A másodfokú egyenlőtlenségek megoldásának egyik legkényelmesebb módja a grafikus módszer. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan oldják meg grafikusan a másodfokú egyenlőtlenségeket. Először is beszéljük meg ennek a módszernek a lényegét. Ezután bemutatjuk az algoritmust, és példákat veszünk a másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldására.

Oldalnavigáció.

A grafikus módszer lényege

Egyáltalán grafikus módszer az egyenlőtlenségek megoldására Az egy változóval nem csak a másodfokú egyenlőtlenségek megoldására szolgál, hanem más típusú egyenlőtlenségekre is. Az egyenlőtlenségek megoldásának grafikus módszerének lényege Következő: Tekintsük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalának megfelelő y=f(x) és y=g(x) függvényeket, építsük fel grafikonjaikat egy derékszögű koordináta-rendszerbe, és derítsük ki, hogy milyen időközönként áll az egyenlőtlenség grafikonja alacsonyabbak vagy magasabbak a másiknál. Azok az intervallumok, ahol

• az f függvény grafikonja a g függvény grafikonja felett az f(x)>g(x) egyenlőtlenség megoldásai;
• az f függvény grafikonja nem alacsonyabb, mint a g függvény grafikonja az f(x)≥g(x) egyenlőtlenség megoldásai;
• a g grafikonja alatti f grafikonja az f(x) egyenlőtlenség megoldása
• a g függvény grafikonjánál nem magasabb f függvény grafikonja az f(x)≤g(x) egyenlőtlenség megoldásai.

Azt is mondjuk, hogy az f és g függvények grafikonjainak metszéspontjainak abszcisszán az f(x)=g(x) egyenlet megoldásai.

Vigyük át ezeket az eredményeket a mi esetünkre - az a x 2 +b x+c másodfokú egyenlőtlenség megoldásához<0 (≤, >, ≥).

Bevezetünk két függvényt: az első y=a x 2 +b x+c (f(x)=a x 2 +b x+c) a másodfokú egyenlőtlenség bal oldalának megfelelő, a második y=0 (g ( x)=0 ) az egyenlőtlenség jobb oldalának felel meg. Menetrend másodfokú függvény f egy parabola és a gráf állandó funkció g – az Ox abszcissza tengellyel egybeeső egyenes.

Ezután az egyenlőtlenségek grafikus megoldása szerint elemezni kell, hogy egy függvény grafikonja milyen időközönként helyezkedik el egy másik felett vagy alatt, ami lehetővé teszi, hogy felírjuk a másodfokú egyenlőtlenség kívánt megoldását. Esetünkben elemeznünk kell a parabola helyzetét az Ox tengelyhez képest.

Az a, b és c együtthatók értékétől függően a következő hat lehetőség lehetséges (igényünkre elegendő egy sematikus ábrázolás, és nem kell ábrázolnunk az Oy tengelyt, mivel annak helyzete nem befolyásolja a megoldások az egyenlőtlenségre):

Ezen a rajzon egy parabolát látunk, melynek ágai felfelé irányulnak, és amely két pontban metszi az Ox tengelyt, amelyeknek az abszcissza x 1 és x 2. Ez a rajz megfelel annak az opciónak, amikor az a együttható pozitív (a parabolaágak felfelé irányuló irányáért felelős), és ha az érték pozitív másodfokú trinomiális diszkrimináns a x 2 +b x+c (ebben az esetben a trinomnak két gyöke van, amelyeket x 1-ként és x 2-ként jelöltünk, és feltételeztük, hogy x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Az érthetőség kedvéért pirossal ábrázoljuk a parabola x tengely feletti részeit, kékkel pedig azokat, amelyek az x tengely alatt helyezkednek el.


Most nézzük meg, mely intervallumok felelnek meg ezeknek a részeknek. Az alábbi rajz segít azonosítani őket (a jövőben hasonló kijelöléseket fogunk készíteni téglalapok formájában gondolatban):


Tehát az abszcissza tengelyen két intervallum (−∞, x 1) és (x 2 , +∞) pirossal lett kiemelve, ezeken a parabola az Ox tengely felett van, ezek az a x 2 +b x másodfokú egyenlőtlenség megoldását jelentik. +c>0 , és az (x 1 , x 2) intervallum kékkel van kiemelve, az Ox tengely alatt van egy parabola, amely az a x 2 +b x+c egyenlőtlenség megoldását jelenti.<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

És most röviden: a>0 és D=b 2 −4 esetén a c>0 (vagy D"=D/4>0 páros b együttható esetén)

• az a x 2 +b x+c>0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) vagy más jelöléssel x x2;
• az a x 2 +b x+c≥0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (−∞, x 1 ]∪ vagy más jelöléssel x 1 ≤x≤x 2 ,

ahol x 1 és x 2 az a x 2 +b x+c és x 1 másodfokú trinom gyökei


Itt egy parabolát látunk, melynek ágai felfelé irányulnak, és érinti az abszcissza tengelyét, vagyis van vele egy közös pontja, ennek a pontnak az abszcisszáját x 0-val jelöljük. A bemutatott eset megfelel a>0-nak (felfelé irányuló ágak) és D=0-nak ( másodfokú trinomikus egy gyökér x 0). Például vehetsz másodfokú függvény y=x 2 −4·x+4, itt a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 és x 0 =2.

A rajzon jól látható, hogy a parabola az érintkezési pont kivételével mindenhol az Ox tengely felett helyezkedik el, vagyis a (−∞, x 0), (x 0, ∞) intervallumokon. Az érthetőség kedvéért emeljük ki a rajz egyes részeit az előző bekezdéshez hasonlóan.


Következtetéseket vonunk le: a>0 és D=0 esetén

• az a·x 2 +b·x+c>0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) vagy más jelöléssel x≠x 0;
• az a·x 2 +b·x+c≥0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása (−∞, +∞) vagy más jelöléssel x∈R ;
• másodfokú egyenlőtlenség a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• az a x 2 +b x+c≤0 másodfokú egyenlőtlenségnek egyedi megoldása van x=x 0 (ezt az érintési pont adja),

ahol x 0 az a x 2 + b x + c négyzetháromtag gyöke.


Ebben az esetben a parabola ágai felfelé irányulnak, és nincs közös pontja az abszcissza tengellyel. Itt az a>0 (az ágak felfelé irányulnak) és a D feltételek<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Nyilvánvaló, hogy a parabola teljes hosszában az Ox tengely felett helyezkedik el (nincs olyan intervallum, ahol az Ox tengely alatt lenne, nincs érintési pont).


Így a>0 és D esetén<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 és a x 2 +b x+c≥0 az összes halmaza valós számok, és az a x 2 +b x+c egyenlőtlenségek<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

És marad három lehetőség a parabola elhelyezésére úgy, hogy az ágak lefelé, nem felfelé irányulnak az ökör tengelyéhez képest. Elvileg ezeket nem kell figyelembe venni, mivel az egyenlőtlenség mindkét oldalát −1-gyel megszorozva egy ekvivalens egyenlőtlenséghez juthatunk pozitív együtthatóval x 2-re. De még mindig nem árt, ha képet kapunk ezekről az esetekről. Az érvelés itt is hasonló, ezért csak a főbb eredményeket írjuk le.

Megoldási algoritmus

Az összes korábbi számítás eredménye az másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldására szolgáló algoritmus:

Tovább Koordináta sík sematikus rajz készül, amelyen az Ox tengely (az Oy tengely ábrázolása nem szükséges) és az y=a·x 2 +b·x+c másodfokú függvénynek megfelelő parabola vázlata. A parabola vázlatának megrajzolásához elegendő két pontot tisztázni:

• Először is, az a együttható értéke határozza meg, hová irányulnak az ágai (a>0 esetén felfelé, a<0 – вниз).
• Másodszor pedig az a x 2 + b x + c négyzethármas diszkrimináns értéke határozza meg, hogy a parabola két pontban metszi-e az abszcissza tengelyt (D>0 esetén), vagy érinti-e egy pontban (D=0 esetén) , vagy nincs közös pontja az Ox tengellyel (D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Ha a rajz kész, használja az algoritmus második lépésében

  • az a·x 2 +b·x+c>0 másodfokú egyenlőtlenség megoldása során meghatározzuk azokat az intervallumokat, amelyeken a parabola az abszcissza felett helyezkedik el;
  • az a·x 2 +b·x+c≥0 egyenlőtlenség megoldásakor meghatározzuk azokat az intervallumokat, amelyekben a parabola az abszcissza tengelye felett helyezkedik el, és hozzáadjuk a metszéspontok abszcisszáját (vagy az érintőpont abszcisszáját) őket;
  • az a x 2 +b x+c egyenlőtlenség megoldásakor<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • végül az a·x 2 +b·x+c≤0 alakú másodfokú egyenlőtlenség megoldása során olyan intervallumokat találunk, amelyekben a parabola az Ox tengely és a metszéspontok abszcisszája (vagy az érintőpont abszcisszája) alatt van. ) hozzáadódik hozzájuk;

  ezek alkotják a másodfokú egyenlőtlenség kívánt megoldását, és ha nincsenek ilyen intervallumok és érintési pontok, akkor az eredeti másodfokú egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

Már csak néhány másodfokú egyenlőtlenséget kell megoldani ezzel az algoritmussal.

Példák megoldásokkal

Példa.

Oldja meg az egyenlőtlenséget .

Megoldás.

Meg kell oldanunk egy másodfokú egyenlőtlenséget, használjuk az előző bekezdés algoritmusát. Első lépésben fel kell vázolnunk a másodfokú függvény grafikonját . Az x 2 együtthatója egyenlő 2-vel, pozitív, ezért a parabola ágai felfelé irányulnak. Nézzük meg azt is, hogy a parabolának vannak-e közös pontjai az x tengellyel; ehhez kiszámítjuk a másodfokú trinom diszkriminánsát . Nekünk van . A diszkrimináns nagyobbnak bizonyult, mint nulla, ezért a trinomiálisnak két valós gyöke van: És , azaz x 1 =−3 és x 2 =1/3.

Ebből világosan látszik, hogy a parabola két pontban metszi az Ox tengelyt −3 és 1/3 abszcisszákkal. Ezeket a pontokat a rajzon közönséges pontként fogjuk ábrázolni, mivel egy nem szigorú egyenlőtlenséget oldunk meg. A pontosított adatok alapján a következő rajzot kapjuk (a cikk első bekezdésének első sablonjához illeszkedik):

Térjünk át az algoritmus második lépésére. Mivel egy nem szigorú másodfokú egyenlőtlenséget oldunk meg ≤ előjellel, meg kell határoznunk azokat az intervallumokat, amelyekben a parabola az abszcissza alatt helyezkedik el, és hozzá kell adni a metszéspontok abszcisszáit.

A rajzból jól látható, hogy a parabola az x tengely alatt van a (−3, 1/3) intervallumon, és ehhez hozzáadjuk a metszéspontok abszcisszáját, vagyis a −3 és 1/3 számokat. Ennek eredményeként a [−3, 1/3] numerikus intervallumhoz jutunk. Ez a megoldás, amit keresünk. Felírható kettős egyenlőtlenségként −3≤x≤1/3.

Válasz:

[−3, 1/3] vagy −3≤x≤1/3.

Példa.

Keresse meg a −x 2 +16 x−63 másodfokú egyenlőtlenség megoldását!<0 .

Megoldás.

Szokás szerint rajzzal kezdjük. A változó négyzetének numerikus együtthatója negatív, −1, ezért a parabola ágai lefelé irányulnak. Számítsuk ki a diszkriminánst, vagy ami még jobb, a negyedik részét: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Értéke pozitív, számoljuk ki a négyzetes trinom gyökereit: És , x 1 =7 és x 2 =9. Tehát a parabola két pontban metszi az Ox tengelyt a 7-es és a 9-es abszcisszákkal (az eredeti egyenlőtlenség szigorú, ezért ezeket a pontokat üres középponttal ábrázoljuk).

Mivel szigorú másodfokú egyenlőtlenséget oldunk meg előjellel<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

A rajzon látható, hogy az eredeti másodfokú egyenlőtlenség megoldásai két intervallum (−∞, 7) , (9, +∞) .

Válasz:

(−∞, 7)∪(9, +∞) vagy más x jelöléssel<7 , x>9 .

Másodfokú egyenlőtlenségek megoldásakor, amikor egy másodfokú trinomiális diszkriminánsa a bal oldalán nulla, ügyelni kell arra, hogy az érintőpont abszcisszáját belefoglaljuk vagy kizárjuk a válaszból. Ez az egyenlőtlenség előjelétől függ: ha az egyenlőtlenség szigorú, akkor az nem megoldás az egyenlőtlenségre, de ha nem szigorú, akkor igen.

Példa.

Van-e legalább egy megoldása a 10 x 2 −14 x+4,9≤0 másodfokú egyenlőtlenségnek?

Megoldás.

Ábrázoljuk az y=10 x 2 −14 x+4,9 függvényt. Elágazásai felfelé irányulnak, mivel x 2 együtthatója pozitív, és az abszcissza tengelyét a 0,7 abszcissza pontban érinti, mivel D"=(−7) 2 −10 4,9=0, innen vagy 0,7 formában tizedes törtből. Sematikusan így néz ki:

Mivel egy ≤ előjelű másodfokú egyenlőtlenséget oldunk meg, ennek megoldása azok az intervallumok, amelyeken a parabola az Ox tengelye alatt van, valamint az érintőpont abszcisszája. A rajzból jól látható, hogy egyetlen rés sincs, ahol a parabola az Ox tengely alatt lenne, így a megoldása csak az érintőpont abszcisszája lesz, azaz 0,7.

Válasz:

ennek az egyenlőtlenségnek van egy egyedi megoldása 0.7.

Példa.

Oldja meg a –x 2 +8 x−16 másodfokú egyenlőtlenséget!<0 .

Megoldás.

Követjük a másodfokú egyenlőtlenségek megoldására szolgáló algoritmust, és kezdjük egy gráf felépítésével. A parabola ágai lefelé irányulnak, mivel x 2 együtthatója negatív, −1. Határozzuk meg a –x 2 +8 x−16 négyzethármas diszkriminánsát, D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0és akkor x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Tehát a parabola a 4-es abszcisszapontban érinti az Ox tengelyt. Készítsük el a rajzot:

Megnézzük az eredeti egyenlőtlenség jelét, ott van<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Esetünkben ezek nyílt sugarak (−∞, 4) , (4, +∞) . Külön megjegyezzük, hogy a 4 - az érintkezési pont abszcisszája - nem megoldás, mivel az érintkezési pontban a parabola nem alacsonyabb az Ox tengelynél.

Válasz:

(−∞, 4)∪(4, +∞) vagy más jelöléssel x≠4 .

Különös figyelmet kell fordítani azokra az esetekre, amikor a másodfokú trinomik diszkriminánsa a másodfokú egyenlőtlenség bal oldalán kisebb, mint nulla. Nem kell itt kapkodni, és azt mondani, hogy az egyenlőtlenségnek nincs megoldása (megszoktuk, hogy negatív diszkrimináns másodfokú egyenletekre vonjunk le ilyen következtetést). A lényeg az, hogy D másodfokú egyenlőtlensége<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Példa.

Keresse meg a 3 x 2 +1>0 másodfokú egyenlőtlenség megoldását.

Megoldás.

Szokás szerint rajzzal kezdjük. Az a együttható 3, ez pozitív, ezért a parabola ágai felfelé irányulnak. Kiszámítjuk a diszkriminánst: D=0 2 −4·3·1=−12 . Mivel a diszkrimináns negatív, a parabolának nincsenek közös pontjai az ökör tengellyel. A kapott információ elegendő egy sematikus grafikonhoz:

Szigorú másodfokú egyenlőtlenséget oldunk meg > jellel. Megoldása minden olyan intervallum lesz, amelyben a parabola az Ox tengelye felett van. Esetünkben a parabola teljes hosszában az x tengely felett van, így a kívánt megoldás az összes valós szám halmaza lesz.

Ox , és hozzá kell adni a metszéspontok abszcisszáját vagy az érintőpontok abszcisszáját is. De a rajzon jól látható, hogy nincsenek ilyen intervallumok (hiszen a parabola mindenütt az abszcissza tengelye alatt van), ahogy metszéspontok sincsenek, ahogy érintési pontok sem. Ezért az eredeti másodfokú egyenlőtlenségnek nincsenek megoldásai.

Válasz:

nincs megoldás vagy egy másik bejegyzésben ∅.

Bibliográfia.

• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. osztály. 2 óra alatt 1. rész Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich. - 11. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. osztály. 2 óra alatt 1. rész Tankönyv az általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. 11. évfolyam. 2 óra alatt 1. rész Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (profilszint) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

lásd még Lineáris programozási probléma megoldása grafikusan, Lineáris programozási feladatok kanonikus formája

Egy ilyen probléma kényszerrendszere két változó egyenlőtlenségéből áll:
a célfüggvénynek pedig az a formája F = C 1 x + C 2 y amit maximalizálni kell.

Válaszoljunk a kérdésre: milyen számpárok ( x; y) az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásai, azaz az egyenlőtlenségek mindegyikét egyszerre elégítik ki? Más szóval, mit jelent grafikusan megoldani egy rendszert?
Először is meg kell értened, mi a megoldása egy lineáris egyenlőtlenségnek két ismeretlennel.
Egy lineáris egyenlőtlenség megoldása két ismeretlennel azt jelenti, hogy meghatározzuk az összes ismeretlen értékpárt, amelyre az egyenlőtlenség érvényes.
Például az egyenlőtlenség 3 x – 5y≥ 42 kielégítő pár ( x , y): (100, 2); (3, –10), stb. A feladat az összes ilyen pár megtalálása.
Tekintsünk két egyenlőtlenséget: fejsze + által≤ c, fejsze + által≥ c. Egyenes fejsze + által = c a síkot két félsíkra osztja úgy, hogy az egyik pontjának koordinátái kielégítsék az egyenlőtlenséget fejsze + által >c, és a másik egyenlőtlenség fejsze + +által <c.
Valóban, vegyünk egy pontot koordinátákkal x = x 0 ; majd egy pont, amely egy egyenesen fekszik és van egy abszcissza x 0, ordinátája van

A bizonyosság kedvéért hagyjuk a< 0, b>0, c>0. Minden pont abszcisszával x 0 fent fekszik P(például pont M), van y M>y 0 , és a pont alatti összes pont P, abszcissza x 0 , van y N<y 0 . Mert a x A 0 egy tetszőleges pont, akkor az egyenes egyik oldalán mindig lesznek olyan pontok, amelyekhez fejsze+ által > c, félsíkot alkotva, a másik oldalon pedig - pontok, amelyekre fejsze + által< c.

1. kép

Az egyenlőtlenség előjele a félsíkban a számoktól függ a, b , c.
Ez a rendszerek grafikus megoldásának alábbi módszeréhez vezet lineáris egyenlőtlenségek két változóból. A rendszer megoldásához szüksége lesz:

1. Minden egyenlőtlenséghez írja fel az egyenlőtlenségnek megfelelő egyenletet.
2. Készítsen egyenes vonalakat, amelyek egyenletekkel meghatározott függvények grafikonjai.
3. Minden egyeneshez határozza meg a félsíkot, amelyet az egyenlőtlenség ad meg. Ehhez vegyünk egy tetszőleges pontot, amely nem fekszik egy egyenesen, és helyettesítse be a koordinátáit az egyenlőtlenségbe. ha az egyenlőtlenség igaz, akkor a választott pontot tartalmazó félsík az eredeti egyenlőtlenség megoldása. Ha az egyenlőtlenség hamis, akkor az egyenes másik oldalán lévő félsík ennek az egyenlőtlenségnek a megoldási halmaza.
4. Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásához meg kell találni az összes félsík metszésterületét, amelyek a rendszer minden egyenlőtlenségére megoldást jelentenek.

Ez a terület üresnek bizonyulhat, akkor az egyenlőtlenségek rendszerének nincs megoldása és inkonzisztens. Ellenkező esetben a rendszer konzisztensnek mondható.
Lehet véges vagy végtelen számú megoldás. A terület lehet zárt sokszög vagy határtalan.

Nézzünk három releváns példát.

Példa 1. Oldja meg a rendszert grafikusan:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x - 2y + 5 ≤ 0.

• tekintsük az egyenlőtlenségeknek megfelelő x+y–1=0 és –2x–2y+5=0 egyenleteket;
• Szerkesszünk egyenes vonalakat ezekkel az egyenletekkel.

2. ábra

Határozzuk meg az egyenlőtlenségek által meghatározott félsíkokat. Vegyünk egy tetszőleges pontot, legyen (0; 0). Mérlegeljük x+ y- 1 0, cserélje ki a (0; 0) pontot: 0 + 0 – 1 ≤ 0. Ez azt jelenti, hogy abban a félsíkban, ahol a (0; 0) pont található, x + y – 1 ≤ 0, azaz az egyenes alatt fekvő félsík az első egyenlőtlenség megoldása. Ezt a pontot (0; 0) behelyettesítve a másodikba, a következőt kapjuk: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, azaz. abban a félsíkban, ahol a (0; 0) pont található, –2 x – 2y+ 5≥ 0, és megkérdeztük, hogy hol –2 x – 2y+ 5 ≤ 0, tehát a másik félsíkban - az egyenes felettiben.
Keressük ennek a két félsíknak a metszéspontját. Az egyenesek párhuzamosak, így a síkok sehol sem metszik egymást, ami azt jelenti, hogy ezen egyenlőtlenségek rendszerének nincs megoldása és inkonzisztens.

2. példa Keressen grafikus megoldásokat az egyenlőtlenségek rendszerére:

3. ábra
1. Írjuk fel az egyenlőtlenségeknek megfelelő egyenleteket, és készítsünk egyeneseket!
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. A (0; 0) pont kiválasztása után meghatározzuk az egyenlőtlenségek előjeleit a félsíkban:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, azaz. x + 2y– 2 ≤ 0 az egyenes alatti félsíkban;
0 – 0 – 1 ≤ 0, azaz y –x– 1 ≤ 0 az egyenes alatti félsíkban;
0 + 2 =2 ≥ 0, azaz. y+ 2 ≥ 0 az egyenes feletti félsíkban.
3. Ennek a három félsíknak a metszéspontja egy olyan terület lesz, amely háromszög. Nem nehéz megtalálni a régió csúcsait a megfelelő egyenesek metszéspontjaként


És így, A(–3; –2), BAN BEN(0; 1), VAL VEL(6; –2).

Nézzünk egy másik példát, amelyben a rendszer eredményül kapott megoldási tartománya nincs korlátozva.

A lineáris vagy másodfokú egyenlőtlenség grafikonja ugyanúgy megszerkeszthető, mint bármely függvény (egyenlet) grafikonja. A különbség az, hogy az egyenlőtlenségből több megoldás létezik, így az egyenlőtlenség grafikonja nem csak egy pont egy számegyenesen vagy egy koordinátasíkon. Matematikai műveletek és az egyenlőtlenség jele segítségével számos megoldást lehet meghatározni az egyenlőtlenségre.

Lépések

Lineáris egyenlőtlenség grafikus ábrázolása a számegyenesen

1. Oldja meg az egyenlőtlenséget. Ehhez izolálja a változót ugyanazokkal az algebrai technikákkal, mint bármely egyenlet megoldásához. Ne feledje, ha egy egyenlőtlenséget szoroz vagy oszt negatív szám(vagy kifejezés), fordítsa meg az egyenlőtlenség jelét.

   • Például tekintettel az egyenlőtlenségre 3 év + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Változó elkülönítéséhez vonjon le 9-et az egyenlőtlenség mindkét oldaláról, majd mindkét oldalt ossza el 3-mal:
     3 év + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 év + 9 - 9 > 12 - 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 év > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3) (3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Egy egyenlőtlenségnek csak egy változója lehet. Ha az egyenlőtlenségnek két változója van, célszerűbb a grafikont a koordinátasíkon ábrázolni.

2. Rajzolj egy számegyenest. A számsorban jelölje be a talált értéket (a változó lehet kisebb, nagyobb vagy egyenlő ezzel az értékkel). Rajzolj egy megfelelő hosszúságú (hosszú vagy rövid) számsort.

   • Például ha azt számolod y > 1 (\displaystyle y>1), jelölje be a számegyenesen az 1-es értéket.

3. Rajzoljon egy kört a talált érték ábrázolására. Ha a változó kisebb, mint ( < {\displaystyle <} ) vagy több ( > (\displaystyle >)) ennek az értéknek a köre nincs kitöltve, mert a megoldáskészlet nem tartalmazza ezt az értéket. Ha a változó kisebb vagy egyenlő, mint ( ≤ (\displaystyle \leq )) vagy nagyobb vagy egyenlő, mint ( ≥ (\displaystyle \geq)) ehhez az értékhez, a kör ki van töltve, mert a megoldáshalmaz tartalmazza ezt az értéket.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), a számegyenesen rajzoljunk nyitott kört az 1. pontba, mert 1 nincs a megoldáshalmazban.

4. A számegyenesen árnyékolja be a megoldáshalmazt meghatározó régiót. Ha a változó nagyobb, mint a talált érték, árnyékolja be a tőle jobbra lévő területet, mert a megoldáshalmaz minden olyan értéket tartalmaz, amely nagyobb a talált értéknél. Ha a változó kisebb, mint a talált érték, árnyékolja be a tőle balra lévő területet, mert a megoldáskészlet tartalmazza az összes olyan értéket, amely kisebb a talált értéknél.

   • Például, ha adott az egyenlőtlenség y > 1 (\displaystyle y>1), a számegyenesen árnyékolja be az 1-től jobbra eső területet, mert a megoldáskészletben minden 1-nél nagyobb érték szerepel.

   Lineáris egyenlőtlenség grafikus ábrázolása a koordinátasíkon

   1. Oldja meg az egyenlőtlenséget (keresse meg az értéket y (\displaystyle y)). Lineáris egyenlet létrehozásához izolálja a bal oldalon lévő változót ismert algebrai technikákkal. A jobb oldalon kell lennie egy változónak x (\displaystyle x)és talán valami állandó.

      • Például tekintettel az egyenlőtlenségre 3 év + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x). Változó elkülönítése y (\displaystyle y), vonjunk le 9-et az egyenlőtlenség mindkét oldaláról, majd osszuk el mindkét oldalt 3-mal:
        3 év + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 év + 9 - 9 > 9 x - 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 év > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Rajzolja meg egy lineáris egyenlet grafikonját a koordinátasíkon! rajzoljon egy grafikont, mint bármely lineáris egyenlet grafikonját. Ábrázolja az Y metszéspontot, majd a meredekség segítségével ábrázolja a többi pontot.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)ábrázolja az egyenletet y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Az Y tengellyel való metszéspont koordinátái és lejtő egyenlő 3-mal (vagy 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Tehát először ábrázolja a pontot koordinátákkal (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); az y tengely metszéspontja feletti pontnak vannak koordinátái (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); az Y tengely metszéspontja alatti pontban vannak a koordináták (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1, -6))

   3. Rajzolj egy egyenest. Ha az egyenlőtlenség szigorú (beleértve az előjelet < {\displaystyle <} vagy > (\displaystyle >)), rajzoljon szaggatott vonalat, mert a megoldáskészlet nem tartalmaz értékeket a vonalon. Ha az egyenlőtlenség nem szigorú (beleértve az előjelet ≤ (\displaystyle \leq ) vagy ≥ (\displaystyle \geq)), rajzoljon egy folytonos vonalat, mert a megoldáskészlet olyan értékeket tartalmaz, amelyek a vonalon helyezkednek el.

      • Például egyenlőtlenség esetén y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) rajzoljon szaggatott vonalat, mert a megoldáskészlet nem tartalmaz értékeket a vonalon.

   4. Árnyékolja a megfelelő területet. Ha az egyenlőtlenség alakja y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), árnyékolja be a vonal feletti területet. Ha az egyenlőtlenség alakja y< m x + b {\displaystyle y, árnyékolja be a vonal alatti területet.

      • Például egyenlőtlenség esetén y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)árnyékolja be a vonal feletti területet.

   A másodfokú egyenlőtlenség grafikus ábrázolása a koordinátasíkon

   1. Határozzuk meg, hogy ez az egyenlőtlenség másodfokú. A másodfokú egyenlőtlenségnek megvan a formája a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Néha az egyenlőtlenség nem tartalmaz elsőrendű változót ( x (\displaystyle x)) és/vagy egy szabad kifejezés (konstans), de szükségszerűen tartalmaz egy másodrendű változót ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Változók x (\displaystyle x)És y (\displaystyle y) el kell szigetelni különböző oldalak egyenlőtlenségek.

      • Például meg kell rajzolnia az egyenlőtlenséget y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Rajzolj grafikont a koordinátasíkra. Ehhez alakítsa át az egyenlőtlenséget egyenletté, és ábrázolja azt úgy, ahogyan bármely másodfokú egyenletet ábrázolna. Ne feledje, hogy a másodfokú egyenlet grafikonja egy parabola.

      • Például egyenlőtlenség esetén y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y másodfokú egyenlet ábrázolása y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). A parabola csúcsa a pontban van (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), és a parabola pontokban metszi az X tengelyt (2 , 0) (\displaystyle (2,0))És (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

Egyenlőtlenségek közelítő megoldása.

Grafikus megoldás egyenlőtlenségek egy ismeretlennel.

Két ismeretlenes egyenlőtlenségrendszerek grafikus megoldása.

A megoldások metszéspontja.

A függvények grafikus ábrázolása lehetővé teszi hozzávetőlegesen, körülbelül döntsd el egyenlőtlenségeket egy ismeretlen és egyenlőtlenségrendszerek egy és két ismeretlen. Egy ismeretlennel való egyenlőtlenség grafikus megoldása, minden tagját egy részbe kell átemelni, i.e. e . vezet:

f ( x ) > 0 ,

és ábrázolja a függvényt y = f(x ). Azt követően, A felépített gráf segítségével megtalálhatja függvény nullák(lásd), amely felosztja a tengelytx több időközönként. Most ez alapján határozzuk meg az intervallumokat x, amelyen belül a függvényjel az egyenlőtlenség jelének felel meg. Például,függvényünk nullái:aÉs b(30. ábra). Aztán a grafikonból nyilvánvaló, hogy az intervallumok, amelyeken belül f (x ) > 0: x < aÉs x > b(félkövér nyilakkal vannak kiemelve). Egyértelmű, hogy a jel > itt feltételes; helyette lehet más: < , .

Nak nek oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségek rendszerét Val vel egy ismeretlen, akkor mindegyikben át kell helyezni az összes kifejezést egy részbe, pl. e . hozd a formába az egyenlőtlenségeket:

és függvénygrafikonokat készíthet y = f ( x ), y = g (x ) , ... , y = h (x). Minden egyes ezeknek az egyenlőtlenségeknek a megoldása a fent leírt grafikus módszerrel történik. Azt követően kell megtalálja megoldások metszéspontja minden egyenlőtlenség, i.e. e. közös részük.

PÉLDA Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségek rendszerét:

Megoldás: Először ábrázoljuk a függvényekety = - 2 / 3 x+ 2 és

y = x 2 - 1 (31. ábra):

Az első döntéseegyenlőtlenség az intervallumx> 3, a 31. ábrán fekete nyíl jelzi; a második egyenlőtlenség megoldása két intervallumból áll:x < - 1 и x> 1, a 31. ábrán szürke nyilak jelzik.

A grafikonból egyértelműen kiderül Mit e két megoldás metszéspontja az intervallumx> 3. Ez a megoldás az adott egyenlőtlenségrendszerre.

Két ismeretlennel rendelkező két egyenlőtlenség rendszerének grafikus megoldásához a következőket kell tennie:

1) mindegyikben helyezze át az összes kifejezést egy részbe, azaz. e. hozza

a forma egyenlőtlenségei:

2) az implicit módon megadott függvények grafikonjainak összeállítása: f (x, y) = 0 és g (x, y) = 0;

3) Ezen grafikonok mindegyike két részre osztja a koordinátasíkot:

az egyikben egyenlőtlenség tisztességes, a másikban - nem; megoldani

grafikusan ezeket az egyenlőtlenségeket elég ellenőrizni

az egyenlőtlenség érvényessége bármely tetszőleges pontban

a repülőgép részei; ha ezen a ponton egyenlőtlenség lép fel, akkor

a koordinátasíknak ez a része a megoldása, ha nem, akkor

a megoldás a sík ellentétes része ;

4) adott egyenlőtlenségrendszer megoldása a metszéspont

(általános terület) a koordinátasík részei.

PÉLDA Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét:

Megoldás: Először a lineáris függvények grafikonjait készítjük: 5x – 7 y= - 11 és

2 x + 3 y= 10 (32. ábra). Mindegyikük számára találunk egy félsíkot,

amelyen belül a megfelelőadott egyenlőtlenség

becsületes. Tudjuk, hogy elég ellenőrizni a méltányosságot

Egyenlőtlenségek a régió egy tetszőleges pontjában; ebben

Ebben az esetben a legegyszerűbb a koordináták origóját használni erre O(0, 0 ).

Bekeretezve őt inkább az egyenlőtlenségeinkbe koordináljaxÉs y,

A következőt kapjuk: 5 0 – 7 0 = 0 > - 11 tehát alacsonyabb

félsík (sárga) ez a megoldás az elsőre

egyenlőtlenségek; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе egyenlőtlenség

Megoldásának van az alsó félsíkja is ( kék

színek ). Ezeknek a félsíkoknak a metszéspontja ( türkiz színű terület)

az a megoldás egyenlőtlenségrendszerünk.

Első szint

Egyenletek, egyenlőtlenségek, rendszerek megoldása függvénygráfok segítségével. Vizuális útmutató (2019)

Sok olyan feladat, amelyet tisztán algebrailag számolni szoktunk, sokkal könnyebben és gyorsabban megoldható, ebben segít a függvénygráfok használata. Azt mondod "hogyan?" rajzolni valamit, és mit kell rajzolni? Higgye el, néha kényelmesebb és egyszerűbb. Kezdjük el? Kezdjük az egyenletekkel!

Egyenletek grafikus megoldása

Lineáris egyenletek grafikus megoldása

Mint már tudod, a lineáris egyenlet grafikonja egy egyenes, innen ered ennek a típusnak a neve. A lineáris egyenleteket meglehetősen könnyű algebrailag megoldani - az összes ismeretlent átvisszük az egyenlet egyik oldalára, mindent, amit tudunk, a másikra, és íme! Megtaláltuk a gyökeret. Most megmutatom, hogyan kell csinálni grafikusan.

Tehát megvan az egyenlet:

Hogyan lehet megoldani?
1.opció, és a legáltalánosabb az ismeretleneket az egyik oldalra, az ismerteket a másik oldalra mozgatni, így kapjuk:

Most építsünk. Mit kaptál?

Ön szerint mi az egyenletünk gyökere? Így van, a grafikonok metszéspontjának koordinátája:

A válaszunk az

Ez a grafikus megoldás teljes bölcsessége. Amint azt könnyen ellenőrizheti, egyenletünk gyökere egy szám!

Mint fentebb mondtam, ez a leggyakoribb lehetőség, közel algebrai megoldás, de meg tudod oldani másképp is. Egy alternatív megoldás megfontolásához térjünk vissza az egyenletünkhöz:

Ezúttal nem fogunk semmit egyik oldalról a másikra mozgatni, hanem közvetlenül megszerkesztjük a grafikonokat, ahogy most vannak:

Épült? Lássuk!

Mi a megoldás ezúttal? Úgy van. Ugyanez - a grafikonok metszéspontjának koordinátája:

És ismét a válaszunk.

Amint látja, azzal lineáris egyenletek minden rendkívül egyszerű. Itt az ideje, hogy valami bonyolultabbat nézzünk... Például másodfokú egyenletek grafikus megoldása.

Másodfokú egyenletek grafikus megoldása

Tehát most kezdjük el megoldani a másodfokú egyenletet. Tegyük fel, hogy meg kell találnia ennek az egyenletnek a gyökereit:

Természetesen most már elkezdheti a számolást a diszkriminánson keresztül, vagy Vieta tétele szerint, de sokan idegből hibáznak szorzáskor vagy négyzetesítéskor, főleg ha a példa nagy számok, és mint tudod, nem lesz számológéped a vizsgához... Ezért próbáljunk meg egy kicsit lazítani és rajzolni az egyenlet megoldása közben.

Ennek az egyenletnek a megoldásait grafikusan találhatja meg különböző utak. Mérlegeljük különféle lehetőségeket, és kiválaszthatod, melyik tetszik a legjobban.

Módszer 1. Közvetlenül

Egyszerűen felállítunk egy parabolát ezzel az egyenlettel:

Ennek gyors megtételéhez adok egy kis tippet: A konstrukciót célszerű a parabola csúcsának meghatározásával kezdeni. A következő képletek segítenek meghatározni a parabola csúcsának koordinátáit:

Azt fogja mondani: „Állj! A képlet nagyon hasonló a diszkrimináns megtalálásának képletéhez”, igen, ez az, és ez óriási hátránya annak, ha „közvetlenül” készítünk egy parabolát, hogy megtaláljuk a gyökereit. Számoljunk azonban a végéig, aztán megmutatom, hogyan kell ezt sokkal (sokkal!) könnyebben megcsinálni!

számoltál? Milyen koordinátákat kapott a parabola csúcsához? Találjuk ki együtt:

Pontosan ugyanaz a válasz? Szép munka! És most már tudjuk a csúcs koordinátáit, de egy parabola felépítéséhez több... pontra van szükségünk. Ön szerint hány minimum pontra van szükségünk? Jobb, .

Tudod, hogy egy parabola szimmetrikus a csúcsára, például:

Ennek megfelelően szükségünk van még két pontra a parabola bal vagy jobb ágán, és a jövőben szimmetrikusan tükrözzük ezeket a pontokat az ellenkező oldalon:

Térjünk vissza a parabolánkhoz. A mi esetünkben, pont. Kell még két pont, hogy vehetünk pozitívat, vagy vehetünk negatívat? Melyik pont a kényelmesebb az Ön számára? Kényelmesebb számomra a pozitívakkal dolgozni, így a és -nél fogok számolni.

Most három pontunk van, és könnyen megszerkeszthetjük a parabolánkat kettőt tükrözve utolsó pontok a tetejéhez képest:

Ön szerint mi az egyenlet megoldása? Így van, pontok, amelyeknél, vagyis és. Mert.

És ha ezt mondjuk, az azt jelenti, hogy egyenlőnek kell lennie, ill.

Éppen? Elkészítettük veled az egyenlet komplex grafikai megoldását, különben lesz még!

Természetesen a válaszunkat algebrailag is ellenőrizheti - a gyököket Vieta tételével vagy diszkriminansával számíthatja ki. Mit kaptál? Ugyanaz? Itt látod! Most nézzünk egy nagyon egyszerű grafikai megoldást, biztos vagyok benne, hogy nagyon fog tetszeni!

2. módszer. Több funkcióra osztva

Vegyük ugyanazt az egyenletünket: , de egy kicsit másképp írjuk, nevezetesen:

Megírhatjuk így? Megtehetjük, hiszen az átalakítás egyenértékű. Nézzük tovább.

Készítsünk külön két függvényt:

1. - a gráf egy egyszerű parabola, amelyet könnyen megszerkeszthet anélkül is, hogy képletekkel határozná meg a csúcsot, és nem készít táblázatot a többi pont meghatározásához.
2. - a grafikon egy egyenes, amelyet ugyanúgy megszerkeszthet, ha fejben becsüli meg az értékeket anélkül, hogy számológépet kellene igénybe vennie.

Épült? Hasonlítsuk össze azzal, amit kaptam:

Szerinted ez benne van ebben az esetben az egyenlet gyökerei? Jobb! Két grafikon metszéspontjából kapott koordináták, azaz:

Ennek megfelelően ennek az egyenletnek a megoldása a következő:

Mit mondasz? Egyetértek, ez a megoldási módszer sokkal könnyebb, mint az előző, és még könnyebb is, mint a gyökerek keresése diszkrimináns segítségével! Ha igen, próbálja meg megoldani a következő egyenletet ezzel a módszerrel:

Mit kaptál? Hasonlítsuk össze grafikonjainkat:

A grafikonok azt mutatják, hogy a válaszok a következők:

Sikerült? Szép munka! Most nézzük meg az egyenleteket egy kicsit bonyolultabban, nevezetesen a vegyes egyenletek megoldását, vagyis a különböző típusú függvényeket tartalmazó egyenleteket.

Vegyes egyenletek grafikus megoldása

Most próbáljuk meg megoldani a következőket:

Természetesen mindent elhozhatunk közös nevező, keresse meg az eredményül kapott egyenlet gyökereit, ne felejtse el figyelembe venni az ODZ-t, de ismét megpróbáljuk grafikusan megoldani, mint minden korábbi esetben.

Ezúttal készítsük el a következő 2 grafikont:

1. - a grafikon egy hiperbola
2. - a grafikon egy egyenes, amelyet könnyedén megszerkeszthet úgy, hogy fejben becsüli meg az értékeket anélkül, hogy számológépet kellene igénybe vennie.

Rájött? Most kezdje el az építkezést.

Íme, amit kaptam:

Ha ezt a képet nézzük, mondd meg, mi az egyenletünk gyökere?

Így van, és. Íme a megerősítés:

Próbálja meg a gyökereinket bedugni az egyenletbe. Megtörtént?

Úgy van! Egyetértek, az ilyen egyenletek grafikus megoldása öröm!

Próbálja meg saját maga grafikusan megoldani az egyenletet:

Adok egy tippet: mozgassa az egyenlet egy részét a jobb oldalra, hogy a legegyszerűbb függvények mindkét oldalon legyenek. Megértette a tippet? Cselekszik!

Most pedig lássuk, mire jutottál:

Illetőleg:

1. - köbös parabola.
2. - közönséges egyenes.

Nos, építsük:

Ahogy régen leírtad, ennek az egyenletnek a gyöke - .

Ezt eldöntve nagyszámú Példák, biztos vagyok benne, hogy rájött, milyen egyszerűen és gyorsan lehet egyenleteket grafikusan megoldani. Ideje kitalálni, hogyan lehet ilyen módon megoldani a rendszereket.

Rendszerek grafikus megoldása

A rendszerek grafikus megoldása lényegében nem különbözik az egyenletek grafikus megoldásától. Két gráfot is készítünk, és ezek metszéspontjai lesznek ennek a rendszernek a gyökerei. Az egyik gráf egy egyenlet, a második egy másik egyenlet. Minden rendkívül egyszerű!

Kezdjük a legegyszerűbb dologgal - a lineáris egyenletrendszerek megoldásával.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása

Tegyük fel, hogy a következő rendszerünk van:

Először is alakítsuk át úgy, hogy a bal oldalon legyen minden, amihez kapcsolódik, a jobb oldalon pedig minden, amihez kapcsolódik. Más szóval, írjuk fel ezeket az egyenleteket függvényként a szokásos formában:

Most csak két egyenest építünk. Mi a megoldás esetünkben? Jobb! A metszéspontjuk! És itt nagyon-nagyon óvatosnak kell lenni! Gondolj bele, miért? Hadd adjak egy tippet: egy rendszerrel van dolgunk: a rendszerben mindkettő van, és... Megvan a tipp?

Úgy van! Egy rendszer megoldásánál mindkét koordinátát kell néznünk, és nem csak úgy, mint az egyenletek megoldásánál! Egy másik fontos pont- írd le helyesen, és ne keverd össze, hol van a jelentésünk és hol a jelentés! Leírtad? Hasonlítsunk össze mindent sorrendben:

És a válaszok: és. Végezzen ellenőrzést - cserélje be a talált gyökereket a rendszerbe, és győződjön meg arról, hogy grafikusan helyesen oldottuk meg?

Nemlineáris egyenletrendszerek megoldása

Mi van, ha egy egyenes helyett van másodfokú egyenlet? Rendben van! Csak egy parabolát építs az egyenes helyett! Nem hiszek? Próbálja meg megoldani a következő rendszert:

Mi a következő lépésünk? Így van, írd le, hogy kényelmesen tudjunk grafikonokat készíteni:

És most minden apró dolgokról szól – építse meg gyorsan, és itt a megoldás! Építünk:

A grafikonok ugyanazok lettek? Most jelölje be az ábrán a rendszer megoldásait, és írja le helyesen az azonosított válaszokat!

mindent megtettem? Hasonlítsa össze a megjegyzéseimmel:

Minden rendben van? Szép munka! Már őrülten töröd az ilyen típusú feladatokat! Ha igen, akkor adjunk egy bonyolultabb rendszert:

Mit csinálunk? Jobb! A rendszert úgy írjuk meg, hogy kényelmes legyen felépíteni:

Adok egy kis tippet, mert a rendszer nagyon bonyolultnak tűnik! Grafikonok építésénél „többet” építsen, és ami a legfontosabb, ne lepődjön meg a metszéspontok számán.

Akkor gyerünk! Kilélegzett? Most kezdje el az építkezést!

Szóval hogyan? Gyönyörű? Hány kereszteződési pontot kapott? nekem három van! Hasonlítsuk össze grafikonjainkat:

Is? Most gondosan írja le rendszerünk összes megoldását:

Most nézd meg újra a rendszert:

El tudod képzelni, hogy ezt mindössze 15 perc alatt megoldottad? Egyetértek, a matematika még mindig egyszerű, főleg ha egy kifejezést nézel, nem félsz hibázni, hanem csak fogd és oldd meg! Nagy fiú vagy!

Egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Lineáris egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Az utolsó példa után bármit megtehetsz! Most lélegezzen ki – az előző részekhez képest ez nagyon-nagyon egyszerű lesz!

Kezdjük, mint általában, egy lineáris egyenlőtlenség grafikus megoldásával. Például ez:

Először hajtsuk végre a legegyszerűbb átalakításokat - nyissuk meg a tökéletes négyzetek zárójeleit, és mutassunk be hasonló kifejezéseket:

Az egyenlőtlenség nem szigorú, ezért nem szerepel az intervallumban, és a megoldás az összes jobb oldali pont lesz, hiszen több, több, és így tovább:

Válasz:

Ez minden! Könnyen? Oldjunk meg egy egyszerű egyenlőtlenséget két változóval:

Rajzoljunk függvényt a koordinátarendszerbe.

Kaptál ilyen menetrendet? Most nézzük meg alaposan, milyen egyenlőtlenség van ott? Kevésbé? Ez azt jelenti, hogy mindent átfestünk, ami az egyenesünktől balra van. Mi lenne, ha több lenne? Így van, akkor mindent átfestenénk, ami az egyenesünktől jobbra van. Ez egyszerű.

Ennek az egyenlőtlenségnek minden megoldása „elárnyékolt” narancs. Ennyi, a kétváltozós egyenlőtlenség megoldva. Ez azt jelenti, hogy az árnyékolt terület bármely pontjának koordinátái a megoldások.

Másodfokú egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Most megértjük, hogyan lehet grafikusan megoldani a másodfokú egyenlőtlenségeket.

Mielőtt azonban rátérnénk az üzletre, tekintsünk át néhány anyagot a kvadratikus függvényről.

Miért felelős a diszkrimináns? Ez igaz, a gráf tengelyhez viszonyított helyzetére vonatkozóan (ha erre nem emlékszik, akkor feltétlenül olvassa el a másodfokú függvények elméletét).

Mindenesetre itt van egy kis emlékeztető:

Most, hogy az összes anyagot felfrissítettük emlékezetünkben, lássuk a dolgot – oldjuk meg grafikusan az egyenlőtlenséget.

Azonnal elmondom, hogy két lehetőség van a megoldásra.

1.opció

A parabolánkat függvényként írjuk fel:

A képletek segítségével meghatározzuk a parabola csúcsának koordinátáit (pontosan ugyanaz, mint a másodfokú egyenletek megoldásánál):

számoltál? Mit kaptál?

Most vegyünk még két különböző pontot, és számoljunk rájuk:

Kezdjük el felépíteni a parabola egyik ágát:

Pontjainkat szimmetrikusan tükrözzük a parabola másik ágára:

Most térjünk vissza az egyenlőtlenségünkhöz.

Szükségünk van arra, hogy nullánál kisebb legyen:

Mivel egyenlőtlenségünkben az előjel szigorúan kisebb, mint, kizárjuk a végpontokat - „kilyukasztás”.

Válasz:

Hosszú út, igaz? Most megmutatom a grafikus megoldás egy egyszerűbb változatát, ugyanezen egyenlőtlenség példáján:

2. lehetőség

Visszatérünk az egyenlőtlenségünkhöz, és megjelöljük a szükséges intervallumokat:

Egyetértek, sokkal gyorsabb.

Most írjuk le a választ:

Tekintsünk egy másik megoldást, amely leegyszerűsíti az algebrai részt, de a lényeg az, hogy ne keveredjünk össze.

Szorozzuk meg a bal és a jobb oldalt a következővel:

Próbáld meg tetszőlegesen megoldani a következő másodfokú egyenlőtlenséget: .

Sikerült?

Nézze meg, milyen lett a grafikonom:

Válasz: .

Vegyes egyenlőtlenségek grafikus megoldása

Most térjünk át a bonyolultabb egyenlőtlenségekre!

Hogy tetszik ez:

Hátborzongató, nem? Őszintén szólva fogalmam sincs, hogyan lehet ezt algebrailag megoldani... De nem szükséges. Grafikailag nincs ebben semmi bonyolult! A szemek félnek, de a kezek csinálják!

Először is két grafikon felépítésével kezdjük:

Nem írok ki egy táblázatot mindegyikhez - biztos vagyok benne, hogy egyedül is tökéletesen meg tudod csinálni (hú, olyan sok a megoldásra váró példa!).

Te festetted? Most készítsen két grafikont.

Hasonlítsuk össze a rajzainkat?

Veled is így van? Nagy! Most rendezzük el a metszéspontokat, és a szín segítségével határozzuk meg, hogy elméletileg melyik gráfunk legyen nagyobb, vagyis. Nézd meg, mi történt a végén:

Most nézzük csak meg, hol van magasabban a kiválasztott grafikonunk, mint a grafikon? Nyugodtan fogj egy ceruzát és fesd át ezt a területet! Ő lesz a megoldás összetett egyenlőtlenségünkre!

A tengely mentén milyen intervallumokban helyezkedünk el magasabban? Jobb, . Ez a válasz!

Nos, most már bármilyen egyenletet, bármilyen rendszert, és még inkább minden egyenlőtlenséget kezelhet!

RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Algoritmus az egyenletek függvénygráfok segítségével történő megoldásához:

1. Fejezzük ki keresztül
2. Határozzuk meg a függvény típusát
3. Készítsünk grafikonokat a kapott függvényekből
4. Keressük meg a grafikonok metszéspontjait
5. Írjuk fel helyesen a választ (az ODZ és az egyenlőtlenség jeleit figyelembe véve)
6. Ellenőrizzük a választ (helyettesítsük a gyököket az egyenletbe vagy rendszerbe)

A függvénygrafikonok létrehozásával kapcsolatos további információkért lásd a „” témakört.