Püthagorasz-tétel bizonyításának különböző módjai

9. „A” osztályos tanuló

Önkormányzati oktatási intézmény 8. számú középiskola

Tudományos témavezető:

matek tanár,

Önkormányzati oktatási intézmény 8. számú középiskola

Művészet. Novorozhdestvenskaya

Krasznodar régió.

Művészet. Novorozhdestvenskaya

MEGJEGYZÉS.

A Pitagorasz-tétel joggal tekinthető a geometria során a legfontosabbnak, és kiemelt figyelmet érdemel. Ez az alapja számos geometriai probléma megoldásának, alapja a jövőbeni elméleti és gyakorlati geometriai kurzusok tanulmányozásának. A tételt a megjelenésével és a bizonyítási módszerekkel kapcsolatos történeti anyag tárháza veszi körül. A geometria fejlődéstörténetének tanulmányozása szeretetet ébreszt ezt a témát, elősegíti a kognitív érdeklődés, az általános kultúra és a kreativitás fejlődését, valamint fejleszti a kutatói készségeket.

A kutatási tevékenység eredményeként megvalósult a munka célja, amely a Pitagorasz-tétel bizonyítására vonatkozó ismeretek pótlása és általánosítása volt. Sikerült megtalálni és áttekinteni különféle módokon bizonyítékokat és ismereteket elmélyíteni a témában, túlmutatva az iskolai tankönyv lapjain.

Az összegyűjtött anyag tovább meggyőz bennünket arról, hogy a Pitagorasz-tétel a geometria nagyszerű tétele, és óriási elméleti és gyakorlati jelentősége van.

Bevezetés. Történelmi háttér 5 Fő rész 8

3. 19. következtetés

4. Felhasznált irodalom 20
1. BEVEZETÉS. TÖRTÉNETI HÁTTÉR.

Az igazság lényege, hogy nekünk örökre szól,

Amikor az ő belátásában legalább egyszer meglátjuk a fényt,

És a Pitagorasz-tétel annyi év után

Nekünk, mint neki, ez tagadhatatlan, kifogástalan.

Örvendésére Pythagoras fogadalmat tett az isteneknek:

A végtelen bölcsesség megérintésére,

Száz bikát vágott le, hála az örökkévalóknak;

Az áldozat után imát és dicséretet mondott.

Azóta, amikor a bikák megszagolják, lökdösik,

Hogy az ösvény ismét egy új igazsághoz vezeti az embereket,

Dühösen ordítanak, úgyhogy nincs értelme hallgatni,

Az ilyen Pythagoras örökre rettegést keltett bennük.

Bikák, akik nem képesek ellenállni az új igazságnak,

Mi marad? - Csak becsukni a szemed, üvöltve, remegve.

Nem ismert, hogy Pythagoras hogyan igazolta tételét. Annyi bizonyos, hogy az egyiptomi tudomány erős hatása alatt fedezte fel. A Pitagorasz-tétel egy speciális esetét - a 3-as, 4-es és 5-ös oldalú háromszög tulajdonságait - már jóval Pitagorasz születése előtt ismerték a piramisok építői, és ő maga is több mint 20 évig tanult egyiptomi papokkal. Fenntartott egy legenda, amely szerint Pythagoras, miután bebizonyította híres tételét, egy bikát áldozott fel az isteneknek, más források szerint pedig még 100 bikát is. Ez azonban ellentmond a Pythagoras erkölcsi és vallási nézeteiről szóló információknak. Irodalmi forrásokban olvasható, hogy „még az állatok megölését is megtiltotta, még kevésbé a velük való táplálást, mert az állatoknak is van lelkük, mint nekünk”. Pythagoras csak mézet, kenyeret, zöldségeket és néha halat evett. Mindezekkel kapcsolatban a következő szócikk tekinthető hihetőbbnek: „... és még amikor felfedezte, hogy egy derékszögű háromszögben a befogó a lábaknak felel meg, búzatésztából készült bikát áldozott fel.”

A Pitagorasz-tétel népszerűsége olyan nagy, hogy bizonyításai még a szépirodalomban is megtalálhatók, például a híres angol író, Huxley „Fiatal Archimedes” című történetében. Ugyanez a bizonyítás, de az egyenlő szárú derékszögű háromszög speciális esetére vonatkozik Platón „Meno” dialógusában.

Mese "Otthon".

„Messze-messzi, ahol még repülők sem repülnek, a Geometria országa. Ebben a szokatlan országban volt egy csodálatos város - Teorem városa. Egy nap megérkeztem ebbe a városba gyönyörű lány Hypotenuse néven. Megpróbált szobát bérelni, de bárhová is jelentkezett, elutasították. Végül megközelítette a rozoga házat, és bekopogott. Egy magát Derékszögnek nevező férfi kinyitotta neki az ajtót, és meghívta Hypotenuse, hogy lakjon magához. A hipotenusz abban a házban maradt, amelyben a Derékszög és két kisfia, Katetes lakott. Azóta az élet a Right Angle házban új módon változott. A hypotenus virágokat ültetett az ablakra, és vörös rózsákat ültetett az előkertbe. A ház derékszögű háromszög alakot öltött. Mindkét lábának nagyon tetszett a Hypotenuse, és arra kérte, maradjon örökre a házukban. Esténként ez a barátságos család összegyűlik a családi asztalnál. Néha Right Angle bújócskát játszik a gyerekeivel. Leggyakrabban meg kell néznie, és a hipoténusz olyan ügyesen elrejtőzik, hogy nagyon nehéz megtalálni. Egy nap játék közben Right Angle észrevett egy érdekes tulajdonságot: ha sikerül megtalálnia a lábakat, akkor nem nehéz megtalálni a hipoténuszát. Tehát a Right Angle ezt a mintát, azt kell mondanom, nagyon sikeresen használja. A Pitagorasz-tétel ennek a derékszögű háromszögnek a tulajdonságán alapul.”

(A. Okunev „Köszönjük a leckét, gyerekek” című könyvéből).

A tétel humoros megfogalmazása:

Ha kapunk egy háromszöget

És ráadásul derékszögben,

Ez a hipotenusz négyzete

Mindig könnyen megtaláljuk:

Kiegyenlítjük a lábakat,

Megtaláljuk az erők összegét -

És ilyen egyszerű módon

Az eredményre jövünk.

A 10. osztályban az algebra, valamint az elemzés és geometria kezdeteinek tanulmányozása során meggyőződtem arról, hogy a 8. osztályban tárgyalt Pitagorasz-tétel bizonyítási módszere mellett más bizonyítási módok is léteznek. Megfontolásra ajánlom őket.
2. FŐ RÉSZ.

Tétel. Egy derékszögű háromszögben van egy négyzet

átfogó egyenlő az összeggel lábak négyzetei.

1 MÓDSZER.

A sokszögek területének tulajdonságait felhasználva figyelemreméltó kapcsolatot fogunk megállapítani egy derékszögű háromszög befogója és lábai között.

Bizonyíték.

a, cés hypotenusa Vel(1. ábra, a).

Bizonyítsuk be c²=a²+b².

Bizonyíték.

Egészítsük ki a háromszöget oldalsó négyzetté a + bábrán látható módon. 1, b. Ennek a négyzetnek S területe (a + b)². Másrészt ez a négyzet négy egyenlőből áll derékszögű háromszögek, amelyek mindegyikének területe ½ ó  , és egy négyzet oldallal Vel, ezért S = 4 * ½ aw + s² = 2aw + s².

Így,

(a + b)² = 2 aw + s²,

c²=a²+b².

A tétel bizonyítást nyert.
2 MÓDSZER.

A „Hasonló háromszögek” téma tanulmányozása után rájöttem, hogy a háromszögek hasonlósága alkalmazható a Pitagorasz-tétel bizonyítására. Nevezetesen azt az állítást használtam, hogy egy derékszögű háromszög szára a befogóval arányos átlag, valamint a láb és a csúcsból húzott magasság közé zárt befogószakasz. derékszög.

Tekintsünk egy derékszögű háromszöget C, CD – magassággal (2. ábra). Bizonyítsuk be AC² +ɲ = AB² .

Bizonyíték.

A derékszögű háromszög lábára vonatkozó állítás alapján:

AC = , SV = .

Négyzetezzük és adjuk hozzá a kapott egyenlőségeket:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), ahol AD+DB=AB, akkor

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

A bizonyítás kész.
3 MÓDSZER.

A Pitagorasz-tétel bizonyításához használhatja a derékszögű háromszög hegyesszögének koszinuszának meghatározását. Nézzük az ábrát. 3.

Bizonyíték:

Legyen ABC egy adott C derékszögű derékszögű háromszög. Rajzoljuk le a CD magasságot a C derékszög csúcsából.

A szög koszinuszának meghatározása szerint:

cos A = AD/AC = AC/AB. Ezért AB * AD = AC²

Hasonlóképpen,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

Ezért AB * BD = BC².

Ha a kapott egyenlőségeket tagonként összeadjuk, és megjegyezzük, hogy AD + DB = AB, a következőt kapjuk:

AC² + nap² = AB (AD + DB) = AB²

A bizonyítás kész.
4 MÓDSZER.

A „Derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti összefüggések” témakör tanulmányozása után úgy gondolom, hogy a Pitagorasz-tétel más módon is bizonyítható.

Tekintsünk egy derékszögű háromszöget lábakkal a, cés hypotenusa Vel. (4. ábra).

Bizonyítsuk be c²=a²+b².

Bizonyíték.

bűn B= kiváló minőségű ; kötözősaláta B= légkondicionálás , majd a kapott egyenlőségeket négyzetre emelve kapjuk:

sin² B= in²/s²; cos² IN= a²/c².

Ezeket összeadva a következőket kapjuk:

sin² IN+cos² B=в²/с²+ а²/с², ahol sin² IN+cos² B=1,

1= (в²+ а²) / с², ezért

c²= a² + b².

A bizonyítás kész.

5 MÓDSZER.

Ez a bizonyítás alapja a lábakra épített négyzetek kivágása (5. ábra), és a kapott részeket a befogófelületre épített négyzetre helyezzük.

6 MÓDSZER.

Az oldalról való bizonyításra Napépítkezünk BCD ABC(6. ábra). Tudjuk, hogy a hasonló ábrák területei a hasonló lineáris méretük négyzeteihez kapcsolódnak:

Az első egyenlőségből kivonva a másodikat, azt kapjuk

c2 = a2 + b2.

A bizonyítás kész.

7 MÓDSZER.

Adott(7. ábra):

ABC,= 90° , nap= a, AC=b, AB = c.

Bizonyítsuk be:c2 = a2 +b2.

Bizonyíték.

Hagyja a lábát b A. Folytassuk a szakaszt NE pontonként INés építs egy háromszöget BMD hogy a pontok MÉs A feküdjön az egyenes vonal egyik oldalán CDés ezen felül, BD =b, BDM= 90°, DM= a, akkor BMD= ABC két oldalon és a köztük lévő szögben. A pontok és M szegmensekkel összekapcsolni AM. megvan M.D. CDÉs A.C. CD, ez azt jelenti, hogy egyenes AC párhuzamos a vonallal M.D. Mert M.D.< АС, majd egyenesen CDÉs A.M. nem párhuzamos. Ezért, AMDC- téglalap alakú trapéz.

Az ABC derékszögű háromszögekben és BMD 1 + 2 = 90° és 3 + 4 = 90°, de mivel = =, akkor 3 + 2 = 90°; Majd AVM=180° - 90° = 90°. Kiderült, hogy a trapéz AMDC három nem átfedő derékszögű háromszögre van osztva, majd a területaxiómákkal

(a+b)(a+b)

Ha az egyenlőtlenség minden tagját elosztjuk -vel, azt kapjuk

Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

A bizonyítás kész.

8 MÓDSZER.

Ez a módszer egy derékszögű háromszög befogóján és lábain alapul ABC. Megszerkeszti a megfelelő négyzeteket, és bebizonyítja, hogy a hipotenuszra épített négyzet egyenlő a lábakra épített négyzetek összegével (8. ábra).

Bizonyíték.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ ABC, Eszközök, FBC = DBA.

Így, FBC=ABD(két oldalon és a köztük lévő szögben).

2) , ahol AL DE, mivel a BD egy közös bázis, DL- teljes magasság.

3) , mivel az FB alapítvány, AB- teljes magasság.

4)

5) Hasonlóképpen bizonyítható, hogy

6) Termenként hozzáadva a következőket kapjuk:

, BC2 = AB2 + AC2 . A bizonyítás kész.

9 MÓDSZER.

Bizonyíték.

1) Hagyjuk ABDE- egy négyzet (9. ábra), amelynek oldala egyenlő egy derékszögű háromszög befogójával ABC= s, BC = a, AC =b).

2) Hagyjuk DK i.e.És DK = nap, mivel 1 + 2 = 90° (mint egy derékszögű háromszög hegyesszögei), 3 + 2 = 90° (mint egy négyzet szöge), AB= BD(a tér oldalai).

Eszközök, ABC= BDK(hipotenúza és hegyesszög szerint).

3) Hagyjuk EL D.K., A.M. E.L. Könnyen bebizonyítható, hogy ABC = BDK = DEL = EAM (lábakkal AÉs b). Majd KS= CM= M.L.= L.K.= A -b.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Vel2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

A bizonyítás kész.

10 MÓDSZER.

A bizonyítást egy tréfásan „Pitagorasz-nadrágnak” nevezett figurán lehet elvégezni (10. ábra). Az ötlet az, hogy az oldalakra épített négyzeteket egyenlő háromszögekké alakítsák, amelyek együtt alkotják a hipotenusz négyzetét.

ABC mozgassa a nyíllal jelzett módon, és felveszi a helyét KDN. Az ábra többi része AKDCB a négyzet egyenlő területe AKDC ez egy paralelogramma AKNB.

Elkészült egy paralelogramma modell AKNB. A paralelogrammát a munka tartalmában vázolt módon átrendezzük. A paralelogramma egyenlő területű háromszöggé való átalakulásának bemutatásához a tanulók előtt levágunk egy háromszöget a modellen, és lefelé mozgatjuk. Így a tér területe AKDC egyenlőnek bizonyult a téglalap területével. Hasonlóképpen egy négyzet területét egy téglalap területévé alakítjuk.

Végezzünk transzformációt egy oldalra épített négyzetre A(11,a ábra):

a) a négyzetet egyenlő paralelogrammává alakítjuk (11.6. ábra):

b) a paralelogramma negyed fordulatot forog (12. ábra):

c) a paralelogrammát egyenlő téglalappá alakítjuk (13. ábra): 11 MÓDSZER.

Bizonyíték:

PCL - egyenes (14. ábra);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

A bizonyításnak vége .

12 MÓDSZER.

Rizs. A 15. ábra a Pitagorasz-tétel egy másik eredeti bizonyítását szemlélteti.

Itt: ABC háromszög C derékszöggel; szegmens B.F. függőleges NEés ezzel egyenlő a szegmens BE függőleges ABés ezzel egyenlő a szegmens HIRDETÉS függőleges ACés egyenlő vele; pontokat F, C,D ugyanabba a sorba tartoznak; négyszögek ADFBÉs ASVE egyenlő méretű, hiszen ABF = EKB; háromszögek ADFÉs ÁSZ egyenlő méretű; vonjuk le mindkét egyenlő négyszögből a közös háromszöget ABC, kapunk

, c2 = a2 + b2.

A bizonyítás kész.

13 MÓDSZER.

Egy adott derékszögű háromszög területe az egyik oldalon egyenlő , másrészt, ,

3. KÖVETKEZTETÉS.

A kutatási tevékenység eredményeként megvalósult a munka célja, amely a Pitagorasz-tétel bizonyítására vonatkozó ismeretek pótlása és általánosítása volt. Ennek bizonyítására, a témával kapcsolatos ismeretek elmélyítésére, az iskolai tankönyv lapjain túlmutató módokat lehetett találni és mérlegelni.

Az összegyűjtött anyag még inkább meggyőz arról, hogy a Pitagorasz-tétel a geometria nagyszerű tétele, és óriási elméleti és gyakorlati jelentősége van. Befejezésül szeretném elmondani: a Pitagorasz-háromságtétel népszerűségének oka annak szépsége, egyszerűsége és jelentősége!

4. FELHASZNÁLT IRODALOM.

1. Szórakoztató algebra. . Moszkva "Tudomány", 1978.

2. Heti oktatási és módszertani melléklet a „Szeptember elseje” című újság 24/2001.

3. Geometria 7-9. stb.

4. Geometria 7-9. stb.

Győződjön meg arról, hogy a kapott háromszög derékszögű, mivel a Pitagorasz-tétel csak derékszögű háromszögekre vonatkozik.

• Derékszögű háromszögekben a három szög egyike mindig 90 fokos.

A derékszögű háromszög derékszögét egy négyzet ikon jelzi, nem pedig a ferde szögeket ábrázoló görbe. Jelölje meg a háromszög oldalait.

Jelölje meg a lábakat „a” és „b” jelzéssel (a lábak derékszögben metsző oldalak), a hipotenuszt pedig „c”-vel (a hipoténusz a derékszöggel szemben fekvő derékszögű háromszög legnagyobb oldala). Határozza meg, hogy a háromszög melyik oldalát szeretné megtalálni.

• A Pitagorasz-tétel lehetővé teszi a derékszögű háromszög bármely oldalának megtalálását (ha a másik két oldal ismert). Határozza meg, melyik oldalt (a, b, c) kell megtalálnia.
• Ha a másik két oldal ismeretlen, a Pitagorasz-tétel alkalmazásához meg kell találni az egyik ismeretlen oldal hosszát. Ehhez használja az alap trigonometrikus függvények(ha megadják valamelyik ferde szög értékét).

Helyettesítse be a kapott értékeket (vagy a talált értékeket) az a 2 + b 2 = c 2 képletbe. Ne feledje, hogy a és b lábak, és c a hipotenusz.

• Példánkban írja be: 3² + b² = 5².

Négyzet alakú minden ismert oldal. Vagy hagyja el a képességeket – később négyzetre emelheti a számokat.

• Példánkban ezt írja be: 9 + b² = 25.

Izolálja le az ismeretlen oldalt az egyenlet egyik oldalán. Ehhez mozogjon ismert értékek az egyenlet másik oldalára. Ha megtalálja a hipotenuszt, akkor a Pitagorasz-tételben az már el van izolálva az egyenlet egyik oldalán (tehát nem kell semmit tennie).

• Példánkban mozgassa a 9-et az egyenlet jobb oldalára az ismeretlen b² elkülönítéséhez. B² = 16 lesz.

Távolítsa el négyzetgyök az egyenlet mindkét oldaláról, miután az egyenlet egyik oldalán az ismeretlen (négyzet), a másik oldalon pedig a szabad tag (szám) szerepel.

• Példánkban b² = 16. Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét, és kapjuk meg, hogy b = 4. Így a második láb 4.

Használja a Pitagorasz-tételt mindennapi élet, hiszen számos gyakorlati helyzetben használható.

• Ehhez tanulja meg felismerni a derékszögű háromszögeket a mindennapi életben - minden olyan helyzetben, amikor két tárgy (vagy vonal) derékszögben metszi egymást, és egy harmadik tárgy (vagy vonal) összeköti (átlósan) az első két tárgy tetejét (ill. vonalak), használhatja a Pitagorasz-tételt az ismeretlen oldal megkeresésére (ha a másik két oldal ismert).
  • Példa: adott egy épületnek dőlő lépcső. A lépcső alja 5 méterre van a fal alapjától. A lépcső teteje 20 méterre van a talajtól (fel a falon). Mekkora a lépcső hossza?
    • „5 méterrel a fal alapjától” azt jelenti, hogy a = 5; A „földtől 20 méterrel” azt jelenti, hogy b = 20 (azaz kapsz egy derékszögű háromszög két szárát, mivel az épület fala és a Föld felszíne derékszögben metszi egymást). A lépcső hossza a hipotenusz hossza, ami ismeretlen.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425

c = 20,6. Így a lépcső hozzávetőleges hossza 20,6 méter.

Középszint

TÉGYSZÖGŰ HÁROMSZÖG. BEVEZETŐ SZINT.

Problémák esetén a derékszög egyáltalán nem szükséges - a bal alsó, ezért meg kell tanulnia felismerni a derékszögű háromszöget ebben a formában,

és ebben

és ebben

Mi a jó egy derékszögű háromszögben? Nos... először is vannak különlegesek szép nevek az oldalaiért.

Figyelem a rajzra!

Ne feledje és ne keverje össze: két lába van, és csak egy hypotenusa van(egyetlen, egyedi és leghosszabb)!

Nos, megbeszéltük a neveket, most a legfontosabb: a Pitagorasz-tétel.

Pitagorasz-tétel.

Ez a tétel a kulcsa számos derékszögű háromszöggel kapcsolatos probléma megoldásának. Pythagoras bizonyította már egészen időtlen időkben, és azóta is sok hasznot hozott az ismerőknek. És az a legjobb benne, hogy egyszerű.

Így, Pitagorasz-tétel:

Emlékszel a viccre: „A pitagorasz nadrág minden oldalról egyenlő!”?

Rajzoljuk le ugyanazt a Pitagorasz nadrágot, és nézzük meg őket.

Nem úgy néz ki, mint valami rövidnadrág? Nos, melyik oldalon és hol egyenlők? Miért és honnan jött a vicc? És ez a vicc pontosan a Pitagorasz-tételhez kapcsolódik, pontosabban azzal, ahogyan maga Pythagoras megfogalmazta tételét. És így fogalmazta meg:

"Összeg négyzetek területei, a lábakra épített, egyenlő négyzet alakú terület, amely a hipotenuszra épül."

Tényleg kicsit másképp hangzik? És így, amikor Pythagoras lerajzolta tételének kijelentését, pontosan ez a kép rajzolódott ki.

Ezen a képen a kis négyzetek területeinek összege megegyezik a nagy négyzet területével. És hogy a gyerekek jobban emlékezzenek arra, hogy a lábak négyzeteinek összege egyenlő a hipotenusz négyzetével, valaki szellemes kitalálta ezt a viccet a Pitagorasz nadrágról.

Miért most fogalmazzuk meg a Pitagorasz-tételt?

Pythagoras szenvedett, és beszélt a négyzetekről?

Látod, az ókorban nem volt... algebra! Nem voltak jelek és így tovább. Nem voltak feliratok. El tudod képzelni, milyen szörnyű volt a szegény ókori diákoknak mindenre szavakban emlékezni??! És örülhetünk, hogy megvan a Pitagorasz-tétel egyszerű megfogalmazása. Ismételjük meg, hogy jobban emlékezzünk rá:

Most már könnyűnek kell lennie:

A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

Nos, a derékszögű háromszögekkel kapcsolatos legfontosabb tételt tárgyaltuk. Ha érdekel, hogyan bizonyított, olvassa el az elmélet következő szintjeit, és most menjünk tovább... a sötét erdőbe... a trigonometria! A szörnyű szinusz, koszinusz, érintő és kotangens szavakra.

Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens derékszögű háromszögben.

Valójában egyáltalán nem minden olyan félelmetes. Természetesen a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens „valódi” definícióját érdemes megnézni a cikkben. De tényleg nem akarom, igaz? Örülhetünk: a derékszögű háromszöggel kapcsolatos problémák megoldásához egyszerűen töltse ki a következő egyszerű dolgokat:

Miért csak a sarkon múlik minden? Hol van a sarok? Ennek megértéséhez tudnia kell, hogy az 1-4 állítások hogyan íródnak szavakkal. Nézd, értsd és emlékezz!

1.
Valójában így hangzik:

Mi a helyzet a szöggel? Létezik olyan láb, amely a sarokkal szemben van, vagyis egy szemközti (szöges) láb? Természetesen van! Ez egy láb!

Mi a helyzet a szöggel? Nézd meg alaposan. Melyik láb szomszédos a sarokkal? Természetesen a láb. Ez azt jelenti, hogy a szögnél a láb szomszédos, és

Most figyelj! Nézd, mit kaptunk:

Nézd meg, milyen klassz:

Most térjünk át az érintőre és a kotangensre.

Ezt most hogy írjam le szavakkal? Mekkora a láb a szöghez viszonyítva? Természetesen szemben - a sarokkal szemben "fekszik". Mi van a lábbal? A sarokkal szomszédos. Szóval mi van?

Látod, hogyan cserélődött fel a számláló és a nevező?

És most megint a sarkok és csere történt:

Folytatás

Röviden írjuk le mindazt, amit tanultunk.

Pitagorasz-tétel:

A derékszögű háromszögekre vonatkozó fő tétel a Pitagorasz-tétel.

Pitagorasz-tétel

Egyébként jól emlékszel, mik a lábak és a hypotenus? Ha nem túl jó, akkor nézze meg a képet - frissítse tudását

Elképzelhető, hogy Ön már sokszor használta a Pitagorasz-tételt, de elgondolkozott már azon, hogy miért igaz egy ilyen tétel? Hogyan tudom bebizonyítani? Tegyünk úgy, mint az ókori görögök. Rajzoljunk egy négyzetet oldallal.

Nézze meg, milyen ügyesen osztottuk oldalait hosszúságú és szegmensekre!

Most kössük össze a megjelölt pontokat

Itt azonban mást is megjegyeztünk, de te magad nézd meg a rajzot, és gondold át, miért van ez így.

Mekkora a nagyobb négyzet területe? Igaz, . Mi a helyzet egy kisebb területtel? Természetesen,. A négy sarok összterülete megmarad. Képzeld el, hogy egyszerre kettőt vettünk, és a hipotenusaikkal egymásnak támasztottuk őket. Mi történt? Két téglalap. Ez azt jelenti, hogy a „vágások” területe egyenlő.

Most rakjuk össze az egészet.

Konvertáljuk:

Meglátogattuk hát Pythagorast – ősi módon bebizonyítottuk tételét.

Derékszögű háromszög és trigonometria

Derékszögű háromszög esetén a következő összefüggések érvényesek:

Egy hegyesszög szinusza megegyezik az ellentétes oldal és a hipotenusz arányával

Egy hegyesszög koszinusza megegyezik a szomszédos láb és a hipotenusz arányával.

Egy hegyesszög érintője egyenlő az ellenkező oldal és a szomszédos oldal arányával.

Egy hegyesszög kotangense egyenlő a szomszédos oldal és a szemközti oldal arányával.

És mindezt még egyszer egy tabletta formájában:

Nagyon kényelmes!

Derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei

I. Két oldalon

II. Lábon és hypotenuson keresztül

III. Hipotenúza és hegyesszög szerint

IV. A lábszár és hegyesszög mentén

a)

b)

Figyelem! Itt nagyon fontos, hogy a lábak „megfelelőek” legyenek. Például, ha ez így megy:

AKKOR A HÁROMSZÖGEK NEM EGYENLŐK, annak ellenére, hogy egy hegyesszögük azonos.

Ez szükséges mindkét háromszögben a láb szomszédos volt, vagy mindkettőben ellentétes volt.

Észrevetted, hogy a derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei miben térnek el a háromszögek szokásos egyenlőségének jeleitől? Nézze meg a témát „és figyeljen arra, hogy a „közönséges” háromszögek egyenlőségéhez három elemüknek egyenlőnek kell lennie: két oldalnak és a köztük lévő szögnek, két szögnek és a köztük lévő oldalnak vagy három oldalnak. De a derékszögű háromszögek egyenlőségéhez csak két megfelelő elem elegendő. Remek, igaz?

Körülbelül ugyanez a helyzet a derékszögű háromszögek hasonlóságának jeleivel.

Derékszögű háromszögek hasonlóságának jelei

I. Hegyesszög mentén

II. Két oldalról

III. Lábon és hypotenuson keresztül

Derékszögű háromszög mediánja

Miért van ez így?

Derékszögű háromszög helyett tekintsünk egy egész téglalapot.

Rajzoljunk egy átlót, és vegyünk egy pontot - az átlók metszéspontját. Mit kell tudni a téglalap átlóiról?

És mi következik ebből?

Szóval ez kiderült

1. - medián:

Emlékezz erre a tényre! Sokat segít!

Ami még meglepőbb, hogy ennek az ellenkezője is igaz.

Mi haszna származhat abból, hogy a hipotenuszhoz húzott medián egyenlő a hipotenusz felével? Nézzük a képet

Nézd meg alaposan. Megvan: , vagyis a háromszög pont és mindhárom csúcsa közötti távolság egyenlőnek bizonyult. De a háromszögben csak egy pont van, a távolságok a háromszög mindhárom csúcsától egyenlők, és ez a KÖR KÖZÉPJE. Szóval mi történt?

Kezdjük tehát ezzel a „mellett...”.

Nézzük meg és.

De a hasonló háromszögeknek minden szöge egyenlő!

Ugyanez elmondható az és

Most rajzoljuk le együtt:

Milyen előnyök származhatnak ebből a „hármas” hasonlóságból?

Hát például... két képlet egy derékszögű háromszög magasságára.

Írjuk fel a megfelelő felek kapcsolatait:

A magasság megállapításához megoldjuk az arányt és kapjuk az első képlet "Magasság derékszögű háromszögben":

Tehát alkalmazzuk a hasonlóságot: .

Mi lesz most?

Ismét megoldjuk az arányt, és megkapjuk a második képletet:

Nagyon jól kell emlékeznie mindkét képletre, és azt kell használnia, amelyik kényelmesebb. Írjuk le őket újra

Pitagorasz-tétel:

Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével: .

A derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei:

• két oldalról:
• lábbal és hipotenusszal: ill
• a lábszár és a szomszédos hegyesszög mentén: vagy
• a lábszár mentén és az ellenkező hegyesszögben: vagy
• hipotenúza és hegyesszög szerint: vagy.

A derékszögű háromszögek hasonlóságának jelei:

• egy hegyes sarok: ill
• a két láb arányosságából:
• a lábszár és a hypotenus arányosságától: ill.

Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens derékszögű háromszögben

• Egy derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti oldal és a hipotenusz aránya:
• A derékszögű háromszög hegyesszögének koszinusza a szomszédos láb és az alsó rész aránya:
• Egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya:
• Egy derékszögű háromszög hegyesszögének kotangense a szomszédos oldal és a szemközti oldal aránya: .

Derékszögű háromszög magassága: vagy.

Egy derékszögű háromszögben a derékszög csúcsából húzott medián egyenlő a befogó felével: .

Egy derékszögű háromszög területe:

• lábakon keresztül:

A Pitagorasz-tétel animált bizonyítása - az egyik alapvető Az euklideszi geometria tételei, amelyek a derékszögű háromszög oldalai közötti kapcsolatot állapítják meg. Úgy gondolják, hogy Pythagoras görög matematikus bizonyította be, akiről el is nevezték (vannak más változatok is, különösen az az alternatív vélemény, hogy ez a tétel általános nézet Hippasus pitagorasz matematikus fogalmazta meg).
A tétel kimondja:

Egy derékszögű háromszögben a hipotenuszra épített négyzet területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területeinek összegével.

A háromszög befogó hosszának meghatározása c,és a lábak hossza olyan aÉs b, a következő képletet kapjuk:

Így a Pitagorasz-tétel olyan összefüggést hoz létre, amely lehetővé teszi egy derékszögű háromszög oldalának meghatározását a másik kettő hosszának ismeretében. A Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esete, amely egy tetszőleges háromszög oldalai közötti kapcsolatot határozza meg.
A fordított állítás is bizonyítást nyert (a Pitagorasz-tétel fordítottjának is nevezik):

Bármelyik háromra pozitív számok a, b és c úgy, hogy a ? + b ? = c ?, van egy derékszögű háromszög, amelynek a és b lábai és c hipotenusza.

A háromszög (3, 4, 5) vizuális bizonyítéka a "Chu Pei" könyvből, ie 500-200. A tétel története négy részre osztható: Pitagorasz számok ismerete, derékszögű háromszög oldalarányának ismerete, szomszédos szögek arányának ismerete és a tétel bizonyítása.
Megalitikus építmények ie 2500 körül. Egyiptomban és Észak-Európa, derékszögű háromszögeket tartalmaznak, amelyek oldalai egész számokból állnak. Bartel Leendert van der Waerden feltételezte, hogy abban az időben a pitagorasz számokat algebrai úton találták meg.
2000 és 1876 között íródott. papirusz a közép-egyiptomi királyságból Berlin 6619 olyan feladatot tartalmaz, amelynek megoldása a Pitagorasz számok.
Nagy Hammurapi uralkodása alatt babiloni tábla Plimpton 322, Kr.e. 1790 és 1750 között íródott sok bejegyzés található, amelyek szorosan kapcsolódnak a pitagoraszai számokhoz.
A Budhayana szútrákban, amelyek től származnak különböző verziók nyolcadik vagy második században Indiában algebrai úton levezetett Pitagorasz számokat, a Pitagorasz-tétel kijelentését és egy egyenlő oldalú derékszögű háromszög geometriai bizonyítását tartalmazza.
Az Apastamba-szútrák (i.e. 600 körül) tartalmazzák a Pitagorasz-tétel numerikus bizonyítását területszámítással. Van der Waerden úgy véli, hogy elődei hagyományain alapult. Albert Burco szerint ez a tétel eredeti bizonyítása, és azt sugallja, hogy Pythagoras meglátogatta Arakont és lemásolta.
Pythagoras, akinek életéveit általában ie 569-475-ben tüntetik fel. algebrai módszereket használ a Pitagorasz-számok kiszámítására Proklov Euklidészhez írt kommentárjai szerint. Proklosz azonban i.sz. 410 és 485 között élt. Thomas Guise szerint a tétel szerzőjére nincs utalás egészen öt évszázaddal Pythagoras után. Amikor azonban olyan szerzők, mint Plutarkhosz vagy Cicero a tételt Pythagorasnak tulajdonítják, úgy teszik, mintha a szerzőség széles körben ismert és biztos lenne.
Kr.e. 400 körül Proklosz szerint Platón olyan módszert adott a Pitagorasz számok kiszámítására, amely ötvözi az algebrát és a geometriát. Kr.e. 300 körül, in Kezdetek Eukleidész a mai napig fennmaradt legrégebbi axiomatikus bizonyítékunk van.
Valamikor Kr.e. 500 között íródott. és Kr.e. 200-ban, a "Csu Pei" (? ? ? ?) kínai matematikai könyv vizuálisan bizonyítja a Pitagorasz-tételt, amelyet Kínában Gugu-tételnek (????) neveznek, egy háromszög oldalaira (3, 4). , 5). A Han-dinasztia idején, ie 202-től. i.sz. 220-ig Pitagorasz számok szerepelnek a "Nine Branches of the Mathematical Art" című könyvben, a derékszögű háromszögek említésével együtt.
A tétel első feljegyzése Kínában volt, ahol Gugu (????) tételként ismert, és Indiában, ahol Bhaskar tételeként ismert.
Széles körben vitatott, hogy Pythagoras tételét egyszer vagy többször fedezték fel. Boyer (1991) úgy véli, hogy a Shulba Szútrában található tudás mezopotámiai eredetű lehet.
Algebrai bizonyítás
Négy derékszögű háromszögből négyzeteket alakítunk ki. A Pitagorasz-tétel száznál is több bizonyítása ismert. Íme egy bizonyíték, amely egy ábra területének létezési tételén alapul:

Helyezzünk el négy egyforma derékszögű háromszöget az ábrán látható módon.
Négyszög oldalakkal c négyzet, mivel kettő összege éles sarkok, És az elfordulási szög .
A teljes ábra területe egyrészt egyenlő az „a + b” oldalú négyzet területével, másrészt négy háromszög és a belső négyzet területeinek összegével .

Amit bizonyítani kell.
A háromszögek hasonlósága alapján
Hasonló háromszögek használata. Hadd ABC- derékszögű háromszög, amelyben a szög C egyenes a képen látható módon. Húzzuk meg a magasságot a pontból C,és hívjuk H metszéspont az oldallal AB. Háromszög alakul ki ACH háromszöghöz hasonló ABC, mivel mindketten téglalap alakúak (a magasság meghatározása szerint), és közös a szögük A, Nyilvánvalóan ezekben a háromszögekben a harmadik szög is ugyanaz lesz. Hasonló a békéhez, a háromszöghez CBH háromszöghöz is hasonló ABC. A háromszögek hasonlóságával: Ha

Ezt így lehet írni

Ha ezt a két egyenlőséget összeadjuk, azt kapjuk

HB + c szor AH = c (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Más szóval a Pitagorasz-tétel:

Eukleidész bizonyítéka
Euklidész bizonyítása az euklideszi elemekben, a Pitagorasz-tétel a paralelogrammák módszerével bizonyítandó. Hadd A, B, C derékszögű háromszög csúcsai, derékszöggel A. Dobjunk le egy merőlegest a pontból A a befogóval ellentétes oldalra a befogóra épített négyzetben. A vonal a négyzetet két téglalapra osztja, amelyek mindegyikének területe megegyezik az oldalakra épített négyzetek területével. Fő gondolat a bizonyíték az, hogy a felső négyzetek azonos területű paralelogrammákká alakulnak, majd visszatérnek, és az alsó négyzetben téglalapokká alakulnak, és ismét azonos területűek.

Rajzoljunk szegmenseket CFÉs HIRDETÉS. háromszögeket kapunk BCFÉs B.D.A.
Szögek TAXIÉs TÁSKA– egyenes; illetve pontokat C, AÉs G– kollineáris. Is B, AÉs H.
Szögek CBDÉs FBA– mindkettő egyenes, majd a szög ABD szöggel egyenlő FBC, mivel mindkettő derékszög és szög összege ABC.
Háromszög ABDÉs FBC két oldal szintje és a köztük lévő szög.
A pontok óta A, KÉs L– kollineáris, a BDLK téglalap területe megegyezik a háromszög két területével ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Hasonlóképpen megkapjuk CKLE = ACIH = AC 2
Az egyik oldalon a terület CBDE egyenlő a téglalapok területének összegével BDLKÉs CKLE, a másik oldalon pedig a tér területe Kr.e. 2, vagy AB 2 + AC 2 = Kr.e. 2.

Differenciálok használata
Differenciálok használata. A Pitagorasz-tételhez úgy juthatunk el, hogy megvizsgáljuk, hogy az oldal növekedése hogyan befolyásolja a hypotenusa méretét a jobb oldali ábra szerint, és egy kis számítást alkalmazunk.
Oldalnövekedés következtében a, hasonló háromszögekből végtelenül kicsi növekmény esetén

Integrációt kapunk

Ha a= 0 akkor c = b, tehát az "állandó". b 2. Majd

Mint látható, a négyzetek a növekmények és az oldalak arányából származnak, míg az összeg az oldalak növekményeinek független hozzájárulásának eredménye, amely nem nyilvánvaló a geometriai bizonyítékokból. Ezekben az egyenletekben daÉs dc– ennek megfelelően végtelenül kicsi oldalnövekedés aÉs c. De mit használjunk helyette? aÉs? c, akkor az arány határa, ha nullára hajlanak da / dc, származéka, és egyenlő is c / a, a háromszögek oldalhosszának aránya, ennek eredményeként differenciálegyenletet kapunk.
Ortogonális vektorrendszer esetén fennáll az egyenlőség, amelyet Pitagorasz-tételnek is neveznek:

Ha – Ezek a vektor vetületei a koordináta tengelyekre, akkor ez a képlet egybeesik az euklideszi távolsággal, és azt jelenti, hogy a vektor hossza egyenlő az összetevői négyzetösszegének négyzetgyökével.
Ennek az egyenlőségnek analógját egy végtelen vektorrendszer esetén Parseval-egyenlőségnek nevezzük.

A Pitagorasz-tétel az euklideszi geometria egyik alaptétele, amely egy derékszögű háromszög lábai és hipotenusza közötti kapcsolatot feltételezi. Ez talán a legnépszerűbb tétel a világon, mindenki ismeri az iskolából.

A tétel története

Valójában a derékszögű háromszög oldalainak arányának elmélete már jóval Pitagorasz előtt ismert volt Szamosz szigetéről. Így a képarányokkal kapcsolatos problémák az ősi szövegekben találhatók Hammurapi babiloni király uralkodása idejéből, vagyis 1500 évvel a számiai matematikus születése előtt. A háromszög oldalaira vonatkozó feljegyzéseket nemcsak Babilonban, hanem az ókori Egyiptomban és Kínában is feljegyezték. A lábak és a hipotenusz egyik leghíresebb egész aránya 3, 4 és 5. Ezeket a számokat használták az ókori földmérők és építészek derékszögek felépítéséhez.

Tehát Pythagoras nem találta fel a tételt a lábak és a hipotenusz kapcsolatáról. Ő volt az első a történelemben, aki bebizonyította. Ezzel kapcsolatban azonban kétségek merülnek fel, hiszen a számiai matematikus bizonyítéka, ha feljegyezték, az évszázadok során elveszett. Van olyan vélemény, hogy az Euklidész Elemeiben megfogalmazott tétel bizonyítása kifejezetten Püthagorászé. A matematika történészeinek azonban nagy kétségei vannak ezzel kapcsolatban.

Pitagorasz volt az első, de utána a derékszögű háromszög oldalairól szóló tételt körülbelül 400-szor igazolták, különféle technikákkal: a klasszikus geometriától a differenciálszámítás. A Pitagorasz-tétel mindig is foglalkoztatta az érdeklődő elméket, így a bizonyítások szerzői között fel lehet idézni James Garfield amerikai elnököt.

Bizonyíték

A Pitagorasz-tétel legalább négyszáz bizonyítását rögzítették a matematikai irodalomban. Egy ilyen elképesztő számot a tétel tudomány szempontjából alapvető jelentősége és az eredmény elemi jellege magyaráz. A Pitagorasz-tételt alapvetően geometriai módszerekkel bizonyítjuk, amelyek közül a legnépszerűbbek a területek módszere és a hasonlóságok módszere.

A legtöbbet egyszerű módszer A kötelező geometriai konstrukciókat nem igénylő tétel bizonyítása a területek módszere. Pythagoras kijelentette, hogy a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével:

Próbáljuk meg bizonyítani ezt a merész állítást. Tudjuk, hogy bármely ábra területét egy szakasz négyzetre emelésével határozzuk meg. A vonalszakasz bármi lehet, de leggyakrabban egy alakzat oldala vagy sugara. A szegmens és típus választásától függően geometriai alakzat a négyzetnek különböző együtthatói lesznek:

• egység négyzet esetén – S = a 2;
• körülbelül 0,43 egyenlő oldalú háromszög esetén – S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
• Pi kör esetén – S = pi × R 2.

Így bármely háromszög területét kifejezhetjük S = F × a 2 formában, ahol F egy bizonyos együttható.

A derékszögű háromszög egy csodálatos alak, amely könnyen felosztható két hasonló derékszögű háromszögre, ha egyszerűen leejtünk egy merőlegest bármely csúcsból. Ez az osztás egy derékszögű háromszöget két kisebb derékszögű háromszög összegévé alakít. Mivel a háromszögek hasonlóak, területüket ugyanazzal a képlettel számítják ki, amely így néz ki:

S = F × 2. hipotenusz

Egy a, b és c oldalú nagy háromszög felosztása (hipoténusz) eredményeként három háromszöget kaptunk, és a kisebb figurák befogói az eredeti háromszög a és b oldalainak bizonyultak. Így a hasonló háromszögek területét a következőképpen számítjuk ki:

• S1 = F × c 2 – eredeti háromszög;
• S2 = F × a 2 – az első hasonló háromszög;
• S3 = F × b 2 – a második hasonló háromszög.

Nyilvánvaló, hogy egy nagy háromszög területe megegyezik a hasonló háromszög területeinek összegével:

F × c 2 = F × a2 + F × b 2

Az F tényező könnyen csökkenthető. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

c 2 = a 2 + b 2,

Q.E.D.

Pitagorasz hármas

A lábak és a hipotenusok közkedvelt arányát, mint 3, 4 és 5, már fentebb említettük prímszámok, amelyek kielégítik az a 2 + b 2 = c 2 feltételt. Végtelen számú ilyen kombináció létezik, és ezek közül az elsőket az ókorban derékszögek megalkotására használták. Az ókori tudósok derékszöget kaptak, ha egy madzagra egyenlő időközönként meghatározott számú csomót kötöttek és háromszöggé hajtogatták. Ehhez csomókat kellett kötni a háromszög mindkét oldalán, a Pitagorasz-hármasoknak megfelelő mennyiségben:

• 3., 4. és 5.;
• 5., 12. és 13.;
• 7., 24. és 25.;
• 8, 15 és 17.

Ebben az esetben bármely Pitagorasz-hármas egész számmal növelhető, és a Pitagorasz-tétel feltételeinek megfelelő arányos összefüggést kaphatunk. Például az 5, 12, 13 hármasból 10, 24, 26 oldalértékeket kaphat. egyszerű szorzás by 2. Ma Pythagorean hármasokat használnak a geometriai feladatok gyors megoldására.

A Pitagorasz-tétel alkalmazása

A számiai matematikus tételét nem csak az iskolai geometriában használják. Pitagorasz-tétel az építészetben, a csillagászatban, a fizikában, az irodalomban, az információtechnológiában és még a teljesítményértékelésben is alkalmazható közösségi hálózatok. A tétel a való életben is érvényes.

Pizza választék

A pizzériákban a vásárlók gyakran szembesülnek azzal a kérdéssel: egy nagy vagy két kisebb pizzát vegyenek? Tegyük fel, hogy vásárolhat egy 50 cm átmérőjű pizzát vagy két kisebb, 30 cm átmérőjű pizzát Első pillantásra két kisebb pizza nagyobb és jövedelmezőbb, de ez nem így van. Hogyan lehet gyorsan összehasonlítani az Ön által kedvelt pizzák területét?

Emlékszünk a számiai matematikus és a Pitagorasz-hármas tételére. A kör területe az átmérő négyzete F = pi/4 együtthatóval. Az első Pitagorasz-hármas pedig 3, 4 és 5, amit könnyen átválthatunk 30, 40, 50 hármasra. Ezért 50 2 = 30 2 + 40 2. Nyilvánvaló, hogy egy 50 cm átmérőjű pizza területe nagyobb, mint a 30 cm átmérőjű pizzák összege Úgy tűnik, hogy a tétel csak a geometriában és csak a háromszögeknél alkalmazható, de ez a példa azt mutatja hogy a c 2 = a 2 + b 2 összefüggés más ábrák és jellemzőik összehasonlítására is használható.

Online számológépünk lehetővé teszi bármely olyan érték kiszámítását, amely kielégíti a négyzetösszeg alapegyenletét. A kiszámításhoz csak adjon meg 2 értéket, ami után a program kiszámítja a hiányzó együtthatót. A számológép nem csak egész számokkal működik, hanem törtértékek, ezért a számításokhoz bármilyen számot használhatunk, nem csak Pitagorasz-hármasokat.

Következtetés

A Pitagorasz-tétel alapvető dolog, amely megtalálja széles körű alkalmazás számos tudományos alkalmazásban. Használja online számológépünket a c 2 = a 2 + b 2 összefüggéssel összefüggő értékek nagyságának kiszámításához.