaláljuk a választ a 10 x = 100 egyenletre. Ez nagyon egyszerű, ki kell választani egy hatványt a tízes szám emelésével, amelyre 100-at kapunk. Ez természetesen 10 2 = 100.

Most ábrázoljuk ezt a kifejezést logaritmikus formában. Log 10 100 = 2-t kapunk. A logaritmusok megoldása során gyakorlatilag minden művelet konvergál, hogy megtalálja azt a hatványt, amelyre a logaritmus alapját kell megadni egy adott szám megszerzéséhez.

Az ismeretlen fok értékének pontos meghatározásához meg kell tanulnia, hogyan kell dolgozni egy foktáblázattal. Így néz ki:

Amint látja, néhány kitevő intuitív módon kitalálható, ha rendelkezik technikai elmével és ismeri a szorzótáblát. Azonban azért nagy értékek szükség lesz egy foktáblázatra. Azok is használhatják, akik egyáltalán nem tudnak az összetett matematikai témákról. A bal oldali oszlop számokat tartalmaz (a bázis), a felső számsor annak a c hatványnak az értéke, amelyre az a számot emeljük. A metszéspontban a cellák azokat a számértékeket tartalmazzák, amelyek a választ jelentik (a c =b). Vegyük például a legelső 10-es számú cellát, és négyzetre emeljük, megkapjuk a 100-as értéket, amit a két cellánk metszéspontjában jelez. Minden olyan egyszerű és könnyű, hogy még a legigazabb humanista is megérti!

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Kiderül, hogy bizonyos feltételek mellett a kitevő a logaritmus. Ezért bármilyen matematikai numerikus kifejezés felírható logaritmikus egyenlőségként. Például a 3 4 =81 felírható 81 4-es 3-as bázis logaritmusaként (log 3 81 = 4). Mert negatív erőket a szabályok ugyanazok: 2 -5 = 1/32 logaritmusként írjuk, log 2 (1/32) = -5-öt kapunk. A matematika egyik legérdekesebb része a „logaritmusok” témája. Az alábbiakban példákat és megoldásokat tekintünk meg az egyenletekre, közvetlenül tulajdonságaik tanulmányozása után. Most nézzük meg, hogyan néznek ki az egyenlőtlenségek, és hogyan lehet megkülönböztetni őket az egyenletektől.

A következő kifejezést adjuk meg: log 2 (x-1) > 3 - ez logaritmikus egyenlőtlenség, mivel az ismeretlen „x” érték a logaritmikus előjel alatt van. És a kifejezésben is két mennyiséget hasonlítanak össze: a kívánt szám logaritmusa a kettőhöz nagyobb, mint a három.

A logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek közötti legfontosabb különbség az, hogy a logaritmusú egyenletek (például a logaritmus 2 x = √9) egy vagy több konkrét választ tartalmaznak. számértékek, míg az egyenlőtlenségek megoldása során a régiót definiáljuk elfogadható értékeket, és ennek a függvénynek a töréspontjait. Következésképpen a válasz nem egyedi számok egyszerű halmaza, mint az egyenletre adott válaszban, hanem folyamatos számsor vagy számhalmaz.

Alaptételek a logaritmusokról

A logaritmus értékeinek megtalálásával kapcsolatos primitív feladatok megoldása során előfordulhat, hogy tulajdonságai nem ismertek. Amikor azonban logaritmikus egyenletekről vagy egyenlőtlenségekről van szó, mindenekelőtt tisztán kell érteni és a gyakorlatban alkalmazni kell a logaritmus összes alapvető tulajdonságát. Az egyenletekre a későbbiekben példákat tekintünk meg, először nézzük meg részletesebben az egyes tulajdonságokat.

1. A fő azonosság így néz ki: a logaB =B. Csak akkor érvényes, ha a nagyobb, mint 0, nem egyenlő eggyel, és B nagyobb, mint nulla.
2. A szorzat logaritmusa a következő képlettel ábrázolható: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Ebben az esetben előfeltételértéke: d, s1 és s2 > 0; a≠1. Ezt a logaritmikus képletet példákkal és megoldással bizonyíthatja. Legyen log a s 1 = f 1 és log a s 2 = f 2, akkor a f1 = s 1, a f2 = s 2. Azt kapjuk, hogy s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (tulajdonságai fok ), majd definíció szerint: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, amit bizonyítani kellett.
3. A hányados logaritmusa így néz ki: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. A képlet formájú tétel a következő alakot ölti: log a q b n = n/q log a b.

Ezt a képletet „a logaritmus fokának tulajdonságának” nevezik. Hasonlít a közönséges fokok tulajdonságaira, és ez nem meglepő, mert minden matematika természetes posztulátumokon alapul. Nézzük a bizonyítékot.

Legyen log a b = t, kiderül, hogy a t =b. Ha mindkét részt m hatványra emeljük: a tn = b n ;

de mivel a tn = (a q) nt/q = b n, ezért log a q b n = (n*t)/t, majd log a q b n = n/q log a b. A tétel bizonyítást nyert.

Példák problémákra és egyenlőtlenségekre

A logaritmusokkal kapcsolatos leggyakoribb problémák az egyenletek és egyenlőtlenségek példái. Szinte minden feladatfüzetben megtalálhatók, és a matematika vizsgák kötelező részét is képezik. Az egyetemre való belépéshez vagy a matematikai felvételi vizsgák letételéhez tudnia kell, hogyan kell helyesen megoldani az ilyen feladatokat.

Sajnos nincs egyetlen terv vagy séma a logaritmus ismeretlen értékének megoldására és meghatározására, de bizonyos szabályokat minden matematikai egyenlőtlenségre vagy logaritmikus egyenletre alkalmazni lehet. Először is meg kell találnia, hogy a kifejezés leegyszerűsíthető-e vagy ahhoz vezethet-e általános megjelenés. Leegyszerűsítheti a hosszú logaritmikus kifejezéseket, ha helyesen használja a tulajdonságaikat. Ismerkedjünk meg velük gyorsan.

A logaritmikus egyenletek megoldásánál meg kell határoznunk, hogy milyen típusú logaritmusunk van: egy példakifejezés tartalmazhat természetes logaritmust vagy decimális logaritmust.

Itt vannak példák az ln100, ln1026. Megoldásuk abban rejlik, hogy meg kell határozniuk azt a teljesítményt, amelyre a 10-es alap 100, illetve 1026 lesz. A természetes logaritmusok megoldásához alkalmazni kell logaritmikus azonosságok vagy azok tulajdonságait. Nézzünk példákat különféle típusú logaritmikus problémák megoldására.

A logaritmusképletek használata: példákkal és megoldásokkal

Tehát nézzünk példákat a logaritmusokkal kapcsolatos alaptételek használatára.

1. A szorzat logaritmusának tulajdonsága olyan feladatokban használható, ahol bővíteni kell nagy érték b számokat egyszerűbb tényezőkké. Például log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A válasz 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - mint látható, a logaritmus hatványának negyedik tulajdonságát felhasználva sikerült megoldanunk egy bonyolultnak tűnő és megoldhatatlan kifejezést. Csak az alapot kell figyelembe vennie, majd ki kell vennie a kitevő értékeket a logaritmus előjeléből.

Feladatok az egységes államvizsgáról

A logaritmusokat gyakran találjuk felvételi vizsgák, különösen sok logaritmikus feladat az Egységes Államvizsgában (államvizsga minden érettségizőnek). Ezek a feladatok jellemzően nemcsak az A részben (a vizsga legkönnyebb tesztrésze), hanem a C részben is (a legösszetettebb és legterjedelmesebb feladatok) is jelen vannak. A vizsga megköveteli a „Természetes logaritmusok” témakör pontos és tökéletes ismeretét.

A példákat és a problémák megoldásait a hivatalostól vettük Egységes államvizsga lehetőségek. Lássuk, hogyan oldják meg az ilyen feladatokat.

Adott log 2 (2x-1) = 4. Megoldás:
írjuk át a kifejezést, kicsit leegyszerűsítve log 2 (2x-1) = 2 2, a logaritmus definíciójával azt kapjuk, hogy 2x-1 = 2 4, tehát 2x = 17; x = 8,5.

• A legjobb az összes logaritmust ugyanarra az alapra redukálni, hogy a megoldás ne legyen nehézkes és zavaró.
• Minden logaritmus előjel alatti kifejezés pozitívnak van jelölve, ezért ha egy olyan kifejezés kitevőjét, amely a logaritmus előjele alatt van és annak bázisaként kivesszük szorzóként, a logaritmus alatt maradó kifejezésnek pozitívnak kell lennie.