Amit n-edik gyökérnek neveznek. Hatványfüggvény és gyökök - definíció, tulajdonságok és képletek

Gyökér fok n valós számból a, Ahol n - természetes szám, ezt nevezik valós szám x, n amelynek edik foka egyenlő a.

Gyökér fok n számból a szimbólum jelzi. E meghatározás szerint.

A gyökér megtalálása n-edik fokozat közül a gyökérkivonásnak nevezzük. Szám A gyökszámnak (kifejezésnek) nevezzük, n- gyökérjelző. Különösnek n van egy gyökér n-edik hatvány bármely valós számra a. Amikor még n van egy gyökér n-edik fokozat csak nem negatív száma. A gyökér egyértelművé tételéhez n-edik fokozat közül a, bevezetik a számtani gyök fogalmát n-edik fokozat közül a.

Az N fokú számtani gyök fogalma

Ha n- természetes szám, nagyobb 1 , akkor van, és csak egy, nem negatív szám x, úgy, hogy az egyenlőség teljesüljön. Ez a szám x aritmetikai gyöknek nevezzük n egy nem negatív szám hatványa Aés ki van jelölve. Szám A radikális számnak nevezzük, n- gyökérjelző.

Tehát a definíció szerint a jelölés, ahol , egyrészt azt, másrészt azt jelenti, azaz. .

A fokozat fogalma racionális kitevővel

Fokozat természetes kitevővel: legyen A egy valós szám, és n- egynél nagyobb természetes szám, n-a szám hatványa A hívja a munkát n tényezők, amelyek mindegyike egyenlő A, azaz . Szám A- a végzettség alapja, n- kitevő. Nulla kitevőjű hatvány: definíció szerint ha , akkor . Egy szám nulla hatványa 0 nincs értelme. Negatív egész kitevővel rendelkező fok: definíció szerint feltételezzük, ha és n akkor természetes szám. Fokszám tört kitevővel: definíció szerint feltételezzük, ha és n- természetes szám, m akkor egy egész szám.

Műveletek gyökerekkel.

Az összes alábbi képletben a szimbólum számtani gyöket jelent (a gyök kifejezés pozitív).

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Egy arány gyöke egyenlő az osztalék és az osztó gyökének arányával:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:

4. Ha n-szer növeli a gyök fokát, és ezzel egyidejűleg a gyökszámot az n-edik hatványra emeli, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha n-szer csökkenti a gyök fokát, és egyidejűleg kivonja a gyökszám n-edik gyökét, akkor a gyök értéke nem változik:

A fokozat fogalmának bővítése. Eddig csak természetes kitevőkkel vettük figyelembe a fokokat; de a hatványokkal és gyökökkel végzett műveletek negatív, nulla és tört kitevőhöz is vezethetnek. Mindezek a kitevők további definíciót igényelnek.

Egy fok negatív kitevővel. Egy bizonyos negatív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával, amelynek kitevője megegyezik a negatív kitevő abszolút értékével:

Most az a m képlet: a n = a m - n nem csak n-nél nagyobb m-re, hanem n-nél kisebb m-re is használható.

PÉLDA a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Ha azt akarjuk, hogy az a m képlet: a n = a m - n érvényes legyen m = n-re, szükségünk van a nulla fok definíciójára.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely nullától eltérő szám hatványa nulla kitevővel 1.

PÉLDÁK. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Ahhoz, hogy egy a valós számot az m / n hatványra emeljünk, ki kell vonni az a szám m-edik hatványának n-edik gyökét:

Olyan kifejezésekről, amelyeknek nincs jelentésük. Több ilyen kifejezés létezik.

1. eset.

Ahol a ≠ 0 nem létezik.

Valójában, ha feltételezzük, hogy x egy bizonyos szám, akkor az osztási művelet definíciójának megfelelően a következőt kapjuk: a = 0 x, azaz. a = 0, ami ellentmond a feltételnek: a ≠ 0

2. eset.

Bármilyen szám.

Valójában, ha feltételezzük, hogy ez a kifejezés egy bizonyos x számmal egyenlő, akkor az osztási művelet definíciója szerint a következőt kapjuk: 0 = 0 · x. De ez az egyenlőség bármely x számra érvényes, amit bizonyítani kellett.

Igazán,

Megoldás. Nézzünk három fő esetet:

1) x = 0 – ez az érték nem felel meg ennek az egyenletnek

2) x > 0 esetén a következőt kapjuk: x / x = 1, azaz. 1 = 1, ami azt jelenti, hogy x tetszőleges szám; de figyelembe véve, hogy esetünkben x > 0, a válasz x > 0;

3) x-nél< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

ebben az esetben nincs megoldás. Így x > 0.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt azokról egyedi ajánlatok, promóciók és egyéb események és közelgő események.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Óra forgatókönyve 11. osztálynak a témában:

« Gyökér n-edik fokozat valós számból. »

Az óra célja: A gyökér holisztikus megértésének kialakítása a tanulókban n-edik fokozat és n-edik fokozat számtani gyöke, számítási készségek kialakítása, tudatos ill. racionális használat a gyökér tulajdonságai a megoldás során különféle feladatokat gyököt tartalmaz. Ellenőrizze, hogy a tanulók mennyire értik a témával kapcsolatos kérdéseket.

Tantárgy:értelmes és szervezeti feltételeket teremteni a témával kapcsolatos anyagok elsajátításához. Numerikus és szó szerinti kifejezések» az észlelés, a megértés és az elsődleges memorizálás szintjén; fejleszteni kell ezen információk felhasználásának képességét egy valós szám n-edik gyökének kiszámításakor;

Meta alany: a számítástechnikai ismeretek fejlesztésének elősegítése; képesség elemzésre, összehasonlításra, általánosításra, következtetések levonására;

Személyes: fejleszteni kell a véleménynyilvánítás képességét, meghallgatni mások válaszait, részt venni a párbeszédben, kialakítani a pozitív együttműködés képességét.

Tervezett eredmény.

Tantárgy: tudja valós helyzetben alkalmazni a valós szám n-edik gyökének tulajdonságait gyökszámításkor és egyenletek megoldása során.

Személyes: a számítások figyelmének, pontosságának, önmagunkkal és munkájukkal szembeni igényes magatartás kialakítására, a kölcsönös segítségnyújtás érzésének ápolására.

Óratípus: lecke az új ismeretek tanulmányozásáról és kezdeti megszilárdításáról

Oktatási tevékenység motivációja:

A keleti bölcsesség azt mondja: "A lovat a vízhez vezetheted, de nem kényszerítheted rá, hogy igyon." És lehetetlen rákényszeríteni az embert, hogy jól tanuljon, ha ő maga nem próbál meg többet tanulni, és nincs kedve a mentális fejlődésén dolgozni. Végtére is, a tudás csak akkor tudás, ha azt a gondolatok erőfeszítései révén sajátítjuk el, és nem csupán az emlékezetből.

Leckénk mottója: „Bármely csúcsot meghódítunk, ha arra törekszünk.” A lecke során Önnek és nekem időnk van több csúcs leküzdésére, és mindegyikőtöknek minden erőfeszítést meg kell tennie e csúcsok meghódítására.

„Ma van egy leckénk, amelyben meg kell ismerkednünk egy új fogalommal: az „N-edik gyökérrel”, és meg kell tanulnunk, hogyan alkalmazzuk ezt a fogalmat a különféle kifejezések átalakítására.

A célod azon alapul különféle formák dolgozni a meglévő tudás aktiválásán, hozzájárulni az anyag tanulmányozásához és jó osztályzatok megszerzéséhez"
8. osztályban egy valós szám négyzetgyökét tanultuk. A négyzetgyök az űrlap függvényéhez kapcsolódik y=x 2. Srácok, emlékszel, hogyan számítottuk ki a négyzetgyököket, és milyen tulajdonságai voltak?
a) egyéni felmérés:

milyen kifejezés ez

amit négyzetgyöknek neveznek

amit aritmetikai négyzetgyöknek neveznek

sorolja fel a négyzetgyök tulajdonságait

b) dolgozz párban: számold.

-

2. Ismeretek frissítése, problémahelyzet kialakítása: Oldja meg az x 4 =1 egyenletet. Hogyan tudjuk megoldani? (Analitikai és grafikus). Oldjuk meg grafikusan. Ehhez egy koordinátarendszerben megszerkesztjük az y = x 4 függvény grafikonját, az y = 1 egyenest (164. a ábra). Két pontban metszik egymást: A (-1;1) és B(1;1). Az A és B pontok abszcisszái, azaz. x 1 = -1,

x 2 = 1 az x 4 = 1 egyenlet gyökei.
Pontosan ugyanígy érvelve megtaláljuk az x 4 =16 egyenlet gyökereit: Most próbáljuk meg megoldani az x 4 =5 egyenletet; ábrán egy geometriai ábra látható. 164 b. Nyilvánvaló, hogy az egyenletnek két gyöke van x 1 és x 2, és ezek a számok, mint az előző két esetben, egymással ellentétesek. De az első két egyenletnél a gyököket nehézség nélkül megtaláltuk (gráfok használata nélkül is meg lehetett találni), de az x 4 = 5 egyenlettel problémák vannak: a rajzból nem tudjuk megadni a gyökök értékeit, de mi csak azt tudja megállapítani, hogy az egyik gyökér a -1 pont bal oldalán található, a második pedig az 1. ponttól jobbra.

x 2 = - (értsd: „ötből negyedik gyök”).

Beszéltünk az x 4 = a egyenletről, ahol a 0. Ugyanígy beszélhetnénk az x 4 = a egyenletről is, ahol a 0 és n bármely természetes szám. Például grafikusan megoldva az x 5 = 1 egyenletet, azt találjuk, hogy x = 1 (165. ábra); megoldva az x 5 "= 7 egyenletet, megállapítjuk, hogy az egyenletnek van egy x 1 gyöke, amely az x tengelyen az 1. ponttól kissé jobbra helyezkedik el (lásd 165. ábra). Az x 1 számhoz bevezetjük a jelölés .

1. definíció. Egy nem negatív a szám n-edik gyöke (n = 2, 3,4, 5,...) egy nem negatív szám, amelyet n hatványra emelve az a számot kapjuk.

Ezt a számot jelöljük, az a számot gyökszámnak, az n számot pedig a gyök kitevőjének nevezzük.
Ha n=2, akkor általában nem azt mondják, hogy „második gyök”, hanem azt, hogy „négyzetgyök”. Ebben az esetben ezt nem írják, ez az a speciális eset, amit a 8. osztályos algebra tanfolyamon tanultál. .

Ha n = 3, akkor a „harmadfokú gyökér” helyett gyakran azt mondják, hogy „kockagyök”. A kockagyökkel való első ismerkedésed is a 8. osztályos algebra tanfolyamon történt. A 9. osztályos algebrában kockagyököket használtunk.

Tehát, ha a ≥0, n= 2,3,4,5,…, akkor 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Általában =b és b n =a ugyanaz a kapcsolat a nemnegatív a és b számok között, de csak a másodikat írjuk le részletesebben. egyszerű nyelven(egyszerűbb karaktereket használ), mint az első.

A nem negatív szám gyökének megtalálásának műveletét általában gyökérkivonásnak nevezik. Ez a művelet a megfelelő teljesítményre emelés fordítottja. Összehasonlítás:

Még egyszer vegye figyelembe: csak pozitív számok jelennek meg a táblázatban, mivel ezt az 1. definíció írja elő. És bár például (-6) 6 = 36 helyes egyenlőség, térjünk át a jelölésre a négyzetgyök használatával, azaz. írd, hogy lehetetlen. Definíció szerint a pozitív szám = 6 (nem -6). Ugyanígy, bár 2 4 =16, t (-2) 4 =16, a gyökök jeleire haladva = 2-t (és egyben ≠-2-t) kell írnunk.

Néha a kifejezést radikálisnak nevezik (a latin gadix szóból - „gyökér”). Oroszul a radikális kifejezést gyakran használják, például „radikális változások” - ez „radikális változásokat” jelent. Egyébként már maga a gyök megjelölése is a gadix szóra emlékeztet: a szimbólum egy stilizált r betű.

A gyök kinyerésének műveletét negatív gyökszámra is meghatározzuk, de csak páratlan gyökkitevő esetén. Más szóval, a (-2) 5 = -32 egyenlőség átírható ekvivalens formában =-2-vel. A következő meghatározást használjuk.

2. definíció. Egy negatív a szám páratlan n gyöke (n = 3,5,...) olyan negatív szám, amelyet n hatványra emelve az a számot kapjuk.

Ezt a számot az 1. definícióhoz hasonlóan jelöli, az a szám a gyökszám, az n szám pedig a gyök kitevője.
Tehát, ha a , n=,5,7,…, akkor: 1) 0; 2) () n = a.

Így a páros gyöknek csak nemnegatív gyök kifejezésre van jelentése (vagyis definiálva van); a páratlan gyök értelmes bármilyen radikális kifejezéshez.

5. Elsődleges tudásmegszilárdítás:

1. Számítsd ki: No. 33,5; 33,6; 33,74 33,8 szóban a) ; b) ; V) ; G) .

d) Ellentétben korábbi példák nem tudjuk megadni a szám pontos értékét, csak az világos, hogy nagyobb, mint 2, de kisebb, mint 3, mivel 2 4 = 16 (ez kevesebb, mint 17), és 3 4 = 81 (ez több mint 17 ). Megjegyezzük, hogy a 24 sokkal közelebb van a 17-hez, mint a 34, ezért érdemes a közelítő egyenlőségjelet használni:
2. Keresse meg a következő kifejezések jelentését!

Helyezze a megfelelő betűt a példa mellé!

Egy kis információ a nagy tudósról. Rene Descartes (1596-1650) francia nemes, matematikus, filozófus, fiziológus, gondolkodó. Rene Descartes lefektette az analitikus geometria alapjait, és bevezette az x 2, y 3 betűjelöléseket. Mindenki tudja Derékszögű koordináták, amely meghatározza a változó függvényét.

3 . Oldja meg az egyenleteket: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Megoldás: a) Ha = -2, akkor y = -8. Valójában az adott egyenlet mindkét oldalát kockára kell vágnunk. Kapjuk: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Az a) példában leírtak szerint az egyenlet mindkét oldalát a negyedik hatványra emeljük. A következőt kapjuk: x=1.

c) Nem kell a negyedik hatványra emelni, ennek az egyenletnek nincs megoldása. Miért? Mert az 1. definíció szerint a páros gyök nemnegatív szám.
Számos feladatot ajánlunk a figyelmedbe. Amikor elvégzi ezeket a feladatokat, megtanulja a nagy matematikus nevét és vezetéknevét. Ez a tudós volt az első, aki 1637-ben bevezette a gyökérjelet.

6. Pihenjünk egy kicsit.

Az osztály felemeli a kezét - ez az „egy”.

A fej megfordult - „kettő” volt.

Le a kezekkel, nézz előre - ez a „három”.

A kezek szélesebbre fordultak oldalra „négy”

Erővel a kezedbe nyomni őket „nagy ötös”.

Minden srácnak le kell ülnie - ez „hat”.

7. Önálló munkavégzés:

lehetőség: 2. lehetőség:

b) 3-. b)12 -6.

2. Oldja meg az egyenletet: a) x 4 = -16; b) 0,02x6 -1,28=0; a) x 8 = -3; b)0,3x9 – 2,4=0;

c) = -2; c) = 2

8. Ismétlés: Keresse meg az = - x egyenlet gyökerét. Ha az egyenletnek több gyöke van, akkor a választ a kisebb gyökkel írja be.

9. Reflexió: Mit tanultál az órán? Mi volt érdekes? Mi volt nehéz?

Az óra céljai:

Nevelési: teremtsen feltételeket az n-edik gyökér holisztikus elképzelésének, a gyökér tulajdonságainak tudatos és racionális használatának készségeinek kialakításához a tanulókban a különböző problémák megoldása során.

Fejlődési: feltételeket teremteni az algoritmikus, kreatív gondolkodás fejlődéséhez, fejleszteni az önkontroll készségeket.

Nevelési: elősegíti a tárgy iránti érdeklődés, tevékenység iránti érdeklődés kialakulását, fejleszti a munkavégzés pontosságát, a véleménynyilvánítás képességét, javaslattételt.

Az órák alatt

1. Szervezeti mozzanat.

Jó napot Jó órát!

Nagyon örülök, hogy látlak.

A harang már megszólalt

Kezdődik a lecke.

Mosolyogtunk. Utolértük.

Egymásra néztünk

És csendben leültek egymás mellé.

2. Óramotiváció.

A kiváló francia filozófus és tudós, Blaise Pascal így érvelt: „Az ember nagyszerűsége a gondolkodási képességében rejlik.” Ma megpróbáljuk nagyszerű embereknek érezni magunkat azáltal, hogy felfedezzük magunknak a tudást. A mai óra mottója az ókori görög matematikus, Thalész szavai lesz:

Mi van mindennél több a világon? - Hely.

Mi a leggyorsabb? - Ész.

Mi a legbölcsebb dolog? - Idő.

Mi a legjobb rész? - Érd el, amit akarsz.

Szeretném, ha mindannyian elérnék a kívánt eredményt a mai órán.

3. Az ismeretek frissítése.

1. Nevezze meg a számokkal végzett reciprok algebrai műveleteket! (összeadás és kivonás, szorzás és osztás)

2. Mindig lehet olyan algebrai műveletet végrehajtani, mint az osztás? (Nem, nem lehet nullával osztani)

3. Milyen műveletet tud még végrehajtani a számokkal? (Hatványozás)

4. Milyen művelet lesz a fordítottja? (Gyökér kitermelése)

5. Milyen fokú gyökér kinyerhető? (Második gyökér)

6. Milyen tulajdonságait ismeri a négyzetgyöknek? (A szorzat négyzetgyökének kivonása hányadosból, gyökérből, hatványra emelése)

7. Keresse meg a kifejezések jelentését:

A történelemből. A babiloni tudósok még 4000 évvel ezelőtt is összeállítottak szorzótáblákat és táblázatokat reciprok(melynek segítségével a számok osztása szorzásra redukálódott) számnégyzettáblázatok és négyzetgyök számok. Ugyanakkor meg tudták találni bármely egész szám négyzetgyökének közelítő értékét.

4. Új anyag tanulmányozása.

Nyilvánvalóan a fokok alaptulajdonságaival összhangban természetes kitevővel, bármely pozitív szám a páros gyöknek két ellentétes értéke van, például a 4 és -4 számok a 16 négyzetgyökei, mivel (-4)2 = 42 = 16, a 3 és -3 pedig a 81 negyedik gyöke. , mivel (-3)4 = 34 = 81.

Ezenkívül a negatív számnak nincs páros gyöke, mert bármely valós szám páros hatványa nem negatív. Ami a páratlan fok gyökét illeti, bármely valós számhoz ebből a számból csak egy páratlan fok gyöke van. Például a 3 a 27 harmadik gyöke, mivel a 33 = 27, a -2 pedig a -32 ötödik gyöke, mivel (-2)5 = 32.

Mivel egy pozitív számból két páros fokú gyök létezik, bevezetjük az aritmetikai gyök fogalmát, hogy kiküszöböljük a gyök kétértelműségét.

A nem negatív szám n-edik gyökének nem negatív értékét aritmetikai gyöknek nevezzük.

Megnevezés: - n-edik gyök fokon.

Az n számot a számtani gyök hatványának nevezzük. Ha n = 2, akkor a gyök foka nincs feltüntetve, hanem fel van írva. A másodfokú gyökerét általában négyzetgyöknek, a harmadik fokú gyökerét pedig köbgyöknek nevezik.

B, b2 = a, a ≥ 0, b ≥ 0

B, bп = a, p - páros a ≥ 0, b ≥ 0

n - páratlan a, b - bármilyen

Tulajdonságok

1. , a ≥ 0, b ≥ 0

2. , a ≥ 0, b >0

3. , a ≥ 0

4. , m, n, k - természetes számok

5. Új anyag konszolidációja.

Szóbeli munka

a) Mely kifejezéseknek van értelme?

b) Az a változó mely értékeire van értelme a kifejezésnek?

3., 4., 7., 9., 11. megoldás.

6. Testnevelési perc.

Mértékletességre van szükség minden ügyben,

Legyen ez a fő szabály.

Tornázz, mivel régóta gondolkodtál,

A torna nem fárasztja ki a testet,

De teljesen megtisztítja a szervezetet!

Csukd be a szemed, lazítsd el a tested,

Képzeld el - madarak vagytok, hirtelen repülsz!

Most úgy úszsz az óceánban, mint egy delfin,

Most érett almát szed a kertben.

Balra, jobbra, körülnéztem,

Nyisd ki a szemed és térj vissza az üzlethez!

7. Önálló munkavégzés.

Dolgozzon párban. 178 1. sz., 2. sz.

8. D/z. Tanuld meg a 10. tételt (160-161. o.), oldd meg az 5., 6., 8., 12., 16. (1, 2) sz.

9. Óra összefoglalója. A tevékenység tükröződése.

Elérte a lecke a célját?

Mit tanultál?

Megadjuk a hatványfüggvény alapvető tulajdonságait, beleértve a képleteket és a gyök tulajdonságait. Származék, integrál, bővítés be teljesítmény sorozatés egy hatványfüggvény komplex számokkal történő ábrázolása.

Meghatározás

Meghatározás
Hatványfüggvény kitevővel p az f függvény (x) = xp, melynek értéke az x pontban egyenlő az x bázisú exponenciális függvény értékével a p pontban.
Ezen kívül f (0) = 0 p = 0 p > esetén 0 .

A kitevő természetes értékei esetén a hatványfüggvény n szám szorzata, amely egyenlő x-szel:
.
Minden érvényesre definiálva van.

A kitevő pozitív racionális értékei esetén a hatványfüggvény az x szám m fokos n gyökének szorzata:
.
Páratlan m esetén minden valós x-re definiálva. Páros m esetén a hatványfüggvény a nem negatívakra van definiálva.

Negatív esetén a hatványfüggvényt a következő képlet határozza meg:
.
Ezért a ponton nincs meghatározva.

A p kitevő irracionális értékei esetén a hatványfüggvényt a következő képlet határozza meg:
,
ahol a tetszőleges pozitív szám, amely nem egyenlő eggyel: .
Mikor , a következőre van definiálva.
Amikor a teljesítmény függvény definiálva van.

Folytonosság. A hatványfüggvény definíciós tartományában folytonos.

Hatványfüggvények tulajdonságai és képletei x ≥ 0 esetén

Itt figyelembe vesszük a nem hatványfüggvény tulajdonságait negatív értékeketérv x. Amint fentebb említettük, a p kitevő bizonyos értékei esetén a hatványfüggvény az x negatív értékeire is definiálva van. Ebben az esetben tulajdonságait a tulajdonságaiból kaphatjuk meg, páros vagy páratlan használatával. Ezeket az eseteket részletesen tárgyalja és szemlélteti a "".

Az y = x p hatványfüggvény p kitevőjével a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
(1.1) meghatározott és folyamatos a forgatáson
nál nél ,
nál nél ;
(1.2) sok jelentése van
nál nél ,
nál nél ;
(1.3) szigorúan növekszik -val,
szigorúan csökken, mint ;
(1.4) nál nél ;
nál nél ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

A tulajdonságok igazolása a „Teljességi függvény (a folytonosság és tulajdonságok igazolása)” oldalon található.

Gyökerek - meghatározás, képletek, tulajdonságok

Meghatározás
n fokú x szám gyöke az a szám, amelyet n hatványra emelve x-et ad:
.
Itt n = 2, 3, 4, ... - egynél nagyobb természetes szám.

Azt is mondhatjuk, hogy egy n fokú x szám gyöke az egyenlet gyöke (azaz megoldása)
.
Vegye figyelembe, hogy a függvény a függvény inverze.

Négyzetgyök x számból a 2. fokú gyöke: .

x kockagyöke a 3. fokú gyöke: .

Páros fokozat

Páros hatványokra n = 2 m, a gyök x ≥ esetén van definiálva 0 . Egy gyakran használt képlet pozitív és negatív x-re is érvényes:
.
Négyzetgyökhöz:
.

Itt fontos a műveletek végrehajtásának sorrendje - vagyis először a négyzetet hajtják végre, aminek eredménye egy nem negatív szám, majd ebből veszi a gyöket (a négyzetgyök vehető nem negatív számból ). Ha megváltoztatnánk a sorrendet: , akkor negatív x esetén a gyök definiálatlan lenne, és ezzel együtt a teljes kifejezés definiálatlan lenne.

Páratlan fokozat

Páratlan hatványok esetén a gyökér minden x-re definiálva van:
;
.

A gyökök tulajdonságai és képletei

Az x gyöke egy hatványfüggvény:
.
Ha x ≥ 0 a következő képletek érvényesek:
;
;
, ;
.

Ezek a képletek a változók negatív értékeire is alkalmazhatók. Csak arra kell ügyelnie, hogy a páros erők radikális kifejezése ne legyen negatív.

Magánértékek

A 0 gyöke 0: .
Az 1. gyökér egyenlő 1-gyel: .
0 négyzetgyöke 0: .
1 négyzetgyöke 1: .

Példa. A gyökerek gyökere

Nézzünk egy példát a gyökök négyzetgyökére:
.
Alakítsuk át a belső négyzetgyököt a fenti képletekkel:
.
Most alakítsuk át az eredeti gyökeret:
.
Így,
.

y = x p a p kitevő különböző értékeihez.

Itt vannak a függvény grafikonjai az x argumentum nemnegatív értékeihez. Az x negatív értékeire definiált hatványfüggvény grafikonjait a „Teljességi függvény, tulajdonságai és grafikonjai” oldalon találja.

Inverz függvény

A p kitevőjű hatványfüggvény inverze egy 1/p kitevőjű hatványfüggvény.

Ha akkor.

Hatványfüggvény származéka

Az n-edik rend származéka:
;

Képletek származtatása >>>

Teljesítményfüggvény integrálja

P ≠ - 1 ;
.

Teljesítménysorozat bővítése

Nál nél - 1 < x < 1 a következő bomlás megy végbe:

Komplex számokat használó kifejezések

Tekintsük a z komplex változó függvényét:
f (z) = z t.
Fejezzük ki a z összetett változót az r modulussal és a φ (r = |z|) argumentummal:
z = r e i φ.
A t komplex számot valós és képzetes részek formájában ábrázoljuk:
t = p + i q.
Nekünk van:

Ezután figyelembe vesszük, hogy a φ argumentum nincs egyértelműen meghatározott:
,

Tekintsük azt az esetet, amikor q = 0 , azaz a kitevő egy valós szám, t = p. Akkor
.

Ha p egész szám, akkor kp egész szám. Ezután a trigonometrikus függvények periodicitása miatt:
.
Azaz exponenciális függvény egész kitevő esetén egy adott z-re csak egy értéke van, ezért egyértelmű.

Ha p irracionális, akkor bármely k kp szorzata nem ad egész számot. Mivel k egy végtelen értéksoron fut keresztül k = 0, 1, 2, 3, ..., akkor a z p függvénynek végtelen sok értéke van. Amikor a z argumentum növekszik 2π(egy fordulat), áttérünk a függvény új ágára.

Ha p racionális, akkor a következőképpen ábrázolható:
, Ahol m, n- egész, nem tartalmaz közös osztók. Akkor
.
Első n érték, ahol k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, adja n különböző jelentések kp:
.
A következő értékek azonban olyan értékeket adnak, amelyek egy egész számmal különböznek az előzőektől. Például ha k = k 0+n nekünk van:
.
Trigonometrikus függvények, amelynek argumentumai olyan értékekben térnek el, amelyek többszörösei 2π, egyenlő értékekkel rendelkeznek. Ezért k további növelésével ugyanazokat a z p értékeket kapjuk, mint k = k esetén 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Így egy racionális kitevővel rendelkező exponenciális függvény többértékű, és n értékkel (elágazással) rendelkezik. Amikor a z argumentum növekszik 2π(egy fordulat), áttérünk a függvény új ágára. N ilyen fordulat után visszatérünk az első ághoz, ahonnan a visszaszámlálás elkezdődött.

Különösen az n fok gyökének van n értéke. Példaként vegyük egy z = x valós pozitív szám n-edik gyökét. Ebben az esetben φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Tehát négyzetgyök esetén n = 2 ,
.
Még k-ra is, (- 1 ) k = 1. páratlan k esetén (- 1 ) k = - 1.
Vagyis a négyzetgyöknek két jelentése van: + és -.

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.