Lehetséges nullával osztani? Tehát lehet osztani nullával? Osztás nullával a felsőbb matematikában

A matematikusok sajátos humorérzékkel rendelkeznek, és néhány számítással kapcsolatos kérdést már nem vesznek komolyan. Nem mindig világos, hogy komolyan próbálják-e elmagyarázni neked, hogy miért nem lehet nullával osztani, vagy ez csak egy vicc. De maga a kérdés nem annyira nyilvánvaló, ha az elemi matematikában tisztán logikailag el lehet érni a megoldást, akkor a felsőbb matematikában más kiindulási feltételek is lehetnek.

Mikor jelent meg a nulla?

A nulla szám sok rejtélyt rejt magában:

• BAN BEN Az ókori Róma Nem ismerték ezt a számot, a referenciarendszer I-vel kezdődött.
• Az arabok és az indiánok sokáig érveltek amellett, hogy a nulla ősének nevezzék őket.
• A maja kultúra tanulmányozása kimutatta, hogy ez ősi civilizáció akár az első is lehetett volna a nulla használata tekintetében.
• A nullának nincs számértéke, még csak minimális sem.
• Szó szerint semmit sem jelent, a számonkérhető dolgok hiányát.

A primitív rendszerben nem volt különösebb szükség egy ilyen alakra, hogy valaminek a hiánya szavakkal magyarázható. De a civilizációk megjelenésével az emberi igények az építészet és a mérnöki igények tekintetében is megnövekedtek.

Bonyolultabb számítások elvégzéséhez és új függvények levezetéséhez volt szükség egy szám, ami valaminek a teljes hiányát jelezné.

Lehetséges nullával osztani?

Vannak két merőben ellentétes vélemény:

Az iskolában általános osztályban is azt tanítják, hogy soha nem szabad nullával osztani. Ezt rendkívül egyszerűen magyarázzák:

1. Képzeljük el, hogy van 20 szelet mandarin.
2. Ha elosztod őket 5-tel, 4 szeletet adsz öt barátodnak.
3. A nullával való osztás nem fog működni, mert nem fog megtörténni az osztódás folyamata valakik között.

Természetesen ez egy képletes magyarázat, nagyrészt leegyszerűsítve és nem teljesen összhangban a valósággal. De rendkívül könnyen érthető módon magyarázza meg annak értelmetlenségét, hogy valamit nullával osztunk.

Hiszen valójában így lehet jelölni a megosztottság hiányának tényét. Miért kell bonyolítani a matematikai számításokat és leírni az osztás hiányát?

A nullát el lehet osztani egy számmal?

Az alkalmazott matematika szempontjából nincs sok értelme minden olyan osztásnak, amely nullát tartalmaz. De az iskolai tankönyvek véleményük szerint egyértelműek:

• A nulla osztható.
• Az osztáshoz bármilyen szám használható.
• A nullát nem lehet nullával osztani.

A harmadik pont enyhe megdöbbenést kelthet, hiszen alig néhány bekezdéssel feljebb jelezték, hogy egy ilyen felosztás igenis lehetséges. Valójában minden attól függ, hogy milyen szakterületen végzi a számításokat.

Ebben az esetben tényleg jobb, ha ezt írják az iskolások kifejezés nem határozható meg , és ezért nincs értelme. De az algebrai tudomány egyes ágaiban megengedett egy ilyen kifejezés írása, nullát nullával osztva. Különösen amikor arról beszélünk a számítógépekről és a programozási nyelvekről.

A nulla számmal való osztásának szükségessége felmerülhet bármely egyenlőség megoldása és a kezdeti értékek keresése során. De abban az esetben a válasz mindig nulla lesz. Itt is, akárcsak a szorzásnál, hiába osztod el a nullát, nem lesz több nullánál. Ezért, ha észreveszi ezt a kincses számot egy hatalmas képletben, próbálja meg gyorsan „kitalálni”, hogy minden számítás egy nagyon egyszerű megoldáshoz vezet-e.

Ha a végtelent nullával osztjuk

Valamivel korábban meg kellett említeni a végtelenül nagy és végtelenül kicsi értékeket, mert ez is megnyílik néhány kiskapu az osztáshoz, beleértve a nulla használatát. Ez igaz, és van itt egy kis fogás, mert A végtelenül kicsi érték és az érték teljes hiánya különböző fogalmak.

De ez a kis különbség a feltételek között elhanyagolható, a számításokat absztrakt mennyiségekkel végezzük:

• A számlálóknak tartalmazniuk kell egy végtelen jelet.
• A nevezők egy nullára hajló érték szimbolikus képe.
• A válasz a végtelenség lesz, amely egy végtelenül nagy függvényt képvisel.

Megjegyzendő, hogy még mindig egy végtelenül kicsi függvény szimbolikus megjelenítéséről beszélünk, és nem a nulla használatáról. Semmi sem változott ezzel a jellel, még mindig nem osztható, csak nagyon-nagyon ritka kivételként.

A legtöbb esetben a nullát a benne lévő problémák megoldására használják tisztán elméleti síkon. Talán évtizedek vagy akár évszázadok után minden modern számítástechnika megtalálja gyakorlati használat, és valamiféle grandiózus áttörést fognak elérni a tudományban.

Eközben a legtöbb matematikai zseni csak álmodik a világméretű elismerésről. E szabályok alól kivételt képez honfitársunk, Perelman. De arról ismert, hogy a Poinqueré-sejtés bizonyításával megoldott egy valóban korszakalkotó problémát, valamint extravagáns viselkedéséről.

Paradoxonok és a nullával való osztás értelmetlensége

A nullával való osztás többnyire értelmetlen:

• A divíziót mint szorzás inverz függvénye.
• Bármely számot megszorozhatunk nullával, és válaszként nullát kaphatunk.
• Ugyanezen logika szerint bármelyik számot eloszthatjuk nullával.
• Ilyen feltételek mellett könnyű lenne arra a következtetésre jutni, hogy bármely szám nullával szorozva vagy osztva egyenlő bármely más számmal, amelyen ezt a műveletet elvégezték.
• Elvetjük a matematikai műveletet, és a legérdekesebb következtetést kapjuk - bármely szám bármely számmal egyenlő.

Amellett, hogy ilyen eseményeket idéz elő, a nullával való osztásnak nincs gyakorlati jelentése, a szóból általában. Még ha lehetséges is ennek a műveletnek a végrehajtása, nem lehet új információt szerezni.

Az elemi matematika szempontjából a nullával való osztás során az egész objektumot nullaszor osztjuk el, vagyis egyetlen alkalommal sem. Egyszerűen fogalmazva - hasadási folyamat nem megy végbe ezért ennek az eseménynek nem lehet eredménye.

Matematikussal egy társaságban mindig feltehet néhány banális kérdést, például, hogy miért nem lehet nullával osztani, és érdekes és érthető választ kapni. Vagy irritáció, mert valószínűleg nem ez az első eset, amikor valakitől ezt kérdezik. És még a tizedikben sem. Vigyázz tehát matematikus barátaidra, ne kényszerítsd őket arra, hogy százszor elismételjenek egy magyarázatot.

Videó: osztás nullával

Ebben a videóban Anna Lomakova matematikus elmondja, mi történik, ha egy számot elosztunk nullával, és miért nem lehet ezt megtenni matematikai szempontból:

Mindenki emlékszik az iskolából, hogy nem lehet nullával osztani. Az általános iskolásoknak soha nem magyarázzák el, hogy ezt miért nem szabad megtenni. Egyszerűen felajánlják, hogy ezt magától értetődőnek veszik, más tilalmakkal együtt, mint például a „nem dughatja az ujjait a konnektorba” vagy a „nem szabad hülye kérdéseket feltenni felnőtteknek”.

A 0 szám elképzelhető egy bizonyos határként, amely elválasztja a valós számok világát a képzeletbeli vagy negatív számoktól. A kétértelmű helyzet miatt sok ilyen számértékű művelet nem engedelmeskedik a matematikai logikának. Ennek kiváló példája a nullával való osztás lehetetlensége. És az engedélyezett aritmetikai műveletek nullával megtehető az általánosan elfogadott definíciókkal.

A nullával való osztás lehetetlenségének algebrai magyarázata

Algebrai szempontból nem lehet nullával osztani, mert semmi értelme. Vegyünk két tetszőleges számot, a-t és b-t, és szorozzuk meg őket nullával. a × 0 egyenlő nullával és b × 0 egyenlő nullával. Kiderül, hogy a × 0 és b × 0 egyenlő, mert a szorzat mindkét esetben egyenlő nullával. Így létrehozhatjuk az egyenletet: 0 × a = 0 × b. Most tegyük fel, hogy oszthatunk nullával: elosztjuk vele az egyenlet mindkét oldalát, és azt kapjuk, hogy a = b. Kiderül, hogy ha megengedjük a nullával való osztás műveletét, akkor az összes szám egybeesik. De 5 nem egyenlő 6-tal, és 10 nem egyenlő ½-vel. Bizonytalanság merül fel, amit a tanárok inkább nem mondanak el az érdeklődő középiskolásoknak.

Van 0:0 művelet?

Valóban, ha a 0-val való szorzás törvényes, osztható-e nulla nullával? Végül is egy 0x 5=0 alakú egyenlet teljesen törvényes. Az 5-ös szám helyett 0-t írhat, a termék nem változik. Valóban, 0x0=0. De még mindig nem lehet 0-val osztani. Mint említettük, az osztás egyszerűen a szorzás inverze. Így, ha a példában 0x5=0, meg kell határozni a második tényezőt, akkor 0x0=5-öt kapunk. Vagy 10. Vagy a végtelen. A végtelen elosztása nullával – hogy tetszik? De ha bármilyen szám belefér a kifejezésbe, akkor annak nincs értelme, nem választhatunk csak egyet a végtelen számú szám közül. És ha igen, ez azt jelenti, hogy a 0:0 kifejezésnek nincs értelme. Kiderült, hogy magát a nullát sem lehet nullával osztani.

A nullával való osztás lehetetlenségének magyarázata a matematikai elemzés szempontjából

Középiskolában a határok elméletét tanulják, ami a nullával való osztás lehetetlenségéről is beszél. Ezt a számot ott „meghatározatlan végtelenül kicsi mennyiségként” értelmezik. Ha tehát a 0 × X = 0 egyenletet ennek az elméletnek a keretein belül tekintjük, akkor azt fogjuk találni, hogy X nem található, mert ehhez nullát kellene nullával osztanunk. Ennek pedig szintén nincs értelme, hiszen ebben az esetben mind az osztalék, mind az osztó határozatlan mennyiség, ezért ezek egyenlőségére vagy egyenlőtlenségére nem lehet következtetést levonni.

Mikor lehet nullával osztani?

Az iskolásokkal ellentétben a műszaki egyetemek hallgatói oszthatnak nullával. Az algebrában lehetetlen művelet a matematikai ismeretek más területein is elvégezhető. A probléma új további feltételei jelennek meg bennük, amelyek lehetővé teszik ezt a műveletet. A nullával való osztás azok számára lesz lehetséges, akik a nem szabványos elemzésről szóló előadásokat hallgatják, tanulmányozzák a Dirac-delta függvényt és megismerkednek a kiterjesztett komplex síkkal.

A nulla története

A nulla mindenben a referenciapont szabványos rendszerek számítás. Az európaiak viszonylag nemrég kezdték használni ezt a számot, de a bölcsek Ősi India nullát használtak ezer évvel azelőtt, hogy az üres számot rendszeresen használni kezdték volna az európai matematikusok. Már az indiánok előtt is kötelező érték volt a nulla numerikus rendszer maja. Ezek az amerikaiak a duodecimális számrendszert használták, és minden hónap első napja nullával kezdődött. Érdekes, hogy a majáknál a nullát jelző jel teljesen egybeesett a végtelent jelző jellel. Így az ókori maják arra a következtetésre jutottak, hogy ezek a mennyiségek azonosak és kiismerhetetlenek.

Felső matematika

A nullával való osztás fejfájást okoz a középiskolai matematikának. A műszaki egyetemeken tanult matematikai elemzés kissé kibővíti a megoldás nélküli problémák fogalmát. Például a már ismert 0:0 kifejezéshez újakat adnak, amelyeknek nincs megoldása az iskolai matematika szakokon: végtelen osztva a végtelennel: ∞:∞; végtelen mínusz végtelen: ∞−∞; végtelen hatványra emelt egység: 1∞; végtelen 0-val szorozva: ∞*0; néhány másik.

Az ilyen kifejezéseket elemi módszerekkel nem lehet megoldani. De a felsőbb matematika köszönöm további jellemzők számos hasonló példára véges megoldást ad. Ez különösen nyilvánvaló a problémák határelméletből való mérlegelésében.

A bizonytalanság feloldása

A határértékek elméletében a 0 értéket egy feltételes, infinitezimális változóval helyettesítjük. És azokat a kifejezéseket, amelyekben a kívánt érték helyettesítésekor nullával való osztást kapunk, transzformáljuk.

Alább szabványos példa a határ feltárása közönséges algebrai transzformációkkal: Amint a példában is látható, egy tört egyszerű redukálása teljesen racionális válaszhoz vezet.

Ha figyelembe vesszük a korlátokat trigonometrikus függvények kifejezéseik hajlamosak az első figyelemre méltó határra redukálni. Ha olyan határértékeket veszünk figyelembe, amelyekben a nevező 0 lesz, amikor a határértéket helyettesítjük, egy második figyelemre méltó határértéket használunk.

L'Hopital módszer

Egyes esetekben a kifejezések határértékei helyettesíthetők származékaik korlátaival. Guillaume L'Hopital - francia matematikus, a francia matematikai elemzési iskola alapítója. Bebizonyította, hogy a kifejezések határai egyenlőek e kifejezések származékainak határaival.

A matematikai jelölésben a szabálya így néz ki.

A tanárok még az iskolában is megpróbálták a fejünkbe verni a legegyszerűbb szabályt: "Bármely szám nullával szorozva nullával egyenlő!", – de ennek ellenére folyamatosan sok vita támad körülötte. Vannak, akik egyszerűen emlékeznek a szabályra, és nem foglalkoznak azzal a kérdéssel, hogy „miért?” "Nem lehet, és ennyi, mert az iskolában azt mondták, a szabály az szabály!" Valaki megtölthet egy fél notebookot képletekkel, bizonyítva ezt a szabályt, vagy éppen ellenkezőleg, annak logikátlanságát.

Kinek van igaza a végén?

E viták során mindkét ellentétes nézőpontú ember kosként néz egymásra, és minden erejükkel bebizonyítja, hogy igaza van. Bár ha oldalról nézzük, nem is egy, hanem két kost láthatunk, akik szarvait egymásnak támasztják. Az egyetlen különbség köztük az, hogy az egyik valamivel kevésbé képzett, mint a másik.

Leggyakrabban azok, akik ezt a szabályt helytelennek tartják, a következő módon próbálnak a logikára hivatkozni:

Két almám van az asztalomon, ha 0 almát teszek rá, vagyis nem teszek egyet sem, akkor a két almám nem tűnik el! A szabály logikátlan!

Valóban, az alma nem tűnik el sehova, de nem azért, mert logikátlan a szabály, hanem azért, mert itt egy kicsit más egyenletet használunk: 2 + 0 = 2. Tehát azonnal vessük el ezt a következtetést - logikátlan, bár ennek ellenkezője van. - logikát hívni.

Mi a szorzás

Eredetileg a szorzási szabály csak természetes számokra volt definiálva: a szorzás egy bizonyos számú önmagához adott szám, ami azt jelenti, hogy a szám természetes. Így bármely szorzásos szám visszavezethető erre az egyenletre:

1. 25×3 = 75
2. 25 + 25 + 25 = 75
3. 25×3 = 25 + 25 + 25

Ebből az egyenletből az következik hogy a szorzás leegyszerűsített összeadás.

Mi a nulla

Bárki gyerekkora óta tudja: a nulla az üresség, annak ellenére, hogy ennek az ürességnek van jelölése, egyáltalán nem hordoz magában. Az ókori keleti tudósok másként gondolkodtak - filozófiailag közelítették meg a kérdést, és párhuzamot vontak az üresség és a végtelen között, és mély értelmet láttak ennek a számnak. Végül is a nulla, ami ürességet jelent, bármelyik mellett áll természetes szám, megtízszerezi. Innen ered a szorzás körüli vita – ez a szám annyi következetlenséget hordoz magában, hogy nehéz nem összezavarodni. Ezenkívül a nullát folyamatosan használják az üres számjegyek meghatározására tizedesjegyek, ez a tizedesvessző előtt és után is megtörténik.

Lehetséges-e az ürességgel szorozni?

Lehet nullával szorozni, de hiába, mert bármit is mondjon az ember, még ha negatív számokat is szorozunk, akkor is nullát kapunk. Elég, ha megjegyzi ezt az egyszerű szabályt, és soha többé nem teszi fel ezt a kérdést. Valójában minden egyszerűbb, mint amilyennek első pillantásra tűnik. Nincsenek rejtett jelentések és titkok, ahogy az ókori tudósok hitték. Az alábbiakban a leglogikusabb magyarázatot adjuk arra, hogy ez a szorzás haszontalan, mert ha egy számot megszorozunk vele, akkor is ugyanazt kapjuk - nullát.

Visszatérve a legelejére, a két almáról szóló vitához, a 2-szer 0 így néz ki:

• Ha ötször eszel meg két almát, akkor 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 alma
• Ha háromszor megeszel belőle kettőt, akkor 2×3 = 2+2+2 = 6 almát eszel
• Ha nulla alkalommal eszel meg két almát, akkor nem eszik meg semmit - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Hiszen 0-szor megenni egy almát azt jelenti, hogy nem eszik meg egyet sem. Ez még neked is világos lesz egy kisgyereknek. Bármit mondjunk is, az eredmény 0 lesz, kettő vagy három teljesen tetszőleges számmal helyettesíthető, és az eredmény teljesen ugyanaz lesz. És akkor leegyszerűsítve a nulla semmi, és mikor van nincs semmi, akkor hiába szorozod, akkor is ugyanaz nulla lesz. Nincs olyan, hogy varázslat, és semmiből nem lesz alma, még akkor sem, ha a 0-t megszorozod egy millióval. Ez a legegyszerűbb, legérthetőbb és leglogikusabb magyarázata a nullával való szorzás szabályának. Annak az embernek, aki távol áll minden képlettől és matematikától, egy ilyen magyarázat elég lesz ahhoz, hogy a fejben lévő disszonancia feloldódjon, és minden a helyére kerüljön.

Osztály

A fentiekből még egy dolog következik fontos szabály:

Nem lehet nullával osztani!

Ezt a szabályt is kitartóan verték a fejünkbe gyerekkorunk óta. Csak tudjuk, hogy ez lehetetlen, és mindezt anélkül, hogy magunkat zavarnánk. szükségtelen információkat. Ha váratlanul felteszik a kérdést, hogy miért tilos nullával osztani, akkor a többség összezavarodik, és nem tud egyértelműen válaszolni a legegyszerűbb kérdésre. iskolai tananyag, mert nincs akkora vita és vita e szabály körül.

Mindenki egyszerűen megjegyezte a szabályt, és nem osztott nullával, nem sejtve, hogy a válasz el van rejtve a felszínen. A fentiek közül az összeadás, szorzás, osztás és kivonás nem egyenlő, csak a szorzás és az összeadás érvényes, az összes többi számmal végzett manipuláció pedig ezekből épül fel. Ez azt jelenti, hogy a 10: 2 bejegyzés a 2 * x = 10 egyenlet rövidítése. Ez azt jelenti, hogy a 10: 0 bejegyzés a 0 * x = 10 rövidítése. Kiderült, hogy a nullával való osztás egy olyan feladat, találunk egy számot, 0-val megszorozva 10-et kapunk. És már rájöttünk, hogy ilyen szám nem létezik, ami azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása, és eleve hibás lesz.

Hadd mondjam el,

Nehogy 0-val osszuk!

Vágj 1-et tetszés szerint hosszában,

Csak ne ossz 0-val!

Sokan gyakran csodálkoznak azon, hogy miért nem használható a nullával való osztás? Ebben a cikkben részletesen fogunk beszélni arról, hogy honnan származik ez a szabály, valamint arról, hogy milyen műveleteket lehet végrehajtani nullával.

Kapcsolatban áll

A nullát az egyik legérdekesebb számnak nevezhetjük. Ennek a számnak nincs értelme, ürességet jelent a szó legigazibb értelmében. Ha azonban bármely szám mellé nullát teszünk, akkor ennek a számnak az értéke többszöröse lesz.

Maga a szám nagyon titokzatos. Újra használtam õsember maja. A maják számára a nulla a „kezdetet” jelentette, és a naptári napok is nulláról kezdődtek.

Nagyon Érdekes tény az, hogy a nulla előjel és a bizonytalansági előjel hasonló volt. Ezzel a maják azt akarták megmutatni, hogy a nulla azonos jel, mint a bizonytalanság. Európában a nulla megjelölés viszonylag nemrég jelent meg.

Sokan ismerik a nullához kapcsolódó tilalmat is. Bárki ezt fogja mondani nem lehet nullával osztani. Az iskolában ezt mondják a tanárok, és a gyerekek általában szót fogadnak. Általában a gyerekeket vagy egyszerűen nem érdekli, hogy ezt tudják, vagy tudják, mi történik, ha egy fontos tilalom hallatán azonnal megkérdezik: „Miért nem lehet nullával osztani?” De amikor idősebb leszel, felébred az érdeklődése, és többet szeretne tudni ennek a tilalomnak az okairól. Vannak azonban ésszerű bizonyítékok.

Műveletek nullával

Először meg kell határoznia, hogy milyen műveleteket lehet végrehajtani nullával. Létezik többféle akció:

• Kiegészítés;
• Szorzás;
• Kivonás;
• Osztás (nulla szám szerint);
• Hatványozás.

Fontos! Ha az összeadás során bármely számhoz nullát ad, akkor ez a szám ugyanaz marad, és nem változtatja meg numerikus érték. Ugyanez történik, ha bármely számból kivonunk nullát.

Ha szorozunk és osztunk, a dolgok egy kicsit eltérnek. Ha tetszőleges számot megszorozzuk nullával, akkor a szorzat is nullává válik.

Nézzünk egy példát:

Ezt írjuk kiegészítésként:

Összesen öt nulla van, tehát kiderül

Próbáljunk meg szorozni egyet nullával. Az eredmény is nulla lesz.

A nullát el lehet osztani bármely más számmal, amely nem egyenlő vele. Ebben az esetben az eredmény , melynek értéke szintén nulla lesz. Ugyanez a szabály vonatkozik a negatív számokra is. Ha nullát osztunk negatív szám, akkor nulla lesz.

Tetszőleges számot is létrehozhat a nulla fokig. Ebben az esetben az eredmény 1 lesz. Fontos megjegyezni, hogy a „nulla a nulla hatványára” kifejezés teljesen értelmetlen. Ha megpróbálja nullát emelni bármely hatványra, akkor nullát kap. Példa:

Használjuk a szorzási szabályt, és 0-t kapunk.

Tehát lehet osztani nullával?

Tehát elérkeztünk a fő kérdéshez. Lehetséges nullával osztani? egyáltalán? És miért lehetetlen egy számot nullával osztani, tekintve, hogy minden más nullával rendelkező művelet létezik és alkalmazzák? A kérdés megválaszolásához kapcsolatba kell lépnie felsőbb matematika.

Kezdjük a fogalom meghatározásával, mi az a nulla? Iskolai tanárok Azt mondják, hogy a nulla semmi. Üresség. Ez azt jelenti, hogy ha azt mondod, hogy 0 fogantyúd van, az azt jelenti, hogy egyáltalán nincsenek fogantyúid.

A felsőbb matematikában a „nulla” fogalma tágabb. Egyáltalán nem jelent ürességet. Itt a nullát bizonytalanságnak nevezzük, mert ha egy kicsit kutakodunk, kiderül, hogy ha nullát elosztunk nullával, bármilyen más számot kaphatunk, ami nem feltétlenül nulla.

Tudtad, hogy azok az egyszerű számtani műveletek, amelyeket az iskolában tanultál, nem annyira egyenlőek egymással? A legtöbb alapvető műveletek vannak összeadás és szorzás.

A matematikusok számára a „” és a „kivonás” fogalma nem létezik. Mondjuk: ha ötből kivonsz hármat, akkor kettő marad. Így néz ki a kivonás. A matematikusok azonban így írnák:

Így kiderül, hogy az ismeretlen különbség egy bizonyos szám, amelyet hozzá kell adni 3-hoz, hogy 5-öt kapjunk. Vagyis nem kell semmit kivonni, csak meg kell találni a megfelelő számot. Ez a szabály az összeadásra vonatkozik.

Kicsit más a helyzet vele szorzás és osztás szabályai. Ismeretes, hogy a nullával való szorzás nulla eredményhez vezet. Például, ha 3:0=x, akkor ha megfordítja a bejegyzést, akkor 3*x=0 lesz. A 0-val megszorzott szám pedig nullát ad a szorzatban. Kiderült, hogy nincs olyan szám, amely a nullával rendelkező szorzatban a nullán kívül más értéket adna. Ez azt jelenti, hogy a nullával való osztás értelmetlen, vagyis megfelel a szabályunknak.

De mi történik, ha megpróbálja önmagával elosztani a nullát? Vegyünk egy határozatlan számot x-ként. A kapott egyenlet 0*x=0. Meg lehet oldani.

Ha x helyett nullát próbálunk venni, akkor 0:0=0 lesz. Logikusnak tűnik? De ha megpróbálunk bármilyen más számot felvenni, például 1-et x helyett, akkor 0:0=1 lesz a végeredmény. Ugyanez a helyzet fog bekövetkezni, ha bármilyen más számot veszünk és dugja be az egyenletbe.

Ebben az esetben kiderül, hogy bármilyen más számot is vehetünk tényezőnek. Az eredmény egy végtelen szám lesz különböző számok. A felsőbb matematikában néha még van értelme a 0-val való osztásnak, de ilyenkor általában megjelenik egy bizonyos feltétel, aminek köszönhetően mégis kiválaszthatunk egy megfelelő számot. Ezt a műveletet "bizonytalansági feltárásnak" nevezik. A közönséges aritmetikában a nullával való osztás ismét elveszti értelmét, mivel nem tudunk egy számot kiválasztani a halmazból.

Fontos! A nullát nem lehet nullával osztani.

Nulla és végtelen

A végtelen nagyon gyakran megtalálható a felsőbb matematikában. Mivel egyszerűen nem fontos, hogy az iskolások tudják, hogy léteznek matematikai műveletek is végtelennel, a tanárok nem tudják megfelelően elmagyarázni a gyerekeknek, miért lehetetlen nullával osztani.

A hallgatók csak az intézet első évében kezdik el megtanulni az alapvető matematikai titkokat. A felsőbb matematika problémák nagy komplexumát kínálja, amelyekre nincs megoldás. A leghíresebb problémák a végtelennel kapcsolatos problémák. Segítségével megoldhatók matematikai elemzés.

A végtelenre is alkalmazható elemi matematikai műveletek:összeadás, szorzás számmal. Általában kivonást és osztást is használnak, de végül mégiscsak két egyszerű műveletre jutnak.

A 0 szám elképzelhető egy bizonyos határként, amely elválasztja a valós számok világát a képzeletbeli vagy negatív számoktól. A kétértelmű helyzet miatt sok ilyen számértékű művelet nem engedelmeskedik a matematikai logikának. Ennek kiváló példája a nullával való osztás lehetetlensége. És a megengedett aritmetikai műveletek nullával végrehajthatók az általánosan elfogadott definíciók segítségével.

A nulla története

A nulla a referenciapont minden szabványos számrendszerben. Az európaiak viszonylag nemrég kezdték használni ezt a számot, de az ókori India bölcsei ezer évvel azelőtt nullát használtak, hogy az európai matematikusok rendszeresen használták volna az üres számot. Már az indiánok előtt is a nulla kötelező érték volt a maja számrendszerben. Ezek az amerikaiak a duodecimális számrendszert használták, és minden hónap első napja nullával kezdődött. Érdekes, hogy a majáknál a nullát jelző jel teljesen egybeesett a végtelent jelző jellel. Így az ókori maják arra a következtetésre jutottak, hogy ezek a mennyiségek azonosak és kiismerhetetlenek.

Matematikai műveletek nullával

A nullával végzett szabványos matematikai műveletek néhány szabályra redukálhatók.

Összeadás: ha egy tetszőleges számhoz nullát adunk, az nem változtatja meg az értékét (0+x=x).

Kivonás: Ha bármely számból kivonja a nullát, a kivonási rész értéke változatlan marad (x-0=x).

Szorzás: Bármely szám 0-val szorozva 0-t ad (a*0=0).

Osztás: A nullát bármely számmal el lehet osztani, amely nem egyenlő nullával. Ebben az esetben egy ilyen tört értéke 0. A nullával való osztás pedig tilos.

Hatványozás. Ez a művelet tetszőleges számmal végrehajtható. Egy tetszőleges szám nulla hatványra emelve 1-et ad (x 0 =1).

Bármely hatvány nullája egyenlő 0-val (0 a = 0).

Ilyenkor rögtön ellentmondás keletkezik: a 0 0 kifejezésnek nincs értelme.

A matematika paradoxonai

Sokan tudják az iskolából, hogy a nullával való osztás lehetetlen. De valamiért lehetetlen megmagyarázni egy ilyen tilalom okát. Valójában miért nem létezik a nullával való osztás képlete, de más műveletek ezzel a számmal ésszerűek és lehetségesek? A választ erre a kérdésre a matematikusok adják.

A helyzet az, hogy a szokásos számtani műveletek, amelyekben az iskolások tanulnak Általános Iskola, sőt, közel sem olyan egyenlők, mint gondolnánk. Minden egyszerű számművelet kettőre redukálható: összeadásra és szorzásra. Ezek a műveletek alkotják magának a számfogalomnak a lényegét, más műveletek pedig e kettő használatára épülnek.

Összeadás és szorzás

Vegyünk egy szabványos kivonási példát: 10-2=8. Az iskolában egyszerűen úgy gondolják: ha tíz tantárgyból kivonsz kettőt, nyolc marad. De a matematikusok teljesen másképp nézik ezt a műveletet. Végül is ilyen művelet, mint a kivonás, nem létezik számukra. Ez a példa másképpen is felírható: x+2=10. A matematikusok számára az ismeretlen különbség egyszerűen az a szám, amelyet kettőhöz hozzá kell adni ahhoz, hogy nyolc legyen. És itt nincs szükség kivonásra, csak meg kell találni a megfelelő számértéket.

A szorzást és az osztást ugyanúgy kezelik. A 12:4=3 példában érthető, hogy nyolc objektum két egyenlő halomra való felosztásáról beszélünk. De a valóságban ez csak egy fordított képlet a 3x4 = 12 írására. Ilyen felosztási példákat végtelenül lehet hozni.

Példák 0-val való osztásra

Itt válik kissé világossá, hogy miért nem lehet nullával osztani. A szorzás és a nullával való osztás a saját szabályait követi. Ennek a mennyiségnek a felosztására vonatkozó összes példa megfogalmazható úgy, hogy 6:0 = x. De ez a 6 * x = 0 kifejezés fordított jelölése. De, mint tudod, bármely szám 0-val megszorozva csak 0-t ad a szorzatban. Ez a tulajdonság a nulla érték fogalmában rejlik.

Kiderült, hogy nincs olyan szám, amely 0-val szorozva bármilyen kézzelfogható értéket adna, azaz ez a feladat nincs megoldása. Nem kell félnie ettől a választól, ez természetes válasz az ilyen típusú problémákra. Csak hát a 6:0-s rekordnak semmi értelme és nem tud semmit megmagyarázni. Röviden, ez a kifejezés azzal magyarázható, hogy halhatatlan „nullával osztani lehetetlen”.

Van 0:0 művelet? Valóban, ha a 0-val való szorzás törvényes, osztható-e nulla nullával? Végül is egy 0x 5=0 alakú egyenlet teljesen törvényes. Az 5-ös szám helyett 0-t írhat, a termék nem változik.

Valóban, 0x0=0. De még mindig nem lehet 0-val osztani. Mint említettük, az osztás egyszerűen a szorzás inverze. Így, ha a példában 0x5=0, meg kell határozni a második tényezőt, akkor 0x0=5-öt kapunk. Vagy 10. Vagy a végtelen. A végtelen elosztása nullával – hogy tetszik?

De ha bármilyen szám belefér a kifejezésbe, akkor annak nincs értelme, nem választhatunk csak egyet a végtelen számú szám közül. És ha igen, ez azt jelenti, hogy a 0:0 kifejezésnek nincs értelme. Kiderült, hogy magát a nullát sem lehet nullával osztani.

Felső matematika

A nullával való osztás fejfájást okoz a középiskolai matematikának. A műszaki egyetemeken tanult matematikai elemzés kissé kibővíti a megoldás nélküli problémák fogalmát. Például a már ismert 0:0 kifejezéshez újak kerülnek hozzáadásra, amelyeknek nincs megoldása az iskolai matematika kurzusokban:

• végtelen osztva a végtelennel: ∞:∞;
• végtelen mínusz végtelen: ∞−∞;
• végtelen hatványra emelt egység: 1 ∞ ;
• végtelen 0-val szorozva: ∞*0;
• néhány másik.

Az ilyen kifejezéseket elemi módszerekkel nem lehet megoldani. De a magasabb matematika, hála számos hasonló példa további lehetőségeinek, végső megoldásokat kínál. Ez különösen nyilvánvaló a problémák határelméletből való mérlegelésében.

A bizonytalanság feloldása

A határértékek elméletében a 0 értéket egy feltételes, infinitezimális változóval helyettesítjük. És azokat a kifejezéseket, amelyekben a kívánt érték helyettesítésekor nullával való osztást kapunk, transzformáljuk. Az alábbiakban egy szabványos példa látható egy határérték kiterjesztésére szokásos algebrai transzformációkkal:

Amint a példában látható, egy tört egyszerű csökkentése teljesen racionális válaszhoz vezet.

Ha figyelembe vesszük a trigonometrikus függvények határait, azok kifejezései általában az első figyelemre méltó határig redukálódnak. Ha olyan határértékeket veszünk figyelembe, amelyekben a nevező 0 lesz, amikor a határértéket helyettesítjük, egy második figyelemre méltó határértéket használunk.

L'Hopital módszer

Egyes esetekben a kifejezések határértékei helyettesíthetők származékaik korlátaival. Guillaume L'Hopital - francia matematikus, a francia matematikai elemzési iskola alapítója. Bebizonyította, hogy a kifejezések határai egyenlőek e kifejezések származékainak határaival. A matematikai jelölésben a szabálya így néz ki.