BAN BEN Koordináta sík xOy tekintsük a függvény grafikonját y=f(x). Tegyük rendbe a lényeget M(x 0 ; f (x 0)). Adjunk hozzá egy abszcisszát x 0 növekedés Δx. Kapunk egy új abszcisszát x 0 +Δx. Ez a pont abszcisszája N, és az ordináta egyenlő lesz f (x 0 +Δx). Az abszcissza változása az ordináta változását vonja maga után. Ezt a változást függvénynövekménynek nevezzük, és jelöljük Δy.

Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Pontokon keresztül MÉs N rajzoljunk szekant MN, amely szöget alkot φ pozitív tengelyiránnyal Ó. Határozzuk meg a szög érintőjét φ tól től derékszögű háromszög MPN.

Hadd Δx nullára hajlik. Aztán a szekánt MN hajlamos lesz érintő pozíciót felvenni MT, és a szög φ szög lesz α . Tehát a szög érintője α a szög érintőjének határértéke φ :

Egy függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határát, amikor az utóbbi nullára hajlik, a függvény deriváltjának nevezzük egy adott pontban:

A származék geometriai jelentése abban rejlik, hogy a függvény numerikus deriváltja egy adott pontban egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amelyet az ezen a ponton keresztül húzott érintő az adott görbéhez és a tengely pozitív irányához hoz. Ó:

Példák.

1. Határozza meg az argumentum növekményét és az y= függvény növekményét x 2, ha az argumentum kezdeti értéke egyenlő volt a 4 , és új - 4,01 .

Megoldás.

Új argumentumérték x=x 0 +Δx. Helyettesítsük be az adatokat: 4.01=4+Δх, innen az argumentum növekménye Δx=4,01-4=0,01. Egy függvény növekménye értelemszerűen megegyezik a függvény új és korábbi értékei közötti különbséggel, pl. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Mivel van funkciónk y=x2, Azt Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Válasz: argumentumnövekmény Δx=0,01; funkciónövekedés Δу=0,0801.

A függvény növekménye másként is megtalálható: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 - 4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Határozza meg a függvény grafikonjának érintőjének dőlésszögét! y=f(x) azon a ponton x 0, Ha f "(x 0) = 1.

Megoldás.

A derivált értéke az érintési pontban x 0és az érintőszög érintőjének értéke ( geometriai jelentése derivált). Nekünk van: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, mert tg45°=1.

Válasz: ennek a függvénynek a grafikonjának érintője az Ox tengely pozitív irányával egyenlő szöget zár be 45°.

3. Vezesse le a függvény deriváltjának képletét! y=xn.

Különbségtétel egy függvény deriváltjának megtalálásának művelete.

A származékok keresésekor olyan képleteket használjunk, amelyeket a derivált definíciója alapján származtattunk, ugyanúgy, ahogy a derivált fokozat képletét származtattuk: (x n)" = nx n-1.

Ezek a képletek.

Származékok táblázata Könnyebb lesz megjegyezni a szóbeli megfogalmazások kiejtésével:

1. Egy állandó mennyiség deriváltja nulla.

2. X prím egyenlő eggyel.

3. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből.

4. Egy fok deriváltja egyenlő e fok kitevőjének szorzatával azonos bázisú fokkal, de a kitevő eggyel kisebb.

5. Egy gyök származéka egyenlő egy osztva két egyenlő gyökkel.

6. Egy x-el osztott deriváltja egyenlő mínusz egy osztva x-szel négyzetesen.

7. A szinusz deriváltja egyenlő a koszinusszal.

8. A koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

9. Az érintő deriváltja egyenlő egy osztva a koszinusz négyzetével.

10. A kotangens deriváltja mínusz egy osztva a szinusz négyzetével.

tanítunk differenciálási szabályok.

1. Egy algebrai összeg deriváltja egyenlő algebrai összeg kifejezések származékai.

2. Egy szorzat deriváltja egyenlő az első és a második faktor deriváltjának szorzatával, plusz az első tényező és a második faktor deriváltjának szorzatával.

3. Az „y” deriváltja osztva „ve”-vel egyenlő egy törttel, amelyben a számláló „y prím szorozva „ve”-vel mínusz „y szorozva ve prímmel”, a nevező pedig „ve négyzet”.

4. A képlet speciális esete 3.

Tanuljunk együtt!

1/1 oldal 1

Amikor döntenek különféle feladatokat a geometria, a mechanika, a fizika és más tudományágak ugyanazon analitikai eljárással váltak szükségessé ebből a függvényből y=f(x) kap egy új függvényt derivált függvény(vagy egyszerűen egy adott f(x) függvény deriváltjaés a szimbólum jelöli

Az a folyamat, amellyel egy adott függvényből f(x) kap egy új funkciót f" (x), hívott különbségtételés a következő három lépésből áll: 1) adja meg az argumentumot x növekedés  xés határozza meg a függvény megfelelő növekményét  y = f(x+ x) -f(x); 2) hozzon létre egy kapcsolatot

3) számolás xállandó és  x0, találjuk
, amivel jelöljük f" (x), mintha azt hangsúlyozná, hogy a kapott függvény csak az értéktől függ x, aminél a határig megyünk. Meghatározás: y származéka " =f " (x) adott függvény y=f(x) adott x-re egy függvény növekményének az argumentum növekményéhez viszonyított arányának határának nevezzük, feltéve, hogy az argumentum növekménye nullára hajlik, ha természetesen ez a határ létezik, pl. véges. És így,
, vagy

Vegye figyelembe, hogy ha valamilyen értékre x, például amikor x=a, hozzáállás
nál nél  x0 nem hajlik a véges határra, akkor ebben az esetben azt mondják, hogy a függvény f(x) nál nél x=a(vagy a ponton x=a) nincs deriváltja, vagy nem differenciálható a ponton x=a.

2. A származék geometriai jelentése.

Tekintsük az y = f (x) függvény grafikonját, amely az x 0 pont környezetében differenciálható

f(x)

Tekintsünk egy tetszőleges egyenest, amely egy függvény grafikonján - A(x 0 , f (x 0)) ponton - áthalad, és a gráfot egy B(x;f(x) pontban metszi). Az ilyen egyenest (AB) szekánsnak nevezzük. ∆ABC-ből: AC = ∆x; BC =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Mivel az AC || Ox, akkor ALO = BAC = β (a párhuzamosnak megfelelően). De ALO az AB szekáns dőlésszöge az Ox tengely pozitív irányához képest. Ez azt jelenti, hogy tanβ = k - lejtő egyenes AB.

Most csökkentjük ∆x-et, azaz. ∆х→ 0. Ebben az esetben a B pont a grafikon szerint megközelíti az A pontot, és az AB szekáns forog. Az AB szekáns határhelyzete ∆x→ 0 pontban egy egyenes (a) lesz, amelyet az y = f (x) függvény grafikonjának érintőjének nevezünk az A pontban.

Ha a tgβ =∆y/∆x egyenlőségben ∆x → 0 határértékre megyünk, azt kapjuk
ortg =f "(x 0), mivel
- az Ox tengely pozitív irányának érintőjének dőlésszöge
, a származék definíciója szerint. De tg = k az érintő szögegyütthatója, ami azt jelenti, hogy k = tg = f "(x 0).

Tehát a derivált geometriai jelentése a következő:

Egy függvény deriváltja az x pontban 0 egyenlő az x abszcissza pontban megrajzolt függvény grafikonjának érintőjének meredekségével 0 .

3. A származék fizikai jelentése.

Tekintsük egy pont mozgását egy egyenes mentén. Legyen adott egy pont koordinátája bármikor x(t). Ismeretes (egy fizika tantárgyból), hogy egy adott időszak átlagsebessége megegyezik az ezen időtartam alatt megtett távolság és az idő arányával, azaz.

Vav = ∆x/∆t. Menjünk a határértékre az utolsó egyenlőségben, mint ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - pillanatnyi sebesség t 0 időpontban, ∆t → 0.

és lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (a derivált meghatározása szerint).

Tehát (t) =x"(t).

A derivált fizikai jelentése a következő: a függvény deriváltjay = f(x) pontbanx 0 a függvény változási sebességef(x) pontbanx 0

A deriváltot a fizikában használják a sebesség meghatározására a koordináták ismert függvényéből az idő függvényében, a gyorsulást pedig a sebesség és az idő ismert függvényéből.

(t) = x"(t) - sebesség,

a(f) = "(t) - gyorsulás, vagy

Ha ismert egy körben lévő anyagi pont mozgástörvénye, akkor a forgó mozgás során meghatározható a szögsebesség és a szöggyorsulás:

φ = φ(t) - a szög időbeli változása,

ω = φ"(t) - szögsebesség,

ε = φ"(t) - szöggyorsulás, vagy ε = φ"(t).

Ha ismert egy inhomogén rúd tömegeloszlásának törvénye, akkor az inhomogén rúd lineáris sűrűsége megtalálható:

m = m(x) - tömeg,

x  , l - a rúd hossza,

p = m"(x) - lineáris sűrűség.

A derivált segítségével a rugalmasság és a harmonikus rezgések elméletéből adódó problémákat oldják meg. Tehát Hooke törvénye szerint

F = -kx, x – változó koordináta, k – rugórugalmassági együttható. Ha ω 2 =k/m-t teszünk, megkapjuk a rugóinga x"(t) + ω 2 x(t) = 0 differenciálegyenletét,

ahol ω = √k/√m oszcillációs frekvencia (l/c), k - rugómerevség (H/m).

Az y" + ω 2 y = 0 alakú egyenletet a harmonikus rezgések (mechanikai, elektromos, elektromágneses) egyenletének nevezzük. Az ilyen egyenletek megoldása a függvény.

y = Asin(ωt + φ 0) vagy y = Acos(ωt + φ 0), ahol

A - rezgések amplitúdója, ω - ciklikus frekvencia,

φ 0 - kezdeti fázis.

Időpont: 2014.11.20

Mi az a származék?

Származékok táblázata.

A származék az egyik fő fogalom felsőbb matematika. Ebben a leckében bemutatjuk ezt a fogalmat. Ismerjük meg egymást, szigorú matematikai megfogalmazások és bizonyítások nélkül.

Ez az ismeretség lehetővé teszi, hogy:

Megérteni a származékos egyszerű feladatok lényegét;

Sikeresen oldja meg ezeket a legegyszerűbb feladatokat;

Készüljön fel a származékos ügyletekkel kapcsolatos komolyabb leckékre.

Először is egy kellemes meglepetés.)

A derivált szigorú meghatározása a határok elméletén alapul, és a dolog meglehetősen bonyolult. Ez felháborító. De a származékok gyakorlati alkalmazása általában nem igényel ilyen kiterjedt és mély ismereteket!

A legtöbb iskolai és egyetemi feladat sikeres elvégzéséhez elég tudni csak néhány kifejezést- a feladat megértéséhez, ill csak néhány szabály- megoldani. Ez minden. Ez boldoggá tesz.

Kezdjük az ismerkedést?)

Feltételek és megnevezések.

Az elemi matematikában sokféle matematikai művelet létezik. Összeadás, kivonás, szorzás, hatványozás, logaritmus stb. Ha hozzáadunk még egy műveletet ezekhez a műveletekhez, az elemi matematika magasabb lesz. Ezt az új műveletet ún különbségtétel. Ennek a műveletnek a meghatározását és jelentését külön leckékben tárgyaljuk.

Itt fontos megérteni, hogy a differenciálás egyszerűen egy függvény matematikai művelete. Felveszünk bármilyen függvényt, és bizonyos szabályok szerint átalakítjuk. Az eredmény egy új funkció lesz. Ennek az új függvénynek a neve: derivált.

Különbségtétel- művelet egy funkcióra.

Derivált- ennek az akciónak az eredménye.

Csakúgy, mint pl. összeg- az összeadás eredménye. Vagy magán- az osztás eredménye.

A kifejezések ismeretében legalább a feladatokat megértheti.) A megfogalmazások a következők: megkeresni egy függvény deriváltját; vegyük a származékot; megkülönböztetni a funkciót; derivált számítani stb. Ez mind azonos. Természetesen vannak bonyolultabb feladatok is, ahol a derivált megtalálása (differenciálás) csak az egyik lépés lesz a probléma megoldásában.

A deriváltot kötőjel jelzi a függvény jobb felső sarkában. Mint ez: y" vagy f"(x) vagy Utca) stb.

Olvasás igrek stroke, ef stroke x-ből, es stroke te-ből, hát megérted...)

A prím egy adott függvény deriváltját is jelezheti, például: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" stb. A deriváltokat gyakran differenciálokkal jelölik, de ebben a leckében nem foglalkozunk ilyen jelölésekkel.

Tegyük fel, hogy megtanultuk megérteni a feladatokat. Nincs más hátra, mint megtanulni, hogyan kell megoldani őket.) Hadd emlékeztesselek még egyszer: a származék megtalálása az függvény transzformációja bizonyos szabályok szerint. Meglepő módon nagyon kevés ilyen szabály létezik.

Egy függvény deriváltjának megtalálásához mindössze három dolgot kell tudnod. Három pillér, amelyen minden megkülönböztetés áll. Ez a három pillér:

1. Származtatott táblázat (differenciálási képletek).

3. Származék összetett funkció.

Kezdjük sorban. Ebben a leckében a származékok táblázatát nézzük meg.

Származékok táblázata.

A világon végtelen számú függvény létezik. E fajta között vannak olyan funkciók, amelyek számára a legfontosabbak praktikus alkalmazás. Ezek a funkciók a természet minden törvényében megtalálhatók. Ezekből a függvényekből, mint a téglákból, megszerkesztheti az összes többit. Ezt a függvényosztályt ún elemi függvények. Ezeket a függvényeket tanulmányozzák az iskolában - lineáris, másodfokú, hiperbola stb.

A funkciók megkülönböztetése „a nulláról”, azaz. A derivált definíciója és a határok elmélete alapján ez meglehetősen munkaigényes dolog. És a matematikusok is emberek, igen, igen!) Szóval leegyszerűsítették az életüket (és minket is). Kiszámolták előttünk az elemi függvények deriváltjait. Az eredmény egy derivált táblázat, ahol minden készen áll.)

Íme, ez a lemez a legnépszerűbb funkciókhoz. Bal - elemi funkció, a jobb oldalon a származéka látható.

	Funkció y	y függvény származéka y"
1	C (állandó érték)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n – tetszőleges szám)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	bűn x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Javaslom, hogy ebben a derivált táblázatban a függvények harmadik csoportjára fordítsanak figyelmet. Derivált teljesítmény funkció- az egyik leggyakoribb képlet, ha nem a leggyakoribb! Érted a tippet?) Igen, célszerű fejből ismerni a származékok táblázatát. Mellesleg ez nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik. Próbálj meg dönteni több példa, maga az asztal emlékezetes marad!)

A derivált táblázati értékének megtalálása, amint érti, nem a legnehezebb feladat. Ezért az ilyen feladatokban nagyon gyakran vannak további chipek. Vagy a feladat megfogalmazásában, vagy az eredeti függvényben, ami úgy tűnik, nem szerepel a táblázatban...

Nézzünk néhány példát:

1. Határozzuk meg az y = x függvény deriváltját! 3

A táblázatban nincs ilyen funkció. De van egy deriváltja a hatványfüggvénynek Általános nézet(harmadik csoport). Esetünkben n=3. Tehát n helyett hármat helyettesítünk, és gondosan felírjuk az eredményt:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Ez az.

Válasz: y" = 3x 2

2. Keresse meg az y = sinx függvény deriváltjának értékét az x = 0 pontban!

Ez a feladat azt jelenti, hogy először meg kell találnia a szinusz deriváltját, majd be kell cserélnie az értéket x = 0 ugyanabba a származékba. Pontosan ebben a sorrendben! Ellenkező esetben előfordul, hogy azonnal behelyettesítenek nullát az eredeti függvénybe... Nem az eredeti függvény értékét kell keresni, hanem az értéket származéka. A derivált, hadd emlékeztessem önöket, egy új függvény.

A tábla segítségével megtaláljuk a szinust és a megfelelő deriváltot:

y" = (sin x)" = cosx

Behelyettesítjük a nullát a deriváltba:

y"(0) = cos 0 = 1

Ez lesz a válasz.

3. Különböztesse meg a függvényt:

Mit, inspirál?) A származékok táblázatában nincs ilyen függvény.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy függvény megkülönböztetése annyi, mint a függvény deriváltjának megtalálása. Ha elfelejtjük az elemi trigonometriát, akkor a függvényünk deriváltját meglehetősen nehézkes megkeresni. A táblázat nem segít...

De ha látjuk, hogy a funkciónk az kétszögű koszinusz, akkor azonnal minden jobb lesz!

Igen igen! Ne feledje, hogy átalakítja az eredeti függvényt a megkülönböztetés előtt egészen elfogadható! És előfordul, hogy ez nagyban megkönnyíti az életet. A kettős szög koszinusz képlet segítségével:

Azok. trükkös funkciónk nem más, mint y = cosx. És ez egy táblázat függvény. Azonnal megkapjuk:

Válasz: y" = - sin x.

Példa haladóknak és hallgatóknak:

4. Keresse meg a függvény deriváltját:

A derivált táblázatban természetesen nincs ilyen függvény. De ha emlékszel az elemi matematikára, a hatványokkal végzett műveletekre... Akkor ezt a függvényt nagyon le lehet egyszerűsíteni. Mint ez:

És az x egy tized hatványára már táblázatos függvény! Harmadik csoport, n=1/10. Közvetlenül a képlet szerint írjuk:

Ez minden. Ez lesz a válasz.

Remélem, hogy minden világos a megkülönböztetés első pillérével - a származékok táblázatával. Marad a két megmaradt bálnával foglalkozni. A következő leckében megtanuljuk a megkülönböztetés szabályait.

A matematikai fizikai feladatok vagy példák megoldása teljesen lehetetlen a derivált és a számítási módszerek ismerete nélkül. A derivált a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalma. Úgy döntöttünk, hogy a mai cikket ennek az alapvető témának szenteljük. Mi a derivált, mi a fizikai és geometriai jelentése, hogyan kell kiszámítani egy függvény deriváltját? Mindezek a kérdések összevonhatók egybe: hogyan lehet megérteni a származékot?

A származék geometriai és fizikai jelentése

Legyen függvény f(x) , meghatározott intervallumban (a, b) . Az x és x0 pont ehhez az intervallumhoz tartozik. Ha x változik, maga a függvény is megváltozik. Az érv megváltoztatása - az értékek különbsége x-x0 . Ez a különbség így van írva delta x és argumentumnövekménynek nevezzük. Egy függvény változása vagy növekménye a függvény értékeinek különbsége két ponton. A származék definíciója:

Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény adott pontban való növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik.

Különben így írható:

Mi értelme ilyen határt találni? És íme, mi ez:

egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő az OX tengely és a függvény grafikonjának érintője közötti szög érintőjével egy adott pontban.

A származék fizikai jelentése: az út időbeli deriváltja egyenlő az egyenes vonalú mozgás sebességével.

Valójában az iskolai idők óta mindenki tudja, hogy a sebesség egy adott út x=f(t) és az idő t . átlagsebesség egy bizonyos ideig:

Megtudni a mozgás sebességét egy adott pillanatban t0 ki kell számolni a határértéket:

Első szabály: állítson be egy állandót

A konstans kivehető a derivált előjelből. Ráadásul ezt meg is kell tenni. A matematikai példák megoldása során vegye ezt szabálynak - Ha le tud egyszerűsíteni egy kifejezést, mindenképpen egyszerűsítse .

Példa. Számítsuk ki a deriváltot:

Második szabály: a függvények összegének deriváltja

Két függvény összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak összegével. Ugyanez igaz a függvények különbségének deriváltjára is.

Nem bizonyítjuk ezt a tételt, inkább egy gyakorlati példát veszünk figyelembe.

Keresse meg a függvény deriváltját:

Harmadik szabály: a függvények szorzatának deriváltja

Két differenciálható függvény szorzatának deriváltja a következő képlettel számítható ki:

Példa: keresse meg egy függvény deriváltját:

Megoldás:

Itt fontos szót ejteni az összetett függvények deriváltjainak kiszámításáról. Egy komplex függvény deriváltja egyenlő ennek a függvénynek a deriváltjának a szorzatával a köztes argumentumhoz és a köztes argumentum deriváltjának a független változóhoz képest.

A fenti példában a következő kifejezéssel találkozunk:

BAN BEN ebben az esetben a köztes argumentum 8x az ötödik hatványhoz. Egy ilyen kifejezés deriváltjának kiszámításához először kiszámítjuk a külső függvény deriváltját a köztes argumentumhoz képest, majd megszorozzuk magának a köztes argumentumnak a független változóhoz viszonyított deriváltjával.

Negyedik szabály: két függvény hányadosának deriváltja

Képlet két függvény hányadosának deriváltjának meghatározására:

Megpróbáltunk a nulláról beszélni a próbababák származékairól. Ez a téma nem olyan egyszerű, mint amilyennek látszik, ezért figyelem: a példákban gyakran vannak buktatók, ezért legyen óvatos a származékok kiszámításakor.

Ezzel és más témával kapcsolatos kérdéseivel fordulhat a diákszolgálathoz. Mögött rövid időszak Segítünk a legnehezebb tesztek és feladatok megoldásában, még akkor is, ha még soha nem végzett derivált számításokat.

Egy változó függvényének deriváltja.

Bevezetés.

Igazi módszertani fejlesztések az Ipar- és Építőmérnöki Kar hallgatói számára készült. Ezeket a matematika kurzus programjához kapcsolódóan az „Egy változó függvényeinek differenciálszámítása” részben állították össze.

A fejlesztések egyetlen módszertani útmutatót képviselnek, amelyek tartalmazzák: rövid elméleti információkat; „standard” problémák és gyakorlatok részletes megoldásokkal és magyarázatokkal ezekre a megoldásokra; teszt opciók.

Minden bekezdés végén további gyakorlatok találhatók. Ez a fejlesztési struktúra alkalmassá teszi a szakasz önálló elsajátítására minimális tanári segítséggel.

§1. A származék definíciója.

Mechanikai és geometriai jelentése

derivált.

A derivált fogalma a matematikai elemzés egyik legfontosabb fogalma, amely a 17. században keletkezett. A derivált fogalmának kialakulása történetileg két problémával függ össze: a váltakozó mozgás sebességének és a görbe érintőjének problémájával.

Ezek a problémák eltérő tartalmuk ellenére ugyanazt a matematikai műveletet eredményezik, amelyet a függvényen végre kell hajtani, ez a művelet a matematikában külön nevet kapott. Egy függvény differenciálási műveletének nevezzük. A differenciálási művelet eredményét deriváltnak nevezzük.

Tehát az y=f(x) függvény deriváltja az x0 pontban a függvény növekményének és az argumentum növekményének a határa (ha létezik).
nál nél
.

A származékot általában a következőképpen jelölik:
.

Tehát definíció szerint

A szimbólumokat a származékok jelölésére is használják
.

A származék mechanikai jelentése.

Ha s=s(t) egy anyagi pont egyenes vonalú mozgásának törvénye, akkor
ennek a pontnak a sebessége a t időpontban.

A származék geometriai jelentése.

Ha az y=f(x) függvénynek van deriváltja a pontban , akkor a függvény grafikonjának érintőjének szögegyütthatója a pontban
egyenlő
.

Példa.

Keresse meg a függvény deriváltját!
azon a ponton =2:

1) Adjunk egy pontot =2 növekmény
. Vedd észre, az.

2) Keresse meg a függvény növekményét a pontban =2:

3) Hozzuk létre a függvény növekményének az argumentum növekményéhez viszonyított arányát:

Keressük meg az arány határát az at
:

.

És így,
.

2. § Egyesek származékai

legegyszerűbb funkciókat.

A tanulónak meg kell tanulnia meghatározott függvények deriváltjainak kiszámítását: y=x,y= és általában = .

Keressük meg az y=x függvény deriváltját.

azok. (x)′=1.

Keressük meg a függvény deriváltját

Derivált

Hadd
Akkor

Könnyen észrevehető egy minta a hatványfüggvény deriváltjainak kifejezéseiben
ahol n=1,2,3.

Ennélfogva,

. (1)

Ez a képlet bármely valós n-re érvényes.

Az (1) képlet felhasználásával a következőket kapjuk:

;

.

Példa.

Keresse meg a függvény deriváltját!

.

.

Ez a függvény az űrlap függvényének speciális esete

nál nél
.

Az (1) képlet segítségével megkaptuk

.

Az y=sin x és y=cos x függvények deriváltjai.

Legyen y=sinx.

Osztjuk ∆x-el, megkapjuk

Átlépve a ∆x→0 határértékre, megvan

Legyen y=cosx.

Ha elérjük a ∆x→0 határértéket, megkapjuk

;
. (2)

§3. A megkülönböztetés alapszabályai.

Tekintsük a megkülönböztetés szabályait.

Tétel1 . Ha az u=u(x) és v=v(x) függvények egy adott pontban differenciálhatók, akkor ezen a ponton az összegük is differenciálható, és az összeg deriváltja egyenlő a tagok deriváltjainak összegével : (u+v)"=u"+v".(3 )

Bizonyítás: tekintsük az y=f(x)=u(x)+v(x) függvényt.

Az x argumentum ∆x növekménye megfelel az u és v függvények ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) növekményeinek. Ekkor az y függvény növekedni fog

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Ennélfogva,

Tehát (u+v)"=u"+v.

Tétel2. Ha az u=u(x) és v=v(x) függvények egy adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzatuk ugyanabban a pontban differenciálható. Ebben az esetben a szorzat deriváltját a következő képlettel találjuk meg: ( uv)"=u"v+uv". (4)

Bizonyítás: Legyen y=uv, ahol u és v x néhány differenciálható függvénye. Adjunk x-nek ∆x növekményt, akkor u ∆u növekményt kap, v ∆v növekményt, y pedig ∆y növekedést.

Van y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), vagy

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Ezért ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Innen

Ha átlépünk a ∆x→0 határértékre, és figyelembe véve, hogy u és v nem függ ∆x-től, akkor azt kapjuk

3. tétel. Két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, melynek nevezője egyenlő az osztó négyzetével, a számláló pedig az osztalék deriváltjának és az osztó szorzatának és az osztó szorzatának a különbsége. osztalék és az osztó deriváltja, azaz.

Ha
Hogy
(5)

4. tétel. Egy állandó deriváltja nulla, azaz. ha y=C, ahol C=const, akkor y"=0.

5. tétel. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből, azaz. ha y=Cu(x), ahol С=const, akkor y"=Cu"(x).

1. példa

Keresse meg a függvény deriváltját!

.

Ennek a függvénynek van formája
, ahol u=x,v=cosx. A (4) differenciálási szabályt alkalmazva azt találjuk

.

2. példa

Keresse meg a függvény deriváltját!

.

Alkalmazzuk az (5) képletet.

Itt
;
.

Feladatok.

Keresse meg a következő függvények származékait:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)